PHẦN MỘT: MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Trong nhà trường phổ thông, hình học môn khó học sinh, tính chặt chẽ, logic tính trừu tượng hình học cao môn học khác Đặc biệt phép biến hình sơ cấp phần quan trọng hình học công cụ hữu ích toán hình học phẳng hình học không gian Việc đưa nội dung phép biến hình vào chương trình toán bậc trung học sở trung học phổ thông nhằm cung cấp cho học sinh công cụ để giải toán mà tập cho học sinh làm quen với phương pháp tư suy luận mới, biết nhìn nhận việc tượng xung quanh sống với vận động biến đổi chúng để nghiên cứu, tìm tòi, khám phá, tạo sở cho đời phát minh sáng tạo tương lai Phép đối xứng tâm phép biến hình sơ cấp vận dụng để giải toán dựng hình, quỹ tích, chứng minh, tính toán… Tuy nhiên việc vận dụng phép đối xứng tâm E 2,E3 để giải toán hình học việc dễ dàng Thực tế phần khó giáo viên học sinh Vì thời gian có hạn nên em xin trình bày kiến thức phép đối xứng tâm E2,E3 Mục đích nghiên cứu đề tài Nghiên cứu phép đối xứng tâm ứng dụng lớp tập hình học Đối tượng nghiên cứu Phép đối xứng tâm E2, E3 Nhiệm vụ nghiên cứu Trình bày sở lý thuyết phép đối xứng tâm Các ví dụ minh họa thể ứng dụng phép đối xứng tâm lớp toán hình học sau:  Chứng minh tính chất hình học  Dựng hình  Tập hợp điểm  Bài toán cực trị Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu tài liệu liên quan đến phép đối xứng tâm Nội dung đề tài Phần Mở đầu Phần Nội dung Đại cương phép biến hình Định nghĩa tính chất phép đối xứng tâm Ứng dụng phép đối xứng tâm việc giải số lớp toán hình học Phần Một số kết luận kiến nghị Kế hoạch nghiên cứu Tháng 9/2012 đến tháng 1/2012 nhận đề tài hoàn thành đề cương Tháng 2/2013 đến tháng 3/2013 tìm hiểu sở lý thuyết, tìm tài liệu tham khảo Tháng 4/2013 đến tháng 5/2013 hoàn thành đề tài PHẦN HAI: NỘI DUNG Chương ĐẠI CƯƠNG VỀ PHÉP BIẾN HÌNH Định nghĩa Mỗi song ánh f: En→ En gọi phép biến hình không gian En(n=2,3) Định nghĩa Cho phép biến hình f: En→ En ta có khái niệm sau:  Điểm M thuộc En gọi điểm bất động phép biến hình f f(M) = M  Hình H nằm En gọi hình kép f(H) = H  Hình H gọi hình bất động phép biến hình f nếu:  M  H: f(M)=M Định nghĩa Phép biến hình f: En → En gọi phép biến hình đối hợp nếu: f2 = IdE2 Ví dụ: Phép đối xứng tâm… Chương PHÉP ĐỐI XỨNG QUA TÂM Định nghĩa Trong không gian En(n=2,3) cho điểm O phép biến hình En biến M thành M’ cho: OM ' = - OM gọi phép đối xứng qua O O: gọi tâm đối xứng Kí hiệu: ĐO Tính chất  Trong E2: Phép đối xứng tâm phép bảo tồn phương E3: Phép đối xứng tâm phản chiếu bảo tồn phương f: E3 → E3 biến điểm M thành M’, biến điểm N thành N’ ta có: M ' N ' = - MN  Phép đối xứng tâm ĐO có điểm bất động  Phép đối xứng tâm ĐO phép biến hình 1-1  Tích ba phép đối xứng tâm với ba tâm đối xứng phân biệt phép đối xứng tâm Ứng dụng phép đối xứng qua tâm § CHỨNG MINH TÍNH CHẤT HÌNH HỌC Ví dụ Chứng minh tam giác có đường trung tuyến đường phân giác xuất phát từ đỉnh mà trùng tam giác tam giác cân A D B 2 C A’ Giải: Thật , giả sử tam giác ABC có đường trung tuyến AD đồng thời đường phân giác Dễ thấy B,C đối xứng với qua D Gọi A’=ĐD(A) tứ giác ABA’C hình bình hành tâm D Bởi vậy, AC=BA’, Â’2 = Â2 = Â1 suy ra: Tam giác BAA’ cân B BA’=BA suy ra: AB=AC tam giác ABC cân A Chú thích: Về toán đòi hỏi vận dụng kiến thức SGK hình học 7, nhiên cần phải vẽ thêm hình phụ Ở sử dụng ngôn ngữ biến hình việc trình bày lời giải toán (cụ thể phép đối xứng tâm) Ví dụ Cho tam giác ABC Trên cạnh BC,CA,AB ta lấy điểm A1 A2, B1 B2, C1 C2 cho điểm nằm đường tròn Chứng minh đường thẳng qua A1 vuông góc với BC, qua B1 vuông góc với AC, qua C1 vuông góc với AB đồng quy đường thẳng qua A2 vuông góc với BC, qua B2 vuông góc với AC, qua C2 vuông góc với AB đồng quy Giải: A x B1 C2 x’ C1 A’1 B B2 A2 C A1 Gọi x dường thẳng qua A1 vuông góc với BC, (O) đường tròn qua điểm nêu toán Gọi A’1 giao diểm thứ x với (O) rõ ràng A’1A2 đường kính (O) Vì phép đối xứng ĐO biến A’1 thành A2 Do biến đường thẳng x thành đường thẳng x’ qua A2 x//x’ hay x’ BC Tương tự ĐO biến đường thẳng y thành đường thẳng y’ qua B2 vuông góc với AC, biến đường thẳng z thành đường thẳng z’ qua C vuông góc với AB(trong y, z đường thẳng qua B1 vuông góc với AC, qua C1 vuông góc với AB) Vậy S điểm chung x, y, z ảnh S’ S qua phép đối xứng tâm ĐO điểm chung x’, y’, z’ Suy điều phải chứng minh Ví dụ Cho hình bình hành ABCD đường tròn bàng tiếp (O) tam giác ABD tiếp xúc với phần kéo dài AB AD tương ứng điển M N Đoạn thẳng MN cắt BC DC tương ứng điểm P,Q Chứng minh đường tròn nội tiếp tam giác BCD tiếp xúc với cạnh BC, DC P Q Giải: A M’ N’ O’ B H I K M P Q O D N C Gọi K tiếp điểm (O) với BD (O’) đường tròn nội tiếp tam giác ABD tiếp xúc với AB M’, AD N’ với BD H I trung điểm BD Dễ thấy MM’ = BK+BH, NN’ = DK+DH MM’ = NN’  BH+HK+BH=DK+DK+HK  BH=DK mà IB=ID nên IH=IK Rõ ràng phép đối xứng tâm ĐI biến B thành D, H thành K Tam giác AMN cân A DQ // AM nên tam giác DQN cân D suy DQ = DN = DK = BH = BM’ Thế Q ảnh M’ qua ĐI Tương tự P ảnh N’ qua ĐI Ta có ĐI biến A,B,D thành C,D,B nên ĐI biến tam giác ABD thành tam giác CDB Vậy ĐI biến đường tròn (O’) nội tiếp tam giác ABD thành đường tròn (O’’) nội tiếp tam giác CDB Mà ĐI biến M’,N’,H thành Q,P,K (O’) qua M’,N’,H nên (O’’) qua Q,P,K Suy điều phải chứng minh Ví dụ Cho ABCD tứ giác nội tiếp đường tròn cho trước Từ M,N P,Q trung điểm cạnh AB,BC,CD,DA ta vẽ đường thẳng vuông góc với cạnh đối diện tương ứng Chứng minh đường thẳng đồng quy Giải: Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABCD Dễ thấy MNPQ hình bình hành Gọi I tâm tứ giác MNPQ Ta có phép đối xứng tâm ĐI biến M,N,P,Q thành P,Q.M,N Ta có OM,ON,OP,OQ vuông góc với AB,BC,CD,DA Do tính chất phép đối xứng tâm nên đường thẳng OM qua M biến thành đường thẳng qua P song song với OM Đó đường thẳng qua P vuông góc với AB 10 Dựng C= b’∩c Dựng B= ĐI(C)  Chứng minh: Theo cách dựng ta có: b’= ĐI(b), ĐI(B)=C mà C thuộc b’ nên B thuộc b.ta lại có C thuộc c suy dựng tam giác ABC thỏa mãn toán  Biện luận: b’//c toán vô nghiệm hình b’ cắt c toán có nghiệm hình b’ trùng c toán có vô số nghiệm 26 Những tập luyện tập tương ứng Dựng tam giác ABC biết độ dài trung tuyến kẻ từ đỉnh A,B góc C HD: Kí hiệu AM,BN trung tuyến G trọng tâm tam giác ABC Phép đối xứng tâm ĐM biến B thành C biến G thành G’ Khi G’C=GB= 2mb 2mb điều chứng tỏ C nằm đường tròn tâm G’ với bán kính R’= 3 mặt khác C nằm cung chứa góc dựng AM Cho đường tròn tâm O đường thẳng d điểm A không nằm d (O) Tìm điểm B (O) cho BA cắt d C thỏa mãn AB=AC HD: Phép đối xứng qua A biến C thành B nên biến d thành d’ cắt đường tròn (O) B Cho góc xOy điểm A,C nằm góc Hãy dựng điểm B,D cạnh Ox,Oy cho tứ giác ABCD hình bình hành HD: Gọi I trung điểm AC Phép đối xứng qua I biến B thành D nên biến Ox thành tia O’x’ qua D D giao điểm tia O’x’ với tia Oy 27 § TÌM TẬP HỢP ĐIỂM Ví dụ Cho mặt phẳng (P) điểm A,B,C,D Với điểm M thuộc (P) ta xác định điểm N theo công thức MA + MB + MC + MD =2 MN Tìm tập hợp điểm N M biến thiên (P) Giải: Gọi G trọng tâm điểm A,B,C,D Với điểm M Theo công thức trọng tâm ta có: MG = MA + MB + MC + MD 4 MG =2 MN  MG = MN 2 MG = MG + GN  MG =- NG Hệ thức chứng tỏ tập hợp N mặt phẳng đối xứng với (P) qua G Nhận xét: Ta mở rộng toán E3 ta toán sau: Cho mặt cầu (O) điểm A,B,C,D Với điểm M thuộc mặt cầu ta xác định điểm N theo hệ thức MN =2 MA +3 MB +4 MC +5 MD Tìm tập hợp điểm N M biến thiên mặt cầu Giải: Gọi G điểm cho GA +3 GB +4 GC +5 GD = O ta có MN =14 MG hay MG +7 GN =14 MG tương đương với GN =- GM suy tập hợp N mặt cầu đối xứng với (O) qua G 28 Ví dụ Cho tam giác ABC đường tròn (O) Trên cạnh AB ta lấy điểm E cho BE=2AE F trung điểm cạnh AC I đỉnh thứ tư hình bình hành AEIF với điểm P đường tròn (O) ta dựng điểm Q cho PA +2 PB +3 PC =6 IQ Tìm tập hợp điểm Q P thay đổi A F E I C B P Giải Gọi K điểm thỏa mãn điều kiện KA +2 KB +3 KC = O  AK =2 KB +3 KC  AK =2( KA + AB ) +3( KA + AC )6 AK =2 AB +3 AC (1) Ta có: AI = AE + AF = AB + AC 6 AI =2 AB +3 AC (2) Từ (1)(2) suy K≡I  IA +2 IB +3 IC = O Theo giả thiết: PA +2 PB +3 PC =6 IQ  PI + IA +2 PI +2 IB +3 PI +3 IC =6 IQ 6 PI =6 IQ  IP =- IQ  P,Q đối xứng qua I Vậy tập hợp Q đường tròn (O’) ảnh (O) qua ĐI 29 Ví dụ Cho tam giác ABC gọi A’,B’,C’ trung điểm cạnh BC,CA,AB Tìm tập hợp M tam giác cho ảnh M qua phép đối xứng tâm ĐA’, ĐB’, ĐC’ nằm đường tròn ngoại tiếp tam giác Giải: A M2 M C B M1 M2= ĐB’(M), M1=ĐA’(M) đó: CM =- AM =- BM suy ra: ABM1M2 hình bình hành Hơn ABM1M2 hình bình hành nội tiếp đường tròn nên ABM1M2 hình chữ nhật CMAB Chứng minh tương tự ta có BMAC Vậy M giao điểm ba đường cao tam giác Vậy ABC tam giác nhọn tập hợp điểm trực tâm tam giác Nếu ABC tam giác không nhọn tập hợp M tập rỗng 30 Ví dụ Cho đường tròn (O) ba điểm A,B,C phân biệt Với điểm P thuộc đường tròn ta xác định P1 ảnh P phép đối xứng ĐA, P2 ảnh P1 qua phép đối xứng ĐB, P’ ảnh P2 phép đối xứng ĐC Tìm tập hợp P’ P biến thiên đường tròn (O) Giải: P1 A D P’ P B C P2 Ta có: ĐA biến P thành P1 ĐB biến P1 thành P2 ĐC biến P2 thành P’ Theo tính chất tích phép đối xứng tâm với ba tâm đối xứng phân biệt phép đối xứng tâm Nên ĐD=ĐC.ĐB.ĐA biến P thành P’ D dễ dàng xác định hệ thức BD = BA + BC D điểm cố định Vậy tập hợp P’ đường tròn (O’) (O’) ảnh đường tròn (O) phép đối xứng ĐD 31 Những tập luyện tập tương ứng Cho đoạn thẳng BC cố định số k>0 Với điểm A ta xác định điểm D cho AD = AB + AC Tập hợp điểm D A thay đổi thoả mãn điều kiện AB2 + AC2 = k HD: Gọi I trung điểm BC AI = AB + AC = AD suy I trung điểm AD ĐI biến A thành D mà tập hợp A thỏa mãn điều kiện cho đường tròn điểm rỗng tập hợp D đường tròn điểm rỗng Cũng đề thay tìm tập hợp điểm D A thay đổi thỏa mãn điều kiện AB2 – AC2 = k HD: Tập hợp A đường thẳng d vuông góc với BC Gọi I trung điểm BC I cố định A đối xứng với D qua I Vậy tập hợp D đường thẳng Cho đoạn thẳng AB hai tia Ax,Ay vuông góc với AB nằm phía với đường thẳng AB Xét hình thoi MNPQ có đỉnh M nằm đoạn AB, đỉnh P Ax đỉnh Q By có góc nhọn đỉnh M 60 Tìm tập hợp đỉnh N HD: Gọi I giao điểm đường chéo hình thoi I cố định phép đối xứng qua I biến M thành N 32 § BÀI TOÁN CỰC TRỊ Ví dụ: Cho tam giác ABC điểm O nằm tam giác Gọi A’,B’,C’ ảnh A,B,C qua phép đối xứng tâm O T đa giác tạo phần chung hai tam giác ABC A’B’C’ Tìm vị trí O cho T có diện tích lớn Giải: B’ C’ A H K O A’ C B M Ta có hai trường hợp TH1: A’ ảnh A qua ĐO nằm tam giác Vì ĐO biến A thành A’, B thành B’ nên AB//A’B’ (1) Vì ĐO biến A thành A’, C thành C’ nên AC//A’C’(2) Từ (1)(2) suy ra: T hình bình hành có hai cạnh liên tiếp nằm AB,AC đường chéo AA’ Gọi M giao điểm AA’ với BC Dựng hình bình hành AKMH có MK//AC MH//AB (KAB,HAC) rõ ràng T bị chứa hình bình hành AKMH 33 Do đó: dt(T)  dt(AKMH) Ta có AK AH AB AC dt( AHK ) = dt( ABC ) Do MK//AC,MH//AB nên Và AK CM AH BM = , = AB BC AC BC AK AH + =1 AB AC Theo bất đẳng thức cauchy ta có: AK AH AB AC  AK AH ( + ) = AB AC  dt(AHK)  dt(ABC) tương đương với dt(AKMH)  dt(ABC) Vậy dt(T) lớn phần hai diện tích ABC Dấu xảy AK AH = = suy A’ ≡ M, M trung điểm BC  O trung AB AC điểm AM A S1 Q C’ R P B B’ S O S3 S2 N C M A’ TH2: A’,B’,C’ nằm tam giác ABC Khi T lục giác Phép đối xứng tâm ĐO biến A,B,C thành A’,B’,C’ nên T lục giác có cặp cạnh đối song song 34 Gọi S1,S2,S3 diện tích tam giác nhỏ bị cắt từ tam giác ABC đường thẳng B’C’, C’A’, A’B’(hình vẽ) S diện tích tam giác tam giác ABC Ta có S1 AQ =( ) AB S S2 BP =( ) S AB S3 PQ =( ) S AB Suy ra: S1+S2+S3 = S[( AQ BP PQ ) +( ) +( )] AB AB AB Áp dụng bất đẳng thức bunhiacopski ta có S1+S2+S3  S AQ BP PQ S ( + + ) = AB AB AB Vậy min(S1+S2+S3) = S AQ BP PQ xảy = = hay O trọng tâm AB AB AB tam giác ABC Ta xét diện tích T rõ ràng dt(T) lớn S1+S2+S3 nhỏ Vậy max dt(T) = S 35 PHẦN BA: MỘT SỐ KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ LỜI KẾT LUẬN Trước tiên em xin gửi lời cảm ơn chân thành sâu sắc tới thầy cô trường Đại học Sư phạm Hà Nội nói chung thầy cô khoa toán nói riêng, tận tình giảng dạy , truyền đạt cho em kiến thức kinh nghiệm quý báu suốt thời gian qua Đặc biệt em xin gửi lời cảm ơn đến thầy Phan Hồng Trường tận tình giúp đỡ, trực tiếp bảo, hướng đẫn em suốt trình làm khóa luận tốt nghiệp Trong thời gian làm việc với thầy, em không ngừng tiếp thu thêm nhiều kiến thức bổ ích mà học tập tinh thần làm việc, thái độ nghiêm cứu khoa học nghiêm túc, hiệu quả, điều cần thiết cho em trình học tập công tác sau Hà Nội, tháng năm 2013 Nguyễn Thanh Nga 36 TÀI LIỆU THAM KHẢO Hình học số vấn đề liên quan Nhà xuất giáo dục Nguyễn Văn Mậu (chủ biên), xuất năm 2008 Phương pháp giải toán hình học 11 theo chủ đề Nhà xuất giáo dục Việt Nam Đỗ Thanh Sơn (chủ biên), xuất năm 2010 Tài liệu chuyên toán hình học 10 Nhà xuất giáo dục Việt Nam Đoàn Quỳnh(chủ biên), xuất năm 2012 Tài liệu chuyên toán tập hình học 10 Nhà xuất giáo dục Việt Nam, Đoàn Quỳnh(chủ biên), xuất năm 2012 Tài liệu chuyên toán hình học 11 Nhà xuất giáo dục Việt N am Đoàn Quỳnh(chủ biên), xuất năm 2012 Tài liệu chuyên toán tập hình học 11 Nhà xuất giáo dục Việt Nam, Đoàn Quỳnh(chủ biên), xuất năm 2011 37 LỜI CẢM ƠN Trong thời gian vừa qua, giúp đỡ thầy cô giáo bạn sinh viên lớp Em hoàn thành khóa luận tốt nghiệp với đề tài “Phép đối xứng tâm E2, E3” Em xin chân thành cảm ơn thầy, cô giáo tổ hình học tạo điều kiện cho em hoàn thiện khóa luận Và đặc biệt, em xin chân thành cảm ơn thầy giáo Phan Hồng Trường người trực tiếp hướng dẫn em hoàn thành khóa luận Hà Nội, tháng năm 2013 Sinh viên Nguyễn Thanh Nga 38 LỜI CAM ĐOAN Em xin cam đoan khóa luận tốt nghiệp công trình nghiên cứu thân em hướng dẫn thầy Phan Hồng Trường Các kết nêu khóa luận tốt nghiệp trung thực, chép toàn văn công trình Sinh viên Nguyễn Thanh Nga 39 MỤC LỤC PHẦN MỘT: MỞ ĐẦU 1 Lý chọn đề tài Mục đích nghiên cứu đề tài Đối tượng nghiên cứu Nhiệm vụ nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Nội dung đề tài Kế hoạch nghiên cứu PHẦN HAI: NỘI DUNG Chương ĐẠI CƯƠNG VỀ PHÉP BIẾN HÌNH Định nghĩa Định nghĩa 3 Định nghĩa Chương PHÉP ĐỐI XỨNG QUA TÂM Định nghĩa Tính chất Ứng dụng phép đối xứng qua tâm § CHỨNG MINH TÍNH CHẤT HÌNH HỌC § DỰNG HÌNH 15 § TÌM TẬP HỢP ĐIỂM 28 § BÀI TOÁN CỰC TRỊ 33 PHẦN BA: MỘT SỐ KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 36 LỜI KẾT LUẬN 36 TÀI LIỆU THAM KHẢO 37 40 [...]...Như vậy qua phép đối xứng tâm ĐI các đường thẳng OM,ON,OP,OQ lần lượt biến thành các đường thẳng đi qua P,Q,M,N và vuông góc với các cạnh đối diện tương ứng 11 Ví dụ 5 Cho ba điểm A,B,C với điểm M bất kì khác ba điểm đã cho ta kí hiệu M1 là ảnh của M qua phép đối xứng tâm A M2 là ảnh của M1 qua phép đối xứng tâm B và M3 là ảnh của M2 qua phép đối xứng tâm C Ta dựng điểm D thỏa mãn... biến P1 thành P2 ĐC biến P2 thành P’ Theo tính chất 5 thì tích của 3 phép đối xứng tâm với ba tâm đối xứng phân biệt là một phép đối xứng tâm Nên ĐD=ĐC.ĐB.ĐA biến P thành P’ và D dễ dàng được xác định bởi hệ thức BD = BA + BC và D là điểm cố định Vậy tập hợp P’ là đường tròn (O’) trong đó (O’) là ảnh của đường tròn (O) trong phép đối xứng ĐD 31 Những bài tập luyện tập tương ứng 1 Cho đoạn thẳng BC cố... tâm O’ là ảnh của đường tròn tâm O qua phép đối xứng tâm I Hơn nữa B,D vừa thuộc đường tròn tâm O vừa thuộc đường tròn tâm O’ nên B,D đối xứng với nhau I A,C đối xứng với nhau qua I nên: ABCD là hình bình hành  Biện luận: Nếu I nằm trong đường tròn tâm O thì bài toán có nghiệm hình Nếu I nằm ngoài đường tròn tâm O thì bài toán vô nghiệm hình ` 22 Ví dụ 4 Cho 4 đường thẳng trong đó không có hai đường... nếu ABC là tam giác nhọn thì tập hợp là một điểm và là trực tâm của tam giác Nếu ABC là tam giác không nhọn thì tập hợp M là tập rỗng 30 Ví dụ 4 Cho đường tròn (O) và ba điểm A,B,C phân biệt Với mỗi điểm P thuộc đường tròn ta xác định P1 là ảnh của P trong phép đối xứng ĐA, P2 là ảnh của P1 qua phép đối xứng ĐB, P’ là ảnh của P2 trong phép đối xứng ĐC Tìm tập hợp P’ khi P biến thiên trên đường tròn (O)... toán Khi đó phép đối xứng tâm I biến B thành D và biến D thành B Suy ra B,D thuộc đường tròn (O,R) và đường tròn (O’,R) là ảnh của (O,R) qua ĐI  Dựng hình: Dựng I là trung điểm của AC Dựng ảnh của đường tròn tâm O qua phép đối xứng tâm I là đường tròn O’ Gọi B,D là giao điểm của hai đường tròn tâm O và tâm O’ ABCD là hình bình hành cần dựng  Chứng minh: Theo cách dựng: Vì đường tròn tâm O’ là ảnh... các trung tuyến G là trọng tâm tam giác ABC Phép đối xứng tâm ĐM biến B thành C biến G thành G’ Khi đó G’C=GB= 2mb 2mb điều đó chứng tỏ C nằm trên đường tròn tâm G’ với bán kính R’= 3 3 mặt khác C nằm trên cung chứa góc dựng trên AM 2 Cho đường tròn tâm O đường thẳng d và điểm A không nằm trên d và (O) Tìm điểm B trên (O) sao cho BA cắt d tại C thỏa mãn AB=AC HD: Phép đối xứng qua A biến C thành B nên... + MC + MD =2 MN Tìm tập hợp điểm N khi M biến thiên trong (P) Giải: Gọi G là trọng tâm của 4 điểm A,B,C,D Với điểm M bất kì Theo công thức trọng tâm ta có: 4 MG = MA + MB + MC + MD 4 MG =2 MN  2 MG = MN 2 MG = MG + GN  MG =- NG Hệ thức đó chứng tỏ tập hợp N là mặt phẳng đối xứng với (P) qua G Nhận xét: Ta có thể mở rộng bài toán trên trong E3 ta được bài toán sau: Cho mặt cầu (O) và 4 điểm A,B,C,D... +2 PB +3 PC =6 IQ  PI + IA +2 PI +2 IB +3 PI +3 IC =6 IQ 6 PI =6 IQ  IP =- IQ  P,Q đối xứng nhau qua I Vậy tập hợp Q là đường tròn (O’) là ảnh của (O) qua ĐI 29 Ví dụ 3 Cho tam giác ABC gọi A’,B’,C’ lần lượt là trung điểm của các cạnh BC,CA,AB Tìm tập hợp M trong tam giác sao cho ảnh của M qua các phép đối xứng tâm ĐA’, ĐB’, ĐC’ đều nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác Giải: A M2 M C B M1 M2=... N 32 § 4 BÀI TOÁN CỰC TRỊ Ví dụ: Cho tam giác ABC và điểm O nằm trong tam giác Gọi A’,B’,C’ là ảnh của A,B,C qua phép đối xứng tâm O T là một đa giác được tạo bởi phần chung của hai tam giác ABC và A’B’C’ Tìm vị trí của O sao cho T có diện tích lớn nhất Giải: B’ C’ A H K O A’ C B M Ta có hai trường hợp TH1: A’ là ảnh của A qua ĐO nằm trong tam giác Vì ĐO biến A thành A’, B thành B’ nên AB//A’B’ (1)... nghiệm của bài toán phụ thuộc vào số giao điểm của d với (O) Nhận xét: Khi thay đường tròn tâm O bởi một hình H có tâm đối xứng là O(hình vuông, hình bình hành,hình chữ nhật)có các đường chéo cắt nhau tại O thì ta có bài toán sau: Cho H(ABCD) có AC∩BD=O và P.Q cố định Hãy dựng đường thẳng đi qua O cắt 2 cạnh đối nhau của H, giả sử AB,CD lần lượt tại E,F sao cho EP=FQ.(2 cạnh AC,BD tương tự) Làm tương ... điểm O phép biến hình En biến M thành M’ cho: OM ' = - OM gọi phép đối xứng qua O O: gọi tâm đối xứng Kí hiệu: ĐO Tính chất  Trong E2: Phép đối xứng tâm phép bảo tồn phương E3: Phép đối xứng tâm. .. phương f: E3 → E3 biến điểm M thành M’, biến điểm N thành N’ ta có: M ' N ' = - MN  Phép đối xứng tâm ĐO có điểm bất động  Phép đối xứng tâm ĐO phép biến hình 1-1  Tích ba phép đối xứng tâm với... tài liệu liên quan đến phép đối xứng tâm Nội dung đề tài Phần Mở đầu Phần Nội dung Đại cương phép biến hình Định nghĩa tính chất phép đối xứng tâm Ứng dụng phép đối xứng tâm việc giải số lớp toán