õ tốt t ì ì P Pề P ữớ ữợ Pũ P õ tốt t r q tr t õ tổ ữủ sỹ ú ù t t t ữủ t ổ tr rữớ sữ ú ù t t tr q tr t t t t ự õ tổ ỏ ữủ sỹ q t tứ tọ ỏ t ỡ s s tợ ữớ t t ú ù t õ t ỡ ỳ ữớ ổ ở tổ tr sốt tớ t t Pũ Pũ P õ tốt t ữợ sỹ ữợ ũ ợ sỹ ố ộ ỹ t tổ t õ r q tr ự tổ õ t t t ởt số t tr t t ổ ỳ t q tr õ t q ự tổ ổ trũ ợ t q t s tổ t tr t Pũ Pũ P ử ởt ởt ởt ổ tỷ ổ s rở s rở ổ ổ s rở t P ế ss õ tốt t ỵ t tứ r t s rở õ q trồ tr ự ữỡ tr r t t ữỡ tr r õ ữỡ tr r t t õ r tữớ ổ tỗ t t rở ữỡ tr r tr tt ợ ỳ ự õ õ ss t t s rở qt ữủ ỳ ỵ tt ữỡ tr r t t ổ ố ữủ t t q ss t ữủ t s rở tổ t ế ự ữợ q ợ ự ứ õ t tữ tũ ổ t t s rở t q ss ự ự ổ s rở ự t t s rở t ss Pữỡ ự Pữỡ t tờ ủ tr ự t Pũ P õ tốt t trú õ õ ỗ ữỡ ữỡ ổ tỷ ữỡ ợ t ởt số õ tr õ t t ổ tỷ D () ữỡ ổ s rở t t ổ s rở s rở t t ổ t ữỡ s rở t ss t t t t ỳ ỡ ợ s rở ỳ s rở t s rở ss Pũ P ữỡ ởt ởt Zn+ := {x = (x1 , x2 , , xn ), xi Z+ , i = 1, 2, , n} Rn := {x = (x1 , x2 , , xn ), xi R, i = 1, 2, , n} C() t tử tr C k () t tử tợ tr C () t ổ tử tr LP () t ữủ t s tr s p |f (x)| f = p < Lploc () t ủ t ữỡ p tr t tr s ợ t t tr t t tr ởt tỡ õ = (1, 2, , n) : j Z+, j = 1, 2, n ữủ ởt số số ợ || = + + + n õ tốt t tỷ t ợ số = n tr õ j = D = D1 D2 Dn ợ Dj = i , j = 1, 2, n i = số u(x, y) = x2 + y2 + 3xy + x + y, = (1, 2) Z2+ õ = x y = x1y2 = 4x + 6y + ởt t rộ tr Rn ởt số f : C, x f (x) t tỷ f tỗ t tử ợ số Zn+ t t õ f C () õ f C () f tử ởt tử f : C õ tr t ủ {x : f (x) = 0} ữủ suppf suppf = cl{x : f (x) = 0} n xj n xj ởt ởt ổ tỡ tổổ tr trữớ P ợ P = C P = R ởt ổ tỡ tr trữớ P ữủ tr ởt tổổ t ủ s (x, y) x+y (, y) y tử r ổ tỡ tổổ ởt t ủ E X t ợ ố õ ởt số s s t > s t E tV ố ố ởt t ổ ữủ ữỡ ởt t ủ E X ổ tỡ tổổ ữủ t út x X, t = t(x) = s x tE C || < t õ E E t ữủ t ố ởt ổ tỡ tổổ ổ ỗ ữỡ õ ởt ỡ s ố ỗ t ỳ t ỗ ởt ổ ỗ ữỡ ữủ ổ F rechet õ ổ tr ợ tr s d tọ d(x + z, y + z) = d(x, y)d t ợ t t ởt ổ tỡ tổổ õ t t Heine borel t õ t t Pũ P õ tốt t ổ tỷ t t tr R DK ổ tt f C (Rn ) s suppf K K t DK = {f C () : suppf K} ỹ tổổ tr C () s C () tr t ởt ổ F rechet õ t t Heine borel DK ởt t õ C () ộ K ú t t t Kj (j = 1, 2, ) s Kj intKj+1 = j Kj ởt ỷ pN tr C () N = 1, 2, ữ s pN = max {|D f (x)| : x KN , || N } õ pN ởt tổổ ỗ ữỡ tr tr C () ợ ộ x số x f (x) tử t tổổ DK ổ t x DK õ tr C () ởt ỡ s ữỡ ổ ữủ t ủ VN = f C () : pN (f ) < N , N = 1, 2, {fi} tr C () ố t fi fj VN ợ i, j ợ õ |Dfi Dfj | < N1 tr KN || N ự tọ Dfi tử tr t t tợ g t fi(x) g0(x) g0 C () s g = D g0 fi g0 t tổổ C () õ C () ổ F rechet ụ ú ợ ộ ổ õ DK sỷ E C () t õ tỗ t MN < s pN (f ) < MN N = 1, 2, ợ f E t tự |Df | MN ú tr KN || N tử ỗ D f : f E tr KN || N Pũ P õ tốt t ỵ ascoli ỵ cantor t tr ự ởt {fi } s D fi tử tr t t ợ ộ số õ {fi } tử t tổổ C () ự tọ t t C () õ t t Heine borel ủ tt ổ DK tr t tt t t ổ tỷ ổ ỡ tr ởt ổ tỡ ợ ợ ổ ữợ tổ tữớ tr ự ợ ộ t N = max {|D (x)| : x , || N } , N = 1, 2, ởt t ổ rộ tr Rn ợ t t K ỵ K tổổ ổ F rechet DK t tt t ỗ ố W D() s DK W K ợ t t K tt ủ t ủ õ + W ợ ) W ỵ ởt tổổ ổ D() ởt ỡ s ữỡ D() ũ ởt ổ tỡ ỗ ữỡ ự sỷ V1 , V2 , V1 V2 ự t ự + W V1 V2, W t tỗ t i D() W s = i + Wi Vi , (i = 1, 2) Pũ P õ tốt t P ởt số ợ ởt s rở f D () R t f D () ữủ t q t f, = f, , D () ợ t tr t D () tr t ởt ổ t t s rở u D () t t t u, = (1)|| u, , D () số ữủ s rở s rở u ữủ u | u, | C ợ DK t | u, | C N C N +|| ứ õ t õ u D () t õ ổ tự u = + u, u D () , , số r trữớ ủ f tữớ t t t s rở trũ ợ t tổ tữớ f C () t j (f )dxj = Pũ f + f xj xj =0 P õ tốt t ỵ t õ j (f )dx1 dxn = ứ õ s r j f dx = f j dx f C () t ụ ởt s rở f D () f, = f (x) (x)dx s x x < H (x) = é H : R {0, 1} , = R + H, = + H (x) (x) dx = 1. (x) dx õ + H, = (1) H, = H (x) (x) dx = = (x) + + (x) dx = (0) = , , D (R) H = Pũ P õ tốt t f (x) = ln |x| õ f : R\ {0} R, x ln |x| õ f t ữỡ tr R õ f ởt s rở ợ + f (x) (x) dx, D (R) f, = t f t õ + f, = (1) f, = f (x) (x) dx + = ln |x| (x) dx = + ln |x| (x) dx ln |x| (x) dx lim+ ln |x| (x) dx ln |x| (x) dx t u = ln |x| , dv = ữủ (x) dx f, = lim+ ổ tự t tứ t t + (x) dx + x [ () ()] ln + = lim+ + (x) dx + x Pũ + (x) dx x (x) dx , x P õ tốt t tr õ lim [ () ()] ln = é x1 ổ t ữỡ tự x1 / L1loc (R) t ổ t s rở x1 ữợ t t õ t x1 ởt s rở tở D (R) ln |x| x1 D (R) \L1loc (R) ữ ln |x| = x1 + (x) dx + tự lim x t + + (x) dx x tữớ ữủ + (x) dx x ữủ ỵ ỵ trú srt t ởt s rở ữỡ ởt tử õ T D () , x0 tỗ t ởt Vx x0 tr tỗ t f C (Vx ) tỗ t t tỷ r s 0 T |Vx0 = f tr D (Vx ) tr õ T |V ởt tr Vx ứ ỵ s rở t t ởt ổ ọ t tr õ tử ổ ụ ự tt tở Lploc, p = 1, 2, , x0 ổ ổ s rở t ổ S(R ) ổ t t C t ủ số f tr Rn s xD f (x) tr Rn ợ ộ , Zn+ n n (R ) S(Rn ) = f C (Rn ) : x D f (x) < C, , , Z+n ổ S(Rn) ữủ tr f Pũ , = sup x D f (x) , , Z+n xRn P õ tốt t tỷ S(Rn) ữủ ổ S(Rn) ữủ ổ t t tử tr S(Rn) ữủ s rở t ổ t t s rở t ữủ S (Rn) T S (Rn) T : S(Rn) C tử fn f tr S(Rn) T (fn) T (f ) tr C ứ T (fn) T (f ) = T (fn f ) fn f tr S(Rn) (fn f ) tr S(Rn ) t t ởt t t tr S(Rn ) tử õ tử t S(Rn) ỵ t t T : S(Rn) S(Rn) t |T (f )| f , , f S(Rn ), , Zn+ t T S (Rn ) ự tr ú t ự tử t t fn tr S(Rn) t fn , |T (f )| f , n tử t T S (Rn) Pũ P ữỡ P ế p < t Lp (Rn ) = { f ữủ tr Rn : R |f (x)|p dx < } tr õ t ữủ t s tr n p f Lp |f (x)| dx = p , Rn t Lp (Rn) t ởt ổ f, g Lp (Rn) t t f g f g ữủ ữ s (f g) (x) = f (y) g (x y)dy Rn õ tốt t õ t ự ữủ t (f g) (x) tỗ t ỡ f g L1 (Rn) f g L f L g L L1 (Rn) tr t ởt số ữ ổ õ tỷ ỡ õ t t f L1 (Rn) g Lp (Rn )1 p < t t tợ t u D (Rn) D (Rn) u D (Rn) D (Rn) t 1 ( u) (x) = u (y) , (x y) , x Rn ởt tỷ C (Rn) r ỵ tt s rở t s rở ởt ổ õ ữủ ữ s u, v D (Rn) t t u v u v t t s u v, = u (y) , v (x) , (x + y) , D (Rn ) ỹ tr t t t u v D (Rn) ỡ ỳ ởt tr u v õ tr t t t tr t õ u v = v u ú ỵ u = u = u, u D (Rn) t õ tr t u , = u(y), (x) , (x + y) = u(y), (y) = u, u = u tữỡ tỹ t ụ õ u = u t tr ú ợ trữớ ủ f, g L1 (Rn) t ợ D (Rn) t t h (y) = g (x) (y + x)dx Rn Pũ P õ tốt t t h L1 (Rn) ỡ ỳ |h (y)| = |g (x) (y + x)|dx = Rn |g (t y) (t)|dt Rn sup | (t)| tsup p |g (t y)|dt = c g Rn L1 , y Rn ứ õ f (y) , g(x), (y + x) f (y)h(y)dy, = f (y) , h (y) = u, = Rn |f (y) h (y)| c g tỗ t ụ õ L1 |f (y)| t õ sỹ tỗ t f g, = f (y) , g(x), (y + x) f g f (y)g(x)(y + x)dxdy Rn ìRn = f (y) g (t y) dy) (t) dt, ( Rn Rn f (y) g (t y) dy)dt, (t) = Rn (f g) (t) = Rn f (y) g (t y) dy) Pũ P õ tốt t ss rữợ t t s rở t q ss ú t s t t ởt trỡ ởt s rở ởt trỡ f C () ởt s rở u D () f u ữủ f u ữủ ữ s f u, = u, f D () ổ õ ự tự tr ởt s rở t ró r f C () D () t C () supp K t t õ f C () supp(f ) supp K sup | (f )| u, f c ||N D (R) t x = t + x, = , x = (x) (x) (x) dx (x) = x = 0, (x) = x = x, = (0) (x) (0) = 0. (0) = 0, D (R) x. = t ởt trỡ ởt s rở ữ tr t õ t t s rở t ợ ỡ ss t r t t s rở ỹ ữỡ q t q ợ Pũ P õ tốt t m ởt ởt (n)+ n=1 tỷ R , m = 1, s suppn {x Rn : x < n} ợ n n R n (x) dx = t tợ n ởt trỹ q ởt ữ ởt t tợ t r r t ố Rm r trữớ ủ t s t t t ởt t t s c1 rữớ ủ m = t t s t ss m sup xk+1 (n )k (x) < +, k = 0, 1, xR,nN c2 Antosik, M ikusinskivSikorski : n (x) 0, x Rm , n N c3 Itano sup nN Rm xk k n(k) (x) < +, k = 0, 1, ú ỵ r S, T D (Rm) s rở trữợ ứ ỵ tt s rở t S n T n tở C (Rm) ỡ ỳ n lim n = tr D (Rm) n lim T n = T lim S n = S tr D (Rm ) n Pũ P õ tốt t ss õ r ữủ ợ ợ t S.T D (Rm ) ợ n tợ ởt ợ ợ n t t (S n) (T n) tử tr D (Rm) n 1 = x t D (R) t t n (x) = n (x) , n = 1, õ n ( n ) , x n n , x = = = n , n x , n x n tr = (0) + x (0) + x2 (x) t n ( n ) , x = (0) , n x n + (0) , (xn ) + x n , x n x n n n ởt tỷ t tự tr tỷ ố ũ ụ t tợ n ố ợ tỷ tự t t n = n (xn) õ + (0) , (xn ) x n n (x) dx, x = n = n ((x) n) = x (n n) + (xn n) tở L1 (R) t x (1 ) = (x1 ) + (x2 ) , n n = x n n Pũ P õ tốt , n x = , n x t + n + , n x n = , n x n ứ õ n + n ởt õ + , n x + 1 n (x) n (x) dx = x = ứ n D (R) , n = 1, 2, lim n 1 n n (x) dx = x R n (x)dx = 1 n ( n ) , x lim n õ 1 = (0) = , , D (R) 2 1 n ( n ) = x ợ t s rở ss t õ t t s rở ỏ tỗ t ởt số t t s rở t q tr õ s ổ tỗ t t () tr D (R) t ự trữợ ởt D (R) ợ supp [1, 1] (x)dx = (n )+ n=1 ữủ (n) (x) = n. (nx) ởt õ R ( n ) (x) = (n ) (x) = n. (nx) D (R) t ( n )2 , = n2 [ (nx)] (x) dx R tr ởt õ t 2 n2 [ (nx)] (x) dx = R Pũ [ (nx)]2 dx n2 [ (nx)] dx = n R R P õ tốt t [ (nx)]2 dx + n R R [ (nx)]2dx = n ()2 ổ tỗ t t ss tứ tr t q ss tt tợ ú t r ởt õ t qt trt t s rở ỵ tt s rở ữủ rt ỹ rt t ổ ữủ sỷ rở r ữ r ởt t q ữớ t õ t q ổ t rt Pũ P õ tốt t r t ỵ tt s rở ỏ ợ õ õ õ q trồ tr ự ữỡ tr r t t ổ q ợ t ởt số ỡ s ởt số t t ổ tỷ ữỡ t t ổ s rở ữỡ ố ũ t t t s rở t ss ữỡ õ ú tổ t t t s rở ỗ tớ t ữủ trỏ q trồ õ tr t ổ q õ tổ ữủ tr ởt t ự ồ ữủ tr tự ởt õ tố t sỹ t tớ õ õ tổ ỏ t sõt rt ữủ sỹ õ ỵ ú ù t ổ õ ữủ t ỡ t Pũ Pũ P õ tốt t Pử tr t sữ ỵ tt s rở ổ s r tr r ts sttt t s rst str trs r ts tts s trt rt t ts str tttsrrss Pũ P [...]... ỏ ồ ổ ỗ ữỡ r sốt ữỡ t ổ sỷ ởt t ổ rộ ừ tứ ởt số t q s ỵ ởt t ỗ ố ừ D() V tổổ K ừ DK trũ ợ tổổ ừ ổ DK s tứ D() ởt t ừ D() t E D() K õ số MN < s E tọ t tự MN ; (N = 0, 1, 2, 3, ) (j ) ởt tr D() t (j ) DK ợ ồ t t K lim i,j i j N = 0, (N = 0, 1, 2, ) (j ) 0 tr tổổ ừ D() t õ ởt t t K õ ự tt sj Dj ở tử tợ j ợ ồ số r D() ồ Cauchy... tử tứ D() õ Pũ P ữỡ ổ s rở D () ởt t t u : D () C u () = u, ồ ởt s rở t rt tr ợ ồ t t K õ ởt số tỹ c 0 ởt số ổ s sup |D | , D () | u, | c ||N x ợ supp K tt s rở tr t ởt ổ ồ ổ s rở tr D () ởt số ử ử số tử tr s rở õ tốt t t sỷ f ởt tử tr õ f ởt t tr ỡ ỳ f (x) (x) dx | f, | = |f (x)| | (x)| dx |f (x)| dx... g, , D () Pũ P õ tốt t P ởt số ợ ởt s rở f D () R t f D () ữủ t q t f, = f, , D () ợ t tr t D () tr t ởt ổ t t ừ s rở u D () t t t u, = (1)|| u, , D () số ữủ ồ s rở ừ s rở u ữủ u | u, | C ợ ồ DK t | u, | C N C N +|| ứ õ t õ u D () t õ ổ tự u = + u, u D () , , số r trữớ ủ f tữớ t t t s rở trũ ợ ... t s rở ỵ tt s rở ữủ rt ỹ rt t ổ ữủ sỷ ử rở r ữ r ởt t q ữớ t ồ õ t q ổ t ừ rt Pũ P õ tốt t r t ỵ tt s rở ỏ ợ õ õ õ q trồ tr ự ữỡ tr r t t ổ q ợ t ởt số ỡ s ởt số t t ừ ổ tỷ ữỡ t t ừ ổ s rở ữỡ ố ũ t t t ừ s rở t ss ữỡ õ ú tổ t t t s rở ỗ tớ t ữủ trỏ q trồ ừ õ tr t ồ ổ q õ tổ ồ ữủ tr ởt t ự ồ ồ ữủ tr ở... r s 0 0 T |Vx0 = f tr D (Vx ) 0 tr õ T |V ởt ừ tr Vx ứ ỵ s rở t t ởt ổ ọ t tr õ tử ổ ụ ự tt tở Lploc, p = 1, 2, , x0 0 ổ ổ s rở t ổ S(R ) ổ t t ừ C t ủ số f tr Rn s xD f (x) tr Rn ợ ộ , Zn+ n n 0 (R ) S(Rn ) = f C (Rn ) : x D f (x) < C, , , Z+n ổ S(Rn) ữủ tr ồ f Pũ , = sup x D f (x) , , Z+n xRn P õ tốt t tỷ ừ S(Rn) ữủ ồ... Rn t Lp (Rn) t ởt ổ f, g Lp (Rn) t t ừ f g f g ữủ ữ s (f g) (x) = f (y) g (x y)dy Rn õ tốt t õ t ự ữủ t (f g) (x) tỗ t ỡ f g L1 (Rn) f g L f L g L L1 (Rn) tr t ởt số ữ ổ õ tỷ ỡ õ t t ừ f L1 (Rn) g Lp (Rn )1 p < t t tợ t ừ u D (Rn) D (Rn) u D (Rn) D (Rn) t 1 1 1 ( u) (x) = u (y) , (x y) , x Rn ởt tỷ ừ C (Rn) r ỵ tt s rở t ừ... ứ n D (R) , n = 1, 2, lim n 1 1 n n (x) dx = x 2 R n (x)dx = 1 1 n ( n ) , x lim n õ 1 1 = (0) = , , D (R) 2 2 1 1 n ( n ) = x 2 ợ t s rở ừ ss t õ t t s rở ỏ tỗ t ởt số t t s rở t q tr õ s ổ tỗ t t () tr D (R) t ừ ự trữợ ởt D (R) ợ supp [1, 1] (x)dx = 1 2 (n )+ n=1 ữủ (n) (x) = n. (nx) ởt õ R ( n ) (x) = (n ) (x) = n. (nx) D (R) t... i )Wi + i Wi = Wi i + i W i + Wi Vi , (i = 1, 2) õ ú ợ W = (1W1) (2W2) ữủ ự sỷ 1, 2 D() t W = { D () : < 1 2 0} ợ 0 = max |(x)| t W 1 x ổ tr 2 + W õ 1 t õ tữỡ ố tr ự t số tr D() tữỡ t ợ tổổ P ở tử ợ ồ 1, 2 D() 1 + 2 + W ợ W t ố 21 W s r 1 1 1 + W ; 2 + W 2 2 õ 1 1 1 + W + 2 + W 2 2 = (1 + 2 ) + W,1 , 2 D() ở tỷ tr D() tử t ợ ổ ữợ ... n) : j Z+, j = 1, 2, n ữủ ởt số số ợ || = + + + n õ tốt t tỷ t ợ số = n tr õ j = D = D1 D2 Dn ợ Dj = i , j = 1, 2, n i = số u(x, y) = x2 + y2 + 3xy + x +... rở t rt tr ợ t t K õ ởt số tỹ c ởt số ổ s sup |D | , D () | u, | c ||N x ợ supp K tt s rở tr t ởt ổ ổ s rở tr D () ởt số số tử tr s rở õ tốt ... tổổ ỡ ỳ ỏ ổ ỗ ữỡ r sốt ữỡ t ổ sỷ ởt t ổ rộ tứ ởt số t q s ỵ ởt t ỗ ố D() V tổổ K DK trũ ợ tổổ ổ DK s tứ D() ởt t D() t E D() K õ số MN < s E tọ t