Khóa luận tốt nghiệp   LỜI CAM ĐOAN                  Tôi xin cam đoan đề tài “ MỘT SỐ KẾT QUẢ VỀ ĐA GIÁC “ là  kết  quả  mà  tôi  đã  trực tiếp tìm  tòi  nghiên  cứu.  Trong  quá  trình  nghiên  cứu tôi đã sử dụng lài liệu của một số tác giả.  Tuy nhiên, đó chỉ là cơ sở  để tôi rút ra những vấn đề cần tìm hiểu ở đề tài của mình. Đây là kết quả  của cá nhân tôi, hoàn toàn không trùng với kết quả của các tác giả khác.            Nếu sai tôi xin hoàn toàn chịu trách nhiệm.    Em xin chân thành cảm ơn!   Hà Nội, tháng 05 năm 2013 Sinh viên   Hoàng Thị Liên Hoàng Thị Liên   Lớp K35 - CN Toán Khóa luận tốt nghiệp   LỜI CẢM ƠN               Em  xin  bày  tỏ  lòng  biết  ơn  sâu sắc tới  Thầy  giáo  Bùi  Văn  Bình,  người đã hướng dẫn  em tận tình, chu đáo trong suốt quá trình em thực  hiện đề tài này.              Em  cũng  xin  chân  thành  cảm  ơn  các  thầy  cô  giáo  trong  tổ  Hình  Học,  Ban  Chủ  Nhiệm  Khoa  Toán,  Ban  Quản  lí  Trường  Đại  Học  Sư  Phạm  Hà  Nội  2 đã tạo  điều  kiện thuận  lợi cho  em trong  suốt  quá  trình   học tập tại trường bốn năm vừa qua và giúp em thực hiên khóa luận này.      Đề tài của em chủ yếu nghiên cứu tài liệu, tổng kết và thu thập tài  liệu cũng đã có những cách giải sáng tạo của cá nhân nhưng còn hạn chế   Với thời gian và năng lực còn hạn chế nhưng em hy vọng đề  tài sẽ giúp  ích nho nhỏ cho người đọc và mong mọi người đóng góp ý kiến để khóa  luận được hoàn thiện hơn. Và em hy  vọng qua đề tài này những người  yêu Toán sẽ có thái độ đúng đắn và sâu sắc hơn.    Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng 05 năm 2013 Sinh viên   Hoàng Thị Liên   Hoàng Thị Liên   Lớp K35 - CN Toán Khóa luận tốt nghiệp   MỤC LỤC   MỞ ĐẦU 1.LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI   1  2. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU   2  3. NỘI DUNG VÀ NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU.   2  4. ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU.   2  5.PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU.   2  6. GIẢ THUYẾT KHOA HỌC   2 I LÝ THUYẾT 1. Các định nghĩa.   3 2. Miền trong, điểm trong của đa giác.   4 3.Các tính chất của đa giác   4 4. Đường chéo của đa giác   6 5. Cách gọi tên đa giác.   6 6.Đường tròn ngoại tiếp   7 II MỘT SỐ KẾT QUẢ TÍNH TOÁN TRONG ĐA GIÁC III PHÂN LOẠI CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN TÍNH TOÁN TRONG ĐA GIÁC IV MỘT SỐ BÀI TOÁN 1. Tính số cạnh của một đa giác.   9 2. Tính số đo góc trong đa giác.   13 3. Bài Toán liên quan đến đường chéo của một đa giác.  . 19 4. Diện tích đa giác.   24 4.1 Hàm diện tích:   24 4.2 Diện tích đa giác đơn.   24 4.3 Diện tích của các hình phẳng.  . 24 Hoàng Thị Liên   Lớp K35 - CN Toán Khóa luận tốt nghiệp   a. Hình đơn giản:   24 b. Hình khả diện.   24 c. Các tính chất của diện tích đa giác.   24 4.4 Các công thức tính diện tích   25 5. Các khoảng cách trong đa giác  . 31 6.Ứng dụng của định lí Ptoleme vào giải bài toán đa giác   35 6.1 Nội dung và lí thuyết.   35 6.2 Áp dụng   36 6.2.1 Bất đẳng thức Ptoleme và những kết quả kinh điển   36 IV KẾT LUẬN 47 V TÀI LIỆU THAM KHẢO 48         Hoàng Thị Liên   Lớp K35 - CN Toán Khóa luận tốt nghiệp   MỞ ĐẦU 1.LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI                            Trong các môn học đối với học sinh thì môn Toán có một ý nghĩa  và  vị  trí  đặc  biệt  quan  trọng.Toán  học  với  tư  cách  là  một  khoa  học  nghiên cứu một số  mặt của thế giới hiện thực,nó có một hệ thống khái  niệm,  quy  luật  và  có  phương  pháp  riêng.  Hệ  thống  này  luôn  phát  triển  trong  quá  trình  nhận  thức  thế  giới  và  đưa  ra  kết  quả  là  những  tri  thức  toán học. Những tri thức toán học, những kĩ năng toán học cùng phương  pháp  toán  học  đã  trở  thành  công  cụ  toán  học  giúp  học  sinh  ứng  dụng  khoa  học  vào  thực  tiễn,  đồng  thời  phát  triển  tư  duy  và  nhân  cách  học  sinh   Đa  giác  là  một  chương  quan  trọng  trong  chương  trình  hình  học  trung  học cơ sở nói chung và hình học 8 nói riêng.Nó cung cấp cho học sinh  cách nhìn tổng quan về hình học. Chính vì vậy em đã chọn đề tài nghiên  cứu là:   “Một số kết đa giác”           Đề tài này nhằm mục đích sưu tầm và  khái quát hóa các dạng toán  liên quan đến đa giác và diện tích đa giác để giúp cho người đọc có cái  nhìn hệ thống về lĩnh vực này ; giúp các em học sinh và phụ huynh có tài  liệu hữu ích để tham khao, nghiên cứu cũng như phục vụ nhu cầu giảng  dạy của những sinh viên sư phạm chúng em sau này.                                           Hoàng Thị Liên   Lớp K35 - CN Toán Khóa luận tốt nghiệp   MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU            Đưa ra một số kết quả mang tính chất hệ thống là tài liệu giúp học  sinh, phụ huynh có thể tra cứu, tham khảo nhằm góp phần nâng cao việc  giảng dạy và học.   NỘI DUNG VÀ NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU 3.1  Xác định các căn cứ xây dựng hệ thống và cấu trúc hệ thống các kết  quả về đa giác.  3.2  Xây  dựng  và  phân  loại  các  hệ  thống  bài  tập  và  phương  pháp  giải  nhằm rèn luyện cho học sinh các kĩ năng trong việc giải các bài toán đa  giác.  ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU 4.1 Đối tượng nghiên cứu :các kết quả về đa giác, các bài toán áp dụng   với cách giải cụ thể.  4.2 Phạm vi nghiên cứu : các kết quả về bài toán đa giác.  5.PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU 5.1 Nghiên cứu lí luận : Nghiên cứu các sách,báo, tạp chí,các công trình  nghiên cứu,một số đề thi học  sinh giỏi các quốc gia … có liên quan đến  đề tài.  5.2 Thực hành giải toán : Giải các bài toán liên quan tới các kết quả bài  toán  đa giác đưa ra.  GIẢ THUYẾT KHOA HỌC          Nếu biết xây dựng hệ thống các kết quả, các bài tập áp dụng cụ thể  rõ ràng  thì đề tài sẽ là một tài liệu hữu ích, thích hợp,chủ động nâng cao  chất  lượng  học  tập  của  học  sinh  và  giảng  dạy  của  thầy  cô,tạo  tiềm  lực  phát triển năng lực học toán cho các em.      Hoàng Thị Liên   Lớp K35 - CN Toán Khóa luận tốt nghiệp   I LÝ THUYẾT Các định nghĩa a) Đường gấp khúc  :  Đường  gấp  khúc  n   cạnh  là  hình  hợp  thành  bởi  đoạn  thẳng  A1 A2 , A2 A3 , , An An1 ,   trong  đó  hai  đoạn  thẳng  liên  tiếp  Ai 1 Ai  và  Ai Ai 1  không cùng nằm trên một đường thẳng ( i  2,3, , n  ).       Đường gấp khúc như trên được kí hiệu là  A1A An1        Các điểm  Ai  gọi là các đỉnh của đường gấp khúc (có n+1 đỉnh), còn  các  đoạn  thẳng  Ai Ai1   gọi  là  các  cạnh  của  đường  gấp  khúc.  Từ  định  nghĩa trên ta suy ra ba đỉnh liên tiếp  Ai 1 , Ai  và  Ai 1  không thẳng hàng,  và hai cạnh liên tiếp  Ai 1 Ai  và  Ai Ai 1  chỉ có điểm chung duy nhất là đỉnh  Ai   b) Đa giác  :  Đa  giác  n   cạnh  là  đường  gấp  khúc  n   cạnh  ( n    )  A1 A2 An1   sao cho đỉnh đầu  A1  và đỉnh cuối An1  trùng nhau, cạnh đầu  A1 A2  và cạnh cuối  An An1  (cũng coi là hai cạnh liên tiếp)không nằm trên  một đường thẳng.       Đa giác như thế kí hiệu là  A1 A2 An1  Đa giác n  cạnh còn gọi là  n    giác.      Các điểm  Ai   gọi là các đỉnh của đa giác, các đoạn thẳng  Ai Ai1  gọi là  các cạnh của đa giác. Góc  Ai 1 Ai Ai 1  gọi là góc của đa giác ở đỉnh  Ai   c) Đa giác đơn : Đa giác đơn là đa giác mà bất kỳ hai cạnh không liên  tiếp nào cũng không có điểm chung.  d) Đa giác lồi :  Đa giác  lồi là đa giác  mà  nó  nằm  về  một  phía  đối  với  đường thẳng chứa bất kì một cạnh nào của đa giác đó.  e) Đa giác : là đa giác có tất cả các cạnh của chúng bằng nhau và tất  cả các góc của chúng bằng nhau.  Hoàng Thị Liên   Lớp K35 - CN Toán Khóa luận tốt nghiệp   Miền trong, điểm đa giác a) Định lí Jordan: Cho H là đa giác nằm trong mặt phẳng P. Khi đó tập  hợp P\H là hợp của hai tập hợp  H  và  H  , có các tính chất sau đây:      i) Bất kì hai điểm nào cùng thuộc vào một trong hai tập hợp đó đều có  thể nối với nhau bằng một đường gấp khúc không có điểm chung với H.       ii) Một đường gấp khúc bất kì nối hai điểm thuộc hai tập hợp  H  và  H   thì luôn có điểm chung với H.       iii)  Tập  H   không  chứa  đường  thẳng  nào,  tập  H    có  chứa  nhưng  đường thẳng.   b) Định nghĩa :        Tập  H  nói trong định lí Jordan gọi là miền trong của đa giác H.        Tập  H   gọi là miền ngoài của đa giác H.        Mỗi điểm của  H  gọi là điểm trong của đa giác H. Mỗi điểm thuộc  H   gọi là điểm ngoài của đa giác H.        Tập  H   H  =  P\ H    gọi là  miền của đa  giác H,  hoặc  đơn  giản  là  miền đa giác H. Miền đa giác H được kí hiệu là   H    3.Các tính chất đa giác a) Trong mặt phẳng cho điểm A và một số    > 0, tập hợp tất cả những  điểm cách A một khoảng <   được gọi là lân cận của điểm A. Nói cách  khác lân cận    của điểm A là tập hợp những điểm nằm trong đường tròn  tâm A bán kính    Lân cận đó đươc kí hiệu là   A,     i) Điều kiện cần đủ để điểm A điểm đa giác H có lân cận  A chứa H , nói khác có  > cho  A,    H   Hoàng Thị Liên   Lớp K35 - CN Toán Khóa luận tốt nghiệp        Thật vậy, nếu A là điểm trong của H, ta có thể chọn    là số dương,  sao cho    [...]... TRONG ĐA GIÁC   1. Tính số cạnh của một đa giác.     2. Tính số đo góc trong một đa giác.     3. Bài toán liên quan đến đường chéo của đa giác.     4. Diện tích đa giác.     5. Các khoảng cách trong đa giác.     6. Ứng dụng định lí Ptoleme trong giải bài toán đa giác.   IV MỘT SỐ BÀI TOÁN 1 Tính số cạnh của một đa giác   Bài 1: Tổng số đo các góc của một đa giác n _ cạnh trừ đi góc A  của nó bằng 5700. Tính số cạnh của đa giác đó và ...  Tính số đo của  BCD   3 Bài Toán liên quan đến đường chéo của một đa giác Bài tập mẫu: Trong hình n_ giác có tất cả  n(n  3)  đường chéo.  2 Từ công thức trên ta nhận ra rằng, nếu cho số cạnh của một đa giác thì sẽ  biết  được  số đường  chéo  của  đa giác đó.  Ngược  lại  nếu  cho  số đường  chéo của một đa giác thì sẽ biết được số cạnh của đa giác đó.  Chằng hạn:  10(10  3)  35 + Một đa giác 10 cạnh có số đường chéo là ... ngoại  tiếp  của  một đa giác là  một đường  tròn đi qua tất cả các đỉnh của đa giác.   Một đa giác có đường tròn ngoại tiếp được gọi là đa giác nội tiếp đường  tròn.Tất cả các đa giác đều, các tam giác và các hình chữ nhật đều là đa giác nội tiếp đường tròn.  Một khái niệm có liên quan là bao tròn nhỏ nhất, đó là đường tròn nhỏ  nhất chứa toàn bộ đa giác ở bên trong. Không phải  mọi đa giác đều có ...  = (6 - 2). 1800 – 5700 = 1500.  đa giác chỉ kẻ một góc ngoài).    b. Số  đường chéo gấp đôi số cạnh.    c. Tổng các góc trong trừ đi một góc của đa giác bằng 25700.    Giải:   a. Gọi số cạnh của đa giác là n (n > 3).    + Tổng số đo các góc trong của đa giác là  (n - 2).1800.  Hoàng Thị Liên   9 Lớp K35 - CN Toán Khóa luận tốt nghiệp     + Tổng số đo các góc ngoài của 1 đa giác là 3600.    Theo giả thuyết ta có: (n - 2).1800 = 3600 ... đường tròn ngoại tiếp thì, nhưng mọi đa giác đều có bao tròn nhỏ nhất.  Thậm chí một đa giác có đường tròn ngoại tiếp thì đường tròn đó có thể  trùng  với  bao tròn  nhỏ  nhất;  ví  dụ,  một tam  giác tù,  bao  tròn nhỏ  nhất  của  nó  có  đường  kính  là  một cạnh  nhưng nó không  đi  qua  đỉnh góc tù  của tam giác.   II MỘT SỐ KẾT QUẢ TÍNH TOÁN TRONG ĐA GIÁC VD1: Cho hình n_ giác lồi.       Chứng mính rằng tổng các góc của hình n _giác bằng (n - 2)1800. ... A’B’C’D’E’F’ là lục giác đều.  Bài 5: Tổng tất cả các góc trong và một trong các góc ngoài của đa giác là 22250. Hỏi đa giác đó có bao nhiêu cạnh?  Bài 6: Tìm số cạnh của một đa giác biết rằng các đường chéo của nó có  độ dài bằng nhau.  Bài 7: Người ta đánh dấu mỗi đỉnh của một đa giác đều 1995 cạnh bởi  màu xanh hoặc đỏ. Chứng minh rằng luôn luôn tìm được 3 đỉnh của đa giác là 3 đỉnh của 1 tam giác cân được đánh dấu cùng một màu. ... + Tổng số đo các góc ngoài của 1 đa giác là 3600.    Theo giả thuyết ta có: (n - 2).1800 = 3600    n = 4    Vậy số cạnh của đa giác đó là n = 4.    b. Gọi số cạnh của đa giác là n (n > 3).    Số đường chéo của  đa giác gấp 2 lần sô cạnh của đa giác nên ta  có:   n(n-3)  = 2n    n2 – 3n = 4n    n = 7.  2 Vậy đa giác đó có 7 cạnh.    c. Tổng các góc trong trừ đi một góc của đa giác bằng 25700 nên:      (n - 2).1800 -  A  = 25700.         A  = (n - 2).180... Nhận xét: Không phải bất lì một số nguyên dương nào cũng là số đường  chéo của một đa giác + Một câu hỏi đặt ra là có tồn tại đa giác có số cạnh bằng số đường chéo  không?  Giải phương trình:   n(n  3)  = n ( n  Z  n  3 ) ta sẽ tìm được câu trả lời.  2 n(n  3) = n  n2 – 5n = 0    n = 5.  2 Hoàng Thị Liên   19 Lớp K35 - CN Toán Khóa luận tốt nghiệp   Vậy đa giác duy nhất có số cạnh bằng số đường chéo là ngũ giác.  ... + Một đa giác 10 cạnh có số đường chéo là    2 + Nếu đa giác có số đường chéo là 35 thì số cạnh là bao nhiêu?  Ta có  n( n  3) 3 17  = 35   n2 – 3n = 70   ( n  )2  ( )2  n  10   2 2 2 Vậy đa giác đó có 10 cạnh.  + Nếu đa giác có số đường chéo là 36 thì số cạnh sẽ là bao nhiêu?  Giải  pt  n(n  3) =  36  với  n  nguyên  dương  ta  thấy  phương  trình  này  vô  2 nghiệm, nghĩa là không tồn tại đa giác có số đường chéo đúng là 36 ... Bài 4: Chứng minh một đa giác lồi không thể có quá 3 góc nhọn.  Giải:  Giả sử đa giác lồi có K    4 góc nhọn. Nếu đa giác lồi có góc trong một đỉnh đó là góc nhọn thì góc ngoài tương ứng tại đỉnh đó là góc tù. Vì vậy  nếu đa giác có K    4 góc nhọn thì sẽ có K    4  góc ngoài là góc tù     tổng các góc ngoài của nó sẽ lớn hơn 3600 (vô lí vì trong một đa giác lồi  bất kì tổng các góc ngoài chỉ bằng 3600).  Vậy một đa giác lồi không thể có quá 3 góc nhọn.  ... TRONG ĐA GIÁC   1. Tính số cạnh của một đa giác.     2. Tính số đo góc trong một đa giác.     3. Bài toán liên quan đến đường chéo của đa giác.     4. Diện tích đa giác.     5. Các khoảng cách trong đa giác.  ... của  một đa giác là  một đường  tròn đi qua tất cả các đỉnh của đa giác.   Một đa giác có đường tròn ngoại tiếp được gọi là đa giác nội tiếp đường  tròn.Tất cả các đa giác đều, các tam giác và các hình chữ nhật đều là đa ... được  số đường  chéo  của  đa giác đó.  Ngược  lại  nếu  cho  số đường  chéo của một đa giác thì sẽ biết được số cạnh của đa giác đó.  Chằng hạn:  10(10  3)  35 + Một đa giác 10 cạnh có số đường chéo là