ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - NGUYỄN VĂN SƠN ƯỚC LƯỢNG GRADIENT ĐỊA PHƯƠNG CHO CÁC HÀM p-ĐIỀU HÒA TRÊN ĐA TẠP RIEMANN LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội – Năm 2014 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - NGUYỄN VĂN SƠN ƯỚC LƯỢNG GRADIENT ĐỊA PHƯƠNG CHO CÁC HÀM p-ĐIỀU HÒA TRÊN ĐA TẠP RIEMANN Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60460102 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS Nguyễn Thạc Dũng Hà Nội – Năm 2014 Mục lục Mở đầu TOÁN TỬ LAPLACE TRÊN ĐA TẠP RIEMANN 1.1 Toán tử Laplace đa tạp Riemann 1.2 Liên thông Affine liên thông Levi-Civita 14 1.3 Tensor độ cong, độ cong Ricci 17 ƯỚC LƯỢNG GRADIENT CHO CÁC HÀM p-ĐIỀU HÒA L b1 2.1 Ước lượng chuẩn 2.2 Phương pháp lặp Moser ước lượng gradient hàm p-điều 21 cho gradient hàm p-điều hòa 21 hòa Các ứng dụng 36 Kết luận 41 Tài liệu tham khảo 42 Lời cám ơn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới TS Nguyễn Thạc Dũng, người tận tình giúp đỡ bảo suốt trình hoàn thành luận văn tốt nghiệp Qua xin chân thành cám ơn giúp đỡ thầy giáo, cô giáo tổ Toán giải tích trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà Nội, thầy cô Viện Toán, người giúp đỡ suốt trình học tập nghiên cứu trường Do làm quen với công tác nghiên cứu khoa học hạn chế thời gian thực nên luận văn tránh khỏi thiếu sót Kính mong nhận ý kiến đóng góp thầy cô bạn để luận văn hoàn thiện Hà Nội, năm 2014 Danh mục ký hiệu C∞ Tập hợp tất hàm khả vi vô hạn C0k Tập hợp tất hàm khả vi cấp k có giá compact W k,p Không gian Sobolev chứa hàm đạo hàm yếu tới bậc k có chuẩn Lp hữu hạn, với p ≥ cho trước W0k,p Không gian định chuẩn bao đóng C0k W k,p k,p Wloc Không gian hàm khả tích địa phương W k,p Mở đầu Việc nghiên cứu hàm điều hòa đa tạp Riemann đối tượng hình học vi phân Việc nghiên cứu cần thiết lý thuyết hàm điều hòa có liên hệ chặt chẽ đến hình học tôpô đa tạp Một toán quan tâm lý thuyết tìm ước lượng gradient cho hàm Trong báo tiếng mình, Cheng-Yau [12] chứng minh ước lượng gradient cho hàm điều hòa dương đa tạp Riemann sau Định lý 0.1 (Cheng-Yau) Cho M đa tạp Riemann đầy đủ n-chiều với Ric ≥ −(n − 1)κ, với κ ≥ số Giả sử u hàm điều hòa dương hình cầu trắc địa B(o, R) Khi √ |∇u| 1+R κ sup ≤ Cn R B(o,R/2) u (1) Cn số phụ thuộc vào n Điều quan trọng ước lượng Cheng-Yau vế phải Định lý 0.1 phụ thuộc vào n, κ R Có hai phần chứng minh định lý Phần quan trọng công thức Bochner sử dụng để ước lượng cận toán tử Laplace tác động lên |∇u|2 hàm điều hòa u số hạng phụ thuộc vào cận độ cong Ricci Phần quan trọng thứ hai kỹ thuật thông minh nguyên lý cực đại Kỹ thuật nhân |∇u|2 với hàm cut-off xây dựng cách sử dụng hàm khoảng cách Kết là, bất đẳng thức vi phân liên quan đến Laplace hàm khoảng cách Như biết, hàm khoảng cách đa tạp Riemann Lipschitz toán tử Laplace tác động lên hàm khoảng cách có cận phụ thuộc vào cận tensor Ricci Cách tiếp cận Cheng-Yau hữu ích số kết quan trọng nhiều toán khác ảnh hưởng sâu sắc định lý Lấy ví dụ, năm 1979, P.Li [4] thu ước lượng cận chặt cho giá trị riêng thứ toán tử Laplace đa tạp, kết sau tổng quát Li-Yau [5] Các kết tương tự cho phương trình nhiệt thu Li-Yau Ngoài ra, S.Y.Cheng [10], H.I.Choi [3] chứng minh ước lượng gradient cho ánh xạ điều hòa, Mặt khác, hàm p-điều hòa (p > 1) xem mở rộng tự nhiên hàm điều hòa từ quan điểm biến phân Nó nghiên cứu rộng rãi có nhiều đặc trưng ứng dụng thú vị So với lý thuyết hàm điều hòa, nghiên cứu hàm p-điều hòa nói chung khó khăn phương trình elliptic, suy biến kết tính quy yếu Gần đây, hàm p-điều hòa quan tâm nghiên cứu nhiều nhà toán học Đặc biệt, năm 2007, R.Moser [11] thiết lập liên hệ hàm p-điều hòa toán ngược cho dòng độ cong trung bình Trong báo gần vào năm 2009, Kotschwar Ni [2] chứng minh nhiều kết cho hàm p-điều hòa, số ước lượng gradient địa phương cho hàm p-điều hòa với giả thiết độ cong nhát cắt bị chặn hạn Đáng ý số tính toán họ không bị tăng vọt p → 1, dẫn đến kết thú vị toán ngược cho dòng độ cong trung bình Phương pháp chứng minh họ tương tự với phương pháp phát triển Cheng Yau năm 1975 cho hàm điều hòa (tức p = 2) Kotschwar Ni dự đoán ước lượng họ giữ nguyên giả thiết cận tensor Ricci Năm 2011, X D Wang L Zhang [13] chứng minh đoán Kotschwar Ni cách thiết lập định lý sau Định lý 0.2 Cho (M n , g) đa tạp Riemann đầy đủ với Ric ≥ −(n − 1)k Giả sử v hàm p-điều hòa dương hình cầu B(o, R) ⊂ M Khi đó, tồn số Cp,n (chỉ phụ thuộc vào p n) cho Cp,n (1 + |∇v| ≤ v R √ kR) B(o, R/2) Chú ý p = 2, hàm p-điều hòa hàm điều hòa Do ước lượng gradient xem tổng quát hóa ước lượng gradient Cheng-Yau đề cập đến phần đầu lời giới thiệu Toàn nội dung luận văn để làm rõ cách chứng minh định lý kể Wang-Zhang Luận văn viết lại dựa báo [13] bao gồm hai chương Trong phần chương một, nhắc lại kiến thức hình học vi phân toán tử Laplace đa tạp Riemann Trong chương hai, phân tích kỹ trình bày cách chi tiết bước chứng minh định lý Wang-Zhang Trong đó, sử dụng phiên công thức Bochner cho hàm p-điều hòa, công thức sử dụng cho toán tử tuyến tính hóa toán tử phi tuyến ∆p giới thiệu báo Kotschwar-Ni Nhờ công thức này, thu ước lượng chuẩn không gian Lb1 grandient hàm p-điều hòa với b1 phù hợp Phần chứng minh ước lượng cận chuẩn sup theo chuẩn Lb1 cách sử dụng phép lặp Moser, kết chứng minh Định lý 0.2 Tôi đưa chứng minh hai kết liên quan đến ước lượng gradient Kết định lý kiểu Harnack kết thứ hai định lý Liouville cho hàm p-điều hòa Chương TOÁN TỬ LAPLACE TRÊN ĐA TẠP RIEMANN Trong chương này, trình bày lại vài khái niệm hình học vi phân Đầu tiên, nhắc lại khái niệm đa tạp, đa tạp trơn, định nghĩa đa tạp Riemann Tiếp sau đó, xây dựng vài phép toán để đưa định nghĩa toán tử Laplace Cuối cùng, giới thiệu khái niệm độ cong Ricci vài tính chất tiêu biểu độ cong 1.1 Toán tử Laplace đa tạp Riemann A Đa tạp trơn Định nghĩa 1.1 Cho M không gian tôpô Hausdorff có sở đếm Nó gọi đa tạp tôpô n chiều với p ∈ M , tồn ba {ϕ, U, V } U lân cận p M , V tập mở Rn , ϕ : U → V đồng phôi Một ba gọi đồ p Hai đồ {ϕ1 , U1 , V1 } {ϕ2 , U2 , V2 } gọi tương thích hàm chuyển ϕ12 = ϕ2 ◦ ϕ−1 : ϕ1 (U1 ∩ U2 ) → ϕ2 (U1 ∩ U2 ) đồng phôi Chú ý tập ảnh ϕ1 (U1 ∩ U2 ), ϕ2 (U1 ∩ U2 ) tập mở thuộc Rn Định nghĩa 1.2 Một tập A = {ϕα , Uα , Vα } M gọi tập đồ đồ A tương thích với α Uα = M Hai tập đồ M gọi tương đương hợp chúng tập đồ M Định nghĩa 1.3 Một đa tạp trơn n-chiều M đa tạp tôpô n-chiều trang bị lớp tương đương tập đồ cho hàm chuyển hàm trơn Một lớp tương đương tập đồ trơn gọi cấu trúc trơn M Ví dụ 1.4 Một vài đa tạp trơn với cấu trúc trơn • Rn đa tạp trơn • Một tập mở đa tạp trơn đa tạp trơn Ví dụ 1.5 Hình cầu S n = {(x1 , · · · , xn+1 ) ∈ Rn+1 |x21 + · · · + x2n+1 = 1} đa tạp trơn Cho U1 = S n − {(0, · · · , 0, 1)} U2 = S n − {(0, · · · , 0, −1)}, ta xét phép chiếu ϕi : Ui → Rn định nghĩa ϕ1 (x) = (x1 , · · · , xn ) − xn+1 ϕ2 (x) = (x1 , · · · , xn ) + xn+1 Khi {ϕ1 , U1 , Rn }, {ϕ2 , U2 , Rn } tạo thành tập đồ S n Có thể tính toán trực tiếp ánh xạ chuyển ϕ12 ánh xạ trơn Do đó, hình cầu đa tạp trơn Định nghĩa 1.6 Một ánh xạ f : M → N hai đa tạp trơn gọi trơn với đồ {ϕα , Uα , Vα } M {ψβ , Xβ , Yβ } N , ánh xạ −1 ψ ◦ f ◦ ϕ−1 (Xβ )) → ψβ (f (Uα ) ∩ Xβ ) α : ϕα (Uα ∩ f trơn Ta nói f : M → N vi phôi song ánh f, f −1 ánh xạ trơn Khi N = R, ta gọi f hàm trơn giá trị thực Tập hợp tất hàm trơn giá trị thực M kí hiệu C ∞ (M ) Bất kỳ ánh xạ trơn f : M → N cảm sinh ánh xạ kéo-lùi f ∗ : C ∞ (N ) → C ∞ (M ), g → g ◦ f B Vectơ tiếp xúc Cho M đa tạp trơn n-chiều Định nghĩa 1.7 Một vectơ tiếp xúc điểm p ∈ M ánh xạ tuyến tính Xp : C ∞ (U ) → R thỏa mãn quy tắc Leibnitz Xp (f g) = f (p)Xp (g) + Xp (f )g(p) Chứng minh Bất đẳng thức (2.3) viết lại dạng f p/2+1+b η n − Ω Ω 2(p − 1) ≤ 2(n − 1)κ f p/2+b η + f p/2−1+b ∇u, ∇f η n − Ω Ω f p/2+b−2 |∇f |2 η + ba1 f p/2−2+b ∇u, ∇f η ∇u, ∇η − − 2(p − 2) Ω f p/2−1+b η ∇f, ∇η Ω f p/2−1+b ∇u, ∇f η −p Ω Từ bất đẳng thức Schwatz, −|∇u| · |∇f | ≤ ∇u, ∇f ≤ |∇u|.|∇f |, ta có bất đẳng thức sau 2(p − 1) n−1 f p/2−1+b ∇u, ∇f η ≤ Ω 2(p − 1) n−1 f p/2−1+b |∇u||∇f |η , Ω f p/2−2+b ∇u, ∇f η ∇u, ∇η ≤ 2|p − 2| −2(p − 2) Ω f p/2−2+b |∇u|2 |∇f ||∇η|η, Ω f p/2−1+b η ∇f, ∇η ≤ −2 Ω f p/2−1+b η|∇f ||∇η|, Ω f p/2−1+b ∇u, ∇f η ≤ p −p Ω f p/2−1+b |∇u||∇f |η Ω Thay bất đẳng thức vào dạng thức bất đẳng thức (2.3), ta có f p/2+1+b η n−1 Ω Ω 2(p − 1) ≤ 2(n − 1)κ f p/2+b η + f p/2−1+b |∇u||∇f |η n − Ω Ω ba1 f p/2+b−2 |∇f |2 η + f p/2−2+b |∇u|2 |∇f ||∇η|η + + 2|p − 2| Ω Ω f p/2−1+b |∇u||∇f |η +p f p/2−1+b η|∇f ||∇η| Ω 29 Chú ý f = |∇u|2 , thu gọn hạng tử đồng dạng vế phải bất phương trình trên, ta thấy tồn số a2 , a3 > phụ thuộc vào n p cho f p/2+b−2 |∇f |2 η + ba1 Ω n−1 f p/2+b η + a2 ≤ 2(n − 1)κ Ω f p/2+1+b η Ω f p−1 +b |∇f |η + a3 f p/2−1+b |∇f ||∇η|η Ω (2.8) Ω Sau ta sử dụng ký hiệu a4 , a5 , để số dương phụ thuộc vào n p Xét R3 phần tử thứ ba vế phải (2.8) Ta có a3 f p/2−1+b |∇f ||∇η|η ≤ a1 b p/2+b−2 a4 f |∇f |2 η + |∇η|2 f b+p/2 b Thay vào R3 ta |R3 | ≤ a1 b f p/2+b−2 |∇f |2 η + Ω a4 b |∇η|2 f b+p/2 , Ω với a4 > Tương tự, ta có |R2 | ≤ a1 b f p/2+b−2 |∇f |2 η + Ω a5 b f b+p/2+1 η , Ω a5 > Thay bất đẳng thức vào (2.8), ta nhận a1 b f p/2+b−2 |∇f |2 η + Ω ≤ Ω n−1 f p/2+1+b η Ω a4 a5 2(n − 1)κη + |∇η|2 f p/2+b + b b f b+p/2+1 η (2.9) Ω Với giá trị b > (n − 1)a5 , ta có a5 < b n−1 Do vậy, từ (2.9), ta nhận a1 b f p/2+1+b η n − Ω Ω a f b+p/2 |∇η|2 ≤ 2(n − 1)κ η f p/2+b + b Ω Ω f p/2+b−2 |∇f |2 η + Mặt khác, ta có tính toán sau ∇ f p/4+b/2 η = p b + f p/4+b/2−1 η∇f + f p/4+b/2 ∇η 30 (2.10) Do đó, p/4+b/2 |∇(f p b + 2 η)| = f p/2+b−2 η |∇f |2 + f p/2+b |∇η|2 p b + +2 f p/2+b−1 η ∇f, ∇η Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có p b + 2 p b + f p/2+b−1 η ∇f, ∇η ≤ p b + f p/2+b−1 η|∇f | · |∇η| f p/2+b−2 η |∇f |2 + f p/2+b |∇η|2 Điều suy |∇(f p/4+b/2 p b + 2 η)| ≤ 2 f p/2+b−2 η |∇f |2 + 2f p/2+b |∇η|2 Lấy tích phân hai vế thực biến đổi sơ cấp ta nhận a1 b p +b a1 b |∇(f p/4+b/2 η)|2 ≤ Ω f p/2+b−2 η |∇f |2 + Ω a1 b p 2 +b f p/2+b |∇η|2 Ω Kết hợp với bất đẳng thức (2.10), ta có a1 b p +b a1 b |∇(f p/4+b/2 η)|2 − p Ω f p/2+b η + ≤ 2(n − 1)κ Ω a4 b +b f p/2+b |∇η|2 + Ω n−1 f p/2+1+b η Ω f b+p/2 |∇η|2 Ω Biến đổi tiếp, ta thu |∇(f p/4+b/2 η)| + p Ω ≤ 2(n − 1)κ p +b a1 b +b a1 b n−1 f p/2+b η + Ω f p/2+1+b η Ω p +b a1 b a4 +2 b a1 b p +b f b+p/2 |∇η|2 Ω Bất đẳng thức viết lại dạng |∇(f p/4+b/2 η)|2 + d1 Ω f p/2+1+b η ≤ κd2 Ω f p/2+b η + a7 f b+p/2 |∇η|2 Ω Ω (2.11) b >> 1, d1 = p +b a1 b 2(n − 1) d2 = n−1 a1 b 31 p +b 2 Dễ dàng thấy d2 2(n − 1) d1 = = lim = = a1 (n − 1) a1 b→∞ b b→∞ b lim Vì thế, d1 ∼ b, d2 ∼ b Kết hợp điều với bất đẳng thức (2.11), ta có điều phải chứng minh Chúng ta cần bất đẳng thức Sobolev sau Định lý 2.6 ([8], Định lý 3.1) Cho (M, g) đa tạp Riemann đầy đủ với Ric ≥ −(n − 1)κ, với κ ≥ Cho n > 2, tồn C phụ thuộc vào n cho với hình cầu B ⊂ M bán kính R thể tích V , với f ∈ C0∞ (B) ta có 1/q √ κR) ≤ eC(1+ 2q |f | V −2/n R2 |∇f |2 + R−2 f B B q = n/(n − 2) Với n = bất đẳng thức thỏa mãn với giá trị q > Bây giờ, ta giả sử Ω = B(o, R) Từ Định lý (2.6) ta có f n(p/2+b) n−2 η 2n n−2 n−2 n √ κR) ≤ ec0 (1+ V −2/n R2 |∇(f p/4+b/2 η)|2 + Ω Ω f p/2+b η Ω (2.12) c0 (n, p) > Đặt b0 = c1 (n, p)(1 + √ κR) với c1 (n, p) đủ lớn cho b0 thỏa mãn điều kiện b0 > max{(n − 1)a5 , 1} Nhân hai vế (2.11) với √ κR) V −2/n R2 , ec0 (1+ √ κR) ec0 (1+ ta suy √ κR) V −2/n R2 |∇(f p/4+b/2 η)|2 + d1 ec0 (1+ V −2/n R2 Ω √ c0 (1+ κR) ≤ κd2 e f p/2+1+b η Ω √ c0 (1+ κR) V −2/n R2 f p/2+b η + a7 e V −2/n R2 Ω f b+p/2 |∇η|2 Ω Chú ý tồn c2 (n, p) cho c0 (1 + √ κR) = c2 (n, p)b0 , từ bất đẳng thức trên, ta nhận |∇(f p/4+b/2 η)|2 + d1 ec2 b0 V −2/n R2 ec2 b0 V −2/n R2 f p/2+1+b η Ω Ω ≤ κd2 ec2 b0 V −2/n R2 f p/2+b η + a7 ec2 b0 V −2/n R2 Ω f b+p/2 |∇η|2 Ω 32 Cộng hai vế với ec2 b0 V −2/n Ω ec2 b0 V −2/n R2 f p/2+b η ta suy |∇(f p/4+b/2 η)|2 + ec2 b0 V −2/n Ω f p/2+b η Ω + d1 ec2 b0 V −2/n R2 f p/2+1+b η Ω ≤ κd2 ec2 b0 V −2/n R2 f p/2+b η + ec2 b0 V −2/n Ω + a7 ec2 b0 V −2/n R2 f p/2+b η Ω f b+p/2 |∇η|2 Ω Áp dụng (2.12) điều kiện b, b0 > 1, ta thu f n(p/2+b) n−2 η 2n n−2 n−2 n + d1 ec2 b0 V −2/n R2 f p/2+1+b η Ω Ω ≤ (κR2 d2 + bb20 )ec2 b0 V −2/n f p/2+b η + a7 ec2 b0 V −2/n R2 Ω Chú ý κR2 = ( cb01 − 1)2 ≤ b20 , c21 f b+p/2 |∇η|2 Ω với tính chất d1 ∼ b, d2 ∼ b, ta thấy tồn số a8 , a9 , a10 cho f n(p/2+b) n−2 η 2n n−2 n−2 n + a8 bec2 b0 V −2/n R2 Ω f p/2+1+b η Ω ≤ a9 b20 bec2 b0 V −2/n f p/2+b η + a10 ec2 b0 V −2/n R2 Ω f b+p/2 |∇η|2 (2.13) Ω Phần lại mục để chứng minh uớc lượng chuẩn Lb1 f n Khi tồn c3 (n, p) > cho Bổ đề 2.7 Đặt b1 = (b0 + p2 ) n−2 b20 1/b1 f Lb1 (B3R/4 ) ≤ c3 V R (2.14) Chứng minh Trong (2.13), ta chọn hàm trơn η ∈ C0∞ (BR ) cho ≤ η ≤ đặt b = b0 Gọi Li , Ri , i = 1, số hạng thứ i vế trái, tương ứng vế phải (2.13), so sánh số hạng Nếu f > a11 b20 R−2 với a11 = 2a9 a8 a8 R2 f > a9 b20 , a8 R2 f p/2+1+b0 > a9 b20 f p/2+b0 33 Ta chia Ω thành hai phần, W = {f ≤ a11 b20 R−2 } Ω \ W Khi ta có R1 = a9 b30 ec2 b0 V −2/n f p/2+b0 η Ω = a9 b30 ec2 b0 V −2/n f p/2+b0 η + a9 b30 ec2 b0 V −2/n f p/2+b0 η W Ω\W Dựa vào đánh giá ta có bất đẳng thức sau a9 b30 ec2 b0 V −2/n Ω\W a9 b30 ec2 b0 V −2/n f p/2+b0 η ≤ ec2 b0 V −2/n a8 b0 R2 f p/2+b0 η ≤ a9 b30 ec2 b0 V −2/n f p/2+1+b0 = Ω L2 , (a11 b20 R−2 )p/2+b0 η W W Hơn p/2+b0 c2 b0 −2/n b0 e V a9 b30 ec2 b0 V −2/n (a11 b20 R−2 )p/2+b0 η = a9 a11 W ≤ ab120 b30 b0 R ab120 b30 b0 R b0 R p+2b0 η2 Ω p+2b0 ec2 b0 V −2/n V Suy a9 b30 ec2 b0 V −2/n f p/2+b0 η ≤ W p+2b0 ec2 b0 V −2/n V Thay lại vào R1 ta R1 ≤ ab120 b30 b0 R p+2b0 ec2 b0 V 1−2/n + L2 Từ (2.13), với b = b0 , áp dụng đánh giá với R1 ta suy f n(p/2+b0 ) n−2 η 2n n−2 Ω ≤ ab120 b30 b0 R n−2 n + a8 c2 b0 −2/n b0 e V R f p/2+1+b0 η Ω p+2b0 ec2 b0 V 1−2/n + a10 ec2 b0 V −2/n R2 f b0 +p/2 |∇η|2 (2.15) Ω Bây giờ, ta chọn η để làm trội R2 Cho η1 ∈ C0∞ (BR ) thỏa mãn ≤ η1 ≤ 1, η1 ≡ B3R/4 , |∇η1 | ≤ C(n)/R Đặt η = η1m m = b0 + p2 + Ta có 2(m−1) R2 |∇η|2 = R2 |∇η1m |2 = R2 m2 η1 ≤ R2 (b0 + |∇η1 |2 p 2(m−1) C (n) + 1)2 η1 R2 2b0 +p ≤ a13 b20 η b0 +p/2+1 34 (2.16) Áp dụng bất đẳng thức (2.16) cho R2 (2.15) ta có R2 = a10 R2 2b0 +p |∇η|2 f p/2+b0 ≤ a10 a13 b20 f b0 +p/2 η b0 +p/2+1 Ω Ω f ·g ≤ f Áp dụng bất đẳng thức Holder p · g cho vế phải bất đẳng q thức với b0 + p/2 + , b0 + p/2 p= q = b0 + p/2 + Ta suy a10 a13 b20 f b0 +p/2 η 2b0 +p b0 +p/2+1 ≤ a14 b20 f Ω b0 +p/2 η b0 +p/2 b0 +p/2+1 b0 +p/2+1 b0 +p/2 2b0 +p b0 +p/2+1 b0 +p/2+1 · = a14 b20 dV Ω Ω f b0 +p/2 b0 +p/2+1 b0 +p/2+1 ·V η b0 +p/2+1 Ω Sau đó, ta áp dụng bất đẳng thức Young x · y ≤ +p/2 a8 b0 R2 b b+p/2+1 x=( )0 a14 b20 y= V b0 +p/2 xp p yq q + cho vế phải, b0 +p/2 b0 +p/2+1 f b0 +p/2+1 η Ω b0 +p/2+1 , ( a8 b20 R ) b0 +p/2+1 ta suy a10 R2 |∇η|2 f p/2+b0 ≤ a14 b20 Ω f b0 +p/2+1 η b0 +p/2 b0 +p/2+1 ·V b0 +p/2+1 Ω R2 b0 + p/2 b0 + p/2 + ≤ a8 b + b +p/2+1 b0 +p/2+2 a140 b0 a8 b0 +p/2 2b0 +p b (2) R a8 b ≤ R f f b0 +p/2+1 η Ω V + p/2 + b0 +p/2+1 η Ω b0 +p/2+2 b0 +p/2 b0 + a15 V 2b0 +p R Vậy từ (2.15), thay ước lượng R2 vào ta có n−2 n f (b0 +p/2)n n−2 b0 R 2b0 +p ≤ ab120 b30 ≤ b +p/2 c2 b0 1−2/n e V b0 a160 B3R/4 e 35 c2 b0 V 1−2/n b0 +p/2+2 b0 +p/2 b0 ec2 b0 V 1−2/n + a15 2b0 +p R b0 R 2b0 +p (2.17) Lấy mũ b0 +p/2 hai vế bất đẳng thức ta f (b0 +p/2)n n−2 n−2 n(b0 +p/2) b0 b0 +p/2 e ≤ a16 c2 b b0 +p/2 b0b0 +p/2 ( B3R/4 +p b0 b2b+p/2 )0 V R n−2 n(b0 +p/2) n Thay b1 = (b0 + p/2) n−2 , bất đẳng thức tương đương 1/b1 f b1 ≤ a17 V b1 B3R/4 b20 R2 Tức f Lb1 (B3R/4 ) ≤ a17 V b1 b20 R2 Bổ đề 2.7 chứng minh 2.2 Phương pháp lặp Moser ước lượng gradient hàm p-điều hòa Các ứng dụng Định lý 2.8 Cho (M, g) đa tạp Riemann đầy đủ với Ric ≥ −(n − 1)κ, với số κ ≥ Giả sử v hàm p-điều hòa dương hình cầu B(o, R) ⊂ M Khi đó, tồn số Cp,n cho Cp,n (1 + |∇v| ≤ v R √ kR) , B(o, R/2) Chứng minh Do phần tử thứ hai vế trái biểu thức (2.13) không âm, việc bớt phần tử không làm đổi chiều bất đẳng thức, ta có f n(p/2+b) n−2 η 2n n−2 n−2 n Ω f p/2+b η + a10 ec2 b0 V −2/n R2 ≤ a9 b20 bec2 b0 V −2/n Ω Ω ≤ a17 b20 bec2 b0 V −2/n f p/2+b η + a17 ec2 b0 V −2/n R2 Ω = a17 ec2 b0 V 2/n |∇η|2 f p/2+b |∇η|2 f p/2+b Ω (b20 bη + R2 |∇η|2 )f p/2+b (2.18) Ω Áp dụng kỹ thuật lặp Moser, ta đặt bl+1 = bl n , n−2 Ωl = B 0, 36 R R + l , l = 1, 2, · · · , chọn ηl ∈ C0∞ (Ω) cho ≤ ηl ≤ ηl ≡ Ωl+1 , ηl ≡ Ω \ Ωl , |∇ηl | ≤ Từ (2.18) cách đặt b + p/2 = bl , η = ηl lấy mũ f b+p/2 4l R hai vế ta bl+1 bl+1 Ωl+1 ≤ ≤ bl ec2 b0 a17 2/n V bl (b20 bηl2 + R2 |∇ηl |2 )f bl Ωl bl ec2 b0 a17 2/n V bl (b20 bl + R2 |∇ηl |2 )f bl , Ωl ta sử dụng tính chất ηl ≤ 1, bηl2 < b + p/2 = bl Do |∇ηl | ≤ 4l R nên ta suy ec2 b0 b1 f Lbl+1 (Ωl+1 ) ≤ (a17 2/n ) l (b0 bl + 16l ) bl V f Lbl (Ωl ) (2.19) Với l = 1, 2, , ta có f f Lb2 (Ω Lb3 (Ω 2) 3) ≤ ec2 b0 a17 2/n V ≤ ec2 b0 a17 2/n V ≤ ec2 b0 a17 2/n V = ec2 b0 a17 2/n V b1 b2 (b20 b1 + 16) b1 f Lb1 (Ω1 ) (b20 b2 + 162 ) b2 + b1 b1 f Lb2 (Ω2 ) 1 (b20 b2 + 162 ) b2 (b20 b1 + 16) b1 + b1 b1 2 b30 ( k=1 n k ) + 16k n−2 Lặp lại trình l lần cho l → ∞, ý nhân lùi vô hạn công bội n−2 n bk f f ∞ l=1 bl Lb1 (Ω1 ) Lb1 (Ω1 ) tổng cấp số nên ta có ∞ l=1 n = , bl 2b1 từ ta nhận f L∞ (BR/2 ) ec2 b0 n ≤ (a18 2/n ) 2b1 V ∞ b30 ( l=1 n l ) + 16l n−2 37 bl f Lb1 (B3R/4 ) Mặt khác ta lại có biến đổi sau, với ý b0 > 1, ∞ b30 ( l=1 bl n l ) + 16l n−2 ∞ b1 ≤ n l ( ) + 16l n−2 b0 l=1 ∞ 3n 2b1 2.16l < b0 bl bl l=1 3n 2b1 ∞ l=1 bl = b0 16 ∞ l l=1 bl < ∞ Vì ta thu nc2 b0 e 2b1 3n f L∞ (BR/2 ) ≤ a19 1/b b02b1 V f Lb1 (B3R/4 ) (2.20) Sử dụng Bổ đề (2.7) áp dụng cho chuẩn Lb1 f (2.20) ta suy bất đẳng thức sau f L∞ (BR/2 ) ≤ a19 ≤ a20 e nc2 b0 (n−2) 2b0 n V 1/b1 3n(n−2) 2b0 n b0 c3 b20 1/b1 V R2 b20 R2 (2.21) √ f = |∇u|2 = (p − 1)2 |∇v| v b0 = Cp,n (1 + κR) Cuối ta nhận Cp,n (1 + |∇v| ≤ v R √ kR) Đó điều phải chứng minh Một hệ trực tiếp Định lý (2.8) bất đẳng thức Harnack sau Định lý 2.9 Cho (M n , g) đa tạp Rieman đầy đủ với Ric ≥ −(n − 1)κ, với κ ≥ Giả sử v hàm p-điều hòa dương hình cầu B(o, R) ⊂ M , đó, tồn số Cp,n (chỉ phụ thuộc vào p n) cho với x, y ∈ B(o, R/2) √ kR) v(x)/v(y) ≤ eCp,n (1+ Hệ Ric ≥ tồn số Cp,n không đổi cho sup v ≤ Cp,n B(o,R/2) 38 inf B(o,R/2) v Chứng minh Với x, y ∈ B(o, R/2), gọi γ(s) đường trắc địa x y , γ : [0, 1] → M, γ(0) = y, γ(1) = x Ta có ln v(x) = ln(v(x)) − ln(v(y)) v(y) = ln (v(γ(1))) − ln (v(γ(0))) = dln(v(γ(s))) ds ds Mặt khác, ta lại có Cp,n (1 + dlnv(γ(s)) ∇v(γ(s)) · γ(s) ˙ |∇v(γ(s))| · |γ| ˙ = ≤ ≤ ds v(γ(s)) v(γ(s)) R √ κ R) |γ| ˙ Sử dụng ước lượng gradient Định lý 2.8 bất đẳng thức ta suy v(x) ln v(y) √ Cp,n (1 + κ R) |γ| ˙ ds R √ Cp,n (1 + κ R) = dist(x, y) R √ ≤ Cp,n (1 + κ R) Hệ √ v(x)/v(y) ≤ eCp,n (1+ kR) Khi Ric ≥ 0, ta đặt k = 0, nhân hai vế bất đẳng thức với v(y), lấy inf theo y , sau lấy sup theo x với y, x ∈ B(o, R/2) ta thu bất đẳng thức Harnack sup v ≤ Cp,n B(o,R/2) inf v B(o,R/2) Ta có điều phải chứng minh Chú ý định lý chứng minh Rigoli, Salvatori, Vignati [9] Trong thực tế, họ chứng minh kết tốt hơn, kết nói Định lý 2.9 giữ nguyên đòi hỏi giả thiết công thức so sánh thể tích tăng gấp đôi bất đẳng thức Poincaré yếu Một ứng dụng khác Định lý 2.8 định lý Liouville sau Định lý 2.10 Cho u hàm p-điều hòa bị chặn trên đa tạp Riemann đầy đủ với tensor Ricci không âm, u hàm 39 Chứng minh Ta giả thiết u hàm bị chặn Trường hợp u hàm bị chặn ta đưa trường hợp hàm bị chặn cách xét hàm −u Giả sử u ≥ C với C số Thay xét hàm p-điều hòa u ta xét hàm p-điều hòa u − (C − 1) Khi ta giả sử u ≥ Với x ∈ M cố định, xét hình cầu tâm o bán kính R, với R đủ lớn cho x ∈ B(o, R), từ Định lý 2.8, ta có |∇u(x)| ≤ Cp,n u(x) R Cho R → +∞, ta nhận |∇u(x)| = Do ∇u(x) = 0, x tùy ý, ta có ∇u(x) = M Do u hàm 40 Kết luận Trong luận văn này, tác giả trình bày lại cách chi tiết, rõ ràng bước chứng minh kết báo Xiaodong Wang Leizhang (Tài liệu tham khảo số [13]) Các kết Chứng minh ước lượng gradient cho hàm p-điều hòa dương đa tạp Riemann với độ cong Ricci bị chặn Chứng minh hai hệ ước lượng gradient Đó định lý Harack định lý Liouville cho hàm p-điều hòa 41 Tài liệu tham khảo [1] Đỗ Ngọc Diệp(2010), Hình học vi phân, NXB ĐHQG, Hà Nội [2] B Kotschwar, L.Ni, "Local gradient estimates of p-harmonic functions, 1/H flow, and an entropy formula", Ann, Sci, Éc, Norm, Supér (4) 42 (2009), no 1, 1-36 [3] H.I.Choi, On the Liouville theorem for harmonic maps Proc Amer Math Soc 85 (1982), no 1, 91 - 94 [4] P.Li, A lower bound for the first eigenvalues of the Laplacian on a compact manifold Indiana Univ Math J 28 (1979), no 6, 1013-1019 [5] P.Li, S.T.Yau, Estimate of the first eigenvalues of a compact Riemannian manifold Geometry of the Laplace operator (Proc Sympos Pure Math., Univ Hawaii, Honolulu, Hawaii, 1979), pp 205-239, Proc Sympos Pure Math., XXXVI, Amer Math Soc., Providence, R.I., 1980 [6] P Tolksdorf, "Regularity for a more general class of quasilinear elliptic equations", J.Differential Equation 51 (1984), no 1,126-150 [7] I Holopainen, Volume growth, Green’s function, and parobolicity of ends Duke Math Journal 97 (1999), 319-346 [8] L Saloff-Coste, "Uniformly elliptic operators on Riemann manifolds", J.Differential Geom 36 (1992), no 2,417-450 [9] M Rigoli, M Salvatori, and M Vignati, A note on p-subharmonic function on complete manifolds Manuscripta Math 92 (1997), 339-359 [10] S.Y.Cheng, Liouville theorem for harmonic maps Geometry of the Laplace operator (Proc Sympos Pure Math., Univ, Hawaii, Honolulu, Hawaii, 1979), pp 147-151, Proc Sympos Pure Math., XXXVI, Amer Math Soc., Providence, R.I., 1980 42 [11] R Moser, The inverse mean curvature flow and p-harmonic functions J.Eur Math Soc (2007), 77-83 [12] R Schoen, S.T Yau, Lectures on Differential Geometry International Press, Boston, 1994 [13] Xiaodong Wang, Lei Zhang(2011), "Local gradient estimate for p-harmonic functions on Riemann manifolds", Comm Anal Geom 19 (2011), no 4, 759-771 [14] Zuoqin Wang(2012), "Notes on Differential Geometry", Lecture notes, http://www-personal.umich.edu/∼wangzuoq/ [15] Zuoqin Wang(2013), "Notes on Smooth Manifolds", Lecture notes, http://www-personal.umich.edu/∼wangzuoq/ 43 [...]... |∇u |p 2 ∇u, ∇φ = − M |∇u |p φ M Ta có các tính toán sau |∇u |p 2 ∇u, ∇φ = − − M (p − 1 )p 2 M |∇v |p 2 p − 1 − ∇v, ∇φ v p 2 v |∇v |p 2 ∇v, v − (p 1) ∇φ = (p − 1 )p 1 M |∇v |p 2 ∇v, ∇(v − (p 1) φ) = (p − 1 )p 1 M |∇v |p 1 ∇v, φ∇(v − (p 1) ) − (p − 1 )p 1 M 23 (a) Ở đây ta đã sử dụng công thức ∇(v − (p 1) φ) = v − (p 1) ∇φ + φ∇(v − (p 1) ) Do v ∈ W 1 ,p , v là hàm p- điều hòa, chọn ψ = v − (p 1) φ ∈ C0∞ (M ), ta có |∇v |p 2... Moser để ước lượng chuẩn sup của hàm p- điều hòa thông qua chuẩn Lb1 xét trong Bổ đề 2.7 Các định lý Harnack và Liouville cũng lần lượt được chứng minh trong mục này 2.1 Ước lượng chuẩn Lb1 cho gradient của hàm p- điều hòa Cho (M, g ) là một đa t p Riemann và Ω ⊂ M là một t p mở Một hàm v ∈ 1 ,p Wloc (Ω) là p- điều hòa nếu p v := div |∇v |p 2 ∇v = 0 theo nghĩa yếu, tức là với mọi t p mở U ∈ Ω |∇v |p 2 ∇v, ∇ξ... p v Từ các tính toán ở trên và p dụng công thức cơ bản div (h · ∇u) = ∇h · ∇u + h · ∆u, 22 ta có div |∇u |p 2 · ∇u =∇|∇u |p 2 · ∇u + |∇u |p 2 · ∆u − (p − 1 )p 1 · v · ∇ |∇v |p 2 · ∇v − (p − 2) · |∇v |p 2 · |∇v|2 p v − (p − 1 )p 1 + · |∇v |p 2 · v · ∆v − |∇v|2 vp − (p − 1 )p 1 = · v · ∇ |∇v |p 2 · ∇v + |∇v |p 2 · ∆v vp (p − 1 )p 1 + · (p − 2) · |∇v |p 2 · |∇v|2 + |∇v |p 2 · |∇v|2 p v = Chú ý rằng do v là một hàm p- điều. .. Khi đó Ricp (Xp , Yp ) = R(Xp , er , Yp , er ) r Đặc biệt, chúng ta thấy rằng tensor Ricci là tensor đối xứng kiểu (0, 2) Ric(X, Y ) = Ric(Y, X) 20 Chương 2 ƯỚC LƯỢNG GRADIENT CHO CÁC HÀM p- ĐIỀU HÒA Trong chương này, chúng ta sẽ chứng minh một ước lượng gradient cho các hàm p- điều hòa dương trên một đa t p Riemann với độ cong Ricci bị chặn dưới đồng thời đưa ra hai p dụng của kết quả này p dụng thứ... cắt trơn của phân thớ vectơ (π, E, M ) là một ánh xạ trơn s : M → E thỏa mãn π ◦ s = IdM T p h p các lát cắt trơn của E được ký hiệu là Γ∞ (E) D Gradient Định nghĩa 1.14 Cho M là một đa t p trơn n-chiều Một metric Riemann g trên đa t p M là một ánh xạ cho tương ứng với mỗi p ∈ M , một tích vô hướng gp (., ) = , p trên Tp M mà phụ thuộc trơn vào p C p (M, g) khi đó được gọi là một đa t p Riemann Người... p 2 v p 2 · ∇ |∇v |p 2 − |∇v |p 2 · (p − 2) · v p 3 · ∇v v 2 (p 2) (p − 1 )p 2 · v · ∇ |∇v |p 2 − (p − 2) · |∇v |p 2 · ∇v p 1 v Từ đó, ta tính được ∇|∇u |p 2 · ∇u = − (p − 1 )p 1 · v · ∇ |∇v |p 2 · ∇v − (p − 2) · |∇v |p 2 · |∇v|2 vp Mặc khác, v · ∆v − |∇v|2 v2 ∆u = − (p − 1) · = − (p − 1) · v · ∆v − |∇v|2 v2 Nhân cả hai vế của biểu thức trên với hàm h = |∇u |p 2 , ta nhận được h · ∆u = − (p − 1 )p 1 · |∇v |p 2 ·... một hàm p- điều hòa nên v thỏa mãn div |∇v |p 2 ∇v = 0, điều này tương đương với, ∇ |∇v |p 2 · ∇v + |∇v |p 2 · ∆v = 0 Do đó (p − 1 )p 1 · (p − 2) · |∇v |p 2 · |∇v|2 + |∇v |p 2 · |∇v|2 vp (p − 1 )p = · |∇v |p = |∇u |p p v div |∇u |p 2 · ∇u = Trong trường h p v không khả vi đến c p hai, v là hàm p- điều hòa theo nghĩa yếu, ta cần chứng minh rằng với mọi ϕ ∈ C0∞ (M ), ta có div |∇u |p 2 · ∇u φ = M |∇u |p φ (theo nghĩa... p dụng thứ hai là một định lý kiểu Liouville cho các hàm p- điều hòa dương Trong mục đầu tiên, chúng ta sẽ xây dựng các công thức tính toán liên quan đến tích phân của hàm p- điều hòa dương, công thức này được trình bày trong Bổ đề 2.5 Nhờ bổ đề này chúng ta chứng minh được một ước lượng cho chuẩn Lb1 của hàm p- điều hòa dương trong Bổ đề 2.7 Trong mục 2, chúng ta sẽ sử dụng phương ph p l p Moser để ước. .. là |∇v |p 2 ∇v, ∇(v − (p 1) φ) = 0 (b) M Mặt khác, ta có |∇v |p 2 ∇v, φ∇(v − (p 1) ) = − (p − 1 )p 1 (p − 1 )p 1 φ|∇v |p 2 ∇v, (p − 1)v p ∇v M M |∇v |p 2 ∇v, ∇v v p φ = − (p − 1 )p M = − (p − 1 )p M |∇v |p φ vp |∇u |p φ =− (c) M Từ (a), (b), (c) ta suy ra |∇u |p 2 ∇u, ∇φ = − M |∇u |p φ M Ta có điều phải chứng minh Bây giờ, ta đặt f = |∇u|2 , giả sử rằng f = 0, ta định nghĩa toán tử tuyến tính hóa của toán tử phi tuyến... là một ph p tương ứng mỗi điểm p ∈ M với một vectơ ti p xúc Xp ∈ Tp M Nó được gọi là trơn nếu với mỗi f ∈ C ∞ (M ), hàm Xf (p) = Xp (f ) là trơn trên M T p h p các trường vectơ trơn trên M ký hiệu là Γ∞ (T M ) C Phân thớ vectơ Định nghĩa 1.10 Cho E, M là các đa t p trơn và π : E → M là một toàn ánh trơn Chúng ta nói rằng (π, E, M ) là một phân thớ vectơ hạng k nếu với mọi p ∈ M, 1 Ep = π −1 (p) là ... 17 ƯỚC LƯỢNG GRADIENT CHO CÁC HÀM p- ĐIỀU HÒA L b1 2.1 Ước lượng chuẩn 2.2 Phương ph p l p Moser ước lượng gradient hàm p- điều 21 cho gradient hàm p- điều hòa 21 hòa Các ứng dụng... Chương ƯỚC LƯỢNG GRADIENT CHO CÁC HÀM p- ĐIỀU HÒA Trong chương này, chứng minh ước lượng gradient cho hàm p- điều hòa dương đa t p Riemann với độ cong Ricci bị chặn đồng thời đưa hai p dụng kết p. .. Ước lượng chuẩn Lb1 cho gradient hàm p- điều hòa Cho (M, g ) đa t p Riemann Ω ⊂ M t p mở Một hàm v ∈ 1 ,p Wloc (Ω) p- điều hòa p v := div |∇v |p 2 ∇v = theo nghĩa yếu, tức với t p mở U ∈ Ω |∇v |p 2