Một số toán đa thức Khóa luận tốt nghiệp Lời Cảm ơn Khóa luận tốt nghiệp kết cố gắng thân em sau thời gian học tập nghiên cứu hướng dẫn thầy cô Qua em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy cô giáo, đặc biệt cô Dương Thị Luyến người tận tình hướng dẫn, giúp đỡ em trình hoàn thành khóa luận Hà Nội, tháng năm 2013 Sinh viên Bùi Thị Thảo Bùi Thị Thảo - K35C SP Toán GVHD: Th.s Dương Thị Luyến Một số toán đa thức Khóa luận tốt nghiệp Lời cam đoan Em xin cam đoan: Khóa luận tốt nghiệp kết trình học tập nghiên cứu em Khóa luận hoàn thành sở kiến thức mà em học, số tài liệu tham khảo bảo thầy cô giáo, đặc biệt bảo tận tình cô Dương Thị Luyến Với đề tài Một số toán đa thức , khóa luận trùng lặp với khóa luận khác Hà Nội, tháng năm 2013 Sinh viên Bùi Thị Thảo Bùi Thị Thảo - K35C SP Toán GVHD: Th.s Dương Thị Luyến Một số toán đa thức Khóa luận tốt nghiệp Mục lục Mở đầu Chương Một số kiến thức Vành đa thức ẩn 1.1 Xây dựng vành đa thức ẩn 1.2 Một số tính chất đa thức ẩn 1.2.1 Phép chia đa thức 1.2.2 Nghiệm đa thức 1.3 Đa thức bất khả quy 1.4 Đa thức với hệ số thực phức 1.5 Đa thức đồng dư Vành đa thức nhiều ẩn 10 2.1 Xây dựng vành đa thức nhiều ẩn 10 2.2 Bậc đa thức nhiều ẩn 11 2.3 Đa thức đối xứng 11 Chương Một số toán đa thức 13 Một số toán đa thức ẩn 13 1.1 Bài toán chia hết 13 1.1.1 Bài toán chứng minh chia hết 13 1.1.2 Tìm giá trị tham số m để f(x, m) chia hết cho g(x,m) 15 1.2 Xác định đa thức phép chia có dư 19 1.3 Bài toán nghiệm đa thức 20 1.3.1 Định lý Viéte số ứng dụng 20 1.3.2 Nghiệm đa thức hệ số đối xứng 25 1.3.3 Nghiệm đa thức hệ số nguyên 27 1.3.4 Bài toán đạo hàm đa thức nghiệm bội 31 Bùi Thị Thảo - K35C SP Toán GVHD: Th.s Dương Thị Luyến Một số toán đa thức Khóa luận tốt nghiệp 1.4 Bài toán đa thức bất khả quy 33 Bài toán đa thức nhiều ẩn 37 2.1 Tìm biểu diễn đa thức đối xứng qua đa thức đối xứng 37 2.2 Một số toán ứng dụng đa thức đối xứng 39 2.2.1 Phân tích đa thức thành nhân tử 39 2.2.2 Chứng minh đẳng thức 42 2.2.3 Chứng minh bất đẳng thức 44 2.2.4 Tìm nghiệm nguyên phương trình đối xứng 46 2.2.5 Giải hệ phương trình đối xứng 48 2.2.6 Giải phương trình thức 51 2.2.7 Trục thức mẫu 52 Kết luận 54 Tài liệu tham khảo Bùi Thị Thảo - K35C SP Toán GVHD: Th.s Dương Thị Luyến Một số toán đa thức Khóa luận tốt nghiệp Mở ĐầU Lý chọn đề tài Đa thức có vị trí quan trọng Toán học, đối tượng nghiên cứu trọng tâm Đại số mà công cụ đắc lực giải tích lý thuyết xấp xỉ, lý thuyết nội suy, lý thuyết tối ưu, Ngoài ra, định lý đặc trưng đa thức sử dụng nhiều Toán Cao cấp, Toán ứng dụng Các toán đa thức xem dạng toán khó THPT, đề cập nhiều kỳ thi HS giỏi Quốc gia, Olympic Quốc tế kỳ thi Olympic sinh viên trường Đại học, Cao đẳng Vì lý với lòng say mê nghiên cứu khoa học, hướng dẫn tận tình cô Dương Thị Luyến, em chọn đề tài Một số toán đa thức với mong muốn ứng dụng kiến thức học vào chương trình toán THPT Mục đích nghiên cứu nhiệm vụ nghiên cứu Tìm hiểu toán đa thức Đối tượng nghiên cứu Các toán đa thức Phương pháp nghiên cứu Đọc tài liệu ; Phân tích; So sánh ; Hệ thống hóa Bùi Thị Thảo - K35C SP Toán GVHD: Th.s Dương Thị Luyến Một số toán đa thức Khóa luận tốt nghiệp Chương i Một số kiến thức Vnh đa thức ẩn 1.1 Xây dựng vnh đa thức ẩn Giả sử A l vnh giao hoán có đơn vị, kí hiệu l v P l tập hợp dãy vô hạn (a0, a1, , an,) A, i = 0, 1, 2, v = hầu hết Hai phn t (a0, a1, , an,) v (b0, b1, , bn,) P xem l = bi, i = 0, 1, 2, Ta có: ( a0 , a1 , , an , ) (b0 , b1 , , bn , ) ( a0 b0 , a1 b1 , , an bn , ) ( a0 , a1 , , an , ).(b0 , b1 , , bn , ) (c0 , c1 , , cn , ) ab với ck a0bk a1bk ak b0 i j (1) (2) , k 0,1,2, i jk Khi (P,+, ) lập thành vành giao hoán có đơn vị gọi vành đa thức Thật vậy, ta có hai quy tắc (1) (2) cho ta hai phép toán P (P, + ) nhóm giao hoán Thật vậy: + Hiển nhiên phép cộng có tính chất giao hoán kết hợp + Phần tử không dãy (0,0,,0,) + Phần tử đối dãy (a0, a1,, an,) dãy (- a0, - a1,,- an,) Vậy P nhóm cộng giao hoán (P, ) nhóm giao hoán Thật vậy, + Vì A giao hoán nên ab i j i j k ba j i nên phép nhân giao hoán i j k + Phép nhân A có tính chất kết hợp phân phối phép cộng nên phép nhân P có tính chất kết hợp phân phối phép cộng + Phần tử đơn vị (1,0,,0,) Do P vành giao hoán có đơn vị Xét ánh xạ f : A P a (a,0, ,0, ) Bùi Thị Thảo - K35C SP Toán GVHD: Th.s Dương Thị Luyến Một số toán đa thức Khóa luận tốt nghiệp Nhận thấy f đơn cấu vành, ta đồng phần tử a A với dãy (a, 0, , 0, ) P A l vnh ca P Đặt x = (0, 1, 0, , 0, ) Khi phần tử P l dãy (a0, a1, , an,) với A, i = 0, 1, 2, viết dạng: f(x) = a0 + a1x + + anxn Nếu an (n 0) gọi bậc đa thức f(x), kí hiệu n = degf(x) Đa thức không đa thức không định nghĩa bậc có bậc Kí hiệu P = A[x] gọi vành đa thức ẩn x, A vành sở, phần tử gọi đa thức ẩn x, thường kí hiệu f(x), g(x), 1.2.Một số tính chất đa thức ẩn 1.2.1 Phép chia đa thức Định lí (Định lý phép chia có dư) Cho A[x] l vnh đa thức, A l trường Với hai đa thức f(x), g(x) A[x] (g(x) 0) tồn hai đa thức q(x) r(x) cho f(x) = g(x).q(x) + r(x) Nếu r(x) deg r(x) < deg g(x), r(x) l dư phép chia f(x) cho g(x) Nếu r(x) = ta nói f(x) chia hết cho g(x), kí hiệu f(x) g(x) 1.2.2 Nghiệm đa thức a) Định nghĩa Cho f(x) A[x] , f(x) = anxn + an-1xn-1 + + a1x + a0 , c A , f(c) = ancn + an-1cn-1 + + a1c + a0 A, f(c) giá trị f(x) x= c Nếu f(c) = c nghiệm đa thức f(x) b) Định lí Định lí Bézout Dư phép chia f(x) cho (x c) giá trị f(x) x = c Hệ c A nghiệm f(x) f(x) chia hết cho (x c) Bùi Thị Thảo - K35C SP Toán GVHD: Th.s Dương Thị Luyến Một số toán đa thức Khóa luận tốt nghiệp c) Lược đồ Hoorne Định lí Cho đa thức f(x) = a0xn + a1xn -1 ++an (a0 0) v g(x) = x a Khi thương f(x) chia cho g(x) l đa thức bậc n có dạng q(x) = b0xn-1 + b1xn-2 + + bn-2x + bn -1 Trong b0 = a0, bi = + .bi -1 , i 1, n v s d r = an + .bn a0 a1 an -1 an b0 b1 bn -1 r Chứng minh p dụng định lí phép chia với dư ta được: f1(x) = f(x) b0xn-1.(x ) = (a1 + b0).xn-1 + a1xn-1 + + an Nghĩa l b0 = a0, b1 = a1 + a0 Lại có f2(x) = f1(x) (a1 + b1)xn-2.(x ) = f(x) b1xn-2.(x ) = (a2 + b1)xn-2 + a3xn-3 + + an b2 = a2 + b1 Tiếp tục trình ta được: b0 = a0, b1 = a1 + b0, , bn-1 = an-1 + bn-2 v số dư r = an + bn-1 Định lí chứng minh d) Nghiệm bội tính chất nghiệm bội Định nghĩa Cho f(x) A[x] đa thức bậc n, c nghiệm bội m đa thức f(x) f(x) chia hết cho (x c)m f(x) không chia hết cho (x c)m+1 Tính chất f ( ) f '( ) f m1 ( ) nghiệm bội m f(x) m f ( ) Bùi Thị Thảo - K35C SP Toán GVHD: Th.s Dương Thị Luyến Một số toán đa thức Khóa luận tốt nghiệp Định lí Số nghiệm f(x) f(x) chia hết cho (x ) Giả sử A l trường, A, f(x) A[x] v m , m Khi đó, l f ( x)( x )m nghiệm bội cấp m f(x) m f ( x) ( x ) m = nghiệm đơn f(x) m = nghiệm kép f(x) Số nghiệm đa thức tổng số nghiệm đa thức kể bội nghiệm (nếu có) e) Định lí Định lý Viéte * Cho f(x) A[x] đa thức bậc n, f x a0 n n an x an f x a0 x x x n , , , n nghiệm đa thức Sau ta nhân thừa số với nhân hệ số theo dạng đa thức chuẩn tắc so sánh hệ số đa thức P(x) ta nhận được: a1 n a0 a2 2 n n a0 k a n k k n k n k a0 n an n a0 Bùi Thị Thảo - K35C SP Toán GVHD: Th.s Dương Thị Luyến Một số toán đa thức Khóa luận tốt nghiệp * Định lý Viéte đảo n Nếu x1,x2,,xn thỏa mãn hệ Tk xi xi xi ( 1) k i k an k ; k 1,2, , n an x1,x2,,xn nghiệm đa thức bậc n f(x) = anxn + an-1xn-1 + + a1x + a0 (an 0) f) Nghiệm đa thức hệ số đối xứng Định nghĩa Một đa thức P(x) = a0xn + a1xn-1 + + an-1x + an, gọi đa thức hệ số đối xứng, hệ số dạng chuẩn tắc cách hệ số đầu hệ số cuối có giá trị nhau, nghĩa là: a0 = an, a1 = an-1, , ak = an-k , Định lí Đa thức P(x) đa thức hệ số đối xứng bậc n với x P x x n P x Định lí Đa thức P(x) đa thức hệ số đối xứng bậc n điều kiện sau thoả mãn: Một số nghiệm đa thức P(x) số nghiệm Định lí Nếu P(x) đa thức hệ số đối xứng bậc 2m P(x) = xm.Q(y), yx với x 0, Q(y) đa thức bậc m x g) Nghiệm đa thức hệ số nguyên Định lí Nếu phân số tối giản p ( p, q) l nghiệm đa thức với hệ số q nguyên f(x) = a0 + a1x + + anxn p l ước a0 v q l ước an Bùi Thị Thảo - K35C SP Toán GVHD: Th.s Dương Thị Luyến Một số toán đa thức Khóa luận tốt nghiệp Từ bảng ta suy a 35, b 16 đó: f x1 , x2 614 3512 16 22 Xét tam thức bậc hai ta suy f x1 , x2 16 212 12 212 16 312 16 Thay trở lại theo biến x1 , x2 ta có f x1 , x2 x12 x1 x2 x22 x12 10 x1 x2 x22 Xét nhân tử x12 x1 x2 x22 xem tam thức bậc hai ẩn x1 có biệt số x22 19 x22 không phân tích [ x1 , x2 ] Nhân tử x12 10 x1 x2 x22 x1 x2 x1 x2 Do f x1 , x2 x1 x2 x1 x2 x12 x1 x2 x22 Ví dụ Phân tích đa thức sau thành nhân tử f x, y, z x y z 3xyz Lời giải Biểu diễn f(x, y, z) qua đối xứng , , ta f x, y, z 13 31 3 3 13 31 (12 ) Thay trở lại ta có: f x, y, z x y z x y z xy yz zx x y z x y z xy yz zx Ví dụ Phân tích đa thức sau thành nhân tử 3 3 3 P x, y, z, t x y y z z t t x x t y t Bùi Thị Thảo - K35C SP Toán 41 GVHD: Th.s Dương Thị Luyến Một số toán đa thức Khóa luận tốt nghiệp Lời giải P x, y, z , t đa thức đối xứng đẳng cấp bậc có hạng tử cao x3, tương ứng với số mũ 3,0,0,0 Dùng phương pháp hệ tử bất định với đa thức đối xứng , , , Hệ thống số mũ M 3,0,0,0 ; 2,1,0,0 ; 1,1,1,0 Đặt h(1 , , , ) a13 b1 c Ta có bảng cân hệ P x, y, z, t h(1 , , , ) X Y z T P=h -1 -1 0 -3 0 = 2c c = (1) 1 3 = 3a + b (2) 1 0 0 = 4a + b (3) Từ (1),(2) (3) a = 3; b = -6 ; c = h( , , , ) = - 12 P (x, y, z, t) = (x + y + z + t)3 6(xy + xz + xt + yz + yt + zt)( x + y + z + t) = (x + y + z + t) (x2 + y2 + z2 + t2) d) Bài tập tương tự Phân tích đa thức sau thành nhân tử : a) P = x4 + y4 + z4 2x2y2 2y2z2 2z2x2 b) P = (x + y)3 + (y + z)3 + (z + x)3 3(x + y)(y + z)(z + x) c) P = (x + y + z)5 x5 y5 z5 d) P = (x y)2 + (y z)2 + (z x)2 2.2.2 Chứng minh đẳng thức a) Cơ sở lí luận Biểu diễn đa thức đối xứng theo đa thức đối xứng Bùi Thị Thảo - K35C SP Toán 42 GVHD: Th.s Dương Thị Luyến Một số toán đa thức Khóa luận tốt nghiệp b) Phương pháp giải - Bước Đưa đa thức đối xứng đa thức đối xứng - Bước Chứng minh với đẳng thức c) Một số ví dụ Ví dụ Cho x + y = ; x3 + y3 = a ; x5 + y5 = b Chứng minh 5a(a + 1) = 9b + Lời giải 3 Ta có a x y (x y) 3xy(x y) 312 a Mà b = x5 + y5 = x5 + y5 + x2y3 + x3y2 - x2y3 - x3y2 = x2 (x3 + y3) + y2 (x3 + y3) - x2y2( x +y ) = (x2 + y2) (x3 + y3) - x2y2( x +y ) = ( - )( - ) - 22 2 = (1 - )( - ) - = + - 5a 5a 9b 5a 5a 9b 5a(a 1) Ta có điều phải chứng minh Ví dụ Chứng minh x + y + z = thì: a)2(x y z ) 5xyz(x y z ) b) x3 y3 z3 x y z x5 y5 z5 c)(x y z )2 2(x y z ) x7 y z x y z x5 y z5 x3 y z3 x y z d) Lời giải áp dụng toán tổng lũy thừa ta có: S1 = = , S2 = S1- = ; S3 = S2- S1+ = ; Bùi Thị Thảo - K35C SP Toán 43 GVHD: Th.s Dương Thị Luyến Một số toán đa thức Khóa luận tốt nghiệp S4 = S3 - S2 + S1 = - S2 = 2 ; S5 = S4 - S3 + S2 = - - = - ; S6 = S5 - S4 + S3 = -2 + 3 ; S7 = S6 - S5 + S4 = 22 + 22 = 22 Khi đó: 22 S x5 y5 z S 52 x2 y2 z xyz 5 2 S S 22 52 S b)VT VP 3 5 c)VT S 22 422 2.222 2S VP a) 52 22 S S x y z S 722 d) 22 (2 )(2 ) 7 5 2 7 S S x y z 22 4 Ta có điều phải chứng minh d) Bài tập tương tự Chứng minh x + y + z = x4 + y4 + z4 = 2(xy + yz + zx)2 Chứng minh xy + yz + zx = (x + y)2(y + z)2(z + x)2 + 24x2y2z2 = z4(x + y)2 + x4(y + z)2 + y4(z + x)2 2.2.3 Chứng minh bất đẳng thức a) Cơ sở lí luận thỏa mãn = x + y, = xy - Với x, y 12 12 (*) Nếu thêm điều kiện x , y ; - Với x, y, z ta có (x y)2 + (y z)2 + (z x)2 (x2 + y2 + z2) 2(xy + yz + zx) 2 ( ) (**) Dựa vào bất đẳng thức ta chứng minh bất đẳng thức khác Bùi Thị Thảo - K35C SP Toán 44 GVHD: Th.s Dương Thị Luyến Một số toán đa thức Khóa luận tốt nghiệp b) Phương pháp giải Thay f(x, y, z) biểu thức đa thức đối xứng sử dụng bất đẳng thức (*) (**) c) Một số ví dụ Ví dụ Chứng minh với a, b, c (ab + bc + ca)2 3abc(a + b + c) Lời giải Đặt = x + y + z, = xy + yz + zx, = xyz Ta có (1) Đặt x = ab ; y = bc ; z = ca Thay vào (1) ta (ab + bc + ca)2 3(ab2c + abc2 +a2bc)= 3abc(a + b + c) Ta có điều phải chứng minh Ví dụ Chứng minh a, b, c , a + b c n c2 c4 c2 2n 2n a b ; a b ; ; a b 2n ; n 2 Lời giải Ta có a + b = , ab = a2 + b2 = - (*) 12 Lại có = - 1 1 Thay vào (*) a b 12 (12 ) 12 12 2 2 1 a b (a b)2 c 2 11 áp dụng kết a b (a ) (b ) (a b ) c 2 4 2 2 c4 a b 4 Bùi Thị Thảo - K35C SP Toán 45 GVHD: Th.s Dương Thị Luyến Một số toán đa thức Khóa luận tốt nghiệp 11 Tương tự a b (a ) (b ) (a b )2 c 28 8 2 c8 a b 128 8 2n 2n Chứng minh quy nạp a b c2 22 n n (1) Giả sử bất đẳng thức đến n, tức có (1), ta chứng minh với n + Thật vậy, n n n n n c2 c2 c2 a b (a )2 (b )2 (a b )2 2n 2n 2n 1 2 (2 ) Ta có điều phải chứng minh n n n n d) Bài tập tương tự Chứng minh a, b, c cạnh tam giác thì: 1) 2( ab + bc + ca) > a2 + b2 + c2 2) (a2 + b2 + c2)(a + b + c) > 2(a3 + b3 + c3) 2.2.4 Tìm nghiệm nguyên phương trình đối xứng a) Phương pháp giải Đặt x y , xy Bước Biểu diễn phương trình ban đầu theo , rút gọn theo Bước Tìm x, y Ta có x, y nghiệm phương trình t2 - 1t + = Với điều kiện ( = 42 ) từ suy điều kiện Bước Tìm x, y theo , b) Một số ví dụ Ví dụ Tìm tt c nghim ca phng trình x xy y x y Bùi Thị Thảo - K35C SP Toán 46 GVHD: Th.s Dương Thị Luyến Một số toán đa thức Khóa luận tốt nghiệp Lời gii t x y, x y x y 3xy x y 12 12 Mặt khác, x, y () ta có ( x y) x y xy 12 12 12 () Từ () v (): 12 12 12 41 Do x, y nên x y , xy có trường hợp: + x y x 1, y + x 0, y + x 1, y + x 2, y + x y Phng trình cho có nghim nguyên Ví dụ Tìm số nguyên dương thỏa mãn x3 + y3 + = 3xy (1) Lời giải Đặt x y , xy (1) ( x + y)3 3xy(x + y) + = 3xy Bùi Thị Thảo - K35C SP Toán 47 GVHD: Th.s Dương Thị Luyến Một số toán đa thức Khóa luận tốt nghiệp 312 32 (1 1)(1 32 ) Vì x, y > nên > +1 (1 1) Vậy ta phải tìm số nguyên dương x, y thỏa mãn x y xy (1 1) Xét phương trình z 1z (12 1) 0; có (1 2)2 3 Nếu < Khi phương trình vô nghiệm Nếu = = x y Thử lại 13 + 13 + = 3.1.1 (Đúng) Vậy phương trình có nghiệm x = y = c) Bài tập tương tự Tìm số nguyên thỏa mãn 1) x + y = x2 xy + y2 2) x2 y2 = x2 xy + y2 2.2.5 Giải hệ phương trình đối xứng a) Cơ sở lí luận Biểu diễn đa thức đối xứng theo đa thức đối xứng b) Phương pháp giải Hệ có phương trình mà vế trái đa thức đối xứng ẩn x, y, z Biểu diễn đa thức đa thức đối xứng Khi hệ có ẩn , , Tìm giá trị , , Và x, y, z ba nghiệm phương trình bậc ba theo định lý Viéte đảo Bùi Thị Thảo - K35C SP Toán 48 GVHD: Th.s Dương Thị Luyến Một số toán đa thức Khóa luận tốt nghiệp c) Một số ví dụ Ví dụ x y Giải hệ phương trình 3 x y Lời giải Đặt x y, xy 2 (1 ) 12 thay vo (2) 12 13 121 16 x y x 0, y + 2, xy x 2, y x y + 4, (vô nghiệm) xy Vậy hệ phương trình cho có nghiệm (2 , 0) (0 , 2) Ví dụ Giải hệ phương trình sau: x y z 2 3 x y z x y z xyz Bùi Thị Thảo - K35C SP Toán 49 GVHD: Th.s Dương Thị Luyến Một số toán đa thức Khóa luận tốt nghiệp Lời giải Biểu diễn đa thức đa thức đối xứng bản, ta hệ: x y z Đặt xy yz zx xyz Khi đó, hệ phương trình cho trở thành 2 31 3 Suy 0, 3, Khi đó, ta có x, y,z nghiệm phương trình: t 3t t t t t t t t Vậy hệ có nghiệm 1, 1,2 ; 1, 2, ; 2, 1, Ví dụ Giải hệ phương trình đối xứng x y z a 2 2 x y z b x3 y3 z a3 Lời giải Biểu diễn đa thức đa thức đối xứng bản, ta hệ a 2 2 b 3 31 3 a Bùi Thị Thảo - K35C SP Toán a a b2 a(a b ) 50 GVHD: Th.s Dương Thị Luyến Một số toán đa thức Khóa luận tốt nghiệp Theo định lí Viéte x, y, z nghiệm phương trình: a b2 a (a b ) t 2t t 2 t a 2 t a b a b2 (t a ) t t a 2 t ( a b ) 2 t ( a b ) 1 Vậy hệ có nghiệm a ; ( a b ) ; ( a b ) hoán vị 2 d) Bài tập tương tự Giải hệ phương trình đối xứng: x y 1) 3 x y xy 12 x y 33 2) x y x y z 2) x y z 27 x y z 113 x y z 3) x y z 25 x y z 27 2.2.6 Giải phương trình thức a) Cơ sở lí luận Biểu diễn đa thức đối xứng theo đa thức đối xứng b) Phương pháp giải Đặt ẩn phụ đưa hệ phương trình đối xứng c) Ví dụ Giải phương trình x x Lời giải Đặt x u , x v; u , v Ta có hệ u v 4 u v 1 1 2 (1 2 ) 2 Bùi Thị Thảo - K35C SP Toán 51 GVHD: Th.s Dương Thị Luyến Một số toán đa thức Khóa luận tốt nghiệp u u - Với v v + Nếu u = 1, v = phương trình có nghiệm x = + Nếu u = 0, v = phương trình có nghiệm x = - Với Vô nghiệm Vậy phương trình có nghiệm x1 = 2; x2 = d) Bài tập tương tự Giải phương trình x 35 x x 35 x 30 2.2.7 Trục thức mẫu a) Cơ sở lí luận Biểu diễn đa thức đối xứng theo đa thức đối xứng b) Phương pháp giải - Bước Đặt tổng thức có mẫu - Bước Tìm biểu thức chứa nhân tử Từ rút vào phân thức - Bước Thay ẩn ban đầu c) Các ví dụ Ví dụ Trục thức mẫu A 25 Lời giải Đặt a 25 , b , c Khi A 1 Ta có a b3 c3 a b c a b c ab bc ac 3abc Bùi Thị Thảo - K35C SP Toán 52 GVHD: Th.s Dương Thị Luyến Một số toán đa thức Khóa luận tốt nghiệp áp dụng: a b3 c3 13 31 3 (2 25)3 (6 5)3 83 368 2 2 3 a b c ab bc ac 2 20 25 68 124 3abc 1440 Mặt khác: a b c a b c 3abc a b c ab bc ac 25 17 31 abc 268 268 268 Ví dụ Trục thức mẫu T ; a, b, c a b c * Lời giải Đặt x a , y b, z c Khi T 1 Ta có S2 = x2 + y2 + z2 = 12 22 a b c S4 = x4 + y4 + z4 = 14 412 22 413 = a2 + b2 + c2 Tổng hợp tổng S2, S4 cho đặt thành thừa số, ta có S 22 2S (1 222 )2 2(14 412 22 13 ) 14 412 813 (41 13 83 ) Khi T 1 41 13 S 22 S 4( a b c )( ab bc ca ) ( a b c )3 abc ( a b c) 2(a b c ) d) Bài tập tương tự Trục thức mẫu A n Bùi Thị Thảo - K35C SP Toán ; a , b, c anbnc 53 * GVHD: Th.s Dương Thị Luyến Một số toán đa thức Khóa luận tốt nghiệp kết luận Đề tài trình bày số vấn đề đa thức, toán đa thức Đề tài thực với mong muốn đóng góp kinh nghiệm giúp bạn đọc nghiên cứu nhiều hơn, sâu đa thức toán đa thức Dù cố gắng song bước đầu bắt tay vào nghiên cứu, trình độ kinh nghiệm thân hạn chế, thời gian có hạn nên nhiều vấn đề đa thức chưa đề cập tới Bởi lần làm quen với việc nghiên cứu khoa học nên khoá luận không tránh khỏi thiếu sót Em mong nhận góp ý quý thầy cô bạn để đề tài hoàn thiện Em xin chân thành cảm ơn! Sinh Viên Bùi Thị Thảo Bùi Thị Thảo - K35C SP Toán 54 GVHD: Th.s Dương Thị Luyến Một số toán đa thức Khóa luận tốt nghiệp Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Hữu Điển , Đa thức ứng dụng , NXB GD, 2003 [2] Bùi Huy Hiền, Bài tập đại số ứng dụng , NXB GD , 2000 [3] Ngô Thúc Lanh, Đại số số học tập 1, NXB GD , 1987 [4] Ngô Thúc Lanh, Đại số số học tập 3, NXB GD , 1987 [5] Nguyễn Văn Mậu , Chuyên đề chọn lọc đa thức áp dụng , NXB GD , 2008 [6] Lê Hoành Phò, Bài giảng cho học sinh chuyên toán vấn đề đa thức , NXB GD , 2008 [7] Hoàng Xuân Sính, Đại số đại cương, NXB GD , 1998 [8] Nguyễn Tiến Quang, Bài tập đại số số học, tập 3, NXB GD, 1987 [9] Trần Phương - Lê Hồng Đức, Tuyển tập chuyên đề luyện thi đại học môn toán đại số sơ cấp, NXB GD, 2002 [10] Các tạp chí Toán học Bùi Thị Thảo - K35C SP Toán 55 GVHD: Th.s Dương Thị Luyến [...]... 2 , , n ) gi l biu din a thc i xng f ( x1 , x2 , , xn ) qua các a thc i xứng c bn Bùi Thị Thảo - K35C SP Toán 12 GVHD: Th.s Dương Thị Luyến Một số bài toán về đa thức Khóa luận tốt nghiệp Chương ii Một số bài toán về đa thức 1 Một số bài toán về đA thức một ẩn 1.1 Bi toán chia hết 1.1.1 Bi toán chứng minh chia hết a) Cơ sở lí luận Sử dụng định nghĩa v tính chất của phép chia hết b) Phương pháp giải... là đa thức bất khả quy trên T, Q(x) và R(x) là những đa thức với hệ số thuộc T Nếu Q(x) R(x) P(x) thì ít nhất một trong các thừa số Q(x) và R(x) chia hết cho P(x) Định lý 13 Nếu một đa thức hệ số nguyên không phân tích được thành tích hai đa thức hệ số nguyên thì nó không phân tích được thành tích hai đa thức hệ số hữu tỉ Bùi Thị Thảo - K35C SP Toán 8 GVHD: Th.s Dương Thị Luyến Một số bài toán về đa. .. Dương Thị Luyến Một số bài toán về đa thức Khóa luận tốt nghiệp Định lí 15 Cho ( x) là đa thức khác không, P(x), Q(x) là hai đa thức Khi đó P ( x) Q( x) (mod ( x)) P(x), Q(x) có cùng đa thức dư khi chia cho ( x) 2 Vành đa thức nhiều ẩn 2.1 Xây dựng vành đa thức nhiều ẩn Xây dựng vành đa thức nhiều ẩn bằng phương pháp quy nạp Giả sử A là vành giao hoán có đơn vị Đặt A1 = A[x1] là vành đa thức ẩn x1,... trong trường số phức Với mọi đa thức bậc n có đúng n nghiệm phức Ta có các bổ đề sau: Bổ đề 1 Mọi đa thức với hệ số thực bậc lẻ có ít nhất một nghiệm thực Bổ đề 2 Mọi đa thức bậc > 0 với hệ số thực có ít nhất một nghiệm phức Định lí 14 Mọi đa thức bậc > 0 với hệ số phức có ít nhất một nghiệm phức Hệ quả 3 Các đa thức bất khả quy của vành [x] là các đa thức bậc nhất Hệ quả 4 Với mọi đa thức bậc n (n... gọi là các hạng tử của đa thức f(x1,,xn) Đa thức f(x1,,xn) = 0 khi và chỉ khi ci = 0 với mọi i 1, m Hai đa thức f(x1,,xn) và g(x1,,xn) bằng nhau khi và chỉ khi chúng có các hạng tử như nhau Bùi Thị Thảo - K35C SP Toán 10 GVHD: Th.s Dương Thị Luyến Một số bài toán về đa thức Khóa luận tốt nghiệp 2.2 Bậc của một đa thức nhiều ẩn Định nghĩa 6 Giả sử f(x1,,xn) A[x1, ,xn] là một đa thức khác không, a f... Thị Thảo - K35C SP Toán 7 GVHD: Th.s Dương Thị Luyến Một số bài toán về đa thức Khóa luận tốt nghiệp b) Theo câu a Với m = 1 thì (p q) \ f(1) Với m = 1 thì (p + q) \ f(1) Định lí được chứng minh 1.3 Đa thức bất khả quy a) Định nghĩa 4 Cho T là một trong các trường số , , Đa thức p(x) T[x] được gọi là đa thức bất khả quy (đa thức không phân tích được ) trên T nếu p(x) khác đa thức không; p(x) không... x2 x1 x3 xn1 xn k x1 x2 xk xnk 1 xn1 xn n x1 x2 xn Bùi Thị Thảo - K35C SP Toán 11 GVHD: Th.s Dương Thị Luyến Một số bài toán về đa thức Khóa luận tốt nghiệp b) Tính chất Tổng và tích của hai đa thức đối xứng là một đa thức đối xứng c) Định lý 1.16 (Định lý về sự biểu diễn đa thức đối xứng qua các đa thức đối xứng cơ bản) Cho a thc i xng f ( x1 , x2 , , xn ) A[ x1 , x2 , , xn ] Khi đó... (n > 0) với hệ số phức có n nghiệm phức Hệ quả 5 Các đa thức bất khả quy của [x] là các đa thức bậc nhất và đa thức bậc hai ax2 + bx + c với = b2 4ac < 0 1.5 Đa thức đồng dư Định nghĩa 5 Cho ( x) là một đa thức khác không Ta nói rằng đa thức P(x) và Q(x) đồng dư với nhau theo mô đun đa thức ( x) nếu P ( x) Q( x ) ( x ) Kí hiệu P ( x) Q ( x)(mod ( x)) Bùi Thị Thảo - K35C SP Toán 9 GVHD: Th.s... còn lại của đa thức là: 3 , a 1.3.4 Bài toán về đạo hàm đa thức và nghiệm bội a) Cơ sở lí luận Sử dụng định nghĩa đạo hàm đa thức, định nghĩa nghiệm bội và tính chất sau: f f ' f m1 0 là nghiệm bội m của f(x) m f 0 b) Phương pháp giải Sử dụng định nghĩa, tính chất của đạo hàm và nghiệm bội Bùi Thị Thảo - K35C SP Toán 31 GVHD: Th.s Dương Thị Luyến Một số bài toán về đa thức Khóa... hữu tỉ duy 2 2 nhất Bùi Thị Thảo - K35C SP Toán 28 GVHD: Th.s Dương Thị Luyến Một số bài toán về đa thức Khóa luận tốt nghiệp Ví dụ 2 Cho P(x) là đa thức hệ số nguyên Chứng minh rằng nếu P(0) và P(1) là số lẻ thì đa thức P(x) không có nghiệm nguyên Lời giải Giả sử số hữu tỉ u , (u,v) = 1 là nghiệm của P(x) = 0 v Khi đó P(0) u ; P(1) (u-v) Mà P(0) và P(1) là số lẻ nên u, u v cùng lẻ u Z Từ đó ta ... Thị Thảo - K35C SP Toán 12 GVHD: Th.s Dương Thị Luyến Một số toán đa thức Khóa luận tốt nghiệp Chương ii Một số toán đa thức Một số toán đA thức ẩn 1.1 Bi toán chia hết 1.1.1 Bi toán chứng minh... Nghiệm đa thức hệ số nguyên 27 1.3.4 Bài toán đạo hàm đa thức nghiệm bội 31 Bùi Thị Thảo - K35C SP Toán GVHD: Th.s Dương Thị Luyến Một số toán đa thức Khóa luận tốt nghiệp 1.4 Bài toán đa. .. nhiều ẩn 11 2.3 Đa thức đối xứng 11 Chương Một số toán đa thức 13 Một số toán đa thức ẩn 13 1.1 Bài toán chia hết 13 1.1.1 Bài toán chứng minh chia hết