Khóa luận tốt nghiệp GVHD: TS Nguyễn Văn Hùng LỜI CẢM ƠN Sau thời gian nghiên cứu với hướng dẫn tận tình thầy giáo TS Nguyễn Văn Hùng, khóa luận em hoàn thành Qua đây, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo TS Nguyễn Văn Hùng – người trực tiếp hướng dẫn đóng góp nhiều ý kiến quý báu thời gian em thực khóa luận Em xin chân thành cảm ơn thầy, cô giáo khoa Toán tạo điều kiện giúp đỡ em hoàn thành khóa luận Mặc dù có nhiều cố gắng hạn chế thời gian kiến thức nên chắn khóa luận không tránh khỏi thiết sót Em mong nhận giúp đỡ, đóng góp ý kiến thầy cô bạn sinh viên để khóa luận em hoàn thiện Hà Nội, tháng năm 2013 Sinh viên Nguyễn Thị Ngân SV: Nguyễn Thị Ngân K35D – SP Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: TS Nguyễn Văn Hùng LỜI CAM ĐOAN Khóa luận tốt nghiệp em hoàn thành hướng dẫn thầy giáo TS Nguyễn Văn Hùng với cố gắng thân Trong trình nghiên cứu em có tham khảo số tài liệu số tác giả (đã nêu mục tài liệu tham khảo) Em xin cam đoan kết khóa luận kết nghiên cứu thân, không trùng với kết tác giả khác Nếu sai em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm Hà Nội, tháng năm 2013 Sinh viên Nguyễn Thị Ngân SV: Nguyễn Thị Ngân K35D – SP Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: TS Nguyễn Văn Hùng MỤC LỤC PHẦN I: MỞ ĐẦU PHẦN II: NỘI DUNG CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Số gần sai số 1.1.1 Số gần 1.1.2 Sai số thu gọn 1.1.3 Cách viết số gần 1.1.4 Sai số tính toán 1.1.5 Sự ổn định trình tính: 1.2 Bài toán ngược sai số: 1.3 Tìm nghiệm thực gần phương trình f (x) = 1.4 Một số khái niệm giải tích hàm 1.4.1 Không gian Metric 1.4.2 Không gian Banach: CHƯƠNG 2: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP LẶP GIẢI GẦN ĐÚNG CÁC PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH 11 2.1 Một số phương pháp lặp giải phương trình phi tuyến: 11 2.1.1 Phương pháp chia đôi: 11 2.1.2 Phương pháp lặp đơn: 13 2.1.3 Phương pháp dây cung: 14 2.1.4 Phương pháp Newton: 16 2.2 Một số phương pháp lặp giải hệ phương trình phi tuyến: 18 2.2.1 Phương pháp Newton: 18 2.2.2 Phương pháp lặp: 21 2.3 Một số phương pháp lặp giải hệ đại số tuyến tính 24 2.3.1 Chuẩn vecto hội tụ dãy vecto 24 SV: Nguyễn Thị Ngân K35D – SP Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: TS Nguyễn Văn Hùng 2.3.2 Phương pháp lặp đơn (lặp cổ điển) 26 2.3.3 Phương pháp lặp Seidel 31 2.4 Phương pháp lặp giải phương trình vi phân thường: 35 CHƯƠNG 3: ỨNG DỤNG 37 KẾT LUẬN 59 TÀI LIỆU THAM KHẢO 60 SV: Nguyễn Thị Ngân K35D – SP Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: TS Nguyễn Văn Hùng MỞ ĐẦU Giải tích số ngành Toán học quan tâm đến kết biểu diễn số; công việc nhằm chuyển đổi lời giải toán học xác dạng công thức đơn giản cho công thức tính phép tính số học, tìm lời giải gần tìm lời giải xác cho khác biệt hai lời giải nhỏ Do đó, nói ngành kết hợp hai ngành Toán học Máy tính Để có lời giải gần cho toán đòi hỏi phải có kiện toán sau xây dựng mô hình toán Tiếp theo công việc tìm thuật toán hữu hiệu cuối viết chương trình để máy tính tính toán cho ta kết gần Khi giải toán thực tế ta phải làm việc trực tiếp gián tiếp với số liệu ban đầu Chính vậy, không tránh khỏi sai số, nhỏ ảnh hưởng trực tiếp đến kết tính toán Vì cần sử dụng thuật toán hữu hiệu để giảm thiểu sai số đồng thời tiện lợi cho việc lập trình tiết kiệm số lượng phép tính, thời gian tính toán Việc sử dụng phương pháp lặp có ý nghĩa lý thuyết ứng dụng lớn việc tìm nghiệm gần phương trình phi tuyến, hệ phương trình phi tuyến, hệ đại số tuyến tính, phương trình vi phân thường,… tìm nghiệm phương trình hệ phương trình vừa nêu Vì em chọn đề tài cho khóa luận “Một số phương pháp lặp giải gần phương trình hệ phương trình” Khóa luận chia làm phần: Phần I: Mở đầu Phần II: Nội dung SV: Nguyễn Thị Ngân K35D – SP Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: TS Nguyễn Văn Hùng Phần III: Kết luận NỘI DUNG CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Số gần sai số 1.1.1 Số gần Ta nói a số gần a* a không sai khác a* nhiều, hiệu số ∆a = a* - a sai số thực a, ∆a > a giá trị gần thiếu, ∆a < a giá trị gần thừa a* Vì a* chưa biết, biết a nên đại lượng ∆ chưa thể xác định, nhiên thấy tồn ∆a > thỏa mãn điều kiện: a *  a  a Khi đó: ∆a gọi sai số tuyệt đối a a   sai số tương đối a a Rõ ràng ∆a, a nhỏ tốt Hai số gần a a* b b* có sai số tuyệt đối ∆a = ∆b, số có giá trị lớn tuyệt đối lớn xác Chẳng hạn a = 100, b = 1, ∆a = ∆b = 0,01 số a*  [99,99; 100,01], b* [0,99; 1,01], tức số a xác số b so với giá trị Đại lượng phản ánh độ sai số số, hay nói cách khác độ xác phép tính phản ánh qua đại lượng Ở ví dụ trên, a lớn khoảng xác định a* rộng, tỉ số a   đặc trưng cho độ xác phép đo tính toán, a a gọi sai số tương đối số a SV: Nguyễn Thị Ngân K35D – SP Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: TS Nguyễn Văn Hùng 1.1.2 Sai số thu gọn Trong trính tính toán, số gần a a* số thập phân vô hạn số sau dấu phẩy, hữu hạn số lượng chữ số sau dấu phẩy lớn buộc phải ngắt bớt số chữ số sau dấu phẩy Việc ngắt bớt gọi thu gọn số a để số a ngắn gọn gần số a Qui tắc thu gọn số a sau: Giả sử số a   = , a1 a2 an , A phần trị nguyên, aj j  1, n chữ số  {0, 1, 2, …., 9} sau dấu phẩy (phần thập phân) Muốn làm tròn số a từ số a với i chữ số sau dấu phẩy ta làm sau: giữ nguyên A, a1, a2, …, ai-1 xét ai+1: - Nếu ai+1  a = , a1 a 1 - Nếu ai+1 > a = , a1a2 1ai' với ai’= +1 Ví dụ: Cho số a* = , a = 3,141592 Khi số thu gọn a là: Số thu gọn sau dấu phẩy chữ số: a = 3,14 Số thu gọn sau dấu phẩy chữ số: a = 3,141 Số thu gọn sau dấu phẩy chữ số: a = 3,1416 Đặt: a = a  a , a gọi sai số thu gọn số a 1.1.3 Cách viết số gần Để hình dung số a*, người ta thường biểu diễn qua khoảng xác định Cụ thể viết gần a kèm theo sai số   a  , a   (tương đối tuyệt đối) a   a   Khi số a* số nằm khoảng a  a  a *  a  a, a  a  a *  a  a a = 120  2%  hiểu là: 120 – 2%.120 < a < 120 + 2%.120 SV: Nguyễn Thị Ngân K35D – SP Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: TS Nguyễn Văn Hùng 1.1.4 Sai số tính toán Các số dùng để tính toán vốn số gần (có sai số), xuất thêm sai số kết Sai số gọi sai số tính toán Trong đề tài này, tập trung nghiên cứu giá trị gần liên quan đến sai số tính toán Giả sử cần tính giá trị đầu y với giá trị đầu vào x1, x2, ,xn Mọi liên hệ đầu vào đầu xác định y*= f ( x1* , x2* , , xn* ) y*, x1* , x2* , , xn* giá trị giá trị hàm biến tương ứng Thực tiễn, xác định y*, x1* , x 2* , , xn* mà xác định giá trị gần tương ứng với sai số tương ứng ∆y, ∆xi Sai số giá trị ∆y y = f (x1, x2, ,xn) gọi sai số tính toán Giả sử y = f (x1, x2, ,xn) hàm khả vi, liên tục theo biến xi Theo giải tích, ta có: y – y* = f  x1 , x , , x n  - f ( x1* , x 2* , , x n* ) = n  f x .x i 1 ' xi i  xi*  đó: x điểm nằm điểm (x1, x2, ,xn) n * ( x1* , x2* , , x n* ), có nghĩa là, ta có: y  y   i 1 n Đặt  y   i 1 f x'  x . x i i f x'  x   x i i ∆y cận y  y * xem ∆y sai số y so với y* Mặt khác sai số y là: SV: Nguyễn Thị Ngân K35D – SP Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: TS Nguyễn Văn Hùng ' n y n f x  x   y    xi   ln f  x .xi   ln y i 1 xi y i 1 f  x  i a Sai số tổng y = x1 + x2 + + xn ' Ta có: y x  , i i  1, n n Nên sai số y  y  n   x i i 1   x i i 1 Sai số tuyệt đối tổng tổng sai số tuyệt đối số hạng Sai số tương đối y  y đặc trưng cho tính xác phép y đo Nếu y nhỏ sai số tương đối lớn tính xác phép đo không đảm bảo Vì tính toán gần phải tránh công thức đưa đến việc tính hiệu số gần b Sai số tích y = x1 x2 xn Ta có: ln y  ln x1   ln xn Sai số tương đối tích tổng sai số tương đối thừa số thành phần Ví dụ: y = x*z, x = 3,45 + 0,01 z = 12,432 + 0,002 Hãy tính sai số y Giải: Ta có  x  0,01 0,02  0,29%, z   0,016% 3,45 12,432 Vậy:  y   x   z  0,306% c Sai số y = ln x SV: Nguyễn Thị Ngân K35D – SP Toán Khóa luận tốt nghiệp Ta có: ln x   ' GVHD: TS Nguyễn Văn Hùng x  y   x x x Sai số tuyệt đối y sai số tương đối x d Sai số thương: y x1 x2 .x p x p 1 x p  x n p Ta có: ln y   ln xi  i 1 n  ln x , mặt khác sai số lnxi  xi i i  p 1 n   y    xi i 1 1.1.5 Sự ổn định trình tính: Để tính đại lượng có phải tính nhiều lần lặp lặp lại Quá trình tính gọi ổn định sai số tính toán (quy tròn số) tích lũy lại không tăng vô hạn Nếu trình tính sai số tăng vô hạn ta nói trình tính không ổn định Để khắc phục điều thường người ta giả sử sai số xảy bước tính Xem giá trị đúng, tính bước Nếu tích lũy số bước thấy sai số tăng đáng kể xem trình tính không ổn định (đây vấn đề khó, cần nghiên cứu tiếp sau) 1.2 Bài toán ngược sai số: Giả sử cần tính y = f (x1, x2, ,xn) với sai số y  a Hãy xác định xi Theo biểu thức tổng quát sai số tính toán, ta phải có: n y   i 1 SV: Nguyễn Thị Ngân f xi  a xi K35D – SP Toán Khóa luận tốt nghiệp g x GVHD: TS Nguyễn Văn Hùng g y 4 0 2 0 Xét: J  J    f x g x 0 f y 0 g y 0 1  80 0 Từ đó, ta tính: h0   f   f y'   1 0,25    0,09375 ' J ( ) g   g y   0,25 f x'   f   1 0,25 k0      0,0625 J ( ) g x'   g   0,25 Ta có điểm M1 (x1, y1), x1 = x0 + h0 = 1,90625; y1 = y0 + k0 = 0,3125 Lặp lại điểm M1 (x1, y1), Ta có: f    , 0087890625 ; g    ,024414062 f x g x  1,8125 , 1  3,8125 1 f y g y  1 1  2,5 1 Xét SV: Nguyễn Thị Ngân 46 K35D – SP Toán Khóa luận tốt nghiệp J  J    GVHD: TS Nguyễn Văn Hùng f x g x 1 f y 1 g y 1  1,8125 1 3,8125 2,5  8,34375  1 Từ đó, ta tính: f   f y'   h1    0,005559456869 J ( ) g   g 'y   f x'   f   k1    0,001287453075 J ( ) g x'   g   Và có điểm M2 (x2, y2), x2 = x1 + h1 = 1,900690543, y2 = y1 + k1 = 0,311212546 Tiếp tục đạt độ xác cao Bài 8: Dùng phương pháp lặp tìm lời giải hệ phương trình phi tuyến sau: (1)  x  x  y  0,5   2 x  y   (2) Giải: Vẽ đồ thị hai hàm số, (1) parabol (2) elip; chúng cắt hai điểm gần với A (- 0,2; 1,0) B (1,9; 0,3) Để giải phương pháp lặp, thực sau: Từ (1)  x  x  y  0,5 Để tìm y từ phương trình (2) cộng -8y vào vế nó, lúc (2) trở thành: x  y   y  8 y nên y   x2  4y2  8y  Từ ta đưa dạng: SV: Nguyễn Thị Ngân 47 K35D – SP Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: TS Nguyễn Văn Hùng x  y  0,5 x  F  x, y  y  x2  4y2  8y   G  x, y  Chọn giá trị lặp x0 = y0 = Xét điều kiện hội tụ: F x   x; x F  ; y G  x x   ; x G  y     y  1; y  F G   x ; x x F G x      y  1; y y * Với x0 = y0 = 1, ta thấy: F G    1; x x F G    1; y y Vậy thực dãy lặp, kết ghi bảng sau: x0  y0  x1  0,2500 y1  x  0,2188 y  0,9922 x3  0,2222 y  0,9940 x  0,2223 y  0,9938 x5  0,2222 y  0,9938 x  0,2222 y  0,9938 Bài 9: Tìm nghiệm gần hệ phương pháp lặp đơn: sin x  y  1,32   x  cos y  0,85 SV: Nguyễn Thị Ngân 48 K35D – SP Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: TS Nguyễn Văn Hùng với xấp xỉ đầu  x , y   1,80;0,33 Giải: Trước hết ta đưa dạng: x  cos y  0,85  F ( x, y ) y  sin x  1,32  G ( x, y ) F  0; x F   sin y; y G  cos x; x G  0; y Do M0(x0, y0) = M0 (1,80; - 0,33), nên F G   0,99950056  1; x x F G   0,005759554688  1; y y thỏa mãn điều kiện (2.2.9), trình lặp hội tụ Với xấp xỉ đầu là: x0 = 1,8; y0 = - 0,33, ta có bảng số sau: x  1,80 y  0,33 x1  cos y  0,85  1,849983414 y1  sin x0  1,32  1,288589241 x  1,849747108 y  1,287717308 x3  1,84974745 y  1,28772143 x  1,849747448 y  1,287721425 x5  1,849747448 y  1,287721425  x1  x2  x3   Bài 10: Giải hệ phương trình  x1  x2  x3  16 x  x  4x   SV: Nguyễn Thị Ngân 49 K35D – SP Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: TS Nguyễn Văn Hùng a) Bằng phương pháp lặp đơn b) Bằng phương pháp lặp Seidel (đối với phương pháp tính đến X(3) với X(0) = , đánh giá sai số X(3)) Giải: a) Trước hết phải đưa hệ dạng: X = X +  cho   p 1 (p = , 1, 2) Ta viết lại dạng:   x1    x2    x3   x2 x1 x1   x3  x3 x2 16    0,125 0,125   0,125   0,2     3,2  Thì   0,2     0,25 0,25   1,75   Ta thấy   3 3   max   j ;   j ;   j   max0,25; 0,4; 0,5  0,5  j 1 j 1  j 1  thỏa mãn điều kiện trình lặp đơn Chọn xấp xỉ đầu X(0) = (- 0,125; - 3,2; - 1,75)t Thực trình tính theo công thức (2.3.7): X(k) = X(k-1) +  k = 1, 2, Với k = 1, ta có:  1   0      1 0,125 0,125  0,125  0,125    0,2 0,2    3,2     3,2       0,25 0,25    1,75    1,75  SV: Nguyễn Thị Ngân 50 K35D – SP Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: TS Nguyễn Văn Hùng  0,61875  0,125  0,74375    0,375     3,2     3,575          0,83125   1,75   2,58125 Tương tự k = 2, có  2  0,125 0,125  0,74375  0,125  0,89453125    0,2 0,2    3,575     3,2     3,865         0,25 0,25   2,58125   1,75    2,8296875  k = 3, có  3  0,125 0,125  0,89453125  0,125  0,961835937    0,2 0,2    3,865     3,2     3,94484375         0,25 0,25    2,8296875    1,75    2,939882813 Từ đó, ta lập bảng sau: k x1( k ) - 0,125 - 0,74375 - 0,89453125 - 0,961835937 x2( k ) - 3,2 - 3,575 - 3,865 - 3,94484375 x3( k ) - 1,75 - 2,58125 - 2,8296875 - 2,939882813 Vậy nghiệm hệ phương trình tính đến X(3) là: (- 0,961835937; - 3,94484375; - 2,939882813) Gọi  nghiệm gần tìm sau quy tròn   k  ;   nghiệm hệ cho,         ( k )     k           k     k     Trong bất đẳng thức này, số hạng thứ vế phải sai số tính toán (do quy tròn số), số hạng thứ hai sai số phương pháp SV: Nguyễn Thị Ngân 51 K35D – SP Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: TS Nguyễn Văn Hùng Theo đề bài, X(0) =  theo (2.3.7) có  1   0      1         1   0  nên  3       3   1  1   q3  1   0  1 q  1     1  1    0,5  3,2  0,4  0,5 b) Hệ phương trình cho có dạng đường chéo trội, dễ dàng đưa dạng X = X +  ; 0,125 0,125   0,125    0,2 0,2      3,2      0,25 0,25   1,75      0,5  trình lặp Seidel hội tụ Chọn xấp xỉ đầu  0      0,125;3,2;1,75 t Quá trình lặp thực theo công thức (2.3.13): i 1 n j 1 j i xi k     ij x jk     ij x jk 1   i Với k = 1, có: n x11    j  x j0      11 x10    12 x 2    13 x3   0,125 j 1   0,125   3,2  0,125   1,75  0,125  0,74375 n x 21   21  x11    j  x j0     0,2   0,74375   22 x20    23 x30   3,2 j 2  0,14875   0,2   1,75  3,2  3,69875 n j 1 j 3 x31    j  x j1    j  x j0      31 x11   32 x21   33 x30   1,75  0,2   0,74375  0,2   3,69875   1,75  2,6385 Tương tự với: SV: Nguyễn Thị Ngân 52 K35D – SP Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: TS Nguyễn Văn Hùng k = 2, có: x1   0,125   3,69875  0,125   2,6385  0,125  0,91715625 x 2   0,2   0,91715625  0,2   2,6385  3,2  3,91113125 x3   0,25   0,91715625  0,25   3,91113125  1,75  2,957071875 k = 3, có: x13   0,125   3,91113125  0,125   2,957071875  0,125  0,98352539 x 2   0,2   0,98352539  0,2   2,957071875  3,2  3,988119453 x3   0,25   0,98352539  0,25   3,988119453  1,75  2,992911211 Từ ta có bảng kết sau: k x1( k ) x2( k ) x3( k ) - 0,125 - 3,2 - 1,75 - 0,74375 - 3,69875 - 2,6385 - 0,91715625 - 3,91113125 - 2,957071875 - 0,98352539 - 3,988119453 - 2,992911211 Xem X(3) nghiệm gần phải tìm, ta đánh giá sai số X(3) theo công thức (2.3.16)  3        1   3       n a   max i ij  max 0,25; 0,25;   0,25 j i i 1   aij j i Còn  3        max xi3   xi2  SV: Nguyễn Thị Ngân i   0,076988203 53 K35D – SP Toán Khóa luận tốt nghiệp Vậy  3    *   GVHD: TS Nguyễn Văn Hùng 0,25 0,076988203  0,025662734  0,25 Bài 11: Tìm nghiệm gần phương trình y   x  y với y (0) = phương pháp lặp đơn (đến xấp xỉ thứ hai) Giải: Áp dụng công thức (2.4.4) với y0 = Xấp xỉ thứ nhất: x x2  s2  y1  x     s  y s ds    s  1ds     1   x 0 2 0 x x Xấp xỉ thứ hai:   s2   y  x     f s, y1 s ds    s  y s ds     s  1   s   ds 0      x x x x s4 s 2s s     3s 2     s    s  s  s  s  ds    s    20 40    x 3x x5 2x3 x  1 x   20 Bài 12: Sử dụng phương pháp lặp đơn giải gần toán sau:  y  x  y   y 0  Giải: Ta có: y  1, x2 y1    s  1ds   x  , x s2  x3  y     s   s  ds   x  x  , 2 0 x SV: Nguyễn Thị Ngân 54 K35D – SP Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: TS Nguyễn Văn Hùng x s3  x3 x4  y     s   s  s  ds   x  x   , 6 24 0 s3 s4  x3 x4 x5  2 y     s   s  s   ds   x  x    , 24  12 120 0 x x s3 s4 s5  x3 x x5 x6  y5     s   s  s      , ds   x  x   12 120  12 60 720 0 Tiếp tục trình ta công thức tổng quát sau: n  x x3   1 x n y n  x    x  2    n!  2! 3!   1n 1 x n 1   (n  1)!  Đặt G  0  x  a; y  b a, b số dương Do y0 = y(0) = nên dễ thấy b  để xác định ta lấy a  Với (x, y)  G ta có: f  x, y   x  y  x  y  a  b  M ,  b h   a,  M b  b   (vì a  1)    a,    ab a b Với b lớn ta có h lớn (h  b  ) Chẳng hạn lấy b = 2, a = 1, h  L  max có số Lipschitz: f 1 y  2 Áp dụng công thức (2.4.5) cho x  0,  :  3 x n 1 x n 1 n 1 n 1  n  x   L M     n x   n n  1! n  1! n  1! 3n 1 n  1! n Cụ thể với n = ta có:  n  x   SV: Nguyễn Thị Ngân 25  3.10 3 5!.3 55 K35D – SP Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: TS Nguyễn Văn Hùng Với hệ phương trình ban đầu, thấy nghiệm là: y(x) = 2e-x + x – Ta có:   n y  x    x  2e  x  1  x    x  2  x   1  x ,  n!  n n 1  x x x x  n x n 1 y  x    x  21       1   1   1  x  n  1! n!  1! 2! 3!  Từ đó, sai số thực tế là: x    1 x n  1! n 1  n x   yx   y n Vậy:  n  x   n 1   1n  x n   1n 3 x n    2    n  3!  n  !  x n 1 25  10 3 Với n = 4:  n  x   n  1! 5!.3 SV: Nguyễn Thị Ngân 56 K35D – SP Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: TS Nguyễn Văn Hùng CÁC BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài 1: Giải phương trình sau: x3 – 9x2 + 18x – = dùng phương pháp chia đôi, (n = 10) Bài 2: Giải phương trình sau phương pháp lặp đơn với n = 6: a) x  x  x   b) x  1  e x Bài 3: Giải gần phương trình sau phương pháp dây cung phương pháp Newton với n = 6: a) x  3x   b) 3x  2e x  Bài 4: Giải hệ phương trình sau phương pháp lặp đơn: x  y  a)  5 y  xy  sin x  y  b)   x  cos y  0,82 Bài : Giải hệ phương trình 24,21x1  2,42 x  3,85 x  30,24  2,31x1  31,49 x  1,52 x3  40,95 3,49 x  4,85 x  28,72 x  42,81  phương pháp lặp đơn, tính   k     k 1 1  10 4 Bài 6: Giải hệ phương trình sau phương pháp lặp đơn cho   k     k 1 1   số cho trước  1,02  0,25  0,30 a     0,41 1,13  0,15 ;    0,25  0,14 1,21  SV: Nguyễn Thị Ngân  0,515   1,555  ;   2,780 57   10 3 K35D – SP Toán Khóa luận tốt nghiệp 10,9 1,2  1,2 11,2 b     2,1 1,5   0,9 2,5 2,1 0,9  1,5 2,5  ; 9,8 1,3   1,3 12,1 GVHD: TS Nguyễn Văn Hùng  7,0  5,3  ;   10,3     24,6    10 3 Bài 7: Giải hệ phương trình tập phương pháp lặp Seidel Bài 8: Xác định nghiệm gần thứ ba toán sau phương pháp lặp đơn: a) y’ = x2 – y2 với y (0) = b) y’ = 2x – + y2 với y (0) = SV: Nguyễn Thị Ngân 58 K35D – SP Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: TS Nguyễn Văn Hùng KẾT LUẬN Trong khóa luận em trình bày số phương pháp lặp giải gần phương trình, hệ phương trình vận dụng phương pháp vào giải bải toán cụ thể Em giải mẫu số ví dụ tìm nghiệm gần phương trình, hệ phương trình phương pháp lặp nêu khóa luận để từ bạn đọc vận dụng vào giải tập tương tự cách dễ dàng Mặc dù cố gắng thời gian có hạn bước đầu làm quen với nghiên cứu khoa học nên khóa luận em không tránh khỏi thiếu sót Rất mong nhận đóng góp ý kiến quý thầy cô bạn sinh viên để khóa luận em hoàn chỉnh Em xin chân thành cảm ơn! SV: Nguyễn Thị Ngân 59 K35D – SP Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: TS Nguyễn Văn Hùng TÀI LIỆU THAM KHẢO Phạm Kỳ Anh (1996), Giải tích số, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội Trần Anh Bảo, Nguyễn Văn Khải (2007), Giải tích số, Nhà xuất Đại học sư phạm Nguyễn Minh Chương, Khuất Văn Ninh, (2009), Giải tích số, Nhà xuất Giáo dục Tạ Văn Đĩnh (1997), Phương pháp tính, Nhà xuất Giáo dục Nguyễn Văn Long, Hoàng Văn Thông, Lương Thái Lê (2007), Giải tích số, Nhà xuất Giao thông vận tải Lê Trọng Vinh, Giáo trình giải tích số, Nhà xuất Khoa học kỹ thuật Dương Thùy Vỹ (2002), Giáo trình phương pháp tính, Nhà xuất Khoa học kỹ thuật SV: Nguyễn Thị Ngân 60 K35D – SP Toán [...]... Hùng CHƯƠNG 2: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP LẶP GIẢI GẦN ĐÚNG CÁC PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH 2.1 Một số phương pháp lặp trong giải phương trình phi tuyến 2.1.1 Phương pháp chia đôi: a Nội dung phương pháp: Giả sử phương trình f (x)=0 (2.1.1) có nghiệm x* duy nhất trên đoạn [a, b] và f (a) f (b) < 0 Bây giờ lấy c  ab và tính f (c), nếu f (c) = 0 2 thì ta có ngay x* là nghiệm đúng của phương trình (2.1.1) Nếu... mọi bước 2.2 Một số phương pháp lặp trong giải hệ phương trình phi tuyến: Để cách trình bày được đơn giản ta chỉ xét hệ gồm hai phương trình, hai ẩn số:  f  x, y   0   g  x, y   0 (2.2.1) Phương pháp và kết quả có thể suy rộng cho hệ gồm n phương trình, n ẩn 2.2.1 Phương pháp Newton: Bằng cách nào đó (chẳng hạn phương pháp đồ thị) ta biết một cặp nghiệm xấp xỉ là M0 (x0, y0) của hệ (2.2.1) nhưng... sửa dần nghiệm, được các xấp xỉ mới gần với nghiệm hơn iii) Đánh giá sai số của nghiệm gần đúng tìm được với nghiệm đúng của phương trình 1.4 Một số khái niệm cơ bản của giải tích hàm 1.4.1 Không gian Metric Ta kí hiệu R là tập các số thực, Q là tập các số hữu tỉ, Z là tập các số nguyên, N là tập các số tự nhiên Định nghĩa 1.1: Xét một tập hợp X cùng ánh xạ d: X  X  R thỏa mãn các điều kiện: a) d... TS Nguyễn Văn Hùng đúng mà chỉ có gần đúng Hơn thế nữa trong toán học tính toán ta phải làm việc với số, trong dạng số thập phân Nên dù tìm được nghiệm đúng trong dạng số thập phân vô hạn ta phải quy tròn số và như vậy cũng là nghiệm gần đúng Để đạt được mục đích trên thì quá trình tìm nghiệm gần đúng thực của phương trình ta phải tiến hành theo các bước sau: i) Chọn nghiệm gần đúng đầu tiên x0 mà... mãn thì nghiệm gần đúng X(k) tính theo công thức (2.3.7) và nghiệm đúng X* của hệ (2.3.6) thỏa mãn bất đẳng thức sau:  k     p  q  k    k 1 1 q p (2.3.9) Hoặc  k     p qk   1   0  1 q  p (p = , 1, 2) (2.3.10) (2.3.9) và (2.3.10) là các công thức đánh giá sai số của nghiệm gần đúng X(k) và X* Ví dụ 7: Hãy dùng phương pháp lặp để giải hệ phương trình: 4 x1  0,24... (2.1.3) thì ta nói rằng đã giải gần đúng phương trình (2.1.1) nhờ phương pháp lặp đơn b Định lý hội tụ: Định lý 2.1: Giả sử rằng hàm số y =  (x) thỏa mãn các điều kiện: 1   x    x '   L x  x ' , với mọi x và x' thuộc đoạn [ - r,  + r] và với hằng số L < 1, 2  x     1  L r , thì dãy {xn} xây dựng bởi hệ thức (2.1.4) hội tụ đến nghiệm x* của phương trình (2.1.1) và ta có ước lượng: x... 10, a33 = 5 trội – ta giữ nguyên, cần biến đổi phương trình (1) và (3) Muốn vậy lấy phương trình (1) trừ đi phương trình (2), được: x1  5 x2  x3  0 x4 1 Như vậy trong hệ đã có hệ số của x1, x3, và x2 trội, còn phương trình (3) phải biến đổi để có hệ số của x4 trội Ta biến đổi: 2(1) – (2) + 2(3) – (4) ta được: 3x1  0 x2  0 x3  9 x4  10 Vậy ta được hệ có đường chéo trội 10 x1  x  1   x1 ... số tuyến tính 2.3.1 Chuẩn vectơ và sự hội tụ của dãy vectơ Mục đích của phương pháp tìm nghiệm gần đúng của hệ đại số tuyến tính là: xuất phát từ vectơ X(0) gọi là xấp xỉ đầu, tìm cách hiệu chỉnh dần sau một số bước ta thu được vectơ {X(k)} mà vecto X(k) gần với nghiệm đúng của hệ Vì vậy cần thiết phải đưa vào khái niệm về sự hội tụ của dãy vectơ Khái niệm đơn giản và dễ hình dung là sự hội tụ theo... xét: Phương trình lặp đơn (2.1.4) có tính chất tự điều chỉnh, nghĩa là nếu tại một vài bước tính toán trung gian ta mắc phải sai số thì dãy {xn} vẫn hội tụ đến x*; tất nhiên chỉ là một vài bước và sai số mắc phải sao cho xk không vượt ra ngoài [ - r,  + r] Ví dụ 2: Tìm nghiệm dương lớn nhất của phương trình: x3 + x - 1000 = 0 Giải: Đặt f (x) = x3 + x - 1000 thì ta thấy f (9).f (10) < 0, vậy phương trình. .. thể lấy nghiệm gần đúng là: c  Sai số mắc phải khi đó là: an  bn 2 1 (b  a ) 2 n 1 Nhận xét: Phương pháp chia đôi có ưu điểm là đơn giản, dễ lập trình trên máy tính tuy nhiên tốc độ hội tụ chậm Ví dụ 1: Tìm nghiệm gần đúng của phương trình sau nhờ phương pháp chia đôi trên đoạn [1, 2]: x3 - x - 1 = 0 Giải: Gọi f(x) = x3 - x - 1 thì f (1) = - 1; f (2) = 5, áp dụng liên tiếp phương pháp chia đôi ta ... PHƯƠNG PHÁP LẶP GIẢI GẦN ĐÚNG CÁC PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH 11 2.1 Một số phương pháp lặp giải phương trình phi tuyến: 11 2.1.1 Phương pháp chia đôi: 11 2.1.2 Phương pháp lặp đơn:... tuyến, hệ phương trình phi tuyến, hệ đại số tuyến tính, phương trình vi phân thường,… tìm nghiệm phương trình hệ phương trình vừa nêu Vì em chọn đề tài cho khóa luận Một số phương pháp lặp giải gần. .. 2.1.3 Phương pháp dây cung: 14 2.1.4 Phương pháp Newton: 16 2.2 Một số phương pháp lặp giải hệ phương trình phi tuyến: 18 2.2.1 Phương pháp Newton: 18 2.2.2 Phương pháp lặp: