www.vnmath.com A THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN I/ Các cơng thức thể tích khối đa diện: THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ: V= B.h  B : d ie än tíc h đ a ùy h với   h : c h ie àu c a o B a) Thể tích khối hộp chữ nhật: V = a.b.c với a,b,c ba kích thước b) Thể tích khối lập phương: V = a3 với a độ dài cạnh THỂ TÍCH KHỐI CHĨP: V= a c b a a a Bh h  B : diện tích đáy với   h : chiều cao B TỈ SỐ THỂ TÍCH TỨ DIỆN: Cho khối tứ diện SABC A’, B’, C’ điểm tùy ý thuộc SA, SB, SC ta có: VSA BC VSA ' B ' C '  SA SB SC SA ' SB ' SC ' S C' A' A B' C B Chú ý: 1/ Đường chéo hình vng cạnh a d = a , Đường chéo hình lập phương cạnh a d = a , Đường chéo hình hộp chữ nhật có kích thước a, b, c d = a  b2  c , a 3/ Hình chóp hình chóp có đáy đa giác cạnh bên ( có đáy đa giác đều, hình chiếu đỉnh trùng với tâm đáy) 4/ Lăng trụ lăng trụ đứng có đáy đa giác BÀI TẬP Bài 1: Cho hình chop S.ABC có đáy tam giác ABC vng B, đường thẳng SA vng góc với mp ( ABC), biết AB = a, BC = a SA = 3a a) Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a b) Gọi I trung điểm cạnh SC, tính độ dài đoạn BI theo a Bài 2: Cho hình chóp tam giác S ABC có cạnh đáy a, cạnh bên 2a Gọi I trung điểm BC a) Chứng minh SA vng góc với BC b) Tính thể tích khối chóp S ABI theo a Bài 3: Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác vng B, cạnh bên SA vng góc với đáy Biết SA=AB=BC= a Tính thể tích khối chóp S.ABC 2/ Đường cao tam giác cạnh a h = www.vnmath.com Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, cạnh bên SA vng góc với đáy, cạnh bên SA a a) Tính thể tích khối chóp S ABCD b) Chứng minh trung điểm cạnh SC điểm cách đỉnh hình chóp S ABCD Bài 5: Cho hình chóp S ABC có SA, AB, BC vng góc với đơi Biết SA = a, AB =BC= a Tính thể tích khối chóp S ABC Bài 6: Cho khối chóp S.ABC có hai mặt ABC SBC hai tam giác nằm hai mp vng góc Biết BC =1, tính thể tích khối chóp S.ABC Bài 7: Cho khối chóp S ABC có đáy ABC tam gíac vng cân A hình chiếu vng góc S lên ( ABC) trùng với trọng tâm G tam giác ABC Biết SA hợp với đáy góc   600 Tính thể tích khối chóp S.ABC Bài 8: Cho khối chóp S.ABCD, có đáy ABCD hình thoi , ABC va SAC hai tam giác cạnh a, SB =SD Tính thể tích khối chóp S ABCD Bài 9: Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, cho SA vng góc với mặt đáy (ABCD) Biết SA =2a, AB = a, BC =3a Tính thể tích khối chóp S ABC Bài 10: Cho khối chóp S ABCD , có đáy ABCD hình thang vng A B , Cho SA vng góc với mặt đáy (ABCD) , SA = AD = 2a AB =BC = a Tính thể tích khối chóp S ABCD Bài 11: Cho hình chop S ABCD có đáy hình vng cạnh a, SA vng góc với mặt đáy (ABCD) , góc SC đáy (ABCD) 45 Tính thể tích khối chóp S.ABCD Bài 12: Cho khối chóp S.ABC có đáy tam giác vng A, AB =a, AC =2a Đỉnh S cách A,B,C, mặt bên (SAB) hợp với mặt đáy (ABC) góc 60 Tính thể tích khối chóp S.ABC HD : 12: Bài 13: Cho khối lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy tam giác cạnh a, cạnh bên a hình chiếu ( vng góc ) A’ lên (ABC) trùng với trung điểm BC Tính thể tích khối lăng trụ ,từ suy thể tích khối chóp A’ ABC HD: Bài 14: Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có đáy tam giác cạnh a, cạnh bên hợp với đáy góc 60 , A’ cách A,B,C Chứng minh BB’C’C hình chữ nhật tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ HD: www.vnmath.com Bài 15: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy tam giác vng A, AC = b, ACB  600 Đường chéo BC’ mặt bên BB’C’C tạo với mặt phẳng ( AA’C’C) góc 300 a) Chứng minh tam giác ABC ' vng A b) Tính độ dài đoạn AC’ c) Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ từ suy thể tích khối chóp C’.ABC HD: Bài 16: Cho khối lăng trụ ABC.A’B’C’ tích V Gọi M , N trung điểm hai cạnh AA’ BB’ Mặt phẳng (C’MN) chia khối lăng trụ cho thành hai phần a)Tính thể tích khối chóp C’.ABC theo V b) Tính thể tích khối chóp C’ ABB’A’ theo V c) Tính thể tích khối chóp C’ MNB’A’ theo V d) Tính tỉ lệ thể tích hai khối chóp C’ MNB’A’ ABC.MNC’ 17 Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy tam giác ABC vng B Biết BB’ = AB = h góc B’C với mặt đáy  a) CMR: g(BCA) = g(B’CB) tính thể tích khối lăng trụ b) Tính diện tích thiết diện tạo nên mp(ACB’) cắt hình lăng trụ 18 Một hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy tam giác cạnh a, cạnh bên BB’ = a, chân đường vng góc hạ từ B’ xuống đáy ABC trùng với trung điểm I cạnh AC a) Tính góc cạnh bên với đáy tính thể tích lăng trụ b) CMR: mặt bên AA’C’C hình chữ nhật 19.Hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC tam giác vng A, AC = b, góc C = 600 Đường chéo BC’ mặt bên (BB’C’C) tạo với mặt phẳng (AA’C’C) góc 30 a) Tính độ dài đoạn AC’ b) Tính thể tích lăng trụ 20 Cho khối hộp ABCD.A’B’C’D’ có tất cạnh a ba góc đỉnh A 600 Tính thể tích khối hộp theo a 21 Cho khối lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC tam giác cạnh a, điểm A’ cách ba điểm A, B, C, cạnh bên AA’ tạo với mặt đáy góc 600 a) Tính thể tích khối lăng trụ b) CMR: mặt bên BCC’B’ hình chữ nhật c) Tính tổng diện tích mặt bên lăng trụ(Gọi diện tích xung quanh) 22 Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ Gọi M trung điểm AA’ Mặt phẳng qua M, B’, C chia khối lăng trụ thành hai phần Tính tỉ số thể tích hai phần 23 Cho hình lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ có tất cạnh a a) Tính thể tích khối tứ diện A’.BB’C b) Mặt phẳng qua A’B’ trọng tâm tam giác ABC, cắt AC BC E F Tính thể tích khối chóp C.A’B’FE 24 Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ Tính tỉ số thể tích khối tứ diện ACB’D’ thể tích khối hộp 25 Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’, gọi O giao điểm AC BD Tính tỉ số thể tích khối chóp O.A’B’C’D’ khối hộp cho www.vnmath.com 26 Đáy khối chóp tam giác vng cân có cạnh góc vng a Mặt bên qua cạnh huyền vng góc với đáy, mặt bên tạo với đáy góc 450 a) CMR chân đường cao khối chóp trùng với trung điểm cạnh huyền b) Tính thể tích khối chóp 37 Cho khối chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy a góc ASB  CMR: đường cao a a khối chóp h = cot  tính thể tích khối chóp 2 28 Cho khối chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy a, góc cạnh bên với đáy 600 a) Tính thể tích khối chóp b) Tính góc mặt bên tạo với đáy 29 Cho tứ diện S.ABC có đáy ABC tam giác cân B, AC = a, SA  (ABC), góc cạnh bên SB đáy 60 a) Chứng minh BC  (SAB) b) Tính thể tích tứ diện SABC 30 Cho hình chóp tứ giác SABCD có cạnh đáy a góc mặt bên hợp với đáy góc 600 a) Tính thể tích khối chóp b) Tính khoảng cách AB mp(SCD) 31 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a, cạnh bên SA  (ABC), góc mặt bên (SBC) đáy 600 a) Tính thể tích khối chóp b) Xác định điểm I cách đỉnh hình chóp tính IA 32 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, gọi I trung điểm AB, SI  (ABCD), góc mặt bên (SCD) đáy 600 Tính thể tích khối chóp 33 Cho hình chóp tam giác O.ABC có ba cạnh OA, OB, OC đơi vng góc với OA = a, OB = b, OC = c Tính đường cao OH hình chóp 34 Cho tam giác ABC vng cân A AB = a Trên đường thẳng qua C vng góc với (ABC) lấy điểm D cho CD = a Mặt phẳng qua C vng góc với BD, cắt BD F cắt AD E Tính thể tích khối tứ diện CDEF 35 Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy AB = a Các cạnh bên SA, SB, SC tạo với đáy góc 60 o Gọi D giao điểm SA với mặt phẳng qua BC vng góc với SA a) Tính tỉ số thể tích hai khối chóp S.DBC S.ABC b) Tính thể tích khối chóp S.DBC 36 Cho hình chóp tam giác S.ABC có AB = 5a, BC = 6a, CA = 7a Các mặt bên SAB, SBC, SCA tạo với đáy góc 60 o Tính thể tích khối chóp 37 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, đáy hình vng cạnh a, cạnh bên tạo với đáy góc 60o Gọi M trung điểm SC Mặt phẳng qua AM song song với BD, cắt SB E cắt SD F Tính thể tích khối chóp S.AEMF B MẶT NĨN, MẶT TRỤ, MẶT CẦU I) MẶT NĨN, HÌNH NĨN, KHỐI NĨN: 1) Mặt nón: Cho hai đường thẳng  d cắt O tạo thành góc  (0 <  < 90 0) Mặt tròn xoay sinh đường thẳng d quay quanh đường thẳng  gọi mặt nón * d: đường sinh * : trục * O đỉnh * 2: góc đỉnh 2) Hình nón: Hình nón tròn xoay hình sinh tam giác vng quay quanh cạnh www.vnmath.com góc vng * Diện tích xung quanh: Sxq =  rl l: độ dài đường sinh r: bán kính đường tròn đáy 3) Khối nón: Hình nón với phần gọi khối nón * Thể tích khối nón: V=  r2h h: độ dài đường cao r: bán kính đường tròn đáy II) MẶT TRỤ, HÌNH TRỤ, KHỐI TRỤ: 1) Mặt trụ: Cho hai đường thẳng  d song song cách khoảng r Mặt tròn xoay sinh đường thẳng d quay quanh  gọi mặt trụ * d: đường sinh * : trục 2) Hình trụ: Hình trụ tròn xoay hình sinh hình chữ nhật quay quanh cạnh * Diện tích xung quanh: Sxq =  rl l: độ dài đường sinh r: bán kính đường tròn đáy 3) Khối trụ: Hình trụ với phần gọi khối trụ * Thể tích khối nón: V= r2 h h: độ dài đường cao r: bán kính đường tròn đáy  Chú ý: khối trụ h = l III) MẶT CẦU, HÌNH CẦU, KHỐI CẦU: 1) Mặt cầu: Cho điểm O cố định số thực r Tập hợp điểm M khơng gian cách điểm O khoảng r gọi mặt cầu tâm O bán kính r Kí hiệu: Chú ý: * * * S(O,r) = M OM  r OA > r  A nằm ngồi (S) OA < r  A nằm (S) OA = r  A nằm (S) 2) Vị trí tương đối mặt phẳng mặt cầu: Cho mặt cầu S(O,r) mặt phẳng (P) Gọi H hình chiếu O mp(P) d= OH khoảng cách từ O đến mp(P) * d > r  (P) khơng cắt (S) hay (P)  (S) =  * d = r  (P) tiếp xúc (S) H Khi đó: (S): tiếp diện, (H): tiếp điểm * d < r  (P) cắt (S) theo đường tròn (C) có tâm H, bán kính r2  d2 www.vnmath.com  Chú ý: d = hay O  H (P) cắt (S) theo đường tròn C(O, r) 3) Vị trí tương đối đường thẳng mặt cầu: Cho mặt cầu S(O,r) đường thẳng  Gọi H hình chiếu O  d= OH khoảng cách từ O đến  * d > r   khơng cắt (S) hay   (S) =  * d = r   tiếp xúc (S) H Khi đó: : tiếp tuyến, (H): tiếp điểm * d < r  (P) cắt (S) hai điểm phân biệt A, B 4) Diện tích xung quanh hình cầu, thể tích khối cầu: * Diện tích xung quanh hình cầu: Sxq =  r2 * Thể tích khối cầu: V =  r3 BÀI TẬP 1) Cho hình nón tròn xoay có đường cao h = 20 cm, bán kính đáy r = 25 cm a) Tính diện tích xung quanh hình nón cho b) Tính thể tích khối nón c) Một thiết diện qua đỉnh hình nón có khoảng cách từ tâm đáy đến mặt phẳng chứa thiết diện 12 cm Tính diện tích thiết diện 2) Một hình trụ có bán kính đáy r = 5cm có khoảng cách hai đáy 7cm a) Tính diện tích xung quanh hình trụ thể tích khối trụ b) Cắt khối trụ mặt phẳng song song vói trục cách trục 3cm Tính diện tích thiết diện tạo nên 3) Cắt hình nón mặt phẳng qua trục ta thiết diện tam giác cạnh 2a.Tính diện tích xung quanh thể tích hình nón 4) Một hình trụ có bán kính đáy r chiều cao h = r a) Tính diện tích xung quanh diện tích tồn phần hình trụ b) Tính thể tích khối trụ c) Cho hai điểm A, B nằm hai đường tròn đáy cho góc AB trục hình trụ 300 Tính khoảng cách AB trục hình trụ 5) Cắt hình nón đỉnh S mặt phẳng qua trục ta tam giác vng cân có cạnh huyền a a) Tính diện tích xung quanh, diện tích đáy thể tích khối nón b) Cho dây cung BC đường tròn đáy hình nón cho mặt phẳng (SBC) tạo với mặt phẳng chứa đáy hình nón góc 60 Tính diện tích tam giác SBC 6) Mặt phẳng qua trục hình trụ, cắt hình trụ theo thiết diện hình vng cạnh 2R a) Tính diện tích xung quanh diện tích tồn phần hình trụ b) Tính thể tích khối trụ c) Tính thể tích khối lăng trụ tứ giác nội tiếp hình trụ 7) Một khối nón có góc đỉnh 1200 có bán kính đáy r Tính diện tích thiết diện qua hai đường sinh vng góc với 8) Một khối lăng trụ đứng có chiều cao h có đáy tam giác cạnh a Tính thể tích khối trụ ngoại tiếp khối lăng trụ 9) Một khối tứ diện có cạnh a nội tiếp khối nón Tính thể tích khối nón 10) Một khối trụ gọi nội tiếp khối cầu hai đường tròn đáy khối trụ nằm mặt khối cầu a) Tính diện tích xung quanh thể tích khối trụ nội tiếp khối cầu bán kính R biết đường cao khối trụ h b) Tính giá trị lớn thể tích khối trụ nội tiếp khối cầu bán kính R cho trước 11) Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a a) Tính diện tích xung quanh thể tích của khối trụ có đường tròn hai đáy ngoại tiếp hình vng ABCD A’B’C’D’ www.vnmath.com b) Tính diện tích xung quanh thể tích khối nón có đỉnh tâm O hình vng ABCD đáy đường tròn nội tếp hình vng A’B’C’D’ 12) Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a Xác định tâm bán kính mặt cầu qua đỉnh hình lập phương cho 13) Cho tứ diện D.ABC có DA  (ABC) DA = 5a, tam giác ABC vng B AB = 3a, BC = 4a Xác định tâm bán kính mặt cầu qua bốn đỉnh tứ diện 14) Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy a, cạnh bên b Xác định tâm bán kính mặt cầu qua đỉnh hình chóp 15) Cho tứ diện D.ABC có DA  (ABC) DA = 4a, tam giác ABC vng B AB = 6a, BC = 8a Xác định tâm bán kính mặt cầu qua bốn đỉnh A, B, C, D tứ diện 16) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SA  (ABCD) SA = 2a, Xác định tâm bán kính mặt cầu qua đỉnh S, A, B, C, D 17) Cho hình chóp tứ giác SABCD có cạnh đáy a, cạnh bên b Xác định tâm bán kính mặt cầu qua đỉnh S, A, B, C, D 18) Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có tất cạnh a a) Xác định tâm bán kính mặt cầu qua đỉnh lăng trụ b) Tính diện tích mặt cầu thể tích khối cầu tương ứng 19) Cho hình chóp SABCD có đáy hình vng cạnh a, SA  (ABCD) Dựng mp(P) qua A vng góc với SC Mặt phẳng (P) cắt SB, SC, SD B’, C’, D’ a) CMR: điểm A, B, C, D, A’, B’ C’, D’ ln nằm mặt cầu b) Tính diện tích mặt cầu thể tích khối cầu tạo thành 20) Cho hình chóp tam giác SABC có cạnh đáy a, mặt bên hợp với đáy góc 600 a) Xác định tâm bán kính mặt cầu qua đỉnh lăng trụ b) Tính diện tích mặt cầu thể tích khối cầu tương ứng 21) Cho hình chóp SABC có SA = SB = SC = a có chiều cao h a) Xác định tâm bán kính mặt cầu qua đỉnh lăng trụ b) Tính diện tích mặt cầu www.vnmath.com PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN I : HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN A KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1.Hệ tọa độ khơng gian Hệ gồm ba trục Ox, Oy, Oz đội vng góc gọi hệ trục tọa độ vng góc khơng gian    Nếu ta lấy ba vectơ đơn vị i , j , k Ox, Oy, Oz thì: 2 2 2 i  j  k 1, 2.Tọa độ điểm vectơ       i j  j k  k i     M(x ; y ; z)  OM  x i  y j  z k      u  ( x; y; z )  u  x i  y j  z k Cho A(x1; y1; z1), B(x2; y2; z2)  AB  ( x2  x1 ; y  y1 ; z  z1 ) 3.Vectơ Tọa độ vectơ tổng, hiệu   Cho u  ( x1 ; y1 ; z1 ), v  ( x2 ; y ; z )  x1  x    * u  v   y1  y z  z    * u  v  ( x1  x ; y1  y ; z1  z )  * k u  (kx1 ; ky1 ; kz1 ) k  R   * m u  n v  (mx1  nx2 ; my1  ny2 ; mz1  nz ) (m, n  R) 4.Hai vectơ phương  x2  kx1         x y z  u, v phương ( u // v )(u  )  k  R : v  k u   y  ky1    x1 y1 z1  z  kz  5.Chia đọan thẳng theo tỉ số cho trước x A  kx B  xM   k  y  ky B  M chia đọan AB theo tỉ số k   MA  k MB   y M  A 1 k  z A  kz B  z M   k   x  xB y A  y B z A  z B  M trung điểm AB M  A ; ;  2   6.Tích vơ hướng hai vectơ   Cho hai vectơ u  ( x1 ; y1 ; z1 ), v  ( x2 ; y ; z )       u v | u || v | cos u , v   x1 x  y1 y  z1 z    | u | 2 u  x12  y12  z12 AB = AB  ( x B  x A )  ( y B  y A )  ( z B  z A ) www.vnmath.com     cos(u , v )  u.v  x1 x2  y1 y  z1 z   x12  y12  z12 x 22  y 22  z 22 | u || v |      (| v | , | v | )  u  v  x1 x  y1 y  z1 z  7.Tích có hướng hai vectơ    y z z x x y1 [ u , v ]   1 ; 1 ;  y z z x x2 y           [ u , v ]  u , [u , v ]  v       | [u , v ] || u || v | sin( u , v )      u, v phương  [u , v ]        u , v , w đồng phẳng  [u , v ] w  8.Các ứng dụng S ABC  AB , AC     V ABCD A'B 'C 'D '  AB, AD AA' V ABCD    AB , AC AD Mặt cầu - Mặt cáu tâm I(a ; b ; c) có bán kính R có phương trình: (x – a)2 + (y – b)2 + (z – c)2 = R2 - Ngược lại, phương trình: x + y2 + z2 + 2ax + 2by + 2cz + d =0 phương trình mặt cầu có điều kiện : a2 + b + c2 > d Khi I( -a ; -b; -c) tâm mặt cầu bán kính R = a2  b2  c2  d www.vnmath.com II.PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG I.KIẾN THỨC CẦN NHỚ Vectơ pháp tuyến mặt phẳng   * vectơ n  gọi VTPT mp(  ) nằm đường thẳng vng góc với mp(  ) , viết  tắt n  ( )   * Nếu u  ( x1 ; y1 ; z1 ), v  ( x ; y ; z ) khơng phương đường thẳng chứa chúng song song   với (hoặc nằm trên) mp(  ) ( u, v gọi cặp vectơ phương mp(  ) ) :     y1 n  u , v       y2  z1 z2 ; z1 x1 z2 x2 ; x1 x2 y1   y  VTPT mp(  ) Phương trình tổng qt: Ax + By + Cz + D = với A2 + B2 + C2   VTPT n  ( A ; B ; C) qua M ( x0 ; y0 ; z ) mp ( ) :   mp ( ) : A( x  x0 )  B( y  y )  C ( z  z )   VTPT n  ( A ; B ; C ) Trường hợp đặc biệt Cho mp(  ) : Ax + By + Cz + D = Khi đó: * D =  (  ) qua gốc tọa độ * C = , D   ( ) song song với trục Oz C = D =  ( ) chứa trục Oz * B = C = , D   ( ) song song với mp(Oyz) * B = C = D =  ( ) mp(Oyz) ( Các trường hợp khác suy tương tự) Vị trí tương đối hai mặt phẳng Cho hai mặt phẳng ( ) : Ax + By + Cz + D = ( ' ) : A’x + B’y + C’z + D’ = A B C D ( ) //( ' )     A' B ' C ' D ' A B C D ( )  ( ' )     A' B ' C ' D' A B B C C A ( )  ( ' )   hay  hay  A' B ' B' C' C ' A' ( )  ( ' )  AA' BB 'CC '   Chú ý: Ta quy ước “ phân số” có “ mẫu số “ “tử số “cũng Phương trình theo đọan chắn mặt phẳng Mp(  ) cắt Ox A(a ; ; 0), cắt Oy B(0 ; b ; 0), cắt Oz C(0 ; ; c) có phương trình là: x y z    , abc  a b c Góc hai mặt phẳng Cho hai mặt phẳng ( ) : Ax + By + Cz + D = ( ' ) : A’x + B’y + C’z + D = Gọi  góc hai mặt phẳng, ta có: cos   AA' BB'CC ' A  B  C A'  B' C ' 10 www.vnmath.com x 1 y 1 z d:   Viết phương trình tắc đường thẳng qua điểm M, 1 thẳng d tìm toạ độ điểm M’ đối xứng với M qua d  x   2t ĐS:d  y  1  t M’ ( z  t  cắt vng góc với đường ; ; ) 3 16 Trong khơng gian toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x – y – 5z + = hai đường thẳng d1: x 1 y 1 z    , d2: x2 y2 z   2 Viết phương trình đường thẳng d vng góc với (P) đồng thời cắt hai đường thẳng d1 d2  x   2t ĐS:d:  y  4t  z   5t   x   2t  17.Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(2 ; ; 0) đường thẳng d có phương trình:  y  1  t z   t  Viết phương trình tham số đường thẳng qua điểm M, cắt vng góc với đường thẳng d x   t ĐS:  y   4t  z  2t  x y 1 z    mặt phẳng (P): x + 3y + 2z + = Lập phương trình đường thẳng d qua điểm M(2; 2; 4), song song với mặt phẳng (P) cắt x 1 y  z  đường thẳng d d ':   1  x   2t  19 Trong kgvới hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(2 ; ; 0) đường thẳng d có phương trình:  y  1  t z   t  18 Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz cho, đường thẳng d : Viết ptrtham số đường thẳng qua điểm M, cắt vng góc với đường thẳng d x   t ĐS:  y   4t z  2t  20 Trong khơng gian cho điểm A(-4;-2;4) đường thẳng (d) có phương trình: x = -3 + 2t; y = - t; z = -1 + 4t; t  R Viết phương trình đường thẳng () qua A; cắt vng góc với (d)  x  1  3t ĐS:  y  2t z   t  21 Cho hai đường thẳng có phương trình: d1 : x2 z 3  y 1  x   t  d :  y   2t z   t  Viết phương trình đường thẳng cắt d1 d2 đồng thời qua điểm M(3;10;1)  x   2t ĐS:  y  10  10t   z   2t  x2 z 3 22.Cho hai đường thẳng có phương trình: d1 :  y 1  19 x   t  d :  y   2t z  1 t  www.vnmath.com Viết phương trình đường thẳng cắt d1 d2 đồng thời qua điểm M(3;10;1)  x   2t ĐS:  y  10  10t   z   2t  Xét vị trí tương đối đường thẳng 1.Xét vị trí tương đối cặp đường thẳng x 1 y  z  x  y 1 z  a) d :   , d ':   2 x 1 y  z x y 8 b) d :   , d ':   z4 2 2 x2 y z 1 x7 y2 z c) d :   , d ':   6 8 6 12  x  9t  d) d :  y  5t , d’ giao tuyến mp(P): 2x – 3y – 3z – =  z  3  t  mp(Q):x – 2y + z + = Xét vị trí tương đối đường thẳng mặt phẳng x  12 y  a) d :   z  (  ) : 3x + 5y – z – = x 1 y  z b) d : ( ) : 3x – 3y + 2z – =   x  y 1 z  c) d : (  ) : x + 2y – 4z + =    x   2t x   t'   Cho hai đường thẳng d :  y  1  t , d ' :  y  t ' z   t  z  7  3t '   a) Chứng minh d d’ chéo vng góc b) Viết phương trình mp(P) qua d’ vng góc d Tìm tọa độ giao điểm d (P) 3 x  y  5z  x 1 y z 1 4.CM hai đường thẳng sau vuông góc cắt không?    2 2 x  y  z   x  t  x 1 y  z   Cho hai đường thẳng d :   , d ' :  y  4  t 2 1    z   t a) Chứng minh d d’ chéo b) Tính khỏang cách d d’ c) Lập phương trình đường thẳng  qua M(-4 ; -5 ; 3) cho  cắt d d’ Trong khơng gian Oxyz Cho mặt phẳng (P): x+y-2z+4=0 mặt cầu (S): x  y  z  x  y  z   Viết phương trình tham số đường thẳng (d) tiếp xúc với (S) A(3;-1;1) song song với mặt phẳng (P) ĐS:  :  x   4t   y  1  6t z   t  20 www.vnmath.com Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng : x2 y2 z mặt phẳng (P): x + 2y – 3z +   1 1 = Viết phương trình đường thẳng d nằm (P) cho d cắt vng góc với đường thẳng  ĐS: x  y 1 z 1   1 Trong khơng gian với hệ tọa độ Đêcác vng góc Oxyz cho mp(P) : x – 2y + z – =  x   2t x 1  y z   hai đường thẳng : (d) (d’)  y   t   1 z   t  Viết phương trình tham số đường thẳng (  ) nằm mặt phẳng (P) cắt hai đường thẳng (d) (d’) CMR (d) (d’) chéo tính khoảng cách chúng x  t Trong kg Oxyz cho hai đường thẳng : (d)  y   2t  (d’) z   5t  x  t   y  1  2t z  3t  CMR hai đường thẳng (d) (d’) cắt x  y z 1   2 vng góc với đường thẳng d  : x  2  2t ; y  5t ; z   t ( t  R ) x 1 y 1 z 1 ĐS:   1 10 Viết phương trình đường thẳng (d) qua M(1;1;1),cắt đường thẳng d1  : Khoảng cách Tính khỏang cách từ M0(2 ; ; 1) đến đường thẳng  : x  y 1 z 1   2 x  t  Cho đường thẳng  :  y  t mp(P): 2x + y – z + = Chứng tỏ  //(P ) Tính khỏang cách từ   z   3t  đến mp(P) Tính khỏang cách cặp đường thẳng x   t  x   3t '   a) d :  y  1  t , d ' :  y  2  3t ' z   z  3t '   x 1 y  z  x  y 1 z 1 b) d :   , d ':   2 4 2 x  y  z 1 Bài Trong khơng gian toạ độ cho đường thẳng d:   mặt phẳng (P): x + y + z + = Gọi M 1 giao điểm d (P) Viết phương trình đường thẳng  nằm mặt phẳng (P), vng góc với d đồng thời thoả mãn khoảng cách từ M tới  42 Góc đường thẳng Tìm góc cặp đường thẳng  x   2t x   t '   a) d :  y  1  t , d ' :  y  1  3t '  z   4t  z   2t '   b) d : x  y 1 z  x 1 y  z    , d ':   1 21 www.vnmath.com Tính góc đường thẳng mặt phẳng  x   2t  a) d :  y  1  3t , ( ) : x  y  z   z   t  x  y 1 z    , ( ) : x  y  z   2 Một số tốn khác a) Tìm tọa độ hình chiếu vng góc điểm M 0(1 ; -1 ; 2) mặt phẳng (P): 2x – y + 2z + 12 = b) Cho ba điểm A(1 ; ; 2), B(-2 ; ; -1), C(2 ; -2 ; -1) Tìm tọa độ hình chiếu gốc tọa độ O mặt phẳng (ABC) a) Tìm tọa độ hình chiếu điểm M0(4 ; -3 ; 2) đường thẳng x2 y2 d:   z b) Cho ba điểm A(-1 ; ; 2), B(4 ; ; -3), C(5 ; -1 ; 4) Tìm tọa độ hình chiếu A đường thẳng BC a) Tìm tọa độ điểm đối xứng điểm M0(2 ; -3 ; 1) qua mặt phẳng (P): 2x + 2y –z + =  x   2t  b) Tìm tọa độ điểm đối xứng điểm M 0(2 ; -1 ; 1) qua đường thẳng d :  y  1  t  z  2t  b) d : x y 1 z 1 hai mặt phẳng (P): x + y – 2z + =   2 (P’): 2x – y + z + = Viết phương trình mặt cầu tâm I thuộc d tiếp xúc với (P) (P’) x  t x y 1 z   Cho điểm A(1 ; -1 ; 1) hai đường thẳng d :  y  1  2t , d ' :    z  3t  Chứng minh A, d, d’ thuộc mặt phẳng x y2 z4 x  y  z  10 Ch hai đường thẳng d :   , d ':   1 2 1 a) Viết phương trình đường thẳng  song song với Ox cắt d M, cắt d’ N Tìm tọa độ M, N b) Cho A thuộc d, B thuộc d’, AB vng góc với d d’ Viết phương trình mặt cầu đường kính AB b) Cho đường thẳng d :  x  1 t Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng d1:  y   2t ; (t  R ) , đường thẳng d2 giao tuyến  z   2t  hai mặt phẳng (P): 2x – y – = (Q): 2x + y + 2z – = Gọi I giao điểm d1 d2 Viết phương trình đường thẳng d3 qua A(2; 3; 1), đồng thời cắt hai đường thẳng d1 d2 B C cho tam giác BIC cân đỉnh I  x2 ĐS:d3 :  y  ; (t  R )   z   2t  ĐS:  : x 5 y  z 5   3 : x 3 y  z 5   3 7.Trong khơng gian với hệ trục toạ độ Oxyz Cho tam giác ABC có: A(1;-2;3), B(2;1;0), C(0;-1;-2) Viết phương trình tham số đường cao tương ứng với đỉnh A tam giác ABC 22 www.vnmath.com x  1 t ĐS:  y  2  4t   z   5t  Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1: d2: x  y 1 z 1   ; 1 x 1 y  z 1   mặt phẳng (P): x - y - 2z + = Viết phương trình tắc đường thẳng , biết 1  nằm mặt phẳng (P)  cắt hai đường thẳng d1 , d2 ĐS: ĐS: x 1 y z    1 x   t   y   8t  z   15t  11 Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba mặt phẳng: (P): 2x – y + z + = 0, (Q): x – y + 2z + = 0, (R): x + 2y – 3z + = x2 y 1 z = = Gọi  giao tuyến (P) (Q).Viết phương trình đường thẳng (d) 2 vng góc với (R) cắt hai đường thẳng  ,  đường thẳng  : ĐS: 23 1 y z 12  12  3 x 10 Trong khơng gian với hệ trục toạ độ Oxyz Cho tam giác ABC có: A(1;-2;3), B(2;1;0), C(0;-1;-2) Viết phương trình tham số đường cao tương ứng với đỉnh A tam giác ABC x  1 t ĐS: d:  y  2  4t   z   5t  23 www.vnmath.com IV.BÀI TỐN VỀ TÌM ĐIỂM Bài Cho mặt phẳng  P  : x  y  z   đường thẳng d1 : x 1 y  z x 5 y z 5   , d2 :   3 5 Tìm điểm M thuộc d1, N thuộc d2 cho MN song song với (P) đường thẳng MN cách (P) khoảng ĐS: t   M  3; 0;  , N  1; 4;0  Bài 2.Trong kg Oxyz, cho hai đường thẳng: ( d1 ) : ; t   M 1;3;  x y z x  y z 1 ( d ) : Tìm tọa độ điểm M     1 2 1 thuộc ( d1 ) N thuộc ( d ) cho đường thẳng MN song song với mặt phẳng  P  : x – y  z  2010  độ dài đoạn MN 4 ; ), N ( ;  ; ) 7 7 7 ĐS: M (0; 0; 0), N ( 1; 0; 1) M ( ; Bài 3.Trong khơng gian Oxyz, cho điểm A(1;0;0); B(0;2;0); C(0;0;-2) tìm tọa độ điểm O’ đối xứng với O qua (ABC) 2 O' ( ; ; ) 3 Bài 4.Trong khơng gian Oxyz cho tứ diện ABCD biết A(0; 0; 2), B(-2; 2; 0), C(2; 0; 2), DH  ( ABC ) DH  với H trực tâm tam giác ABC Tính góc (DAB) (ABC) ĐS:   arctan( / 3)  x  1  2t Bài 5.Cho hai điểm A(1;5;0), B(3;3;6) đường thẳng  có phương trình tham số  y   t  Một điểm M thay  z  2t  đổi đường thẳng  , tìm điểm M để chu vi tam giác MAB đạt giá trị nhỏ ĐS: M 1; 0;   AM  BM   29 Bài 6.Cho ba điểm A(1;5;4), B(0;1;1), C(1;2;1) Tìm tọa độ điểm D thuộc đường thẳng AB cho độ dài đoạn thẳng CD nhỏ  49 41  ; ;   26 26 26  ĐS: D  Bài 7.Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(-3; 5; -5), B(5; -3; 7) mp(P): x + y + z - = Tìm tọa độ điểm M mặt phẳng (P) cho MA2 + MB2 đạt giá trị nhỏ ĐS: M(2; 2; 2) Bài Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, xác định toạ độ tâm bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, biết A(-1; 0; 1), B(1; 2; -1), C(-1; 2; 3) ĐS: I (0; 2; 1) R  Bài Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) : x – 2y + 2z – = hai đường thẳng 1 : x 1 y z  x 1 y  z 1   ; 2 :   Xác định tọa độ điểm M thuộc đường thẳng 1 cho khoảng 1 2 cách từ M đến đthẳng 2 khoảng cách từ M đến m p (P)  18 53  ; ;   35 35 35  ĐS: M (0; 1; –3) , M  24 www.vnmath.com V MẶT CẦU 1.Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, xác định toạ độ tâm bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, biết A(-1; 0; 1), B(1; 2; -1), C(-1; 2; 3) R  IA  (1  0)2  (0  2)  (1  1)2  Viết phương trình mặt cầu có tâm I(1,2,3) có bán kính R=3 Viết phương trình mặt cầu nội tiếp Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I(-2 ; ; 1) tiếp xúc với mặt phẳng có phương trình : x + 2y – 2z + = 1.Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng:  x  3u x     d1  :  y  4  2t  d  :  y   2u  z  2 z   t   Chứng minh (d1) (d2) chéo Viết ptr mặt cầu (S) có đkính đoạn vng góc chung (d1) (d2) ĐS:  x     y     z  1  49 2  Bài 1Trong k gian với hệ tọa độ Oxyz cho tứ diện ABCD có A(1, 0, 0); B(0, 2, 0); C(0, 0, 3) D(-2; 2; -2) 1)Tính thể tích tứ diện ABCD Viết phương trình mặt phẳng (BCD) 2) Viết phương trình mặt cầu có tâm nằm đường thẳng BD đồng thời tiếp xúc với hai mặt phẳng ĐS: x + y + 2z – 2= 2x – y – z – = (BCD): 2x – 3y - 2z + = 3 27 3 27 ) + ( y - 2) + ( z + ) = ( x - ) + ( y - 2) + ( z - ) = 2 4 32 Bài 3.Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai mặt phẳng (P): 5x – 4y + z – = 0, (x +  x   7t  (Q): 2x – y + z + = 0, đường thẳng d:  y  3t Viết phương trình mặt cầu (S) cắt (Q) theo thiết diện hình  z   2t  2 ĐS:  x  1  y   z  1  tròn có diện tích 20 có tâm giao d với (P) 110 x  t  Bài 5.Cho đường thẳng (d) :  y  1 mp (P) : x + 2y + 2z + = (Q) : x + 2y + 2z + = z   t  a Viết phương trình hình chiếu (d) (P) b Lập ph.trình mặt cầu có tâm I thuộc đường thẳng (d) tiếp xúc với hai mặt phẳng (P) (Q) 2 ĐS:  x     y  1   z    Bài Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz Cho mặt cầu (S) :  x  12  y  z  2  x y 1 z Lập phương trình mặt phẳng (P) vng góc với đường thẳng a :  cắt mặt cầu (S) theo đường tròn  2 có bán kính ĐS: (P1) : x  y  z    (P2) : x  y  z    Bài 8.Trong kgian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng: d1 : x  y 1 z  x 2 y 3 z   d2 :   1 2 Viết ptrmặt cầu có bán kính nhỏ tiếp xúc với hai đường thẳng d1 d2 ĐS: 25  x  2  ( y  1)  ( z  1)  www.vnmath.com Bài Cho hai mặt phẳng  P  : x  y  2z + = 0;  Q  : x  y  2z -13 = Viết phương trình mặt cầu (S) qua gốc tọa độ O, qua điểm A(5;2;1) tiếp xúc với hai m.phẳng (P) (Q) 2 658   46   67   ĐS:  x     y     z  1   x    y  z   9 221   221   221   Bài 10.Cho mỈt cÇu (S) cã ph­¬ng tr×nh x  y  z2  x  y  z  11  vµ mỈt ph¼ng () cã ph­¬ng tr×nh 2x + 2y - z + 17 = ViÕt ph­¬ng tr×nh mỈt ph¼ng ( ) song song víi () vµ c¾t (S) theo giao tun 2 lµ ®­êng trßn cã chu vi b»ng 6 ĐS:2x + 2y – z -7 = 16 Cho mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 – 10x + 2y + 26z – 113 = hai đường thẳng  x  7  3t x  y  z  13  d:   , d ':  y  1  2t 3 z   a) Viết phương trình mp(P) tiếp xúc với (S) vng góc với d b) Viết phương trình mặt phẳng (Q) tiếp xúc (S) song song với d , d’ 26 www.vnmath.com B.BÀI TÂP     1/ Cho u  (1; ; 3), v  (2 ; ;  1), w  (4 ; ;  4) Tìm tọa độ x , biết:              a) x  u  v  w , b ) x  u  v  w , c ) u  v  w x   2/ Cho u có điểm đầu (1 ; -1 ; 3) điểm cuối (-2 ; ; 5)  Trong vectơ sau vectơ phương với u            a ) a  6 i  j  k , b ) b  j  k , c ) c  i  j  k 3/ Cho ba điểm A(2 ; ; 3), B(3 ; ; 4), C(x ; y ; 6) Tìm x, y để A, B, C thẳng hàng 4/ Cho hai điểm A(-1 ; ; 6), B(3 ; -6 ; -2) Tìm M thuộc mp(Oxy) cho MA + MB nhỏ 5/ Chứng minh bốn điểm A(1 ; -1 ; 1), B(1 ; ; 1), C(4 ; ; 1), D(4 ; -1 ; 1) đỉnh hình chữ nhật Tính độ dài đường chéo, xác định tâm hình chữ nhật đó.Tính cosin góc hai vectơ AC , BD   6/ Tính tích có hướng [ u , v ] biết        a ) u  (1 ; ;3) , v  (4 ; ; 2) b) u  i  j  k ,       c) u  (0 ; ;  2), v  (3 ; ;  4) b ) u  i  k ,      v   i  j k   v 2i j  7/ Tính [u , v ] w biết    a ) u  (0 ; ; 2), v  (4 ; ;  3), w  (1 ;  ; 2)      b) u  i  j  k ,           v  j k, w  i  j k      c) u  i  j , v  i  j  k , w  i 8/ Chứng tỏ bốn điểm sau bốn đinh hình bình hành tính diện tích hình bình hành A(1 ; ; 1), B(2 ; ; 4), C(6 ; ; 2), D(7 ; ; 5) 9/ Tìm Oy điểm cách hai điểm A(3 ; ; 0) B(-2 ; ; 1) 10)/ Tìm mặt phẳng Oxz cách ba điểm A(1 ; ; 1), B(-1 ; ; 0), C(3 ; ; -1) 11/ Cho hai điểm A(2 ; -1 ; 7), B(4 ; ; -2) Đường thẳng AB cắt mp(Oyz) điểm M Điểm M chia đọan AB theo tỉ số nào? Tìm tọa độ điểm M    12/ Xét đồng phẳng ba vectơ u , v , w trường hợp sau    a) u  (1 ;  ; 1), v  (0 ; ; 2), w  (4 ; ; 3)            b) u  i  j  k , v  i  j  k , w  i  k    13/ Cho ba vectơ u  (3 ; ; 0), v  (2 ; ; 1), w  (3 ;  ; 4)    a) Chứng minh u , v , w khơng thẳng hàng     b) Biểu thị a  (4 ;  12 ; 3) theo ba vectơ u ; v ; w     14/ a) Cho a  (1 ; m ;  1), b  (2 ; ; 3) Tìm m để a  b     b) Cho a  (1 ; log ; m), b  (3 ; log ; 4) Tìm m để a  b      c) Cho a  (2 ;  ; 0) Tìm b phương với a , biết a b  10 15/ Trong khơng gian tọa độ Oxyz cho bốn điểm A(1 ; ; 0), B0 ; ; 1), C(1 ; ; 2), D(1 ; ; 1) a) Chứng minh bốn điểm khơng đồng phẳng Tính thể tích tứ diện ABCD b) Tìm tọa độ trọng tâm tam giác ABC, trọng tâm tứ diện ABCD c) Tính diện tích mẳt tứ diện 27 www.vnmath.com d) Tính độ dài đường cao khối tứ diện e) Tính góc hai đường thẳng AB CD f) Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD 16/ Trong khơng gian tọa độ Oxyz cho ba điểm A(1 ; ; 0), B(0 ; ; 1), C(2 ; ; 1) a) Chứng minh A, B, C ba đỉnh tam giác b) Tính chu vi diện tích tam giác ABC c) Tìm tọa độ điểm D để ABCD hình bình hành d) Tính độ dài đường cao tam giác ABC e) Tính góc tam giác ABC f) Xác định tọa độ trực tâm tam giác ABC g) Xác định tọa độ tâm đường tròn ngọai tiếp tam giác ABC 17/ Cho bốn điểm A(2 ; -1 ; 6), B(-3 ; -1 ; -4), C(5 ; -1 ; 0), D(1 ; ; 1) a) Chứng minh ABC tam giác vng b) Tính bán kính đường tròn nội, ngọai tiếp tam giác ABC c) Tính độ dài đường phân giác tam giác ABC vẽ từ đỉnh C 18/ Cho tứ diện ABCD có đỉnh A(2 ; ; -1), B(3 ; ; 1), C(2 ; -1 ; 3) D thuộc trục Oy Biết VABCD = Tính tọa độ đỉnh D 19/ Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’B’ cạnh a a) Chứng minh A’C  ( AB ' D ' ) b) Gọi M trung điểm AD, N trung điểm BB’.Chứng minh A’C  MN c) Tính cosin góc hai vectơ MN AC ' d) Tính VA’CMN 20/ Viết phương trình mặt cầu trường hợp sau: a) Tâm I(1 ; ; -1), đường kính b) Đường kính AB với A(-1 ; ; 1), B(0 ; ; 3) c) Tâm O(0 ; ; 0) tiếp xúc với mặt cầu tâm I(3 ; -2 ; 4) bán kính R = d) Tâm I(2 ;-1 ; 3) qua A(7 ; ; 1) e) Tâm I(-2 ; ; – 3) tiếp xúc mp(Oxy) f) Tâm I(-2 ; ; -3) tiếp xúc trục Oy g) Tâm I(-2 ; ; -3) bán OI 21/ Trong phương trình sau phương trình phương trình mặt cầu a) x2 + y2 + z2 -2x – 6y – 8z + = b) x2 + y2 + z2 – 2y = c) 2x2 + 2y2 + 2z2 – 2x – 4y + 6z - = d) x2 + y2 + z2 – 3x + 4y – 8z + 25 = 22) Viết phương trình mặt cầu trường hợp sau: a) Đi qua ba điểm A(1 ; ; -4), B(1 ; -3 ; 1), C( ; ; 3) có tâm nằm mp(Oxy) b) Đi qua hai điểm A(3 ; -1 ; 2), B(1 ; ; -2) có tâm thuộc trục Oz c) Đi qua bốn điểm A(1 ; ; 1), B(1 ; ; 1), C(1 ; ; 2), D(2 ; ; 1) 23/ Cho phương trình x2 + y2 + z2 – 4mx + 4y + 2mz + m2 + 4m = 0.Tìm m để phương trình mặt cầu tìm m để bán kính mặt cầu nhỏ x  y  z 1 Cho A(2;-1;1) ,B(-2;3;7) ,(d) :   2 3 u) Chứng minh (d) AB thuộc mặt phẳng v) Tìm điểm I (d ): IA + IB nhỏ ĐS : I(0;4;2) x 1 y  z 1 Cho (P) : x + z + = ; (d) :   2  Tính góc nhonï tạo (d) (P) ĐS :   x  z   Viết PT hình chiếu vuông góc (d) lên (P) ĐS :  2 x  y  z   28 www.vnmath.com x  y  z   x 1 y  z 1   ; (d’) :  1  x  3y  12  a) CMR : (d) // (d’) Viết PT mp chứa chúng.ĐS :15x+11y-17z-10=0 b) Mp(xOz) cắt (d) ,(d’) A,B Tính :SOAB.ĐS :5(đvdt) x y Cho A(3;2;1) (d) :   z  a) Viết PTmp chứa (d) A ĐS : 14x – 5y – 8z – 24 = 14 x  5y  8z  24  b) Viết PT đường thẳng qua A cắt vuông góc với (d) ĐS :  2 x  y  z  15  (d) : Viết phương trình tắc đường thẳng giao tuyến (P) :3x + 2y – 5z – 12 = x4 y z x4 y z x y  z với mặt phẳng toạ độ ĐS :   ;   ;   2 1 x 1 y  z  Tính khoảng cách hai đường thẳng :    x  2y  z  ĐS :  26  x  y  3z   (P) : 4x + ay + 6z – 10 = ; (Q) : bx -12y – 12z + = a) Tìm a,b để hai mp song song ? Trong trường hợp tính khoảng cách hai mp ?ĐS : a 22 = 6;b = -8 h  11 b) Cho a = b = Hãy tìm hình chiếu A(1;1;1) giao tuyến (d) (P) (Q) ĐS : H( 27 17; 14 51;31 51)  x    2t  (d) :  y   t Viết PT đường thẳng (d’) qua A(-4;-2;4) ,cắt vuông góc với (d) ĐS :  z  1  4t   x  2y  z    2 x  y  4z  10  Lập PT đườn g thẳng (d) quaM(1;4;-2) vàsong song với mặt (P) : 6x + 2y + 2z + = ; (P’) : 3x 3 x  y   – 5y – 2z – = ĐS :  6 x  z   10 CM hai đường thẳng cắt viết PT mp chứa chúng (d)  x   4t  :  y  1  2t  z   3t  (d’) :  x  5y   ĐS : 2x – y–2z + =  3 x  5z   11 Đònh m để hai đường thẳng sau cắt : (d) x 1 y  z   ĐS : m = 29  x  2t  :  y  3t (d’)  z  mt  : www.vnmath.com 12 13 14 Lập PT đường thẳng (d) quaM(-4;-5;3) cắt hai đường thẳng : x 1 y  z    2 1 x  y 1 z 1   ĐS : 5 7 x  13y  5z  32    x  3z   x 1 y 1 z x y 1 z  Cho (d) :   ;(d’) :   Chứng minh chúng cắt tìm phương 2 1  2 trình mặt phẳng (P) chứa chúng? ĐS : 2x – y – = QuaM (0;  1; 2) QuaM (0;  2; 0)  ; (d ) :   VTCP u  (2;  2;1) VTCP v  (4; 0; 3) Cho A(1;2;3) (d1) :  Viết PT mặt phẳng (P) chứa A (d1) ; mặt phẳng (Q) chứa A (d2) Gọi B giao điểm (P) với trục Oy.Tính khoảng cách từ B đến (Q) ĐS : (P) :5x + y – 8z + 17 = ;(Q) :12x + 9y – 16z + 28 = , d  25 x  y  z   x 1 y 1 z  15 Cho (d 1) : ( d2 ) :  ; (P) : 2x – 2y + z -2006 =   2 x   0 a) Viết phương trình hình chiếu vuông góc d1 lên (P) b) Tính góc d1 (P) c) Viết phương trình đường thẳng d qua A( 1;1;0)  d1 cắt d2 x  y  z 1 16 Cho A(4;2;2) ,B(0;0;7) vàd:   C/ minh:AB d đồng phẳng Tìm điểm C thuộc d 2 cho tam giác ABC cân A 17 Cho A( 0;1;1) ,B(1;0;0) , C( 1;2;-1) a) Viết PT mp(P) qua A,B,C ĐS : 3x + y + 2z – = b) Viết Ptmp(Q) qua D(0;1;0) biết giao tuyến (P) (Q) x  y  z 1 (d ) :   ĐS :2x + y + z – = 2 2 (2m  1) x  (1  m) y  m   Cho (P) : 2x – y + = (dm ) :  ( m tham số ).Tìm m để (dm) // (P)  mx  (2m  1)z  4m   ĐS : m = BÀI TẬP TỔNG HỢP 1/ Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(1; ; 0) mặt phẳng (P): x + y – 2z + = 1/ Viết phương trình mặt cầu tâm M tiếp xúc với mp(P) 2/ Viết phương trình đường thẳng (d) qua M vng góc với (P) Tìm tọa độ giao điểm 2/ Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(-1 ; ; 1) đường thẳng x 1 y z  (d):   1 1/ Viết phương trình mặt cầu tâm M tiếp xúc với (d) 2/ Viết phương trình mặt phẳng qua M vng góc với (d) Tìm tọa độ giao điểm 3/ Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(-1 ; ; 0), B(-3 ; ; 2), C(1 ; ; 3), D(0 ; ; - 2) 1/ Viết phương trình mặt phẳng (ABC) phương trình đường thẳng AD 2/ Tính diện tích tam giác ABC thể tích tứ diện ABCD 30 www.vnmath.com 4/ Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(-2 ; ; 1), B(0 ; 10 ; 2), C(2 ; ; -1), D(5 ; ; -1) 1/ Viết phương trình mặt phẳng (P) qua ba điểm A, B, C viết phương trình đường thẳng qua D song song với AB 2/ Tính thể tích khối tứ diện ABCD, suy độ dài đường cao tứ diện vẽ từ đỉnh D  x   2t  5/ Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d:  y   t mặt phẳng z   t  (P): 2x + 2y + z = 1/ Tìm tọa độ giao điểm d (P).Tính góc giũa d (P) 2/ Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa d vng góc với (P)  x   2t  6/ Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d:  y   t điểm A(-1 ; ; 2) z   t  1/ Viết phương trình mặt phẳng chứa d điểm A 2/ Tìm điểm A’ đối xứng A qua d 7/ Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x + y – z – = điểm M(1, -2 ; 3) 1/ Viết phương trình mặt phẳng (Q) qua M song song với mp(P).Tính khỏang cách từ M đến mp(P) 2/ Tìm tọa độ hinh chiếu điểm M lên mp(P) 8/ Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai mặt phẳng (P): 3x – 2y + 2z – = 0, (Q): 4x + 5y – z + = 1/ Tính góc hai mặt phẳng viết phương trình tham số giao tuyến hai mặt phẳng (P) (Q) 2/ Viết phương trình mặt phẳng (R) qua gốc tọa độ O vng góc với (P) (Q) 9/ Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm D(-3 ; ; 2) mặt phẳng (P) qua ba điểm A(1 ; ; 11), B(0 ; ; 10), C(1 ; ; 8) 1/ Viết phương trình đường thẳng AB phương trình mặt phẳng (P) 2/Viết phương trình mặt cầu tâm D, bán kính R = Chứng minh mặt cầu cắt mặt phẳng (P) 10/ Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x + 2y + z + = mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 – 2x – 4y + 4z = 1/ Tìm tâm bán kính mặt cầu (S) 2/ Viết phương trình mặt phẳng (Q) song song với (P) tiếp xúc với (S) Tìm tọa độ tiếp điểm 11/ Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm A(1 ; ; 0), B(0 ; ; 1), C(1 ; ; -4) 1/ Tìm tọa độ điểm D để ABCD hình bình hành tìm tọa độ tâm hình bình hành 2/ Viết phương trình đường thẳng (d) qua trọng tâm tam giác ABC vng góc với mp(ABC) x 1 y  z  12/ Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d: ,   2 1 x  t  d’:  y  1  5t  z  1  3t  1/ Chứng minh d d’ chéo 2/ Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d song song với d’.Tính khỏang cách d d’ 13/ Trong khơng gian Oxyz, cho bốn điểm A(1 ; -2 ; 2), B(1 ; ; 0), C(0 ; ; 0), D(0 ; ; 3) 1/ Viết phương trình mặt phẳng (BCD) Suy ABCD tứ diện 2/ Tìm điểm A’ cho mp(BCD) mặt phẳng trung trực đọan AA’ 31 www.vnmath.com 14/ Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d: x y 1 z 1 hai mặt phẳng   2 (P1): x + y – 2z + = 0, (P2): 2x – y + z + = 1/ Tính góc mp(P1) mp(P2), góc đường thẳng d mp(P1) 2/ Viết phương trình mặt cầu tâm I thuộc d tiếp xúc với mp(P1) mp(P2) 15/ Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz,cho hai điểm A(2 ; ; 1), B(2 ; -1 ; 5) 1/ Viết phương trình mặt cầu (S) đường kính AB 2/ Tìm điểm M đường thẳng AB cho tam giác MOA vng O 16/ Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 – 2x – 4y – 6z = hai điểm M(1 ; ; 1), N(2 ; -1 ; 5) 1/ Tìm tâm I bán kính R mặt cầu (S).Viết phương trình mặt phẳng (P) qua hình chiếu tâm I trục tọa độ 2/ Chứng tỏ đường thẳng MN cắt mặt cầu (S) hai điểm Tìm tọa độ giao điểm 17/ Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(3 ; ; -2), B(1 ; -2 ; 4) 1/ Viết phương trình đường thẳng AB phương trình mặt phẳng trung trực đọan AB 2/ Viết phương trình mặt cầu tâm A qua điểm B Tìm điểm đối xứng B qua A x 1 y 1 z  18/ Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d:    x  2  2t  d’:  y   3t  z   4t  1/ Chứng minh d song song với d’ Tính khỏang cách d d’ 2/ Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d d’ 19/ Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(2 ; -1 ; 3), mặt phẳng (P): 2x - y - 2z + = x 1 y  z đường thẳng d:   1 1/ Tìm tọa độ điểm A’ đối xứng A qua mp(P) 2/ Tìm tọa độ điểm M đường thẳng d cho khỏang cách từ M đến mp(P) 20/ Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1 ; ; 1), mp(P): x + y – z – = đường thẳng d: x  y z 1   1 1 1/ Tìm điểm A’ đối xứng A qua d 2/ Viết phương trình đường thẳng qua A, song song với mp(P) cắt d x y4 z2 21/ Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d:  mặt phẳng  2 (P):x + y – z – = 1/ Viết phương trình đường thẳng qua gốc tọa độ O song song với d 2/ Viết phương trình mặt phẳng (Q), biết (Q) song song với (P) cắt d điểm có hòanh độ x = x 1 y  z  22/ ) Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1: ,   3 x  y  z 1 d2:   2 1/ Chứng tỏ d1 d2 nằm mặt phẳng (P) Viết phương trình mặt phẳng (P) 2/ Tìm tọa độ giao điểm M d1 d2 Viết phương trình mặt cầu tiếp xúc với (P) M có bán kính 429 23/ Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A, B có tọa độ xác định hệ thức     OA  i  k , OB  4 j  k mặt phẳng (P): 3x – 2y + 6z + = 1/ Tìm giao điểm M đường thẳng AB với mp(P) 32 www.vnmath.com 2/ Viết phương trình hình chiếu vng góc AB mp (P)  x   2t  24/ Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d:  y  2t mặt phẳng z  t  (P): x + 2y – 2z + = 1/ Viết phương trình đường thẳng qua gốc tọa độ O vng góc với d song song với (P) 2/ Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc d, tiếp xúc (P) có bán kính 4 Cho ba điểm A(1 ; ; 1), B(3 ; -1 ; 1), C(-1 ; ; 2) Điểm C có thuộc mặt phẳng trung trực đọan AB khơng? Cho điểm bốn điểm A(3 ; -2 ; -2), B(3 ; ; 0), C(0 ; ;1),D(-1 ;1 ; 2) Viết phương trình mặt cầu tâm A, tiếp xúc với mp(BCD) Viết phương trình mặt cầu qua ba điểm A(1 ; ; 0), B(0 ; ; 0), C(0 ; ; 1) có tâm I nằm mặt phẳng x + y + z – = 10 Cho mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 - 6x – 2y + 4z + = điểm M(4 ; ; 0) Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu M 11 Tìm điểm Oy cách hai mặt phẳng x + y – x + = x –y + z – = 12 Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có A(0 ; ; 0), B(a ; ; 0), D(0 ; a ; 0), A’(0 ; ; b) với a , b số dương M trung điểm CC’ a) Tính thể tích tứ diện BDA’M a b) Tìm tỉ số để mp(A’BD) vng góc với mp(MBD) b 15 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy a chiều cao h Gọi I trung điểm SC Tính khỏang cách từ S đến mp(ABI ) Các dạng tập x  t  14 a) Cho đường thẳng d :  y  1  2t hai mặt phẳng (P): x + 2y + 2z + = z  t  (P’) : x + 2y + 2z + = Viết phương trình mặt cầu tâm I thuộc d tiếp xúc với hai mặt phẳng (P) (P’) 33 [...]...  5  15t  8 11 9 Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba mặt phẳng: (P): 2x – y + z + 1 = 0, (Q): x – y + 2z + 3 = 0, (R): x + 2y – 3z + 1 = 0 x2 y 1 z = = Gọi  2 là giao tuyến của (P) và (Q).Viết phương trình đường thẳng (d) 2 1 3 vng góc với (R) và cắt cả hai đường thẳng  1 ,  2 và đường thẳng  1 : ĐS: 23 1 1 y z 8 12  12  1 2 3 x 10 Trong khơng gian với hệ trục toạ độ Oxyz Cho... Trong khơng gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho điểm A(1 ;0 ; 1), B(2 ; 1 ; 2) và mặt phẳng (Q) x + 2y + 3z + 3 = 0 Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua A, B và vng góc với (Q) ĐS:x - 2y + z - 2 = 0 3) Trong khơng gian Oxyz cho hai điểm A (-1;3;-2), B (-3,7,-18) và mặt phẳng (P): 2x - y + z + 1 = 0 Viết phương trình mặt phẳng chứa AB và vng góc với mp (P) ĐS: 2x + 5y + z  11 = 0 4) Trong kh«ng gian víi... 7.Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(-3; 5; -5), B(5; -3; 7) và mp(P): x + y + z - 6 = 0 Tìm tọa độ điểm M trên mặt phẳng (P) sao cho MA2 + MB2 đạt giá trị nhỏ nhất ĐS: M(2; 2; 2) Bài 8 Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, hãy xác định toạ độ tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, biết A(-1; 0; 1), B(1; 2; -1), C(-1; 2; 3) ĐS: I (0; 2; 1) R  5 Bài 9 Trong khơng gian với hệ... chính tắc các đường thẳng là các giao tuyến của (P) :3x + 2y – 5z – 12 = x4 y z x4 y z x y  6 z 0 với các mặt phẳng toạ độ ĐS :   ;   ;   2 3 0 1 0 1 0 3 2 x 1 y  2 z  3 Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng :   và 1 2 3  x  2y  z  0 2 ĐS :  26  2 x  y  3z  5  0 5 6 (P) : 4x + ay + 6z – 10 = 0 ; (Q) : bx -12y – 12z + 4 = 0 a) Tìm a,b để hai mp song song ? Trong trường hợp đó tính... mặt phẳng chứa d và điểm A 2/ Tìm điểm A’ đối xứng của A qua d 7/ Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x + y – z – 6 = 0 và điểm M(1, -2 ; 3) 1/ Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua M và song song với mp(P).Tính khỏang cách từ M đến mp(P) 2/ Tìm tọa độ hinh chiếu của điểm M lên mp(P) 8/ Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai mặt phẳng (P): 3x – 2y + 2z – 5 = 0, (Q): 4x... tiếp xúc với (S) Tìm tọa độ của tiếp điểm 11/ Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm A(1 ; 4 ; 0), B(0 ; 2 ; 1), C(1 ; 0 ; -4) 1/ Tìm tọa độ điểm D để ABCD là hình bình hành và tìm tọa độ tâm của hình bình hành 2/ Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua trọng tâm của tam giác ABC và vng góc với mp(ABC) x 1 y  2 z  3 12/ Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d: ,   2... y  2 z x y 8 b) d :   , d ':   z4 2 2 1 2 3 x2 y z 1 x7 y2 z c) d :   , d ':   4 6 8 6 9 12  x  9t  d) d :  y  5t , d’ là giao tuyến của 2 mp(P): 2x – 3y – 3z – 9 = 0  z  3  t  và mp(Q):x – 2y + z + 3 = 0 2 Xét vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng x  12 y  9 a) d :   z  1 và (  ) : 3x + 5y – z – 2 = 0 4 3 x 1 y  3 z b) d : và ( ) : 3x – 3y + 2z – 5 =... đi qua M(-4 ; -5 ; 3) sao cho  cắt d và d’ 6 Trong khơng gian Oxyz Cho mặt phẳng (P): x+y-2z+4=0 và mặt cầu (S): x 2  y 2  z 2  2 x  4 y  2 z  3  0 Viết phương trình tham số đường thẳng (d) tiếp xúc với (S) tại A(3;-1;1) và song song với mặt phẳng (P) ĐS:  :  x  3  4t   y  1  6t z  1  t  20 www.vnmath.com 7 Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng : x2 y2 z và mặt... 2t  ĐS:  : x 5 y  2 z 5   2 3 1 : x 3 y  4 z 5   2 3 1 7.Trong khơng gian với hệ trục toạ độ Oxyz Cho tam giác ABC có: A(1;-2;3), B(2;1;0), C(0;-1;-2) Viết phương trình tham số đường cao tương ứng với đỉnh A của tam giác ABC 22 www.vnmath.com x  1 t ĐS:  y  2  4t   z  3  5t  8 Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1: d2: x  1 y 1 z 1   ; 2 1 1 x... phẳng có phương trình: 2x – my + 3z – 6 = 0 và (m + 3)x – 2y + (5m + 1)z – 10 = 0 Với giá trị nào của m thì hai mặt phẳng đó : Song song với nhau 12 www.vnmath.com Trùng nhau Cắt nhau và vng góc với nhau 4 Một số bài tập liên quan khác  x  1  2t 1.rong kgian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A(10; 2; -1) và đường thẳng d có phương trình  y  t  z  1  3t  Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua A, ...   | u | 2 u  x12  y12  z12 AB = AB  ( x B  x A )  ( y B  y A )  ( z B  z A ) www.vnmath.com     cos(u , v )  u.v  x1 x2  y1 y  z1 z   x12  y12  z12 x 22  y 22  z... PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN I : HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN A KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1.Hệ tọa độ khơng gian Hệ gồm ba trục Ox, Oy, Oz đội vng góc gọi hệ trục tọa độ vng góc khơng gian    Nếu ta lấy... (d) 2 vng góc với (R) cắt hai đường thẳng  ,  đường thẳng  : ĐS: 23 1 y z 12  12  3 x 10 Trong khơng gian với hệ trục toạ độ Oxyz Cho tam giác ABC có: A(1;-2;3), B(2;1;0), C(0;-1;-2)