BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Đề tài: LÝ THUYẾT DÀN VÀ ỨNG DỤNG TRONG MẬT MÃ Người hướng dẫn: Tiến sĩ: TRẦN VĨNH ĐỨC Cơ quan công tác: TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI Họ tên sinh viên: KIỀU HƯƠNG THÙY Khoa: Toán, Ngành: Sư phạm Toán, Lớp: k37A Sư phạm Toán Xuân Hòa - 2015 Mục lục Chương Lý thuyết dàn 1.1 Hệ thống mã hóa đồng dư khóa công khai 1.2 Bài toán tổng tập hệ mã hóa xếp ba lô 1.3 Giới thiệu ngắn không gian vectơ 12 1.4 Định nghĩa sở tính chất dàn 15 1.5 Vectơ ngắn dàn 19 1.5.1 Bài toán vectơ ngắn vectơ đóng 1.5.2 Định lý Hermite 19 20 1.6 Thuật toán Babai 21 1.7 Hệ mã hóa khóa công khai GGH 24 Chương Ứng dụng dàn mật mã 27 2.1 Thuật toán giảm dàn 27 2.1.1 Giảm dàn Gauss chiều 2.1.2 Thuật toán giảm dàn LLL 2.2 Ứng dụng LLL để giải mã 27 28 30 2.2.1 Hệ mã hóa đồng dư 30 2.2.2 Áp dụng LLL cho xếp ba lô 31 2.2.3 Áp dụng LLL cho GGH 32 MỞ ĐẦU Lí nghiên cứu Lý thuyết dàn có nhiều ứng dụng thực tiễn Việc nghiên cứu lý thuyết dàn có ứng dụng quan trọng, đặc biệt ứng dụng mật mã.Với mong muốn sâu tìm hiểu dàn góc độ sinh viên sư phạm Toán phạm vi khóa luận tốt nghiệp với hướng dẫn thầy giáo - TS.Trần Vĩnh Đức, em xin trình bày hiểu biết đề tài "Lý thuyết dàn ứng dụng mật mã." Mục đích nghiên cứu Quá trình thực đề tài giúp em bước đầu làm quen với việc nghiên cứu khoa học tìm hiểu ứng dụng toán, đặc biệt tìm hiểu sâu hơn lý thuyết dàn ứng dụng mật mã Nhiệm vụ nghiên cứu Đề tài nghiên cứu nhằm sâu khai thác làm bật tính chất đặc trưng dàn ứng dụng dàn mật mã Phương pháp nghiên cứu Đề tài hoàn thành dựa kết hợp phương pháp: nghiên cứu lý luận, phân tích, tổng hợp, đánh giá Bố cục nghiên cứu Ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục tài liệu tham khảo, khóa luận bao gồm chương • Lý thuyết dàn • Ứng dụng dàn mật mã Xin chân thành cảm ơn! Chương Lý thuyết dàn Sự an toàn tất hệ thống mã hóa khóa công khai quen thuộc trực tiếp hay gián tiếp dựa khó khăn tìm logarit rời rạc nhóm hữu hạn Luận văn nghiên cứu loại toán khó phát sinh lý thuyết dàn sử dụng sở cho hệ thống mã hóa khóa công khai Không gian vectơ V trường số thực R tập hợp vectơ có tính chất cộng vectơ nhân vectơ với số thực Dàn trường hợp riêng không gian vectơ với phép nhân tập số nguyên 1.1 Hệ thống mã hóa đồng dư khóa công khai Phần mô tả mô hình hệ thống mã hóa khóa công khai thực dựa dàn hai chiều Trên thực tế, hệ thống không an toàn số chiều thấp Hệ thống mô tả sau: Alice chọn tham số số nguyên dương lớn q hai số nguyên dương f g thỏa mãn : f< q/2, q/4 < g < q/2 gcd(f, q) = h ≡ f −1 g(mod q) với < h < q Sau tính Khóa luận tốt nghiệp Kiều Hương Thùy √ Chú ý f g nhỏ so với q, chúng O q số lượng h nói √ chung lớn đáng kể O q Khóa riêng Alice cặp số nguyên f g khoá công khai số nguyên h lớn Để gửi tin nhắn, Bob chọn rõ m số nguyên ngẫu nhiên r ( khoá thay đổi ) thỏa mãn bất đẳng thức 0[...]... Tiếp theo Eve áp dụng thuật toán Babai (Định lý 1.6.1) tìm một vectơ dàn v = (79081423, 35617459, -11035471) mà gần với e Cuối cùng, Eve viết v về các vectơ dàn ban đầu, v = -86w1 + 35w2 + 32w3 , mà lấy bản rõ của Bob m = (-86, 35, 32) 32 Khóa luận tốt nghiệp Kiều Hương Thùy KẾT LUẬN Trong đề tài này em đã trình bày về lý thuyết dàn, cùng với đó là những ứng dụng của dàn trong mật mã Hơn nữa, sau một... đảo ngược vai trò của m và r nên bản mã có dạng e = rW + m Alice tìm rW bằng cách tính vectơ dàn gần nhất với e rồi phục hồi bản rõ m = e - rW 26 Chương 2 Ứng dụng của dàn trong mật mã 2.1 Thuật toán giảm dàn 2.1.1 Giảm dàn Gauss trong 2 chiều Giả sử L ⊂ R2 là một dàn 2 chiều với vectơ cơ sở v1 và v2 Đổi chỗ v1 và v2 nếu cần thiết, ta có thể giả định v1 < v2 làm cho v2 nhỏ hơn bằng cách trừ đi một bội... chung q và h, và Eve muốn phục hồi khóa công khai f Một cách cho Eve tìm khóa riêng là tìm vectơ nhỏ trong dàn L được tạo ra bởi v1 = (1, h) và v2 = (0, q), 30 Khóa luận tốt nghiệp Kiều Hương Thùy vì vectơ (f, g) trong L và nó có khả năng là các vectơ khác không ngắn nhất trong L Minh họa bằng cách phá vỡ Ví dụ 1.1.1: q = 122430513841 và h = 39245579300 Áp dụng dàn giảm Gauss mệnh đề 2.1.1 vào dàn tạo... nhất trong một dàn Ví dụ, trong Z2 , tất cả bốn vectơ (0, ±1) và (±1, 0) là những cách giải đến SVP Ta đã thấy tại mục 1.1 và 1.2 là một giải pháp cho SVP có thể được sử dụng để phá vỡ hệ thống mã hóa khác nhau Cả SVP và CVP là những bài toán khó như dàn n chiều Trong thực tế, CVP được coi có "một chút khó khăn hơn" so với SVP Ví dụ, (n+1) chiều SVP sử dụng để giải quyết các hệ mã hóa xếp ba lô mã tại... 546 = 0 2.2.3 Áp dụng LLL cho GGH Áp dụng LLL đến Ví dụ 1.7.1, trong đó dàn chung L của Alice tạo ra bởi hàng w1 , w2 , w3 của ma trận   −4179163 −1882253 583183   −3184353 −1434201 444361 −5277320 −2376852 736426 và thông điệp được mã hóa của Bob là e = (- 79081427, -35617462, 11035473) Eve muốn tìm một vectơ trong L gần đến e Đầu tiên áp dụng LLL (Định lý 2.1.1) vào dàn L và tìm cơ sở bán... 39245579300) và (0, 122430513841) Thuật toán có 11 lần lặp tìm cơ sở ngắn (-231231, -195698) và (-368222, 217835) Khóa riêng của Alice là f = 231231 và g = 195698 2.2.2 Áp dụng LLL cho xếp ba lô Bài toán dàn sử dụng LM,S với cơ sở cho bởi hàng của ma trận (1.4) Minh họa việc sử dụng thuật toán LLL để giải bài toán xếp ba lô M = (89, 243, 212, 150, 245) và S = 546 xét trong Ví dụ 1.2.3 Ta áp dụng LLL vào dàn. .. r ngẫu nhiên giữa −δ và δ, δ là nơi cố định tham số chung Sau đó ông tính toán vectơ n m i wi + r e = mW + r = i=1 là bản mã của Bob Chú ý e không phải là một điểm dàn, nhưng nó gần đến điểm dàn mW khi r nhỏ Alice sử dụng thuật toán Babai được mô tả trong định lý 1.6.1, với các cơ sở tốt v1 , , vn để tìm một vectơ trong L gần e Khi Alice sử dụng một cơ sở tốt và r nhỏ, các vectơ dàn Alice tìm là mW... tự nhiên là n chiều CVP 1.5.2 Định lý Hermite Thời gian tìm vectơ khác không ngắn nhất trong một dàn L phụ thuộc vào mức độ về chiều và cơ sở của L Các kết quả tiếp theo được cho trên ràng buộc về số hạng của dim(L) và det(L) cho các vectơ khác không ngắn nhất trong L Định lý 1.5.1 (Định lý Hermite) Mỗi dàn L có n chiều chứa một giá trị vectơ khác không v ∈ L thỏa mãn √ ||v|| ≤ ndet(L)1/n Chú ý 1.5.2... trong hình 2.2 kết thúc trong hữu hạn bước và trả về một LLL giảm cơ sở cho L Chính xác hơn, ta cho B = max vi thì thuật toán thực hiện các vòng lặp k (Bước [4] − [14]) không hơn O(n2 logn + n2 logB) lần Đặc biệt, các thuật toán LLL là một thuật toán đa thức thời gian 2.2 Ứng dụng của LLL để giải mã 2.2.1 Hệ mã hóa đồng dư Alice chọn một mođun q, hai số nguyên bí mật nhỏ f và g, và khoá công khai là số... 1.1: Hai cơ sở khác nhau cho dàn giống nhau Ví dụ 1.6.1 Cho L ⊂ R2 là dàn đưa ra bởi các cơ sở v1 = (137, 312) và v2 = (215, −187) ta sẽ sử dụng một thuật toán của Babai (Định lý 1.6.1) tìm một vectơ trong đó L là gần với vectơ w = (53172, 81743) 22 Khóa luận tốt nghiệp Kiều Hương Thùy Bước đầu tiên để thể hiện w là kết hợp tuyến tính của v1 và v2 sử dụng tọa độ thực ta sử dụng đại số tuyến tính Như ... Áp dụng LLL cho GGH 32 MỞ ĐẦU Lí nghiên cứu Lý thuyết dàn có nhiều ứng dụng thực tiễn Việc nghiên cứu lý thuyết dàn có ứng dụng quan trọng, đặc biệt ứng dụng. .. ứng dụng mật mã. " Mục đích nghiên cứu Quá trình thực đề tài giúp em bước đầu làm quen với việc nghiên cứu khoa học tìm hiểu ứng dụng toán, đặc biệt tìm hiểu sâu hơn lý thuyết dàn ứng dụng mật mã. .. liệu tham khảo, khóa luận bao gồm chương • Lý thuyết dàn • Ứng dụng dàn mật mã Xin chân thành cảm ơn! Chương Lý thuyết dàn Sự an toàn tất hệ thống mã hóa khóa công khai quen thuộc trực tiếp hay