TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN ĐÀO THỊ HẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP HAI TRONG MẶT PHẲNG PHA KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Giải tích Người hướng dẫn khoa học TS TRẦN VĂN BẰNG Hà Nội 14- 5- 2013 LỜI CẢM ƠN Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo TS Trần Văn Bằng Người thầy trực tiếp tận tình hướng dẫn giúp đỡ em hoàn thành khóa luận Đồng thời em xin chân thành cảm ơn thầy cô tổ Giải tích thầy cô khoa Toán - Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, Ban chủ nhiệm khoa Toán tạo điều kiện cho em hoàn thành tốt khóa luận Trong khuôn khổ có hạn khóa luận, điều kiện thời gian, trình độ có hạn lần nghiên cứu khoa học không tránh khỏi hạn chế, thiếu sót định Vì vậy, em kính mong nhận góp ý thầy cô bạn Em xin chân thành cảm ơn ! Hà Nội, ngày 14 tháng 05 năm 2013 Sinh viên ĐÀO THỊ HẢI LỜI CAM ĐOAN Khóa luận kết nghiên cứu thân em hướng dẫn tận tình TS Trần Văn Bằng Trong nghiên cứu hoàn thành đề tài nghiên cứu em tham khảo số tài liệu ghi phần tài liệu tham khảo Em xin khẳng định kết đề tài “Phương trình vi phân cấp hai mặt phẳng pha” trùng lặp với kết đề tài khác Hà Nội, ngày 14 tháng 05 năm 2013 Sinh viên Đào Thị Hải Mục lục Mở đầu Chương Phương trình vi phân cấp hai 1.1 Phương trình khuyết 1.2 Phương trình tuyến tính 1.3 Phương trình tuyến tính có hệ số không đổi 1.4 Phương trình Euler Chương Phương trình vi phân cấp hai mặt phẳng pha 2.1 Lược đồ pha phương trình lắc đơn 2.2 Phương trình autonom mặt phẳng pha 12 2.3 Mô hình học hệ động lực bảo toàn x¨ = f (x) 24 2.4 Dao động tắt dần tuyến tính 33 2.5 Giảm tốc phi tuyến: chu trình giới hạn 37 2.6 Một số ứng dụng 46 2.7 Hệ bảo toàn phụ thuộc tham số 52 2.8 Biểu diễn đồ thị nghiệm 55 Kết luận 57 Tài liệu tham khảo 58 MỞ ĐẦU Phương trình vi phân phương trình toán học nhằm biểu diễn mối quan hệ hàm chưa biết (một nhiều biến) với đạo hàm (có bậc khác nhau) Phương trình vi phân xuất sở phát triển khoa học kĩ thuật yêu cầu đòi hỏi thực tế Do việc nghiên cứu phương trình vi phân có ý nghĩa quan trọng Trên thực tế số phương trình vi phân nói chung, số phương trình vi phân cấp hai nói riêng giải không nhiều (xem số lớp phương trình vi phân cấp hai giải Chương 1) Do phải có hướng để nghiên cứu phương trình vi phân, hướng nghiên cứu định tính phương trình vi phân Nghiên cứu định tính phương trình vi phân tìm cách suy đặc trưng quan trọng nghiệm phương trình vi phân mà không cần giải chúng Một công cụ hình học để nghiên cứu định tính mặt phẳng pha Qua mặt phẳng pha ta nhận tính chất quan trọng như: điểm cân bằng, tính tăng vô hạn, tính ổn định số kết khác Với mong muốn tìm hiểu sâu phương trình vi phân cấp hai hay cụ thể sử dụng mặt phẳng pha nghiên cứu định tính phương trình vi phân cấp hai, em mạnh dạn chọn đề tài: "Phương trình vi phân cấp hai mặt phẳng pha" Nội dung đề cập khóa luận trình bày hai chương: Chương trình bày khái niệm phương trình vi phân cấp hai số lớp phương trình vi phân cấp hai giải hạ cấp Chương trình bày khái niệm mặt phẳng pha cách sử dụng mặt phẳng pha để nghiên cứu định tính phương trình vi phân cấp hai Do lần đầu thực tập nghiên cứu, thời gian có hạn lực thân hạn chế nên chắn nghiên cứu khó tránh khỏi thiếu sót Em mong nhận đóng góp ý kiến thầy cô bạn đọc để đề tài hoàn chỉnh đạt kết cao Chương Phương trình vi phân cấp hai Phương trình vi phân cấp hai phương trình có dạng F(x, y, y , y ) = (1.1) x biến độc lập, y(x) hàm chưa biết y (x), y (x) đạo hàm Nếu giải phương trình (1.1) y , có dạng y = f (x, y, y ) (1.2) Định lý 1.1 (Sự tồn nghiệm) Cho phương trình (1.2) ∂f ∂f Nếu f (x, y, y ), (x, y, y ) (x, y, y ) liên tục miền D ∂y ∂y R3 (x0 , y0 , y0 ) điểm liên tục thuộc D lân cận điểm x = x0 , tồn nghiệm y = y(x) phương trình (1.2) thỏa mãn điều kiện y|x=x0 = y0 , y |x=x0 = y0 (1.3) Bài toán tìm nghiệm phương trình (1.2) thỏa mãn điều kiện (1.3) gọi toán Cauchy phương trình (1.2) Nghiệm tổng quát phương trình (1.2) hàm y = ϕ(x,C1 ,C2 ), C1 ,C2 số tùy ý thỏa mãn điều kiện sau: (i) Nó thỏa mãn phương trình (1.2) với C1 ,C2 , (ii) Với (x0 , y0 , y0 ) điều kiện định lý tồn nghiệm thỏa mãn, tìm giá trị xác định C1 = C10 ,C2 = C20 cho hàm số y = ϕ(x,C10 ,C20 ) thỏa mãn y|x=x0 = y0 , y |x=x0 = y0 Hệ thức Φ(x, y,C1 ,C2 ) = xác định nghiệm tổng quát phương trình (1.2) dạng ẩn gọi tích phân tổng quát Nghiệm riêng phương trình (1.2) hàm số y = ϕ(x,C10 ,C20 ) nhận cách cho C1 ,C2 nghiệm tổng quát giá trị xác định C10 ,C20 Hệ thức Φ(x, y,C10 ,C20 ) = gọi tích phân riêng 1.1 Phương trình khuyết (i) Phương trình khuyết y : F(x, y , y ) = Đặt p = y , ta tìm F(x, p, p ) = phương trình cấp p (ii) Phương trình khuyết x : F(y, y , y ) = d p d p dy dp Đặt p = y , Ta có y = = = p , ta xem p tham số chưa dx dy dx dy dp biết y Phương trình trở thành F(y, p, p ) = Đó phương dy trình vi phân cấp p (iii) Phương trình khuyết y, y : F(x, y ) = Đặt y = p, ta F(x, p ) = phương trình cấp p 1.2 Phương trình tuyến tính Đó phương trình vi phân có dạng y + p(x)y + q(x)y = f (x) (1.4) p(x), q(x), f (x) hàm số liên tục Phương trình gọi f (x) ≡ 0, không f (x) ≡ (i) Phương trình vi phân tuyến tính y + p(x)y + q(x)y = (1.5) Định lý 1.2 Nếu y1 (x) y2 (x) hai nghiệm phương trình (1.5) C1 y1 (x) + C2 y2 (x), C1 , C2 hai số, nghiệm phương trình Định nghĩa 1.1 Hai hàm số y1 (x) y2 (x) gọi độc lập tuyến tính y2 (x) đoạn [a, b] tỉ số = số đoạn Trái lại hai hàm y1 (x) gọi phụ thuộc tuyến tính Định nghĩa 1.2 Cho hàm số y1 (x) y2 (x), định thức y1 y2 y1 y2 = y1 y2 − y2 y1 gọi định thức Wronsky y1 (x), y2 (x) kí hiệu W (y1 , y2 ) Định lý 1.3 Nếu hai hàm số y1 (x) y2 (x) phụ thuộc tuyến tính đoạn [a, b] W (y1 , y2 ) = đoạn Định lý 1.4 Nếu W (y1 , y2 ) hai nghiệm y1 (x), y2 (x) phương trình tuyến tính (1.5) khác không giá trị x = x0 đoạn [a, b], hệ số p(x), q(x) liên tục, khác không với x Định lý 1.5 Nếu nghiệm y1 (x), y2 (x) phương trình (1.5) độc lập tuyến tính đoạn [a, b], W (y1 , y2 ) khác không điểm đoạn Định lý 1.6 Nếu y1 (x), y2 (x) hai nghiệm độc lập tuyến tính phương trình (1.5) nghiệm tổng quát (1.5) y = C1 y1 (x) +C2 y2 (x), (1.6) C1 , C2 số tùy ý Định lý 1.7 Nếu biết nghiệm riêng y1 (x) = phương trình (1.5) ta tìm nghiệm riêng y2 (x) phương trình đó, độc lập tuyến tính với y1 (x), có dạng y2 (x) = y1 (x)u(x) (ii) Phương trình vi phân tuyến tính không y + p(x)y + q(x)y = f (x) (1.7) Định lý 1.8 Nghiệm tổng quát phương trình không (1.7) tổng nghiệm nghiệm tổng quát phương trình tương ứng (1.5) với nghiệm riêng phương trình không (1.7) Định lý 1.9 (Nguyên lí chồng nghiệm) Cho phương trình y + p(x)y + q(x)y = f1 (x) + f2 (x) Nếu y1 (x) nghiệm riêng y + p(x)y + q(x)y = f1 (x), y2 (x) nghiệm riêng y + p(x)y + q(x)y = f2 (x) y = y1 (x) + y2 (x) nghiệm riêng phương trình cho 1.3 Phương trình tuyến tính có hệ số không đổi (i) Phương trình y + py + qy = (1.8) p, q số k2 + pk + q = (1.9) gọi phương trình đặc trưng phương trình (1.8) Nếu (1.9) có hai nghiệm thực phân biệt k1 , k2 nghiệm tổng quát (1.8) là: y = (C1 ek1 x +C2 ek2 x ) Nếu (1.9) có nghiệm kép k1 = k2 nghiệm tổng quát (1.8) là: y = (C1 +C2 x)ek1 x Nếu (1.9) có nghiệm phức  k1 = α + iβ k = α − iβ nghiệm tổng quát (1.8) là: y = eαx (C1 cos β x +C2 sin β x) (ii) Phương trình không y + py + qy = f (x) (1.10) p, q số Như phần trước ta biết phương trình (1.10) có nghiệm tổng quát: y = y¯ + y∗ , với  y¯ nghiệm tổng quát phương trình (1.8) y∗ nghiệm riêng phương trình (1.10) Ví dụ 1.1 Giải phương trình y + 3y − 4y = x Phương trình đặc trưng k2 + 3k − = có hai nghiệm k = 1, k = −4 Vậy nghiệm tổng quát phương trình tương ứng y = C1 ex +C2 e−4x Vế phải phương trình có dạng eαx P1 (x), α = 0, P1 (x) = x α = không nghiệm phương trình đặc trưng, ta tìm nghiệm riêng x˙x¨ + x3 x˙ = − |x| ˙ x˙2 Theo biến mặt phẳng pha x, y phương trình trở thành y dy dx + x3 = − |y| y2 dt dt Xét đường cong pha qua điểm tùy ý A vào thời điểm tA , đến điểm B thời điểm tB > tA Bằng cách tích phân phương trình từ tA tới tB có 1 B =− [ y2 + x4 ]tt=t A tB tA |y| y dt Do vế bên phải âm khắp nơi nên 1 1 ( y2 + x4 )t=tB > ( y2 + x4 )t=tA 4 dọc theo đường cong pha Do đó, giá trị biểu thức ngoặc 1 vuông, y2 + x4 , liên tục giảm dần theo đường cong pha Nhưng họ đường cong pha y + x = số họ hình bầu dục quanh gốc hàm số giảm Các đường cong pha cắt hình bầu dục, có hướng vào phía trong, đó, tất đường cong pha di chuyển hướng gốc Hình 2.20 Trong mô hình học, hình bầu dục đường cong, lượng không đổi Họ đường cong kín đó, sử dụng để vạch đường cong pha đến phạm vi định, gọi đường cong trắc địa Các đường lượng không đổi, đường mức lượng, trường hợp đặc biệt đường cong trắc địa (iii) Phương trình chuyển động hệ tọa độ tổng quát Giả sử ta có hệ học bảo toàn, một, hai, ba chiều, có yếu tố rắn hạt, cấu hình chúng hoàn toàn 44 Hình 2.20: Lược đồ pha cho x˙ = y, y˙ = − |y| y − x3 : đường nét đứt đường mức xác định giá trị biến x Biến không thiết độ dịch chuyển, chẳng hạn góc, chí thành phần yếu tố hình thành nên phần hệ Nó gọi tọa độ tổng quát Nói chung, động T V có dạng: T = p(x)x˙2 + q(x), V = V (x), p(x) > Phương trình chuyển động dẫn cách sử dụng phương trình Lagrange d ∂T ∂T ∂V ( )− =− dt ∂ x˙ ∂x ∂x Thế T V có phương trình chuyển động theo x: 2p(x)x¨ + p (x)x˙2 + (V (x) − q (x)) = (2.59) Phương trình dạng x¨ = f (x) Mục 2.3 Để rút gọn phương trình ta xét u= p1/2 (x)dx 45 (2.60) −1/2 p (x)p (x)x˙2 + p1/2 (x)x ¨ Sau có x˙ x¨ từ phương trình vào (2.59) ta có: Khi u˙ = p1/2 (x)x˙ u¨ = u¨ + g(u) = 0, −1/2 p (x)(V (x) − q (x)) Đây hệ bảo toàn thảo luận Mục 2.3 g(u) = 2.6 Một số ứng dụng (i) Ma sát khô (ma sát culông) Ma sát khô xuất bề mặt hai vật tiếp xúc chuyển động tương mà bôi trơn Mô hình Hình 2.21 minh họa ma sát khô Một vòng đai liên tục điều khiển lăn tốc độ không đổi v0 Một vật nặng m gắn vào điểm cố định qua lò xo có độ cứng c vòng đai Nếu F lực ma sát vật với vành đai x độ giãn tương đối lò xo so với ban đầu, ta có phương trình chuyển động là: mx¨ + cx = F Hình 2.21: Một thiết bị minh họa ma sát khô Giả sử F phụ thuộc vào vận tốc trượt, v0 − x˙ ; quan hệ điển hình thể Hình 2.22(a) Đối với vận tốc trượt nhỏ, lực ma sát tỉ lệ với vận tốc trượt Tại giá trị 46 Hình 2.22: (a) Ma sát khô/ thuộc tính vận tốc trượt (b) Xấp xỉ lí tưởng với gián đoạn nhỏ cố định vận tốc trượt sc , độ lớn lực ma sát đạt đỉnh sau tiến dần giá trị F0 , hay −F0 tốc độ trượt lớn Ta thay hàm hàm đơn giản gián đoạn điểm gốc: F = F0 sgn(v0 − x) ˙ với, F0 số dương (xem Hình 2.22(b)) hàm sgn xác định bởi:    , u > 0,   (2.61) sgn(u) = , u = 0,    -1 , u < Phương trình chuyển động trở thành: mx¨ + cx = F0 sgn(v0 − x) ˙ Vế phải phương trình F0 v0 > x˙ −F0 v0 < x, ˙ ta nghiệm sau cho đường cong pha miền tương ứng: F0 ) = số, c F0 y = x˙ < v0 : my2 + c(x − )2 = số c y = x˙ > v0 : my2 + c(x + Đây họ đường elip chuyển động, họ thứ có tâm (−F0 /c, 0) họ thứ hai có tâm (−F0 /c, 0) Hình 2.23 thể lược đồ pha tương ứng √ √ với x = x c y = y m Theo biến này, đường cong pha cho 47 √ F0 y > v0 m : y + (x + √ )2 = số, c √ F0 y < v0 m : y + (x − √ )2 = số, c cung vòng tròn dịch chuyển Hình 2.23: Lược đồ pha cho dao động ma sát khô trượt dính (Lưu ý trục √ √ thu tỉ lệ x c, y m) Có điểm cân (F0 /c, 0), tâm Các điểm đường y (hay x)= ˙ v0 không xác định phương trình vi phân F không liên tục, ta phả sử dụng cách lập luận khác Khi gặp trạng thái x˙ = v0 với|x| < F0 /c, vật di chuyển dọc theo AB đai lực ma sát đạt cực đại F0 , không đủ để chống lại tăng sức căng lò xo Tại B, x = F0 /c; vật sau vào dao động biểu thị đường cong kín C qua (F0 /c, v0 ) Trong thực tế, điều kiện ban đầu nằm hình elip này, hệ cuối dẫn tới dao động (ii) Phanh xe Xét má phanh đơn giản tác dụng lên mayor bánh xe thể Hình 2.24 Lực ma sát phụ thuộc vào áp lực vận tốc góc θ bánh xe Chúng giả định mối quan hệ đơn giản ma sát khô tương ứng với áp lực không đổi F = −F0 sgn(θ˙ ) 48 vậy, bánh xe quay tự do, phương trình chuyển động I θ¨ = −F0 asgn(θ˙ ), I mômen bánh xe a bán kính bánh phanh Các đường cong pha là: I θ˙ d θ˙ = −F0 asgn(θ˙ ), dθ ˙2 I θ = −F0 aθ +C θ < I θ˙ = F0 aθ +C Đây hai họ parabol Hình 2.25, điểm (θ , 0) điểm cân θ > với θ Hình 2.24: Mô hình phanh Hình 2.25: Lược đồ pha mô hình phanh Hình 2.24 49 (iii) Đồng hồ lắc: chu trình giới hạn Hình 2.26 cho thấy đặc điểm đồng hồ lắc " Bánh xe thoát " bánh xe cưa, điều khiển kim đồng hồ thông qua loạt cưa Nó có trục sợi dây với đầu treo vật tự Bánh xe thoát bị giữ đợt "neo” có hai mấu Neo gắn vào trục lắc đung đưa với nó, kiểm soát vòng quay bánh xe thoát Neo bánh xe thoát thiết kế cho mấu neo liên lạc với bánh xe thoát mấu khớp với răng, cho phép bánh xe thoát quay góc nhỏ, để quay kim đồng hồ Mỗi lần điều xảy ra, neo nhận xung động nhỏ, khiến ta nghe thấy tiếng ’tick’ đồng hồ Những xung trì dao động lắc, không đồng hồ chết Sự giảm trọng lượng lại cung cấp định kì vào lắc thông qua chế neo Mặc dù xung đẩy lắc theo hướng lần thoát neo, hình dạng neo đảm bảo chúng khác độ lớn Hình 2.26: Cơ chế hoạt động đồng hồ lắc điều khiển trọng lượng Có thể chứng minh hệ xác lập dao động ổn định với biên độ cố định độc lập với nhiễu lẻ tẻ điều kiện ban đầu Nếu lắc đong đưa với biên độ lớn, lượng chu kỳ ma sát lớn, 50 xung sinh thoát không đủ để bù đắp lại Do biên độ lại giảm Nếu biên độ nhỏ, lượng ma sát nhỏ, nên xung cung cấp lượng lớn cần thiết biên độ lại tăng Cứ đạt tới trạng thái cân bằng, điều xuất mặt phẳng (θ , θ˙ ) (Hình 2.27) đường cong C kín cô lập Dao động tuần hoàn cô lập, hay chu trình giới hạn (xem Mục 2.5) xảy hệ mô tả phương trình phi tuyến, mô hình đơn giản sau cho thấy vị trí xuất phi tuyến Hình 2.27: Lược đồ pha cho mô hình dao động tắt dần điều khiển xung đồng hồ lắc Chuyển động xấp sỉ phương trình I θ¨ + kθ˙ + cθ = f (θ , θ˙ ), (2.62) I mômen quán tính lắc, k số giảm tốc nhỏ, c số xác định lực hấp dẫn, θ độ dịch chuyển góc, f (θ , θ˙ ) mônmen cung cấp hai lần chu kỳ chế thoát Mômen f (θ , θ˙ ) hàm phi tuyến theo θ θ˙ Hàm điển hình f (θ , θ˙ ) = 21 [(k1 + k2 ) + (k1 − k2 )sgn(θ˙ )]δ (θ ), 51 δ (θ ) hàm xung delta-Dirac k1 , k2 dương, phân phối xung cho lắc θ = Nếu θ˙ > 0, f (θ , θ˙ ) = k1 δ (θ ), θ˙ < 0, f (θ , θ˙ ) = k2 δ (θ ) Con lắc điều khiển để vượt qua giảm tốc k2 > k1 2.7 Hệ bảo toàn phụ thuộc tham số Giả sử x(t) thỏa mãn x¨ = f (x, λ ) (2.63) λ tham số Điểm cân hệ xác định f (x, λ ) = 0, nói chung vị trí chúng phụ thuộc λ Trong học, phần tử có khối lượng có độ dịch chuyển x, f (x, λ ) biểu diễn lực tác động phần tử Xác định hàm V (x, λ ) từ f (x, λ ) = −∂V /∂ x với giá trị λ ; V (x, λ ) đơn vị khối lượng hệ học tương đương điểm cân tương ứng với giá trị gốc Như nêu Mục 2.3, ta mong giá trị cực tiểu tương ứng với điểm cân ổn định, giá trị tĩnh khác (điểm cực đại điểm uốn) tương ứng với điểm cân không ổn định Thực tế, V cực tiểu x = x1 ∂V /∂ x đổi dấu từ âm sang dương qua x1 ; nghĩa f (x, λ ) đổi dấu từ âm sang dương qua x = x1 Nó hoạt động lực phục hồi Hình 2.28: Phác họa lược đồ pha ổn định biểu diễn đường cong ổn định cho điểm cân x¨ = f (x, λ ) 52 Tồn nghiệm thường biểu thị tính ổn định điểm cân cho hệ phụ thuộc tham số; giá trị tính ổn định điểm cân khác với λ Ta giả sử f (x, λ ) liên tục x λ Vẽ đường cong f (x, λ ) mặt phẳng chứa x, λ ; đường biểu thị cho điểm cân Các miền bôi đậm thể f (x, λ ) > biểu Hình 2.28 Nếu đoạn đường cong tô đậm bên tương ứng với điểm cân trạng thái ổn định, λ cố định, f đổi dấu từ âm sang dương theo chiều x tăng Đoạn in đậm A B tương ứng với điểm cân ổn định A B không ổn định: C không ổn định f dương hai phía với C; tính chất điểm cân giá trị λ dễ dàng thấy từ đồ thị; ví dụ cho λ = λ0 , toán có điểm cân bằng, hai điểm ổn định A, B C biết điểm chia nhánh (nút) Với giá trị λ khác nhau, điểm cân chia làm hai nhiều hơn, hay vài điểm cân hợp thành điểm đơn Ví dụ 2.11 Một chuỗi chuỗi hạt sợi dây nhẵn bán kính a quay quanh trục thẳng đứng với vận tốc góc không đổi ω Xét ổn định hạt Hạt có thành phần vận tốc tiếp tuyến với dây aθ˙ thành phần vận tốc pháp tuyến (vuông góc) với dây aω sin θ ; θ độ nghiêng bán kính so với phương thẳng đứng, Hình 2.29 Động T V cho bởi: T = ma2 (θ˙ + ω sin θ ), V = −mga cos θ Khi hệ có điều kiện dịch chuyển (đó vận tốc dây), lượng nói chung không giữ lại Phương trình Lagrange toán d ∂T ∂T ∂V ( )− =− , dt ∂ θ˙ ∂θ ∂θ với aθ¨ = aω sin θ cos θ − g sin θ Đặt aω /g = λ 53 d θ˙ ¨ ˙ aθ = aθ = g sin θ (λ cos θ − 1) dθ Sau tích phân ta phương trình đường cong pha ˙2 aθ = g(1 − λ cos θ ) cos θ +C 2 g sin θ (λ cos θ − 1) a Các điểm cân cho f (θ , λ ) = 0, thỏa mãn sin θ = Từ (2.63), từ (i): f (θ , λ ) = cos θ = λ −1 Từ chu trình toán, θ = π; θ = −π trạng thái cân toán Hình 2.29: Hạt dây quay Các miền f < 0; f > phân đường cong f = định vị Do đó, kiểm tra dấu điểm cụ thể; ví dụ, f ( π, 1) = −g/a < Hình 2.30 biểu tính ổn định hay không ổn định vị trí cân hạt Điểm A điểm phân nhánh, cân ổn định Nó có hình dạng thìa phân nhánh (dĩa) Lược đồ pha toán xây dựng Mục 2.3 cố định giá trị λ Hai trường hợp biểu Hình 2.31 Chú ý chúng khẳng định dự đoán tính ổn định Hình 2.30 54 Hình 2.30: Lược đồ pha ổn định cho hạt sợi dây quay Hình 2.31: Lược đồ pha điển hình cho phương trình chuyển động hạt θ¨ = (g/a) sin θ (λ cos θ − 1) cho trường hợp (a) λ < 0; (b) λ > với a = g hai trường hợp 2.8 Biểu diễn đồ thị nghiệm Các nghiệm đường cong pha hệ  x˙ = y y˙ = f (x, y) (2.64) biểu diễn dạng đồ thị số cách Như thấy, nghiệm dy/dx = f (x, y)/y biểu thị đường mặt phẳng pha (x, y) Hình 2.32 thể cách khác để biểu thị nghiệm đường cong pha phương trình lắc Hình 2.32(a) biểu diễn đường cong pha điển hình gồm 55 đường phân lập Nếu nghiệm x¨ = f (x, x) ˙ biết, xác số lượng, thay đổi x theo t thể đồ thị (x,t) Hình 2.32(b) Ngoài ra, thời gian t thêm vào trục thứ ba mặt phẳng pha Do đó, nghiệm thể hình vẽ ba chiều biểu diễn tham số (x(t), y(t)) Hình 2.32(c) thể không gian nghiệm phương trình lắc Biểu diễn đặc biệt thích hợp cho mặt phẳng pha thông thường hệ cưỡng Nếu f (x, x) ˙ tuần hoàn theo x, nghĩa tồn số C cho với x có f (x +C, x) ˙ = f (x, x), ˙ đường cong pha khoảng x có độ dài C lặp lặp lại trước sau chu kì C nên nghiệm đuợc bao quanh trụ tròn chu vi C Hình 2.32(d) cho thấy điều Hình 2.32: Sự khác nghiệm phương trình lắc x¨ + sin x = Đặc biệt, nghiệm tuần hoàn L p nghiệm xoắn Lω biểu thị (a) Trong mặt phẳng pha; (b) Ví dụ nghiệm (x,t); (c) không gian nghiệm (x, y,t); (d) Mặt phẳng pha bề mặt hình trụ mà biểu thị cho phương trình vi phân tuần hoàn x 56 KẾT LUẬN Khóa luận trình bày cách hệ thống, rõ ràng khái niệm liên quan tới phương pháp sử dụng mặt phẳng pha nghiên cứu tính chất định tính phương trình vi phân cấp hai Đặc biệt tìm hiểu ý nghĩa Vật lý kết quả, tính chất nghiệm phương trình vi phân cấp hai Điều làm rõ thêm vai trò quan trọng lý thuyết phương trình vi phân nói chung ứng dụng thực tế 57 Tài liệu tham khảo [] Tài liệu tiếng Việt [1] Hoàng Hữu Đường, Võ Đức Tôn, Nguyễn Thế Hoàn (1970), Phương trình vi phân, Nxb Đại học trung học chuyên nghiệp, Hà Nội [2] Hoàng Hữu Đường (1975), Lý thuyết phương trình vi phân, Nxb Đại học trung học chuyên nghiệp, Hà Nội [3] Nguyễn Thế Hoàn, Phạm Thu (2007), Cở sở phương trình vi phân lí thuyết ổn định, Nxb Giáo dục [4] Nguyễn Đình Trí, Tạ Văn Đĩnh, Nguyễn Hồ Quỳnh (2003), Toán học cao cấp, Nxb Giáo dục [] Tài liệu tiếng Anh [5] D W Jordan, P Smith (2007), Nonlinear Ordinary Differential Equations, Oxford University Press 58 [...]... x2 thay vào (1.11) ta thu được dy d2y + (a − 1) + by = 0 d 2t dt là phương trình tuyến tính với hệ số không đổi 7 (1.11) Chương 2 Phương trình vi phân cấp hai trong mặt phẳng pha Trước hết ta giới thiệu khái niệm mặt phẳng pha thông qua một phương trình cụ thể đó là phương trình dao động của con lắc đơn 2.1 Lược đồ pha của phương trình con lắc đơn Con lắc đơn (xem Hình 2.1) bao gồm một phần tử P khối... thái ban đầu đến C là các bài toán giá trị ban đầu được điều khiển bởi các phương trình vi phân thường, hay phương trình đạo hàm riêng, hoặc phương trình sai phân Ở đây ta chủ yếu xét hệ phi tuyến điều khiển bởi một phương trình vi phân thường Phương trình trên có thể được hiểu như một phương trình chuyển động của một hệ cơ học; trong đó, x biểu thị độ dịch chuyển của phần tử có khối lượng đơn vị, x,... không được gắn với các phương trình không autonom, mặc dù chúng có thể xuất hiện, chẳng hạn trong phương trình Mathieu x¨ + (α + β cos x) = 0, có trạng thái cân bằng tại x = 0, x˙ = 0 Trong chương này, ta sẽ chỉ đề cập tới các hệ autonom, được cho bởi phương trình vi phân x¨ = f (x, x), ˙ (2.6) trong đó t vắng mặt ở vế phải của phương trình Để nhận được biểu diễn trong mặt phẳng pha, ta đặt  x˙ = y... Đường cong pha AB trên đó ta đã tính thời gian chuyển Sau đây chúng tôi tóm tắt các tính chất chính của phương trình autonom x¨ = f (x, x), ˙ được biểu diễn trong mặt phẳng pha bởi hệ phương trình  x˙ = y (2.14) y˙ = f (x, y) (i) Phương trình cho các đường cong pha: dy f (x, y) = dx y 18 (2.15) (ii) Hướng của đường cong pha: từ trái sang phải ở nửa mặt phẳng trên, từ phải sang trái ở nửa mặt phẳng dưới... = f (x) 24 (2.26) Ta có hệ phương trình cấp một tương đương:  x˙ = y, y˙ = f (x) (2.27) Trong mặt phẳng pha (x, y), các trạng thái và các đường cong pha được xác định như trong Mục 2.2, vì phương trình (2.26) là một trường hợp đặc biệt của phương trình (2.6) Khi f (x) phi tuyến, vi c phân tích các nghiệm của (2.26) đôi khi cần phải xem xét cả mô hình cơ học tương ứng Trong Hình 2.9, một hạt P có... chúng là điểm yên ngựa Phương trình vi phân cho các đường cong pha là dy sin x =− dx y Đây là phương trình vi phân tách biến, nên ta có nghiệm √ y = ± 2(cos x +C)1/2 , đó là phương trình của các đường cong pha với C là tham số của các đường cong pha Hình 2.8: Đường cong pha của x¨ + sin x = 0 Do y phải là số thực nên C ≥ −1 Xem Hình 2.8 hoặc tổng quát hơn là Hình 2.2, ở đó phạm vi của C được chia ra... một điểm P trong mặt phẳng pha, cho ta một điều kiện ban đầu cho hệ phương trình vi phân cấp một (2.7), và vì vậy xác định tất cả các trạng thái, qua đó hệ thực hiện trong một chuyển động riêng Các trạng thái tiếp theo cho bởi phương trình tham số x = x(t), y = y(t), (2.8) vạch ra một đường cong qua điểm đầu P : (x(t0 ), x(t ˙ 0 )), gọi là đường cong pha hay quỹ đạo pha Hướng của các quỹ đạo pha nhận... đạo pha di chuyển theo chiều tăng dần theo thời gian như Hình 2.2 Theo (2.5a), khi y > 0, thì x˙ > 0 , do đó x phải tăng khi t tăng Vì vậy, hướng quỹ đạo luôn luôn là từ trái sang phải trong nửa mặt phẳng trên Tương tự, hướng luôn là từ phải sang trái trong nửa mặt phẳng dưới Toàn bộ Hình 2.2 là lược đồ pha của phương trình (2.1) Mặc dù không xuất hiện biến thời gian trong biểu diễn mặt phẳng pha, ... đường phân lập 22 Ví dụ 2.4 Tìm điểm cân bằng và phương trình tổng quát cho các đường cong pha của x¨ + sin x = 0 Tìm đường cong pha riêng thỏa mãn các điều kiện ban đầu (a) x(t0 ) = 0, y(t0 ) = x(t ˙ 0 ) = 1; (b) x(t0 ) = 0, y(t0 ) = 2 Đây là một trường hợp đặc biệt của phương trình con lắc (xem Mục 2.1 và Hình 2.2) Hệ phương trình vi phân trong mặt phẳng pha là:  x˙ = y (2.25) y˙ = − sin x Điểm cân... năng lượng (2.2); hoặc phương trình mặt phẳng pha (2.9) với x˙ = y) Theo phương trình (2.33), hệ động lực xác định bởi phương trình x¨ = f (x) được gọi là hệ bảo toàn Từ (2.34), ta nhận được √ x˙ = ± 2(C −V (x))1/2 (2.35) Theo (2.27) thì (2.35) trở thành √ y = ± 2(C −V (x))1/2 , (2.36a) đó là phương trình của các đường cong pha Ví dụ 2.5 Chứng minh rằng tất cả các nghiệm của phương trình x¨ + x3 = 0 là ... hiểu sâu phương trình vi phân cấp hai hay cụ thể sử dụng mặt phẳng pha nghiên cứu định tính phương trình vi phân cấp hai, em mạnh dạn chọn đề tài: "Phương trình vi phân cấp hai mặt phẳng pha" Nội... trình bày hai chương: Chương trình bày khái niệm phương trình vi phân cấp hai số lớp phương trình vi phân cấp hai giải hạ cấp Chương trình bày khái niệm mặt phẳng pha cách sử dụng mặt phẳng pha. .. dt phương trình tuyến tính với hệ số không đổi (1.11) Chương Phương trình vi phân cấp hai mặt phẳng pha Trước hết ta giới thiệu khái niệm mặt phẳng pha thông qua phương trình cụ thể phương trình