CÁC PHƢƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƢƠNG TRÌNH KHÔNG MẪU MỰC phần -Biên soạn: Trịnh Phương Liên I PHƢƠNG PHÁP THẾ Phương pháp Rút biến để Rút ấn từ ph ẩn gi ợc trì h y, thay v o ph trì h k a ể ợc ph trì h  x  3xy  y  11  Ví dụ Giải hệ phương trình    y  xy  Giải Hướng dẫn: Muốn rút ẩn từ phương trình, ta phải coi ẩn lại số biết, giải phương trình với ẩn cần rút, ta phải chọn phương trình phù hợp Trong ví dụ 1, ta rút x từ phương trình thứ y  xy  (2) (Lưu ý, để rút x, ta phải ý trường hợp y  ) Xét y  không nghiệm phương trình, ta có: x  y2  Thế vào phương trình (1) ta 2y được:  y  2 y2   y  24 y  25  0(3)  y  y  11    2y  y     y2  y 5   x  y  4  x  y  Giải phương trình (3) tìm y, vào phương trình (4) ta tìm nghiệm hệ phương trình  x; y    2; 1   2;1 2  x  y  1 x  y  1  3x  x  Ví dụ Giải hệ phương trình   xy  x   x Giải Ta thấy x  nghiệm hệ phương trình ợc tài trợ bởi: Thành Công Study – www.thanhcongstudy.edu.vn Địa chỉ: 6A1, Tiểu khu Ngọc Khánh, Ngọc Khánh, Ba Đình, Hà Nội Để ă ký học, quý phụ huynh học sinh gọ ện tới: 0977.333.961 gửi email tớ hòm th : thanhcongstudy@gmail.com Trân trọng! Từ phương trình (2) ta có y  x2  x 1  x   Thế vào phương trình (1) ta x x  1  x  x   x    3x  x  x  x   x  3x  x   x  x3  3x     x   loai    x   x  2  Vậy hệ có nghiệm  x; y   1; 1 ,  2;    2 Phương pháp Rút biểu thức để Rút biểu thức từ phương trình này, thay vào phương trình để phương trình ẩn giải  x  y  1 x  y  1  3x  x  Ví dụ Giải hệ phương trình   xy  x   x Giải Dễ thấy x  không thỏa mãn phương trình thứ Do từ phương trình thứ hai ta có y 1  x2 1 x Thay vào phương trình thứ ta x2 1  x2 1  x x   3x  x  x  x    x  1 x  1   x  1 x  1   x  1  x  x  x    x  x  1  x  x     x   loai    x   x  2  Từ ta có nghiệm hệ  x; y   1; 1   2;    2 ợc tài trợ bởi: Thành Công Study – www.thanhcongstudy.edu.vn Địa chỉ: 6A1, Tiểu khu Ngọc Khánh, Ngọc Khánh, Ba Đình, Hà Nội Để ă ký học, quý phụ huynh học sinh gọ ện tới: 0977.333.961 gửi email tớ hòm th : thanhcongstudy@gmail.com Trân trọng!  x  x3 y  x y  x  Ví dụ Giải hệ phương trình    x  xy  x  Giải Hệ phương trình cho tương đương với  x  xy 2  x    x2    3x     x   x2 2   xy  3x     x  12 x  48 x  64 x   x  x  4  x    x  4  x  không thỏa mãn hệ phương trình  x  4  y  17 Nghiệm hệ phương trình  x; y    4;  17   4 Phƣơng pháp Thế số biểu thức 2 y  x  Ví dụ Giải hệ phương trình  3 2 x  y  y  x Giải Ta có: x3  y3   y  x   y  x2   x3  x2 y  xy  y3  Nhận thấy y  không nghiệm hệ phương trình Với y  , ta chia hai vế cho y3  x x x        2     y  y  y x  1 y x  y x  y     y   x  y  1 Từ ta có nghiệm hệ  x; y   1;1   1; 1 ợc tài trợ bởi: Thành Công Study – www.thanhcongstudy.edu.vn Địa chỉ: 6A1, Tiểu khu Ngọc Khánh, Ngọc Khánh, Ba Đình, Hà Nội Để ă ký học, quý phụ huynh học sinh gọ ện tới: 0977.333.961 gửi email tớ hòm th : thanhcongstudy@gmail.com Trân trọng!   x  y   x  y   x  x  1   y Ví dụ Giải hệ phương trình    x  x  1   y 1  2 Giải Từ phương trình (2) ta có x  x  1  y  vào phương trình (1) ta :  y  2 x 2 2 x  y x  y  x  y       y  1 x  y  2 x TH1    x  x  1   y Phương trình vô nghiệm    17  17 x  x     y  1 x  4 TH2    x x    y     y   17  y   17   4   17  17    17  17  ; ; ,    4   Vậy nghiệm hệ    x  y   x  y   x y  x  1 Ví dụ Giải hệ phương trình  2  2  3x  y  y   x Giải Từ phương trình thứ (2) ta có  8x  3x2  y  y x  y Thay vào phương trình (1) ta  x  y   x  x  15    x   x  5 Với x  y thay vào phương trình (2) ta 4 x2  (vô nghiệm)  y  1  y  7 Với x  thay vào phương trình (2) ta y  y     Với x  5 thay vào phương trình (2) ta y  y  119  (vô nghiệm) Vậy hệ phương trình có hai nghiệm  x; y    3; 1   3; 7   x3  y  xy  x  y   Ví dụ Giải hệ phương trình  5  x  y  30 xy  32 1  2 ợc tài trợ bởi: Thành Công Study – www.thanhcongstudy.edu.vn Địa chỉ: 6A1, Tiểu khu Ngọc Khánh, Ngọc Khánh, Ba Đình, Hà Nội Để ă ký học, quý phụ huynh học sinh gọ ện tới: 0977.333.961 gửi email tớ hòm th : thanhcongstudy@gmail.com Trân trọng! Giải Thế từ phương trình (1) vào phương trình (2) ta x5  y  xy  x3  y  xy  x  y    32   x  y   32  x y 2 x  y  x    xy  y 1 Ta  Vậy nghiệm hệ  x; y   1;1 Bài tập Giải hệ phƣơng trình sau  x5  y 1  x  y  x2  y   Hướng dẫn: Khai triển phương trình (1), x2  y  vào phương trình thu Đáp số:  x; y   1;1,  1; 1  2 xy  3x  y  6  2  x  y  x  12 y  Hướng dẫn: Biến đổi phương trình (2) dạng  x  y   x  12 y   xy Thế 2 xy  3x  y  vào phương trình vừa thu 3 7 3 Đáp số :  x; y    2; ,  2; ,  2; ,  6;  2 2        15     2  x  y     xy  y   15 Đáp số:  ; ; ,    21   21   6 xy   x  y  2  y  x  x  y  xy  6 xy   x  y   x  y   6 xy   x  y    x  y  Hướng dẫn: Hệ phương trình tương đương với   x2  x   y   2   y  x  x  3y   Hướng dẫn:  x  1  y  ợc tài trợ bởi: Thành Công Study – www.thanhcongstudy.edu.vn Địa chỉ: 6A1, Tiểu khu Ngọc Khánh, Ngọc Khánh, Ba Đình, Hà Nội Để ă ký học, quý phụ huynh học sinh gọ ện tới: 0977.333.961 gửi email tớ hòm th : thanhcongstudy@gmail.com Trân trọng!  x  x  a  y  1  2  y  y  a x  x   Hướng dẫn: Thế y   x2  x  a  0 a2 2 x3  y   x  y  xy  3  2  y  x  xy  Hướng dẫn: Thế y  x2  xy  vào phương trình ta x3  y3  x  y 2  x  2x y  x y  2x     y  xy  x  Hướng dẫn: Thế y  x   x2 Đáp số: 2x 17    4;  4  2 x3  y   x  y  xy  3  2  x  xy  y  Hướng dẫn: Thế số phương trình (2) vào vế phải phương trình (1) Đáp số:  x; y    2;1,  2; 1   x2  y     x   x  3 y  48 y  48 x  155  10  Hướng dẫn: Thế  3y  x từ phương trình (1) vào phương trình (2), ta phương trình bậc hai với ẩn  y  x  Đáp số:  x; y    3  3;2  1 ,  3  3; 2  1 ,             1  1   3   ;    ,  3   ;     2  2  1  1   3   ;    ,    ;    2  2  1  1   3   ;    ,    ;     2  2   x3  xy  2000 y  11    y  yx  500 x   20 30 10 30 ; 3  Đáp số:  x; y    0;0 ,      2 x y  3xy  x  y 12   7 y   x  x Hướng dẫn: rút y từ phương trình (1) vào phương trình (2) ta phương trình tích ợc tài trợ bởi: Thành Công Study – www.thanhcongstudy.edu.vn Địa chỉ: 6A1, Tiểu khu Ngọc Khánh, Ngọc Khánh, Ba Đình, Hà Nội Để ă ký học, quý phụ huynh học sinh gọ ện tới: 0977.333.961 gửi email tớ hòm th : thanhcongstudy@gmail.com Trân trọng! Đáp số:  x; y    2;   16   1   9 3 33  ;3  ,  ; ,       ợc tài trợ bởi: Thành Công Study – www.thanhcongstudy.edu.vn Địa chỉ: 6A1, Tiểu khu Ngọc Khánh, Ngọc Khánh, Ba Đình, Hà Nội Để ă ký học, quý phụ huynh học sinh gọ ện tới: 0977.333.961 gửi email tớ hòm th : thanhcongstudy@gmail.com Trân trọng! ...  2;    2 Phương pháp Rút biểu thức để Rút biểu thức từ phương trình này, thay vào phương trình để phương trình ẩn giải  x  y  1 x  y  1  3x  x  Ví dụ Giải hệ phương trình ...   x  4  x  không thỏa mãn hệ phương trình  x  4  y  17 Nghiệm hệ phương trình  x; y    4;  17   4 Phƣơng pháp Thế số biểu thức 2 y  x  Ví dụ Giải hệ phương trình  3...   x  y   x  x  1   y Ví dụ Giải hệ phương trình    x  x  1   y 1  2 Giải Từ phương trình (2) ta có x  x  1  y  vào phương trình (1) ta :  y  2 x 2 2 x  y x  y 