Khoỏ lun tt nghip Trng HSP H Ni Trng i hc s phm h ni Khoa toỏn ************ phm th lan hng nh lý lagrange, nh lý stolz nh lý toeplitz v ng dng lý thuyt gii hn dóy s khúa lun tt nghip i hc Chuyờn ngnh: Gii tớch H Ni, 2010 Phm Th Lan Hng K32-CN Toỏn Khoỏ lun tt nghip Trng HSP H Ni LI CM N Trong quỏ trỡnh nghiờn cu ti vi s hng dn nhit tỡnh ca thy giỏo: Thc s Phựng c Thng Cựng vi s n lc ca bn thõn em ó phn no nghiờn cu c ti trờn Do hn ch v thi gian, kin thc nờn chc chn khúa lun ny khụng trỏnh nhng thiu sút Em rt mong cú c nhng ý kin úng gúp quý bỏu ca cỏc thy cụ v cỏc bn quan tõm ti c hon thin hn Em xin trõn thnh cm n s nhit tỡnh tn tõm ca thy giỏo: Thc s Phựng c Thng v ton th cỏc thy cụ t gii tớch v cỏc thy cụ khoa Toỏn ó quan tõm to iu kin giỳp em hon thnh khúa lun ny, cng nh sut thi gian thc nghiờn cu ti trng HSP H Ni Sinh viờn Phm Th Lan Hng Phm Th Lan Hng K32-CN Toỏn Khoỏ lun tt nghip Trng HSP H Ni LI CAM OAN Tụi xin cam oan khúa lun tt nghip vi ti: nh lý Lagrange, nh lý Stolz, nh lý Toeplitz v ng dng lý thuyt gii hn dóy s l cụng trỡnh nghiờn cu ca riờng tụi, kt qu khụng trựng vi kt qu no Nu sai tụi xin chu hon ton trỏch nhim H Ni, ngy 20 thỏng nm 2010 Sinh viờn Phm Th Lan Hng Phm Th Lan Hng K32-CN Toỏn Khoỏ lun tt nghip Trng HSP H Ni MC LC Li m u Li cam oan M u Chng Cỏc kin thc c bn v dóy s 1.1 Dóy s 1.2 Dóy s b chn 1.3 Dóy s n iu 1.4 Dóy 1.5 Gii hn cỏc dóy s 1.6 Cỏc nh lớ 1.7 Cỏc nguyờn lớ v tớnh y ca 1.8 Gii hn vụ cc ca dóy s Chng nh lý Lagrange, nh lý Stolz, nh lý Toeplitz 11 2.1 nh lý Lagrange v cỏc h qu 11 2.2 nh lý Stolz v cỏc h qu 14 2.3 nh lý Toeplitz v cỏc h qu 17 Chng ng dng lý thuyt gii hn dóy s 20 3.1 ng dng nh lý Lagrange bi toỏn tỡm gii hn dóy s 20 3.2 ng dng nh lý Stolz 27 3.3 ng dng nh lý Toeplitz 43 Kt lun 51 Ti liu tham kho 52 Phm Th Lan Hng K32-CN Toỏn Khoỏ lun tt nghip Trng HSP H Ni M U Lý chn ti Lý thuyt gii hn l c s ca gii tớch Bi vy, nghiờn cu v gii tớch chỳng ta thng xuyờn phi gii quyt bi toỏn tỡm gii hn, ú cú gii hn dóy s Gii bi toỏn gii hn dóy s l vic lm khú khn i vi cỏc sinh viờn v hc sinh gii toỏn THPT Cỏc bi toỏn gii hn cng nm chng trỡnh quy nh ca hi toỏn hc Vit Nam i vi kỡ thi Olympic toỏn hc sinh viờn hng nm gia cỏc trng Cao ng v i hc v gii tớch Gii bi toỏn v gii hn dóy s cú nhiu phng phỏp khỏc nh lớ Lagrange, nh lớ Stolz v nh lý Toeplitz l mt phng phỏp mnh gii cỏc bi toỏn gii hn dóy s khú v phc Do ú, di s hng dn ca thy giỏo: Thc s Phựng c Thng em ó nhn ti nh lý Lagrange, nh lý Stolz, nh lý Toeplitz v ng dng lý thuyt gii hn dóy s Mc ớch nghiờn cu Cung cp cho hc sinh mt phng phỏp cú th x lý cỏc bi toỏn gii hn dóy s khú v a dng Qua ú cng c kin thc v gii hn cho hc sinh v giỳp hc sinh dng thnh tho cỏc nh lý ó bit, c bit l nh lý Lagrange, nh lý Stolz, nh lý Toeplitz i tng v phm vi nghiờn cu + i tng nghiờn cu: Sinh viờn v hc sinh THPT + Phm vi nghiờn cu: nh lý Lagrange, nh lý Stolz, nh lý Toeplitz v ng dng lý thuyt gii hn dóy s Phm Th Lan Hng K32-CN Toỏn Khoỏ lun tt nghip Trng HSP H Ni Nhim v nghiờn cu Nhc li cỏc kin thc c bn v gii hn Giỳp hc sinh nm chc nh lý: Lagrange, nh lý Stolz, nh lý Toeplitz v kh nng dng sỏng to nh lớ gii bi toỏn v gii hn Phm Th Lan Hng K32-CN Toỏn Khoỏ lun tt nghip Trng HSP H Ni Chng CC KIN THC C BN V DY S 1.1 Dóy s nh x f : N R n f ( n) Gi l dóy s Ta thng ghi an f (n) Kớ hiu l (an ) (hay a1, a2 , , an , ) 1.2 Dóy s b chn Dóy (an ) gi l b chn trờn nu tn ti s M cho an M n N Dóy (an ) gi l b chn di nu tn ti s M cho an M n N Dóy (an ) gi l b chn nu nú va b chn trờn v va b chn di Rừ rng dóy (an ) b chn nu tn ti s t nhiờn K cho an K , n N 1.3 Dóy s n iu Dóy s (an ) gi l gim (tng ng gim nghiờm ngt) nu an an1 n N (tng ng an an1 n N ) Dóy s (an ) gi l tng (tng ng tng nghiờm ngt) nu an an1 n N (tng ng an an1 n N ) Cỏc dóy tng v gim gi chung l dóy n iu Phm Th Lan Hng K32-CN Toỏn Khoỏ lun tt nghip Trng HSP H Ni 1.4 Dóy n nk Cho dóy (an ) v k k N nk N thỡ dóy (ak ) vi (ak ank ) gi l dóy ca dóy (an ) v kớ hiu l (ank ) Chỳ ý: Ta d dng kim tra c rng: nk k k N Mi dóy u l dóy ca chớnh nú Mi dóy ca dóy b chn (tng ng b chn trờn, b chn di) thỡ b chn (tng ng b chn trờn, b chn di) Mi dóy ca mt dóy n iu l mt dóy n iu 1.5 Gii hn ca dóy s S a c gi l gii hn ca dóy (an ) nu 0, n N n N , n n an a Kớ hiu: lim a hay an a n Dóy cú gii hn gi l dóy hi t v dóy khụng hi t c gi l dóy phõn kỡ 1.6 Cỏc nh lý a) Gii hn ca dóy hi t l nht b) lim an a lim (an a) n n c) lim an lim an n n d) lim an a lim an a n n e) Mi dóy hi t u b chn f) lim an a, lim bn b, R n n Khi ú: Phm Th Lan Hng K32-CN Toỏn Khoỏ lun tt nghip Trng HSP H Ni lim (an bn ) a b n lim ( an ) a n lim ( an bn ) a.b n an a n b b n lim (vi b ) g) Cho (an ) , (bn ) l cỏc dóy hi t v hng s n0 N Khi ú: Nu an , n n0 thỡ lim an n lim an a thỡ tn ti s n1 N cho an , n n1 n Nu an , n n0 thỡ lim an n Nu lim an a thỡ tn ti n1 N cho an , n n1 n Nu an n n0 thỡ lim an n Nu lim an a thỡ n1 N cho a an n n n1 Nu an bn , n n0 thỡ lim an lim bn n n an cn bn , n n0 Nu thỡ lim cn a n an lim bn a nlim n cn bn , n n0 Nu bn nlim thỡ lim cn n h) Dóy (an ) hi t v ch mi dóy ca nú u l dóy hi t v cú chung mt gii hn Phm Th Lan Hng K32-CN Toỏn Khoỏ lun tt nghip Trng HSP H Ni 1.7 Cỏc nguyờn lý v tớnh y ca a) Nguyờn lý Weierstrass Nu dóy (an ) tng v b chn trờn thỡ nú hi t v lim an sup an n nN Nu dóy (an ) gim v b chn di thỡ nú hi t v lim an inf an n nN b) Nguyờn lý Cantor Dóy on an ; bn gi l tht dn nu an , bn an1, bn1 n N Nguyờn lý Cantor: Mi dóy tht dn u cú im chung nht c) Nguyờn lý Bolzano Weierstrass Mi dóy b chn cú ớt nht mt dóy hi t d) Nguyờn lý Cauchy Dóy (a n ) c gi l dóy Cauchy (hay dóy c bn) nu " e > 0, $ ne ẻ N : " n, m > ne ị am - an < e Nguyờn lý: Dóy (an ) l dóy hi t v ch nú l dóy Cauchy 1.8 Gii hn vụ cc ca dóy s Dóy (an ) c gi l cú gii hn + Ơ nu " A > 0, $ nA ẻ N cho " n ẻ N , n > nA thỡ an > A Kớ hiu: lim an = + Ơ nđ + Ơ Dóy (an ) c gi l cú gii hn - Ơ nu " A > 0, $ nA ẻ N cho " n ẻ N , n > nA thỡ an < - A Kớ hiu: lim an = - Ơ nđ + Ơ Dóy (an ) c gi l cú gii hn Ơ nu Phm Th Lan Hng 10 K32-CN Toỏn Khoỏ lun tt nghip Trng HSP H Ni Theo h qu ta cú lim nđ + Ơ n a1.a2 an = a hay lim nđ + Ơ lim nđ + Ơ Vy lim nđ + Ơ n xn+ = a ị lim nđ + Ơ xn n n xn+ = a xn = a xn = a Vớ d 10 Cho cp s cng dng (an ) Tớnh lim nđ + Ơ n n a1a2 an a1 + a2 + + an Gii n n (a1a2 an ) t cn = , " n ẻ N* a1 + a2 + + an n ổ a1 + a2 + + an ữ ỗỗ ữ ữ c (n + 1)an+ ỗỗ n ữ Ta cú n+ = ỗ ữ ữ cn a1 + a2 + + an ỗỗ a1 + a2 + + an+ ữ ữ ữ ỗố ứ n+ n ổ a1 + a2 + + an ữ ỗ ữ ữ (n + 1)a1 + n(n + 1)d ỗỗỗ n ữ = ữ ỗ n(n + 1) ỗỗ a1 + a2 + + an+ ữ ữ ữ dỗ (n + 1)a1 + ữ ố ứ n+ n ổ a1 + a2 + + an ữ ỗỗ ữ ữ 2.an+ ỗ n ữ ỗỗ = ữ ữ a1 + an+ ỗỗ a1 + a2 + + an+ ữ ữ ữ ỗố ứ n+ (Trong ú d l cụng sai ca cp s cng) Nu d = thỡ a1 = an+ ị lim nđ + Ơ Nu d > thỡ lim nđ + Ơ Phm Th Lan Hng cn+ =1 cn cn+ = cn e 39 K32-CN Toỏn Khoỏ lun tt nghip Trng HSP H Ni p dng vớ d 11 ta c lim nđ + Ơ n n a1.a2 an = lim a1 + a2 + + an nđ + Ơ n cn = lim nđ + Ơ cn+ cn Vy n n a1.a2 an Nu d = thỡ lim = nđ + Ơ a + a + + a n Nu d > thỡ lim nđ + Ơ n n a1.a2 an = a1 + a2 + + an e Vớ d 11 Tớnh gii hn 1/ n ổ n! a) lim ỗỗ n - n ữ ữ nđ + Ơ ỗ ốn e ữ ứ 1/ n ộ(n!)2 ự b) lim ờờ n ỳ ỳ nđ + Ơ ờở n ỳ ỷ Gii a) Ta t xn = n! ne " n = 1,2, n - n Khi ú xn+ (n + 1)! nne- n = n+ xn (n + 1) e- n- n! (n + 1).e.nn nn = =e n+ n (n + 1) (n + 1) =e Phm Th Lan Hng n ổ 1ử ỗỗ1 + ữ ữ ỗố n ữ ứ 40 K32-CN Toỏn Khoỏ lun tt nghip Trng HSP H Ni ộ ự ỳ ỳ xn+ 1 ỳ ị lim = lim ờe nỳ nđ + Ơ x nđ + Ơ ổ n ỗ1 + ữ ỳ ữ ữỳ ỗốỗ n ứ ỷ = e lim e nđ + Ơ n ổ ửữ ỗỗ1 + ữ ỗố n ữ ứ e =1 e = p dng vớ d 11 ta cú: 1/ n ổ n! lim ỗỗ n - n ữ ữ ữ = nlim nđ + Ơ ỗ đ+Ơ ốn e ứ (n!) b) t xn = n n x Xột: n+ = xn = xn = lim n nđ + Ơ xn+ =1 xn " n = 1,2, ộ(n + 1)!ự n n ỷ n+ 2 (n + 1) (n!) n2n 2n (n + 1) = 2n ổ 1ữ ỗỗ1 + ữ ỗố n ữ ứ ộ ự ỳ ỳ xn+ 1 ỳ ị lim = lim = nỳ nđ + Ơ x nđ + Ơ ờổ e2 n ờỗ1 + ỳ ữ ữ ữỳ ờỗốỗ n ứ ỷ Theo vớ d 11 ta cú 1/ n ộ(n!)2 ự ỳ = lim lim nđ + Ơ n n ỳ nđ + Ơ ờở ỳ ỷ Phm Th Lan Hng n xn = lim nđ + Ơ 41 xn+ 1 = xn e K32-CN Toỏn Khoỏ lun tt nghip Trng HSP H Ni 3.2.2 Bi tng t Bai Tớnh a) lim nđ + Ơ n n+ b) lim nđ + Ơ an ( a > 1) n n2 d) lim nđ + Ơ n! log a n (a > 1) c) lim nđ + Ơ n Bi Cho dóy (un ) xỏc nh nh sau ớù u0 > ùù - ỡ ùù un2 u = u e n + n ùợ " n ẻ N* Chng minh lim (un2 ln n)= nđ + Ơ ớù x1 ẻ (0;1) Bi Cho dóy (xn ) tha ùỡ ùùợ xn+ = xn - xn2 (" n 2, n ẻ N ) Tớnh a) lim xn nđ + Ơ b) lim (nxn ) nđ + Ơ c) lim nđ + Ơ n (1 - nxn ) ln n Bi Tớnh gii hn lim xn Bit nđ + Ơ ổ1k + 2k + + nk ữ xn = nỗỗ ữ k+ ữ ữ ỗố n k + 1ứ Trong ú, k ẻ Z * cho trc Bi Cho dóy (un ) xỏc nh nh sau Phm Th Lan Hng 42 K32-CN Toỏn Khoỏ lun tt nghip Trng HSP H Ni ùớù u1 = a > ù ỡ ùù un = un- + un- ùùợ " n = 2,3, un3 Tớnh lim nđ + Ơ n Bi Cho dóy u n xỏc nh nh sau u0 = ùớù ù ỡu = u + + ùù n+ n u ùùợ n 4 u n " n = 1,2, ổuna ửữ Tỡm s a ỗỗ ữ cú gii hn ữ ỗố n ứữ Bi Cho dóy s (un ) xỏc nh nh sau ớù u1 > ùù ỡ ùù un+ = un + un ùùợ " n = 2,3, Tỡm un n a) lim nđ + Ơ n b) lim nđ + Ơ ui i= n n Bi Cho dóy (xn ) tha xn = xn- - xn- + k " n 3, n ẻ N v k const Tỡm lim nđ + Ơ Phm Th Lan Hng xn n 43 K32-CN Toỏn Khoỏ lun tt nghip Trng HSP H Ni Bi Tỡm gii hn ca dóy s vi s hng tng quỏt an cho bi a) ổ ỗỗk !+ (k + 1)! + + (k + n)!ữ ữ (k const) ữ n k + ỗố 1! n! ữ ứ b) k n + 2k + + n k )k ( n k+1 Bi 10 Tớnh 1+ lim nđ + Ơ 1 + + 2n - ln n 3.3 ng dng nh lý Toeplitz bi toỏn tỡm gii hn dóy s 3.3.1 Xột s hi t ca cỏc dóy trung bỡnh c bn Vớ d Chng minh rng nu (xn ) hi t thỡ dóy trung bỡnh cng ( yn ) yn = x1 + x2 + + xn , " n cng hi t v lim yn = lim xn nđ + Ơ nđ + Ơ n Gii t Pnk = ( k = 1, n ; n ẻ Z + ) n Thỡ (Pnk ), (xn ) tha iu kin ca nh lý Toeplitz Tht vy Pnk > 0, " n ẻ N * lim Pnk = nđ + Ơ n n =1 k= n Pnk = k= n Do ú lim yn = lim nđ + Ơ nđ + Ơ Pnk xk = lim xn nđ + Ơ k= Vớ d Chng minh rng nu dóy (xn ), xn > , " n ẻ N * hi t thỡ dóy trung bỡnh nhõn ( yn ) vi yn = Phm Th Lan Hng n x1x2 xn " n = 1,2, cng hi t 44 K32-CN Toỏn Khoỏ lun tt nghip Trng HSP H Ni Gii Gi s lim xn = a ị lim ln xn = ln a nđ + Ơ nđ + Ơ Theo vớ d ta cú lim nđ + Ơ ln x1 + ln x2 + + ln xn = ln a n ộ1 ự lim ln (x1.x2 .xn )ỳ= ln a nđ + Ơ ờn ỳ ỷ lim ln n x1.x2 .xn = ln a nđ + Ơ ị lim n nđ + Ơ Vy lim n nđ + Ơ x1.x2 .xn = a x1.x2 .xn = a 3.3.2 Vớ d tng quỏt Vớ d Chng minh rng nu lim an = a thỡ nđ + Ơ lim nđ + Ơ na1 + (n - 1)a2 + + 2an- + an a = n2 + n Gii Xột Pnk = n- k + n (n + 1) k = 1,n ; n = 1, Ta thy Pnk > lim Pnk = lim nđ + Ơ n k= nđ + Ơ 2(n - k + 1) =0 n(n + 1) n - k + n + (n - 1)+ + = =1 n n + n n + ( ) ( ) k= 2 n Pnk = Phm Th Lan Hng 45 K32-CN Toỏn Khoỏ lun tt nghip Trng HSP H Ni Do ú b s (Pnk ) v (an ) u tha iu kin ca nh lý Toeplitz Nờn ta cú lim nđ + Ơ na1 n 1a 2a n a n lim nn n = Vy lim nđ + Ơ na1 + (n - 1)a2 + + 2an- + an a = n2 + n lim nđ + Ơ n Pnk ak = k= 1 a lim an = nđ + Ơ na1 + (n - 1)a2 + + 2an- + an a = n2 + n Vớ d Cho dóy (an ) v (bn ) tha bn > , " n ẻ N * , lim (b1 + b2 + + bn )= + Ơ nđ + Ơ lim nđ + Ơ an =a bn Chng minh rng lim nđ + Ơ a1 + a2 + + an =a b1 + b2 + + bn Gii t Pnk = bk , k = 1, n , n = 1,2, b1 + b2 + + bn xn = an ," n bn Khi ú Pnk lim Pnk = lim nđ + Ơ nđ + Ơ Phm Th Lan Hng bk =0 b1 + b2 + + bn 46 K32-CN Toỏn Khoỏ lun tt nghip n Trng HSP H Ni n Pnk = bk =1 b + b + + b k= 1 n k= p dng nh lý Toeplitz ta cú lim nđ + Ơ a1 + a2 + + an = lim b1 + b2 + + bn nđ + Ơ Vy lim nđ + Ơ n Pnk xk = lim xn = lim nđ + Ơ k= nđ + Ơ an =a bn a1 + a2 + + an = a b1 + b2 + + bn Vớ d xột dóy (an ) v (bn ) thừa món: n a) bn > 0, " n ẻ N* , lim nđ + Ơ bi = + Ơ i= b) lim an = a nđ + Ơ Chng minh rng lim nđ + Ơ a1b1 + a2b2 + + anbn =a b1 + b2 + + bn Gii t pnk = bkn , k = 1, n, n = 1,2 b1 + b2 + + bn Thỡ ( pnk )> tha iu kin ca nh lý Toeplitz pnk > (bn > 0, " n) lim Pnk = lim nđ + Ơ nđ + Ơ n bk =0 b1 + b2 + + bn n Pnk = k= bk =1 k = b1 + b2 + + bn Khi ú ỏp dng nh lý Toeplitz ta cú n lim nđ + Ơ pnk ak = lim an = a k= nđ + Ơ a1b1 + a2b2 + + anbn =a nđ + Ơ b1 + b2 + + bn 47 Phm Th Lan Hng Suy lim K32-CN Toỏn Khoỏ lun tt nghip Trng HSP H Ni Vớ d Chng minh rng, nu lim an = a thỡ nđ + Ơ lim nđ + Ơ a1 + 2a2 + + nan a = n2 + n Gii t pnk = 2k , k = 1, n, " n = 1,2 n +n Khi ú ( pnk ) thừa iu kin ca nh lý Toeplitz pnk > lim pnk = lim nđ + Ơ nđ + Ơ n 2k =0 n +n n pnk = k= 2k =1 n + n k= Nờn ỏp dng nh lý Toeplitz ta c n lim nđ + Ơ pnk xk = lim an = a nđ + Ơ k= ị lim 2(a1 + 2a2 + + nan ) = a n2 + n lim a1 + 2a2 + + nan a = n2 + n nđ + Ơ nđ + Ơ Vớ d Tớnh lim nđ + Ơ Sn vi Sn = n2 n k= k cos n2 p k , n = 2,3 Gii t pnk = 2k , k = 2, n , " n = 2,3 n2 Thỡ Phm Th Lan Hng 48 K32-CN Toỏn Khoỏ lun tt nghip Trng HSP H Ni 2k =0 n2 lim pnk = lim nđ + Ơ nđ + Ơ n nđ + Ơ pnk = lim nđ + Ơ k= n 2k n2 + n - = lim ồk= n2 nđ + Ơ n2 = n lim n pnk = k= 2k n(n + 1) - = < 1+ , " n 2 n n k= n p v an = cos , " n = 2,3 n Vi t xn = " n = 2,3 thỡ < p p < n p p , xột f ( x) = cos x , x ẻ (0, ) ị cos x < n Mt khỏc x2 x4 p cos x 1+ " x ẻ (0; ) ị > cos x 1- x2 x4 p + " x ẻ (0; ) ổ x2 x4 ữ p ị lim cos x lim ỗỗ1 + ữ " x ẻ (0; ) ữ nđ + Ơ nđ + Ơ ỗ 4ữ ố ứ Vy lim cos x = nđ + Ơ p dng h qu cho hai dóy s ( pnk ) v (an ) ta cú n lim nđ + Ơ n pnk an = lim an = lim k= nđ + Ơ nđ + Ơ k= 2k cos n2 p 2= Ngoi ra,khi da vo nh lý Toeplitz ta cú th chng minh c nh lý Stolz Phm Th Lan Hng 49 K32-CN Toỏn Khoỏ lun tt nghip Trng HSP H Ni 3.3.3 Chng minh nh lý Stolz Cho hai dóy s (an ) v (bn ) tha món: i) (bn ) tng thc s v lim bn = + Ơ nđ + Ơ an - an- =a bn - bn- ii) lim nđ + Ơ Khi ú lim nđ + Ơ an =a bn Gii t an - an- ùớù ù xn = b - b , n ỡ n n- ùù ùùợ yn = bn - bn- , n Khi ú: +) yn > , " n vỡ (bn ) l dóy tng thc s +) lim ( y1 + y2 + + yn )= lim (bn - b1 )= + Ơ nđ + Ơ nđ + Ơ +) lim xn = a nđ + Ơ t pnk = yk , " n = 1, 2, y2 + y3 + + yn Thỡ i) pnk n ii) pnk = k= iii) lim nđ + Ơ Phm Th Lan Hng yk =0 y2 + y3 + yn 50 K32-CN Toỏn Khoỏ lun tt nghip Trng HSP H Ni p dng nh lý Stolz vi b s ( pnk ) v (xn ) ta cú n lim nđ + Ơ pnk xk = lim nđ + Ơ k= = lim nđ + Ơ x2 y2+ x3 y3 + xn yn y2 + y3 + + yn an - a1 =a bn - b1 an a1 bn bn lim =a nđ + Ơ b1 1bn Ta li cú lim bn = + Ơ ị lim nđ + Ơ Suy lim nđ + Ơ nđ + Ơ =0 bn an = a bn Phm Th Lan Hng 51 K32-CN Toỏn Khoỏ lun tt nghip Trng HSP H Ni KT LUN nh lý Lagrange, nh lý Stolz v Toeplitz l mt phng phỏp mnh x lý cỏc bi toỏn gii hn phc v a dng Hn na nú cũn giỳp cho giỏo viờn sang to cỏc bi toỏn v gii hn dóy s cho hc sinh rốn luyn Hy vng cỏc m em cp n ti ny s giỳp ich ỏng k cho cỏc sinh viờn,cng nh cỏc em hc sinh PTTH, c bit l hc sinh khỏ gii v nhng mun tỡm hiu, quan tõm n khớa cnh ny dy toỏn hc Vi thi gian chun b cha nhiu, cng vi kin thc cng nh kinh nghim nghiờn cu ca bn thõn cũn hn ch nờn ti khụng trỏnh nhng thiu sút Em rt mong c s giỳp gúp ý ca thy cụ giỏo cựng cỏc bn tỡm c ý tng tt hn b sung cho ti hon thin hn Mt ln na em by t lũng bit n ti cỏc thy cụ giỏo khoa Toỏn c bit l thy giỏo Phựng c Thng,ngi ó nhit tỡnh hng dn em lm khúa lun Em xin chõn thnh cm n H Ni ngy 20 thỏng 04 nm 2010 Sinh viờn Phm Th Lan Hng Phm Th Lan Hng 52 K32-CN Toỏn Khoỏ lun tt nghip Trng HSP H Ni TI LIU THAM KHO 1.Tụ Vn Ban, Gii tớch -Nhng bi nõng cao, NXB Giỏo dc, 2004 Nguyn Vn Mu, Gii hn dóy s v hm s,NXB Giỏo dc, 2000 Nguyn Vn Mu- Nguyn Thu Thanh, Chuyờn bi dng hc sinh gii toỏn THPT Gii hn dóy s v hm s, NXB Giỏo dc, 2004 Sỏch giỏo khoa Gii tớch v i s 11_b giỏo dc v o to, tỏi bn nm 2009 Phm Th Lan Hng 53 K32-CN Toỏn [...]... Lan Hng 11 nđ Ơ 1 = 0 an K32-CN Toỏn Khoỏ lun tt nghip Trng HSP H Ni 2 Chng 2 NH Lí LAGRANGE, NH Lí STOLZ, NH Lí TOEPLITZ 2.1 nh lý Lagrange v h qu 2.1.1 nh lý Lagrange Cho hm s f ( x) liờn tc trờn on [a; b], cú o hm trờn khong (a; b) Khi ú tn ti c thuc khong (a; b) sao cho f (b) - f (a) = f ' (c)(b - a) 2.1.2 H qu (nh lý Rolle) Cho hm s f ( x) liờn tc trờn on [a; b], cú o hm trờn khong (a; b) v f (a)... nđ Ơ xn+ 1 = f ( xn ) ị lim xn+ 1 = lim f ( xn ) = f (lim xn ) ị x* = f ( x* ) (pcm) Nu trong nh lý trờn ta thay a; b bi khong hu hn hay vụ hn thỡ nh lý vn cũn ỳng Vn dng nh lý trờn cho cỏc bi toỏn v gii hn rt tin li Phm Th Lan Hng 14 K32-CN Toỏn Khoỏ lun tt nghip Trng HSP H Ni 2 2.2 nh lý Stolz v cỏc h qu 2.2.1 nh lý Stolz Gi s lim yn = + Ơ v y ( n) tng hoc bt u t mt giỏ tr N nđ + Ơ no ú tng thc s yn+... xk = a ( a cú th hu hn k= 1 hoc vụ hn) Phm Th Lan Hng 20 K32-CN Toỏn Khoỏ lun tt nghip Trng HSP H Ni 2 Chng 3 NG DNG NH Lí TRONG Lí THUYT GII HN DY S 3.1 ng dng nh lý Lagrange trong bi toỏn tỡm gii hn dóy s 3.1.1 Phng phỏp chung Trong bi toỏn tỡm gii hn dóy s, ta cú th vn dng nh lý 2.1.5 ó nờu chng 2 tỡm gii hn ca dóy {xn }è R (n ẻ N ) xỏc nh bi h thc truy hi ớùù x1 = a ỡ ùùợ xn+ 1 = f ( xn ) n ẻ... n ồ pnk k= M0 + 1 e 2 e e + = e 2 2 n Vy lim yn = lim nđ + Ơ nđ + Ơ ồ pnk xk = a k= 1 n Biu thc ồ pnk xk l trung bỡnh chung trng lng ca x1, , xn Do k= 1 ú nh lý Toeplitz l c s xột s hi t ca cỏc dóy trung bỡnh c bn T cỏch chng minh nh lý Toeplitz ta cú th m rng thnh h qu Phm Th Lan Hng 19 K32-CN Toỏn Khoỏ lun tt nghip Trng HSP H Ni 2 2.3.2 H qu Cho b s Pnk ( k = 1, n ; n = 1,2, ) tha món cỏc iu... = ln a nđ + Ơ nđ + Ơ Theo h qu 1 thỡ lim nđ + Ơ ln u1 + ln u2 + + ln un = ln a n Hay lim nđ + Ơ lim nđ + Ơ Vy lim nđ + Ơ n ln (u1u2 un ) = ln a n n u1.u2 un = a u1.u2 un = a 2.3 nh lý Toeplitz v cỏc h qu 2.3.1 nh lý Toeplitz Cho b s pnk k 1, n; n 1, 2 tha món cỏc iu kin: i) pnk 0 n ii) p nk k1 1 iii) lim pnk = 0 (vi mi k- c nh ) nđ + Ơ Khi ú nu dóy xn hi t thỡ dóy yn xỏc nh bi n yn... vi cỏc vớ d n gin nh vớ d 5, khi ỏp dng nh lý Stolz thỡ khụng cn ch rừ iu kin ca nh lý Hc sinh cú th d dng phỏt hin ra li gii bng cỏch vn dng nh lý Stolz Vớ d 6 ớù ổ ử ù a1 ẻ ỗỗ0; p ữ ữ ữ ỗố 2 ứ Cho (an ) tha món ùỡ ùù ùùợ an+ 1 = sin an " n ẻ N* Tỡm lim (nan2 ) nđ + Ơ Gii ổ1 ữ ử ỗ ữ tỡm lim (na ) ta tớnh lim ỗ 2 ữ nđ + Ơ ỗ na ữ nđ + Ơ ố ứ 2 n n p dng nh lý Stolz vi xn = ổ1 ử ữ= lim ỗỗ 2 ữ nđ + Ơ... )Ơn= 5 b chn di bi 0 do vy Sn cú gii hn t S = lim Sn , chuyn qua gii hn h thc (*) ta cú nđ + Ơ S= 1 ( S + 1) S = 1 2 Vy lim Sn = 1 nđ + Ơ Nhn xột: Trong vớ d ny, s dng nh lý Stolz l cỏch gii hay hn Bi vỡ, ta cú th chn ngay cỏc dóy tha món iu kin ca nh lý v tớnh c gii hn cn tỡm T vớ d 4 ta cú th khỏi quỏt thnh bi toỏn tng quỏt sau: Bi toỏn Tớnh gii hn n ửự ộn + 1ổ a 2 a ỗ ỳ (a > 1) lim ờ + + ữ ữ ỗa... ẻ X b) Nguyờn lý nh x co Nu f : X đ X l mt ỏnh x Co thỡ f cú duy nht mt im bt ng, tc l tn ti duy nht x ẻ X sao cho f ( x) = x Ta xột hm s f ( x) tha món cỏc iu kin nh lý Lagrange rừ rng vi mi x khỏc y, $ c nm gia x, y sao cho f ( x) - f ( y) Ê f ' (c) x - y Nu ta thờm gi thit f ' ( x) Ê c < 1 thỡ f ( x) l mt ỏnh x Co Vn dng ý tng ny vo dóy s kt hp vi tớnh y ca khụng gian R ta cú nh lý sau õy rt tin... x) = 3 Ta cú f ' ( x) = 2x 2 2 ị f ' ( x) = x Ê , " x ẻ (- 1;0) 3 3 3 Theo nh lý 2.1.5 thỡ dóy {xn } hi t, x2 - x - 1 = f ( x) - x thỡ ta cng cú g(x) liờn tc trờn (t g ( x) = 3 1;0) v g ' ( x) = 2x - 1< 0 3 " x ẻ ( - 1; 0 )do ú phng trỡnh g ( x) = 0 cú mt nghim duy nht thuc (-1;0), v nghim ú chớnh l gii hn ca dóy {xn } (nh lý 2.1.5) x2 - 1 = x x 2 - 3x - 1 = 0 Ta cú f ( x) = x 3 ộ ờx1 = 3 - 13 ờ 2... (0;1) ( x + 1)4 ' '' Do ú f ' ( x) l hm ng bin, ta cú f ' (0) < f ' ( x) < f ' (1); " x ẻ (0;1) e x ( x - 1) Hay l - 1 < < 0 tc l f ' ( x) < 1; " x ẻ (0;1) 3 ( x + 1) Theo nh lý 2.1.5 thỡ dóy {un } cú gii hn l a v f (a ) = a p dng nh lý Lagrange ta cú $ c ẻ (0;1) sao cho un+ 1 - a = f ' (c) un - a Do f ' (c) < 1 nờn $ k ẻ (0;1) sao cho 1> k f ' (c) hay Ta cú un+ 1 - a Ê k un - a (iu phi chng minh) ớù ... nh lý ó bit, c bit l nh lý Lagrange, nh lý Stolz, nh lý Toeplitz i tng v phm vi nghiờn cu + i tng nghiờn cu: Sinh viờn v hc sinh THPT + Phm vi nghiờn cu: nh lý Lagrange, nh lý Stolz, nh lý Toeplitz. .. Chng nh lý Lagrange, nh lý Stolz, nh lý Toeplitz 11 2.1 nh lý Lagrange v cỏc h qu 11 2.2 nh lý Stolz v cỏc h qu 14 2.3 nh lý Toeplitz v cỏc h qu 17 Chng ng dng lý thuyt... nh lớ Lagrange, nh lớ Stolz v nh lý Toeplitz l mt phng phỏp mnh gii cỏc bi toỏn gii hn dóy s khú v phc Do ú, di s hng dn ca thy giỏo: Thc s Phựng c Thng em ó nhn ti nh lý Lagrange, nh lý Stolz,