Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Trong chương trình toán phổ thông điểm đặc biệt đồ thị hàm số (các điểm cực trị, điểm uốn, điểm cố định họ đồ thị, điểm không qua họ đồ thị,…) phần hấp dẫn, lôi tất người học toán làm toán Các tập phong phú đa dạng.Vì toán liên quan đến điểm đặc biệt hàm số thường xuyên có mặt kì thi phổ thông trung học kì thi học sinh giỏi đề thi đại học cao đẳng Để giải đòi hỏi người học toán làm toán phải linh hoạt vận dụng cách hợp lý toán Tuy nhiên đứng trước toán điểm đặc biệt đồ thị hàm số người phải có hướng xuất phát riêng Nói có nghĩa có nhiều phương pháp để đến kết cuối toán Điều quan trọng ta phải lựa chọn phương pháp cho lời giải tối ưu nhất.Thật khó thú vị ta tìm đường lối đắn để giải Với lý trên, đam mê thân với hướng dẫn nhiệt tình thầy thạc sĩ Phạm Lương Bằng, em mạnh dạn thực khóa luận với tựa đề: “ Các điểm đặc biệt đồ thị hàm số” Mục đích nghiên cứu Nhận dạng thể việc quan trọng trình rèn luyện khả làm toán người Lời giải toán tốt ta xác định đối tượng Đinh Thị Quế Lớp K35C Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội Nhiệm vụ nghiên cứu - Trình bày sở lí thuyết - Nghiên cứu loại điểm đặc biệt đồ thị hàm số - Xây dựng hệ thống tập minh họa Đối tượng phạm vi nghiên cứu  Đối tượng nghiên cứu - Các điểm đặc biệt đồ thị hàm số  Phạm vi nghiên cứu - Chương trình toán phổ thông - Các vấn đề điểm đặc biệt đồ thị hàm số Phương pháp nghiên cứu - Phương pháp nghiên cứu tài liệu - So sánh, phân tích, tổng hợp - Phương pháp đánh giá Cấu trúc khóa luận Ngoài lời cám ơn, mở đầu, kết luận, danh mục tài liệu tham khảo khóa luận em gồm chương : Chương : Các điểm cực đại, cực tiểu hàm số Chương : Tính lồi, lõm điểm uốn đồ thị Chương : Một số điểm đặc biệt khác Do trình độ kinh nghiệm hạn chế nên luận văn nhiều hạn chế, không tránh khỏi sai sót.Em mong đóng góp ý kiến thầy cô giáo khoa toán bạn sinh viên Đinh Thị Quế Lớp K35C Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội NỘI DUNG CHƯƠNG I CÁC ĐIỂM CỰC TRỊ CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ 1.1 Điều kiện cần để hàm số có cực trị : Định lý Fecmat: Giả thiết hàm số y = f(x) liên tục (a,b) x0  (a,b) Nếu hàm số y= f(x) có đạo hàm x0 đạt cực trị điểm f’(x0) = Chú ý: Điều ngược lại nói chung không Có hàm số có đạo hàm f '  x  = xo không đạt cực trị xo (VD y = x3), có hàm số đạt cực trị xo đạo hàm xo ( VD y = |x|) Ví dụ: y = x3 có tập xác định D  y ' = 3x2 => y ' = x = x > : f(x) > f(0) x < : f(x) < f(0) => f cực trị x = 1.2 Điều kiện đủ để hàm số có cực trị : - Dấu hiệu 1: Cho hàm số y = f  x  có đạo hàm lân cận điểm x0 (có thể đạo hàm x0) Nếu f '  x  đổi dấu từ + sang – x tăng qua x0 hàm số đạt cực đại x0 Nếu f '  x  đổi dấu từ – sang + x tăng qua x0 hàm số đạt cực tiểu x0 - Dấu hiệu : Đinh Thị Quế Lớp K35C Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội Cho hàm số y = f  x  có đạo hàm cấp cấp x0 f '  x0   , f(x) xác định lân cận x0 Nếu f ''  x  > hàm số y =f(x) đạt cực tiểu x0 Nếu f ''  x  < hàm số y= f(x) đạt cực đại x0 1.3 Qui tắc tìm cực trị 1) Qui tắc Bước Tính f '  x  Bước Tìm điểm tới hạn hàm số (nghiệm f '  x  điểm f '  x  không xác định) Bước Xét dấu f '  x  kết luận cực trị hàm số (nếu có) 2) Qui tắc Bước Tính f '  x  Bước Giải phương trình f '  x  = 0, tìm nghiệm xi (i = 1, 2, ) điểm x0 TXĐ mà y' không xác định Bước Tính f '  xi  , xác định dấu kết luận cực trị hàm số VD Tìm cực trị hàm số : y = x4 - 2x2 Chú ý: Phân tích tính khả dụng qui tắc Đinh Thị Quế Lớp K35C Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 1.4 Cực trị hàm số thường gặp y y y  ax  bx  c O O x x y  ax3  bx  cx  d y O x ax  bx  c y dx  e 1.4.1 Cực trị hàm đa thức bậc 1.4.1.1 Tìm cực trị hàm số đa thức bậc ba a) Phương pháp chung Hàm đa thức bậc ba : y  f  x   ax  bx  cx  d Bước 1: Tập xác định D  Bước 2: Tính đạo hàm y ' , y  f   x   3ax  2bx  c giải phương trình y ' = Đinh Thị Quế Lớp K35C Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội Bước 3: Lập bảng biến thiên đưa kết luận a>0 a 0, f   x   có nghiệm phân biệt x1 , x với x1,2  b  b  3ac hàm số đạt cực trị x1, x2 3a Đinh Thị Quế Lớp K35C Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội Theo định nghĩa ta có cực trị hàm số là:   y1  f  x1   f  b  b  3ac  ;  3a   y  f  x   f b  b  3ac 3a  Trong trường hợp x1, x2 số vô tỉ cực trị f (x1), f (x2) tính theo định nghĩa phức tạp so với cách tính theo thuật toán sau đây: Bước 1: Thực phép chia f (x) cho f (x) ta có:  2 f  x    x  b  f  x    c  b  x   d  bc  9a   3a   9a  3 hay f  x   f   x .q  x   r  x  với bậc r  x   Bước 2:         y  f  x   r x   c  b2 x  d  bc 1 f  x1 0  3a 9a nên   f  x2  0 y  f  x  r x   c  b2 x  d  bc 2  3a 9a b) Ví dụ Tìm khoảng tăng giảm cực trị hàm số y  x3  3x  x  Giải: Tập xác định D  Đạo hàm:  x  1 y '  3x  x   y '   3x  x      x3 lim y   lim y   x Đinh Thị Quế x Lớp K35C Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội Bảng biến thiên x - y’ -1 + y - + + 10 + - -22 Vậy, ta được:  Hàm số đồng biến khoảng (–; –1) (3, +)  Hàm số nghịch biến khoảng (–1, 3)  Hàm số đạt cực đại x = –1 giá trị cực đại yCĐ = 10  Hàm số đạt cực tiểu x= giá trị cực tiểu yCT = – 22 1.4.1.2 Tìm điều kiện để hàm số có cực trị a) Phương pháp chung: Ta có: + Tập xác định: D  + Đạo hàm: y '  3ax  2bx  c, y '   3ax  2bx  c  (1) i Hàm số cực trị: ta xét hai trường hợp: Trường hợp 1: Nếu a = y '  2bx  c Điều kiện y ' không đổi dấu  b = &c = Trường hợp 2: Nếu a  điều kiện y’ không đổi dấu   '  ii Hàm số có cực trị: Ta xét hai trường hợp: Trường hợp 1: Nếu a = (1)  2bx  c  Điều kiện : b  Trường hợp 2: Nếu a  thì: Đinh Thị Quế Lớp K35C Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội a0 Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt    '  iii Hàm số có cực đại cực tiểu a0  phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt    '  iv Hàm số có cực đại, cực tiểu với hoành độ thỏa mãn điều kiện K Ta thực theo bước: Bước 1: Hàm số có cực đại, cực tiểu a0  phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt    '  Khi phương trình (1) có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn hệ thức vi-et Bước 2: Kiểm tra điều kiện K v Hàm số có cực đại,cực tiểu khoảng I  phương trình (1) có hai nghiệm khoảng I vi Hàm số có cực đại khoảng I Ta xét hai trường hợp: Trường hợp Nếu a = thì: (1)  2bx  c  (2) Điều kiện phương trình (2) có nghiện thuộc I qua y’ đổi dấu từ dương sang âm  b0   c  I  2b Trường hợp 2: Nếu a  Ta thực theo bước: Bước 1: Hàm số có cực đại Đinh Thị Quế Lớp K35C Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội a0  phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt    '  Khi phương trình (1) có hai nghiệm x1 < x2 Bước 2: Tùy theo a ta lập bảng biến thiên hàm số Từ bảng biên thiên suy hoành độ điểm cực đại: xCĐ Bước 3: Hàm số có cực đại khoảng I  xCĐ  I Tương tự cho trường hợp cực tiểu vii Hàm số có cực đại, cực tiểu xCĐ < xCT a0  phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt a >    '  viii Hàm số có cực đại, cực tiểu xCĐ > xCT a0  phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt a <    '   y '( x0 )  ix Hàm số đại cực tiểu tai x0    y ''( x0 )   y '( x0 )  x Hàm số đạt cực đại x0    y ''( x0 )  Hệ quả: Đường thẳng qua cực đại, cực tiểu có phương trình là: y  r(x) Đối với hàm số tổng quát : y  f (x) y  ax  bx  cx  d  a  0 Thì đường thẳng qua cực đại, cực tiểu có phương trình:    y  c  b x  d  bc 3a 9a  b)Ví dụ Tìm m để hàm số: y  x   m  m   x   3m  1 x  m  , m_tham số thực đạt cực tiểu x  2 Đinh Thị Quế 10 Lớp K35C Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội Phương trình (1) có nghiệm qua y’’ đổi dấu  gCT  e  g ln(6m)    6m  6m.ln(6m)   m   Vậy, với m > m   e đồ thị hàm số có điểm uốn Tìm m để đồ thị hàm số y  mx  8mx3  48 x  2m , m_tham số có hai điểm uốn mà hoành độ chúng thỏa mãn phương trình: x    x  1 (1) Giải: Giải bất phương trình  x  1  x 1     x 1 1 x  (1)   2  2( x  1)  ( x  1)   x2  x     Xét hàm số: y  mx  8mx3  48 x  2m có tập xác định D  Đạo hàm: y '  4mx  24mx  96 x y ''  12mx  48mx  96, y ''   g ( x)  mx  4mx   (2) Hàm số có hai điểm uốn thỏa mãn phương trình (1)  phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt thuộc 1,3)  m0 m0     '  4m2  8m       mg (1)   m(8  3m)    m  mg (3)    m(8  3m)  S         Vậy với  m  Đinh Thị Quế thỏa mãn điều kiện đầu 51 Lớp K35C Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội c) Bài tập tương tự Tìm m để (C): m_tham số y  f ( x)   x3  3m2  , nhận I(1, 0) m làm điểm uốn Gợi ý: f ''( x)  6 x  6m Điểm uốn U  (m ,2m5  2)  I (1,0) m Đáp án: m = Cho hàm số y  x3  3(m 1) x  3x  , m_tham số xác định m để đồ thị hàm số có điểm uốn với hoành độ thỏa mãn bất phương trình: 32 x  8.3x x4  9.9 x4  (1) Gợi ý: Chia hai vế bất phương trình (1) cho 32 x4 Đặt t  3x x4 đưa bất phương trình dạng t  8t   Đáp án: m > Đinh Thị Quế 52 Lớp K35C Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội CHƯƠNG MỘT SỐ ĐIỂM ĐẶC BIỆT KHÁC ĐỐI VỚI HỌ ĐỒ THỊ CHO TRƯỚC 3.1 Số đồ thị qua điểm Cho họ (Cm) có phương trình y = f(x, m) tham số m  Điểm M(x0, y0) cho trước (Cm) khi: y0 = f(x0, m) (1) Xem phương trình (1) phương trình theo ẩn số m nghiệm (1) số đồ thị họ (Cm) qua M Cụ thể: - Phương trình (1) vô nghiệm (theo m) đường họ (Cm) qua M.( Điểm mà đồ thị họ qua) - Phương trình (1) có k nghiệm có k đường cong họ (Cm) qua M (Điểm mà có số đồ thị họ cho qua) - Phương trình (1) nghiệm với m  , đồ thị họ (Cm) qua M Khi M gọi điểm cố định họ đồ thị (Cm) 3.1.1 Điểm cố định đồ thị: a) Phương pháp: - Phương pháp 1: Giả sử A(x0,y0) điểm cố định đồ thị Chuyển phương trình y0 = f(m, x0) cho phương trình y0 – f(m,x0) = với ẩn m Sau nhóm thành phần ứng với bậc n m, tìm điều kiện để phương trình với ẩn m nghiệm với m - Phương pháp 2: - Gọi A(x0,y0) điểm cố định đồ thị Khi y0 = f(m,x0) Xem vế phải đẳng thức hàm số m : F(m) = f(x,m0) F(m) = y0 (  m) Tức F(m) số m Từ suy F’(m) = (  m) Đinh Thị Quế 53 Lớp K35C Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội Sau nhóm thành phần theo bậc m, giải tương tự b) Ví dụ Cho họ:  Cm  : y  x3   m  1 x   m  m  1 x  4m  m  1 , m_tham số Chứng tỏ m thay đổi, đồ thị họ  Cm  qua điểm cố định Giải Giả sử M(x0, y0) điểm cố định họ  Cm  Khi đó: y  x03   m  1 x02   m2  4m  1 x0  4m  m  1 , m x0    x     x02  x0      M  2,0  y  0   x  3x  x  y  0 0  Vậy họ  Cm  qua điểm cố định M(2, 0) Cho hàm số : y  mx3  3mx   m  1 x  , m_ tham số thực Tìm điểm cố định mà đường cong họ qua Giải Ta viết lại: m(x3 – 3x2 + 2x) + – 2x – y = (1) Điểm cố định A(x, y) thoả (1), m (đúng với m) Vậy họ đường cong qua điểm cố định : A(0, 2), B(1, 0), C(2, -3) Tìm điểm cố định họ (Cm): y  mx  m_tham xm số m  1 Đinh Thị Quế 54 Lớp K35C Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội Giải Gỉa sử M(x0, y0) điểm cố định họ (Cm) Khi đó: y x0  m   mx0  , m  1   , m  1 x0  m  x0  y0  m   x0 y0    x0   x0  m   M (1,1)    x0  y0     x0  1      M (1, 1) 1  x0 y0   y0  x0 Vậy, họ (Cm) có hai điểm cố định M1(1,0) M2(-1, 2) c) Bài tập tương tự Cho họ hàm số y  x3  (m  1) x2  (2m2  3m  2) x  2m(m 1) , m_tham số.Tìm điểm cố định hàm số Gợi ý: - Áp dụng phương pháp - Đáp án: Điểm cố định M(2, 0) Cho hàm số y  x3  (m  m ) x2  x   m  m  , m_tham số Chứng minh rằng: Mọi đồ thị họ hàm số qua hai điểm cố định Gợi ý: - Đặt a  m  m , f ( x, a)  x3  ax  x  4a - Hàm số có hai điểm cố định M(2, 0), M(-2, 0) 3.1.2 Điểm mà đồ thị họ qua a) Phương pháp: Gọi A(x0,y0) điểm mà đồ thị họ qua Khi y0  f(m,x0) (  m) hay phương trình y0 - f(m,x0) = vô nghiệm ( ẩn m) Từ điều kiện vô nghiệm phương trình suy quan hệ tung độ y0 hoành độ x0 điểm A Đinh Thị Quế 55 Lớp K35C Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội b)Ví dụ : Cho họ (Cm): y  ( x  2)( x  2mx  m 1) , m_tham số Tìm điểm mà họ (Cm) qua Giải Gỉa sử M(x0, y0) điểm mà họ (Cm) qua Khi đó: Phương trình y0  ( x0  2)( x02  2mx0  m  1) vô nghiệm ẩn m  ( x0  2)m  x0 ( x0  2)m  ( x0  2)( x02  1)  y0  vô nghiệm với ẩn m   x0      y0     x0      x0 ( x0  2)  ( x0  2)  ( x0  2)( x0  1)  y0     x0     y0    x0    ( x0  2)( x0   y0 )  Vậy, tập điểm M(x0, y0) thỏa mãn hệ điểm mà họ (Cm) qua Cho họ (Cm): y  x  (m  2) x , m_tham số Tìm điểm mà x 1 họ (Cm) qua Giải Gỉa sử M(x0, y0) điểm mà họ (Cm) qua Khi đó: Phương trình y0  x0  (m  2) x0 vô nghiệm ẩn m x0  (1) Trường hợp 1: x0    x0  Đinh Thị Quế 56 Lớp K35C Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội Khi M thuộc đường thẳng x = Trường hợp 2: x0    x0  Thì (1)  y0 ( x0 1)  x0  (m  2) x0  mx0  x0  x0  y0 ( x0  1)  Phương trình vô nghiệm x0      x0  2 x  x0  y0 ( x0  1)     y0   M thuộc đường thẳng x = trừ gốc O Vậy, tập điểm M(x0, y0) thuộc đường thẳng x = x = trừ gốc tọa độ O điểm mà họ (Cm) qua c) Bài tập tương tự Cho họ (Cm): y  x  mx  , m_tham số Tìm điểm mà họ xm (Cm) qua Gợi ý: x0  mx0  - Ycbt  y0  vô nghiệm x0  m - Đáp án: Tập hợp điểm thỏa mãn ycbt đường thẳng y   x bỏ điểm (2, -2), (-2, 2), (2, 6), (-2, -6) Cho họ (Cm): y  (m  1) x  m2 , m_tham số Tìm điểm mà xm tiệm cận xiên họ hàm số (Cm) qua Gợi ý: - Tiệm cận xiên y  (m  1) x  m2  m - Ycbt  y0  ( m  1) x0  m  m vô nghiệm Đáp án: Những điểm nằm bên parabol y  Đinh Thị Quế 57 1 ( x0  1) Lớp K35C Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 3.1.3 Điểm mà có số đồ thị họ cho qua a) Phương pháp Điểm A(x0,y0) điểm có số đồ thị họ cho qua tọa độ (x0,y0) thõa mãn phương trình y = f(m,x) ứng với số giá trị thích hợp m Tức phương trình y0 - f(m,x0) = có số nghiệm Phương trình có nghiệm có nhiêu đồ thị hàm số cho qua điểm A ( Chú ý: đa thức bậc n có không n nghiệm) b) Ví dụ x  3mx  m Cho họ (Cm): y  , m_tham số Chứng minh mx  không tồn điểm cho có nhiều hai đồ thị họ hàm số qua Giải Gỉa sử M(x0, y0) mà có nhiều hai đồ thị họ hàm số qua Khi phương trình: y0  x0  3mx0  m có hai nghiệm với mx0  ẩn m 3 x0 m  (1  x0 y0 )m  x0  y0   có hai nghiêm với ẩn m  1 m   x0  Điều vô lí phương trình phương trình bậc hai Vậy không tồn điểm M0(x0, y0) mà có nhiều hai đồ thị họ hàm số qua 3.2 Chứng minh đồ thị có ba điểm cố định thẳng hàng Bài toán: Chứng minh họ đồ thị hàm số y = (x, m) qua ba điểm cố định ba điểm nằm đường thẳng Đinh Thị Quế 58 Lớp K35C Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội a) Phương pháp chung: Bước 1: Gỉa sử M(x, y) điểm cố định họ (Cm) Khi đó: y  f ( x, m), m  Nhóm theo bậc m cho hệ số 0, hệ (I) Bước 2: Xét hai khả năng: Khả Tìm cặp nghiệm phân biệt (I) Khi đó:  Đồ thị hàm số qua ba điểm cố định M1, M2, M3    Xác định tọa độ: M 1M M 1M    Nhận xét M 1M  k M 1M  Kết luận: Ba điểm cố định M1, M2, M3 thẳng hàng Khả 2:Không ba cặp nghiệm phân biệt (I) (hoặc (I) có nghiệm lẻ) Khi đó: - Chứng minh hệ (I) có ba cặp nghiệm phân biệt, từ suy đồ thị hàm số qua ba điểm cố định M1, M2, M3 - Từ hệ (I) suy phương trình hệ quả: Ax+By+C=0 - Nhận xét rằng: Tọa đọ ba điểm cố định nghiệm phương trình đường thẳng Ax+By+C=0 , nên ba điểm cố định họ đồ thị thẳng hàng b) Ví dụ Chứng minh họ đồ thị hàm số: (Cm ) : y  (m  2) x3  2(m  2) x  (m  3) x  2m  , m_tham số Luôn qua ba điểm cố định ba điểm cố định nằm đường thẳng Giải Gỉa sử M(x0, y0) điểm mà họ (Cm) qua Khi đó: Đinh Thị Quế 59 Lớp K35C Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội y  (m  2) x3  2(m  2) x  (m  3) x  2m  1, m  ( x3  x  x  1)m  3x3  12 x  x  y  0, m  x3  x  x     y  3x  12 x  x Xét hàm số g ( x)  3x3  12 x  x hàm liên tục R g (-1) = -3 < 0; g(0) = > 0; g(1) = -3 < 0; g(5) = 21 > Suy phương trình g(x) = có ba nghiệm phân biệt: -1 < x1 < < x2 < < x3 < Vậy họ (Cm) có ba điểm cố định M1, M2, M3 Từ hệ suy ra: y  3( x3  x  x  1)  x   4 x  Tọa độ ba điểm cố định nghiệm phương trình đường thẳng y = -4x+3 Nên ba điểm cố định họ đồ thị thẳng hàng c) Bài tập tương tự Chứng minh họ đồ thị hàm số: (Cm ) : y  (m  1) x  2(m 1) x  m  , m_tham số Luôn qua ba điểm cố định ba điểm cố định nằm đường thẳng Gợi ý: Đáp án: y = x+2 3.3 Tìm điểm thuộc đồ thị thỏa mãn điều kiện cho trước cho trước Tìm điểm M thuộc đồ thị (C): y = f(x) thỏa mãn tính chất K a) Phương pháp chung: Bước Lấy điểm M(x0, y0)  (C) ta có: y0 = f(x0) Bước Kiểm tra điều kiện K Đinh Thị Quế 60 Lớp K35C Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội b) Ví dụ Cho hàm số y  x2  x  (H), m_tham số x 1 Tìm k cho (H) có hai nhánh khác P, Q thỏa mãn điều kiện:  xP  y P  m (I )   xQ  yQ  m Giải Điểm P, Q thuộc đồ thị hàm số  xQ2  xQ    x  xP   ta có P  xP , P Q x ,  Q   xP   xQ     Thay tọa độ P, Q vào hệ (I) ta được:  xP2  xP   xP  x   m P    x  xQ  xQ   m  Q xQ    hoành độ P, Q thỏa mãn phương trình: x  với x  x2  x  m x 1 (1) Để có hai điểm phân biệt P, Q phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khác k   2 m   m  1   0    m  8m     1  f 1    k   2 Vậy với k   2 k   2 (H) có hai điểm P, Q thỏa mãn điều kiện đầu Đinh Thị Quế 61 Lớp K35C Toán Khóa luận tốt nghiệp Cho hàm số y  Trường ĐHSP Hà Nội x2  x  x2 Tìm đồ thị hàm số tất điểm có tọa độ nguyên Giải y  x 1 x2 Điểm A(x0, y0)(x0  -2) thuộc đồ thị hàm số có hoành độ nguyên  x0 +2 ước Ta có bảng liệt kê sau: x0 +2 -1 x0 -3 -1 y0 -5 -1 Điểm A1(-3, -5) A2(-1, -1) Vậy điểm A1(-3, -5) A2(-1, -1) a Bài tập tương tự x2  x  Cho hàm số y  (H) x 1 Tìm k cho (H) có hai nhánh khác P, Q thỏa mãn điều kiện:  xP  y P  m   xQ  yQ  m Gợi ý: - Tương tự ví dụ - Đáp án: với k   2 k   2 (H) có hai điểm P, Q thỏa mãn điều kiện đầu Đinh Thị Quế 62 Lớp K35C Toán Khóa luận tốt nghiệp Cho hàm số y  Trường ĐHSP Hà Nội x  3x  x2 Tìm đồ thị hàm số tất điểm có tọa độ nguyên Gợi ý: - Tương tự ví dụ - Đáp án: A1  6, 6  , A2  4, 5 , A3  3, 6  , A4  1,4  , A5  0,3 A6  2,4  Đinh Thị Quế 63 Lớp K35C Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội KẾT LUẬN Qua trình tìm hiểu nghiên cứu khóa luận, em bước đầu làm quen với cách làm việc khoa học, hiệu Qua đó, em củng cố thêm cho kiến thức “Các điểm đặc biệt đồ thị hàm số”, đồng thời thấy phong phú, lý thú toán học Đặc biệt khóa luận em nghiên cứu cách khái quát định nghĩa “Các điểm đặc biệt đồ thị hàm số” Bên cạnh tập áp dụng Hi vọng tài liệu giúp ích cho bạn sinh viên quan tâm đến môn Đại số Mặc dù có nhiều cố gắng, song hạn chế thời gian kiến thức nên khóa luận không tránh khỏi thiếu sót Em mong nhận đóng góp quý báu thầy cô bạn sinh viên Đinh Thị Quế 64 Lớp K35C Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội TÀI LIỆU THAM KHẢO Trong khóa luận em sử dụng tài liệu tác giả sau với tất trân trọng biết ơn [1] Nguyễn Huy Đoan (2001), giải toán ôn tập giải tích, nhà xuất giáo dục [2] Lê Hồng Đức, phương pháp giải toán hàm số, Đại số sơ cấp, nhà xuất Đại Học Quốc Gia Hà Nội [3] Trần Văn Hạo (2001), Khảo sát hàm số, nhà xuất giáo dục [4] Trần Thành Minh(2001), giải toán khảo sát hàm số 12, nhà xuất giáo dục [5] Trần Phương_Lê Hồng Đức (2010), Đại số sơ cấp, nhà xuất Đại Học Quốc Gia Hà Nội [6] Tạp chí toán học tuổi trẻ, nhà xuất giáo dục Đinh Thị Quế 65 Lớp K35C Toán [...]... bx 3 cx 2 dx e a 0 2 o hm: y f x 4ax 3 3bx 2 2cx d 3 Cc tr: Xột f x 0 cú đúng 1 nghiệm 1 nghiệm đơn có đúng 1 cực trị có đúng 2 nghiệm 1 nghiệm kép có 3 nghiệm phân biệt có 3 cực trị gồm CĐ và CT inh Th Qu 19 Lp K35C Toỏn Khúa lun tt nghip Trng HSP H Ni 2 a>0 a ... Xột f x cú nghiệm nghiệm đơn có cực trị có nghiệm nghiệm kép có nghiệm phân biệt có cực trị gồm CĐ CT inh Th Qu 19 Lp K35C Toỏn Khúa lun tt nghip Trng HSP H Ni a>0 a