TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN LÊ THỊ THU HIỀN TÔPÔ YẾU TRONG KHÔNG GIAN BANACH KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Giải tích Người hướng dẫn khoa học Th.S HOÀNG NGỌC TUẤN Hà Nội - 2013 LỜI CẢM ƠN Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Th.S Hoàng Ngọc Tuấn - Người thầy trực tiếp tận tình hướng dẫn giúp đỡ em hoàn thành khoá luận Đồng thời em xin chân thành cảm ơn thầy cô tổ Giải tích thầy cô khoa Toán - Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, Ban chủ nhiệm khoa Toán tạo điều kiện cho em hoàn thành tốt khoá luận Do thời gian kiến thức có hạn lần đầu nghiên cứu khoa học không tránh khỏi hạn chế, thiếu sót định Vì vậy, em mong nhận ý kiến đóng góp thầy cô bạn sinh viên Em xin chân thành cảm ơn ! Hà Nội, tháng 05 năm 2013 Sinh viên Lê Thị Thu Hiền LỜI CAM ĐOAN Qua trình nghiên cứu khóa luận: “ Tôpô yếu không gian Banach” giúp em tìm hiểu sâu môn Giải tích Qua giúp em bước đầu làm quen với phương pháp nghiên cứu khoa học Trong nghiên cứu hoàn thành khoá luận em tham khảo số tài liệu ghi phần tài liệu tham khảo Em xin cam đoan khóa luận hoàn thành cố gắng, nỗ lực tìm hiểu, nghiên cứu thân em với hướng dẫn bảo thầy giáo - Th.S Hoàng Ngọc Tuấn Kết đề tài “ Tô pô yếu không gian Banach” trùng lặp với kết đề tài khác Hà Nội, tháng 05 năm 2013 Sinh viên Lê Thị Thu Hiền Mục lục Mở đầu Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian tôpô 1.1.1 Kiến thức mở đầu không gian tôpô 1.1.2 Không gian compact 1.2 Không gian định chuẩn 1.2.1 Kiến thức mở đầu không gian định chuẩn 1.2.2 Toán tử tuyến tính bị chặn 1.2.3 Nguyên lí bị chặn Banach - Steinhaus 1.2.4 Không gian liên hợp 10 Chương Tôpô yếu không gian Banach 12 2.1 Tôpô yếu tôpô yếu* 12 2.2 Cấu trúc cực biên 31 Kết luận 45 Tài liệu tham khảo 46 LỜI MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Giải tích hàm ngành toán học xây dựng vào khoảng nửa đầu kỉ XX xem ngành toán học cổ điển Nội dung hợp lí thuyết tổng quát xuất phát từ việc mở rộng số khái niệm kết Giải tích, Đại số, Phương trình vi phân Trong trình phát triển từ đến nay, Giải tích hàm tích lũy nội dung phong phú Những phương pháp kết mẫu mực giải tích hàm xâm nhập vào tất ngành toán học có liên quan có sử dụng đến công cụ Giải tích Ngoài ra, có ứng dụng vật lí lí thuyết số lĩnh vực khoa học khác Sự xâm nhập mặt mở chân trời rộng lớn cho ngành toán học nói trên, mặt khác đòi hỏi ngành Giải tích hàm phải đúc kết kết ngành toán học riêng rẽ để chừng mực đề mẫu toán học tổng quát trìu tượng Với mong muốn nghiên cứu tìm hiểu sâu môn giải tích hàm em chon đề tài: “Tôpô yếu không gian Banach” Nghiên cứu đề tài có hội tìm hiểu sâu tôpô, nội dung quen thuộc bao hàm nhiều tính chất đặc trưng tổng quát giải tích hàm Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu lí thuyết tô pô yếu không gian Banach để thấy tính chất Đối tượng nhiệm vụ nghiên cứu Các kiến thức liên quan đến tô pô yếu tô pô yếu* 4.Phương pháp nghiên cứu Sử dụng kết hợp phương pháp nghiên cứu: nghiên cứu lí luận, nghiên cứu tài liệu tham khảo, phân tích, tổng hợp, so sánh, Phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu kiến thức liên quan đến tô pô yếu không gian Banach Cấu trúc khóa luận Ngoài mục lục, phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, khóa luận gồm hai chương: Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Chương 2: Tôpô yếu không gian banach Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian tôpô 1.1.1 Kiến thức mở đầu không gian tôpô Định nghĩa 1.1 Cho X tập Ta nói họ τ tập X tôpô (hay xác định cấu trúc tôpô) X nếu: (i) Hai tập φ X thuộc họ τ (ii) τ kín phép giao hữu hạn, tức là: giao số hữu hạn tập thuộc họ τ thuộc họ (iii) τ kín phép hợp bất kỳ, tức là: hợp số (hữu hạn hay vô hạn) tập thuộc họ τ thuộc họ Một tập X, với tôpô τ X, gọi không gian tôpô (X, τ)(hay đơn giản không gian tôpô X) Định nghĩa 1.2 Cho X không gian tôpô x ∈ X Tập V X gọi lân cận điểm x tồn tập mở G cho x ∈ G ⊂ V Nếu lân cận V x tập mở V gọi lân cận x Mọi lân cận X chứa lân cận mở Định nghĩa 1.3 Cho không gian tôpô X tập A điểm x ∈ X • Điểm x gọi điểm A có lân cận V cho V ⊂ A • Điểm x gọi điểm A có lân cận V cho V ∩ A = ∅ • Điểm x gọi điểm biên A lân cận V x có V ∩ A = ∅ V ∩ (X\A) = ∅ Tập tất điểm biên A gọi biên A Kí hiệu: ∂ A • Ta gọi phần A hợp tất tập mở chứa A Kí hiệu: Ao Từ định nghĩa ta có: Ao tập mở lớn chứa A A ⊂ B Ao ⊂ Bo A A = Ao • Ta gọi bao đóng A giao tất tập đóng chứa A Kí hiệu: A Từ định nghĩa ta có: A tập đóng nhỏ chứa A A ⊂ B A ⊂ B A đóng A = A Định nghĩa 1.4 Một tập M không gian tôpô X gọi trù mật X M = X Định nghĩa 1.5 Không gian tôpô X gọi tách tồn tập hợp M ⊂ X đếm trù mật X Định nghĩa 1.6 Cho X không gian tôpô thỏa mãn với cặp điểm khác x1 , x2 ∈ X có hai lân cận V1 ,V2 x1 , x2 cho V1 ∩V2 = ∅ Khi đó, X gọi không gian tách (hay không gian Hausdorff), tôpô gọi tôpô tách (hay tôpô Hausdorff) 1.1.2 Không gian compact Định nghĩa 1.7 (Tập compact) Cho X không gian tôpô Tập A ⊆ X gọi compact( X) với phủ mở A có phủ hữu hạn Điều có nghĩa Di tập mở X với i ∈ I A ⊆ Di có tập hợp i∈I hữu hạn I0 ⊆ I cho Di ⊇ A i∈I0 Chú ý: Ảnh tập compact qua ánh xạ liên tục tập compact Định nghĩa 1.8 (Không gian compact) Không gian X gọi không gian compact X tập compact X Tức Di mở X với i ∈ I Di = X có i∈I tập hữu hạn I0 ⊆ I cho Di = X i∈I0 Định lý 1.1 (Tychonoff) Tích Descartes ∏ Xi họ không gian tôpô không rỗng {Xi , i ∈ I} i∈I không gian compact Xi không gian compact với i∈I 1.2 Không gian định chuẩn 1.2.1 Kiến thức mở đầu không gian định chuẩn Định nghĩa 1.9 Cho X không gian vectơ trường K ( K = R K = C ) Ánh xạ · : X → R gọi chuẩn X nếu: (i) x ≥ với x ∈ X; (ii) x = x = 0; (iii) λ x = |λ | x với x ∈ Xvà λ ∈ K; (iv) x + y ≤ x + y với x, y ∈ X( bất đẳng thức tam giác) Không gian vectơ với chuẩn (X, ) gọi không gian tuyến tính định chuẩn (hoặc đơn giản không gian định chuẩn) Ví dụ: Không gian C[0,1] biểu thị không gian vectơ tất hàm vô hướng có giá trị liên tục [0, 1], cho chuẩn f ∞ = sup {| f (t)| ;t ∈ [0, 1]} = max {| f (t)| ;t ∈ [0, 1]} Chúng ta dễ dàng kiểm tra C [0, 1] không gian định chuẩn Định nghĩa 1.10 Không gian định chuẩn X gọi không gian Banach, dãy X hội tụ Mệnh đề 1.1 Cho X không gian định chuẩn Ta đặt d(x, y) = x − y , ∀x, y ∈ X (∗) Khi d metric X Nhận xét: Nhờ Mệnh đề 1.1, không gian định chuẩn trở Nếu {Mα } dãy M, ∩Mα không gian afin đóng (∩Mα ) ∩ K = ∩(Mα ∩ K) = ∅, Mα ∩ K compact yếu với α Nếu đoạn [x, y] ⊂ K có điểm trong ∩Mα ,thì [x, y] ⊂ Mα với α từ Mα giá K Do [x, y] ⊂ ∩Mα Điều nói ∩Mα giá đóng K Theo bổ đề Zorn, tồn phần tử cực tiểu M0 M Ta M0 ∩ K nhất, mà phải điểm cực biên Giả sử rằng, tồn x = y ∈ M0 ∩ K Khi tồn f ∈ X∗ cho f (x) = f (y) Vì M0 ∩ K compact yếu, theo nhận xét tồn k ∈ K ∩ M0 cho f (k) = α = sup ( f ) Khi f −1 (α) giá M0 ∩K M0 ∩ K M = M0 ∩ f −1 (α) không gian afin (khác rỗng k ∈ M ), ta nhận xét giá K Vì f (x) = f (y), hai không thuộc M ; tức là, M tập thực M0 , điều mâu thuẫn với việc M0 phần tử cực tiểu Chứng minh định lí 2.11 Lấy B = convw (Ext(K)) Nếu B = K, áp dụng Định lí 1.6 chọn c ∈ K\B tìm f ∈ X ∗ cho f (c) > sup ( f ) Vì B α = sup ( f ), xét H = f −1 (α) Đây siêu phẳng giá đóng K, K theo Bổ đề 2.3, H chứa điểm cực biên K Nhưng x = B f (x) = α > sup ( f ), mâu thuẫn B Định nghĩa 2.10 Cho C tập không gian Banach X Một miếng C giao khác rỗng C với nửa không gian mở X Ta nhận xét giao hữu hạn phần chia tạo thành sở tôpô yếu Bổ đề 2.4 Cho C tập lồi compact yếu không gian Banach X Với 33 x ∈ Ext(C), miếng C chứa x tạo thành sở lân cận x tôpô yếu cảm sinh C Chú ý kết tương tự đưa cho tôpô yếu* X ∗ Chứng minh Lấy V lân cận x tôpô yếu cảm sinh C có dạng V = V1 ∩ ∩ Vk , Vl miếng C (Vl = Vi ∩ C Vi k nửa không gian mở X) Khi x ∈ / ((X\Vi ) ∩C) Do i=1 k x∈ / conv ((X\Vi ) ∩C x điểm cực biên C Vì bao lồi số i=1 k hữu hạn tập lồi compact yếu compact yếu, ta có x ∈ / conv ((X\Vi ) ∩C) i=1 Theo Định lí 1.6, tồn f ∈ X ∗ α ∈ R cho k f (x) > α > sup { f (x) : x ∈ (X\Vi ) ∩C} i=1 Khi miếng C ∩ {x ∈ X : f (x) > α } chứa x chứa V Định lý 2.12 ( Milman ) Cho C tập lồi compact yếu không gian Banach X Nếu w B ⊂ C cho conv(B) = C, Ext(C) ⊂ B Tương tự, C tập lồi compact yếu X ∗ w∗ ∗ convw (B) = C, Ext(C) ⊂ B w Chứng minh Giả sử với x ∈ Ext(C) ta có x ∈ / B Khi tồn miếng S C chứa x ∈ C S ∩ B = ∅ Vì vậy, tồn f ∈ X ∗ α ∈ R cho f (x) > α ≥ sup ( f ) Theo tính chất tuyến tính f, B sup ( f ) = sup ( f ), f (x) > α ≥ sup ( f ) Điều mâu thuẫn B conv(B) conv(B) với việc C = conv(B) 34 Định lý 2.13 ( Banach- Stone ) Cho K, L không gian Banach C(K) đẳng cự tuyến tính với C(L) K L đồng phôi Chứng minh Lấy ϕ đồng phôi từ K lên L Định nghĩa ánh xạ T : C(K) → C(L) với T ( f ) = f ◦ ϕ −1 Đây tiêu chuẩn để kiểm tra T phép đẳng cự từ C(K) lên C(L) Giả sử T phép đẳng cự từ C(K) lên C(L) Khi T ∗ phép đẳng cự Vì T (BC(K)∗ ) = BC(L)∗ , với l ∈ L ta có T ∗ (δl ) = ε(l)δkl , kl ∈ K ε(l) = ±1 Ánh xạ ς : l → ε(l)kl liên tục T* liên tục yếu* yếu* Bây ta hàm ε(l) liên tục Thật vậy, với x ≡ ta viết ε(l) = ε(l)δkl (x) = T ∗ (δl )(x) = T (x)(l), δ = T (x) liên tục Khi ánh xạ ρ : L → K định nghĩa ρ(l) = kl , ρ = ςε , ánh xạ 1-1 liên tục từ L lên K Định nghĩa 2.11 Cho (X, ) không gian Banach Cho C tập bị chặn X ∗ Tập B ⊂ C gọi biên James C x ∈ X tồn g ∈ B cho g(x) = sup{ f (x) : f ∈ C} Tập B ⊂ BX ∗ gọi biên James X biên James BX ∗ Tính chất 2.3 Cho X không gian Banach Khi Ext(BX ∗ ) biên James X Chứng minh Cho trước x ∈ SX , xét H = { f ∈ X ∗ : f (x) = 1} Khi H giá đóng yếu* BX ∗ , tập mà chứa điểm cực biên BX ∗ theo Bổ đề 2.3 Định lý 2.14 (Godefroy [4]) 35 Cho X không gian Banach C tập lồi đóng bị chặn X ∗ Nếu B biên James tách C, C = conv(B) Đặc biệt, tập tách B BX ∗ cho conv(B) = BX ∗ , tồn x ∈ SX cho x( f ) < với f ∈ B Định lí 2.14 nói chung không giả thiết tính chất tách B bị Ví dụ, xét X = C[0, 1] B = { ± δt : t ∈ [0, 1] ⊂ BX ∗ Khi conv(B) = BX ∗ với f ∈ SX , tồn F ∈ B cho F( f ) = Lấy B tập khác rỗng Xét không gian tắc Nếu x = xb ∈ ∞ (B), ∞ (B) với cận đúng-chuẩn ta kí hiệu sup (x) = sup{xb ; b ∈ B} B Nếu tồn b0 ∈ B cho xb0 = sup (x), ta nói x đạt cận B B Trong chứng minh Định lí 2.14, ta sử dụng kết Bổ đề 2.5 ( Bất đẳng thức Simons [9]) Cho B tập khác rỗng Lấy {xn } dãy bị chặn ∞ (B) ∞ ∞ n=1 n=1 Giả sử với tất Λn ≥ 0, n ∈ N, thỏa mãn ∑ Λn = 1vectơ ∑ Λn xn đạt cận trên B Khi sup (lim sup(xn )) ≥ inf{sup (x) : x ∈ conv{xn }} B n B ∞ ∞ n=k n=k ∑ Λn xn : Λn ≥ 0, ∑ Λn = với k ∈ N Ta phải Chứng minh Đặt Ck = chứng tỏ inf sup (x) ≤ sup (lim sup(xn )) x∈C1 B B (**) n Lấy ε > Chọn quy nạp zk ∈ Ck cho với k = 0, 1, sup (2k vk + zk+1 ) ≤ inf sup (2k vk + z) + z∈Ck+1 B B k Ở v0 = vk = ∑ n=1 zn 2n ∞ với k ∈ N Đặt v = ∑ n=1 36 zn 2n ε 2k+1 , Vì zk+1 = 2k+1 vk+1 − 2k+1 vk , ta có 2k+1 vk+1 − 2k vk = 2k vk + zk+1 , ∞ áp dụng 2k v − 2k vk = 2k ∑ n=k+1 zn 2n ∈ Ck+1 ta có với k = 0, 1, sup (2k+1 vk+1 − 2k vk ) ≤ sup (2k vk + (2k v − 2k vk ) + B B = sup (2k v) + B ε 2k+1 ε 2k+1 = 2k sup (B) + B ε 2k+1 m−1 Vì v ∈ C1 , ta chọn t ∈ B cho v(t) = sup (v) Vì ∑ 2k = 2m − 1, B k=0 từ bất đẳng thức cuối ta có với m ∈ N : 2m vm (t) = ∑ (2k+1 vk+1 − 2k vk )(t) ≤ (2m − 1)sup (v) + ε = 2m v(t) + ε − sup (v) B B Vì sup (v) ≤ 2m v(t) − 2m vm (t) + ε, B inf sup (x) ≤ sup (v) ≤ lim sup(2m v − 2m vm )(t) + ε x∈C1 B B m ≤ lim sup(xm (t)) + ε m Áp dụng 2m v − 2m vm ∈ Cm+1 Bất đẳng thức (**) xảy ε > tùy ý Nếu X không gian Banach B ∈ X ∗ , ta xét X tập ∞ (B) với x = ( f (x)) f ∈B Chú ý B biên James X, sup (x) = x cận đạt Do ta có định lí sau B Định lý 2.15 (Simons [9]) Cho B biên James không gian Banach X Nếu {xn } dãy bị chặn X, sup{lim sup( f (xn )) : f ∈ B} = sup{lim sup( f (xn )) : f ∈ BX ∗ } 37 Chứng minh Giả sử sup (lim sup(xn )) < α < sup (lim sup(xn )) Lấy f ∈ BX ∗ B BX ∗ cho lim sup( f (xn )) > α Không tính tổng quát giả sử f (xn ) > α với n ∈ N Nếu x ∈ conv{xn }, từ chứng minh tính lồi tiêu chuẩn ta có f (x) > α Mặt khác, sup (x) = x , từ Bất đẳng thức Simons tồn B x ∈ conv{xn } cho x < α f (x) < α, mâu thuẫn Bây ta chứng minh định lí tách Godefroy Chứng minh Định lí 2.14: Phản chứng, giả sử C = conv(B) Theo Định lí tách, ta tìm F ∈ SX ∗∗ , α < β ,và y0 ∗ ∈ C\conv(B) cho F( f ) ≤ α với f ∈ B F(y0 ∗ ) > β Lấy S = {x ∈ BX : y0 ∗ (x) > β } Sử w∗ dụng Định lí Goldstine ta nhận F ∈ S Vì B tách được, tôpô tập bị chặn X ∗∗ hội tụ theo điểm B khả mêtric Do đó, tồn dãy {xn } S mà hội tụ tới F điểm B Đặc biệt, f (xn ) → F( f ) f (xn ) với f ∈ B, sup (lim sup(xn )) = sup (F) ≤ α B B Mặt khác, conv{xn } ⊂ S y0 ∗ ∈ C, sup (x) = sup (x) > β với B C x ∈ conv{xn } Theo Bất đẳng thức Simons, α ≥ sup (lim sup(xn )) ≥ B inf sup (x) ≥ β , mâu thuẫn x∈conv{xn } B Hệ 2.4 (Godefroy) Cho X không gian Banach Nếu X có biên James tách được, X ∗ tách Chứng minh Nếu B biên James tách X, theo Định lí 2.14 conv(B) = BX ∗ Do đó, BX ∗ X ∗ tách 38 Theo Tính chất 2.3 ta có kết đây, kết thu độc lập từ tác giả Hệ 2.5 Cho X không gian Banach tách được.Nếu Ext(BX ∗ ) tách X ∗ tách Chúng ta xem biên James ảnh hưởng tới cặp đối ngẫu Hệ 2.6 Cho B biên James không gian Banach X Nếu x∗∗ ∈ X ∗∗ giới hạn yếu* dãy bị chặn X, x∗∗ = sup (x∗∗ ( f )) f ∈B w* Chứng minh Lấy {xn } dãy bị chặn X cho xn −→ x∗∗ Giả sử sup {x∗∗ ( f ) : f ∈ B} < x∗∗ Khi ta tìm x0∗ ∈ BX ∗ số thực cho α < β , với f ∈ B, x∗∗ ( f ) ≤ α < β < x∗∗ (x0 ∗ ) Ta giả sử β < xn (x0∗ ) với n ∈ N Vì B biên James, theo Bổ đề 2.5 ta nhận mâu thuẫn: α ≥ sup {x∗∗ ( f ) : f ∈ B} ≥ inf x∈conv{xn } sup { f (x) : f ∈ B} ≥ β , Đặc biệt, ta thu hệ sau Hệ 2.7 Cho X không gian Banach Nếu u ∈ SX ∗∗ giới hạn yếu* dãy BX , BX = conv(B) với biên James B X Xét hàm f ∈ X ∗ Ta nói hàm đạt cận trên C tồn x ∈ C cho f (c) = sup { f (x); c ∈ C} , f ∈ X ∗ đạt chuẩn tồn b ∈ B cho f (b) = f 39 Định lý 2.16 ( Nguyên lí biến thiên Ekeland) Cho ϕ hàm bị chặn nửa liên tục từ không gian Banach X vào R ∪ {+∞} Với ε > 0, tồn x0 ∈ X cho ϕ(x) ≥ ϕ(x0 ) − ε x − x0 với x ∈ X Chứng minh Lấy y1 ∈ X tùy ý định nghĩa quy nạp yn+1 ∈ X để ϕ(yn+1 ) + ε yn − yn+1 ≤ inf {ϕ(x) + ε yn − x ; x ∈ X} + 21n (***) Khi ϕ(yn+1 ) ≤ ϕ(yn+1 )+ε yn − yn+1 ≤ ϕ(yn )+ 21n Vậy lim(ϕ(yn )) tồn hữu hạn Hơn nữa, ε yn − yn+1 ≤ ϕ(yn ) − ϕ(yn+1 ) + 21n Vậy { yn − yn+1 } dãy Cauchy {yn } hội tụ Lấy x0 = lim(yn ) Theo (***), ta có ϕ(yn+1 ) ≤ ϕ(x) + ε x − yn + − ε yn − yn+1 2n Với x ∈ X với n ∈ N Lấy giới hạn n → ∞, ϕ(x0 ) ≤ ϕ(x) + ε x − x0 Định lý 2.17 ( Bishop, Phelps) Cho X không gian Banach Tập tất hàm X ∗ mà hội tụ đến chuẩn chúng trù mật X ∗ Chứng minh Lấy g ∈ SX ∗ ε ∈ (0, 14 ), đặt ϕ(x) = x Để ý ϕ(x) ≥ x 2 − g(x) với x ∈ X − x ≥ − 14 (cực tiểu hóa f (p) = p2 − p [0, ∞)) Theo Định lí 2.16, tồn x0 ∈ X cho ϕ(x) ≥ ϕ(x0 ) − ε x − x0 với x ∈ X Như vậy, x − g(x) ≥ x0 − g(x0 ) − ε x − x0 với x ∈ X 40 Theo định lí tách áp dụng cho đồ thị hàm vế trái đồ thị hàm vế phải bất đẳng thức (cả hai tập lồi), tồn hàm afin liên tục h X cho x − g(x) ≥ h(x) ≥ x0 Chú ý h(x0 ) = x0 − g(x0 ) − ε x − x0 với x ∈ X − g(x0 ) vế phải bất đẳng thức trước h(x) − h(x0 ) ≥ −ε x − x0 Ta khẳng định x0 = Thật vậy, giả sử x0 = Khi h(x0 ) = − g(0) = h(x) ≥ −ε x với x ∈ X Do đó, h hàm tuyến tính h ≤ ε Vì g = ε < 41 , ta nhận h + g = Chọn y ∈ SX cho (h + g)(y) = a > Phần đầu bất đẳng thức cho biết x ≥ (g + h)(x) với x ∈ X Áp dụng cho x = ty với t > 0, ta có t ≥ at; tức là, t ≥ a với t > Nhưng điều trái với a > 0, x0 = Nếu x = x0 , (g + h)(x) ≤ x = x0 = (g + h)(x0 ) Vậy, (g + h) bị hạn chế đến {x ∈ X; x = x0 } đạt đến cận x0 hàm tuyến tính f = g + h − h(0) Do f đạt tới chuẩn f − g ≤ ε, điều theo tính chất h afin, h(x) − h(0) = h(x + x0 ) − h(x0 ) ≥ −ε x Định lý 2.18 (James [8]) Cho C tập lồi đóng không gian Banach X C compact yếu f ∈ X ∗ đạt cận trên C điểm C Chú ý f ∈ X ∗ đạt tới cận trên C, C bị chặn theo Định lí 2.2 41 Chứng minh Giả sử C compact yếu Vì f ∈ X ∗ liên tục yếu, ảnh f (C) tập compact yếu C phải compact R đóng, cận đạt Ta đưa chứng minh chiều ngược lại không gian tách X Theo điều giả sử chúng ta, C biên James tách C w∗ w∗ X ∗∗ ; đó, theo Định lí 2.14, conv(C) = C Vì C đóng lồi, ta có w∗ C = C , C compact yếu Chứng minh trường hợp không tách phức tạp ( tham khảo [5]) Hệ 2.8 (James [8]) Không gian Banach X phản xạ f ∈ X ∗ đạt đến chuẩn Định lý 2.19 ( James [7]) Không gian Banach X phản xạ tồn θ ∈ (0; 1) cho {xn } dãy SX với inf { u : u ∈ conv {xn }} ≥ θ , tồn n0 ∈ N, u ∈ conv{x1 , , xn0 } v ∈ {xn0 +1 , xn0 +2 , } cho u−v < θ Chứng minh Giả xử X phản xạ Cho θ ∈ (0, 1) lấy {xn } dãy SX Với số nguyên n ≥ 0, lấy kn = conv{xn+1 , xn+2 , } Vì {Kn } dãy lồng vào tập compact yếu khác rỗng, tồn x ∈ ∩Kn Vì x ∈ K0 tồn n0 u ∈ conv{x1 , , xn0 } cho x−u < x−v < θ Vì x ∈ Kn0 , θ Khi u − v tồn v ∈ conv{xn0 +1 , xn0 +2 , .} cho < θ 42 Giả sử X = X ∗∗ cho trước tùy ý θ ∈ (0; 1) Ta xây dựng dãy {xn } không đủ điều kiện Kí hiệu Bθ = {F ∈ X ∗∗ : F ≤ θ Theo Mệnh đề 1.3 tồn Fθ ∈ SX ∗∗ \ (x + Bθ ) x∈X Chọn x0 ∈ SX Tồn lân cận yếu* lồi V1 Fθ mà không chứa x0 + Bθ Vậy v − x0 > θ với v ∈ V1 Chọn x1 ∈ V1 ∩ SX Vì Fθ ∈ / (conv {x0 , x1 } + Bθ ),tồn lân cận yếu* lồi V2 ⊂ V1 Fθ cho u − v > θ với u ∈ conv{x0 , x1 } v ∈ V2 Chọn x2 ∈ V2 ∩ SX tiếp tục lí luận phương pháp quy nạp Các dãy tập lồi V1 ⊃ V2 ⊃ dãy {xn } ⊂ SX thỏa mãn xn ∈ Vn , v − u > θ với u ∈ conv {xn+1 , xn+2 , } Vậy, điều kiện không đủ Bây ta đưa vài ứng dụng Định lí 2.18 Định lý 2.20 (Krein) Cho X không gian Banach Nếu C tập compact yếu X conv(C) compact yếu X Chứng minh Nếu f ∈ X ∗ , sup ( f ) = sup ( f ) Vì C compact yếu , C conv(C) tồn x ∈ C cho sup ( f ) = f (x) Cho nên, f ∈ X ∗ đạt cận C conv(C), Định lí 2.18, conv(C) compact yếu Nhớ lại không gian tôpô (T, τ) gọi compact theo dãy dãy T có dãy hội tụ (T, τ) Một tập C không gian Banach X gọi compact yếu theo dãy compact theo dãy tôpô yếu tương đối 43 Định lý 2.21 ( Eberlein,Smulian) Cho C tập đóng yếu không gian Banach tách X C compact yếu C compact yếu theo dãy Chú ý C compact yếu (theo dãy), f (C) bị chặn với f ∈ X ∗ theo tính liên tục yếu f , C bị chặn theo Định lí 2.2 Chứng minh Nếu C compact yếu, theo Mệnh đề 2.8 C khả mêtric tôpô yếu C compact yếu theo dãy Bây giả sử C compact yếu theo dãy cho D = conv(C) Cho trước f ∈ X ∗ , lấy cn ∈ C cho lim( f (cn )) = sup ( f ) Theo điều giả sử w C ta, tồn dãy cnk cn cho cnk − → c với c ∈ C đó, f (c) = sup ( f ) = sup ( f ) Do f (c) = sup ( f ) Vậy f ∈ X ∗ đạt tới giá trị C D D lớn D, D compact yếu theo Định lí 2.18 Vì C tập đóng yếu D, compact yếu Định lý 2.22 ( Rainwater, Simons) Cho B biên James không gian Banach X Cho {xn } dãy bị chặn X x ∈ X Nếu f (xn ) → f (x) = với f ∈ B, w xn − → x Chứng minh Vì sup (lim sup(xn − x)) = sup (lim sup(xn − x)) = (áp dụng B BX ∗ Định lí 2.15 cho dãy {xn − x}) ta có lim sup( f (xn − x)) ≤ với f ∈ BX ∗ Tương tự, xét dãy {x − xn } , ta có lim sup( f (x − xn )) ≤ với f ∈ BX ∗ Do w f (xn ) → f (x) = BX ∗ , xn − → x 44 KẾT LUẬN Giải tích hàm nói chung lí thuyết tô pô yếu nói riêng có vai trò quan trọng giải tích Trong khóa luận tập chung nghiên cứu tô pô yếu không gian Banach Luận văn mang tính chất tổng quan em chứng minh số định lí, mệnh đề Mong tài liệu bổ ích cho quan tâm tới vấn đề Đây thành công đề tài Để hoàn thành khóa luận tốt nghiệp em xin trân trọng cảm ơn thầy cô khoa Toán, đặc biệt thầy giáo- Th.S Hoàng Ngọc Tuấnngười tận tình bảo, giúp đỡ em suốt thời gian qua để em hoàn thành khóa luận Mặc dù em có nhiều cố gắng, song hạn chế thời gian kiến thức nên khóa luận không tránh khỏi thiếu sót Em kính mong thầy cô bạn đọc đóng góp ý kiến trao đổi để khóa luận hoàn thiện tốt Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng 05 năm 2013 Sinh viên Lê Thị Thu Hiền 45 Tài liệu tham khảo [A] Tài liệu tiếng Việt [1] PGS.TS Nguyễn Phụ Hy (2006), Giải tích hàm, NXB Khoa học kỹ thuật, Hà Nội [2] Hoàng Tụy (2005), Hàm thực giải tích hàm, NXB Đại học quốc gia Hà Nội [3] Nguyễn Xuân Liêm (1994), Giải tích hàm, NXB Giáo Dục [B] Tài liệu tiếng Anh [4] Godefroy, G (1987), Boundaries of convex sets and interpolation sets, Math Ann.277, 173-184 [5] Diestel, J (1984), Sequences and Series in Banach Spaces, Graduate Texts in Mathematics 92, Springer-Verlag, New York [6] Fabian, M Habala, P Hajek, P Montesino Santalucia, V Pelant, J V Zizler (2001),Functional Analysis and Infinite-Dimensional Geometry 46 [7] James, R.C (1950), Bases and reflexivity of Banach Spaces, Ann Math 52, 518-527 [8] James, R.C (1964), Weak compactness and reflexivity, Isr J Math 2, 101-119 [9] Simons, S (1972), A convergence theorem with boundary, Pac J Math 40, 703-708 47 [...]... vậy, không gian liên hợp X ∗ của không gian định chuẩn X là không gian Banach Không gian liên hợp của không gian X ∗ gọi là không gian liên hợp thứ hai của không gian định chuẩn X, kí hiệu là X ∗∗ , các không gian liên hợp thứ ba X ∗∗∗ không gian liên hợp thứ tư X ∗∗∗∗ , của không gian định chuẩn X được định nghĩa tương tự Định lý 1.5 ( Hahn, Banach) Cho C là một tập lồi đóng trong không gian Banach. .. dãy {xi }∞ i=1 trong X mà trù mật trong X Mệnh đề 1.4 Cho X là một không gian Banach Nếu X ∗ là tách được, thì X là tách được Mệnh đề 1.5 Ta có: (i) Nếu p ∈ [0, ∞], thì không gian l p là tách được (ii) Các không gian C và C0 là tách được (iii) Không gian l∞ là không tách được Mệnh đề 1.6 Không gian C∗ [ 0,1] là không tách được 11 Chương 2 Tôpô yếu trong không gian Banach Cho trước không gian định chuẩn... của không gian Banach X, với (C, w) ta kí hiệu không gian tôpô C cùng với với sự hạn chế của tôpô yếu tới C Kí hiệu tương tự ứng dụng cho (C, w∗ ) trong không gian đối ngẫu Định lý 2.7 (Alaoglu) Cho X là một không gian Banach Khi đó BX ∗ là compact trong tôpô yếu* Chứng minh Theo Định lí Tychonoff, không gian [−1, 1]BX của tất cả các hàm thực trên BX với các giá trị trong [−1, 1] là một không gian tôpô. .. đều Banach- Steinhaus) Nếu họ (At )t∈T các toán tử tuyến tính liên tục từ không gian Banach X vào không gian định chuẩn Y bị chặn từng điểm, thì họ đó bị chặn đều 1.2.4 Không gian liên hợp Định nghĩa 1.20 Cho không gian định chuẩn X trên trường K (K = R hoặc K = C) Ta gọi không gian I(X, K) các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên không gian X là không gian liên hợp (hay không gian đối ngẫu) của không gian. .. ứng mở yếu* ) với mọi x ∈ X (tương ứng x ∈ X ∗ ) Hiển nhiên mọi tập mở yếu thì cũng mở theo chuẩn, vì vậy tôpô chuẩn thì mạnh hơn tôpô yếu Vì các tập hợp xác định tôpô yếu* trên X* là trong số các tập xác định tôpô yếu trên X*, nên tôpô yếu mạnh hơn tôpô yếu* trên X* Hơn nữa, A ⊂ X là compact yếu khi và chỉ khi π(A) là compact yếu* trong X** w Ta sẽ kí hiệu M và M w∗ là bao đóng trong các tôpô yếu tương...thành không gian metric với metric (*) Do đó mọi khái niệm, mệnh đề đã đúng trong không gian metric đều đúng trong không gian định chuẩn Nguyên lý phạm trù Baire đã được phát biểu trong không gian metric, sau đây ta sẽ phát biểu lại trong không gian định chuẩn Định nghĩa 1.11 Cho không gian định chuẩn X Tập E ⊂ X gọi là không đâu trù mật trong không gian X, nếu hình cầu bất kỳ... đương tôpô yếu trên X chỉ dùng các hàm từ XR Tôpô yếu* trên không gian X ∗ cũng có thể được định nghĩa tương đương dùng |Re( f − f0 )(xi )| trong sự mô tả cơ sở của chúng Cho X là một không gian Banach thực Kí hiệu nửa không gian của X là tập mở yếu có dạng {x ∈ X : f (x) < α } với f ∈ X ∗ \ {0} và α ∈ R nào đó Giao hữu hạn của các nửa không gian tạo thành một cơ sở của tôpô yếu Chú ý rằng tôpô yếu* ... vậy, BX ∗∗ là compact yếu BX ∗ là đóng và vì thế là tập con đóng yếu của BX ∗∗ (Định lí 2.6) và do đó là compact yếu trong X ∗∗ Vì tôpô yếu* là yếu hơn, nên BX là compact yếu* trong X ∗∗ , như vậy BX là compact yếu trong X và ta hoàn thành chứng minh theo Định lí 2.9 Mệnh đề 2.10 Cho X là không gian Banach phản xạ Nếu Y là một nửa không gian con đóng của X, thì Y là một không gian Banach phản xạ Chứng... yếu trong X Nếu BX là compact yếu, thì nó là đóng yếu* trong X ∗∗ Vì bao đóng yếu* của BX trong X ∗∗ là BX ∗∗ theo Định lí 2.8, ta được BX = BX ∗∗ và không gian 29 X là phản xạ Mệnh đề 2.9 Một không gian Banach X là phản xạ khi và chỉ khi X ∗ là phản xạ Chứng minh Giả sử X là phản xạ Khi đó X = X ∗∗ và do đó tôpô yếu* và tôpô yếu trên X ∗ trùng nhau Bởi vậy, theo Định lí Alaoglu, BX ∗ là compact yếu. .. một tập con đóng yếu của tập compact yếu BX Vì thế, BY là tập compact yếu trong Y , và vì vậy BY là phản xạ theo Định lí 2.9 Định lý 2.10 Cho X là một không gian Banach Nếu X là tách được và phản xạ, thì (BX , w) là một không gian khả mêtric compact 30 Chứng minh Vì X ∗∗ = X là tách được, X ∗ là tách được theo Mệnh đề 1.4 Khi đó BX trong tôpô yếu (BX ∗∗ trong tôpô yếu* ) là một không gian khả mêtric ... Như vậy, không gian liên hợp X ∗ không gian định chuẩn X không gian Banach Không gian liên hợp không gian X ∗ gọi không gian liên hợp thứ hai không gian định chuẩn X, kí hiệu X ∗∗ , không gian liên... Các không gian C C0 tách (iii) Không gian l∞ không tách Mệnh đề 1.6 Không gian C∗ [ 0,1] không tách 11 Chương Tôpô yếu không gian Banach Cho trước không gian định chuẩn (X, · ), ta kí hiệu không. .. không gian tôpô không rỗng {Xi , i ∈ I} i∈I không gian compact Xi không gian compact với i∈I 1.2 Không gian định chuẩn 1.2.1 Kiến thức mở đầu không gian định chuẩn Định nghĩa 1.9 Cho X không gian