Khoá luận tốt nghiệp TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN *****&***** VŨ THỊ THANH HUYỀN PHÂN PHỐI XÁC SUẤT CỦA HÀM CÁC BIẾN NGẪU NHIÊN KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP Chuyên ngành: Toán ứng dụng Hà Nội, 2009 Vũ Thị Thanh Huyền K31B CNKH Toán Khoá luận tốt nghiệp TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN *****&***** VŨ THỊ THANH HUYỀN PHÂN PHỐI XÁC SUẤT CỦA HÀM CÁC BIẾN NGẪU NHIÊN KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP Chuyên ngành: Toán ứng dụng Ngƣời hƣớng dẫn khoa học Th.s Nguyễn Trung Dũng Hà Nội, 2009 Vũ Thị Thanh Huyền K31B CNKH Toán Khoá luận tốt nghiệp MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN LỜI CAM ĐOAN LỜI NÓI ĐẦU Chƣơng Kiến thức chuẩn bị 1.1 Hàm phân phối xác suất 1.1.1 Một số định nghĩa 1.1.2 Hàm phân phối xác suất số b.n.n độc lập 1.2 Hàm sinh mômen 1.2.1 Định nghĩa hàm sinh mômen 1.2.2 Hàm sinh mômen số b.n.n độc lập 10 Chƣơng Phân phối xác suất hàm biến ngẫu nhiên 13 2.1 Kĩ thuật dựa hàm phân phối xác suất đồng thời 13 2.1.1 Mô tả phương pháp 13 2.1.2 Phân phối xác suất Max Min 14 2.1.3 Phân phối tổng hiệu hai biến ngẫu nhiên 18 2.1.4 Phân phối tích thương 21 2.2 Kĩ thuật dựa hàm sinh mômen 24 2.2.1 Mô tả phương pháp 24 2.2.2 Phân phối tổng biến ngẫu nhiên độc lập 27 2.3 Kĩ thuật dựa phép biến đổi Y  g  X  32 2.3.1 Trường hợp biến ngẫu nhiên có phân phối rời rạc 32 Vũ Thị Thanh Huyền K31B CNKH Toán Khoá luận tốt nghiệp 2.3.2 Trường hợp biến ngẫu nhiên có phân phối liên tục 34 KẾT LUẬN 43 TÀI LIỆU THAM KHẢO 44 Vũ Thị Thanh Huyền K31B CNKH Toán Khoá luận tốt nghiệp LỜI CẢM ƠN Để hoàn thành khoá luận này, trước hết em xin bày tỏ lòng biếy ơn sâu sắc đến thầy, cô giáo khoa toán nói chung thầy, cô giáo tổ Toán ứng dụng nói riêng tạo điều kiện cho em suốt thời gian làm khoá luận Đặc biệt, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo Nguyễn Trung Dũng- người giúp đỡ em tận tình trình chuẩn bị hoàn thành khoá luận Vũ Thị Thanh Huyền K31B CNKH Toán Khoá luận tốt nghiệp LỜI CAM ĐOAN Khoá luận em hoàn thành sau thời gian miệt mài nghiên cứu với giúp đỡ tận tình thầy giáo, Thạc sĩ Nguyễn Trung Dũng Trong trình làm khoá luận em có tham khảo số tài liệu nêu mục tài liệu tham khảo Em xin cam đoan khoá luận kết nghiên cứu khoa học riêng em không trùng với kết tác giả khác Hà Nội, ngày 13 tháng 05 năm 2009 Sinh viên Vũ Thị Thanh Huyền Vũ Thị Thanh Huyền K31B CNKH Toán Khoá luận tốt nghiệp LỜI NÓI ĐẦU Ngày nay, “ Lý thuyết xác suất” không lĩnh vực toán học mẻ mà trở thành ngành Toán học lớn toán học giới Người ta biết đến lý thuyết xác suất không ngành toán học chặt chẽ lý thuyết mà có ứng dụng rộng rãi nhiều ngành khoa học kĩ thuật, khoa học xã hội nhân văn Đặc biệt gắn liền với khoa học thống kê, khoa học phương pháp thu thập, tổ chức phân tích liệu, thông tin định lượng Với đề tài : “ PHÂN PHỐI XÁC SUẤT CỦA HÀM CÁC BIẾN NGẪU NHIÊN” luận văn trình bày số phương pháp tìm phân phối xác suất hàm biến ngẫu nhiên Luận văn gồm hai chương: Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương trình bày số biến ngẫu nhiên thường gặp hàm sinh mômen Chương Phân phối xác suất hàm biến ngẫu nhiên Trong chương trình bày số phương pháp để tìm phân phối xác suất hàm biến ngẫu nhiên Với khóa luận này, em mong tài liệu bổ ích cho quan tâm đến vấn đề Vũ Thị Thanh Huyền K31B CNKH Toán Khoá luận tốt nghiệp Chƣơng 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 HÀM PHÂN PHỐI XÁC SUẤT 1.1.1 Một số định nghĩa Định nghĩa 1.1 Hàm số FX  x   P   : X    x  , x gọi hàm phân phối xác suất biến ngẫu nhiên X Định nghĩa 1.2 Cho vectơ ngẫu nhiên X   X1, X  Hàm số FX1 , X  x1 , x2  xác định FX1 , X  x1 , x2   P  X  x1 , X  x2  ,   x1 , x2    gọi hàm phân phối xác suất đồng thời vectơ ngẫu nhiên X Từ phân phối xác suất đồng thời X1, X ta tìm phân phối X1 X Khi phân phối X1 X gọi phân phối biên duyên 1.1.2 Phân phối số biến ngẫu nhiên thƣờng gặp a Phân phối nhị thức Định nghĩa 1.3 B.n.n X gọi có phân phối nhị thức với tham số n,p với n   * ,0  p  1, P  X  k   Cn k p k 1  p  nk , k  0, n Kí hiệu X  B  n, p  Đặc biệt n  ta nói X có phân phối Becnuli b Phân phối Poisson Định nghĩa 1.4 B.n.n X gọi có phân phối Poisson với tham số      , Vũ Thị Thanh Huyền K31B CNKH Toán Khoá luận tốt nghiệp P X  k   Kí hiệu e  k k! , k = 0, 1, 2,… X  Poi    c Phân phối chuẩn (phân phối Gauss) Định nghĩa 1.5 B.n.n X gọi có phân phối chuẩn với tham số(  , )với     ,  hàm mật độ xác suất có dạng   x   fX  x  exp  2 2     ,   x    Kí hiệu X  N   ,  Trường hợp đặc biệt,   0,  X gọi có phân phối chuẩn tắc, kí hiệu X  N  0,1  x2 Chú ý: Nếu X  N  0,1 f X  x   e 2 FX  x   x    t2 e dt    x  2 d Phân phối mũ Định nghĩa1.6 Biến ngẫu nhiên X gọi có phân phối mũ với tham số  e   x , x       hàm mật độ xác suất có dạng f X  x    0, x   Kí hiệu X  Exp    Vũ Thị Thanh Huyền K31B CNKH Toán Khoá luận tốt nghiệp e Phân phối Định nghĩa 1.7 Biến ngẫu nhiên X gọi có phân phối đoạn  , x   a, b   a, b hàm mật độ xác suất có dạng f X  x    b  a 0, x   a, b   Kí hiệu X  U  a, b  f Phân phối Gamma Định nghĩa 1.8 Biến ngẫu nhiên X gọi có phân phối Gamma với tham số r  0,   hàm phân phối xác suất có dạng  r   1  rx x e ,x   f X  x    0, x   Kí hiệu X  G  r ,   1.2 HÀM SINH MÔMEN 1.2.1 Định nghĩa hàm sinh mômen Định nghĩa 1.9 Cho biến ngẫu nhiên X Hàm sinh mômen X kí hiệu mX  t  xác định mX  t   E  etX  tồn h>0 cho mX  t  tồn với t  h Chú ý: Thuật ngữ hàm sinh mômen xuất phát từ mômen cấp r X, tính từ mX  t  Thật vậy, sử dụng khai triển Taylor cho hàm e x ta có    tX i   t i t 2E  X  i mX  t   E  e   E   E  X    tE  X      i 0 i !   i ! 2!   i 0 tX Vũ Thị Thanh Huyền 10 (1.1) K31B CNKH Toán Khoá luận tốt nghiệp Đây hàm sinh mômen biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn với trung bình n  i phương sai i 1 n a  i 1 i i , i  1,2, , n    n     x-   i      i 1   fn exp -   x   n n   2  X i    a   i 1 2   ai2 i2  i i     i 1    i 1   Do Trường hợp đặc biệt, X  N   X , X2  , Y  N  Y , Y2  X, Y độc lập X  Y  N   X  Y , X2   Y2  X  Y  N   X  Y , X2   Y2  Nếu X1 ,, X n biến ngẫu nhiên độc lập có phân phối với phân phối chuẩn với trung bình  phương sai 2  2  n Xn   Xi  N   ,  n i 1 n   Một ứng dụng không nhắc tới kĩ thuật định lý giới hạn trung tâm Đó định lý vô quan trọng lý thuyết xác suất Định lý 2.6 ( Định lý giới hạn trung tâm) Nếu với số nguyên dương n, X1 ,, X n biến ngẫu nhiên độc lập có phân phối với trung bình  X phương sai  X2 , với z lim FZn  z     z  , n Z n  X n Vũ Thị Thanh Huyền  E  X n  D  X n   n X n  X X 32 K31B CNKH Toán Khoá luận tốt nghiệp Hệ 2.4 Nếu X1 ,, X n biến ngẫu nhiên độc lập có phân phối với trung bình  X phương sai  X2   X  X P a  n n  b    b     a  X    d  X P c  X n  d     n X  n  s  n X   P r   Xi  s    i 1    n X Vũ Thị Thanh Huyền 33   c  X    n X     r  n X      n X       K31B CNKH Toán Khoá luận tốt nghiệp 2.3 KĨ THUẬT DỰA TRÊN PHÉP BIẾN ĐỔI Y  g  X  2.3.1 Trƣờng hợp biến ngẫu nhiên có phân phối xác suất rời rạc a Trƣờng hợp có biến Giả sử X biến ngẫu nhiên rời rạc nhận giá trị xi , i  1,2, với xác suất PX  xi  , i  1,2, biến ngẫu nhiên Y  g  X  có hàm phân phối xác suất PY  y j    i:g  xi  y j  PX  xi  Ví dụ 1.12 Giả sử Xlà biến ngẫu nhiên rời rạc nhận giá trị 0, 1, 2, 3, 4, với xác suất PX  0 , PX 1 , PX   , PX  3 , PX   , PX 5 Tìm phân phối xác suất biến ngẫu nhiên Y  g  X    X   Giải Ta có X Y  g  X    X  2 2 1 Do PY  0  PX   , PY 1  PX 1  PX  3 PY  4  PX    PX   , PY 5  PX 5 Ví dụ 2.13 Giả sử X biến ngẫu nhiên có hàm phân phối xác suất  ,a  PX  a    2n  0, a   Tìm PY  a  với Y  X Giải Vũ Thị Thanh Huyền 34 K31B CNKH Toán Khoá luận tốt nghiệp Ta có Y  X2 PY  a  22  n2 2n  2n  2n   2n    2n  , a    Suy PY  a    , a  1,4, , n  2n  0, a  0,1,4, , n   b Trƣờng hợp có nhiều biến Giả sử hàm PX1 ,, X n  x1 ,, xn  hàm xác suất đồng thời n biến ngẫu nhiên X1 ,, X n   x ,, x  : P n X1 ,, X n  x1,, xn   0 Đặt Y1  g1  X1,, X n ; ;Yk  gk  X1,, X n  hàm xác suất đồng thời chúng PY1 ,,Yk  y1,, yk   P Y1  y1,,Yk  yk    PX1 ,, X n  x1,, xn  Ví dụ 2.14 Giả sử X1, X , X biến ngẫu nhiên rời rạc có phân phối xác suất cho bảng sau :  x1, x2 , x3  (0, 0, 0) (0, 0, 1) (0, 1, 1) (1, 0, 1) (1, 1, 0) (1, 1, 1) PX1 , X , X  x1 , x2 , x3  Tìm phân phối xác suất 8 Y1  g1  X1, X , X   X1  X  X Y2  g2  X1, X , X   X  X Vũ Thị Thanh Huyền 35 K31B CNKH Toán Khoá luận tốt nghiệp Giải Ta có A= {(0, 0, 0), (0, 0, 1), (0, 1, 1), (1, 0, 1), (1, 1, 0), (1, 1, 1)} B={(0, 0), (1, 1), (2, 0), (2, 1), (3, 0)} PY1 ,Y2  0,0   PX1 , X , X  0,0,0   PY1 ,Y2 1,1  PX1 , X , X  0,0,1  PY1 ,Y2  2,0   PX1 , X , X  0,1,1  PY1 ,Y2  2,1  PX1 , X , X 1,0,1  PX1 , X , X 1,1,0   PY1 ,Y2  3,0   PX1 , X , X 1,1,1  2.3.2 Trƣờng hợp biến ngẫu nhiên có phân phối xác suất liên tục a Trƣờng hợp có biến Nếu X biến ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ xác suất f X  x  hàm phân phối xác suất biến ngẫu nhiên Y  g  X  tìm cách sau: Định lý 2.7 Giả sử X biến ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ xác suất f X  x  Đặt   x : f X  x   0 Giả sử (i) y  g  x  phép biến đổi 1-1 từ A vào B (ii) Đạo hàm cấp x  g 1  y  theo y liên tục khác không với y  , g 1  y  hàm ngược g  x  Y  g  X  biến ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ xác suất Vũ Thị Thanh Huyền 36 K31B CNKH Toán Khoá luận tốt nghiệp fY  y   d  g 1  y   f X  g 1  y   dy Chứng minh Giả sử g(x) hàm đơn điệu tăng A Khi với y  ta có FY  y   P Y  y   P  g  X   y   P  X  g 1  y   FX  g 1  y  Do fY  y   d d d  FY  y     FY  g 1  y     f X  g 1  y    g 1  y   dy dy dy Ngược lại, giả sử g(x) hàm đơn điệu giảm A Khi với y  ta có FY  y   P Y  y   P  g  X   y   P  X  g 1  y    FX  g 1  y  Do fY  y   Vậy fY  y   d d d  FY  y    1  FY  g 1  y      f X  g 1  y    g 1  y   dy dy dy d  g 1  y   f X  g 1  y   dy Ví dụ 2.15 Giả sử X  U 1,2 Tìm phân phối xác suất Y  Giải Ta có y  g  x   X 1 d  x  g 1  y     g 1  y     x y dy x Theo X  U 1,2 nên f X  x   I  0,2  x  Theo định lý 2.6, biến ngẫu nhiên Y  fY  y   có phân phối xác suất X I  x y  12 ,1 Ví dụ 2.16 Giả sử Z  N  0,1 Tìm phân phối xác suất biến ngẫu nhiên Y  eZ Vũ Thị Thanh Huyền 37 K31B CNKH Toán Khoá luận tốt nghiệp Giải Ta có y  g  z   e z  z  g 1  y   ln y  d  g 1  y    dy y  z2 Theo Z  N  0,1 nên f Z  z   e ,   z   2 Theo định lý 2.6, biến ngẫu nhiên Y  e Z có phân phối xác suất    ln y   e ,y0 fY  y    2  0, y  Ví dụ 2.17 Giả sử X biến ngẫu nhiên có phân phối khoảng (0, 1) Y  g  X   X Tìm hàm phân phối xác suất Y Giải Ta có FY  y   P Y  y   P  X  y     x:x  y  f X  x  dx  hay Do y  dx  y , < y < 1, FY  y   yI  0,1  y   I 1,   y  fY  y   y I 0,1  y  Ví dụ 2.18 Giả sử X có phân phối Pareto với hàm mật độ fY  y    x  1I1,  x  Tìm hàm phân phối xác suất biến ngẫu nhiên Y  ln X Giải Ta có g  x   ln x  g 1  y   e y  d  g 1  y    e y dy Theo định lý 2.7, biến ngẫu nhiên Y  ln X có hàm phân phối fY  y   Vũ Thị Thanh Huyền d  g 1  y   f X  g 1  y     e y , y  dy 38 K31B CNKH Toán Khoá luận tốt nghiệp Đặc biệt, giả sử biến ngẫu nhiên X có hàm phân phối xác suất FX  Trong phép biến đổi Y  g  X  ta thay hàm g   hàm FX  hàm FX  liên tục ta hoàn toàn xác định phân phối biến ngẫu nhiên Y  FX  X  Định lý 2.8 Nếu X biến ngẫu nhiên liên tục có hàm phân phối xác suất FX  x  Y  FX  X  có phân phối khoảng  0,1 Ngược lại, Y có phân phối khoảng  0,1 X  FX 1 Y  có hàm phân phối FX  Chứng minh Ta có P Y  y   P  FX  X   y   P  X  FX 1  y   FX  FX 1  y    y,0  y  Ngược lại, P  X  x   P  FX 1 Y   x   P Y  FX  x   FX  x  Ví dụ 2.19 Cho biến ngẫu nhiên X hàm phân phối xác suất 1  e  x , x  FX  x    0, x   Chứng minh rằng: X có hàm phân phối FX  x  Y  FX  X   U  0,1 Giải 1  e  x , x   FX 1  y    ln 1  y  Ta có FX  x     0, x  Khi FY  y   P Y  y   P  FX  X   y   P  X  FX 1  y   FX  FX1  y   y,0  y  Vũ Thị Thanh Huyền 39 K31B CNKH Toán Khoá luận tốt nghiệp Vậy Y  FX  X   U  0,1 Ngược lại, Y  FX  X   U  0,1  X  FY 1  y  Nên P  X  x   P  FX 1 Y   x   P Y  FX  x   FX  x  Vậy X có hàm phân phối FX  x  b Trƣờng hợp có nhiều biến Bài toán : Giả sử f X1 ,, X n  x1 ,, xn  hàm mật độ xác suất đồng thời n biến ngẫu nhiên X1 ,, X n    x ,, x  : f n X1 ,, X n  x1,, xn   0 g , , ,  hàm đo  n Vấn đề đặt tìm hàm mật độ xác suất n biến ngẫu nhiên Y1,,Yn với Y j  g j  X ,, X n  , j  1,2, , n Dưới trình bày kết ứng với n= với n> tổng quát hoá n= Định lý 2.9 Giả sử X1, X biến ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ xác suất đồng thời f X1 , X  x1 , x2  Đặt    x , x  : f X1 , X  x1, x2   0 Giả sử (i) y1  g1  x1, x2  , y2  g2  x1 , x2  phép biến đổi 1-1 từ A vào B (ii) Các đạo hàm riêng cấp x1  g11  y1 , y2  , x2  g 1  y1 , y2  liên tục B (iii) Định thức Jacobian J  x1 x1 y1 y2 x2 x2 y1 y2  0,   y1 , y2   hàm mật độ xác suất Y1  g1  X1, X  Y2  g2  X1, X  Vũ Thị Thanh Huyền 40 K31B CNKH Toán Khoá luận tốt nghiệp  J f X , X  g11  y1 , y2  , g 1  y1 , y2   ,  y1 , y2     fY1 ,Y2  y1 , y2    0, y , y     Ví dụ 2.20 Giả sử X1, X hai biến ngẫu nhiên độc lập có phân phối chuẩn tắc Tìm fY1 ,Y2  y1 , y2  Y1  X  X ,Y2  X1 fY2  y2  X2  x21 Giải Vì X1  N  0,1 nên f X1  x1   e ,   x1   2  x22 Vì X  N  0,1 nên f X  x2   e ,   x2   2  2  Do X1, X độc lập nên f X1 , X  x1 , x2   e ,  x1 , x2   2 x x Ta có y1  g1  x1 , x2   x1  x2 , y2  g  x1 , x2    x1  g11  y1 , y2   x2  g 1 y  y1, y2   1  y2  y2 1 y J  det      y2 fY1 ,Y2  y1 , y2   y1 1  y  Vũ Thị Thanh Huyền y1 y2  y2 2 x1 x2  1  y2   y1  y2  1 y1    y1  1  y2  1  y2    1  y2   y1    y y 2 y12   exp -   2  2  y  y        2   41 K31B CNKH Toán Khoá luận tốt nghiệp  1  y2  y12  y1  exp   2 1  y2 2  y     fY2  y2        1  y2  y12  1 fY1 ,Y2  y1 , y2 dy1   y1 exp - 1  y 2  dy1 2 1  y2 2    2  y2   1  y2  y1 Đặt u   du  y dy 1 1  y2 2 1  y2   y2   u 1  1  fY2  y2   e du  2 1  y2 2  y2 0   y2 2 Ví dụ 2.21 Giả sử X1, X hai biến ngẫu nhiên có hàm mật độ xác suất 2e x1  x2 ,0  x1  x2 f X1 , X  x1 , x2    0, x  x   Tìm fY1 ,Y2  y1 , y2  , Y1  X1  X ,Y2  X Giải Ta có y1  g1  x1, x2   x1  x2 , y2  g2  x1, x2   x2  x1  g11  y1 , y2   y1  y2 x2  g 1  y1 , y2   y2 J  Do fY1 ,Y2  y1, y2   2e y1 ,0  y2  y1  y2 Trong định lý 2.8 hàm g ,  phải thoả mãn phép biến đổi 1-1 Vậy trường hợp g ,  không phép biến đổi 1-1 làm nào? Định lý 2.10 Giả sử X1, X biến ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ xác suất đồng thời f X1 , X  x1 , x2  Giả sử A phân tích thành tập Vũ Thị Thanh Huyền 42 K31B CNKH Toán Khoá luận tốt nghiệp 1,, m cho phép biến đổi y1  g1  x1, x2  , y2  g2 x1, x2 phép biến đổi 1-1 từ i , i  1, m vào B Giả sử x1  g1i 1  y1 , y2  , x2  g 2i 1  y1 , y2  phép biến đổi ngược từ B vào i , i  1, m Giả sử đạo hàm riêng cấp g1i 1, g2i 1 liên tục B Ji  g1i 1 g1i 1 y1 y2 1 1 g 2i g 2i y1 y2  0, i  1, m hàm mật độ Y1  g1  X1, X  Y2  g2  X1, X  có dạng m 1 1  J i f X1 , X  g1  y1 , y2  , g  y1 , y2   ,  y1 , y2   fY1 ,Y2  y1 , y2    i 1 0,  y , y    Ví dụ 2.22 Giả sử X1  N  0,1 , X  N  0,1 X1, X độc lập Tìm fY1 ,Y2  y1 , y2  Y1  X12  X 22 ,Y2  X fY1  y1  Giải Ta có  y1  x12  x2  x1   y1  y2   y  x x  y  2  2 Ta thấy phép biến đổi không 1-1 Ở    x1 , x2  :   x1  ,   x2     y , y  :  y  ,   y1  y2  y1 Nếu A phân tích thành 1, 2 với Vũ Thị Thanh Huyền 43 K31B CNKH Toán Khoá luận tốt nghiệp 1   x1 , x2  :  x1  ,   x2   2   x1 , x2  :   x1  0,   x2   phép biến đổi 1-1 từ i vào B với i= 1, Ta có g111  y1 , y2   y1  y2 , g 211  y1 , y2   y2 g12 1  y1 , y2    y1  y2 , g 22 1  y1 , y2   y2 1 1 2 2  y1  y2   y2  y1  y2    2  J1  det  y  y2     1   1  1 2 2    y1  y2  y2  y1  y2   2  J  det    y1  y2       1  y21 e ,  y1 , y2    Do fY1 ,Y2  y1 , y2    y1  y2 2  0,  y1 , y2   fY1  y1      y  y21 fY1 ,Y2  y1 , y2  dy2  e  2  y1 y1  y2 dy2 y1   y1      y1  y21  y2  e arcsin e    e , y1   2 y1  y1  2  2  2   Vậy   y21  e , y1  fY1  y1    0, y   Vũ Thị Thanh Huyền 44 K31B CNKH Toán Khoá luận tốt nghiệp KẾT LUẬN Trên toàn nội dung khóa luận “ PHÂN PHỐI XÁC SUẤT CỦA HÀM CÁC BIẾN NGẪU NHIÊN” Khóa luận mang tính chất tổng quan nên em cố gắng chứng minh số định lý, bổ đề đưa số ví dụ áp dụng để làm bật vấn đề mà khóa luận đề cập Do lấn làm quen với công tác nghiên cứu khoa học Hơn thời gian lực thân hạn chế nên khóa luận không tránh khỏi thiếu sót Em mong nhận đóng góp ý kiến thầy cô bạn sinh viên để khóa luận em hoàn thiện Vũ Thị Thanh Huyền 45 K31B CNKH Toán Khoá luận tốt nghiệp TÀI LIỆU THAM KHẢO (*) Tiếng Việt [1] Đào Hữu Hồ (2007), “ Xác suất thống kê ”, Nhà xuất ĐHQG Hà Nội [2] Nguyễn Duy Tiến, Vũ Viết Yên (2003), “ Lý thuyết xác suất ”, Nhà xuất giáo dục (*) Tiếng Anh [1] M., Graybill F.A., Boes D.C., (1974), “ Introduction to the theory of Statistics”, MC Graw- Hill [2] William C Rinaman, (1994), “ Foundations of Probability and Statistics”, Sounders College [3] George G Roussas, (1998), “ A course in Mathematical Statistics”, Academic Press Vũ Thị Thanh Huyền 46 K31B CNKH Toán [...]... Cho các biến ngẫu nhiên c và g1 , ,  , g2 , ,  , , gk , ,  là các hàm đo được trên  n Vấn đề đặt ra là tìm phân phối xác suất của các biến ngẫu nhiên Y j  g j  X 1 ,, X n  , j  1,2, , k Dưới đây là một số kĩ thuật để tìm hàm phân phối xác suất của các biến ngẫu nhiên Yj , j  1,2, , k 2.1 KĨ THUẬT DỰA TRÊN HÀM PHÂN PHỐI XÁC SUẤT ĐỒNG THỜI 2.1.1 Mô tả phƣơng pháp Cho X1,, X n là các. .. 2.3.2 Trƣờng hợp biến ngẫu nhiên có phân phối xác suất liên tục a Trƣờng hợp có một biến Nếu X là biến ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ xác suất f X  x  thì hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên Y  g  X  có thể được tìm bằng cách sau: Định lý 2.7 Giả sử X là biến ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ xác suất f X  x  Đặt   x : f X  x   0 Giả sử rằng (i) y  g  x  là phép biến đổi 1-1... DỰA TRÊN PHÉP BIẾN ĐỔI Y  g  X  2.3.1 Trƣờng hợp biến ngẫu nhiên có phân phối xác suất rời rạc a Trƣờng hợp có một biến Giả sử X là biến ngẫu nhiên rời rạc nhận các giá trị xi , i  1,2, với xác suất là PX  xi  , i  1,2, thì biến ngẫu nhiên Y  g  X  có hàm phân phối xác suất là PY  y j    i:g  xi  y j  PX  xi  Ví dụ 1.12 Giả sử Xlà biến ngẫu nhiên rời rạc nhận các giá trị 0,... pháp tìm hàm phân phối xác suất dựa trên khái niệm hàm sinh mômen được gọi là kĩ thuật dựa trên hàm sinh mômen Đây là một kĩ thuật khá mạnh trong số các kĩ thuật tìm phân phối xác suất của hàm các biến ngẫu nhiên của toán học hiện đại Trong nhiều ví dụ, ta có thể tìm được mối quan hệ giữa hàm phân phối cần tìm với hàm sinh mômen thu được Đặc biệt, với k=1 thì hàm sinh mômen là hàm của một biến số nên...  y  n i 1 n i 1 Từ các công thức trên ta thấy rằng hàm phân phối xác suất của Y1 ,Yn có thể biểu diễn được qua hàm phân phối biên duyên của X1,, X n Định lý 2.1 Nếu X1,, X n là các biến ngẫu nhiên độc lập và có các hàm phân phối xác suất tương ứng là FX i   , Yn  Max  X1,, X n  thì n FY n  y    FX i  y  i 1 Nếu X1,, X n có cùng hàm phân phối xác suất là FX  thì FYn  y... 2  1    1   2  ,t  2  1 t  2  Đây là hàm sinh mômen của biến ngẫu nhiên có phân phối Gamma với các tham 1 1 số r  ,   2 2 1 1   y  1 2 y e 2 ,y0  1    Do đó fY  y    2   2    0, y  0 2.2.2 Phân phối của tổng các biến ngẫu nhiên độc lập Định lý 2.5 Nếu X1 ,, X n là các biến ngẫu nhiên độc lập và tồn tại các hàm n mX i  t  với h  t  h, h  0 Giả sử Y  ... FX i  y   i 1 Nếu X1,, X n là các biến ngẫu nhiên độc lập và có cùng hàm phân phối xác suất là FX  thì Vũ Thị Thanh Huyền 18 K31B CNKH Toán Khoá luận tốt nghiệp n FY 1  y   1   1  FX  y    1  1  FX  y   n i 1 Hệ quả 2.2 Nếu X1,, X n là các biến ngẫu nhiên liên tục, độc lập có cùng hàm mật độ xác suất là f X  và hàm phân phối xác suất là FX  thì fY1  y   n 1... 2t   1 2  1 2   1   2  ,t  2  1 t  2  Đây là hàm sinh mômen của biến ngẫu nhiên có phân phối Gamma với các tham 1 1 số r  ,   2 2 1 1   y  1 2 2 y e ,y0   1 fY  y    2   2    0, y  0 Suy ra Ví dụ 2.6 Giả sử X1, X 2 là các biến ngẫu nhiên độc lập có phân phối chuẩn tắc Tìm phân phối xác suất của các biến Y1  g1  X1, X 2   X1  X 2 và Y2  g2  X1, X 2  ... ,, X n là các biến ngẫu nhiên có phân phối Bernoulli, nghĩa là P  X i  1  p, P  X i  0  1  p và mX i  t   pet  q, q  1  p Tìm phân phối n của tổng X i 1 i Giải m n  t    mX i  t    pet  q  , q  1  p là hàm sinh mômen của i 1  Xi n Ta có n i 1 biến ngẫu nhiên có phân phối nhị thức Do đó n X i 1 Ví dụ 2.9 Giả sử i  B  n, p  X1 ,, X n là các biến ngẫu nhiên độc...    FX  y    n  FX  y  f X  y  dy dy Địmh lý 2.2 Nếu X1,, X n là các biến ngẫu nhiên độc lập và có các hàm phân phối xác suất tương ứng là FX i   , Y1  Min X1,, X n  thì n FY 1  y   1   1  FX i  y  i 1 Nếu X1,, X n là các biến ngẫu nhiên độc lập và có cùng hàm phân phối xác suất là FX  thì FY 1  y   1  1  FX  y   n Chứng minh Ta có FY1  y   ... hợp biến ngẫu nhiên có phân phối xác suất liên tục a Trƣờng hợp có biến Nếu X biến ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ xác suất f X  x  hàm phân phối xác suất biến ngẫu nhiên Y  g  X  tìm cách... nghiệp Chƣơng 2: PHÂN PHỐI XÁC SUẤT CỦA HÀM CÁC BIẾN NGẪU NHIÊN Cho biến ngẫu nhiên c g1 , ,  , g2 , ,  , , gk , ,  hàm đo  n Vấn đề đặt tìm phân phối xác suất biến ngẫu nhiên Y j ... trình bày số biến ngẫu nhiên thường gặp hàm sinh mômen Chương Phân phối xác suất hàm biến ngẫu nhiên Trong chương trình bày số phương pháp để tìm phân phối xác suất hàm biến ngẫu nhiên Với khóa