Lời cảm ơn Để hoàn thành khóa luận, em nhận quan tâm giúp đỡ tạo điều kiện Thầy, Cô giáo khoa toán, đặc biệt Thầy Cô giáo tổ giải tích trường ĐHSP Hà Nội Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thầy Cô giáo, đặc biệt thầy giáo GVC, Ths Phùng Đức Thắng động viên, hướng dẫn tận tình giúp đỡ em hoàn thành khóa luận em Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, năm 2013 Sinh viên Trần Thị Duyên Lời cam đoan Tôi xin cam đoan khóa luận công trình nghiên cứu riêng Trong nghiên cứu kế thừa, tham khảo thành nghiên cứu nhà khoa học, nhà nghiên cứu với tôn trọng biết ơn Những kết nêu khóa luận chưa công bố công trình khác Hà Nội, năm 2013 Sinh viên Trần Thị Duyên Lời nói đầu Trong chương trình giảng dạy học tập môn toán nhà trường phổ thông Bất đẳng thức chiếm vị trí vô quan trọng Bất đẳng thức có mặt hầu hết phân môn Toán: Số học, Đại số, Giải tích, Lượng giác Hình học Các toán bất đẳng thức quyến rũ niềm say mê người yêu toán Có nhiều phương pháp chứng minh bất đẳng thức, ứng dụng Giải tích để chứng minh bất đẳng thức xem phương pháp nhiều cho lời giải đẹp, độc đáo tỏ ưu việt so với phương pháp khác Được gợi ý, động viên tận tình giúp đỡ Thầy Phùng Đức Thắng với say mê thân em mạnh dạn nghiên cứu thực khóa luận với đề tài: ứng dụng giải tích toán bất đẳng thức Nội dung khóa luận gồm chương: - Chương 1: Các kiến thức bổ trợ Chương trình bày kiến thức cần thiết cho việc nghiên cứu phương pháp chứng minh bất đẳng thức chương - Chương 2: ứng dụng giải tích toán bất đẳng thức trình bày phương pháp chứng minh bất đẳng thức cách sử dụng yếu tố giải tích Cụ thể là: ứng dụng lý thuyết hàm lồi, ứng dụng tính đơn điệu hàm số Các ví dụ khóa luận sưu tầm từ đề thi học sinh giỏi, đề thi Olympic số ví dụ lựa chọn tạp chí toán học tuổi trẻ, sách chuyên đề Em hi vọng đề tài nhận ủng hộ cổ vũ thầy cô bạn Mặc dù có nhiều cố gắng lần bước vào nghiên cứu đề tài khoa học nên em không tránh khỏi bỡ ngỡ Do thời gian có hạn, điều kiện nghiên cứu hạn chế, đặc biệt nguồn tài liệu chưa thực phong phú nên khóa luận không tránh khỏi thiếu sót Em kính mong quan tâm góp ý thầy cô bạn sinh viên để khóa luận hoàn thiện Cuối em xin chân thành cảm ơn thầy, cô khoa ân cần bảo, tạo điều kiện giúp đỡ em suốt trình học tập trình làm đề tài, đặc biệt thầy giáo Phùng Đức Thắng hướng dẫn em hoàn thành đề tài Hà Nội, tháng 05 năm 2013 Sinh viên Trần Thị Duyên Mục lục Lời cảm ơn Lời cam đoan Lời nói đầu Mục lục M u Chương : Các kiến thức bổ trợ 1.1 lý thuyết hàm lồi 1.1.1 Tập lồi 1.1.2 Hàm lồi 12 1.2 Tính đơn điệu hàm số 16 1.2.1 Định nghĩa 16 1.2.2 Định lý 17 Chương 2: ứng dụng lý thuyết hàm lồi tính đơn điệu hàm số để chứng minh bất đẳng thức 18 2.1 Sử dụng hàm lồi để chứng minh bất đẳng thức 18 2.1.1 Các bất đẳng thức kinh điển 18 2.1.2 Các bất đẳng thức đại số 26 2.2 Sử dụng tính đơn điệu để chứng minh bất đẳng thức 34 2.2.1 Phương pháp chung 34 2.2.2 Một số toán 34 2.2.3 Các toán tương tự vận dụng phương pháp 49 Kết luận 50 Tài liệu tham khảo 51 Mở đầu Lý chọn đề tài Giải tích môn khoa học nghiên cứu tính chất tập hợp lồi, hàm lồi tính đơn điệu hàm số,Các kết giải tích áp dụng nhiều lĩnh vực Trong chương trình toán nhà trường phổ thông, em học sinh làm quen với khái niệm lồi đơn điệu từ cấp học môn Hình học Đại số Hầu hết chương trình Hình học bậc Trung học sở Trung học phổ thông giới hạn hình lồi: tam giác, hình thang, hình bình hành, hình tròn,Trong đại số, tính lồi, lõm, tính đơn điệu hàm số giảng dạy chương trình học hàm số bậc hai dùng để khảo sát hàm số Sử dụng kết hàm lồi tính đơn điệu hàm số cho thành công việc giải toán đại số giải tích sơ cấp chứng minh bất đẳng thức Với lý em chọn đề tài ứng dụng giải tích toán bất đẳng thức, hướng dẫn thầy giáo, GVC, Ths Phùng Đức Thắng Mục đích nghiên cứu Bước đầu làm quen với nghiên cứu khoa học, từ hình thành tư logic đặc thù môn Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu ứng dụng giải tích toán bất đẳng thức Đối tượng, phạm vi nghiên cứu + Đối tượng nghiên cứu: Sinh viên đại học, giáo viên phổ thông + Phạm vi nghiên cứu: ứng dụng giải tích toán bất đẳng thức Cấu trúc đề tài Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, đề tài gồm hai chương: Chương Các kiến thức bổ trợ Chương ứng dụng giải tích toán bất đẳng thức Các khái niệm tính chất hàm lồi hàm đơn điệu trình bày chương Chương trình bày cách sử dụng tính lồi tính đơn điệu hàm số để giải số toán đại số giải tích Lớp toán bao gồm: Các bất đẳng thức kinh điển, bất đẳng thức đại số Chng Kiến thức sở 1.1 Lý thuyết hàm lồi 1.1.1 Tập lồi Định nghĩa tính chất Giả sử X không gian tuyến tính, tập số thực Định nghĩa 1.1 Tập A X gọi tập lồi nếu: x1 , x2 A : 0;1 x1 x2 A Nhận xét 1.1 Tập tập lồi Giả sử A X ; x1 , x2 A Định nghĩa 1.2 Đoạn nối x1 , x2 định nghĩa sau: x , x x A : x x x ,0 1 2 Nhận xét 1.2 Tập A tập lồi x1 , x2 A x1 , x2 A Ví dụ 1.1 Các nửa khoảng tập lồi Tam giác hình tròn đơn vị mặt phẳng tập lồi Hình cầu không gian Banach tập lồi, Mệnh đề 1.1 Giao tùy ý tập lồi tập lồi Chứng minh Giả sử A X I tập lồi với I tập số Khi tập A A tập lồi I Thật vậy, lấy x1 , x2 A x1 , x2 A I Do A lồi nên x1 x2 A I , 0;1 x1 x2 A , suy A tập lồi m Mệnh đề 1.2 Giả sử Ai X lồi i i 1, m Khi A i i tập lồi i Chứng minh m Đặt A i Ai , x, y A i x x1 x2 m xm ; y y1 y2 m ym xi , yi Ai ; i 1, m Với 0;1 ta có m m m i i i x y i xi i yi i xi yi Do Ai lồi x1 x2 Ai , i 1, m m i xi yi A , suy A tập lồi i Mệnh đề 1.3 Giả sử X i không gian tuyến tính, tập Ai X i lồi i 1, m Khi tích đề A1 A2 Am tập lồi X X X m Chứng minh 10 Hiển nhiên, f ' x với x f ' x Do hàm số f x đồng biến 0; f Vì : f x f 0, x Hay x ln x 0, Suy x ln x , x Từ (3) (4) ta có x ln x Nhận xét : Nếu ta thay x x (4) x , x x (đpcm) x , bất đẳng thức trở thành : x x 1 ln x ln 1 x x x x x e x x 1 e x Đây BĐT đẹp Bài toán Cho x y Chứng minh x y Lời giải Xét hàm số f x x4 y4 x4 x (do x y ) Ta có f ' x x x Vậy f x x3 x x x x 38 Dễ thấy, với x 1: f ' x 0, với x 1: f ' x Ta có bảng biến thiên sau: x f' f Vậy từ bảng biến thiên ta suy ra: x y Nhận xét: a) Bài toán giải theo nhiều cách khác Cụ thể sau: Cách 2: Từ giả thiết ta có: x y nên x y áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski ta có 1.x y 12 12 x y Suy x2 y (5) Bình phương hai vế (5) áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski lần thứ hai ta 1.x y 12 12 x y Hay Vậy x4 y x y 39 Dễ thấy, dấu = xảy x Cách : Đặt x Theo ta có y Khi đó: x y 12 x4 y Suy (đpcm) Dấu = xảy x y Cách 4: x y Theo giả thiết ta có Do x y x y Hay x2 y2 2 2 (vì x y ) (6) x Bình phương hai vế (6) ta Từ suy x 2 2 y2 y x y (vì x y ) Hay x y Vậy có x y (đpcm) b) Bài toán tổng quát cho ví dụ trên: 40 Cho x y Chứng minh x n y n 2, n n a n bn a b Từ suy , n , a b Với toán tổng quát ta chứng minh phương pháp vận dụng tính đơn điệu hàm số đơn giản Lời giải cụ thể: Với n bất đẳng thức cần chứng minh trở thành x y (luôn đúng) Với n 2, không tính tổng quát, ta xem x y Khi x y Lúc ta xét hàm số : f x x n y n x n x Ta có n n f ' x n x n x n f " x n n x n x 0, x Do đó, f ' x hàm đồng biến 1; , tức f x f ' , x Mà f 1 nên suy f ' x 0, x Bảng biến thiên: x f' f n n Vậy f x hay x y (đpcm) 41 Với giả thiết a b 0, không giảm tính tổng quát ta giả sử a b Từ suy a b n + Giả sử a b Khi ab (7) Vì a b nên a n b n b n Suy a n bn (8) Từ (7) (8) suy điều phải chứng minh + Giả sử a b 2a x ab Đặt y 2b ab (9) Dễ thấy x y Theo chứng minh ta có x n y n (10) Thay x, y (9) vào (10) ta có điều phải chứng minh Bài toán Cho n , x, y, z 0, x y z Chứng minh T 2n n 2n x y z x2n y 2n z 2n 2n 42 Lời giải Xét hàm số f t t t n , t 0,1 Ta có f ' t 2n t n t n 2n Bảng biến thiên: x 2n f' 2n 1 f 0 Theo bảng biến thiên ta có f t f , t 0,1 ; 2n 2n Hay Từ suy t t n 2n , t 0,1 2n n 2n 2n n 2n t , t 0,1 t 2n 2n (11) x, y , z Do nên x, y, z 0,1 2 x y z 2n n 2n x x2 x áp dụng kết (11) ta có x n x x n 2n 2n n 2n y y y 2n 2n 43 (12) (13) 2n n 2n z z z 2n 2n (14) Cộng vế với vế (12), (13) (14) ta T 2n 2n 2n 2n (đpcm) x2 y z Chú ý : - Dấu = xảy x y z n 2n - Bài toán ta thay n 1, ta có toán sau đây: x2 y z x y z 3 Cho CMR y z z x2 x2 y 2 x, y , z n k Bài toán Cho n, k Z k Chứng minh n n k k n n k k n (15) Lời giải n k Với điều kiện cho ta có n, k Z n n k k k (15) n n k n Đặt t k ; t 0;1 n Khi (16) trở thành k t k t 44 (16) Xét hàm số f t k t k t , t 0,1 f t k ' Ta có k t k k t k , t 0,1 Dễ thấy f ' t 0, t 0,1 nên ta có bảng biến thiên sau : t - f' f k Vậy f t 2, t 0,1 n Thay t k vào f t ta (16) Từ ta suy điều phải chứng n minh Nhận xét : Có thể chứng minh bất đẳng thức (17) theo nhiều cách khác : Cách : Theo bất đẳng thức Bernoulli k 1 t k t t k t t t k k k Từ suy điều phải chứng minh Cách 3: Theo bất đẳng thức Cauchy Với t 0,1 : 45 t k k t, Ta có k số1 Hay k t k k t suy k t k Do k t k t (đpcm) Cách Xét hàm số f x x k , x 0,1 f ' x kx k ; Có f " x k k x k 0, x 0,1 Như hàm f hàm lồi 0,1 Nên theo bất đảng thức Jensen ta có f k t f k k t k t t f k t k t t t Hay k Suy k t k t Từ ta có điều phải chứng minh Với n k bất đẳng thức (15) trở thành n Hay n n n n n n n n n 2n n n n n n (đề thi Olympic Toán Quốc gia) n n 46 x, y , z Bài toán Cho Chứng minh xy yz zx xyz 27 x y z (Đề thi Olympic Toán Quốc tế năm 1984) Lời giải Không giảm tính tổng quát, ta giả sử x y z Từ đó, x y z nên ta có x z Lại có xy yz zx xyz z x y xy z 2 2 Mặt khác, ta có xy x y x y x y z Vì xy yz zx xyz z x y xy z z z Xét hàm số Có z z 1 z z f z f ' z 1 z z z z z 3z z Dễ thấy f z z Bảng biến thiên z f' f 0 27 47 Từ bảng biến thiên suy f z Hay xy yz zx xyz , z 0, , 27 27 x, y, z 0, 27 x y z Nhận xét: Ta giải toán theo cách khác sau: Vậy ta có xy yz zx xyz + xy yz zx xyz xy z yz x zx (vì x, y, z ) + Không giảm tính tổng quát ta giả sử z y x Khi ta có x y z x y z Nếu x y z x y z x y z x y z xyz x x y z x y z x y z Nếu x y z y y z x x y z x y z 2 z z x y x y z x y z 2 Suy x y z x y z x y z x y z , Hay xyz x y z x y z x y z Vậy với x, y, z ta có xyz x y z x y z x y z x y z x y z xy yz zx xyz xy yz zx xyz Từ ta nhận kết sau xy yz zx xyz 1 xyz 4 1 x y z (do bất đẳng thức Cauchy) 4 48 (17) (do x y z ) 27 27 Kết hợp (17) (18) ta có điều phải chứng minh Vậy có xy yz zx xyz (18) Bài toán Chứng minh với số nguyên dương n , ta có e 1 n 1 2n Lời giải Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với bất đẳng thức e n n 2n Lấy logarit tự nhiên hai vế, ta bất đẳng thức tương đương n ln ln n 2n 1 x Đặt x , x , ta ln x ln n x x ln x x ln x (19) Ta chứng minh bất đẳng thức (19) với x (Hiển nhiên từ suy bất đẳng thức cần chứng minh) x Xét hàm số f x ln x x ln x khoảng 0; Hàm số liên tục khoảng 0; ; f f ' x x x ln 1 x x2 x ln x x 49 f ' liên tục khoảng 0; ; f Ngoài ra, f " x , x x x x Dễ dàng thấy f " x 0, x Do f ' đồng biến khoảng 0; f ' x f ' 0, x Từ suy hàm số f đồng biến khoảng 0; Do f ' x f ' 0, x 0, tức bất đẳng thức (19) với x 2.2.3 Các toán tương tự vận dụng phương pháp Bài toán Cho x Chứng minh rằng: a) sin x x b) tg x x x3 sin x Bài toán Chứng minh với x ta có x Bài toán Chứng minh tam giác ta có sin A sin B sin C tgA tgB tgC 3 Bài toán Chứng minh với x 3x ta có 2sin x 2tgx 2 Bài toán Cho số thực a , b, c , r , s cho a b c r s Chứng minh bất đẳng thức sau : a r b s b r c s c r a s a sb r b s c r c s a r p x x Bài toán Cho x 0, p Chứng minh e p p p 50 p x Kết luận Bất đẳng thức phần kiến thức khó Xong lại hấp dẫn đòi hỏi phải tư duy, tìm tòi có óc sáng tạo cao Các phương pháp chứng minh bất đẳng thức độc đáo phương pháp ứng dụng giải tích để chứng minh Điều phần nói lên ứng dụng mạnh giải tích Với đề tài ứng dụng giải tích toán bất đẳng thức Sử dụng kết hàm lồi tính đơn điệu hàm số cho thành công việc giải toán đại số giải tích sơ cấp, khóa luận nói chung đáp ứng yêu cầu đề tài Khóa luận gồm hai chương hệ thống lại lý thuyết, đưa số toán có chọn lọc có số cách giải khác giúp người đọc hiểu sâu toán Do thời gian nghiên cứu lực hạn chế nên đề tài đạt số kết định Em mong thầy cô, bạn góp ý nhận xét để đề tài đầy đủ hoàn thiện Trước kết thúc đề tài này, lần em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc thầy cô giáo trường, đặc biệt thầy giáo GVC,ThS Phùng Đức Thắng tận tình giúp đỡ em hoàn thành đề tài Hà Nội, tháng 05 năm 2013 Sinh viên Trần Thị Duyên 51 Tài liệu tham khảo Đỗ Văn Lưu, Phan Huy Khải, Giải tích lồi Nhà xuất Khoa học kỹ thuật 2000 Nguyễn Xuân Liêm, Chuyên đề bất đẳng thức bất phương trình Nhà xuất Giáo dục Phan Huy Khải, 10000 toán bất đẳng thức Trần Lưu Cường, Toán Olympic cho sinh viên, tập Nhà xuất Giáo dục 2000 Tạp chí Toán học tuổi trẻ 52 [...]... số y f x nghịch biến trên khoảng đó 17 Chú ý: Trong định lý trên nếu cho thêm điều kiện: hàm số y f x liên tục trên a; b, thì kết quả của định lý trên sẽ đúng trên a;b 18 Chương 2 ứng dụng giải tích trong các bài toán bất đẳng thức 2.1 Sử dụng hàm lồi để chứng minh bất đẳng thức Một trong những ứng dụng của hàm lồi là chứng minh các bất đẳng thức sơ cấp Lược đồ chung của phương pháp này như... dựng một hàm số tương thích với các biểu thức trong bất đẳng thức cần chứng minh Sau đó dùng các tiêu chuẩn để chứng minh hàm số vừa xây dựng là hàm lồi (hoặc lõm), và cuối cùng áp dụng bất đẳng thức Jensen để đưa ra lời giải 2.1.1 Các bất đẳng thức kinh điển Bài 1 (Bất đẳng thức Cauchy) Cho x1 , x2 , , xn 0 Chứng minh rằng x1 x 2 x n n n x1 x 2 x n (1.1) Chứng minh - Nếu tồn tại xk 0 thì... áp dụng bất đẳng thức Jensen ta có x x y y f ( x ) f (1 x) 1 x 1 x f f ( ) 2 2 2 2 1 xx y y 2 f ( ) 2 2 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x y 1 2 Nhận xét Ta có thể tổng quát hóa bài toán này như sau Cho x, y 0; x y a (a 0) Chứng minh rằng a xx y y 2 2 a 2 Nếu cụ thể hóa bài toán này ta sẽ có nhiều bài toán hấp dẫn 2.2 Sử dụng tính đơn điệu của hàm số để chứng minh bất đẳng thức. .. i i i i 1 i 1 i 1 Chứng minh Bất đẳng thức này được suy ra từ bất đẳng thức Petrovica 25 mà Bài 9 (Bất đẳng thức Vasic) Cho f x là hàm lồi trong đoạn 0,a và x1 , x2 , , xn ; p1 , p2 , , pn là các dãy số không âm thỏa mãn các điều kiện 1 xi 0, a i 1,2, , n 2 pi 1i 1, 2, , n n1 1 3 i i 1 4 n2 1 n px px i i i pi xi i n1 i nk 1 n pi xi 0; a k i 1 Chứng minh rằng: 1 n n n p... Muốn chứng minh bất đẳng thức dạng: f x g x , x D hay bất đẳng thức dạng: f x g x , x D ta cần thực hiện các bước sau: - Đặt h x f x g x hoặc h x g x f x - Tính h' x - Xét dấu của h ' x trên D 35 - Khảo sát sự biến thiên của h x trên D , tức là tìm các khoảng tăng, giảm của nó trên D - Từ đó ta suy ra kết quả phải chứng minh 2.2.2 Một số bài toán Bài toán 1 Chứng minh... f x Tiếp tuyến tại 0;1 có phương trình là a y ax 1 Từ đó suy ra 1 a 1 ax 2 Tương tự phần 1 Từ đó suy ra bất đẳng thức cần chứng minh 23 Bài 6 (Bất đẳng thức Young) 1 1 1 Ta có: p q Với hai số không âm bất kỳ a, b và p 0, q 0 sao cho ab a p bq p q (1) Chứng minh Bất đẳng thức hiển nhiên đúng khi a 0 hoặc b 0 Giả sử a 0, b 0 Xét hàm số f x e x f " x e x 0 x f x lồi trên... xn n n m (đpcm) 2 Nếu 0 m 1 thì do f là hàm lõm nên dấu của bất đẳng thức (3) là dấu ngược lại 31 Bài toán 5 Cho a1 , a2 , , an 0 Chứng minh rằng a a an a1a a2a a 1 2 n 1 2 a1 a2 an an n Lời giải Xét hàm số f x x ln x có f ' x ln x 1 f " x 1 ,x 0 x f x là hàm lồi trên 0; áp dụng bất đẳng thức Jensen cho hai bộ số a1 , a2 , , an và n số 1 ta được n a a 2 ... k i 1 (đpcm) 2.2.1 Các bất đẳng thức đại số Bài toán 1 Chứng tỏ rằng 2 e e 2e1 1 1 (1) Lời giải e Xét hàm số f x 1 x trên khoảng 1; Ta có f ' x e 1 x e 1 e2 f " x e e 11 x x 1 Do đó f x lồi 1 1 1 1 trên khoảng 1; Suy ra f f 0 f f 0 2 2 2 2 2 e 1 e 1 1 1 2 2 2 e e 2 2e1 1 1 Do 0 nên dấu của bất đẳng thức không xảy ra Vậy... (đpcm) 30 Bài toán 4 Cho x1 , x2 , , xn 0 Chứng minh rằng 1 Nếu m 0 hoặc m 1 thì: x1m x2m xnm x1 x2 xn n n m (3) 2 Nếu 0 m 1 thì bất đẳng thức (3) có chiều ngược lại Lời giải 1 Xét hàm số f x x m f ' x mx m1; f x m m 1 x m2 Suy ra f " x 0 khi m 1 hoặc m 0, f " x 0 khi 0 m 1 Vậy f x lồi trên 0; khi m 1 hoặc m 0 và lõm trên 0; khi 0 m 1 áp dụng bất đẳng thức Jensen... a n bn (đpcm) b1 b2 b n a1 a2 an Bài 4 (Bất đẳng thức Bunhiakovski) Cho 2n số dương a1 , a2 , , an và b1 , b2 , , bn Khi đó ta có n i 1 n a 2 i bi i 1 Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 2 n i 1 2 a i b i a1 a2 a n b1 b2 bn Chứng minh Xét hàm số f x x 2 f ' x 2 x f " x 2 0 x f x lồi trên suy ra hàm n n Theo bất đẳng thức Jensen ta có f i xi i f xi i ... đẳng thức chương - Chương 2: ứng dụng giải tích toán bất đẳng thức trình bày phương pháp chứng minh bất đẳng thức cách sử dụng yếu tố giải tích Cụ thể là: ứng dụng lý thuyết hàm lồi, ứng dụng. .. pháp chứng minh bất đẳng thức độc đáo phương pháp ứng dụng giải tích để chứng minh Điều phần nói lên ứng dụng mạnh giải tích Với đề tài ứng dụng giải tích toán bất đẳng thức Sử dụng kết hàm lồi... học Các toán bất đẳng thức quyến rũ niềm say mê người yêu toán Có nhiều phương pháp chứng minh bất đẳng thức, ứng dụng Giải tích để chứng minh bất đẳng thức xem phương pháp nhiều cho lời giải