A PHẦN MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Trong giảng dạy môn Toán, việc giúp học sinh nắm kiến thức việc phát huy tính tích cực học sinh để mở rộng khai thác thêm toán điều cần thiết cho công tác bồi dưỡng học sinh giỏi Mặt khác, từ kinh nghiệm để giải toán ta thường phải hình thành mối liên hệ từ điều chưa biết đến điều biết, toán có cách giải (bài toán gốc) Nên việc thường xuyên khai thác, phân tích toán ban đầu cách nâng cao khả suy luận, tư cho học sinh Chủ đề hàm số nội dung toán học, giữ vị trí trung tâm chương trình môn Toán phổ thông, toàn việc dạy học toán trường phổ thông xoay quanh chủ đề Khi dạy học khái niệm hàm số phải dạy học sinh biết khảo sát, vẽ đồ thị hàm số đặc biệt toán liên quan, hàm số khái niêm trừu tượng phải thông qua toán liên quan mà học sinh hiểu sâu sắc khái niệm Bài toán tiếp tuyến đồ thị hàm số toán liên quan chủ đề hàm số thường thấy đề thi Cao đẳng – Đại học mà thầy cô học sinh quan tâm đến nhiều Mặc dù dạng tập tiếp tuyến dạng toán đơn giản nghiên cứu kĩ thấy chứa đựng nhiều điều thú vị Cụ thể hướng dẫn học sinh khai thác phát triển thành tập hay hơn, khó hơn… làm góp phần quan trọng việc nâng cao lực tư duy, kích thích tìm tòi sáng tạo cho học sinh Với suy nghĩ đó, định chọn đề tài: -1- “Khai thác toán tiếp tuyến toán liên quan” làm đề tài nghiên cứu Mục đích nghiên cứu - Nghiên cứu số cách khai thác toán - Nghiên cứu toán tiếp tuyến toán liên quan sở giúp học sinh viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số giải toán liên quan - Đề xuất hệ thống tập khai thác toán tiếp tuyến toán liên quan góp phần rèn luyện nâng cao kĩ giải toán học sinh THPT Nhiệm vụ nghiên cứu - Nghiên cứu số cách khai thác toán dựa sở toán ban đầu - Nghiên cứu sở lí luận chủ đề tiếp tuyến hàm số chương trình toán THPT - Tìm hiểu khó khăn sai lầm thường gặp giải tập tiếp tuyến hàm số chương trình toán THPT - Xây dựng hệ thống tập chủ đề tiếp tuyến Đối tượng phạm vi nghiên cứu Bài toán tiếp tuyến toán liên quan chương trình toán THPT Phương pháp nghiên cứu - Nghiên cứu lí luận - Phương pháp tổng kết kinh nghiệm Cấu trúc khóa luận Lời cảm ơn Lời cam đoan Mục lục -2- A Phần mở đầu Lí chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Nhiệm vụ nghiên cứu Đối tượng phạm vi nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Cấu trúc khóa luận B Phần nội dung Chương 1: Cơ sở lí luận Chương 2: Hệ thống tập tiếp tuyến với đồ thị hàm số toán liên quan C Phần kết luận D Tài liệu tham khảo -3- B PHẦN NỘI DUNG Chương 1: Cơ sở lí luận 1.1 Tiếp tuyến hàm số điểm Cho hàm số = ( ) có đồ thị (C), điểm cố định thuộc (C) có hoành độ Với điểm thuộc (C) khác y f ( xM ) , ta kí hiệu hoành độ góc cát tuyến (C) hệ số Giả sử tồn f ( x0 ) giới hạn hữu hạn k0  lim kM xM  x0 Khi đó, ta coi đường thẳng qua có hệ số góc O x0 di chuyển dọc theo (C) dần đến Đường thẳng Hình vị trí giới hạn cát tuyến gọi tiếp tuyến (C) điểm , gọi tiếp điểm Bây giả sử hàm số trí có đạo hàm điểm = (C), ta có Vì hàm số có đạo hàm điểm ( ) = lim xM  x0 ( ) ( Chú ý vị ) (Hình 1) nên f  xM   f ( x0 ) = lim k M  k0 xM  x0 xM  x0 Từ ta phát biểu ý nghĩa hình học đạo hàm sau: Đạo hàm hàm số = ( ) điểm đồ thị hàm số điểm T M0 ( ; ( )) -4- hệ số góc tiếp tuyến xM x = ( ) có đạo hàm điểm Kết luận: Nếu hàm số tiếp tuyến ( ; ( ) có phương trình là: đồ thị hàm số điểm ( ) ( − = ) 1.2 Sự tiếp xúc hai đường cong Định nghĩa: Giả sử hai hàm số = ( ) hai đường cong ( ; ) có đạo hàm điểm Ta nói = ( ) tiếp xúc với điểm điểm chung chúng hai đường cong có tiếp tuyến chung điểm Điểm gọi tiếp điểm hai đường cong cho y Hiển nhiên đồ thị hai hàm số cho tiếp xúc với điểm ( ) = ( ), ( )= ( ; = T ( ) Từ dễ dàng suy rằng: y0 M = ( ) Hai đường cong cong = ( ) tiếp xúc hệ phương trình y  g ( x) ) Hình ( )= ( ) có nghiệm ( )= ( ) O x0 hệ phương trình hoành độ tiếp điểm hai đường cong Trường hợp đặc biệt: Cho đường cong (C): (d) có phương trình = = ( ) đường thẳng + Đường thẳng (d) tiếp xúc đường cong (C) hệ sau có nghiệm: ( )= + ( )= Khi hệ có nghiệm đường thẳng (d) gọi tiếp tuyến đường cong (C) 1.3 Một số toán tiếp tuyến thường gặp -5- y  f ( x) x 1.3.1 Bài toán 1: Viết phương trình tiếp tuyến điểm thuộc đồ thị ( ; = ( ) điểm Bài toán: Cho đồ thị (C): phương trình tiếp tuyến (C) điểm ( ; ) ∈ (C) Viết ) Phương pháp: Theo ý nghĩa hình học đạo hàm tiếp tuyến ( ; ) ∈ (C): = ( ) có hệ số góc ′( ) ( ; Phương trình tiếp tuyến )+ Ví dụ: Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số = − = ( ) ( − ) ) (C) : = điểm = −1 có hoành độ Giải: Đạo hàm hàm số ( ) =  ) ( − ( là: ( )=3 (−1) = (−1) = Tại = −1 ta có: (−1) = (−1) = −1 = −1 là: Vậy tiếp tuyến điểm có hoành độ = (−1)( + 1) + (−1) = 3( + 1) − hay = + 1.3.2 Bài toán 2: Viết phương trình tiếp tuyến theo hệ số góc cho trước = ( ) số Bài toán: Cho đồ thị (C): ∈ R Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C), biết tiếp tuyến có hệ số góc Phương pháp: Cách 1: Phương pháp tìm tiếp điểm Giả sử tiếp tuyến có hệ số góc hoành độ  ( )= Giải phương trình:  ( )= Phương trình tiếp tuyến tiếp xúc với (C): = ( )= nghiệm  Nghiệm là: = ( ) điểm có = ( − ∈{ , ,…, ) + ( ) Cách 2: Phương pháp sử dụng điều kiện nghiệm kép -6- } Xét đường thẳng với hệ số góc tiếp xúc (C): = ( )  Phương trình: + + (ẩn ) = ( ) có nghiệm + ( ) + ( ) = có nghiệm kép kép   ∆= = có phương trình: ( ) − ( ) = = ( ) Giải phương trình: ∆= ( ) =  Các giá trị  Phương trình tiếp tuyến Chú ý: Cách sử dụng cho dạng hàm số ( ) mà phương + trình tương giao = ( ) biến đổi tương đương với phương trình bậc  Các dạng biểu diễn hệ số góc :  Dạng trực tiếp: = ±1, ±2, … , ± , ± , … , ±√2, ±√3, …  Tiếp tuyến tạo với chiều dương Ox góc  = tan  Tiếp tuyến song song với đường thẳng (∆): =  Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng (∆): +  = = +  =− ( ≠ 0)  Tiếp tuyến tạo với đường thẳng (∆):  = + góc = tan Ví dụ: Cho hàm số: = tuyến (C) vuông góc với (∆): Giải: Điều kiện ≠ có đồ thị (C) Viết phương trình tiếp = −2 ∙ Cách 1: Vì tiếp tuyến ( ) (C) vuông góc với (∆): số góc ∙ -7- = −2 nên có hệ Ta có ′ = ( ) =  (5 − 4) = 14 14+4 (thỏa mãn − 14+4 = =  Phương trình tiếp tuyến = 14+4 − − − 14+4 14+4 là: = 14+4 + Phương trình tiếp tuyến = ≠ ) + = hay y = √ − ∙ − 14+4 là: − 14+4 hay y = Cách 2: Vì tiếp tuyến ( ) (C) vuông góc với (∆): hệ số góc ( ) tiếp xúc (C)  + = +  ( )=5 √ ≠ ≠ 5 + 2(5m − 4)x − (8m − 6) = có nghiệm kép − 4) + 5(8 − 6) =  ≠0 m=± = −2 nên có có nghiệm kép  (x + 2m)(5x − 4) = 2(2x − 3) có nghiệm kép  ∙ ∙ Ta có phương trình tiếp tuyến ( ) (C) là: = ∆= (5 √ + 25 ≠ − 14 = 14 ≠0 ∙ Vậy có hai tiếp tuyến vuông góc ∆: = −2 y = -8- ± √ ∙ 1.3.3 Bài toán 3: Viết phương trình tiếp tuyến qua điểm cho trước = ( ) điểm Bài toán: Cho đồ thị (C): ( ; ) cho trước Viết = ( ), biết tiếp tuyến qua phương trình tiếp tuyến đồ thị (C): điểm ( ; ) Phương pháp: Phương pháp tìm tiếp điểm ( ; ) tiếp xúc (C): Cách 1: Giả sử tiếp tuyến qua điểm có hoành độ = ( )( − suy phương trình tiếp tuyến (d) (C) có dạng: ) + ( ) Do ( ; ) ∈ (d) nên = ( ) ( −  =  ( )( − ) + − ( ) = (∗) nghiệm phương trình Giải phương trình (∗)  Nghiệm Phương trình tiếp tuyến = )+ ( ) = ∈{ , là: = ( )( − ) + ( ) ,… ,…, ( )( − Cách 2: Đường thẳng qua ( ; ) với hệ số góc = ( − )+ sau có nghiệm:  ( )= = ( ) tiếp xúc với đồ thị (C): } ) + ( ) có phương trình = ( ) Hệ phương trình ( )= ( − )+ ( )= ( )( − ) +  Giải phương trình (∗)  Nghiệm Phương trình tiếp tuyến = ( )( − ) + ∈{ , là: = ,… − ( ) = (∗) ,…, ( )( − } ) + ( ) Phương pháp sử dụng điều kiện nghiệm kép Cách 3: Đường thẳng qua ( ; ) với hệ số góc = ( − )+ tiếp xúc với (C): có nghiệm kép  ( ) có phương trình = ( ) ( − )+ = ( ) + ( ) + ( ) = có nghiệm kép -9-  ( )≠0 ∆= ( ) − ( ) ( ) =  ( )≠0 ∆= ( ) = + + (∗∗) =0 Giải biện luận hệ (∗∗) suy giá trị số lượng Từ suy phương trình tiếp tuyến số lượng tiếp tuyến qua ( ; ) Chú ý: Cách sử dụng cho dạng hàm số ( ) mà phương + trình tương giao = ( ) biến đổi tương đương với phương trình bậc Ví dụ: Cho hàm số = (2 − ) có đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến (C) biết tiếp tuyến qua (2; 0) Giải: Gọi đường thẳng qua , có hệ số góc = ( − 2)  : tiếp tuyến (C)  Hệ: Thay (2 − ) = ( − 2) có nghiệm ( − 2)( − 1) = từ phương trình thứ hai vào phương trình thứ ta được: = ( − 2)(4 − 12 +8 )  (3 − 4)( − 2) =  = 0, = 2, −4 +4 = ∙ Với =0 =  Phương trình tiếp tuyến : = Với =2 =  Phương trình tiếp tuyến : = Với =  =− 32  Phương trình tiếp tuyến : =− 32 + 1.3.4 Một số toán khác 1.3.4.1 Bài toán hai đồ thị tiếp xúc - 10 - ∙ biệt hàm số bậc ba nên ta dự đoán kết chung cho toán hàm bậc ba Từ ta khái quát hóa toán trên: Bài toán tổng quát: Tìm đồ thị (C): ( ) = + + + ( ≠ 0) cho từ kẻ tiếp tuyến đến (C) Giải: Lấy điểm ( , ( )) ∈ (C): ( , ( )) có hệ số góc Đường thẳng ∆ qua = ( −  ( )= ( )( − ( )= ( − ( )= )+ ( ) )+ ( ) ) − [ ( ) − ( )] = ( )( − + )( − +2 (3 có phương trình: ) + ( ) ∆ tiếp xúc (C)  Hệ sau có nghiệm:  = ( ) )− ( − )− ( )+ ( − − )=0 = ) [2 ( − +( + )] =  =− Từ kẻ tiếp tuyến tới (C)   =− Vậy − + = ∙  =− + ∙ ; − ∈ (C) điểm kẻ tiếp tuyến đến (C) Nhận xét: ( )=6  Điểm uốn − ; +2  − ( )=0 =− Vậy đồ thị hàm số bậc ba điểm uốn điểm kẻ tiếp tuyến đến đồ thị - 47 - Bài tập 3: Cho hàm số (C): = +2 −1 Tìm (0; ) để từ kẻ hai tiếp tuyến đến (C) Giải: Đường thẳng (d) qua = có phương trình: + + (d) tiếp xúc (C)  hay ( (0; ) với hệ số góc + )( − 1) = = +2 −1 + có nghiệm kép ≠1 − [ − ( − 1)] − ( + 2) = có nghiệm kép  ( )= ≠0 ≠0  ∆=  ∆= ℎ( ) = (1) ≠ −3 ≠ ≠1 + 2( + 5) + ( − 1) = Từ (0; ) kẻ hai tiếp tuyến đến (C)  ℎ( ) = có hai nghiệm phân biệt , khác   −2 < ≠ (∗) 12( + 2) > ∆ >0  ( − 1) ≠ ℎ(0) ≠ Khai thác: Sau tìm điều kiện từ (0; ) kẻ hai tiếp tuyến đến (C) ta bổ sung tiếp thêm vào câu hỏi: Hai tiếp điểm hai tiếp tuyến nằm hai phía trục Ox ta toán có yêu cầu chặt làm cho nghiệm bị thu hẹp toán đầu  Tìm (0; ) từ kẻ hai tiếp tuyến đến (C) cho hai tiếp điểm nằm hai phía trục Ox Bây toán ban đầu trở thành toán toán Ta sử dụng kết toán ban đầu vừa tìm vào giải tiếp toán sau: Với điều kiện (∗) tọa độ tiếp điểm là: = −( −1)  = + = - 48 - +( +1) ∙ = −( −1) 2 =  + +( = +1) ∙ −  ) + ( + 1) = −4(3 + 2) < (∗∗) Từ (∗) (∗∗)  − < ≠ Bài tập 4: Cho hàm số (C): = Tìm đường thẳng = − điểm kẻ hai tiếp tuyến vuông góc đến (C) Giải: Gọi ( ; − 2) thuộc đường thẳng Đường thẳng (d) qua = ( − )+ có hệ số góc − (d) ( = − )+ − có ≠ −1  ( ) = ( − 1) có nghiệm kép + [ (1 − )+ − 3] − + −3=0 ≠ −1 ≠1 [ (1 − )+  (−1) ≠ ≠1  ( ) = (1 + −1 ≠ (1) = ≠ ( ) = (1 +  −1 ≠ Vì từ − có phương trình: tiếp xúc với (C)  Phương trình nghiệm kép = − 3] − 4( − 1)(− + −3=0 ) + (−2 + 6) + −2 −3=0 ) + (−2 + 6) + −2 −3=0 kẻ hai tiếp tuyến vuông góc đến (C) nên ta có: - 49 - = −1  −2 −3 0 1+ 1+  = −1 ≠0 = ±1  ≠ −1 =1  ≠ −1  Vậy tìm điểm ) − − = −(1 + ≠ −1 = thỏa mãn toán (1; −1) Khai thác: Với kết vừa tìm ta thay đổi hình thức toán từ toán tìm tòi sang toán chứng minh sau:  CMR: Từ điểm (1; −1) kẻ hai tiếp tuyến vuông góc đến đồ thị (C): = ∙ Giải: Đường thẳng (d) qua (1; −1) với hệ số góc có phương trình: = ( − 1) − = (d) tiếp xúc với (C)  Phương trình nghiệm kép [ − ( + 1)]( + 1) = + + có nghiệm kép − − ( + 2) = có nghiệm kép ⎧ −1≠0 ⎪ + −1=0   ∆= ⎨ (−1) = −1 ≠ ⎪ ⎩ = − 1) − có ≠ −1  ( ) = ( − 1)  ( ≠1 −1− =  −1+ = −1− −1+ = −1 nên từ ∙ 2 ≠ −1 ≠ −1 −1− −1+ = = (1; −1) kẻ hai tiếp tuyến vuông góc đến (C) Bài tập luyện tập: Bài 1: Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C): tiếp tuyến qua điểm (0; 1) - 50 - = biết Đáp số: = −2 + 1, = −18 + Bài 2: (Học Viện BCVT TP.Hồ Chí Minh 1999) = Cho đồ thị hàm số (C): −3 + Tìm điểm thuộc (C) để từ kẻ tiếp tuyến đến (C) Đáp số: (1; 0) Bài 3: (ĐH Sư phạm II Hà Nội khối B 1999) Cho (C): = − +3 + Tìm trục hoành điểm kẻ ba tiếp tuyến đến đồ thị (C) Hướng dẫn: Lấy ( ; 0) ∈ Ox Đường thẳng qua  có hệ số góc : = ( − ) tiếp xúc C − +3 +2= ( − ) có nghiệm −3 + = Biến đổi hệ phương trình ta phương trình: ( + 1) ( ) = Yêu cầu toán  ( ) = có hai nghiệm phân biệt khác −1 Từ điều kiện ta tìm >2Ú −1≠ [...]... thống bài tập tiếp tuyến với đồ thị hàm số và các bài toán liên quan 1 Bài toán 1: Viết phương trình tiếp tuyến tại một điểm thuộc đồ thị Bài toán: Cho đồ thị (C): = ( ) và điểm phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm Bài tập 1: Cho (C): =2 −3 ( ; ( ; ) ∈ (C) Viết ) + 9 − 4 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) khi biết: = −1 a Hoành độ tiếp điểm là: = −4 b Tung độ của tiếp điểm là c Tiếp điểm... bản và phương pháp giải, đặc biệt là những khó khăn và sai lầm của học sinh khi gặp các bài toán về tiếp tuyến Ngoài ra các em mới chỉ bước đầu nắm được lý thuyết về cách thức để khai thác một bài toán trên cơ sở bài toán đã có bởi các em đã quen với việc làm các bài tập toán có đề bài sẵn chứ chưa biết vận dụng Vì vậy ở chương tiếp theo tôi sẽ trình bày một hệ thống các bài tập tiếp tuyến và bài toán. .. thức khai thác bài bài toán tiếp tuyến 1.4.1 Lập bài toán tương tự bài toán ban đầu Sau khi học sinh giải xong mỗi bài tập, giáo viên có thể dựa vào bài tập đó mà nghĩ ra các bài tập mới tương tự với bài tập vừa giải Giáo viên lập đề toán theo kiểu này là một biện pháp rất tốt để học sinh nắm vững các cách giải các bài tập cùng loại, giúp học sinh nắm rõ hơn mối quan hệ giữa các đối tượng và những quan. .. số cách khai thác bài toán tiếp tuyến, cơ sở lí luận về dạy học tiếp tuyến của đồ thị hàm số trong chương trình toán phổ thông, một số khó khăn và sai lầm học sinh thường mắc phải khi gặp bài toán về tiếp tuyến Những nội dung đã trình bày ở chương một phần nào giúp học sinh nắm được một cách khái quát: dạng tổng quát của phương trình tiếp tuyến tại một điểm, các bài toán viết phương trình tiếp tuyến. .. tiếp tuyến và bài toán liên trên cơ sở học sinh nắm chắc kiến thức cơ bản đã trình bày ở chương một thì các em vận dụng giải thành thạo các bài tập, sau đó tôi sẽ hướng dẫn học sinh khai thác một bài toán mới theo các cách thức đã nêu từ bài toán ban đầu để các em nắm rõ hơn về vấn đề khai thác một bài toán là như thế nào và từ đó có thể tự lập ra những bài toán mới dựa vào bài toán có sẵn Học tập theo... 9 1 9 − 133 ∙ 72 1.4.2 Lập bài toán đảo của bài toán đầu Trong một bài tập nếu ta thay một trong những điều đã cho bằng đáp số của bài tập và đặt câu hỏi vào điều đã cho ấy thì ta được một bài toán đảo Đây cũng là một cách hay dùng để dựa vào các bài tập cũ mà đặt ra đề bài tập mới bằng cách đảo ngược bài tập đã biết Ví dụ: Cho hàm số = tại 2 , một điểm +1 thuộc (C), tiếp tuyến của (C) cắt Ox, Oy tại... 15 2 − 15 4 Khai thác: Mục đích chính của bài toán trên là phải tìm được hoành độ tiếp điểm hay nói cách khác là giải phương trình tìm nghiệm để từ đó viết phương trinh tiếp tuyến tại hoành độ điểm đó bằng cách thay vào công thức của phương trình tiếp tuyến Vì vậy ta có thể thêm vào bài toán trên những câu hỏi có yêu cầu tìm nghiệm với mức độ khó hơn như sau:  Viết phương trình tiếp tuyến của (C)... tiếp 1 2 − ; −2 1.4.3 Khái quát hóa bài toán ban đầu - 15 - Có một hướng quan trọng để khai thác các bài toán mới là dựa trên một số trường hợp cụ thể, dùng phép quy nạp không hoàn toàn để nhận xét và rút ra giả thiết rồi dùng phương pháp thử, chọn để thử xem giả thiết đó có đúng không? Nếu đúng thì đề ra bài tập mới và cách giải Ví dụ: = +3 =− + a CMR: Trong tất cả các tiếp tuyến của (C): −9 +3 tiếp. .. trên vẫn giữ nguyên thì ta được bài toán tương tự sau: Bài toán tương tự: Cho (C): Viết phương trình tiếp tuyến = của (C) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng ∆′: Giải: Điều kiện ≠ Ta có = 5 (∗) 2 1 (−2 +5) 2∙ - 13 - = −4 + 1 Vì tiếp tuyến ( ) của (C) vuông góc với (∆): góc là  = −4 + 1 nên có hệ số 1 4 ( ) =  (−2 + 5) = 4  3 là: 2  Tiếp tuyến tại = =  Tiếp tuyến tại = − là: 7 2 1 9 = − 1... liên quan đến hệ số góc Cụ thể trong bài toán trên là sử dụng điều kiện hai đường thẳng vuông góc(tích hai hệ số góc của chúng bằng −1) Ta có thể thêm vào bài toán trên một câu hỏi cũng có yêu cầu liên quan đến hệ số góc của hai đường thẳng song song như sau: ∈ (C) sao cho tiếp tuyến tại đó song song với đường thẳng  Tìm ( ′): = Giải: Gọi 3 4 + 1 ( ; ) ∈ (C), ≠ 1 thỏa mãn yêu cầu bài toán - 32 - Tiếp ... Khai thác toán tiếp tuyến toán liên quan làm đề tài nghiên cứu Mục đích nghiên cứu - Nghiên cứu số cách khai thác toán - Nghiên cứu toán tiếp tuyến toán liên quan sở giúp học... sinh viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số giải toán liên quan - Đề xuất hệ thống tập khai thác toán tiếp tuyến toán liên quan góp phần rèn luyện nâng cao kĩ giải toán học sinh THPT Nhiệm... thống tập tiếp tuyến với đồ thị hàm số toán liên quan Bài toán 1: Viết phương trình tiếp tuyến điểm thuộc đồ thị Bài toán: Cho đồ thị (C): = ( ) điểm phương trình tiếp tuyến (C) điểm Bài tập 1: