Khoá luận tốt nghiệp TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN *****♣♣♣ ***** LẠI THỊ THANH HUỆ CÁC ĐỊNH LÍ GIỚI HẠN VÀ ỨNG DỤNG KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Toán ứng dụng HÀ NỘI - 2010 Lại Thị Thanh Huệ K32_CN Toán Khoá luận tốt nghiệp TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN *****♣♣♣ ***** LẠI THỊ THANH HUỆ CÁC ĐỊNH LÍ GIỚI HẠN VÀ ỨNG DỤNG KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Toán ứng dụng Ngƣời hƣớng dẫn khoa học GVC.ThS Trần Mạnh Tiến HÀ NỘI - 2010 Lại Thị Thanh Huệ K32_CN Toán Khoá luận tốt nghiệp LỜI CẢM ƠN Trong trình nghiên cứu hoàn thành khoá luận này, em nhận quan tâm giúp đỡ tận tình thầy cô tổ Toán ứng dụng nói riêng khoa Toán trường Đại học sư phạm Hà Nội nói chung với hỗ trợ các bạn sinh viên Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc thầy Trần Mạnh Tiến, người tận tình hướng dẫn em suốt thời gian qua để em hoàn thành khoá luận Do trình độ thời gian nghiên cứu hạn chế nên vấn đề mà em trình bày khoá luận không tránh khỏi thiếu sót Em kính mong nhận bảo đóng góp ý kiến thầy cô giáo bạn sinh viên để khoá luận em hoàn thiện Em xin chân thành cảm ơn! Sinh viên Lại Thị Thanh Huệ Lại Thị Thanh Huệ K32_CN Toán Khoá luận tốt nghiệp LỜI CAM ĐOAN Khoá luận em hoàn thành hướng dẫn thầy Trần Mạnh Tiến với cố gắng thân em Trong trình nghiên cứu thực khoá luận em có tham khảo tài liệu số tác giả (đã nêu mục Tài liệu tham khảo) Em xin cam đoan kết khoá luận kết nghiên cứu thân, không trùng với kết tác giả khác Nếu sai em xin chịu trách nhiệm! Sinh viên Lại Thị Thanh Huệ Lại Thị Thanh Huệ K32_CN Toán Khoá luận tốt nghiệp MỤC LỤC Trang Mở đầu Chƣơng Kiến thức chuẩn bị 1.1 Hội tụ 1.2 Hàm đặc trưng 1.3 Bất đẳng thức Chebyshev 11 Chuơng Các định lí giới hạn ứng dụng 14 2.1 Luật số lớn 14 2.1.1 Định nghĩa 14 2.1.2 Định lí Chebyshev 14 2.1.3.Ứng dụng luật số lớn 18 2.2 Định lí giới hạn trung tâm 20 2.2.1 Định lí 20 2.2.2 Ứng dụng định lí giới hạn trung tâm 22 2.3 Định lí giới hạn Moivre_Laplace 30 2.3.1 Định lí 30 2.3.2 Ứng dụng định lí giới hạn Moivre_Laplace 31 2.4 Định lí giới hạn Laplace địa phương 37 2.4.1 Định lí 37 2.4.2 Ứng dụng định lí giới hạn Laplace địa phương 39 2.5 Định lí Poisson 40 2.5.1 Định lí 40 2.5.2 Ứng dụng định lí Poisson 41 Bài tập áp dụng 45 Kết luận 47 Tài liệu tham khảo 48 Lại Thị Thanh Huệ K32_CN Toán Khoá luận tốt nghiệp MỞ ĐẦU Các nhà toán học Pháp kỉ 17 Pierre de Fermat (1601 – 1665), Blaise Pascal (1623 – 1662) đặt móng cho lí thuyết xác suất lời giải cho toán trò chơi ngẫu nhiên Cuối kỉ 17, James Bernoulli (1654 – 1705), nhà toán học Thụy Sĩ, xem người khởi xướng lí thuyết xác suất với nghiên cứu luật yếu số lớn dãy phép thử độc lập Pierre Simon Laplace (1749 – 1827), nhà toán học Pháp có nhiều cống hiến cho xác suất thống kê lĩnh vực định lí giới hạn trung tâm Carl Friedrich Gauss (1777 – 1855), nhà toán học vĩ đại Đức có đóng góp lớn xác suất thống kê: Phương pháp bình phương cực tiểu luật phân phối chuẩn Andrei Kolmogrov (1903 – 1987), nhà toán học lỗi lạc Nga, người cách mạng hoá cho lí thuyết xác suất với hệ tiên đề xác suất đại mà ông đưa vào đầu năm 1930 Không thể kể hết tên tuổi nhà toán học tiên phong nhà toán học lỗi lạc đương đại lĩnh vực “lý thuyết xác suất” Ngày nay, “lý thuyết xác suất” trở thành nghành toán học lớn toán học giới Người ta biết đến “lí thuyết xác suất” không nghành toán học chặt chẽ lí thuyết mà có ứng dụng rộng rãi nhiều nghành khoa học kĩ thuật, khoa học xã hội nhân văn Đặc biệt gắn liền với khoa học Thống kê, khoa học phương pháp thu thập, tổ chức phân tích liệu, thông tin định lượng Dưới hướng dẫn tận tình GVC.ThS Trần Mạnh Tiến với hứng thú tìm hiểu “Lí thuyết xác suất” em lựa chọn đề tài “Các định lí giới hạn ứng dụng” để hoàn thành khoá luận tốt nghiệp Lại Thị Thanh Huệ K32_CN Toán Khoá luận tốt nghiệp Luận văn em trình bày số nghiên cứu luật số lớn, định lí giới hạn trung tâm, định lí giới hạn Moivre_Laplace, định lí giới hạn Laplace địa phương, định lí Poisson định lí giới hạn quan trọng lí thuyết xác suất có nhiều ứng dụng thực tiễn Với khoá luận này, em mong tài liệu bổ ích cho quan tâm tới vấn đề Hà Nội, tháng năm 2010 Sinh viên Lại Thị Thanh Huệ Lại Thị Thanh Huệ K32_CN Toán Khoá luận tốt nghiệp CHƢƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Hội tụ 1.1.1 Một số định nghĩa Cho dãy biến ngẫu nhiên  X n n1 biến ngẫu nhiên X xác định không gian xác suất  , A , P  Định nghĩa 1.1 Hội tụ theo xác suất Dãy biến ngẫu nhiên X , X , gọi hội tụ theo xác suất tới biến p ngẫu nhiên X , kí hiệu X n   X   : lim P X n  X     n  (1.1) Hoặc tương đương,   : lim P X n  X     n  (1.2) Định nghĩa 1.2 Hội tụ hầu chắn Dãy biến ngẫu nhiên X , X , gọi hội tụ hầu chắn tới h.c.c biến ngẫu nhiên X , kí hiệu X n   X   P  :lim X n     X    n  (1.3) Định nghĩa 1.3 Hội tụ theo phân phối Dãy biến ngẫu nhiên X , X , gọi hội tụ theo phân phối tới d biến ngẫu nhiên X , kí hiệu X n   X lim Fn  x   F  x  , x  tập liên tục F ( x) n (1.4) nghĩa là: x điểm liên tục hàm phân phối F ( x) X lim P  X n  x  P  X  x n Lại Thị Thanh Huệ (1.5) K32_CN Toán Khoá luận tốt nghiệp 1.1.2 Quan hệ dạng hội tụ Định lí 1.1 Cho dãy biến ngẫu nhiên  X n n1 dãy giảm p h.c.c X X n   X , X n  Chứng minh Đặt Yn  X n  X p Vì  X n n1 dãy giảm X n hội tụ theo xác suất, X n   X nên Yn p dãy giảm Yn  0 h.c.c Ta chứng minh Yn   phản chứng Giả sử Yn không hội tụ hầu chắn tới Tức   , biến cố A A cho: P  A    sup Yk     , n tuỳ ý,   A k n Yn  dãy giảm nên Yn    sup Yk   nên k n A    : Yn      suy P Yn     P  A    0, n p Điều mâu thuẫn với giả thiết Yn  0 Suy điều giả sử sai  Định lí 1.2 Cho dãy biến ngẫu nhiên  X n n1 hội tụ hầu chắn đến biến ngẫu nhiên X với   bất kì,   P sup X k    X      0, n   k n hay   P sup X n k    X      0, n   Lại Thị Thanh Huệ k 1 K32_CN Toán Khoá luận tốt nghiệp Chứng minh Đặt Z n  sup X k    X   ,n  1,2 , k n suy dãy  Z n n1 dãy giảm ( n bé) h.c.c h.c.c Khi X n   X Zn  0 h.c.c p Nhưng  Z n n1 dãy giảm, nên Zn   tương đương với Zn   hay tương đương với:   P sup X k    X      0, n    k n Định lí 1.3 Ta có khẳng định sau: h.c.c p i) Nếu X n   X X n  X h.c.c p Nếu  X n n1 dãy giảm X n   X X n  X p d ii) Nếu X n   X X n  X Chứng minh i) Ta có X n   X     sup X k  X   k n  suy    P  X n  X     P sup X k  X    0, n   k n h.c.c ( X n  X ) p Vậy X n  X  ii) Giả sử x  R F  x  liên tục,   ta có  X  x      X n  x, X  x      X n  x, X  x    suy F  x     P X  x     P X n  x, X  x     P X n  x, X  x    Lại Thị Thanh Huệ 10 K32_CN Toán Khoá luận tốt nghiệp Ví dụ 2.9 Một nhà xã hội học cho 12% số dân thành phố ưa thích phim A chiếu tivi Để khẳng định này, ông ta chọn mẫu ngẫu nhiên gồm 500 người để hỏi ý kiến thấy 75 người trả lời ưa thích phim a) Tính xác suất để mẫu ngẫu nhiên gồm 500 người, số người ưa thích phim 75 người giả thiết p  12% b) Giả thiết nhà xã hội học có đáng tin cậy không, với mức ý nghĩa 0,05? Lời giải a) Gọi X số người ưa thích phim Khi X có phân phối nhị thức B(500; 0,12) giả thiết p  0,12 ~ Khi X có phân phối xấp xỉ phân phối chuẩn X ~ N  np, npq  ta có:   ~ P  X  75  P X  74,5  74,5  500.0,12    500.0,12.0,88         1,995  0,0230 b) Với mức ý nghĩa   0,05 , xác suất để mẫu ngẫu nhiên 500 người có 75 người ưa thích phim, coi nhỏ Theo nguyên lí xác suất nhỏ biến cố không xảy phép thử Mà ta lại thấy xảy mẫu quan sát ta Mâu thuẫn chứng tỏ giả thiết p  0,12 sai Ta đến kết luận: “ tỉ lệ người ưa thích phim 0,12” Độ tin cậy kết luận 0,95 Vậy với độ lệch 0,02 tỉ lệ người ưa thích phim cao hay thấp so với giả thuyết nhà xã hội học Vì n  500 lớn nên không cần giả thiết chuẩn biến ngẫu nhiên X Lại Thị Thanh Huệ 38 K32_CN Toán Khoá luận tốt nghiệp Xét toán kiểm định giả thuyết H: p  0,12 với đối thuyết K: p  0,12 , mức ý nghĩa   0,05 ,   0,02 X u 75  0,15 500 Xp n  0,15  0,12 500  33,54 0,02   u  0,05    0,05  0,95  u    1,645 Suy u  33,54  1,645  u   Vậy ta bác bỏ giả thuyết H chấp nhận đối thuyết K Tức tỉ lệ người xem phim A lớn 12% ii) Định lí giới hạn Moivre_Laplace đƣợc ứng dụng để tính xác suất để m rơi vào khoảng từ m0 đến m1 Vì định lí giới hạn Moivre_Laplace trường hợp riêng định lí giới hạn trung tâm, ứng dụng để tính xác suất để m rơi vào khoảng từ m0 đến m1 , i) nên ta có n Với m  Yi , Yi ~ B 1, p  , i  1, n i 1  m  0,5  np   m  0,5  np  P  m0  m  m1            npq npq      m  0,5  np   m  0,5  np  P  m0  m  m1            npq npq     Ví dụ 2.10 Gieo xúc xắc cân đối đồng chất 12000 lần Tìm xác suất số lần xuất mặt nốt phía xúc xắc gồm 1900 2150 Lại Thị Thanh Huệ 39 K32_CN Toán Khoá luận tốt nghiệp Lời giải Gọi X tổng số lần xuất mặt nốt Khi X có phân phối nhị thức n  12000 p  Áp dụng lí luận ta có P 1900  X  2150    x1     x0  với x0  x1  1900  0,5  12000 12000 6 2150  0,5  12000 12000 6  2,46  3,686 Khi P 1900  X  2150     3,686     2,46   0.99989  0,0069  0,99299 Ví dụ 2.11 Trong kho có 100 lô hàng, lô có 90 sản phẩm tốt 10 sản phẩm xấu, với lô người ta kiểm tra ngẫu nhiên sản phẩm ( lấy có hoàn lại) Tính xác suất để tổng số sản phẩm xấu 100 lô hàng nằm khoảng từ 50 đến 70 Lời giải Vì kiểm tra sản phẩm có hoàn lại nên xác suất để chọn sản phẩm xấu p  0,1 Và số lần kiểm tra sản phẩm n  5.100  500 Gọi X tổng số sản phẩm xấu 100 lô hang n Khi X   X i , X i ~ B 1;0,1 Theo định lí Moivre_Laplace ta có i 1 Lại Thị Thanh Huệ 40 K32_CN Toán Khoá luận tốt nghiệp  70  0,5  500.0,1   50  0,5  500.0,1  P  50  X  70         500.0,1.0,9  500.0,1.0,9       2,91    0,07   0,99815  0,52985  0,4683 2.4 Định lí giới hạn Laplace địa phƣơng 2.4.1 Định lí 2.4 Giả sử X biến ngẫu nhiên có phân phối nhị thức với tham số (n, p) Kí hiệu pk  P  X  k   Cnk p k q nk , q   p Nếu n  , p  0,1 không đổi xk  k  np npq bị chặn theo k n P  X  k     xk  1 n  k  npq c  x2   n , c  số   x   e hàm mật độ n 2 phân phối chuẩn tắc Chứng minh Sử dụng công thức Stirling: 1 ln n!  ln 2 n  n ln n  n  o   n (2.1) để khai triển hệ số nhị thức P  X  k   Cnk p k q nk , q   p (2.2) Ta có k  np  xk npq , Lại Thị Thanh Huệ n  k  nq  xk npq 41 K32_CN Toán Khoá luận tốt nghiệp Từ (2.1) ta thu     ln k !  ln 2 k  np  xk npq ln np  xk npq  np   xk   npq  o   np  x npq  k    (2.3)    ln  n  k !  ln 2  n  k   nq  xk npq ln nq  xk npq     nq  xk npq  o   nq  x npq  k   (2.4) Sử dụng công thức x2 ln 1  x   x   o  x3  để có khai triển  ln np  xk npq  ln np  ln 1  xk   q q xk2 q  ln np  xk   o  xk3  np np np   q   np   q   np   p  ln np  xk npq  ln nq  ln 1  xk  nq    p p  p xk2 p  ln nq  xk   o  xk3  nq nq  nq nq    (2.5)  (2.6) Từ (2.1) đến (2.6) ta suy kết luận định lí Chú ý: 1) Với n lớn, ta có: P  X  k     xk  npq 2) Công thức sử dụng tốt n  100; npq  20 Lại Thị Thanh Huệ 42 K32_CN Toán Khoá luận tốt nghiệp 2.4.1 Ứng dụng định lí giới hạn Laplace địa phương Định lí giới hạn Laplace địa phƣơng đƣợc ứng dụng để xấp xỉ phân phối nhị thức phân phối chuẩn Ví dụ 2.12 Giả sử tỉ lệ dân cư mắc bệnh A vùng 15% a) Chọn ngẫu nhiên nhóm 420 người.Viết công thức tính xác suất để nhóm có 65 người mắc bệnh A b) Tính xấp xỉ xác suất bằmg định lí giới hạn Laplace địa phương Lời giải a) Gọi X số người mắc bệnh A nhóm X có phân phối nhị thức với tham số n  420, p  0,15 Ta có 65 P  X  65  C420  0,15   0,85  65 355 b) Sử dụng định lí giới hạn Laplace địa phương ta có P  X  65    65  420.0,15     420.0,15.0,85  420.0,15.0,85   0,1366.  0,2733  0,1366.0,38464  0,05254 Ví dụ 2.13 Một cầu thủ ném bóng 450 lần vào rổ với xác suất ném trúng rổ lần ném 0,82 Tìm xác suất để cầu thủ ném trúng 350 lần Lời giải Gọi X số lần ném trúng vào rổ cầu thủ Khi X có phân phối nhị thức với tham số n  450 p  0,82 Ta có P  X  350   C 450  0,82  350 350  0,18 100 Sử dụng định lí giới hạn Laplace địa phương ta có Lại Thị Thanh Huệ 43 K32_CN Toán Khoá luận tốt nghiệp P  X  350    350  450.0,82    450.0,82.0,18  450.0,82.0,18   0,127.  2,413  0,127.0,02139  0,0027 2.5 Định lí Poisson 2.5.1 Định lí 2.5 Cho X , X , dãy biến ngẫu nhiên có phân phối nhị thức, với n , X n ~ B  n, pn  npn   Giả sử tồn giới hạn lim n  Khi X n hội tụ theo phân phối tới biến ngẫu nhiên X có phân phối Poisson với tham số  Chứng minh Ta chứng minh với k  0, 1, 2,  lim P X  n  k  P X  k   e n  k k! Ta có P  X n  k   Cnk pnk 1  pn  nk n  n 1  n  k  1 k nk pn 1  pn  k! k  npn  1  1   1  k 1   p n  p  k   n  n k !  n  n   n    Ta có  np  lim n n  k! k  k k! Đặt n  npn Khi Lại Thị Thanh Huệ 44 K32_CN Toán Khoá luận tốt nghiệp lim 1  pn  n  n n    n    n  1   lim n   n       n  e  Các thừa số lại có giới hạn Vậy lim P Xn  k   n  k e  k! 2.5.2 Ứng dụng định lí Poisson Định lí Poisson đƣợc ứng dụng để xấp xỉ phân phối nhị thức phân phối Poisson Khi n lớn pn bé phân bố nhị thức với tham số  n, pn  xấp xỉ phân bố Poisson với tham số n  npn Xấp xỉ tốt n  50 pn  0,1 Ví dụ 2.14 Một xưởng in sách thấy trung bình sách 625 trang sách có chứa 50 lỗi Tìm xác suất để trang: a) Có lỗi b) Có hai lỗi Lời giải Gọi X số lỗi in trang giấy Vì xác suất p để chữ bị lỗi nhỏ số chữ n trang sách lớn Do số lỗi X trang sách có phân phối xấp xỉ phân phối Poisson với tham số   np số lỗi trung bình trang sách Vì 625 trang có 50 lỗi nên số lỗi trung bình 50  0,08 625 a) Xác suất để trang sách có lỗi in : P  X  2  e Lại Thị Thanh Huệ 0,08  0,08 2!  0,08  0,9231 45 0,002954 K32_CN Toán Khoá luận tốt nghiệp b) Xác suất để trang sách có lỗi in : P  X     P  nhiều lỗi in   1- P( X  0) - P( X  1) 0,08   e0,08  e0,08 1!  0,003034 Ví dụ 2.15 Một máy tính điện tử gồm 10000 bóng đèn, có 1000 bóng loại 1, với khả bị hỏng bóng 0,0005; 3000 bóng loại 2, với khả bị hỏng bóng 0,0003; 6000 bóng loại 3, với khả bị hỏng bóng 0,0001 Máy tính ngừng làm việc có bóng bị hỏng Giả sử bóng bị hỏng độc lập với a) Tìm xác suất để có bóng loại i  i  1,2,3 bị hỏng b) Tìm khả máy tính ngừng làm việc Lời giải a) Gọi X i số bóng loại i  i  1,2,3 bị hỏng Do xác suất để bóng loại i  i  1,2,3 bị hỏng nhỏ số bóng loại i  i  1,2,3 lớn Do X i có phân phối xấp xỉ phân phối Poisson với tham số i  ni pi ,  i  1,2,3 Với n1  1000, p1  0,0005,  1  0,5 n2  3000, p2  0,0003,  2  0,9 1 n3  6000, p3  0,0001,  3  0,6 Xác suất để có bóng loại i  i  1,2,3 bị hỏng P  X i  1   P  bóng loại i bị hỏng    P  X i  0  2   e i Lại Thị Thanh Huệ 46 K32_CN Toán Khoá luận tốt nghiệp Thay (1) vào (2) ta nhận được: P  X  1   e 0,5  0,3935 P  X  1   e 0,9  0,5934 P  X  1   e 0,6  0,4512 b) Máy tính ngừng làm việc có bóng bị hỏng, tức ta có biến cố  X1  1   X  1   X  1 Vì bóng bị hỏng độc lập với nên P  X  1   X  1   X  1   P  X  1  P  X  1  P  X  1  P  X  1   X  1   P  X  1   X  1  P  X  1  X  1   P  X  1   X  1   X  1 = 0,3935 + 0,5934 + 0,4512 - 0,3935 x 0,5934 - 0,3935 x 0,4512- 0,5934 x 0,4512 + 0,3935 x 0,5934 x 0,4512  0,86466 Ví dụ 2.16 Giả sử xác suất để làm đinh ốc không quy cách p  0,02 Người ta xếp đinh ốc vào hộp, hộp 100 a) Tính tỉ lệ hộp chứa toàn đinh ốc quy cách b) Cần phải xếp đinh ốc hộp để tỉ lệ hộp chứa 100 đinh ốc tốt tối thiểu 85% Lời giải a) Nếu gọi X số đinh ốc không quy cách hộp chứa 100 đinh ốc Khi X có phân bố nhị thức với tham số n  100 , p  0,02 P  X     0,98 100 Dùng xấp xỉ Poisson ta có P  X    e   e np  e2  0,1353 Như có 13,53% số hộp chứa 100 đinh ốc tốt Lại Thị Thanh Huệ 47 K32_CN Toán Khoá luận tốt nghiệp b) Giả sử hộp chứa 100  k đinh ốc, k số nguyên dương Gọi X số đinh ốc không quy cách 100  k đinh ốc X có phân bố nhị thức với tham số n  100  k , p  0,02 Ta phải xác định k nhỏ để k P  X  k    Cni  0,02   0,98 i n i i 0 Dùng xấp xỉ Poisson P  X  i  Cni  0,02  0,98 i n i  e  i i!   np  100  k  0,02   0,02.k  Vậy ta cần tìm k nhỏ để k   2    e 1       0,85 k !   1! 2! 2  2  2 k  1     0,85.e2 1! 2! k! Thử với k  1,2,3, ta thấy với k  , bất đẳng thức thoả mãn Như dùng xấp xỉ Poisson đưa ta đến kết luận hộp cần 103 đinh ốc Khi xác suất để có 100 đinh ốc tốt 103 0.8571 Lại Thị Thanh Huệ 48 K32_CN Toán Khoá luận tốt nghiệp BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài Trong ca làm việc, máy tự đọng sản suất 120 sản phẩm Xác suất để sản phẩm sản xuất thuộc loại phế phẩm 0,025 Ta xem trình sản xuất sản phẩm tiến hành độc lập với a) Tìm quy luật phân phối xác suất số phế phẩm ca b) Trung bình ca có phế phẩm xác suất có số phế phẩm Bài Tiến hành n phép thử độc lập Ở phép thử thứ k biến cố  xuất với xác suất pk   pk  1, k  0 Gọi X n số lần xuất biến cố  n phép thử Chứng minh n 1  p X  pi   0 n    n  n i 1  Bài Cho dãy biến ngẫu nhiên X1, X , độc lập có hàm phân phối xác suất 3x , x  0,1 f x    x  0,1 0, Đặt T25  X1  X   X 25 Sử dụng định lí giới hạn trung tâm tính P T25  30  Bài Cho họ 5000 biến ngẫu nhiên độc lập phân phối với độ lệch chuẩn không vượt Tìm xác suất để độ lệch tuyệt đối trung bình cộng biến so với trung bình cộng kì vọng chúng không vượt 0,2 Bài Cho biến ngẫu nhiên X ~ Bn  200; p  0,2 Tìm xác suất để X nhận giá trị khoảng  40;50  Lại Thị Thanh Huệ 49 K32_CN Toán Khoá luận tốt nghiệp Bài Dãy biến ngẫu nhiên độc lập X i  i  1,2,  có bảng phân phối xác suất sau Xi pX i  2 Hỏi áp dụng luật số lớn Chebyshev dãy biến ngẫu nhiên nói không? Bài Tiến hành gieo ngẫu nhiên 150 lần xúc xắc lí tưởng Tính gần xắc suất kiện A “số lần xuất mặt chấm nằm khoảng từ 20 đến 40 Bài Xác suất để sản phẩm sau sản xuất không kiểm tra chất lượng 0,2 Tìm xác suất để 400 sản phẩm sản xuất có: a) 80 sản phẩm không kiểm tra chất lượng b) Có từ 70 đến 100 sản phẩm không kiểm tra chất lượng Lại Thị Thanh Huệ 50 K32_CN Toán Khoá luận tốt nghiệp KẾT LUẬN Khoá luận em trình bày số định lí giới hạn, gồm: luật số lớn, định lí giới hạn trung tâm, định lí giới hạn Moivre_ Laplace, định lí giới hạn Laplace địa phương, định lí Poisson định lí giới hạn quan trọng “lí thuyết xác suất” có nhiều ứng dụng thực tiễn Tuy nhiên điều kiện thời gian có hạn chưa có nhiều kinh nghiệm công tác nghiên cứu khoa học nên vấn đề mà em trình bày khoá luận không tránh khỏi thiếu sót Em kính mong nhận bảo đóng góp ý kiến thầy cô giáo bạn sinh viên để khoá luận em hoàn thiện Em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới thầy cô tổ Toán ứng dụng nói riêng khoa Toán trường Đại học sư phạm Hà Nội nói chung Đặc biệt em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc thầy Trần Mạnh Tiến, người tận tình hướng dẫn em suốt thời gian qua để em hoàn thành khoá luận Lại Thị Thanh Huệ 51 K32_CN Toán Khoá luận tốt nghiệp TÀI LIỆU THAM KHẢO 1) De groot M 1989 Probability and Statistics New york 2) Đào Hữu Hồ 1999 Xác suất thống kê Nhà xuất Đại học Quốc Gia, Hà Nội 3) Đặng Hùng Thắng 2005 Mở đầu lý thuyết xác suất ứng dụng Nhà xuất giáo dục 4) Đinh Văn Gắng 2003 Lý thuyết xác suất thống kê Nhà xuất giáo dục 5) Nguyễn Viết Phú, Nguyễn Duy Tiến 2002 Cơ sở lý thuyết xác suất Nhà xuất Đại học Quốc Gia, Hà Nội Lại Thị Thanh Huệ 52 K32_CN Toán [...]... Vậy ta có điều phải chứng minh 2.2.2 Ứng dụng của định lí giới hạn trung tâm i) Định lí giới hạn trung tâm đƣợc ứng dụng trong bài toán ƣớc lƣợng giá trị trung bình của tổng thể từ giá trị trung bình mẫu Xét tập hợp gồm N cá thể, và một đặc tính định lượng X nào đó của mỗi cá thể đó Gọi xi là giá trị ứng với cá thể thứ i Khi đó giá trị trung bình của tổng thể là  x1   x N N và phương sai của đặc... , q  1  p, a  R  n   npq  Định lí giới hạn Moivre_Laplace là trường hợp riêng của định lí giới hạn trung tâm Chứng minh n Vì X n ~ B  n, p   X n   Yi i 1 Với Y1,Y2 , ,Yn là các biến ngẫu nhiên độc lập và có cùng phân phối B 1, p  Khi đó với mỗi i, i  1, n ta có EYi  p; DYi  p 1  p  suy ra Yn n1 thỏa mãn các điều kiện của định lí giới hạn trung tâm suy ra  Yp  lim P ... nhận giá trị từ EX  k đến EX  k với xác suất không nhỏ hơn 0,95 Bất đẳng thức Chebyshev có ý nghĩa to lớn, nó được sử dụng để chứng minh các định lí của luật số lớn Lại Thị Thanh Huệ 17 K32_CN Toán Khoá luận tốt nghiệp CHƢƠNG 2 CÁC ĐỊNH LÍ GIỚI HẠN VÀ ỨNG DỤNG 2.1 Luật số lớn 2.1.1 Định nghĩa Họ biến ngẫu nhiên  X n n1 được gọi là tuân theo luật số lớn (dạng Chebyshev) nếu   0 : 1 n  1 n P... Vậy định lí được chứng minh Bản chất của định lí Chebyshev Định lí Chebyshev chứng minh sự hội tụ theo xác suất của trung bình số học của một số lớn các biến ngẫu nhiên về trung bình số học của các kì vọng tương ứng Nói cách khác nó chứng tỏ sự ổn định của trung bình số học của một số lớn các biến ngẫu nhiên xung quanh trung bình số học của các kì vọng toán của các biến ngẫu nhiên ấy Một số ví dụ Ví... 1  n pq npq npq Vậy  X  np  lim P  n  a     a  , a  R   n   npq  2.3.2 Ứng dụng của định lí giới hạn Moivre_Laplace i) Định lí giới hạn Moivre_Laplace đƣợc ứng dụng để tính xấp xỉ phân phối nhị thức bởi phân phối chuẩn ~ Kí hiệu X là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn với kì vọng   np và phương sai  2  npq Khi n đủ lớn ta có  P  X  k   P  Sn  k  np   npq  ... k  EX k  0 n     n k 1 2.1.2 Định lí Chebyshev Định lí 2.1 Nếu  X n n1 là họ biến ngẫu nhiên độc lập, có các kì vọng toán hữu hạn và các phương sai đều bị chặn bởi hằng số C ( DX i  C, i  1, n ) thì nó tuân theo luật số lớn Chứng minh Xét biến ngẫu nhiên X là trung bình số học của các biến ngẫu nhiên nói trên X X 1  X 2   X n n Tìm kì vọng và phương sai của X 1 n  1 n E ( X )... bỏ H Nếu u  u   thì ta chấp nhận H Cơ sở lí luận của qui tắc trên là dựa vào định lí giới hạn trung tâm Nếu X ~ N   , 2  hoặc không phải chuẩn nhưng n  30 thì với giả thuyết H ta có Lại Thị Thanh Huệ 29 K32_CN Toán Khoá luận tốt nghiệp  2   X ~ N  ,   n  Suy ra X  0  n ~ N  0,1 Do đó theo định lí giới hạn trung tâm khi n đủ lớn ta có  X  0  P n  u       u    ... vùng đó mà chỉ cần dựa vào kết quả thu hoạch của một mẫu ngẫu nhiên khá nhỏ mà vẫn đưa ra được các kết luận đủ chính xác về năng suất cây trồng của vùng đó 2.2 Định lí giới hạn trung tâm 2.2.1 Định lí 2.2 Cho X 1 , X 2 , là dãy các biến ngẫu nhiên độc lập có cùng phân phối, với   EXn , 2  DXn tồn tại hữu hạn Đặt Yn  1 n Xi n i 1 Khi đó ta có lim P  n   Yn    n  a     a  , a  R... vật lí Để xác định giá trị của một đại lượng vật lí nào đó ta thường tiến hành đo n lần và lấy trung bình số học của các kết quả đo làm giá trị thực của đại lượng cần đo Thật vậy giả sử xem kết quả của n lần đo là các biến ngẫu nhiên X 1 , X 2 , , X n Đối với các biến ngẫu nhiên này có thể áp dụng hệ quả 2.1, vì chúng độc lập với nhau, có kì vọng toán EXi   chính là giá trị thực của đại lượng vật lí. .. 9 Lí luận như ở trên ta có khoảng tin cậy cần tìm có dạng Lại Thị Thanh Huệ 28 K32_CN Toán Khoá luận tốt nghiệp     ; X  b  X  b  n n    b   1   2  1  0,025  0,975   1,97  b  1,97 Vậy khoảng tin cậy cần tìm có dạng 300 300   ;5288,89  1,97  5288,89  1,97  3 3    5052,89;5484,89 ii) Định lí giới hạn trung tâm đƣợc ứng dụng trong thống kê: giải bài toán kiểm định ... bày số định lí giới hạn, gồm: luật số lớn, định lí giới hạn trung tâm, định lí giới hạn Moivre_ Laplace, định lí giới hạn Laplace địa phương, định lí Poisson định lí giới hạn quan trọng lí thuyết... định lí giới hạn trung tâm 22 2.3 Định lí giới hạn Moivre_Laplace 30 2.3.1 Định lí 30 2.3.2 Ứng dụng định lí giới hạn Moivre_Laplace 31 2.4 Định lí giới hạn Laplace địa phương 37 2.4.1 Định lí. .. số lớn, định lí giới hạn trung tâm, định lí giới hạn Moivre_Laplace, định lí giới hạn Laplace địa phương, định lí Poisson định lí giới hạn quan trọng lí thuyết xác suất có nhiều ứng dụng thực