Khoá luận tốt nghiệp Lời cảm ơn Em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới thầy giáo, cô giáo khoa Toán tạo hội cho em làm khoá luận Đặc biệt, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy Đinh Văn Thuỷ, người trực tiếp hướng dẫn tận tình, nghiêm khắc giúp đỡ em hoàn thành khoá luận Mặc dù có nhiều cố gắng thời gian làm khóa luận hạn chế nên không tránh khỏi thiếu sót, em mong giúp đỡ quí thày cô bạn đọc để khoá luận hoàn thiện Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày 05 tháng 05 năm 2010 Tác giả Phùng Thị Ngọc K32E Toán Khoá luận tốt nghiệp Lời cam đoan Em xin cam đoan kết nghiên cứu đề tài đích thực em Đề tài nghiên cứu em không trùng với kết nghiên cứu tác giả khác Nếu có không trung thực, em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm Hà Nội, ngày 05 tháng 05 năm 2010 Tác giả Phùng Thị Ngọc K32E Toán Khoá luận tốt nghiệp Mục lục Trang Lời nói đầu ………………………………………………………………… A Mở đầu…………………………………………………………………….3 Lý chọn đề tài……………………………………………………3 Nhiệm vụ nghiên cứu…………………………………………… 3 Phương pháp nghiên cứu……………………………………… … B Nội dung………………………………………………………………… Chương Cơ sở lý thuyết……………………………………… Sơ lược số phức………………………………………………………4 1.1 Định nghĩa số phức……………………………………………… 1.2 Dạng đại số số phức………………………………………… 1.3 Dạng lượng giác số phức……………………………………6 1.4 Đường thẳng mặt phẳng phức…………………………… 1.5 ánh xạ afin, biến đổi afin………………………………… …….11 Phép biến đổi đồng dạng mặt phẳng phức………………………13 2.1 Phép vị tự………………………………………………………13 2.2 Phép đồng dạng………………………………………………… 16 Chương ứng dụng phép đồng dạng vào giải toán công cụ số phức……………………………………… ……………………………… 26 Những toán áp dụng……………………………………….… …….26 Bài tập luyện tập………………………………………………… …….41 Hướng dẫn giải tập luyện tập……………………………… …… 42 Tài liệu tham khảo………………………………………………………….48 Kết luận…………………………………………………………… …… 49 Phùng Thị Ngọc K32E Toán Khoá luận tốt nghiệp Lời nói đầu Số phức, từ đời, thúc đẩy toán học tiến lên giải số vấn đề khoa học kỹ thuật Chẳng hạn, ứng dụng số phức thể đại số phương trình bậc hai có nghiệm, hình học, số phức có ứng dụng quan trọng Nó tỏ hữu ích lớp toán phép biến hình mặt phẳng Trong khuôn khổ khoá luận em xin giới thiệu việc áp dụng số phức nghiên cứu biến đổi đồng dạng áp dụng để giải số toán hình học Nội dung luận văn bao gồm hai chương: Chương Cơ sở lý thuyết Chương gồm hai phần nhằm trang bị kiến thức số phức phép đồng dạng mặt phẳng phức để áp dụng giải toán Sơ lược số phức Phần trình bày lý thuyết số phức mối liên hệ lý thuyết số phức hình học Phép biến đổi đồng dạng mặt phẳng phức Phần giới thiệu phép vị tự, phép biến đổi đồng dạng gồm định nghĩa, tính chất kiến thức liên quan, phần kiến thức trọng tâm để áp dụng cho toán chương Chương ứng dụng phép đồng dạng vào giải toán công cụ số phức Chương đưa toán áp dụng số phức phép biến đổi đồng dạng gồm nhận xét nêu hữu ích sử dụng số phức, sau tập luyện tập có hướng dẫn lời giải Phùng Thị Ngọc K32E Toán Khoá luận tốt nghiệp Luận văn hoàn thành nhờ động viên, hướng dẫn, bảo tận tình thầy giáo Đinh Văn Thuỷ đóng góp quý báu thầy cô giáo tổ Hình học Qua đây, em gửi lời cảm ơn chân thành tới thầy cô giáo tổ Hình học,đặc biệt thầy Đinh Văn Thuỷ giúp em hoàn thành tốt luận văn tốt nghiệp Phùng Thị Ngọc K32E Toán Khoá luận tốt nghiệp A Mở ĐầU Lý chọn đề tài Trong việc giải toán, sử dụng nhiều phương pháp khác giúp cho việc hiểu toán cách thấu đáo cặn kẽ Sử dụng số phức để giải toán hình học phẳng phương pháp tỏ hữu ích Sử dụng số phức nghiên cứu phép biến hình mặt phẳng phương pháp cần thiết, giúp học sinh diễn đạt toán theo nhiều hướng khác nhau, thoát li ảnh hưởng lợi trực giác.Trong khuôn khổ khoá luận em tiếp cận sâu lý thuyết toán phép đồng dạng mặt phẳng dùng công cụ số phức Đó lý mà em chọn đề tài: “Số pHức phép biến đổi đồng dạng” Nhiệm vụ nghiên cứu Hệ thống kiến thức số phức Nghiên cứu kiến thức biến đổi đồng dạng công cụ số phức Đưa toán áp dụng Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu sách giáo khoa, sách tham khảo tài liệu khác có liên quan Suy luận để áp dụng cộng cụ số phức biến đổi đồng dạng Đưa tâp giải Phùng Thị Ngọc K32E Toán Khoá luận tốt nghiệp b nội dung Chương sở lý thuyết sơ lược số phức 1.1 Định nghĩa số phức a) Định nghĩa Tập hợp số phức, kí hiệu  tập hợp  cặp (có thứ tự) số thực với phép toán cộng nhân xác định bởi:  x, y    ,     x   , y    ,  x, y . ,     x.  y. , x.  y.  Vậy số phức z thuộc  cặp số thực  x, y  ; viết z   x, y  x phần thực z , kí hiệu Re z ; y phần ảo z , kí hiệu Im z ; Số phức mà phần ảo số thực, số phức mà phần ảo số ảo 0=(0,0): Phần tử không 1=(1,0): Đơn vị i =(0,1): Đơn vị ảo Phép cộng phép nhân số phức dạng  x,0  ; x   giống phép cộng phép nhân số thực x :  x,0    x' ,0    x  x ' ,0   x,0 . x' ,0    x.x' ,0  Từ đồng tập hợp  số thực x với tập hợp  gồm phần tử  x,0  ; viết x   x,0  Phùng Thị Ngọc K32E Toán Khoá luận tốt nghiệp b) Tính chất phép cộng, nhân số phức - Với z1 , z2 , z3  : z1  z2  z2  z1 ( giao hoán )  z1  z2   z3  z1   z2  z3  ( kết hợp )  z1      z1   z1 Cho z1 thuộc  , có  z1 thuộc  cho z1    z1   suy z2  z1  z2    z1  -Với z1 , z2 , z3 , z4  : z1.z2  z2 z1 (giao hoán )  z1.z2  z3  z1  z2 z3  (kết hợp ) 1.z1  z1.1  z1 (tức phần tử đơn vị phép nhân ) - Tính chất phân phối phép cộng phép nhân Với z1 , z2 , z3   z1  z2 .z3  z1.z3  z2 z3 , z1. z2  z3   z1.z2  z1.z3 z.z z - Với z  ; n  * : z n   n c) Số phức liên hợp Cho số phức z  x  iy,  x, y    z  x  iy gọi số phức liên hợp z Ta có : z  z  2Re z z  z  2i Im z Vậy z số thực z  z số ảo Khi z   z * Với z, w  : Phùng Thị Ngọc K32E Toán Khoá luận tốt nghiệp zz zw zw z.w  z.w 1.2 Dạng đại số số phức Kí hiệu số phức  0,1  i , gọi đơn vị ảo, với y  ta có: yi   y,0  0,1   0, y  iy   0,1 y,0    0, y  z   x, y    x,0    0, y   x  iy  x  yi Vậy số phức z viết dạng z   x, y  ( x, y   ), gọi dạng đại số số phức z 1.3 Dạng lượng giác số phức a) Biểu diễn hình học số phức Lấy hệ tọa độ đề vuông góc Oxy mặt phẳng, kí hiệu E điểm M E xác định tọa độ  x, y  hệ tọa độ Ngược lại, với cặp số thực ( x, y) tương ứng với điểm M E Ta đồng M ( x, y) với số phức z  x  iy gọi z tọa vị điểm M hệ tọa độ Viết M ( z) gọi E (với hệ toa độ Oxy ) mặt phẳng phức, đồng M với tọa vị nó, tức đồng E với   Điểm thuộc Ox có tọa vị thực, Ox gọi trục thực  Điểm thuộc Oy có tọa vị thuàn ảo, Oy gọi trục ảo  Điểm E(1) thuộc Ox , gọi điểm đơn vị   Mỗi điểm M E xác định vectơ OM gọi bán kính vectơ M  Nói M có tọa vị z nói OM có tọa vị z  viết OM ( z ) Phùng Thị Ngọc K32E Toán Khoá luận tốt nghiệp     Với OM ( z ), OP(w) OM  OP  z  w  ;  kOM  kz  , k   y Ta có: kz   k  0i . x  iy   kx  kyi M' P Hai phép toán có ý nghĩa hình học sau: Trong mặt phẳng phức E:  - Cho u ( w) ánh xạ f : E  E M ( z)  f (M )( z  w)  phép tịnh tiến Tu theo vectơ u ( w) M(z) O E(1) x - Cho k   , k  ánh xạ g : E  E M ( z)  g (M )(kz) phép vị tự tâm O , hệ số vị tự k kí hiệu V  O, k  - Cho k  1 , g : M ( z)  M ' (z) , phép đối xứng tâm O , kí hiệu: ĐO b) Dạng lượng giác số phức Cho số phức z  , gọi điểm M có tọa vị z mặt phẳng phức Điểm M hoàn toàn xác định + Độ dài đoạn thẳng OM tức z +  Ox, OM  : góc định hướng tạo tia Ox (tia đầu), tia Oy (tia cuối) y Số đo  (đo rađian) góc  Ox, OM  xác định sai khác k 2 , k Z; M  :argumen z , kí hiệu arg z Vậy số phức z  hoàn toàn xác định z arg z(k 2 , k Z) Viết z  x  iy O Phùng Thị Ngọc 10 x K32E Toán Khoá luận tốt nghiệp 1 1 3 3  Tọavị A''    i     i      2 2 Ta có : J trung điểm AA'' nên tọa vị J : 1 1 3 3  i     i      4 4 Điểm O có quay B quanh A góc quay  vị tự với tỉ số   3  O có tọa vị   i          Xét phép đồng dạng Z1  Z  O1 , ,    1 3 1 3 Z1 : z    i z  i     4  4 Ta có : Z1 (C )  J Z1 (O)  O Do : O1 trùng với O Theo tính chất phép đồng dạng, ta có: OC  2OJ    ''  OC , OA    Suy  OCJ vuông J góc COJ  (1)   Tương tự, xét phép dồng dạng Z  Z  O, ,    3 Z (O)  O Z ( A'' )  I Phùng Thị Ngọc 40 K32E Toán Khoá luận tốt nghiệp Suy OIA'' vuông I góc IOA''  (2) Từ (1) (2) suy tam giác OCJ tam giác OA'' I đồng dạng Vậy ta có điều phải chứng minh * Nhận xét: Bằng cách sử dụng số phức ta rõ ràng O tâm phép đồng dạng mà cách hình học ta chưa thể nhận Bài toán Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) Gọi H trực tâm tam giác, AH , BH , CH cắt đương tròn (O) A' , B' , C ' ; điểm P, Q điểm đối xứng A thứ tự qua OB, OC ; điểm I , J điểm đối xứng A thứ tự qua OP, OQ ;các điểm M , N điểm đối xứng I , J qua OA ; E , F điểm đối xứng M , N qua tiếp tuyến cua (O) theo thứ tự B, C Chứng minh tồn phép đồng dạng biến B ' thành E , biến C ' thành F Lời giải : Trong mặt phẳng phức, coi (O) đường tròn đơn vị, A, B, C có tọa vị theo thứ tự  ,  ,  Ta có H có tọa vị      E I A F B' M O N Q Phùng Thị Ngọc B 41 CK32E Toán Khoá luận tốt nghiệp Phương trình đường thẳng BC z   z     Ta có : A' đối xứng với H qua đường thẳng BC , nên có tọa vị a'   ; Tương tự, B ' có tọa vị b'   ; C ' có tọa vị c'   Đường thẳng OB có phương trình z   z , điểm P có tọa vị  2 Tương tự, tọa vị Q q    Phương trình đường thẳng OP z    z Do đó, điểm I có tọa vị  4 Tương tự, tọa vị J   4 Phương trình đường thẳng OA z   z Do đó, M có tọa vị   , N có tọa vị   Phương trình tiếp tuyến B ' z  b'2 z  2b' nên tọa vị E e    4b'2  2b' hay e    2  2b' ; Tương tự, tọa vị F h      2c ' Do đó, phép biến đổi đồng dạng Z : z  z    2 biến B ' điểm thành E ,biến C ' thành F (đpcm) * Nhận xét: Phùng Thị Ngọc 42 K32E Toán Khoá luận tốt nghiệp Đối với toán trên, việc sử dụng số phức để giải toán cần thiết hình vẽ phức tạp, giải toán cách hình học khó Bài toán phải lập nhiều phương trình đường thẳng qua hai điểm đường tròn đơn vị mà ta biết toán trước, sở để ta sử dụng phép đối xứng trục Bài toán Cho tam giác ABC Dựng bên tam giác ABC tam giác đồng dạng ABI , ACJ BCK Chứng minh tam giác IJK tam giác ABC có trọng tâm Lời giải: Trước hết xét hai tam giác đồng dạng hướng ABC A' B'C ' A A' B C C' B' Gọi a, b, c, a' , b' , c' tọa vị A, B, C, A' , B' , C '   Ta có A ảnh C qua phép đồng dạng Z  B, ,  BC BA  a  b  k (cos  i sin  )(c  b) Ta có :  (1) Tương tự, ta có : a'  b'  k (cos  i sin  )(c'  b' ) (2) (do tam giác ABC đồng dạng hướng) a  b a '  b'  Từ (1) (2) ta có : c  b c '  b' (3) J A Phùng Thị Ngọc I 43 B K32E Toán Khoá luận tốt nghiệp áp dụng vào toán ta có : Gọi a, b, c, ,  ,  tọa vị A, B, C , I , J , K mặt phẳng phức, chiều tam giác ABC chiều thuận Khi áp dụng (3) ta có : a  b   c      p ; p số phức b  c   a   Từ ta có :  a  pb b  pc c  pa ;  ;  1 p 1 p 1 p Ta có : 1  a  pb  b  pc  c  pa           3 1 p  Hay 1         a  b  c  3 Điều chứng tỏ trọng tâm tam giác ABC trùng với trọng tâm tam giác IJK *Nhận xét: Nếu dựng tam giác ABI , ACJ , BCK phía tam giác ABC kết đúng, lưu ý tam giác phải hướng Trong toán trên, để chứng minh hai tam giác có trọng tâm, cách sử dụng số phức ta cần chứng minh tọa vị hai trọng tâm trùng nhau, Phùng Thị Ngọc 44 K32E Toán Khoá luận tốt nghiệp với giả thiết tam giác đồng dạng ta sử dụng hệ thức (3) để giải toán Bài tập luyện tập Bài tập Cho hình thang ABCD có AB song song với CD, AD=a, DC=b, hai đỉnh A, B cố định Gọi I giao hai đường chéo a) Tìm tập hợp điểm thay đổi b) Tìm tập hợp điểm thayđổi câu a) Bài tập Cho tam giác ABC Với điểm P mặt phẳng, gọi P, Q, R điểm đối xứng P theo thứ tự qua BC , CA, AB ; gọi G trọng tâm hệ điểm PQR a) Tìm điều kiện để G cố định b) Tìm quỹ tích điểm G P di động đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Bài tập Cho tam giác ABC Dựng vào phía tam giác tam giác đòng dạng ABK , BCL, CAM Chứng minh tam giác KML ABC có trọng tâm Bài tập Cho đường thẳng a b cắt điểm C Tìm a,b điểm A, B tương ứng cho tam giác ABC vuông cân A Bài tập Cho tứ giác lồi ABCD Dựng vào phía tứ giác hai hình vuông ABMN CDKL Chứng minh trung điểm đường chéo tứ giác ABCD MNKL đỉnh hình vuông trùng Bài tập Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) Từ điểm K đường tròn dựng đường thẳng song song với BC , CA, AB , chúng cắt đường tròn thứ tự A1 , B1 , C1 Gọi A2 , B2 , C2 điểm đối xứng với A, B, C qua đường thẳng B1C1 , C1 A1 , A1B1 Chứng minh: Phùng Thị Ngọc 45 K32E Toán Khoá luận tốt nghiệp a) Tam giác ABC tam giác A2 B2C2 b) Các trung điểm đoạn AA2 , BB2 , CC2 nằm đường thẳng Gọi O1 tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác A2 B2C2 trung điểm OO1 thuộc đường thẳng Bài tập Cho hai hình chữ nhật có tỉ số chiều dài chiều rộng Chứng minh rằng: có phép đồng dạng bién hình thành hình Bài tập Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) Quay tứ giác quanh (O) góc  với 0o    360o thành tứ giác A1B1C1D1 Chứng minh giao điểm cặp đường thẳng AB A1 B1 , BC B1C1 , CD C1 D1 bốn đỉnh hình bình hành Hướng dẫn giải tập luyện tập Bài tập 1.Trong mặt phẳng phức, chọn hệ tọa độ Oxy cho A  O , B điểm đơn vị có tọa vị a) Lấy điểm E có tọa vị b  0; b   Khi AE có tọa vị b Gọi D có tọa vị b   AD  x  iy  x  y  a x  y a 2 (1) Xét phép tịnh tiến:  : z  z b f  T AE D( x  iy)  f (D)( x  b  iy)   Vì Df ( D) có tọa vị b nên Df ( D)  b Do f ( D) thuộc đường thẳng DC (vì AB  CD ) Vậy f ( D) C Phùng Thị Ngọc 46 K32E Toán Khoá luận tốt nghiệp  Ta có : EC có tọa vị  x  b   iy  b   ( x  iy)   EC  a (theo (1)) Vậy D chạy đường tròn tâm A có toạ vị O , bán kính a C chạy đường tròn tâm E có tọa vị b , bán kính a        b) Ta có : AI , AB  CI , CD  I có tọa vị   x  b  iy  ; C có tọa vị x  b  iy b 1 Xét phép vị tự : V1  V A, b 1 :z  z b 1 V1 ( A)  A V1 (C )  I Gọi F ảnh E qua V1  Tọa vị F b 1 b  y  b y   xb  x i  i  JF có tọa vị     1 b 1 b  1 b 1 b 1 b  2  a  x   y  x2  y  Suy : IF       1 b 1 b  1 b  1 b Vậy tập hợp điểm I đường tròn tâm F có tọa vị Ox ) bán kính b (thuộc trục 1 b a 1 b Bài tập Coi đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC đường tròn đơnn vị mặt phẳng phức Gọi A, B, C có tọa vị theo thứ tự  ,  ,  P có tọa vị w Viết phương trình đường thẳng BC : z   z     , suy tọa vị P0 w0    w     Phùng Thị Ngọc 47 K32E Toán Khoá luận tốt nghiệp Tương tự, tính tọa vị P1 , P2 Từ tính tọa vị G   2   ,        ,        ,    a) Điểm G cố định    mà   1 nên G cố định 3           ABC đều.( G  O : gốc tọa độ) 3 b) Khi   , biến đổi w    w   biến đổi đồng dạng loại hai f , hệ số đồng dạng 1 1 2   OG1 , G1 trọng tâm tam giác ABC 3 3 Vậy với P chuyển động hình H chuyển động hình f ( H) Khi   tức tam giác ABC đều, suy f ánh xạ hằng, suy điểm mặt phẳng O Khi P chuyển động đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC không G chuyển động đường tròn có tâm điểm có tọa vị  tức O1 mà   OO1  2OG1 , bán kính   OG (Đường tròn đường kính HG , H trực tâm tam giác ABC ) Bài tập Cách làm tương tự tập Bài tập Gọi phương trình đường thẳng a đường thẳng b mặt phẳng phức là: z  1 z  1 , 1  1, 11  1  0; z  2 z   , 2  1, 2        Gọi tọa vị điểm C c Xét phép đồng dạng Z  Z  C , ,   2 1  1  Z : z    iz   i 2  2  Gọi A, B thuộc a, b có tọa vị  ,  Suy Z ( B)  A Phùng Thị Ngọc 48 K32E Toán Khoá luận tốt nghiệp Khi ta có:    1  1     2         i      i   2  2  Từ tìm  ,  , xác định điểm A, B Bài tâp Gọi a, b, c, d , m, n, l , k tọa vị A, B, C , D, M , N , L, K  mặt phẳng phức Sử dụng phép quay tâm O góc quay Suy tọa vị điểm N n  i  b  a   a  ib  (1  i )a , Tương tự ta có tọa vị điểm M m  b  i(b  a) ; tọa vị K , L tìm Gọi theo u, v, s, t thứ tự trung điểm đường chéo AC , BD, KM , LN , ta có: ac bd ;v  2 b  d  i(b  d  a  c) s  a  c  i(b  d  a  c) t u Ta có: vt   a  b  c  d  i(b  d  a  c)  u  s  b  d  a  c 1  i  vt   a  c  b  d 1  i  us Phùng Thị Ngọc 49 K32E Toán Khoá luận tốt nghiệp Biện luận a  c  b  d theo trường hợp khác không không ta có kết toán Bài tập Coi đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC đường tròn đơn vị mặt phẳng phức Gọi A, B, C có tọa vị theo thứ tự  ,  ,  w tọa vị     P Qua phép quay tâm O , góc quay OC , OA1  OP, OB C biến thành A1     nên tọa vị A1 a1    w    w a) Đường thẳng B1C1 có phương trình z  b1c1 z  b1  c1 , hay z   2 w z       w , nên tọa vị A2 a2   2 w        w 2 Suy a2   w      w   w      w 2   w   w   w     Trong :    w,   w   w,        ,       ,   Tương tự, A2 , C2 có tọa vị b2     , c2     Vậy A2 , B2 , C2 ảnh theo thứ tự A, B, C qua biến đổi mặt phẳng phức xác định z   z   ,   1,là phép đối xứng trượt b) Đường thẳng d trục đối xứng trượt đối xứng trượt biến O thành O1 nên trung điểm OO1 thuộc d Bài tập Giả sử có hai hình chữ nhật ABCD A' B'C ' D' mà BC B'C '   AB A' B ' Trong mặt phẳng phức  chọn hệ tọa độ cho A'  O; B' (1) Phùng Thị Ngọc 50 K32E Toán Khoá luận tốt nghiệp     Từ suy D '    C ' 1    2  2 i i     Giả sử D '    C ' 1   Gọi tọa vị A, B  ,  Khi đó: 2  2 i Tọa vị D   i i i      tọa vị C       2 Xét phép biến đổi f : z   z     Ta có : f ( A)  A' f ( B)  B ' f ( D)  D ' f (C )  C ' Vậy có phếp đồng dạng f biến hình chữ nhật ABCD thành hình chữ nhật A' B'C ' D' Bài tập Cách làm tương tự toán Phùng Thị Ngọc 51 K32E Toán Khoá luận tốt nghiệp Kết luận Trong khoá luận “Số phức phép biến đổi đồng dạng’’, sơ lược kiến thức số phức, đưa khái niệm đường thẳng biến đổi afin mặt phẳng phức, đặc biệt sử dụng số phức để nghiên cứu phép biến hình mặt phẳng, tiếp cận sâu phần biến đổi đồng dạng gồm định nghĩa, tính chất toán áp dụng sử dụng công cụ số phức Do thời gian hoàn thành nghiên cứu lực hạn chế nên khoá luận đạt số kết định Kính mong đóng góp thầy cô, bạn sinh viên, bạn đọc Qua nghiên cứu đề tài “Số phức phép biến đổi đồng dạng’’ em có điều kiện củng cố kiến thức số phức, phép đồng dạng có cách nhìn tổng quát toán hình học phẳng Em mong muốn có điều kiện tiếp tục nghiên cứu sâu nội dung Qua đây, em xin gửi lời cảm ơn chân thành đến thầy Đinh Văn Thuỷ tận tình hướng dẫn em hoàn thành khoá luận Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày 05 tháng 05 năm 2010 Tác giả Phùng Thị Ngọc 52 K32E Toán Khoá luận tốt nghiệp Tài liệu tham khảo 1 Đoàn Quỳnh, Số phức với hình học phẳng, NXB Giáo Dục 1997  2 Bùi Văn Bình, Bài tập hình sơ cấp, NXB Hà Nội 1993 3 Nguyễn Mộng Hy, Các phép biến hình mặt phẳng, NXB Giáo Dục 2004  4 Đỗ Thanh Sơn, Phép biến hình mặt phẳng, NXB Giáo Dục 2004 5 B.I.Acgunốp_M.B.Ban, Hình học sơ cấp, NXB Giáo Dục 1977 Phùng Thị Ngọc 53 K32E Toán Khoá luận tốt nghiệp Phùng Thị Ngọc 54 K32E Toán [...]... nghiệp Biến đổi đồng dạng là một biến đổi afin nên nó bảo toàn tính chất thẳng Do đó, phép biến đổi đồng dạng biến một đường thẳng thành một đường thẳng, biến một tia thành một tia, biến một đoạn thẳng thành một đoạn thẳng có độ dài được nhân lên với hệ số (tỉ số) đồng dạng Biến đổi đồng dạng là một biến đổi bảo giác: biến đổi đồng dạng loại một bảo tồn số đo của góc định hướng, biến đổi đồng dạng loại... Định nghĩa Biến đổi của mặt phẳng phức xác định bởi công thức z  z '   z   ,(  0) (1) hoặc z  z '   z   ,   0 (2) gọi là biến đổi đồng dạng Các biến đổi đồng dạng có hệ số đồng dạng là  * Biến đổi đồng dạng xác định bởi (1) bảo tồn hướng của mặt phẳng gọi là biến đổi đồng dạng loại một * Biến đổi đồng dạng xác định bởi (2) đảo hướng của mặt phẳng gọi là biến dổi đồng dạng loại hai... hàng thì A' , B' , C ' cũng thẳng hàng nên là f một phép biến đổi đồng dạng c) Sự xác định phép đồng dạng Định lý 1.13 (Định lý về sự xác định phép biến đổi đồng dạng ) Cho cặp điểm phân biệt A, B và cặp điểm phân biệt A' , B' thì có một và chỉ một biến đổi đồng dạng loại một f và có một và chỉ một biến đổi đồng dạng loại hai g biến A thành A' và biến B thành B ' Phùng Thị Ngọc 24 K32E Toán Khoá... Z biến hình này thành hình kia: Z (H)=H’ e) Điểm bất động và dạng chính tắc của phép biến đổi đồng dạng * Điểm bất động Định lý 1.14 Mỗi biến đổi đồng dạng khác dời hình có một và chỉ một điểm bất động Chứng minh Thật vậy, nếu biến đổi đồng dạng loại một f xác định bởi : z  z'   z   ;   1 Khi đó: điểm bất động có tọa vị z0   1 (   1 thì f là phép đồng dạng khác tịnh tiến) Gọi g là biến. .. là một phép dời hình Khi đó : f  g 1  h tức f là tích của một phép dời hình với một phép vị tự hệ số vị tự k Ngược lại, mọi tích của một phép dời hình với một phép vị tự hệ số k1 (hay tích của một phép vị tự hệ số k1 với một phép dời hình) là một biến đổi afin của  mà độ dài đoạn thẳng ảnh gấp k  k1 lần độ dài đoạn thẳng cho trước Các biến đổi như thế của  gọi là biến đổi đồng dạng hệ số k ... + VJ ,k xác định bởi : z  z '  kz, k   nên VJ ,k  Đ  và Đ  VJ ,k đều xác định bởi k z * Dạng chính tắc của biến đổi đồng dạng Định lý 1.16 (Dạng chính tắc của biến đổi đồng dạng loại một khác dời hình) Mỗi biến đổi đồng dạng khác dời hình là tích giao hoán được của một phép quay Q và một phép vị tự V với hệ số vị tự dương khác 1, cách phân tích đó là duy nhất Chứng minh * Tính duy nhất :... (Dạng chính tắc của biến đổi đồng dạng loại hai khác dời hình) Mỗi biến đổi đồng dạng loại hai khác dời hình là tích giao hoán được của một phép đối xứng trục Đ  và một phép vị tự VJ ,k , k  0, k  1 ; cách phân tích đó là duy nhất Chứng minh Thật vậy, nếu có VJ ,k  Đ  =Đ  VJ ,k thì J   Từ đó : J là điểm bất động (duy nhất) của biến đổi đồng dạng loại hai f đã cho, hệ số vị tự k là hệ số đồng. .. Z ' ' ' ' c) Tích của hai phép vị tự * Tích của biến đổi f xác định bởi z '  kz   với biến đổi g xác định bởi z '  lz   là biến đổi g  f xác định bởi : z '  klz  l    V  1 J ,k V J, và Tv   T v 1 1 k Do đó : *Tập hợp các phép tịnh tiến và vị tự trong mặt phẳng làm thành một nhóm các biến đổi của mặt phẳng (nhóm này không giao hoán) * Tập hợp các phép vị tự cùng tâm làm thành... lý 1.10 Biến đổi đồng dạng hệ số k biến đương tròn bán kính R thành đường tròn bán kính kR Chứng minh Suy trực tiếp từ định nghĩa Ngược lại, ta có định lý: Định lý 1.11 Biến đổi afin biến đường tròn thành đường tròn là biến đổi đồng dạng Chứng minh Phùng Thị Ngọc 22 K32E Toán Khoá luận tốt nghiệp Biến đổi f của mặt phẳng phức xác định bởi: z  z'   z   z   ,     Với M ( z) cách M 0 ( z0... b) Biến đổi afin * Định nghĩa ánh xạ afin là một song ánh khi và chỉ khi    , được gọi là một biến đổi afin * Tính chất - ánh xạ ngược của một biến đổi afin là một biến đổi afin - Biến đổi afin bảo toàn hướng của một tam giác thì bảo tồn hướng của mọi tam giác, điều này xảy ra khi và chi khi    - Biến đổi afin đảo hướng của một tam giác thì đảo hướng của mọi tam giác, điều này xảy ra khi và ... lên với hệ số (tỉ số) đồng dạng Biến đổi đồng dạng biến đổi bảo giác: biến đổi đồng dạng loại bảo tồn số đo góc định hướng, biến đổi đồng dạng loại hai biến góc có số đo  thành góc có số đo ... toán phép đồng dạng mặt phẳng dùng công cụ số phức Đó lý mà em chọn đề tài: Số pHức phép biến đổi đồng dạng Nhiệm vụ nghiên cứu Hệ thống kiến thức số phức Nghiên cứu kiến thức biến đổi đồng dạng. .. nghĩa Biến đổi mặt phẳng phức xác định công thức z  z '   z   ,(  0) (1) z  z '   z   ,   0 (2) gọi biến đổi đồng dạng Các biến đổi đồng dạng có hệ số đồng dạng  * Biến đổi đồng