A MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Trong nhà trường phổ thông, hình học môn học khó học sinh, tính chặt chẽ, logic tính trừu tượng hình học cao môn học khác Các phép biến hình sơ cấp phần quan trọng hình học công cụ hữu ích toán hình học phẳng hình học không gian Phép quay phép biến hình sơ cấp vận dụng để giải toán dựng hình, toán chứng minh tính chất hình học, toán tập hợp điểm, toán tính toán, … Tuy nhiên, việc vận dụng phép quay quanh điểm để giải toán hình học việc dễ dàng, thực tế phần khó giáo viên học sinh Trong khuôn khổ khóa luận tốt nghiệp, em xin trình bày kiến thức phép quay quanh điểm ứng dụng việc giải toán hình học phẳng hình học không gian Nhiệm vụ nghiên cứu 1) Trình bày sở lý thuyết phép quay 2)Các ví dụ minh họa thể ứng dụng phép quay việc giải bốn lớp tập hình học: toán chứng minh, toán dựng hình, toán tìm tập hợp điểm, toán tính toán Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu SGK, sách tham khảo, tạp chí Toán học , giảng chuyên đề, giáo trình hình học, tài liệu liên quan tới nội dung nghiên cứu kiến thức thực hành B NỘI DUNG Chương I CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ ĐẠI CƯƠNG VỀ PHÉP BIẾN HÌNH TRONG MẶT PHẲNG 1.1 Khái niệm phép biến hình a) Cho hai tập hợp điểm T T  ta gọi song ánh từ T vào T  ,mọi phép tương ứng  mà với điểm  T gắn với điểm   T  , ký hiệu  =  Ánh xạ  gọi song ánh  T  tồn  T cho    Như vậy, cho song ánh  : T  T  vào T  cho quy tắc để, với điểm T ta có điểm  hoàn toàn xác định T  cho : (i) Nếu   hai điểm phân biệt T   hai điểm phân biệt T    (Khi ta nói  đơn ánh) (ii) Với T  có điểm T cho  (Khi ta nói  toàn ánh) Điểm  gọi ảnh, hay điểm tương ứng hình biến đổi của điểm  qua ánh xạ  Ngược lại, điểm  gọi tạo ảnh điểm    qua ánh xạ  Nếu  ta nói ánh xạ  (ở song ánh) biến điểm  T thành điểm  T  b) Khi hai tập hợp điểm T  T đồng nhất, có nghĩa trùng nhau, ký hiệu T T , ta nói  phép biến hình T (hay từ T vào nó) Như vậy, ta định nghĩa phép biến hình đường thẳng, mặt phẳng hay không gian tùy theo T tập điểm đường thẳng  mặt phẳng, hay T tập hợp tất điểm mặt phẳng  hay T tập hợp tất điểm không gian  Thậm chí, T tập hợp tất điểm hình H phận ( tập ) đường thẳng  , hay phận mặt phẳng (  ), hay phận không gian Kí hiệu H  , H  hay H  Ta có định nghĩa sau: Định nghĩa 1.1( Định nghĩa phép biến hình ) Một song ánh   từ tập điểm đường thẳng  hay mặt phẳng  lên gọi phép biến hình đường thẳng  hay mặt phẳng  Như vậy, chẳng hạn cho phép biến hình mặt phẳng    cho quy tắc để với điểm (P) ta tìm điểm M     hoàn toàn xác định, thỏa mãn hai điều kiện sau đây: (i) Nếu   thuộc (P), M  N   thuộc (P),    (ii)  tồn điểm   cho    Nếu H hình (P) ta xác định tập hợp điểm H    H     H  H  hình phẳng gọi ảnh hay hình biến đổi, hình tương ứng hình H qua phép biến hình  ; ngược lại, hình H gọi tạo ảnh (hay hình nguyên hình  H  qua phép biến hình  Chú thích 1.1 Phép biến hình định nghĩa gọi cách xác phép biến hình điểm ( biến đổi điểm thành điểm) Hai phép biến hình điểm   tương đương với điểm M T có ảnh T    T suy      , ta viết    1.2 Phép biến đổi – phéo biến đổi ngược Giả sử  phép biến đổi biến điểm M thành M  Đương nhiên có nhiều điểm  có ảnh  qua phép biến đổi Chẳng hạn, phép chiếu vuông góc lên đường thẳng;  hình chiếu  đường thẳng d  có vô số điểm khác  có hình chiếu   Nếu  ứng với điểm  ta nói  phép biến đổi – Định nghĩa 1.2.1  phép biến đổi – ảnh   qua phép biến đổi ứng với điểm  Định nghĩa 1.2.2 Nếu  phép biến đổi – biến M thành       tồn phép biến đổi biến  thành điểm M Phép biến đổi gọi phép biến đổi ngược  Kí hiệu  -1 Có trường hợp  -1 lại  , ta nói  có tính đối hợp Chẳng hạn phép đối xứng qua tâm qua trục có tính chất đối hợp Định nghĩa 1.2.3 Một phép biến đổi biến điểm M thành gọi phép đồng 1.3 Tập hợp bất biến điểm bất động Cho tập hợp điểm H phép biến đổi  Nếu ảnh điểm thuộc H qua phép biến đổi cho thuộc H gọi tập hợp bất biến qua phép biến đổi Ta nói điểm  bất động qua phép biến đổi     Tập hợp điểm H gọi bất động qua  H gồm toàn thể điểm bất động qua  Chẳng hạn trục đối xứng đường thẳng bất động qua phép đối xứng với trục 1.4 Hai phép biến đổi trùng Cho hai phép biến đổi  g xác định toàn mặt phẳng Ta nói  g trùng g  ảnh điểm  qua hai phép biến đổi trùng Tức   g Rõ ràng  phép biến đổi đồng điểm thuộc mặt phẳng điểm bất động  , nghĩa    ,  1.5.Tích hai phép biến hình Cho hai phép biến hình  g Với điểm M, giả sử      g     Như tồn quy tắc để từ điểm  ta tìm điểm  Quy tắc gọi tích hai phép biến hình  , g kí hiệu : g  Trong cách kí hiệu này,  thực trước g thực sau Nói chung g  khác  g , nghĩa ảnh điểm  qua phép biến đổi g  khác với ảnh  qua phép biến đổi  g PHÉP QUAY QUANH MỘT ĐIỂM 2.1.Góc định hướng hai tia Trong hình học, hình tạo hai tia Ox Oy gọi góc tạo hai tia kí hiệu xOy Số đo góc xOy nằm khoảng từ 0o đến 180o ( từ đến  radian ) Nếu thứ tự hai cạnh góc xOy xét đến, tức hai góc xOy yOx khác ta nói xOy định hướng kí hiệu ( Ox;Oy ) Trong đó, Ox cạnh đầu Oy cạnh cuối góc Định nghĩa 2.1.1: Góc định hướng hai tia góc tạo hai tia có xét thứ tự xác định Nhận xét: - Nếu  số đo góc thỏa mãn điều kiện      số đo góc   k  với k nguyên tùy ý  gọi giá trị góc - Giá trị góc định hướng nhất,ta quy ước giá trị âm hay dương tùy theo chiều quay chiều âm hay chiều dương mặt phẳng Định nghĩa 2.1.2 Hai góc định hướng gọi số đo chúng Định nghĩa 2.1.3 Hai góc định hướng gọi đối số đo chúng đối Nếu   hai điểm phân biệt   không thẳng hàng hai góc định hướng (  ) ( O ) hướng điểm   nằm phía đường thẳng  Hai góc gọi ngược hướng   nằm khác phía đường thẳng  Bổ đề 2.1.4 Cho hai điểm  cố định phân biệt góc  với     (      ) Tập hợp điểm  khác  cho    cung chứa góc dựng dây  (trừ  ) Hệ thức Chasles: Nếu (Ox Oy) = y Oz) =  Ox Oz) =       , tức là: x ; Oy) + (Oy ; Oz) = (Ox ; Oz) Góc định hướng hai tia khác gốc: Cho hai tia Ax By có gốc A, B khác Lấy điểm O tùy ý gọi Ox,Oy hai tia theo thứ tự hướng với Ax, By Khi ta nói góc định hướng tạo Ox Oy góc định hướng tạo hai tia Ax By viết : (Ax ; By) = (Ox ; Oy) Rõ ràng, Ax / / By (Ax ; By) = (mod  : (Ax ; By) = ± ( mod 2 2.2 Phép quay quanh điểm a) Định nghĩa 2.2.1 Trong mặt phẳng định hướng, cho điểm  góc định hướng  Phép quay Q(O; tâm  , góc quay  phép biến hình biến  thành  biến điểm  khác  thành điểm  cho:   và    Khi ta nói  ảnh  qua phép quay tâm  với góc quay  kí hiệu Q(O; :  M b) Tính chất: (i) Theo định nghĩa, phép quay Q(O;    trở thành phép đồng Nếu       phép đối xứng tâm  (ii) Phép quay Q(O;   k2 k  z) có điểm bất động phép biến đổi – Chứng minh: Giả sử M1, M2 tạo ảnh M qua phép quay Q(O; Theo định nghĩa, ta có : OM1 = O  = OM2 ( OM1; O  ) =  Điều chứng tỏ M1 M2 nằm tia cách O khoảng Vì vậy, M1  M2 Nếu  điểm bất động khác O phép quay theo định nghĩa ta có :    (Vô lý) Vì    (iii) Phép quay Q phép dời hình Chứng minh: Giả sử : Q(O; :  M  N OM OM   Theo định nghĩa ta có : ON ON  (OM ;OM ) (ON ;ON )  OM OM    ON ON  (OM ;ON ) (OM ;ON )          (c.g.c) Vậy Q phép dời hình (đpcm) (iv) Phép quay Q biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng bảo tồn thứ tự chúng Chứng minh: Theo tính chất (iii) phép quay Q(O; phép dời hình Do đó, ,C ba ảnh ba điểm thẳng hàng A,B,C A,C thẳng hàng theo thứ tự * Hệ quả: Phép quay Q biến: - Một đường thẳng d thành đường thẳng d góc định hướng (d;d =  , d  d     - Biến tia Sx thành tia Sx góc tạo hai tia  - Biến đoạn PQ thành đoạn PQ PQ = PQ - Biến góc xSy thành góc xS y hai góc xSy = xS y - Biến đường tròn  R) thành đường tròn (I R) (v) Tích hai phép quay phép tịnh tiến phép quay Chứng minh: Xét hai phép quay Q(O; Q(O  Đặt Q = Q0  Q0 *TH1: O  O OM OM  Q0 : M  M   (OM ,OM )   OM OM  Q0 : M   M   (OM ,OM ) OM OM  Do :  (OM ,OM ) (OM ,OM )  (OM ,OM )   Vậy : Q = Q0   *TH2: O  O Chương ỨNG DỤNG CỦA PHÉP QUAY QUANH MỘT ĐIỂM TRONG E2 VÀO VIỆC GIẢI LỚP CÁC BÀI TOÁN CƠ BẢN Cũng phép biến hình khác, phép quay công cụ hữu hiệu để giải toán hình học Để giải toán phép quay ta cần ý số điểm sau: - Chọn cách vẽ hình toán cho thực tổng hợp phép quay riêng biệt dễ quan sát - Những toán hình học mà giả thiết xuất yếu tố góc đặc biệt góc: 90o,30o,60o,…và yếu tố dài như: tam giác cân, tam giác đều, hình thoi, hình vuông,…thường gợi ý cho ta ý tưởng dùng phép quay để giải Cụ thể: Ứng dụng phép quay vào giải toán chứng minh 1.1 Bài toán chứng minh Bài toán chứng minh có dạng A  B , đó: A giả thiết, bao gồm: +) Những yếu tố cho : điểm, đường thẳng, đường tròn,… +) Những quan hệ biết: liên thuộc, song song, vuông góc,… +) Những yếu tố lượng : độ dài, góc,… B kết luận cần khẳng định “  ’’ suy luận hợp logic dựa giả thiết có mặt A , định nghĩa, định lí, …để khẳng định B 1.2 Giải toán chứng minh sử dụng phép biến hình Nếu ta thiết lập mối quan hệ điểm hay đường cho giả thiết A với điểm hay đường kết luận B thông qua 10 Khi đó, theo cách xác định tích phân hai phép quay tam giác MNP ta có: m n , MNP  2 n m NPM 180 PMN  Đặt P  360  ( n  m) * TH1: n  m  180  p  180 Vì : Q nP m : B  C  P : B  C  Q360 P nên P khác phía với A đường thẳng BC hay tam giác BCP cân P dựng phía tam giác ABC có góc BPC = p Từ phân tích ta xây dựng toán sau: Bài toán: Cho tam giác ABC Dựng phía tam giác tam giác cân AMB, ANC , BPC cân M , N, P AMB  m, ANC  n, BPC  p cho m  n  p  360 Tính góc cụ thể tam giác PMN Khi cho m, n, p giá trị xác định ta có toán cụ thể sau: Bài toán 1: Cho tam giác ABC Dựng phía tam giác có tam giác cân AMB, ANC , BPC có tâm K , H , G Chứng minh rằng: tam giác KHG tam giác Bài toán 2: Cho tam giác ABC Dựng phía tam giác cân AMB, ANC cân M , N Gọi P trung điểm BC Chứng minh rằng: tam giác MNP tam giác vuông cân 33 * TH2: n  m  180  p  180 Vì : Q nP m : B  C  P : B  C  Q360 P nên P phía với A đường thẳng BC hay tam giác PBC cân P dựng vào phía tam giác ABC BPC  3600 P  n  m Từ phân tích ta xây dựng toán sau: Bài toán: Cho tam giác ABC Dựng phía tam giác tam giác cân AMB, ANC ; Dựng vào phía tam giác ABC tam giác cân BCP cân M , N , P AMB  m, ANC  n, BPC  p; p n m Tính góc tam giác MNP Cho m, n, p có giá trị xác định ta có toán cụ thể, chẳng hạn ta xây dựng toán sau: Bài toán: Cho tam giác ABC Dựng phía tam giác tam giác AMB, ANC cho : tam giác AMB vuông cân M , tam giác ANC ; dựng vào phía tam giác ABC tam giác BPC cân P cho BPC  150 Tính góc tam giác PMN BÀI TẬP:  Bài 1: Cho góc vuông xOy hai tia Om, On tùy ý góc Trên cạnh Ox ta lấy điểm A , cạnh Oy lấy điểm B cho OA  OB Gọi A ', A '' hình chiếu vuông góc A Om, On ; B ', B '' hình chiếu vuông góc B Om, On Chứng minh A ' A ''  B ' B '' A ' A ''  B ' B '' 34  Bài 2: Cho đường tròn (O) điểm A thuộc đường tròn Phép quay QA biến đường tròn (O) thành đường tròn (O ') điểm M thuộc (O ) thành điểm M ' thuộc (O ') Chứng minh đường thẳng MM ' qua điểm chung thứ hai hai đường tròn (O) (O ')  Bài 3: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O ) góc nhọn  Trên đường tròn (O) ta lấy điểm S Phép quay Q ( S , ) biến A thành, thành, thành Phép quay biến thành, thành, thành Chứng minh đường thẳng đồng quy  Bài 4: Hai đoạn thẳng AB A ' B ' Phép quay với tâm quay M biến A thành A ' , B thành B ' Phép quay với tâm quay N biến A thành B ' , B thành A ' Gọi S trung điểm đoạn AB Chứng minh SM  SN  Bài 5: Trên đoạn thẳng AC ta lấy điểm B dựng hình vuông ABMN , BCEF nằm phía đường thẳng AC Gọi P, Q trung điểm đoạn thẳng CM ,AF Chứng minh tam giác BPQ vuông cân  Bài 6: Cho tam giác vuông cân ABC (CA  CB ) Trên cạnh CA CB , ta lấy điểm tương ứng D E cho CD  CE Các dường vuông góc hạ từ C D xuống AE cắt K H Chứng minh K trung điểm đoạn HB 35  Bài 7: Khoảng cách từ điểm P cố định đến hai đỉnh A B tam giác ABC Xác định khoảng cách lớn từ P đến đỉnh C  Bài 8: Dựng tứ giác ABCD , biết AB  a, AD  b, B   , D   tứ giác có tổng cặp cạnh đối  Bài 9: Cho đường tròn (O) , điểm A cố định góc  Với điểm B thuộc đường tròn, ta dựng tam giác cân ABC có A   Tìm tập hợp đỉnh C B thay đổi  Bài 10: Cho phép quay Q(O, ) điểm S cố định khác O Tìm tập hợp điểm A mà phép quay biến A thành A ' cho AA ' qua S  Bài 11: Điểm P nằm hình vuông ABCD thỏa mãn điều kiện PA : PB : PC  1: : Tính APB  Bài 12: Cho tam giác cân ABC ( AB  AC ) có A  20 Trên cạnh AB , ta lấy điểm M cho AM  BC Tính BMC 36 Hướng dẫn: Bài 1: Rõ ràng nửa đường tròn đường kính OA qua điểm A ' A '' Nửa y đường tròn đường kính OB qua điểm B ' B '' Hai nửa đường tròn nằm góc xOy Thực phép quay tâm O góc quay 90 biến B thành A , B ' biến thành B '1 , B '' biến thành B ''1 tứ giác OA ' AB '1 , OA '' AB ''1 x hình chữ nhật nội tiếp đường tròn đường kính OA Phép quay biến đoạn B ' B '' thành B '1 B ''1 B ' B ''  B '1 B ''1 Vì phép đối xứng qua trung điểm OA biến A ' thành B '1 , A '' thành B ''1 , A ' A ''  B '1 B ''1 A ' A ''/ / B '1 B ''1 Từ kế ta suy đpcm Bài 2: Ta kí hiệu giao điểm thứ hai (O ) (O ') B coi B nằm góc AOM Phép quay Q( A, ) biến M thành M ' , tam giác AOM biến thành tam giác AOM ' AOM  AOM ' 37 Mặt khác, ABM  AOM  180 , ABM  ABM '  ABM  AO ' M '  180 (đpcm) Bài 3: Gọi (O ') ảnh (O ) phép quay Q( S , ) ; (O '') ảnh (O ) phép quay Q( S , ) S ' giao điểm thứ hai (O ') (O '') Theo kết đường thẳng A ' A '', B ' B '', C ' C '' qua S ' Bài 4: Phép quay Q( M , ) biến A thành A ' , B thành B ' , S biến thành S ' trung điểm A ' B ' Phép quay Q( N ,  ) biến A thành B ' , B thành A ' ,do S biến thành S ' Theo tính chất cùa phép quay, ta có:   ( AB, A ' B ')     ( AB, B ' A ')   38 nên hai phép quay ngược hướng suy cá tâm quay M N nằm khác phía đường thẳng SS ' Tứ giác MSNS ' tứ giác lồi có MS  MS ', NS  NS ' Hai tam giác SMN S ' MN nên MSN  MS ' N Từ :     ( AB, A ' B ')  ( AB, B ' A ')  180    180 Tứ giác MSNS ' tứ giác nội tiếp, suy MSN  MS ' N  180 , từ MSN  90 Bài 5: Phép quay tâm , góc quay biến thành, biến thành biến thành Bài 6: Thực phép quay tâm , góc quay biến thành; thành; thành, biến thành, biến thành và,biến thành nằm Ta thấy đường trung bình tam giác, trung điểm đoạn Bài 7: Thực phép quay tâm A , góc quay 60 , biến B thành C , P biến thành P ' ta có BP  CP '  Mặt khác, tam giác APP ' tam PP '  PA  giác Rõ nên ràng PP ' P ' C  PC , PC lớn P ' nằm đoạn PC , max PC  39 Bài 8: Ta kí hiệu M , N tiếp điểm đường tròn nội tiếp tứ giác ABCD với cạnh CB, CD Phép quay tâm C biến M thành N biến B thành B ' thuộc tia CD , A thành A ' A ' B '  AB  a Từ điều kiện AB  CD  AD  BC Ta suy CD  CB '  CD  CB  AD  AB  b  a coi b  a  Vậy B ' D  b  a Cách dựng dựng tam giác A ' B ' D (biết c.g.c) Dựng A (khác phía với A ' DB ' ) cho ADB '   AD  b Đỉnh C giao điểm trung trực AA ' với B ' D Phép quay biến A ' thành A biến B ' thành B Bài 9: Thuận : Điểm C ảnh điểm B phép quay Q ( A, ) (0    180) phép quay Q( A, ) , tập hợp điểm C thuộc đường tròn (O '),(O ') ảnh (O ) qua phép quay Đảo: Nếu C điển thuộc đường tròn (O ') phép quay Q( A, ) phép quay Q ( A, ) (với chiều ngược lại) biến điểm C thành điểm B Vì tạo ảnh nên thuộc đường tròn (O ) 40 Bài 10: Phần thuận : Phép Q(O, ) quay biến A thành A '   S thành S ' , ( SA, S ' A ')     Mặt khác (OS , OS ')   ,     ( SA, S ' A ')  (OS , OS ') Tứ giác OSA ' S ' nằm đường tròn đường tròn cố định chứa điểm O, S , S ' cố định Ta ký hiệu đường tròn qua O, S , S ', A ' ( ) Tập hợp A ' thuộc ( ) Phép quay Q(O, ) biến A ' thành A biến ( ) thành ( ') chứa A Tập hợp A thuộc đường tròn ( ) Bài 11: Thực phép quay tâm B biến A thành C , P biến thành P ' PA  P ' C Đặt PA   , ta có PB  2 , P’ PC  3 Tam giác BPP ' vuông cân B nên PP '2  8a Xét tam giác PP ' C có PC  9a  PP '2  P ' C PP '  P ' C BP ' C  135 Hiển nhiên tam giác APB CP ' B nhau, APB  BP ' C  135 Bài 12: Thực phép quay tâm A , góc quay 60 (hoặc 60 ) biến C thành C ' cho C ' B nằm hai phía AC Hai tam giác AMC ' ABC (c.g.c) C ' M  CA  C ' C C ' MC  70 Từ : 41 BMC  180  ( AMC '  C ' MC )  180  150  30 42 C KẾT LUẬN Việc đưa phép biến hình vào chương trình phổ thông giúp học sinh biết mội quan hệ nhờ ánh xạ – tập điểm mặt phẳng Nó cung cấp công cụ hữu hiệu để giải toán hình học, phát triển tư cho học sinh Cụ thể khóa luận đưa số toán cách sử dụng phép quay mặt phẳng toán: toán chứng minh, toán tính toán, toán dựng hình, toán quỹ tích Mỗi toán có ví dụ minh họa số kết rút từ ví dụ đó, đưa ví dụ việc sử dụng phép quay để xay dựng sáng tạo toán Bên cạnh bổ sung số tập luyện tập có gợi ý cách giải giúp người đọc thấy tính ưu việt giải toán hình học sử dụng biến hình ( cụ thể phép quay) Mặc dù thân cố gắng song hạn chế trình độ chuyên môn tính gấp rút thời gian nên chắn khóa luận không tránh khỏi khuyết điểm sai xót, em kính mong thầy cô, bạn sinh viên đóng góp ý kiến để khóa luận hoàn thiện Em xin chân thành cảm ơn ! 43 D TÀI LIỆU THAM KHẢO 1) Đoàn Quỳnh (Chủ biên), Tài liệu chuyên Toán - Bài tập Hình học 10 (2012), NXBGDVN 2) Đoàn Quỳnh (Chủ biên),Tài liệu chuyên Toán - Hình học 10 (2012), NXBGDVN 3) Nguyễn Mộng Hy, Các phép biến hình mặt phẳng (2003), NXB Giáo Dục 4) Nguyễn Vĩnh Cận, Các toán quỹ tích dựng hình (1998), NXB Giáo Dục 5) Đỗ Thanh Sơn, Phép biến hình mặt phẳng (2006), NXB Giáo Dục 44 LỜI CẢM ƠN Trong trình thực khóa luận em nhận nhiều giúp đỡ quý báu bổ ích từ thầy cô bạn bè Em xin chân thành cảm ơn: Các thầy cô khoa Toán, trường Đại học sư phạm Hà Nội tận tình giảng dạy, truyền thụ kiến thức kinh nghiệm quý báu để em hoàn thành tốt khóa học Đặc biệt, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy Phan Hồng Trường, người trực tiếp hướng dẫn, tận tâm,nhiệt tình giúp đỡ bảo suốt trình em thực khóa luận Em xin chân thành cảm ơn thầy cô giáo tổ Hình học – khoa Toán, thư viện nhà trường, gia đình bạn bè tạo điều kiện, động viên, giúp đỡ để em hoàn thành khóa luận Hà Nội, ngày 10 tháng năm 2013 Sinh viên Khúc Thị Tuyền 45 LỜI CAM ĐOAN Tôi cam đoan khóa luận “Phép quay quanh điểm E2” kết nghiên cứu thân hướng dẫn thầy Phan Hồng Trường Tôi xin khẳng định kết nghiên cứu khóa luận không trùng với kế tác giả khác Nếu sai xin chịu hoàn toàn trách nhiệm Hà Nội, ngày 10 tháng năm 2013 Sinh viên Khúc Thị Tuyền 46 MỤC LỤC A MỞ ĐẦU 1 Lý chọn đề tài Nhiệm vụ nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu B NỘI DUNG Chương I CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ ĐẠI CƯƠNG VỀ PHÉP BIẾN HÌNH TRONG MẶT PHẲNG 2 PHÉP QUAY QUANH MỘT ĐIỂM Chương ỨNG DỤNG CỦA PHÉP QUAY QUANH MỘT ĐIỂM TRONG E2 VÀO VIỆC GIẢI LỚP CÁC BÀI TOÁN CƠ BẢN 10 Ứng dụng phép quay vào giải toán chứng minh 10 1.1 Bài toán chứng minh 10 1.2 Giải toán chứng minh sử dụng phép biến hình 10 1.3 Một số ví dụ: 11 1.4 Khai thác toán chứng minh nhờ phép biến hình 15 Ứng dụng phép quay vào giải toán quỹ tích 16 2.1 Bài toán quỹ tích 16 2.2 Giải toán quỹ tích nhờ sử dụng phép biến hình 16 2.3 Một số ví dụ 17 Ứng dụng phép quay vào giải toán dựng hình 19 3.1 Bài toán dựng hình 19 3.2 Giải toán dựng hình nhờ phép biến hình 20 3.3 Một số ví dụ 20 Ứng dụng phép quay vào giải toán tính toán 24 4.1 Bài toán tính toán 24 4.2.Giải toán tính toán sử dụng phép biến hình 24 Xây dựng toán nhờ sử dụng phép quay 26 BÀI TẬP: 34 C KẾT LUẬN 43 D TÀI LIỆU THAM KHẢO 44 47 [...]... BC , DA và về phía trong tứ giác ta dựng các tam giác đều BCP và ADQ Chứng minh rằng MP  NQ Giải Phép quay tâm B với góc quay 60 biến điểm M thành điểm A , điểm P thành điểm C , khi đó MP  AC Phép quay tâm D với góc quay 60 biến điểm Q thành điểm A , điểm N thành điểm C , khi đó QN  AC Từ các kết quả trên ta suy ra MP  NQ * Ví dụ 5: Cho hình vuông ABCD và điểm M nằm trong hình vuông sao... của M trong phép  BN  BM quay tâm B , góc quay là 60  Vậy quỹ tích của N là nửa đường tròn ảnh của nửa đường tròn đường kính AB trong phép quay tâm B , góc quay 60 Chú ý : ta có hai đường tròn như thế, do việc chọn hai chiều quay * Ví dụ 4: Cho nửa đường tròn đường kính AB Một điểm C di chuyển trên nửa đường tròn ấy Trên tia AC ta lấy điểm M sao cho BC Tìm quỹ tích điểm M Giải Lấy điểm C... đường thẳng d3 trong phép quay tâm A , góc quay 60 Bước 2(Cách dựng): - Dựng đường thẳng d '3 , ảnh của đường thẳng d3 trong phép quay tâm A , góc quay 60  Ta thực hiện bước này như sau: Kẻ AH  d3 Dựng một tia Ax hợp với tia AH một góc 60 Trên tia Ax lấy một điểm H ' sao cho AH '  AH Dựng đường thẳng d '3 đi qua H ' và vuông góc với Ax ; d '3 cắt d 2 tại B - Lấy A làm tâm, quay cung tròn... đã dựng thỏa mãn điều kiện bài toán, trong đó B  d Phép quay tâm A , góc quay 90  biến B  d  C  d ', d  d1 đi qua C , khi đó C là giao điểm của hai đường thẳng d ' và d1 Bước 2(Cách dựng): Ta có cách dựng sau: - Dựng d1 là ảnh của d qua phép quay tâm A với góc quay 90  - Gọi C là giao điểm của d ' và d1 - Dựng B là ảnh của C qua phép quay tâm A với góc quay 90 Bước 3(Chứng minh): Bước 4(Biện... là ưu điểm lớn nhất của việc sử dụng phép biến hình vào giải toán quỹ tích 16 Do đó, muốn sử dụng phép biến hình dựa vào giải toán tìm tập hợp các điểm M thỏa mãn tính chất nào đó, ta có thể chọn một phép biến hình thích hợp biến điểm M thành điểm M ' sao cho quỹ tích điểm M ' tìm được dễ dàng hơn, từ đó suy ra quỹ tích điểm M 2.3 Một số ví dụ * Ví dụ 1: Cho tam giác đều ABC Tìm tập hợp các điểm M... các cặp cạnh đối bằng nhau  Bài 9: Cho đường tròn (O) , một điểm A cố định và một góc  Với mỗi điểm B thuộc đường tròn, ta dựng tam giác cân ABC có A   Tìm tập hợp đỉnh C khi B thay đổi  Bài 10: Cho phép quay Q(O, ) và điểm S cố định khác O Tìm tập hợp điểm A mà phép quay đó biến A thành A ' sao cho AA ' đi qua S  Bài 11: Điểm P nằm trong hình vuông ABCD và thỏa mãn điều kiện PA : PB : PC... phát biểu lại một vài điều kiện của giả thiết A hoặc kết luận B để nhận được bài toán mới Giải bài toán chứng minh nhờ sử dụng phép quay là chọn phép quay cho phù hợp để tìm ra lời giải của bài toán 2 Ứng dụng của phép quay vào giải bài toán quỹ tích 2.1 Bài toán quỹ tích Bài toán quỹ tích là bài toán tìm một tập hợp điểm ( còn gọi là một hình ) có tính chất  cho trước Quỹ tích các điểm M có tính... cho việc tính toán (cùng một tam giác, cùng một đường tròn,…) Đặc biệt phép quay là công cụ ưu việt để giải các bài toán tính toán vì đã biết số đo góc quay 4.3 .Một số ví dụ * Ví dụ 1: Cho tam giác cân ABC ( AB  AC ) có BAC  80 Bên trong tam giác ta lấy điểm M sao cho MBC  30 , MCB  10 Tính MAC Giải Thực hiện phép quay Q( A, 60) :C  E và CAE  60 Tia AE nằm trong góc BAC (xem hình vẽ)... thẳng d , điểm A cố định không nằm trên d Với mỗi điểm B  d ta dựng tam giác đều ABC Tìm tập hợp điểm C , khi B thay đổi trên đường thẳng d Giải Từ điều kiện bài toán ta suy ra C là ảnh của B qua phép quay tâm A với góc quay 60  Do đó tập hợp C là ảnh của d qua phép quay đó * Ví dụ 3: Cho nửa đường tròn đường kính AB và một điểm M chuyển động trên nửa đường tròn ấy Tìm quỹ tích các điểm N sao... * Ví dụ 3: Tìm tất cả các phép quay của mặt phẳng biến hình vuông ABCD thành chính nó Giải Phép quay biến ABCD thành chính nó khi và chỉ khi ảnh của bốn đỉnh A, B.C , D phải là một hoán vị của bốn đỉnh đó Khi đó, tâm O của hình vuông ABCD phải biến thành điểm cách đều cả bốn đỉnh A, B, C , D , tức là biến thành O Vậy O phải là điểm bất động của phép quay cần tìm Khi góc quay   0 , do cạnh góc vuông ... CƯƠNG VỀ PHÉP BIẾN HÌNH TRONG MẶT PHẲNG 2 PHÉP QUAY QUANH MỘT ĐIỂM Chương ỨNG DỤNG CỦA PHÉP QUAY QUANH MỘT ĐIỂM TRONG E2 VÀO VIỆC GIẢI LỚP CÁC BÀI TOÁN CƠ BẢN 10 Ứng dụng phép quay vào... MP  NQ Giải Phép quay tâm B với góc quay 60 biến điểm M thành điểm A , điểm P thành điểm C , MP  AC Phép quay tâm D với góc quay 60 biến điểm Q thành điểm A , điểm N thành điểm C , QN ... CỦA PHÉP QUAY QUANH MỘT ĐIỂM TRONG E2 VÀO VIỆC GIẢI LỚP CÁC BÀI TOÁN CƠ BẢN Cũng phép biến hình khác, phép quay công cụ hữu hiệu để giải toán hình học Để giải toán phép quay ta cần ý số điểm