BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH NGUYỄN SỸ QUỲNH MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA LỚP MÔĐUN IC-GIẢ NỘI XẠ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Nghệ An, 2013 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH NGUYỄN SỸ QUỲNH MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA LỚP MÔĐUN IC-GIẢ NỘI XẠ Chuyên ngành: ĐẠI SỐ - LÝ THUYẾT SỐ Mã số: 60 46 05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS ĐINH ĐỨC TÀI Nghệ An, 2013 MỤC LỤC Mục lục Mở đầu Bảng kí hiệu Kiến thức sở 1.1 Các khái niệm 1.2 Môđun nội xạ tính chất 1.3 Môđun cốt yếu điều kiện Ci Môđun ic - giả nội xạ 11 2.1 Môđun giả nội xạ 11 2.2 Môđun ic - giả nội xạ 17 Kết luận 23 Tài liệu tham khảo 24 MỞ ĐẦU Như biết, R-môđun N gọi M -nội xạ với môđun X M , đồng cấu ϕ : X → N mở rộng thành đồng cấu ψ : M → N Môđun N gọi tựa nội xạ N N - nội xạ Môđun N gọi môđun nội xạ N A-nội xạ với A Mod-R Có thể nói, môđun nội xạ lớp môđun đóng vai trò đặc biệt lý thuyết vành Khái niệm môđun nội xạ nhà nghiên cứu lý thuyết vành quan tâm mở rộng, chẳng hạn như: môđun nội xạ trực tiếp (direct injective module), môđun nội xạ tối tiểu (min-injective module), Trong [8], S Sing S K Jain đưa khái niệm môđun giả M-nội xạ: R-môđun N gọi giả M -nội xạ (pseudo M-injective) với môđun X M , đơn cấu ϕ : X → N mở rộng thành đồng cấu ψ : M → N Theo hướng nghiên cứu này, [4], tác giả Mehdi S Abbas Samir M Saied đưa khái niệm ic-môđun môđun ic-giả nội xạ: Giả sử M , N R-môđun Môđun M gọi môđun ic-giả N-nội xạ (icpseudo-N-injective) với ic-mô đun A N , đơn cấu từ A tới M mở rộng thành đồng cấu từ N tới M Trong đó, môđun A N gọi ic-môđun (ic-submodules) A đẳng cấu với môđun đóng N Theo định nghĩa trên, rõ ràng môđun giả nội xạ môđun ic-giả nội xạ, nhiên điều ngược lại không hoàn toàn (xem [5]) Đây hướng mở rộng lớp môđun nội xạ nói chung lớp môđun giả nội xạ nói riêng, hiểu biết tính chất lớp môđun giúp có cách tiếp cận tính chất số lớp vành như: vành Artin nửa đơn, vành Noether, Với lý nêu, sở tài liệu tham khảo [4], lựa chọn đề tài nghiên cứu: "Một số tính chất lớp môđun ic-giả nội xạ" nhằm mục đích tìm hiểu số tính chất lớp môđun Ngoài phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, cấu trúc luận văn gồm chương: Chương Kiến thức sở Nội dung chương chủ yếu trình bày khái niệm, tính chất nhằm phục vụ nội dung chương Chương Môđun ic-giả nội xạ Nôi dung chương trình bày phần: 2.1 Môđun giả nội xạ Nội dung phần dành để trình bày định nghĩa, ví dụ số tính chất lớp môđun giả nội xạ 2.2 Môđun ic-giả nội xạ Có thể nói nội dung luận văn Trong phần này, giới thiệu số tính chất lớp môđun ic ic-giả nội xạ; mối liên hệ lớp môđun ic-giả nội xạ với lớp môđun liên tục, CS, Luận văn thực Trường Đại học Vinh từ tháng năm 2013 hướng dẫn TS Đinh Đức Tài Tác giả xin gửi tới Thầy lòng biết ơn chân thành tận tình hướng dẫn thời gian qua Xin chân thành gửi lời cảm ơn tới: Các Thầy giáo, Cô giáo Bộ môn Đại số, Khoa Toán, Trường Đại học Vinh; Phòng Đào tạo Sau đại học; bạn bè gia đình giúp đỡ, động viên tinh thần lẫn vật chất, tạo điều kiện thuận lợi để tác giả hoàn thành khóa học Nghệ An, tháng năm 2013 Tác giả BẢNG KÍ HIỆU A ⊆⊕ B : A hạng tử trực tiếp B A →e B : A môđun cốt yếu B A∼ = B : A đẳng cấu với B A ⊕ B : Tổng trực tiếp môđun A môđun B ACC (DCC) : Điều kiện xích tăng (giảm) E(M ) : Bao nội xạ môđun M Soc(M ) : Đế môđun M End(M ) :Vành tự đồng cấu môđun M u-dim(M ) : Chiều Goldie môđun M Ker(f ), Im(f ) : Hạt nhân, ảnh đồng cấu f (tương ứng) M (I) : ⊕i∈I M (tổng trực tiếp I M ) MR (R M ) : M R-môđun phải (trái) Mn (S) : Vành ma trận vuông cấp n với hệ tử S M od-R: Phạm trù R-môđun phải Rad(M ) : Căn môđun M J(R) : Căn Jacobson vành R Z(M ) : Môđun suy biến môđun M CHƯƠNG KIẾN THỨC CƠ SỞ Trong suốt luận văn này, không nói thêm, vành R hiểu vành kết hợp, có đơn vị = R-môđun xét môđun unita phải (nếu không nói thêm) 1.1 Các khái niệm Trước hết, trình bày số khái niệm, tính chất Lý thuyết Vành mà không chứng minh lại Các khái niệm tính chất giới thiệu nhiều tài liệu khác nhau, chủ yếu tham khảo tài liệu [7], [10] 1.1.1 Định nghĩa Cho R- môđun M khác không Một dãy hữu hạn n + môđun M : M = M0 ⊃ M1 ⊃ ⊃ Mn = gọi dãy hợp thành có độ dài n (composition series of length n) Mi−1 /Mi đơn Liên quan đến dãy hợp thành sở việc hình thành khái niệm độ dài môđun, có định lý Jordan- H¨older: 1.1.2 Định lý Nếu môđun M có phân tích thành dãy hợp thành có độ dài hữu hạn cặp dãy hợp thành có độ dài 1.1.3 Định nghĩa Một môđun M có phân tích thành dãy hợp thành gọi môđun có độ dài hữu hạn độ dài dãy hợp thành gọi độ dài M Ký hiệu lg(M ) length(M ) Sau định nghĩa số tính chất dãy khớp 1.1.4 Định nghĩa Một cặp đồng cấu M →f M →g M ” gọi khớp (exact) M Im(f ) = Ker(g) Dãy khớp có dạng → M →f M →g M ” → gọi dãy khớp ngắn (short exact sequence) Đối với dãy khớp có số tính chất sau: 1.1.5 Mệnh đề Cho M N R-môđun f : M → N đồng cấu Khi ta có: → M →f N dãy khớp f đơn cấu M →f N → dãy khớp f toàn cấu → M →f N → dãy khớp f đẳng cấu 1.1.6 Định nghĩa Nếu f : M → N , f : N → M đồng cấu thỏa mãn f f = 1N ta nói f toàn cấu chẻ (split epimorphism) f đơn cấu chẻ (split monomorphism) Dãy khớp ngắn → M →f M →g M ” → gọi dãy khớp ngắn chẻ (split exact) f đơn cấu chẻ g toàn cấu chẻ Môđun M gọi môđun (uniform) giao hai môđun khác không M môđun khác không 1.2 Môđun nội xạ tính chất Trong phần tập trung giới thiệu lớp môđun nội xạ số tính chất lớp môđun 1.2.1 Định nghĩa R-môđun N gọi M -nội xạ với môđun X M , đồng cấu ϕ : X → N mở rộng thành đồng cấu ψ : M → N Môđun N gọi tựa nội xạ N N - nội xạ Môđun N gọi môđun nội xạ N A-nội xạ với A Mod-R 1.2.2 Nhận xét Như có, môđun N nội xạ N RR -nội xạ Môđun N nội xạ thỏa mãn điều kiện tương đương sau: Với môđun A với môđun X A, đồng cấu f : X → N mở rộng thành đồng cấu từ A → N; (Tiêu chuẩn Baer ) Mọi đồng cấu từ iđêan phải I R tới N mở rộng thành đồng cấu từ R tới N ; Với R-môđun M , đơn cấu f : N → M chẻ Nghĩa là, Im f hạng tử trực tiếp M ; R-môđun N mở rộng cốt yếu thực Chúng ta có số tính chất môđun nội xạ 1.2.3 Mệnh đề Tích trực tiếp hạng tử trực tiếp môđun nội xạ môđun nội xạ 1.2.4 Định nghĩa Hai R-môđun M N gọi nội xạ lẫn M N -nội xạ ngược lại Về tính chất nội xạ lẫn ta có số kết sau 1.2.5 Bổ đề Cho G = ⊕i∈I Gi M R-môđun phải Khi G M- nội xạ Gi M-nội xạ với i ∈ I 1.2.6 Bổ đề Nếu G M- nội xạ N ⊆ M G N- nội xạ (M/N )- nội xạ Kết sau biết đến với tên gọi bổ đề Azumaya (Azumaya’s Lemma) 1.2.7 Bổ đề Nếu G M = M1 ⊕ M2 ⊕ ⊕ Mn R-môđun phải G M- nội xạ G Mi - nội xạ với i = 1, 2, , n 1.2.8 Định nghĩa Nếu N môđun cốt yếu môđun nội xạ E E gọi bao nội xạ hay R-bao nội xạ môđun N Kí hiệu E(N ) 1.3 Môđun cốt yếu điều kiện Ci 1.3.1 Định nghĩa Môđun A R- môđun M gọi môđun cốt yếu (bé), ký hiệu A ⊂∗ M (t.ư., A ⊂◦ M ) với môđun U ⊂ M , A ∩ U = ⇒ U = (t.ư A + U = M ⇒ U = M ) Nếu A →e M M gọi mở rộng cốt yếu A Ta có số tính chất môđun cốt yếu môđun bé: 1.3.2 Bổ đề A M ⇔ ∀U ⊂ M ta có A + U ⊂ M A →e M ⇔ ∀0 = U ⊂ M ta có A ∩ U = A M = ⇒ A = M A →e M = ⇒ A = M M →e M với R- môđun M Nếu K môđun môđun M , sử dụng bổ đề Zorn, tồn môđun tối đại C M thỏa mãn C ∩ K = Khi C gọi môđun bù (complement) K M Do đó, K →e M bù K Tiếp theo số tính chất môđun bù 1.3.3 Mệnh đề Cho C môđun môđun M Các điều kiện sau tương đương: C đóng M; 11 CHƯƠNG MÔĐUN IC - GIẢ NỘI XẠ 2.1 Môđun giả nội xạ 2.1.1 Định nghĩa Cho M , N R-môđun phải Môđun N gọi M - giả nội xạ (pseudo M - injective) với môđun A M , đơn cấu từ A tới N mở rộng thành đồng cấu từ M tới N Môđun N gọi môđun giả nội xạ N môđun giả N - nội xạ 2.1.2 Nhận xét Từ định nghĩa ta thấy: Môđun NR gọi giả nội xạ với đơn cấu β : → A → N α : → A → N , tồn γ ∈ End(N ) cho β = γα Mọi môđun tựa nội xạ (nội xạ) môđun giả nội xạ Tuy nhiên, điều ngược lại không hoàn toàn Ví dụ, xét I tập vô hạn {Mi }i∈I tập hợp R− môđun trái giả nội xạ cho môđun có đế khác không Với i ∈ I, giả sử tồn ri ∈ R cho: ri m = m, ∀m ∈ Mi ri m = 0, ∀m ∈ Mj , j ∈ I \ {i} Với i ∈ I, lấy mi ∈ Soc(Mi ) cho (0 : mi ) iđêan trái tối đại Ta định nghĩa M R- môđun Πi∈I Mi sinh Σi∈I Mi < mi > Nếu H = {r ∈ R r ∈ (0 : mi ) với hữu hạn số phần tử i ∈ I} iđêan trái tối đại R Khi đó, tập hợp S = {i ∈ I tồn đơn cấu f : Rmi → Mi cho f (mi ) = mi } có lực lượng hữu hạn M R - môđun trái giả nội xạ không môđun tựa nội xạ (Mark L Teply, [3]) 12 Tiếp theo khảo sát tính chất lớp môđun 2.1.3 Mệnh đề Cho M R- môđun phải Khi đó, phát biểu sau tương đương: MR môđun giả nội xạ; Với đơn cấu β : → A → M α : → A → N N nhúng M tồn γ ∈ HomR (N, M ) cho β = γα; Với đơn cấu β : → A → M α : → A → N N môđun M tồn γ ∈ HomR (N, M ) cho β = γα; Với đơn cấu β : → N → M N môđun M mở rộng thành tự đồng cấu M Chứng minh (1) ⇒ (2) : Xét đơn cấu β : → A → M α : → A → N N nhúng M Khi đó, tồn đồng cấu γ1 : → N → M Chúng ta dễ kiểm tra γ1 α : → A → M đơn cấu Theo giả thiết, MR môđun giả nội xạ nên tồn γ2 ∈ End(MR ) cho β = γ2 γ1 α Đặt γ2 γ1 = γ : N → M β = γα, ta có điều phải chứng minh (2) ⇒ (3) : Theo giả thiết (3), N môđun M nên N nhúng M Do (2) suy (3) điều hiển nhiên (3) ⇒ (4) : Hiển nhiên trường hợp đặc biệt (3) N = M (4) ⇒ (1) : Xét đơn cấu β : → A → M α : → A → M Khi đó, α : A → Im(α) đẳng cấu tồn đồng cấu α−1 : Im(α) → A cho α−1 α = 1A Ta có βα−1 : → Im(α) → M đơn cấu Do đó, tồn γ ∈ End(MR ) cho γ|Im(α) = βα−1 Với a ∈ A, γα(a) = βα−1 α(a) = β(a) Điều có nghĩa γα = β 13 Từ kết Mệnh đề 2.1.3 ta có hệ sau: 2.1.4 Hệ Cho MR môđun giả nội xạ Khi đó: Mọi đơn cấu α ∈ End(MR ) chẻ Với đơn cấu β : → A → M α : → A → A tồn γ ∈ HomR (A, M ) cho β = γα Mọi đơn cấu α ∈ HomR (M, N ) N nhúng M chẻ Chứng minh (1) Với đơn cấu α ∈ End(MR ) 1M ∈ End(MR ), ta có tồn β ∈ End(MR ) thỏa mãn 1M = βα Điều có nghĩa α đồng cấu bị chẻ (2) Xét đơn cấu β : → A → M α : → A → A Từ A nhúng M nên theo Bổ đề 2.1.3 (2), tồn đồng cấu γ ∈ HomR (A, M ) thỏa mãn β = γα Điều phải chứng minh (3) Xét đơn cấu α ∈ HomR (M, N ) Khi đó, với α : → M → N 1M : → M → M , theo Bổ đề 2.1.3 (2) ta có tồn β ∈ HomR (N, M ) thỏa mãn 1M = βα Điều có nghĩa α đồng cấu chẻ Tiếp theo có tính chất khác tổng trực tiếp môđun giả nội xạ 2.1.5 Mệnh đề Giả sử {Ua }a∈I tập hợp R - môđun phải Nếu ⊕I Ua môđun giả nội xạ đơn cấu β : → K → Ua α : → K → Ub a, b ∈ I,tồn đồng cấu γ ∈ HomR (Ub , Ua ) cho β = γα Chứng minh Xét đơn cấu β : → K → Ua α : → K → Ub Theo Bổ đề 2.1.3 (3) ta có: Với ia β : → K → ⊕I Ua α : → K → Ub , tồn γγ ∈ HomR (Ub , ⊕I Ua ) cho ia β = γα Đặt γ = 14 πa γ : Ua → Ua , ta có γα = πa γα = πa ia β = β Điều phải chứng minh Như biết, hạng tử trực tiếp môđun nội xạ (tựa nội xa) môđun nội xạ (t.ư tựa nội xạ), hệ sau cho tính chất tương tự môđun giả nội xạ 2.1.6 Hệ Hạng tử trực tiếp môđun giả nội xạ môđun giả nội xạ Chứng minh Sử dụng kết Bổ đề 2.1.5 cho trường hợp Ua = Ub có điều phải chứng minh 2.1.7 Định lý Cho A, B R- môđun phải Nếu M = A ⊕ B môđun giả nội xạ σ : A → B đơn cấu σ đơn cấu chẻ A môđun tựa nội xạ Chứng minh Đăt N = σ(A) µ : N → M ánh xạ xác định sau: ∀x ∈ A, µ(σ(x)) = (x, 0) Rõ ràng, µ đơn cấu M N µ µ∗ M Theo giả thiết, M môđun giả nội xạ, theo định nghĩa ta có tồn đồng cấu mở rộng µ∗ : M → M µ Xét q : B → M p : M → A phép nhúng phép chiếu tự nhiên Khi ta có λ = pµ∗ q : B → A thỏa mãn λσ = IdA Vậy σ đơn cấu chẻ Do σ : A → B đơn cấu chẻ nên tồn môđun A cho A ⊕ A = B Do M = A ⊕ B = A ⊕ A ⊕ A , đặt T = A ⊕ A hạng tử trực tiếp M Theo giả thiết M = A ⊕ B môđun giả nội xạ, sử dụng Bổ đề 2.1.6 ta có T môđun giả nội xạ 15 Ta biểu diễn T = M1 ⊕ M2 , M1 = M2 = A Xét A môđun A f : A → A đồng cấu Nếu ta xem A môđun T chứa M1 cấu xạ g : A → T xác định g(x) = (x, f (x)), x ∈ A đơn cấu Mặt khác, T môđun giả nội xạ nên g mở rộng thành g ∗ ∈ End(T ) Xét q : M1 → T p : T → M2 phép nhúng phép chiếu tự nhiên η = p g ∗ q tự đồng cấu A mở rộng f Vậy, A môđun tựa nội xạ Từ kết Định lý 2.1.7 ta có hệ sau: 2.1.8 Hệ Một môđun M tựa nội xạ M ⊕ M giả nội xạ Chứng minh Trước hết ta chứng minh điều kiện cần Theo giả thiết, M môđun tựa nội xạ, sử dụng Bổ đề 2.4 ([6]) ta có T = M ⊕ M môđun tựa nội xạ Vậy, theo định nghĩa ta có T môđun giả nội xạ Ngược lại, giả sử M ⊕ M môđun giả nội xạ Theo chứng minh Định lý 2.1.7 ta có M môđun tựa nội xạ Một vành R gọi vành chuỗi tổng quát (generalized uniserial) vành artin hai phía với lũy đẳng nguyên thủy (primitive idempotent) e R ta có phân tích eR (Re) thành chuỗi R - môđun phải (trái) Môđun X có độ dài hữu hạn gọi môđun chuỗi (uniserial module) có phân tích thành môđun chuỗi Vành chuỗi tổng quát nghiên cứu nhiều nhà toán học như: Nakayama, D Eisenbud, P Griffith, Kết sau D Eisenbud P Griffith giúp chứng minh tính khác lớp vành này: Trên vành chuỗi tổng quát R, R - môđun tổng trực tiếp môđun chuỗi (xem [2]) 16 Với E, F môđun không phân tích vành chuỗi tổng quát R, ta định nghĩa m(E, F ) môđun bé E tất hạt nhân đồng cấu từ E đến F m(E, F ) = tồn đơn cấu từ E đến F Rõ ràng E là môđun không phân tích vành chuỗi tổng quát theo kết ta có E môđun chuỗi với cách định nghĩa tồn Một kết khác lớp vành chuỗi tổng quát chứng minh Jain Singh Theorem ([9]): Cho N môđun vành chuỗi tổng quát R Khi N môđun tựa nội xạ N = Σi∈Λ Ni , Ni môđun chuỗi l(Ni ) ≤ l(Nj ) + l(m(E(Ni ), E(Nj ))), với i, j ∈ Λ Như giới thiệu ví dụ Nhận xét 2.1.2: môđun giả nội xạ không môđun tựa nội xạ Câu hỏi hiển nhiên đặt là: trường hợp môđun giả nội xạ môđun tựa nội xạ? Định lý sau câu trả lời 2.1.9 Định lý Một môđun giả nội xạ vành chuỗi tổng quát R môđun tựa nội xạ Chứng minh Xét N R- môđun giả nội xạ Theo kết Eisenbud P Griffith ([2]) ta có phân tích N = Σi∈Λ Ni , Ni môđun chuỗi khác không Đặt Ei = E(Ni ) bao nội xạ môđun Ni Chúng ta chứng minh rằng, với i, j ∈ Λ ta có l(Ni ) ≤ l(Nj ) + l(m(Ei , Ej )) từ sử dụng Theorem ([9]) ta có N môđun tựa nội xạ Thật vậy, Ni ⊂ m(Ei , Ej ) hiển nhiên có bất đẳng thức Do cần xét trường hợp m(Ei , Ej ) ⊂ Ni Từ giả thiết N môđun giả nội xạ, sử dụng Hệ 2.1.8 ta có Ni ⊕ Nj môđun giả nội xạ Xét đồng cấu σ : Ei → Ej cho ker(σ) = m(Ei , Ej ) Đặt Fj môđun đơn Ej Từ Ej 17 môđun chuỗi, Fj ⊂ Nj σ−1 (Fj ) ⊂ Nj Ta định nghĩa η : σ−1 (Fj ) → Ni ⊕Nj xác định sau: η(x) = (x, σ(x)), x ∈ σ−1 (Fj ) Rõ ràng η đơn cấu, Ni ⊕ Nj môđun giả nội xạ nên η mở rộng thành tự đồng cấu η ∗ Ni ⊕ Nj Nếu λi : Ni → Ni ⊕ Nj pj : Ni ⊕ Nj → Nj phép nhúng phép chiếu tự nhiên pj η ∗ λi : Ni → Nj hạn chế σ−1 (Fj ) σ hạn chế σ−1 (Fj ) Do ker(pj η ∗ λi ) = ker(σ) = m(Ei , Ej ) Từ ta có Ni /m(Ei , Ej ) ∼ = pj η ∗ λi (Ni ) ⊆ Nj , suy l(Ni ) ≤ l(Nj ) + l(m(Ei , Ej )) Định lý chứng minh 2.2 Môđun ic - giả nội xạ Như giới thiêu mục 2.1, môđun N gọi M - giả nội xạ (pseudo M - injective) với môđun A M , đơn cấu từ A tới N mở rộng thành đồng cấu từ M tới N Môđun N gọi môđun giả nội xạ N môđun giả N - nội xạ Khi thay điều kiện môđun A M ic - môđun có hướng mở rộng khác môđun giả nội xạ Trong mục này, tập trung giới thiệu số tính chất lớp môđun ic - giả nội xạ Trước hết có khái niệm ic - môđun con: 2.2.1 Định nghĩa Cho M R - môđun Một môđun N M gọi ic-môđun N đẳng cấu với môđun đóng M 2.2.2 Nhận xét Từ định nghĩa có: (i) Mọi môđun đóng (hạng tử trực tiếp) M ic môđun M Tuy nhiên, điều ngược lại không hoàn toàn Chẳng hạn, nZ ic - môđun Z - môđun Z với n ≥ nZ không môđun đóng Z - môđun Z 18 (ii) Mọi môđun đẳng cấu với ic - môđun M ic - môđun M (iii) Một ic - môđun môđun đóng (hoặc hạng tử trực tiếp M ) ic - môđun M (iv) Giả sử α : M → N đẳng cấu Nếu L ic - môđun M α(L) ic - môđun N 2.2.3 Định nghĩa Cho M , N R - môđun Môđun M gọi ic - giả N - nội xạ (ic - pseudo N - injective), với ic - môđun A N đơn cấu từ A tới M mở rộng thành đồng cấu từ N tới M Môđun M gọi ic - giả nội xạ (ic - pseudo injective) M ic - giả M - nội xạ 2.2.4 Nhận xét Từ định nghĩa ta thấy: (1) Môđun M môđun liên tục ic - môđun M hạng tử trực tiếp Do đó, môđun liên tục ic - giả nội xạ (2) Mọi môđun giả nội xạ môđun ic - giả nội xạ, điều ngược lại không hoàn toàn Chẳng hạn, theo (1) môđun liên tục ic - giả nội xạ Tuy nhiên,trong [5] (Remark 2.4) tác giả tồn môđun liên tục không môđun giả nội xạ 2.2.5 Mệnh đề Cho N ic - môđun R - môđun M N ic - giả M - nội xạ Khi đó, đơn cấu từ N tới M chẻ Đặc biệt, môđun đóng M ic - giả M - nội xạ M CS - môđun Chứng minh Đặt α : N → M đơn cấu Vì N ic - giả M - nội xạ nên tồn đồng cấu g : M → M mở rộng α−1 : α(N ) → N Do ta có g ◦ α = idN Vậy M = α(N ) ⊕ ker(g), hay nói cách khác α đơn cấu chẻ Tiếp theo, có đặc trưng môđun ic - giả nội xạ 19 2.2.6 Mệnh đề Mọi môđun ic - giả nội xạ thỏa mãn điều kiện (C2 ) Chứng minh Xét M môđun ic - giả nội xạ, A ⊆⊕ M B môđun M thỏa mãn B ∼ = A Ta phải chứng minh B ⊆⊕ M Thật vậy, đặt f : B → A đẳng cấu Từ kết Proposition 2.7 ([4]), A môđun ic - giả M - nội xạ B môđun ic - giả M - nội xạ Theo Bổ đề 2.2.5 ta có đơn cấu idA ◦ f : B → M chẻ B hạng tử trực tiếp M Kết sau mối liên hệ môđun liên tục môđun ic - giả nội xạ 2.2.7 Định lý R - môđun M môđun liên tục môđun đóng M môđun ic - giả nội xạ Chứng minh Điều kiện cần trực tiếp suy từ Nhận xét 2.2.4 (1) Proposition 2.7 ([4]) Ta cần chứng minh điều kiện đủ Thật vậy, từ giả thiết M môđun liên tục, theo Nhận xét 2.2.4 ta có M môđun ic - giả nội xạ Theo Mệnh đề 2.2.6 ta có M thỏa mãn điều kiện (C2 ) Mặt khác, môđun đóng M môđun ic - giả nội xạ theo Mệnh đề 2.2.5 ta có M CS - môđun Vậy có M môđun liên tục Một câu hỏi hiển nhiên đặt là: tổng trực tiếp môđun ic giả nội xạ có môđun ic - giả nội xạ không? Chúng ta xét ví dụ sau: F F 2.2.8 Ví dụ Xét vành R = F , F = Z/2Z R 0 F F F - môđun: A = F , B = 0 , C = 0 Rõ ràng ta có A, B môđun ic - giả nội xạ (thực chúng môđun tựa nội xạ) R = A ⊕ B Tuy nhiên, không môđun ic - giả nội xạ vì: theo 20 Mệnh đề 2.2.6, R thỏa mãn điều kiện (C2 ) A ∼ = C C không hạng tử trực tiếp R Như biết, M1 ⊕ M2 môđun nội xạ M1 M2 nội xạ lẫn Chúng ta có tính chất tương tự môđun ic giả nội xạ 2.2.9 Định lý Nếu M1 ⊕ M2 môđun ic - giả nội xạ M1 M2 môđun ic - giả nội xạ lẫn Chứng minh Xét A ic - môđun M2 f : A → M1 đơn cấu Đặt đồng cấu g : A → M1 ⊕ M2 xác định sau: g(a) = (f (a), a), ∀a ∈ A Rõ ràng g đơn cấu Từ A đẳng cấu với hạng tử trực tiếp M1 ⊕ M2 , theo Mệnh đề 2.2.6 ta có A hạng tử trực tiếp M1 ⊕ M2 Do đó, A ic môđun M1 ⊕ M2 Từ giả thiết M1 ⊕ M2 môđun ic - giả nội xạ nên g mở rộng thành tự đồng cấu h M1 ⊕ M2 Đặt h = h|M2 Xét phép chiếu tự nhiên π1 : M1 ⊕ M2 → M1 , π1 ◦ h : M2 → M1 mở rộng f Điều chứng tỏ M1 ic - giả M2 - nội xạ Tiếp theo có tính chất lớp môđun đẳng cấu với môđun đóng môđun ic - giả nội xạ 2.2.10 Mệnh đề Nếu M môđun ic - giả nội xạ môđun đẳng cấu với môđun đóng M môđun đóng Chứng minh Giả sử K môđun đóng M A môđun M thỏa mãn f : A → K đẳng cấu Đặt i1 : K → M , i2 : A → M đồng cấu bao hàm Từ giả thiết M môđun ic - giả nội xạ nên tồn tự đồng cấu g M cho i1 ◦ f = g ◦ i2 Sử dụng Bổ đề Zorn, tồn A cốt yếu M chứa A Khi đó, hạn chế g|A đơn cấu K = g(A) cốt yếu g(A ), 21 suy A = A Điều chứng tỏ A môđun đóng M Định lý sau cho mối liên hệ lớp môđun ic - giả nội xạ với lớp môđun CS, liên tục tựa liên tục 2.2.11 Định lý Cho M R - môđun, phát biểu sau tương đương: M môđun liên tục; M môđun tựa liên tục môđun ic - giả nội xạ; M CS - môđun môđun ic - giả nội xạ Chứng minh (1) ⇒ (2) : Hiển nhiên ta có M môđun liên tục M môđun tựa liên tục Mặt khác, theo Nhận xét 2.2.4 ta có M môđun ic - giả nội xạ (2) ⇒ (3) : Tương tự trên, môđun tựa liên tục CS - môđun hiển nhiên ta có (2) ⇒ (3) (3) ⇒ (1) : Theo (3), M CS - môđun Sử dụng Mệnh đề 2.2.11, M thỏa mãn điều kiện (C2 ) Vậy M môđun liên tục Như biết, R - môđun M nội xạ M N - nội xạ với R - môđun N Trong [7], S.H.Mohamed B.J.Muller chứng minh được: M môđun nội xạ M N - giả nội xạ với R - môđun N Tương tự có kết lớp môđun ic - giả N - nội xạ 2.2.12 Mệnh đề Cho M R - môđun Các phát biểu sau tương đương: M môđun nội xạ; M môđun ic - giả N - nội xạ với R - môđun N 22 Chứng minh Điều kiện cần hiển nhiên Chúng ta cần chứng minh điều kiện đủ Thật vậy, đặt E = E(M ) bao nội xạ môđun M Khi đó, M ic - môđun M ⊕ E Đặt i : M → E đồng cấu bao hàm j : E → M ⊕ E phép chiếu tự nhiên Từ giả thiết M môđun ic - giả N - nội xạ với R - môđun N nên ta có M môđun ic - giả M ⊕ E - nội xạ Do đó, ánh xạ đồng idM M mở rộng thành đồng cấu f : M ⊕ E → M Điều chứng tỏ M hạng tử trực tiếp E, E môđun nội xạ nên M môđun nội xạ 23 KẾT LUẬN Trên sở tài liệu tham khảo ([4]), luận văn tập trung tìm hiểu chứng minh chi tiết kết sau: • Một số tính chất lớp môđun giả nội xạ (Mục 2.1) • Định nghĩa, số tính chất lớp môđun ic - giả nội xạ mối liên hệ chúng với lớp môđun CS, môđun liên tục, (Mục 2.2) 24 TÀI LIỆU THAM KHẢO A Tiếng Việt [1] Nguyễn Tiến Quang- Nguyễn Duy Thuận (2001), Cơ sở lý thuyết môđun vành, NXB Giáo dục B Tiếng Anh [2] D Eisenbud, P Griffith (1971), Serial rings, J Algebra, 17, 389 - 400 [3] Markl L Teply (1975), Pseudo - injective modules which are not quasi - injective, Proccedings of the American Mathematical Society, Vol 49, No 2, 305 - 310 [4] Mehdi S Abbas, Samir M Saied (2012), IC-Pseudo-Injective Modules, International Journal of Algebra, Vol.6, No.6, 255-264 [5] H.Q.Dinh (2005), A note on pseudo-injective modules, Comm Algebra, 33, 361-369 [6] M Harada (1965), Note on quasi - injective modules, Osaka J Math 2, 351 - 356 [7] S.H.Mohamed, B.J.Muller (1990), Continuous and Discrete Modules, London Math Soc Lecture note ser.147, Cambridge University press [8] S.Singh, S.K.Jain (1967), On pseudo-injective modules and selfpseudo-injective rings, J.Math.Soc, 2, 23 - 31 25 [9] S.K.Jain, S.Singh (1975), Quasi - Injective and Pseudo - Injective Modules, Canad Math Bull, Vol 18 (3), 134 - 141 [10] R Wisbauer (1991), Foundation of Module and Ring Theory, Gordon and Breach Science Publisher [...]... này chứng tỏ rằng M là một hạng tử trực tiếp của E, E là môđun nội xạ nên M là môđun nội xạ 23 KẾT LUẬN Trên cơ sở tài liệu tham khảo chính ([4]), luận văn đã tập trung tìm hiểu và chứng minh chi tiết các kết quả chính sau: • Một số tính chất của lớp môđun giả nội xạ (Mục 2.1) • Định nghĩa, một số tính chất của lớp môđun ic - giả nội xạ và mối liên hệ giữa chúng với lớp môđun CS, môđun liên tục, (Mục... trực tiếp của môđun nội xạ (tựa nội xa) là môđun nội xạ (t.ư tựa nội xạ) , hệ quả sau cho chúng ta tính chất tương tự đối với môđun giả nội xạ 2.1.6 Hệ quả Hạng tử trực tiếp của môđun giả nội xạ là môđun giả nội xạ Chứng minh Sử dụng kết quả của Bổ đề 2.1.5 cho trường hợp Ua = Ub chúng ta có điều phải chứng minh 2.1.7 Định lý Cho A, B là các R- môđun phải Nếu M = A ⊕ B là một môđun giả nội xạ và σ :... của môđun giả nội xạ Trong mục này, chúng tôi sẽ tập trung giới thiệu một số tính chất của lớp môđun ic - giả nội xạ Trước hết chúng ta có khái niệm ic - môđun con: 2.2.1 Định nghĩa Cho M là một R - môđun Một môđun con N của M được gọi là ic -môđun con nếu N đẳng cấu với một môđun con đóng của M 2.2.2 Nhận xét Từ định nghĩa chúng ta có: (i) Mọi môđun con đóng (hạng tử trực tiếp) của M đều là các ic môđun. .. giới thiệu trong ví dụ ở Nhận xét 2.1.2: môđun giả nội xạ không hẳn là môđun tựa nội xạ Câu hỏi hiển nhiên đặt ra đó là: trong trường hợp nào môđun giả nội xạ là môđun tựa nội xạ? Định lý sau là một trong những câu trả lời 2.1.9 Định lý Một môđun giả nội xạ trên vành một chuỗi tổng quát R là môđun tựa nội xạ Chứng minh Xét N là R- môđun giả nội xạ Theo kết quả của Eisenbud và P Griffith trong ([2]) ta... biết, R - môđun M là nội xạ nếu và chỉ nếu M là N - nội xạ với mọi R - môđun N Trong [7], S.H.Mohamed và B.J.Muller đã chứng minh được: M là môđun nội xạ nếu và chỉ nếu M là N - giả nội xạ với mọi R - môđun N Tương tự chúng ta có kết quả đối với lớp môđun ic - giả N - nội xạ 2.2.12 Mệnh đề Cho M là R - môđun Các phát biểu sau là tương đương: 1 M là môđun nội xạ; 2 M là môđun ic - giả N - nội xạ với... CHƯƠNG 2 MÔĐUN IC - GIẢ NỘI XẠ 2.1 Môđun giả nội xạ 2.1.1 Định nghĩa Cho M , N là các R -môđun phải Môđun N được gọi là M - giả nội xạ (pseudo M - injective) nếu với mọi môđun con A của M , mọi đơn cấu từ A tới N đều có thể mở rộng thành một đồng cấu từ M tới N Môđun N được gọi là môđun giả nội xạ nếu N là môđun giả N - nội xạ 2.1.2 Nhận xét Từ định nghĩa trên ta thấy: 1 Môđun NR được gọi là giả nội xạ nếu... chúng ta có một đặc trưng của môđun ic - giả nội xạ 19 2.2.6 Mệnh đề Mọi môđun ic - giả nội xạ đều thỏa mãn điều kiện (C2 ) Chứng minh Xét M là một môđun ic - giả nội xạ, A ⊆⊕ M và B là môđun con của M thỏa mãn B ∼ = A Ta phải chứng minh B ⊆⊕ M Thật vậy, đặt f : B → A là một đẳng cấu Từ kết quả của Proposition 2.7 ([4]), A là môđun ic - giả M - nội xạ và do đó B cũng là môđun ic - giả M - nội xạ Theo... có tính chất (C1 ) nếu và chỉ nếu M đều Mọi môđun đều M là môđun tựa liên tục Chúng ta có mọi hạng tử trực tiếp của môđun nội xạ là một môđun nội xạ Mệnh đề sau là kết quả tương tự trên lớp môđun thỏa mãn các điều kiện (Ci )3i=1 1.3.10 Mệnh đề Các điều kiện (Ci )3i=1 có tính chất di truyền đối với các hạng tử trực tiếp Đặc biệt, mọi hạng tử trực tiếp của một môđun liên tục (tựa liên tục) là một môđun. .. 2.2 Môđun ic - giả nội xạ Như chúng tôi đã giới thiêu trong mục 2.1, môđun N được gọi là M - giả nội xạ (pseudo M - injective) nếu với mọi môđun con A của M , mọi đơn cấu từ A tới N đều có thể mở rộng thành một đồng cấu từ M tới N Môđun N được gọi là môđun giả nội xạ nếu N là môđun giả N - nội xạ Khi thay thế điều kiện mọi môđun con A của M bởi các ic - môđun con chúng ta có một hướng mở rộng khác của. .. môđun con của M Tuy nhiên, điều ngược lại không hoàn toàn đúng Chẳng hạn, nZ là ic - môđun con của Z - môđun Z nhưng với n ≥ 2 thì nZ không là môđun con đóng của Z - môđun Z 18 (ii) Mọi môđun con đẳng cấu với ic - môđun con của M đều là ic - môđun con của M (iii) Một ic - môđun con của môđun con đóng (hoặc hạng tử trực tiếp của M ) cũng là ic - môđun con của M (iv) Giả sử α : M → N là một đẳng cấu ... hạng tử trực tiếp môđun nội xạ (tựa nội xa) môđun nội xạ (t.ư tựa nội xạ) , hệ sau cho tính chất tương tự môđun giả nội xạ 2.1.6 Hệ Hạng tử trực tiếp môđun giả nội xạ môđun giả nội xạ Chứng minh Sử... môđun giả nội xạ 2.2 Môđun ic-giả nội xạ Có thể nói nội dung luận văn Trong phần này, giới thiệu số tính chất lớp môđun ic ic-giả nội xạ; mối liên hệ lớp môđun ic-giả nội xạ với lớp môđun liên... môđun nội xạ môđun nội xạ 1.2.4 Định nghĩa Hai R -môđun M N gọi nội xạ lẫn M N -nội xạ ngược lại Về tính chất nội xạ lẫn ta có số kết sau 1.2.5 Bổ đề Cho G = ⊕i∈I Gi M R -môđun phải Khi G M- nội xạ