Khóa Luận tốt nghiệp TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN ********** NGUYỄN THỊ HỢP BIỂU DIỄN CỦA Sl2C VÀ Sl3C KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: ĐẠI SỐ Người hướng dẫn khoa học TH.S NGUYỄN HUY HƯNG HÀ NỘI – 2009 Nguyễn Thị Hợp Lớp K31 E-Toán Khóa Luận tốt nghiệp TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN ********** NGUYỄN THỊ HỢP BIỂU DIỄN CỦA Sl2C VÀ Sl3C KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: ĐẠI SỐ HÀ NỘI – 2009 Nguyễn Thị Hợp Lớp K31 E-Toán Khóa Luận tốt nghiệp Lời cảm ơn Trong thời gian học tập khoa toán trường đại học sư phạm Hà Nội 2, dạy dỗ, bảo tận tình thầy, cô giáo em tiếp thu nhiều tri thức khoa học, kinh nghiệm phương pháp học tập mới, bước đầu làm quen với công tác nghiên cứu khoa học Trước bỡ ngỡ gặp nhiều khó khăn làm quen với công tác nghiên cứu khoa học, em nhận giúp đỡ, động viên thầy, cô bạn bè khoa Qua đây, em xin gửi lời cảm ơn tới toàn thể thầy, cô bạn khoa Đặc biệt, em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo Thạc sĩ Nguyễn Huy Hưng, người hướng dẫn tận tình để giúp em hoàn thành khoá luận Hà Nội, tháng năm 2009 Sinh viên Nguyễn Thị Hợp Nguyễn Thị Hợp Lớp K31 E-Toán Khóa Luận tốt nghiệp Lời cam đoan Khoá luận em hoàn thành hướng dẫn thầy giáo Thạc sĩ Nguyễn Huy Hưng với cố gắng thân Trong trình nghiên cứu thực khoá luận, em có tham khảo tài liệu số tác giả ( có nêu mục tài liệu tham khảo ) Em xin cam đoan kết khoá luận kết nghiên cứu thân, không trùng với kết tác giả khác Nếu sai em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm Hà Nội, tháng năm 2009 Sinh viên Nguyễn Thị Hợp Nguyễn Thị Hợp Lớp K31 E-Toán Khóa Luận tốt nghiệp Mục lục Trang Lời cảm ơn .1 Lời cam đoan Mục lục Mở đầu Chương Những kiến thức chuẩn bị 1.1 Nhóm 1.2 Vành trường 1.3 Môđun 1.4 Đại số Lie .11 Chương Lý thuyết biểu diễn nhóm hữu hạn 2.1 Định nghĩa ví dụ 13 2.2 Biểu diễn nhóm theo thuật ngữ môđun 14 2.3 Hai biểu diễn tương đương 15 2.4 Bổ đề Schur 18 2.5 Đặc trưng biểu diễn 23 2.6 Biểu diễn bất khả quy 26 Chương Biểu diễn Sl  Sl  3.1 Biểu diễn bất khả quy Sl  35 3.2 Biểu diễn Sl  38 Kết luận 50 Tài liệu tham khảo 51 Nguyễn Thị Hợp Lớp K31 E-Toán Khóa Luận tốt nghiệp Mở đầu 1.Lý chọn đề tài Đại số nghành chiếm vị trí quan trọng khoa học toán học Nó góp phần thúc đẩy phát triển toán học đại Ngày nhu cầu học hỏi sinh viên khoa Toán, thầy cô dạy toán nhiều người khác quan tâm đến toán học nói chung môn Đại số nói riêng ngày gia tăng nhằm nâng cao hiểu biết Với mong muốn tìm hiểu sâu môn này, góc độ sinh viên sư phạm Toán phạm vi khoá luận tốt nghiệp với giúp đỡ thầy giáo Thạc sĩ Nguyễn Huy Hưng, em xin mạnh dạn trình bày hiểu biết đề tài: “ Biểu diễn Sl  Sl  ” 2.Mục đích nghiên cứu Quá trình thực đề tài giúp em bước đầu làm quen với việc nghiên cứu khoa học tìm hiểu sâu đại số học, đặc biệt tìm hiểu sâu nhóm hữu hạn thông qua biểu diễn biểu diễn Sl  Sl  3.Nhiệm vụ nghiên cứu Đề tài nghiên cứu nhằm sâu khai thác làm bật đặc trưng biểu diễn nhóm hữu hạn biểu diễn Sl  , Sl  4.Phương pháp nghiên cứu Đề tài hoàn thành dựa kết hợp phương pháp: nghiên cứu lý luận, phân tích, tổng hợp, đánh giá 5.Cấu trúc khoá luận Nguyễn Thị Hợp Lớp K31 E-Toán Khóa Luận tốt nghiệp Ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục tài liệu tham khảo, khoá luận gồm chương: + Chương 1: Những kiến thức chuẩn bị + Chương 2: Lý thuyết biểu diễn nhóm hữu hạn + Chương 3: Biểu diễn Sl  Sl  Trong suốt trình nghiên cứu thầy Nguyễn Huy Hưng bảo, giúp đỡ tận tình, em hoàn thành khoá luận Một lần cho em gửi lời cảm sâu sắc tới thầy Em mong thầy, cô giáo bạn sinh viên khoa đóng góp ý kiến để đề tài hoàn thiện Hà Nội, tháng năm 2009 Sinh viên Nguyễn Thị Hợp Nguyễn Thị Hợp Lớp K31 E-Toán Khóa Luận tốt nghiệp Chương Những kiến thức chuẩn bị 1.1 Nhóm 1.1.1 Định nghĩa nhóm Một nhóm cặp ( G ,  ), G tập không rỗng  luật hợp thành G thoả mãn ba điều kiện sau đây: (G1) Luật hợp thành kết hợp, tức là: ( x  y )  z  x  ( y  z ) , x, y, z  G (G2) Có phần tử e  G gọi phần tử trung lập, có tính chất: x  e  e  x  x , x  G (G3) Với x  G có phần tử x  G gọi nghịch đảo x cho: x  x  x  x  e 1.1.2 Nhóm abel Định nghĩa: Nhóm ( G ,  ) gọi nhóm giao hoán ( hay abel ) x  y  y  x , x, y  G 1.1.3 Nhóm Định nghĩa: Giả sử G nhóm Một tập không rỗng S  G gọi nhóm G S khép kín đối với luật hợp thành G ( tức xy  S với x, y  S ) khép kín phép lấy nghịch đảo G ( tức x 1  S với x  S ) 1.1.4 Nhóm chuẩn tắc Nguyễn Thị Hợp Lớp K31 E-Toán Khóa Luận tốt nghiệp Định nghĩa: Nhóm S nhóm G gọi nhóm chuẩn tắc G bất biến tự đẳng cấu G , tức là: Ca (S )  S , a  G Ký hiệu: S  G 1.1.5 Lớp liên hợp nhóm Định nghĩa: Cho G nhóm Trên G ta xác định quan hệ R sau: x, y  G , xRy a  G cho y = axa1 Ta dễ dàng chứng minh quan hệ R quan hệ tương đương G Khi tập: C (a)  x  G \ xRa gọi lớp liên hợp G xác định a 1.1.6 Nhóm hữu hạn Định nghĩa: Nhóm có số hữu hạn phần tử gọi nhóm hữu hạn 1.1.7 Đồng cấu nhóm a, Định nghĩa: Giả sử G G  nhóm Một ánh xạ  : G  G gọi đồng cấu nhóm  ( x  y )   ( x)   ( y) với x, y  G b, Tính chất: Giả sử  : G  G đồng cấu nhóm Khi đó: i,  (eG )  eG ; với eG , eG phần tử đơn vị G G  ii,  ( x 1 )   ( x) , x  G 1 iii, Nếu  đơn ánh  gọi đơn cấu nhóm iv, Nếu  toàn ánh  gọi toàn cấu nhóm v, Nếu  song ánh  gọi đẳng cấu nhóm 1.2 Vành trường 1.2.1 Vành Nguyễn Thị Hợp Lớp K31 E-Toán Khóa Luận tốt nghiệp Định nghĩa: Ta gọi vành tập hợp R   với hai phép toán hai ngôi, gồm phép cộng:  : R  R  R ( x, y )  x  y : R  R  R phép nhân: ( x, y )  x  y thoả mãn điều kiện sau đây: (R1) R nhóm abel phép cộng (R2) Phép nhân có tính chất kết hợp (R3) Phép nhân phân phối phía phép cộng: ( x  y ) z  xz  yz ; z ( x  y )  zx  zy , x, y, z  R Vành R gọi giao hoán phép nhân giao hoán Vành R gọi vành có đơn vị phép nhân có đơn vị, tức có phần tử thuộc R cho: 1 x  x 1, x  R 1.2.2 Vành nhóm Định nghĩa: Gọi K[G] tập hợp tuyến tính hình thức k s sG s phần tử G với hệ số ks K Khi đó, K[G] lập thành vành, gọi vành nhóm G (với hệ số K ), hai phép toán sau đây:  k s   l s   (k  l ) s , ( k s)(l t )   k l (st ) s s s s t s t s Đơn vị K[G] phần tử  1 e Có thể coi G  K[G] cách đặt tương ứng s   s,( s  G ) Rõ ràng K[G] vành giao hoán G nhóm abel 1.2.3 Miền nguyên a, Ước không Nguyễn Thị Hợp 10 Lớp K31 E-Toán Khóa Luận tốt nghiệp X ( Y m ( v )) = m ( n – m + 1)  Y m1 (v) (3.2) Định lý chứng minh  Từ định lý trên, ta có số hệ sau: Hệ 3.1.2 Tất không gian V H chiều Hệ 3.1.3 V xác định tập  có phân tích V  V Giả sử V không gian hữu hạn chiều Khi đó, ta có cận  cho V  (0) Vì vậy, ta có : Y k (v) = , với k đủ lớn Nếu m số mũ nhỏ Y triệt tiêu v , từ (3.2) ta có: = X ( Y m ( v )) = m ( n – m + 1) Y m1 (v) , Mà Y m1 (v)  nên ( n – m + 1) = Điều n số nguyên không âm Do đó, giá trị riêng  H V lập thành chuỗi số nguyên phân biệt đối xứng  Khi đó, ta có biểu diễn V ( n ) , n   biểu diễn V ( n ) ( n + 1) chiều với H có giá trị riêng n , n – 2, , - n + 2, - n Chú ý: Mỗi biểu diễn V Sl  cho giá trị riêng H tất giống xuất số bội bất khả quy Hơn nữa, số nhân tử bất khả quy biểu diễn V tuỳ ý Sl  tổng số bội giá trị riêng H Khi đó, ta có số tiêu chuẩn biểu diễn Sl  : Kí hiệu biểu diễn chiều  V (0) Xét tiêu chuẩn biểu diễn Sl  V =  + Nếu x y tiêu chuẩn sở  , ta có: H ( x)  x H ( y)   y Do đó: V = .x   y  V1  V1 biểu diễn V (1) Nguyễn Thị Hợp 40 Lớp K31 E-Toán Khóa Luận tốt nghiệp + Một sở hình đối xứng W  Sym2V  Sym2 { x , xy, y } ta có: H ( x  x ) = x  H ( x) + H ( x)  x = 2x  x , H ( x  y ) = x  H ( y ) + H ( x)  y = 0, H ( y  y ) = y  H ( y ) + H ( y )  y = 2 y  y Do đó, biểu diễn W =   x    xy    y  W2  W0  W2 biểu diễn V (2) + Tổng quát: Luỹ thừa đối xứng bậc n , Sym nV V có sở { x n , x n1 y, , y n } ta có: H ( x nk y k )  (n  k ).H ( x).x nk 1 y k  k H ( y ).x nk y k 1  (n  2k ) x nk y k Do giá trị riêng H Sym nV n , n – 2, , - n + 2, - n Vì Sym nV bất khả quy V ( n ) = Sym nV Từ đó, ta có hệ sau: Hệ 3.1.4 Mọi biểu diễn bất khả quy Sl  luỹ thừa đối xứng tiêu chuẩn biểu diễn V   3.2 Biểu diễn Sl  Phần phát triển kết Sl  giống Sl  Ta phân tích biểu diễn Sl  xem xét trường hợp đại số Sl  Và ta thu hai kết đáng nhìn nhận sau: + Thứ nhất: Khi kết thúc phần ta đến việc phân lớp biểu diễn Sl  cách cụ thể rõ ràng việc phân lớp biểu diễn Sl  + Thứ hai: Khi xem xét lại phân tích phần này, không cần đưa vào khái niệm cao việc phân lớp biểu diễn hữu hạn chiều tồn đại số Lie nửa đơn Nguyễn Thị Hợp 41 Lớp K31 E-Toán Khóa Luận tốt nghiệp Ta bắt đầu phân tích Sl  với sở { H , X , Y } đại số Lie Khi ta phân tích biểu diễn V tuỳ ý Sl  thành tổng trực tiếp không gian riêng tác động H Khi đó, ta xem phần tử đóng vai trò tương tự H ? Câu trả lời phần tử thay vào đó, ta phải thay phần tử H  Sl  không gian h  Sl  , không gian chiều ma trận chéo 3.2.1 Cho h  Sl  véctơ riêng h ; v V : H h ta có: H ( v ) =  ( H ) v , (3.3) đó:  ( H ) vô hướng phụ thuộc tuyến tính H , nghĩa là:  h  Khi có số khái niệm sau: + Giá trị riêng tác động h phần tử  h  cho v V \ {0} thoả mãn (3.3) + Không gian riêng liên hợp với giá trị riêng  không gian véctơ v  V thoả mãn (3.3) Phát biểu 3.2.1 Mọi biểu diễn hữu hạn chiều V Sl  có phân tích: V  V , V không gian riêng h  thuộc tập xác định h  3.2.2 X Y Sl  Ta xem xét đóng vai trò X Y Sl  Vấn đề then chốt xem mối quan hệ giao hoán: [ H , X ] = X [ H , Y ] = 2Y Sl  Giả sử X Y véctơ riêng tác động liên hợp H Sl  đây, ta xem xét véctơ riêng tác động liên hợp h Sl  Nói Nguyễn Thị Hợp 42 Lớp K31 E-Toán Khóa Luận tốt nghiệp cách khác, áp dụng phát biểu 3.2.1 vào biểu diễn liên hợp Sl  ta thu phân tích sau: Sl  = h ( g ) (3.4) :  h  h tác động không gian g phép nhân vô hướng; nghĩa là, H h, Y  g [ H , Y ] = ad( H )  ( Y ) =  ( H ) Y Trong trường hợp, ta thực phép nhân ma trận M phía bên trái đường chéo ma trận D với phần tử , nhân dòng thứ i M Trong nhân phía bên phải nhân cột thứ i Nếu phần tử M mi , j , phần tử hoán tử [ D , M ] (ai -a j )mi,j Ta thấy hoán tử [ D , M ] phép nhân M với D M có phần tử Vì cho Ei , j ma trận 3x3 mà phần tử thứ (i,j) tất phần tử lại 0, ta thấy Ei , j sinh không gian riêng tác động liên hợp h g  a1 0      Ta có: h   a1  : a1  a2  a3    0 a   3    a1 Suy ra: h    L1 , L2 , L3  /( L1  L2  L3  0)} , đó: Li  0  a1 0   a3  Như hàm tuyến tính  h  xuất phân tích tổng trực tiếp (3.4) hàm Li  L j ; không gian g L  L sinh phần tử Ei , j Ta có hình ảnh i j sau: Nguyễn Thị Hợp 43 Lớp K31 E-Toán Khóa Luận tốt nghiệp l 2-l l 2-l l2 l 1-l l 3-l l3 l1 l 1-l l 3-l (3.5) Trên mô hình, ta thấy rõ tác động h lên g : h mang không gian g vào Tác động g phép nhân vô hướng hàm tuyến tính biểu diễn dấu chấm 3.2.3 Nguyên tắc tính toán thứ Coi X phần tử g , Y g  , ta xem xét h tác động lên ad( X )( Y ) nào? Với H h ta có nguyên tắc tính toán (thứ hai):  H , X ,Y    X ,  H ,Y    H , X ,Y  = [ X ,  ( H )  Y ]  [ ( H )  X , Y ] = ( ( H )   ( H ))   X ,Y  Nguyễn Thị Hợp 44 Lớp K31 E-Toán Khóa Luận tốt nghiệp Mặt khác: [ X , Y ] = ad( X )( Y ) véctơ riêng h với giá trị riêng   Vì vậy: ad( g ): g   g   ; Tác động ad( g ) bảo tồn phân tích (3.4) với ý nghĩa mang không gian riêng g  vào không gian khác Ta giải thích điều dựa vào mô hình (3.5) không gian riêng “ phép tịnh tiến ”, nghĩa là, g mang không gian g  tương ứng với dấu chấm mô hình vào không gian g   tương ứng với dấu chấm tịnh tiến  Ví dụ: Tác động g L  L mô tả mô hình sau: Nguyễn Thị Hợp 45 Lớp K31 E-Toán Khóa Luận tốt nghiệp l 2-l l2 l 2-l l 1-l l1 0 l3 l 3-l l 1-l l 3-l nghĩa là: mang g L  L vào g L  L ; g L  L vào h; h vào g L  L ; g L  L vào g L  L , 2 3 1 3 2 triệt tiêu g L  L , g L  L g L  L 3 Chú ý: Không phải tất liệu đọc tắt từ mô hình, sở biết Ví dụ như: ta thấy mô hình hạt nhân ad( g L  L ) lên h, ý tưởng tốt 3.2.4 Nguyên tắc tính toán thứ Cho X  g , v V ta xem xét X tác động lên v biết phần tử H  h tác động lên X ( v ) Ta có nguyên tắc tính toán (thứ ba ): H ( X (v))  X ( H (v))   H , X (v) = X (  ( H )  v)  ( ( H )  X )(v) Nguyễn Thị Hợp 46 Lớp K31 E-Toán Khóa Luận tốt nghiệp = ( ( H )   ( H ))  X (v) Nhận thấy, X ( v ) véctơ riêng tác động h với giá trị riêng    ; Nói cách khác: g : V  V   Vì vậy, biểu diễn không gian riêng V V dấu chấm mô hình cho g tác động phép tịnh tiến biểu diễn Sl  phần trước biểu diễn liên hợp Sl  Nhận xét 3.2.2 Các giá trị riêng  xuất biểu diễn bất khả quy Sl  phân biệt với giá trị khác tổ hợp tích phân tuyến tính véctơ Li  L j  h  Chú ý: Các véctơ Li  L j sinh mạng lưới h  mà ta biểu diễn  R tất  nằm tịnh tiến mạng lưới Định nghĩa 3.2.3 Giá trị riêng  h  tác động h lên biểu diễn V g gọi trọng số biểu diễn Tương tự: + Các véctơ V gọi trọng số véctơ + Các không gian V gọi trọng số không gian Nhận xét 3.2.4 Các trọng số xuất biểu diễn liên hợp gọi nghiệm đại số Lie tương ứng không gian g  g không gian nghiệm Quy ước: Số không nghiệm Lưới  R  h  sinh nghiệm  gọi lưới nghiệm Xét Sl  : Cho không gian riêng cực trị V véctơ v V , ta có: X : V  V 2 , X( v ) = Nguyễn Thị Hợp 47 Lớp K31 E-Toán Khóa Luận tốt nghiệp Vì vậy: v vừa véctơ riêng H vừa hạt nhân X Xét Sl  : Chọn hướng tìm  xa hướng xuất phân tích (3.4) Tương ứng với việc chọn hàm tuyến tính: l : R   mở rộng tính chất tuyến tính tới hàm tuyến tính l : h    biểu diễn có không gian riêng V với phần thực l ( ) cực đại Vấn đề gì? Trong trường hợp biểu diễn V Sl  , ta phải tìm véctơ v V mà hạt nhân toán tử X véctơ riêng H Trong trường hợp biểu diễn Sl  , ta phải tìm véctơ v V mà véctơ riêng h, đồng thời hạt nhân tác động g  , với  cho l (  )  - tức bị triệt tiêu nửa không gian nghiệm g  Chọn l cho: l (a1L1  a2 L2  a3 L3 )  aa1  ba2  ca3 a  b  c  a  b  c Vì không gian g  g mà l ( )  thực chất là, g L  L , g L L g L  L Chúng tương ứng ma trận với phần tử 3 khác đường chéo Nguyễn Thị Hợp 48 Lớp K31 E-Toán Khóa Luận tốt nghiệp l 2-l l2 l 2-l l 1-l l1 l3 l 3-l l 1-l l 3-l l =0 Vì vậy, cho i < j, ma trận Ei , j sinh không gian nghiệm dương ma trận E j ,i sinh không gian nghiệm âm Ta coi: H i , j   Ei , j , E j ,i   Ei ,i  E j , j Bây giờ, cho V biểu diễn bất khả quy hữu hạn chiều Sl  Từ điều ta thu kết sau: Bổ đề 3.2.5 Có véctơ v V với thuộc tính : (i) v véctơ riêng h, nghĩa là: v V với  ; (ii) v bị triệt tiêu E1,2 , E1,3 E2,3 Khi đó: biểu diễn V Sl  , véctơ v V với thuộc tính gọi véctơ có trọng số cao Nguyễn Thị Hợp 49 Lớp K31 E-Toán Khóa Luận tốt nghiệp Định lý 3.2.6 Coi V biểu diễn bất khả quy Sl  v V véctơ có trọng số cao Khi V sinh ảnh v phép trải liên tiếp ba toán tử E2,1 , E3,1 E3,2 Hệ 3.2.7 Ta có hệ sau: 1, Mọi giá trị riêng   h  xuất V nằm loại mặt phẳng với điểm góc  2, dimV   v véctơ riêng với giá trị riêng 3, Các không gian V n ( L L ) V  n ( L  L ) chiều, chúng sinh ( E2,1 )n (v) ( E3,2 )n (v) tương ứng Chứng minh định lý 3.2.6: Ta phải chứng minh không gian W V sinh ảnh v đại số Sl  sinh E2,1 , E3,1 E3,2 bảo tồn Sl  Tương đương với E1,2 , E1,3 E2,3 mang W vào + v  hạt nhân E1,2 , E1,3 E2,3 Ta có: E1,2 ( E2,1 (v))  E2,1 ( E1,2 (v))   E1,2 , E2,1  (v) =  (  E1,2 , E2,1 ).v ( E1,2 (v)   E1,2 , E2,1  h) E2,3 ( E2,1 (v))  E2,1 ( E2,3 (v))   E2,3 , E2,1  (v) = (vì E2,3 (v)   E2,3 , E2,1   ) Tương tự: E3,2 (v) mang vào V E1,2 E2,3 + Phương pháp quy nạp: Giả sử Wn độ dài n bé dấu hiệu E2,1 E3,2 Wn không gian véctơ sinh véctơ wn (v) Nguyễn Thị Hợp 50 Lớp K31 E-Toán Khóa Luận tốt nghiệp Chú ý rằng: W  Wn , E3,1 hoán tử E3,2 E2,1 Định lý E1,2  wn  E2,1.wn1 E2,3 mang Wn vào Wn1 Khi ta có:   wn  E3,2 wn1 ( wn1 (v) véctơ riêng h với giá trị riêng  ,  Ta có: E1,2 ( wn (v))  E1,2 ( E2,1 ( wn1 (v))) = E2,1 ( E1,2 ( wn1 (v)))  [ E1,2 , E2,1 ]( wn1 (v))  E2,1 (Wn2 )   ([ E1,2 , E2,1 ]).( wn1 (v))  Wn1 (  E1,2 , E2,1  h) E2,3 ( wn (v))  E2,3 ( E2,1 ( wn1 (v))) = E2,1 ( E2,3 ( wn1 (v)))  [ E2,3 , E2,1 ]( wn1 (v))  E2,1 (Wn 2 )  Wn1 (  E2,3 , E2,1   ) Tính toán tương tự trường hợp wn  E3,2  wn1 Định lý chứng minh  Tính chất 3.2.8 Nếu V biểu diễn Sl  v V véctơ có trọng số cao nhất, biểu diễn W V sinh ảnh v phép trải liên tiếp ba toán tử E2,1 , E3,1 E3,2 bất khả quy Chứng minh: Giả sử  trọng số v Từ định lý suy W biểu diễn rõ ràng W chiều Nguyễn Thị Hợp 51 Lớp K31 E-Toán Khóa Luận tốt nghiệp Giả sử ngược lại: Nếu W không bất khả quy , ta có W  W   W  với biểu diễn W ,W  Nhưng hình chiếu tới W  W  giao hoán với tác động h, ta có : W  W  W Mà không gian W,W Suy ra: v W  v W  Vậy suy ra: W  W  W  W   Hệ 3.2.9 Mọi biểu diễn bất khả quy Sl  có véctơ có trọng số cao nhất; Hơn nữa, tập véctơ có trọng số cao V hình thành liên kết không gian tuyến tính W ứng với biểu diễn bất khả quy W V , với số chiều W số lần W xuất phân tích tổng trực tiếp V thành bất khả quy Nguyễn Thị Hợp 52 Lớp K31 E-Toán Khóa Luận tốt nghiệp Kết luận Khoá luận: “ Biểu diễn Sl  Sl  ” nghiên cứu tổng quan vấn đề: + Biểu diễn nhóm hữu hạn đặc trưng biểu diễn + Trình bày biểu diễn Sl  Sl  Qua khoá luận này, thân em không lĩnh hội thêm tri thức Đại số mà có hiểu biết định nghiên cứu khoa học Việc nghiên cứu sâu lý thuyết biểu diễn nhóm hữu hạn biểu diễn Sl  , Sl  góp phần bổ sung thêm kết quan trọng vào lý thuyết đại biểu diễn Do thời gian nghiên cứu có hạn khả thân hạn chế nên đề tài không tránh khỏi thiếu sót định Vì vậy, em mong đóng góp ý kiến thầy, cô bạn sinh viên khoa để đề tài hoàn thiện Em xin chân thành cảm ơn ! Hà Nội, tháng năm 2009 Sinh viên Nguyễn Thị Hợp Nguyễn Thị Hợp 53 Lớp K31 E-Toán Khóa Luận tốt nghiệp Tài liệu tham khảo Tiếng việt 1/ Nguyễn Hữu Việt Hưng, Đại số đại cương, NXB giáo dục 1999 2/ Hoàng Xuân Sính, Đại số đại cương, NXB giáo dục Tiếng anh 3/ W Fulton, J Harris, Representation Theory, Springer – Verlag, 1991 Nguyễn Thị Hợp 54 Lớp K31 E-Toán [...]... ( W ) được gọi là một biểu diễn con của  Nguyễn Thị Hợp 17 Lớp K31 E-Toán Khóa Luận tốt nghiệp Nhận xét:  w là một biểu diễn con của  nếu và chỉ nếu W là K G  – môđun con của V b, Ví dụ : Xét biểu diễn cấp 1 của nhóm hữu hạn G  : G  GL (  ) s (r )  id (r )  r, r   , s  G Đây là biểu diễn tầm thường của G Khi đó   : G  GL (  ) là một biểu diễn con của G Thật vậy ta có : s (q)... nghiệp 2.5.3 Mệnh đề 2.5.3 Giả sử   và  là đặc trưng các biểu diễn  : G  GL(V ) và  : G  GL(W ) tương ứng Khi đó : (i) Đặc trưng  của biểu diễn tổng trực tiếp   bằng   +  (ii) Đặc trưng  của biểu diễn tích tenxơ   bằng    Chứng minh : (i) Giả sử  và  được cho tương ứng bởi các ma trận s và  s trong các cơ sở ( ei )in1 của V và ( i )im1 của W Đặt f =   : G  GL(V ... bất khả quy Định lý 2.3 Nếu đặc số của trường K không chia hết cấp của nhóm G thì K G  là một vành nửa đơn, tức mọi biểu diễn tuyến tính của G trong K – không gian véctơ đều là tổng trực tiếp của các biểu diễn bất khả quy Chứng minh: Giả sử  : G  GL (U ) là một biểu diễn của G ; V là một K[G] – môđun con của U Ta sẽ chứng minh rằng có một K[G] – môđun con W của U sao cho U  V W  Chú ý: W ... tiếp và tích tenxơ của các biểu diễn b, Ví dụ: Cho hai biểu diễn của nhóm hữu hạn G  : G  GL(  ) và  : G  GL(  ) s (r )  id (r )  r, r   , s  G  s (q)  id  (q)  q, q   , s  G Khi đó :   : G  GL(   ) (  )s (r, q)  (s (r), s (q))  ( r, q)   : G  GL(   ) (  )s (r  q)  s (r )  s (q)  r  q 2.3.5 Mối quan hệ giữa các biểu diễn tuyến tính và các biểu diễn. .. G vào nhóm GL ( V ) các tự đẳng cấu tuyến tính của V Kí hiệu  ( s) bởi  s với s  G ta có:   st , st e  idV ,  s  ( s ) 1 , 1 với s, t  G ; e là đơn vị của nhóm G V được gọi là một không gian biểu diễn của G (hay đơn giản, một G – không gian ) Số chiều của V trên K được gọi là cấp của biểu diễn Nếu K =  ,  hoặc  thì ta nói  là một biểu diễn hữu tỉ, thực hoặc phức (tương ứng của. .. gian con 2.3.3 Biểu diễn bất khả quy a, Định nghĩa: Biểu diễn  : G  GL (V ) được gọi là bất khả quy nếu V không có G – không gian nào khác V và 0 Nói cách khác:  là một biểu diễn bất khả quy nếu và chỉ nếu V là một K[G] – môđun đơn b, Ví dụ: Xét biểu diễn  : G  GL (  ) ( với  là không gian véctơ trên K chỉ có một phần tử 0 ) Dễ dàng thấy được, đây là một biểu diễn bất khả quy của G vì nếu V... biểu diễn bất khả quy của G thì theo bổ đề 2.6.9 ta có:  f   f (t ) (t ) Do f trực giao với i , ( i  1, h ) suy ra < f ,  i > = 0 Mà  i tG phải là một trong các đặc trưng của  Điều đó chứng tỏ  f  0 Mặt khác, mỗi biểu diễn đều là tổng trực tiếp của các biểu diễn bất khả quy, cho nên  f  0 với mọi biểu diễn  (  không nhất thiết phải bất khả quy ) Do đó, nếu  là biểu diễn chính quy của. .. )  0 nếu trái lại Hệ quả được chứng minh  2.5 Đặc trưng của biểu diễn 2.5.1 Định nghĩa Giả sử  : G  GL(V ) là một biểu diễn tuyến tính của nhóm G trong không gian véctơ V Hàm số  : G   được định nghĩa bởi công thức:  (s)  Tr (s ),( s  G) được gọi là đặc trưng của biểu diễn  2.5.2 : Mệnh đề 2.5.2 Nếu  là đặc trưng của một biểu diễn  có cấp n thì : (i)  (e)  n , (ii)  (s 1 )  ...  là một biểu diễn tuyến tính của G  2.3 Hai biểu diễn tương đương 2.3.1 Định nghĩa Cho hai biểu diễn  : G  GL ( V ) và  : G  GL ( W ) Một đồng cấu từ  vào  là một ánh xạ K – tuyến tính f: V  W sao cho f s   s f , s  G Sử dụng cấu trúc K G  - môđun của V và W , đẳng thức trên tương đương với điều kiện sau: f ( s v ) = s f ( v ) , s  G , v V Như vậy, mỗi đồng cấu từ  vào  là một... V vào W Hai biểu diễn  và  được gọi là tương đương ( hay đẳng cấu hoặc đồng dạng ) nếu các K G  – môđun V và W là đẳng cấu 2.3.2 Biểu diễn con a, Định nghĩa: Không gian véctơ con W  V được gọi là một G – không gian con hay một không gian con ổn định dưới tác động của  nếu s ( x) W , s  G, x W Khi đó hạn chế  sW của  s trên W xác định một biểu diễn  w : G  GL ( W ) được gọi là một biểu ... 14 2.3 Hai biểu diễn tương đương 15 2.4 Bổ đề Schur 18 2.5 Đặc trưng biểu diễn 23 2.6 Biểu diễn bất khả quy 26 Chương Biểu diễn Sl  Sl  3.1 Biểu diễn bất khả... biểu diễn tuyến tính biểu diễn bất khả quy Định lý 2.3 Nếu đặc số trường K không chia hết cấp nhóm G K G  vành nửa đơn, tức biểu diễn tuyến tính G K – không gian véctơ tổng trực tiếp biểu diễn. .. Mọi biểu diễn bất khả quy Sl  luỹ thừa đối xứng tiêu chuẩn biểu diễn V   3.2 Biểu diễn Sl  Phần phát triển kết Sl  giống Sl  Ta phân tích biểu diễn Sl  xem xét trường hợp đại số Sl  Và