Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội MỞ ĐẦU Trong Đại số giao hoán, nghiên cứu vành đa thức biến [ ] (với trường), ta biết iđêan đa thức đa thức ∈ sinh mà ta gọi phần tử sinh Vì với [ ] bất kì, ta thực phép chia đa thức cho đa thức theo thuật toán Euclide để tìm đa thức dư , đa thức xác định ∈ I thức nhiều biến = Một lẽ tự nhiên mở rộng lên vành đa [ ,…, ], để xác định đa thức có thuộc iđêan đa thức ⊆ [ ,…, không, ta tìm tập phần tử sinh { ∈ [ ,…, ] cho trước hay ,…, ∈ , sau thực phép chia đa thức } ≔ , cho tập đa thức Tuy nhiên, liệu có thực phép chia đa thức đa thức để tìm đa thức dư ] cho tập hay không? Và đa thức dư xác định nhất? Thuật toán chia có thay đổi so với thuật toán Euclide? Liệu ∈ I = 0? Cơ sở Gröbner Đại số máy tính cho phép giải đáp tất thắc mắc Được động viên, giúp đỡ thầy, cô giáo khoa Toán, đặc biệt thầy cô tổ Đại số, em chọn đề tài: “Cơ sở Gröbner ứng dụng” Nội dung đề tài trình bày khái niệm sở lí thuyết Gröbner ứng dụng Xây dựng quan hệ thứ tự tập đơn thức nhiều biến, từ đó, thấy làm rõ cách thức mở rộng thuật toán chia đa thức biến trung học sở sang trường hợp đa thức nhiều biến Qua đó, người ta xác định phương hướng để giải số toán iđêan vành đa thức nhiều biến Đỗ Thị Mùi K35A – SP Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội Đề tài trình bày hai chương: Chương Cơ sở Gröbner Chương đề cập đến khái niệm thứ tự từ, xuất phát điểm để xây dựng sở Gröbner Từ đó, người ta đưa khái niệm iđêan khởi đầu, từ khởi đầu, định nghĩa số tính chất sở Gröbner Tiếp đó, tác giả trình bày việc mở rộng thuật toán chia với dư vành đa thức nhiều ẩn Cuối cùng, đề cập tới thuật toán Buchberger Chương Một số ứng dụng Cơ sở Gröbner Nội dung chủ yếu chương trình bày ứng dụng sở Gröbner để giải số toán iđêan vành đa thức nhiều biến Mặc dù có nhiều cố gắng song nhiều hạn chế thời gian kiến thức, khóa luận tránh khỏi thiếu sót, em mong nhận ý kiến đóng góp thầy giáo, cô giáo bạn sinh viên để khóa luận em hoàn thiện Đỗ Thị Mùi K35A – SP Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội CHƯƠNG CƠ SỞ GRÖBNER 1.1 Thứ tự từ 1.1.1 Thứ tự, giả thứ tự Định nghĩa 1.1: Cho tập ≠ ∅ Quan hệ hai quan hệ thứ tự phận điều kiện sau thỏa mãn: ∈ : i) Với ii) Với , (tính chất phản xạ) ∈ : = (tính chất phản đối xứng) iii) Với , , ∈ : (tính chất bắc cầu) Ta thường kí hiệu quan hệ thứ tự ≤, ≥ Nhận xét: Nếu quan hệ thứ tự phận thì: = {( , )|( , ) ∈ } quan hệ thứ tự phận gọi thứ tự ngược Nếu kí hiệu ≤ kí hiệu ≥ Ví dụ  Quan hệ ≤ tập hợp số tự nhiên N quan hệ thứ tự  Quan hệ chia hết N quan hệ thứ tự phận Định nghĩa 1.1.2 Nếu có thứ tự phận ≤ ta nói phận Khi đó, với , ∈ ≤ tập ≤ , , không so sánh với Quan hệ thứ tự ≤ phần tử gọi thứ tự toàn phần cặp so sánh với Khi đó, ta nói tập hoàn toàn Đỗ Thị Mùi K35A – SP Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội Quan hệ hai thỏa mãn tính chất phản xạ bắc cầu gọi giả thứ tự Ví dụ  (N, ≤) tập thứ tự toàn phần  (R, ≤) tập thứ tự toàn phần phần tử R so sánh với Tuy nhiên, (C, ≤) xác định sau: + ≤ + ≤ ≤ ⟺ quan hệ thứ tự phận ℂ  Quan hệ chia hết thứ tự phận tập N giả thứ tự phận Z tập đơn thức vành [ ] với quan hệ xác định sau:  ≤ 1, … , = … , = … , ≤ ,∀ = quan hệ thứ tự phận Với số biến quan hệ quan hệ thứ tự toàn phần Định nghĩa 1.1.3 Cho ( , ≤) tập phận, Ø ≠ ∈ i) với ii) ∈ ∈ gọi phần tử tối tiểu (tương ứng tối đại) , ∈ (tương ứng ≤ ) = phần tử bé (tương ứng lớn nhất) ≤ ta có ∈ ≤ ta có iii) Phần tử với ⊆ ta có (tương ứng ∈ với ≤ ) chặn (tương ứng chặn dưới) , ≤ ≤ ) (tương ứng iv) Tập gọi bị chặn vừa bị trên, vừa bị chặn v) Tập gọi thứ tự tốt hoàn toàn tập khác rỗng để có phần tử bé Ví dụ Đỗ Thị Mùi K35A – SP Toán Khóa luận tốt nghiệp  (N, |), Trường ĐHSP Hà Nội ={ ∈ℕ∶ > 1} Các phần tử tối tiểu số nguyên tố  (ℝ, ≤), = [1,2], nhất, lớn = (1,2) Khi đó: 1,2 phần tử bé phần tử bé nhất, lớn nhất, tối tiểu, tối đại bị chặn bị chặn ℝ  (ℕ, ≤) tập thứ tự tốt (ℕ, ≤) hoàn toàn phận khác rỗng N có phần tử bé Tuy nhiên, (ℤ, ≤) không = { | ∈ ℤ, phải tập thứ tự tốt tập < −2} phần tử bé Bổ đề 1.1.1 ( Bổ đề Zorn) Nếu tập (bộ phận) cho tập khác rỗng hoàn toàn bị chặn có phần tử tối đại 1.1.2 Thứ tự từ Định nghĩa 1.1.4 Cho tất đơn thức [ ] Thứ tự toàn phần ≤ tập gọi thứ tự từ nếu: i) Với ∈ ,1 ≤ ii) Với , , ∈ ≤ ≤ Ví dụ: Quan hệ theo bậc đơn thức biến thứ tự từ Bổ đề 1.1.2 Một thứ tự toàn phần ≤ thứ tự tốt dãy đơn thức thực giảm: > > >⋯ dừng (sau hữu hạn phần tử) Chứng minh ⊆ Giả sử ≤ không thứ tự tốt cho Đỗ Thị Mùi , tức tồn tập phần tử bé Lấy phần tử bất K35A – SP Toán Khóa luận tốt nghiệp kì Vì , với Trường ĐHSP Hà Nội < phần tử bé nên tìm < ta tìm Lặp lại trình mãi ta nhận dãy vô hạn đơn thức thực giảm: > - > >⋯> >⋯ Ngược lại, có dãy vô hạn đơn thức thực giảm dãy phần tử bé Vì vậy, thứ tự cho không thứ tự tốt Bổ đề 1.1.3 Mọi thứ tự từ thứ tự tốt Ngược lại, thứ tự tốt thỏa mãn điều kiện ii) Định nghĩa 1.1.4 thứ tự từ Chứng minh Cho ≤ thứ tự từ Giả sử ∅ ≠ - đơn thức sinh ,…, ∈ ⊆ , gọi Theo Bổ đề Dickson tồn hữu hạn phần tử cho : = ( ,…, ) Vì ≤ thứ tự toàn phần nên giả thiết ≤ Ta chứng tỏ ∈ , =( phần tử bé ,…, , với Thật vậy, với theo tính chất = , với đơn thức hay ≤ thứ tự tốt Ngược lại, giả sử ≤ thứ tự tốt tồn đơn thức 1> ≤ ) nên theo bổ đề tính chia hết iđêan đơn thức, ta tìm ≤ Vì ≤ ⊆ [ ] iđêan cho : Khi đó, theo tính chất ii) Định nghĩa 1.1.4 ta có : 1> - = > = , = > = ,… Cứ tiếp tục ta nhận dãy vô hạn đơn thức thực giảm: > > > > ⋯ Theo bổ đề tính tương đương iđêan đơn thức, điều trái với giả thiết ≤ thứ tự tốt Suy ra, ≤ với ∈ Vậy ≤ thỏa mãn hai tính chất Định nghĩa 1.1.4, hay ≤ thứ tự từ Đỗ Thị Mùi K35A – SP Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 1.1.3 Một số thứ tự từ quan trọng Trong phần này, xét xem thứ tự từ quan trọng mà phần thường xuyên sử dụng đến chúng Đó thứ tự từ điển, thứ tự từ điển phân bậc, thứ tự từ điển ngược Cho ≤ thứ tự từ Bằng cách thay đổi số biến cần thiết > giả thiết : >⋯> Định nghĩa 1.1.5 i) Thứ tự từ điển, kí hiệu ≤ … < … bên trái véctơ ( tồn ≤ < − , xác định sau : thành phần khác không kể từ ,…, ) số âm (Nói cách khác, − = cho ,…, = ii) Thứ tự từ điển phân bậc, kí hiệu ≤ … sau : … < … + ⋯+ số âm Nói cách khác, +⋯+ = + ⋯+ … ≤ iii) Thứ tự từ điển ngược, kí hiệu ≤ … < … … ( ( ( … khác không kể từ bên trái véctơ ( )< … thành phần − ,…, < + ⋯+ − … … )< … thành phần khác không kể từ bên phải véctơ ( ,…, ⋯+ = − ) số dương Nói cách khác, + ⋯+ ,…, = = + ⋯+ > ) , xác định sau : )= … ) , xác đinh )= … deg( < +⋯+ tồn ≤ ≤ < − + cho Nhận xét : Dễ dàng chứng minh thứ tự kể thứ tự từ Ví dụ Đỗ Thị Mùi K35A – SP Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội >  Trong thứ tự ta có : ,  Cho đơn thức : > , >⋯> , Sắp xếp biến > : - Đối với thứ tự từ điển: > > > - Đối với thứ tự từ điển phân bậc: > > > - Đối với thứ tự từ điển ngược: > > > 1.2 Iđêan khởi đầu, sở Gröbner 1.2.1 Từ khởi đầu, đơn thức đầu Định nghĩa 1.2.1 Cho ≤ thứ tự từ hiệu ∈ [ ] Từ khởi đầu đa thức ( ), từ lớn đa thức ( )= Nếu đầu ( )= ,0 ≠ ∈ thứ tự từ ≤ ( )= đơn thức đầu gọi hệ số thứ tự từ ≤ Nếu thứ tự từ ≤ xác định rõ ràng ta thường viết gọn (tương ứng ( ), ( )) thay cho , kí ( ) (tương ứng ( ), ( ) ( )) Chú ý  Từ khởi đầu đa thức không xác định, nhận giá trị tùy ý  Trong biểu diễn tắc đa thức thứ tự giảm dần ta viết từ theo ( ) xuất Ví dụ Cho đa thức thứ tự giảm dần với =3 > + −6 + − Viết theo > , ta có: ( )=3 Đỗ Thị Mùi K35A – SP Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội ( )= ( ) = −6 Bổ đề 1.2.1: Cho , ∈ [ ] ∈ Khi đó: i) ( )= ( ) ( ) ii) ( )= ( ) iii) ( + )≤ { ( ), ( )} Dấu < xảy ( ) = − ( ) Chứng minh = Giả sử: < ( )+∑ ( ), i) Với ( )< , ( ) ( ) ≠ 0, ( ) ( ) Do đó, ( )= ( ) ∑ +∑ nên điều chứng minh suy từ i) ( )> ( ) ta có : ( )> Ta có : )= + ( )> ( )> nghĩa từ khởi đầu, ta có : tổng ( )≥ + Vậy, ( )+ = ( )> nên ( ) ( )= {  Nếu ( )= ( ) Do nên lại có: Đỗ Thị Mùi ( ), ( )+∑ ( )+ ( ) từ lớn ( + ( )} ( ) +∑ ( )= ( )≠− ( ) ( ) ≠ ( + )= ( )+ Theo định không giản ước với từ khác, nên ( )+ ( ) ( ) từ lớn iii) Không giảm tính tổng quát, ta giả sử  Nếu ( ) ( ) < ( ) ( ) ( )= ii) Vì , ( ) ( ) giản ước với từ khai triển tích Vậy ( )+∑ = từ Khi đó: , : ( ) < + = ( )> { ( ), , ( )= ( )> ( )} K35A – SP Toán Khóa luận tốt nghiệp ( ) = − ( ) ta có:  Nếu đó, + Trường ĐHSP Hà Nội ( + )= = ( ) Vậy, < ( )< ( + )< { + =∑ +∑ ( ), ( ), Khi ( + )= ( )} Đó điều phải chứng minh 1.2.2 Iđêan khởi đầu Định nghĩa 1.2.2 Cho iđêan [ ] ≤ thứ tự từ Iđêan khởi đầu , ( ), iđêan kí hiệu [ ] sinh từ khởi đầu phần tử thuộc Nghĩa là: ( )=( ( )| ∈ ) Nhận xét ( ) iđêan đơn thức   ( ) thứ tự ≤ xác định ( ) thay Ta viết Bổ đề 1.2.2 Cho ≤ thứ tự từ , hai iđêan Khi : i) Tập tất đơn thức ii) Nếu iđêan đơn thức iii) Nếu ( ) ⊆ ( )⊆ ( ) tập { ( )| ∈ } ( )= ( ) Hơn nữa, ⊆ ( )= = iv) ( ) ( )⊆ v) ( )+ ( ) ( )⊆ ( + ) Chứng minh i) Nếu ∈ ( ) theo bổ đề điều kiện tương đương iđêan đơn thức, ta có : { = ( ) ∈ Vậy ∈ ( )| ∈ I} Điều ngược lại hiển nhiên Đỗ Thị Mùi 10 K35A – SP Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội Chương MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA CƠ SỞ GRÖBNER 2.1 Bài toán thành viên Bài toán Cho = ( , … , ) ∈ [ ] ∈ [ ] Phải ∈ ? Sau thuật toán giải, KL kết luận toán : KL := true ∈ ( , … , ), KL := false ∈ ( , … , ) Thuật toán 2.1.1 : Thuật toán thử thành viên Tìm THVIEN( ; , … , ) :=KL để kiểm tra Input : ,…, , ∈ ( ,…, ) ? : đa thức [ , … , ] Output : KL { ,…, } := CSGR( , … , ) ≔ IF ( ; ,…, ) = THEN KL := true ELSE KL := false Tính đắn thuật toán đảm bảo hệ Định lí 1.3.2: ∈ RemG( ) = Trường hợp đặc biệt, = , Bài toán trở thành toán kiểm tra xem có phải iđêan thực không Trong trường hợp không cần phải làm mà cần tìm sở Gröbner xét xem có chứa đa thức không Điều dựa vào nhận xét sau: Bổ đề 2.1: = [ ,…, ] (hoặc mọi) sở Gröbner I chứa đa thức Chứng minh Đỗ Thị Mùi 36 K35A – SP Toán Khóa luận tốt nghiệp ={ Giả sử [ ,…, Trường ĐHSP Hà Nội } sở Gröbner ,…, ( )= ] Vì ∈ nên ∈ ( ), … , = ( ) Theo bổ đề điều kiện tương đương iđêan đơn thức, đơn thức chia hết ( ) đó, với ≤ Do đơn thức bé nên cho số khác không Vậy ={ Ngược lại, 1= đơn thức } ⊆ sở Gröbner chứa đa ,…, = thức hằng, ta chọn ( ) phải (0 ≠ + ∈ ) Khi đó, ta có biểu diễn: + ⋯ + + 0, nên phần dư phép chia cho G không Do đó, ∈ = [ ,…, ] =( Ví dụ : Cho −5 − , + Phải  ), − ∈ ? = −4 + +3 , = ∈ ? > Xét thứ tự từ điển phân bậc với > Sử dụng thuật toán Buchberger ta tìm sở Gröbner gồm đa thức sau: = − , = − , = = − , = − , − (Hơn nữa, sở Gröbner rút gọn) Thực phép chia đa thức, ta = (−4 được: Vậy −4 ) + + + + (−3) +0 ∈  Đối với g, ( ) nào, ≤ 5, nên ( )= không chia hết cho từ khởi đầu ∉ Bài toán Cho = ( , … , ), = ( ,…, )⊂ [ ] hai iđêan Hãy xác định xem = ? Thuật toán 2.1.2 Thuật toán thử hai iđêan Đỗ Thị Mùi 37 K35A – SP Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội Tìm giá trị để IDEALEQ( , … , , ( ,…, ) ≔ ( Input: ,…, ,…, ; ,…, ):=KL để kiểm tra ) ,…, : đa thức [ , … , ] Output: KL IF ≔ ( ,…, ) ≔ ( = ,…, ) THEN KL:=true ELSE KL:=false Tính đắn thuật toán đảm bảo Mệnh đề 1.2.2 Ban đầu ta tìm cở sở Gröbner tối tiểu dựa vào thuật toán Buchberger thuật toán tìm tập sinh đơn thức tối tiểu Cơ sở Gröbner rút gọn tìm theo thuật toán tìm sở Gröbner rút gọn Một cách giải khác tìm sở Gröbner và dựa vào toán thực theo + phép thử phải ∈ ∈ < Iđêan khử thứ 2.2 Bài toán khử biến Cho = ( ,…, ) ⊂ iđêan [ [ ,…, ,…, ] ] xác định bởi: = ⋂ [ ,…, ] Bài toán 3: Cho = ( ,…, ) ⊂ ℎ ,…,ℎ ∈ [ ,…, [ ,…, ] cho ] < Tìm đa thức = (ℎ , … , ℎ ) Để giải toán ta cần khái niệm: Định nghĩa 2.1 Kí hiệu = [ ,…, ] = [ gọi thứ tự từ khử biến ,…, ,…, ] Thứ tự từ ≤ thỏa mãn điều kiện sau: Nếu Đỗ Thị Mùi ∈ ℝ ( )∈ 38 ∈ K35A – SP Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội Mệnh đề 2.1 Cho ≤ thứ tự từ thõa mãn điều kiện sau : … < … + ⋯+ ,…, thứ tự từ khử cụm biến < + ⋯+ Khi đó, ≤ Chứng minh Giả sử ∈ ( )∈ đầu ( ) ∈ Ta chứng tỏ ∈ Thật vậy, từ khởi có nghĩa chứa biến có số lớn Theo giả thiết, đơn thức chứa biến có số nhỏ ( ) Do từ đa thức thực lớn nhỏ ( ), từ chứa biến có số nhỏ Vì vậy, ∈ □ Mệnh đề cho ta kết sau: Mệnh đề 2.2 Kí hiệu ( )∈ i) Nếu ii) Nếu định nghĩa Cho ∈ ∈ ( )∈ đa thức ∈ Định lí 2.2.1 Giữ kí hiệu Định nghĩa 2.2.1 Giả sử ≤ thứ tự từ khử cụm biến ,…, Cho ⊂ Khi đó, thứ tự từ cảm sinh từ ≤ tập tất đơn thức , ta có: ( ∩ )= Hơn nữa, cho ,…, ( )∩ sở Gröbner cho tập tất đa thức không chứa biến ,…, sở Gröbner ∩ ∩ =( ,…, ,…, Khi đó, Nói riêng: ,…, ) Chứng minh Đỗ Thị Mùi 39 K35A – SP Toán Khóa luận tốt nghiệp ( ∩ ), tồn ∈ Với ( )∈ ∈ nên = Đặt ( ∩ )= ( )= Vì ( ) ∩ , tồn ∈ ∈ ⋂ Suy ra, nên ( )∩ ( )⊆ ( ) ∩ Giả sử sở Gröbner, tồn ≤ ∈ ∈ nên ∩ Rõ ràng ( ), ≤ , sinh biến ∈ Lại có, ( ∩ ) Vậy ∈ ∈ ⋂ cho ( )⋂ Ngược lại, với ( )= cho Trường ĐHSP Hà Nội ( ) ∩ Ta chứng tỏ ∈ ( ) ∩ Vì ( )| Vì để ,…, ∈ , tức không chứa ( ) có tính chất này, tức biến đầu tiên, nên ( ) ∈ Từ Định nghĩa 2.2.1 suy ∈ Theo cách chọn ,…, ( ), với ≤ ∈ Vì suy ≤ Do đó, , điều dẫn đến: ( ∩ )⊆ Suy ra: chia hết cho ( )= ( )∩ ( =( ( = ,…, Điều có nghĩa lí 1.2.1, ta có: ), … , ,…, ( ), … , ) ⊆ ( ( ) ) sở Gröbner Theo Định ) □ Thuật toán 2.2.1 Thuật toán khử biến Tìm sở Gröbner IDEALKHU( , … , ; iđêan khử ( , … , ) biến Input: , … , : đa thức [ , … , )≔{ ,…, ,…, ,…, } ] < : hai số tự nhiên Output: { ,…, ,…, : đa thức [ }≔ ,…, ] ( ,…, ) ≔0 FOR ≤ DO IF Đỗ Thị Mùi ,…, = THEN ≔ 40 + 1, ≔ K35A – SP Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội Có thể áp dụng toán khử biến để giải toán tìm biểu diễn vành đa thức Bài toán (Bài toán tìm biểu diễn vành) Cho ℎ , … , ℎ ∈ ,…, biến [ ,…, ] phần tử vành đa thức [ ,…, Tìm biểu diễn vành đa thức ℎ , … , ℎ , tức tìm [ℎ , … , ℎ ] ≅ ,…, ∈ [ ,…, [ ,…, ]∕( ] sinh ] cho: , … , ) Lời giải Xét đồng cấu vành : [ ,…, ≔ , ,…, ]⟶ [ ,…, ] ( = 1, … , ⟼ ) ⟼ ℎ ( = 1, … , ) = Đặt Tách phần đa thức ∈( ( )= ( −ℎ ) =⋯= − ℎ ,…, − ℎ ) ( y= dễ thấy [ ,…, [ ,…, ≔ = + ] Vì: ( ) = Mà hạn −ℎ ) − ℎ ,…, [ℎ , … , ℎ ], iđêan khử biến , = 1, … , = Vậy : Kí hiệu y ánh xạ hạn chế nghĩa ∈ − ℎ ) = 0, nên đẳng cấu, nên =( , = 1, … , − ℎ ra, ta không chứa , chế − ℎ Rõ ràng ,…, ]/ ≅ = [ ,…, ] Từ định y = ∩ ≔ , tức Khi ta có: [ℎ , … , ℎ ] iđêan cần tìm Thuật toán 2.2.2 Thuật toán tìm biểu diễn vành đa thức Tìm sở Gröbner BIEUDIEN(ℎ , … , ℎ ) = { , … , } iđêan định nghĩa [ℎ , … , ℎ ] Đỗ Thị Mùi 41 K35A – SP Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội Input: ℎ , … , ℎ : đa thức [ , … , ] , … , : đa thức [ℎ , … , ℎ ] Output: FOR ≤ DO ℎ ≔ −ℎ { ,…, } ≔ (ℎ , … , ℎ ; ,…, ) Ví dụ Elip: +2 + − − = cắt đường tròn: + =1 hai điểm Để tìm hai điểm này, ta tìm sở Gröbner iđêan = (2 +2 + Sử dụng thứ tự từ điển > =2 + Khi đó, =4 −3 5, − 1) ⊂ [ , ] + để khử , ta được: +5 − = = giải với −2 −2 , =5 −4 = 4/5 Thay giá trị vào , ta tìm hai giao điểm (1, 0) 2.3 Giao iđêan Kí hiệu tập biến ,…, tập biến ,…, Bài toán (Bài toán tìm giao iđêan) Cho ,…, [ ] Tìm tập sinh tương ứng tập sinh iđêan iđêan ⋂ ,…, ⊆ Cơ sở để giải toán là: Mệnh đề 2.3 Cho iđêan [ , ] sinh : 1−( +⋯+ ) ,…, Khi đó: Đỗ Thị Mùi 42 K35A – SP Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội = ∩ [ ] Chứng minh Cho ∈ ⋂ [ ] Vì ∈ , biểu diễn: = (1 − ∑ ,…, ,1 ≤ ≤ )+∑ = ta thấy vế trái không đổi (vì ℎ = với ≠ vào biểu diễn không chứa biến ) Vì thay xong không đổi, đa thức phải trở thành phần tử = Vì có ∈ Do đó, ∈⋂ Ngược lại, giả sử [ ], nên ℎ , ∈ [ , ], ℎ ∈ Cố định số ∈ ℕ, , Thay ∑ chứa biến , nên vế ∈ Khi đó: 1− + ∈ ∈ ∩ [ ] □ Thuật toán 2.3.1: Thuật toán tìm giao iđêan Tìm sở Gröbner GIAOIDEAL( , … , Input: ,…, ⋂ : tập hữu hạn [ , … , Output: : tập đa thức [ , … , ≔− )≔ ( ) ] ] ∈ [ , ] ≔ , ; ,…, Ví dụ Cho = ( + , ) = ( − ) Thêm biến , tìm sở Gröbner iđêan sinh đơn thức sau: Đỗ Thị Mùi 43 K35A – SP Toán Khóa luận tốt nghiệp = + Trường ĐHSP Hà Nội , = với quan hệ thứ tự từ điển , = > > − > , =1− − , (thứ tự từ điển khử với hai biến , ), ta được: − , − ,2 Vì vậy, ∩ = { − − − , + −1 , − ,2 − − − } ,…, ) hai iđêan vành , 2.4 Thương iđêan Bài toán 6: Cho =( , … , ) =( [ ] Tìm ℎ , … , ℎ để : = (ℎ , … , ℎ ) Để giải toán trước hết xét trường hợp = Mệnh đề 2.4 Cho iđêan [ ] Giả sử đa thức tùy ý vành sở Gröbner ∩ ( ) Khi đó, đa thức ∈ chia hết cho và: ={ / | ∈ } sở Gröbner : Chứng minh Vì ∩ ( ) = ( : ), nên đa thức ∩ ( ) chia hết cho Nói riêng, chia hết cho , đó, sở Gröbner cho Đặt ⊂ : Cho ℎ ∈ : ℎ ∈ , nên tồn = / ∈ để ℎ chia hết cho Suy ra, sở Gröbner : Nhận xét rằng: : = ⋂ ∈ tùy ý Vì ( ℎ) chia hết , □ : Vì vậy, áp dụng thuật toán tìm giao iđêan ta xây dựng thuật toán giải toán tìm thương sau: Thuật toán 2.4.1: Thuật toán tìm thương Đỗ Thị Mùi 44 K35A – SP Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội Tìm hệ sinh THUONG( , … , ; ( , … , ): ( ,…, ,…, , Input: ,…, ) ≔ {ℎ , … , ℎ } ) ,…, : đa thức [ ] Output: ℎ , … , ℎ : đa thức [ ] FOR ≤ DO ,…, ≔ ≔ ( ,…, ; / ,…, ) / {ℎ , … , ℎ } ≔ ( ,…, ) Ví dụ Cho = ( + , + ) = ( Để tìm iđêan thương : , ta cần biết : ( + , + ) [ , ] + ) : ( + ) Tính được: ∩( + )={ ∩( + Nên : ( )={ , + + , :( } + + ) = ( , ) : ( Do đó, : = Đỗ Thị Mùi + + ) ∩ + + :( 45 + } )=( − + ) ={ + + 1, ) + , } K35A – SP Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội KẾT LUẬN Nội dung Lí thuyết sở Gröbner số ứng dụng trình bày cách hệ thống, logic Nhờ lí thuyết sở Gröbner mà vấn đề như: Có thể thực phép chia đa thức cho tập đa thức { đa thức ,…, } hay không? Làm để biết có thuộc iđêan cho trước? Giao thương iđêan cho trước xác định nào? giải cách triệt để Bản khóa luận mang tính chất giới thiệu, nghiên cứu phần nhỏ Nhiều kiến thức khác Lí thuyết sở Gröbner cho modun, Hình học đại số…chưa đề cập tới khóa luận Đề tài thực có ý nghĩa tiếp tục nghiên cứu, bổ sung ý tưởng lẫn phương pháp Cuối cùng, em mong muốn đóng góp ý kiến giúp đỡ cộng tác nghiên cứu quý thầy cô bạn đọc để đề tài thực có ý nghĩa Em xin chân thành cảm ơn! Đỗ Thị Mùi 46 K35A – SP Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội TÀI LIỆU THAM KHẢO Lê Tuấn Hoa (2003), Đại số máy tính Cơ sở Gröbner, Nxb ĐHQG Hà Nội, Hà Nội Trần Trọng Huệ (2001), Đại Số Đại Cương, Nxb ĐHQG Hà Nội, Hà Nội Ngô Thúc Lanh (1986), Đại số số học, tập 1,2,3, Nxb Giáo dục, Hà Nội Hoàng Xuân Sính (2003), Đại Số Đại Cương, Nxb Giáo dục, Hà Nội Nguyễn Hữu Việt Hưng (1999), Đại Số Đại Cương, Nxb Giáo dục, Hà Nội Đỗ Thị Mùi 47 K35A – SP Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội MỤC LỤC Trang MỞ ĐẦU CHƯƠNG CƠ SỞ GRÖBNER 1.1 Thứ tự từ 1.2 Iđêan khởi đầu, sở Gröbner 1.3 Thuật toán chia 17 1.4 Thuật toán Buchberger 28 Chương MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA CƠ SỞ GRÖBNER 36 2.1 Bài toán thành viên 36 2.2 Bài toán khử biến 38 2.3 Giao iđêan 42 2.4 Thương iđêan 44 KẾT LUẬN 46 TÀI LIỆU THAM KHẢO 47 Đỗ Thị Mùi 48 K35A – SP Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội LỜI CẢM ƠN Em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới toàn thể thầy cô khoa Toán, thầy cô tổ Đại số, người tận tình dạy dỗ, giúp đỡ em trình hoàn thành khóa luận Đặc biệt em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy giáo, TS Nguyễn Huy Hưng, người trực tiếp hướng dẫn, bảo đóng góp nhiều ý kiến quý báu thời gian em thực khóa luận Hà Nội, tháng năm 2013 Sinh viên Đỗ Thị Mùi Đỗ Thị Mùi 49 K35A – SP Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội LỜI CAM ĐOAN Khóa luận em hoàn thành hướng dẫn thầy giáo Nguyễn Huy Hưng, với cố gắng thân trình nghiên cứu thực khóa luận, em có tham khảo tài liệu số tác giả (đã nêu mục tài liệu tham khảo) Em xin cam đoan kết khóa luận kết nghiên cứu thân, không trùng với kết tác giả khác Nếu sai em xin chịu hoàn toàn trách nhiệm Hà Nội, tháng năm 2013 Sinh viên Đỗ Thị Mùi Đỗ Thị Mùi 50 K35A – SP Toán [...]... định iđêan khởi đầu tương đương với việc tìm một cơ sở Gröbner của đối với một thứ tự nào đó Tuy nhiên, việc làm này không hề đơn giản vì không phải mọi cơ sở của đều là cơ sở Gröbner của Hơn nữa, một cơ sở đã cho của có thể là cơ sở Gröbner đối với thứ tự này nhưng không là cơ sở Gröbner đối với thứ tự khác Ví dụ là iđêan của vành [ ] Ta biết rằng trên vành này chỉ có một  [ ], = thứ tự từ là thứ tự... Vậy cơ sở Gröbner tối tiểu của là: { , − , } Định nghĩa 1.2.5 Cơ sở Gröbner rút gọn của iđêan đối với thứ tự đã cho là một cơ sở Gröbner của thỏa mãn các tính chất: ( ) = 1, với mọi i) ii) Với mọi { } mà ∈ ∈ , với mọi từ của , không tồn tại ∈ ∖ ( )| Nhận xét : Mọi cơ sở Gröbner rút gọn là cơ sở Gröbner tối tiểu Định lí 1.2.2 Cho ≠ 0 Khi đó, mọi thứ từ từ có duy nhất một cơ sở Gröbner rút gọn Chứng... thuật toán tìm tập sinh đơn thức tối tiểu của iđêan đơn thức ta có ngay cách xây dựng cơ sở Gröbner tối tiểu xuất phát từ một cơ sở Gröbner nào đó Sau đây là thuật toán tìm cơ sở Gröbner tối tiểu Thuật toán 1.2.1 (Thuật toán tìm cơ sở Gröbner tối tiểu) Tìm cơ sở Gröbner tối tiểu CSGRTT( , … , ) ≔ { Gröbner } từ cơ sở ,…, ,…, Input : ,…, : đa thức trong [ ] Output: ,…, : đa thức trong [ ] FOR ≤ DO ≔... lí trên, ta có thuật toán tìm cơ sở Gröbner rút gọn của iđêan từ một cơ sở Gröbner tối tiểu của nó bằng cách thay đổi mỗi đa thức ∈ ( ) trong đó bằng đa thức ∖ { } Thuật toán này = được trình bày như sau: Thuật toán 1.3.4 : Thuật toán tìm cơ sở Gröbner rút gọn Tìm cơ sở Gröbner rút gọn CSGRRG( , … , ) ≔ { ,…, một cơ sở Gröbner Output: ,…, { } ≔ CSGRRG( , … , ) ,…, } từ cơ sở ,…, Gröbner Input: ,…, FOR... Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2 Cơ sở Gröbner tối tiểu của đối với thứ tự ≤ đã cho là một sở ⊆ sao cho : Gröbner ( ) = 1, với mọi i) ∈ ∈ , không tồn tại ii) Với mọi ∈ mà ( )| ( ) Hệ quả 1.2.1 Cho ≤ là một thứ tự từ Khi đó, mọi iđêan có cơ sở Gröbner tối tiểu và mọi cơ sở Gröbner tối tiểu đều có chung số phần tử và chung tập từ khởi đầu Nhận xét Dựa vào thuật toán tìm tập sinh đơn thức tối... kiểm tra một tập các đa thức cho trước có phải là một cơ sở Gröbner hay không và việc tìm một cơ sở Gröbner của một iđêan không phải là một việc làm đơn giản Mục này sẽ cung cấp cho chúng ta một công cụ khá hiệu quả để kiểm tra xem một tập cho trước có phải là một cơ sở Gröbner của iđêan sinh bởi nó hay không ? Đồng thời, cho ta một thuật toán tìm cơ sở Gröbner của iđêan từ một tập sinh cho trước tùy... Buchberger cho các cặp từ khởi đầu nguyên tố cùng nhau 1.4.2 Thuật toán Buchberger Dựa vào khái niệm -đa thức và tiêu chuẩn Buchberger, ta có thuật toán Buchberger Thuật toán Buchberger (Tìm cơ sở Gröbner từ một hệ sinh của iđêan) Tìm cơ sở Gröbner CSGR( , … , ) ≔ { Input: ,…, } từ ( , … , ) = ( ,…, ) Output: cơ sở Gröbner ={ ,…, } và ⊆ ≔ REPEAT ≔ FOR mỗi cặp { , } ⊆ ≔ IF UNTIL , 0 DO ( ( , ); 0 THEN... 1.3.2: khi ∈ khi và chỉ khi RemG( ) = 0 Trường hợp đặc biệt, = , Bài toán 1 trở thành bài toán kiểm tra xem có phải là iđêan thực sự không Trong trường hợp này không cần phải làm như trên mà chỉ cần tìm một cơ sở Gröbner của và xét xem nó có chứa đa thức hằng nào đó không Điều đó dựa vào nhận xét sau: Bổ đề 2.1: = [ ,…, ] khi và chỉ khi một (hoặc mọi) cơ sở Gröbner của I chứa đa thức hằng Chứng minh Đỗ... khác, ta có : ( ) Vậy { , } không là cơ sở Gröbner của  > ={ − , + > Ta chứng tỏ với mọi đa thức 0 ≠ }⊆ [ , , ] Đối với thứ tự từ điển mà − , + là cơ sở Gröbner của Thật vậy, ∈ có dang : = ( − ) + ℎ( + Nếu ( ) không chứa biến = ( ) Chọn =− , = 0 + ℎ 0, vô lí Vậy hay − , + =− , thì ) chỉ chứa biến , tức là thay vào biểu diễn của ( )∈( , )= ( − ), ta có : ( + ) là cơ sở Gröbner của đối với thứ tự từ... nghĩa cơ sở Gröbner, 16 (ℎ) K35A – SP Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2 ( chia hết cho một từ khởi đầu , ∗ ∈ nào đó Điều này mâu thuẫn là cơ sở Gröbner rút gọn Vậy, ℎ = 0, từ đó : với giả thiết , tức là ∗ ), ⊆ = ∈ Chứng minh hoàn toàn tương tự, bằng cách đổi vai trò ⊆ Vậy ta chứng minh được = □ 1.3 Thuật toán chia 1.3.1 Phép chia với dư trong vành đa thức một biến Cấu trúc iđêan của vành ... với dư vành đa thức nhiều ẩn Cuối cùng, đề cập tới thuật toán Buchberger Chương Một số ứng dụng Cơ sở Gröbner Nội dung chủ yếu chương trình bày ứng dụng sở Gröbner để giải số toán iđêan vành đa... đương với việc tìm sở Gröbner thứ tự Tuy nhiên, việc làm không đơn giản sở sở Gröbner Hơn nữa, sở cho sở Gröbner thứ tự không sở Gröbner thứ tự khác Ví dụ iđêan vành [ ] Ta biết vành có  [ ], =... CHƯƠNG CƠ SỞ GRÖBNER 1.1 Thứ tự từ 1.2 Iđêan khởi đầu, sở Gröbner 1.3 Thuật toán chia 17 1.4 Thuật toán Buchberger 28 Chương MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA CƠ SỞ