TRƯỜNG ĐẠI HOC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN HỌC PHẠM THỊ HIỀN BÀI TOÁN CỰC TRỊ VỀ HÌNH HỌC TRONG MẶT PHẲNG KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP CHUYÊN NGÀNH : HÌNH HỌC Người hướng dẫn khoa học T.S PHAN HỒNG TRƯỜNG Hà nội, Tháng năm 2010 Lời cảm ơn Do chưa có nhiều kinh nghiệm việc tiến hành nghiên cứu khoa học , em không khỏi bỡ ngỡ nhiều lúng túng Nhưng giúp đỡ nhiệt tình thầy giáo PHAN HỒNG TRƯỜNG thầy cô giáo tổ hình học , em hoàn thành tốt khoá luận , đảm bảo thời gian , kiến thức xác toán học Do điều kiện thời gian tính chất đề tài chắn khoá luận tốt nghiệp em không tránh khỏi thiếu sót.Em mong nhận bảo thầy cô giáo ý kiến bạn đồng môn để khoá luận hoàn thiện Qua em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới thầy cô giáo tổ hình học , thầy giáo khoa toán đặc biệt thầy giáo PHAN HỒNG TRƯỜNG hướng dẫn em hoàn thành khoá luận Em xin chân thành cảm ơn! Ngày 15 tháng năm 2010 Sinh viên : PHẠM THỊ HIỀN Lời cam đoan Khoá luận kết thân em qua trình học tập nghiên cứu,cùng với tạo điều kiện thầy cô giáo khoa toán, đặc biệt hướng dẫntận tình thầy giáo Phan Hồng Trường Em xin khẳng định kết đề tài “Bài toán cực trị hình học mặt phẳng” trùng hợp với kết đề tài khác Mục lục Trang Lời nói đầu ……………………………………………………………… Chương : Phương pháp giải toán cực trị hình học A) Bài toán cực trị hình học …………………………………… B) Phương pháp chung để giải toán cực trị hình học Bài tập đề nghị chương 1……………………………………………… 14 Chương : Cách vận dụng bất đẳng thức hình học A) Bất đẳng thức tam giác………………………………………… B) Đường vuông góc đường xiên…………………………… C) Độ dài đường gấp khúc ………………………………………… D) Các bất đẳng thức đường tròn…………………………… Bài tập đề nghị chương …………………………………………… 15 16 17 19 21 Chương : Cách vận dụng bất đẳng thức đại sốvào toán cực trị hình học mặt phẳng A) Các bất đẳng thức đại số thường dùng…………………………… B) Các ví dụ áp dụng ……………………………………… ………… Bài tập đề nghị chương 3…………………………………………… 22 23 25 Chương : Toạ độ vectơ mặt phẳng với toán cực trị hình học A)Toạ độ mặt phẳng với toán cực trị hình học mặt phẳng …………………………………….… 26 B)Vecto mặt phẳng với toán cực trị hình học mặt phẳng ……………………………………………… 28 Kết luận………………………………………………………………… 31 LỜI NÓI ĐẦU 1) Lý chọn đề tài Trong nhà trường phổ thông , hình học môn học khó học sinh.Bởi hình học môn học yêu cầu người học phải có tư logic , chặt chẽ có khả trừu tượng hoá cao môn học khác Học sinh tiếp cận với hình học từ năm học tiểu học học cách hệ thông từ lớp Học sinh học cách giải nhiều dạng toán toán tìm giá trị cực trị đại lượng hình học mặt phẳng toán gây nhiều khó khăn cho học sinh Với gợi ý hướng dẫn thầy giáo PHAN HỒNG TRƯỜNG ,cùng với mục đích tìm hiểu đưa phương pháp chung để giải toán cực trị hình học mặt phẳng tìm hiểu cách vận dụng số bất đẳng thức hình học ,bất đẳng thức đại số để giải toán cực trị hình học mặt phẳng , em lựa chọn đề tài “ Bài toán cực trị hình học mặt phẳng ” 2) Nhiệm vụ nghiên cứu : + Trình bày sở lí thuyết + Đề xuất phương pháp +Xây dựng hệ thống ví dụ tập luyện tập 3)Phƣơng pháp nghiên cứu + Thống kê + Khái quát hoá , trừu tượng hoá + Nghiên cứu sách giáo khoa , tài liệu tham khảo , báo toán học tuổi trẻ CHƢƠNG :PHƢƠNG PHÁP GIẢI MỘT BÀI TOÁN CỰC TRỊ VỀ HÌNH HỌC TRONG MẶT PHẲNG A, Bài toán cực trị hình học Xét đại lượng hình học y (độ dài đoạn thẳng,tổng nhiều đoạn thẳng,chu vi ,diện tích hình, độ lớn góc,v.v…) 1, Bài toán tìm cực tiểu hình học Nếu có giá trị không đổi y1 cho có y y1 , đồng thời tồn vị trí hình học y (hoặc hình chứa y) y đạt giá trị y1 ,thì ta nói y1 giá trị nhỏ (cực tiểu ) y 2, Bài toán tìm cực đại hình học Tương tự,nếu có giá trị không đổi y2 cho có y y2 , đồng thời tồn vị trí hình học y (hoặc hình chứa y) y đạt giá trị y2 ,thì ta nói y2 giá trị lớn (cực đại ) y Bài toán tìm cực tiểu hay cực đại y gọi chung toán cực trị hình học Người ta thường kí hiệu y = y1 (hay ymin = y1) ; Max y = y2 (hay ymax =y2 ) ; B,Phƣơng pháp chung để giải toán cực trị hình học mặt phẳng Căn vào đầu bài,người ta thường giải toán cực trị hình học theo ba cách sau: 1,Cách 1: Vẽ hình có chứa đại lượng hình học mà ta phải tìm cực trị , thay điều kiện đại lượng điều kiện tương đuơng.Có phải chọn đại lượng hình làm ẩn số,dựa vào mối quan hệ ẩn số với đại lượng khác hình, đại lượng đầu cho sẵn,nhưng ta làm xuất trình tìm lời giải toán.Biểu thị ẩn số theo đại lượng biết, đại lượng không đổi biến đổi tương đương biểu thức vừa tìm để cuối xác định giá trị đại lượng cần tìm, từ suy vị trí hình để đạt cực trị Người ta thường dùng cách đầu dược cho dạng : “ Tìm hình thoả mãn điều kiện cực trị cho trứơc ‟‟ Ví dụ 1: Trong tam giác có đáy diện tích , tìm tam giác có chu vi nhỏ Giải : Xét tam giác có chung đáy BC = a có điện tích S Gọi AH đuờng cao tương ứng với cạnh đáy BC ta có: 2S S = AH.BC  AH = ( không đổi ) a Suy A di động đường thẳng xy 2S Song song với BC cách BC khoảng a B’ Ta cần xác định vị trí A xy để tam giác ABC Có chu vi nhỏ Chu vi ABC = AB + BC + CA = AB + AC + a Vì a không đổi nên chu vi ABC nhỏ AB + AC nhỏ x Gọi B‟ điểm đối xứng B qua xy , B‟C cắt XY A0 Xét AB‟C ta có: AB‟ + AC  B‟C = B‟A0 + A0C (1) Thay AB‟ = AB ; A0B‟ = A0B vào (1) ta : AB + AC  A0B + A0C (2) Ao A y B C (2) có dấu “=” B‟, A, C thẳng hàng Khi A  A0 Vì A0B = A0B‟ = A0C nên A0BC cân A0 Vậy tam giác có chung đáy có diện tích tam giác cân có chu vi nhỏ Ví dụ : Cho ABC có góc B C nhọn; BC =a, đường cao AH = h Xét hình chữ nhật MNPQ nội tiếp tam giác có M  AB; N  AC; P Q  BC Xác định vị trí hình chữ nhật MNPQ để có diện tích lớn Giải: Vị trí hình chữ nhật MNPQ hoàn toàn xác định ta xác định vị trí MN Đặt MQ = x; MN= y A  AK = h - x AMN ∽ ABC MN AK = BC AH y h-x  = a h M K y N  B Q H P C a(h-x) h Gọi S diện tích hình chữ nhật MNPQ : a S = xy = x( h - x) (*) h a a h2 h2 2 S = ( hx - x ) = ( hx - x + - ) h h 4 2 a h h h = [ - ( x2 - 2.x + )] h 4 a h h = [ - (x- )2 ] h ah a h ah = - (x- )2  h h h dấu “=” xảy x - =  x = K trung điểm AH hay MN 2 đường trung bình ABC ah h Vậy max S = x=  y= Chú Ý : Ta giải toán cách áp dụng hệ bất đẳng thức Cauchy Từ (*) ta nhận thấy : a, h số dương nên S lớn x(h -x) lớn Do x >0; x < h nên h - x > 0, hai số dương x (h - x) có tổng không đổi x + (h - x) = h nên tích x(h - x) lớn chúng : h x = h - x hay x = 2,Cách Đưa hình (theo yêu cầu đầu bài) chứng minh hình khác có chứa yếu tố ( mà ta phải tìm cực trị ) lớn bé yếu tố tương ứng hình đưa Ví dụ : Trong tam giác có đáy diện tích, chứng minh tam giác cân có chu vi nhỏ Đây toán ta đề cập ví dụ 1,nhưng đầu nói rõ hình ta cần phải chứng minh tam giác cân, nên ta đưa tam giác cân A0BC (h.1.1).Rồi xét tam giác không cân ABC có đáy BC, đỉnh A chạy Đường thẳng xy ∥ BC ta việc chứng minh chu vi ABC chu vi A0BC tức AB + AC  A0B + A0C trình bày cách giải ví dụ 3,Cách : Thay việc tìm cực đại đại lượng việc tìm cực tiểu đại lượng khác , ngược lại Ví dụ 4: Chứng minh tam giác có đáy diện tích , tam giác cân có bán kính đường tròn nội tiếp lớn nhầt GIẢI Gọi a, b, c độ dài ba cạnh tam giác ABC , r bán kính đường tròn nội tiếp tâm I , S điện tích tam giác ABC Ta có : S = SAIB + SBIC + SCIA 1 = cr + ar + br 2 r = (a + b + c ) Vì S không đổi , ta suy r lớn ( a + b + c ) nhỏ , tức chu vi tam giác nhỏ Theo kết ví dụ ,đó tam giác cân Ví dụ 5: Cho hình vuông ABCD cạnh a Xét hình thang có bốn đỉnh bốn cạnh hình vuông hai đáy song song với đường chéo hình vuông Tìm hình thang có diện tích lớn tính diện tích lớn GIẢI Gọi EFGH hình thang có đỉnh nằm cạnh hình vuông hai đáy FG, EH song song với đường chéo BD hình vuông Đặt AE = x  EB =a - x CF = y  FB =a - y Dễ thấy DHG = BEF Gọi S hiệu diện tích hình vuông diện tích hình thang EFGH : S = SAEH + SCFG + 2SBEF AE + CF2 + BE.BF 2 2 x y = + + ( a - x )( a - y ) 2 = [ x2 + y2 + 2xy - 2a( x + y ) + 2a2 ] 2 = [(x+y) -2a(x+y)+2a ] 2 = [(x+y-a) +a ] SEFGH lớn S lấy giá trị nhỏ Điều xảy khi: x+y-a=0  x+y=a  x=a-y hay AE = BF Khi đường chéo EG HF song song với cạnh hình vuông diện a2 tích lớn hình thang phải tìm (*) CHÖ Ý QUAN TRỌNG (i) Có trường hợp để tìm cực trị đại lượng A , ta chia A thành tổng nhiều đại lượng khác : A=B+C tìm cực trị B C, từ suy cực trị A ,ta cần chứng minh : “ B đạt cực trị C đồng thời đạt cực trị ngược lại ” = Ví dụ 6: Cho tam giác ABC vuông A , bên tam giác vẽ hai nửa đường tròn có đường kính AB , AC Một dường thẳng d quay quanh A cắt hai nửa đường tròn theo thứ tự M,N ( khác A ) Xác định vị trí M,N cho chu vi tứ giác BCNM lớn GIẢI Đặt BM = x ; AM = y ; AN = z ; NC = t ; Thì chu vi tứ giác BMNC = BC + x + y + z + t Với hai đại lượng , ta có : ( a - b )2   a2 + b2  2ab  ( a2 + b2 )  ( a + b )2(*) Tam giác AMB vuông M ; Áp dụng định lí Pitago ta có : BM2 + MA2 = AB2 hay x2 + y2 = AB2 Áp dụng bất đẳng thức (*) : ( x + y )2  AB2  x + y  AB 10 C, ĐỘ DÀI ĐƢỜNG GẤP KHÖC Độ dài đường gấp khúc nối hai điểm không nhỏ độ dài đoạn thẳng nối hai điểm Ví dụ : Cho hình vuông ABCD tứ giác MNPQ có bốn đỉnh thuộc bốn cạnh hình vuông ( tứ giác MNPQ nội tiếp hình vuông ABCD ) Tìm điều kiện để tứ giác MNPQ có chu vi nhỏ GIẢI Gọi I , J , K trung điểm QN , MN , PQ Áp đụng tính chất trung tuyến thuộc cạnh huyền tam giác vuông ta có: MN = BJ ; PQ = DK Áp dụng tính chất đường trung bình tam giác : PN = IK ; MQ = IJ Chu vi tứ giác MNPQ : MN + NP + PQ + MQ = = ( BJ +JI + IK + KD )  BD Chu vi tứ giác MNPQ đạt giá trị nhỏ hai lần độ dài đường chéo hình vuông, đường gấp khúc trùng với đường chéo BD, MN ∥ AC ∥ PQ MQ ∥ BD ∥ NP Tứ giác MNPQ trở thành hình chữ nhật Từ toán tacó thể rút kết luận : Mọi hình chữ nhật nội tiếp hình vuông cho có chu vi chu vi nhỏ so với chu vi tứ giác nội tiếp hình vuông Ví dụ : Cho tam giác ABC có góc nhỏ 120o Tìm điểm M nằm bên tam giác cho tổng MA + MB + MC có giá trị nhỏ GIẢI 19 Xét điểm M nằm tam giác ABC Ta phải xác định vị trí M để tổng MA + MB + MC có giá trị nhỏ Ta tìm cách đưa tổng ba đoạn thành tổng đoạn thẳng đường gấp khúc nối hai điểm xác định Thực phép quay tâm A ,góc quay 60o , ngược chiều kim đồng hồ : Biến : M thành M‟ ; C thành C‟ Như tam giác AMM‟ tam giác suy MA =MM‟ Tam giác ACC‟ tam giác nên C‟ hoàn toàn xác định ; M‟C‟ = MC ( phép quay bảo toàn khoảng cách hai điểm ) Do MA + MB + MC = MM‟ + MB + M‟C‟ = độ dài đường gấp khúc BMM‟C‟  BC‟ Để tổng MA + MB + MC nhỏ ,ta phải tìm M cho bốn điểm B, M ,M‟ ,C‟ thẳng hàng , nghĩa M thuộc đoạn BC Suy : M  Mo = BC‟  CB‟ Do cách xác định điểm M sau : Dựng phía tam giác ABC tam giác ACC‟ ; ABB‟ ; Lấy giao BC‟ CB‟, điểm M cần tìm Theo giả thiết tam giác ABC có góc nhỏ 120o nên ta có :    BAC‟ = BAC + CAC‟ < 120o + 60o = 180o Suy BC‟ cắt đoạn AC điểm D nằm A C Tương tự CB‟ cắt AB điểm E nằm A B, suy tia BD nằm hai tia BA BC ; Tia CE nằm hai tia CB CA ; Do hai tia BC‟ CB‟ cắt điểm Mo nằm tam giác ABC D, CÁC BẤT ĐẲNG THỨC TRONG ĐƢỜNG TRÕN 1, Đường kính dây cung lớn đường tròn 2, Trong hai dây cung không , dây lớn có khoảng cách từ tâm đến dây nhỏ ngược lại Ví dụ : Cho hai đường tròn (O1) (O2) cắt A B Một cát tuyến qua B , cắt (O1) M , cắt (O2) N Xác định vị trí cuả MN để chu vi tam giác AMN đạt giá trị lớn GIẢI Hai tam giác AMN AO1O2 đồng     dạng có M = O1 ; N = O2 Suy : AM+MN+NA AM = AO1+O1O2+O2A AO1 20 AM dây ; AO1 bán kính đường tròn (O1) : AM  AO1 AM   AO1 Dấu “=” xảy AM đường kính đường tròn (O1) , AN đường kính đường tròn (O2) ,do O1O2 đường trung bình tam giác AMN  MN ∥ O1O2 Vậy tam giác AMN có chu vi lớn MN qua B song song với đường nối tâm O1O2 Ví dụ 2: Cho đường tròn (O) điểm M nằm đường tròn ( M không trùng với O ) 1) Qua M dựng dây Ab cho độ dài : a) Lớn b) Nhỏ  2) Dựng điểm P đường tròn cho góc OPM lớn GIẢI 1) a) Dây AB lớn qua M phải dựng dây qua tâm O ( hay dựng đường kính đường tròn qua M ) b) Giả sử AB dây qua M OH khoảng cách từ tâm O tới dây Dây AB ngắn OH dài Xét tam giác OHM ta có OH  OM max OH = OM  H  M Vậy dây AB nhỏ phải dựng AoBo vuông góc với OM M 2) Giả sử PQ dây qua M.Tam giác cân OPQ có cạnh bên OP =OQ không đổi ( bán kính đường tròn (O) ) nên  góc đáy OPM lớn góc  đỉnh POQ nhỏ góc tâm đường tròn (O) 21  nên POQ nhỏ cung PQ nhỏ Dây PQ nhỏ khoảng cách từ tâm O đến dây lớn , suy PQ vuông góc với OM M Vậy điểm P phải dựng điểm P1 ,P2 đường tròn (O) cho P1P2 qua M vuông góc với OM BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ CHƢƠNG BÀI 2.1 : Cho hai điểm A B nửa mặt phẳng có bờ đường thẳng xy cho trứơc Tìm xy điểm M cho chu vi tam giác ABM nhỏ BÀI 2.2 : Trong hình bình hành có diện tích đường chéo không đổi, hình có chu vi nhỏ ? BÀI : Cho tam giác ABC cân A điểm D cố định đáy BC.Dựng đường thẳng song song với BC, cắt hai cạnh bên E F cho DE + DF có giá trị nhỏ BÀI 2.4 :  Cho góc xOy điểm M nằm góc cho M không thuộc Ox Oy.Hãy xác định điểm B Ox điểm C Oy cho OB = OC MB + MC đạt giá trị nhỏ BÀI 2.5 : Cho tam giác ABC Qua trọng tâm O tam giác dựng đường thẳng cho tổng khoảng cách từ ba đỉnh tam giác tới đường thẳng lớn ? nhỏ ? BÀI 2.6 : Cho tam giác ABC Tìm đường thẳng qua đỉnh A tam giác cho tổng khoảng cách từ B C tới đường thẳng nhỏ ? BÀI 2.7: Cho góc vuông xOy , điểm A thuộc miền góc , điểm M,N theo thứ  tự chuyển động tia Ox ,Oy cho MAN = 90o Xác định vị trí M ,N để tổng AM + AN có độ dài : a) Nhỏ b) lớn BÀI 2.8 : Trong cá hình thoi có chu vi , hình có diện tích lớn nhât ? BÀI 2.9 : Cho hình chữ nhật ABCD Tìm tứ giác có bốn đỉnh thuộc bốn cạnh hình chữ nhật cho chu vi tứ giác nhỏ 22 BÀI 2.10 : Trong hình chữ nhật có đường chéo d không đổi, hình có diện tích lớn ? Tính diện tích BÀI 2.11 : Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB ; M điểm di động nửa đường tròn.Qua M vẽ tiếp tuyến với nửa đường tròn, gọi D C theo thứ tự hình chiếu A B tiếp tuyến Xác định vị trí M cho tứ giác ABCD có diện tích lớn Tính diện tích theo bán kính R đường tròn CHƢƠNG 3: CÁCH VẬN DỤNG CÁC BẤT ĐẲNG THỨCTRONG ĐẠI SỐ VÀO BÀI TOÁN CỰC TRỊ HÌNH HỌC A, CÁC BẤT ĐẲNG THỨC ĐẠI SỐ THƢỜNG DÙNG 1, Cho f(x) có miền xác định D  R Ta có : [f(x)]2  ,x  D Từ suy : a) [f(x)]2 + m  m Nếu tồn x = xo  D cho [f(xo)]2 + m = m tức [f(xo)]2 = Thì m gọi giá trị nhỏ f(x) ta kí hiệu : Min f(x) = m  x = xo b) M - [f(x)]2  M Nếu tồn x = xo  D cho M - [f(x)]2 = M tức [f(xo)]2 = Thì M gọi giá trị lớn f(x) ta kí hiệu : Max f(x) = M  x = xo , Bất đẳng thức Côsi ( Cauchy ) Có dạng sau : a) ( a + b )2  ab , dấu “=” xảy a = b a b b) +  ( với ab >0) dấu “=” xảy a = b b a c) a + b  ab ( với a  ; b  ) dấu “=” xảy a = b CÁC HỆ QUẢ : d) a 0; b a + b = k (không đổi) (ab)max  a = b  Hai số không âm có tổng không đổi tích lớn hai số  Trong hình chữ nhật có chu vi, hình vuông có diện tích lớn e) a 0; b ab = k (không đổi) (a +b)min  a = b 23  Hai số không âm có tích không đổi tổng nhở hai số  Trong hình chữ nhật có diện tích, hình vuông có chu vi nhỏ B, CÁC VÍ DỤ ÁP DỤNG Ví dụ 1: Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 12cm; BC = 8cm Trên cạnh AB,BC,CD, lấy điểm E,F,G,H cho AE = CF = CG = AH Xác định vị trí điểm E,F,G,H để tứ giác EFGH có diện tích lớn tính diện tích GIẢI Đặt AE = CF = CG = AH = x  BE = DG = 12 - x BF = DH = -x Gọi S tổng diện tích bốn tam giác vuông AEH; CGF; EBF GDH; diện tích tứ giác EFGH lớn S nhỏ 1 S = .x.x + (12 - x)(8 - x) 2 = x + 96 - 20x + x2 = 2( x2 -10x + 48) = 2(x - 5)2 + 46  46 Min S = 46  x = Vậy max SEFGH = 12.8 - 46 = 50 (cm)2  x =5(cm) Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có BC = a; AC = b; AB = c Gọi x, y, z theo thứ tự khoảng cách từ điểm M Tam giác tới cạnh BC, CA, AB Xác định vị a b c trí điểm M để tổng + + có giá trị nhỏ x y z Giải Gọi S diện tích tam giác ABC, ta có: S = SBMC + SCMA + SAMB = (ax + by + cz)  ax + by + cz = 2S 24 Xét tích: a b c (ax + by + cz)( + + )= x y z x y y z x z = a2 + b2 + c2 + ab( + ) + bc( + ) + ac( + ) y x z y z x x y Vì x > 0, y > 0, nên ta có +  2, … y x Do : a b c (ax + by + cz)( + + )  a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc x y z Hay : a b c S( + + )  (a + b + c)2 x y z a b c (a+b+c)2  + +  x y z 2S a b c (a+b+c)2  min( + + ) = x y z 2S Khi : x = y  M  phân giác góc C (1) y =z  M  phân giác góc A (2) từ (1) (2)  M tâm đường tròn nội tiếp ABC a b c (a+b+c)2 Vậy biểu thức + + đạt giá trị nhỏ M x y z 2S tâm đường tròn nội tiếp ABC 25 BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ CHƢƠNG BÀI 3.1: Cho tam giác ABC có diện tích S.Các điểm D, E ,F thứ tự thuộc cá cạnh AB ,BC ,CA cho AD = kAB ; BE = k BC ; CF = k CA a) Tính diện tích tam giác DEF theo S k b) Với giá trị k diện tích tam giác DÈ đạt giác trị nhỏ ? BÀI : Trong tam giác vuông có tổng hai cạnh góc vuông không đổi , tam giác có chu vi nhỏ ? BÀI 3.3: Cho hình chữ nhật ABCD có độ dài cạnh 20 cm 30 cm Hãy xác định vị trí đỉnh hình bình hành EFGH nội tiếp hình chữ nhật cho ( E , F , G , H thuộc cạnh BC , BA , AD , DC ) cho BE = BH = DF = DG để diện tích hình bình hành EFGH có giá trị lớn Tìm giá trị lớn BÀI 3.4 : Cho tam giác ABC Qua điểm O nằm bên tam giác đó, vẽ đường thẳng song song với cạnh tam giác , chia tam giác làm ba hình bình hành ba tam giác nhỏ a) Biết diện tích tam giác ABC 81cm2 ; hai ba tam giác nhỏ có diện tích cm2 16 cm2 Tính diện tích tam giác lại b) Chứng minh tổng diện tích ba tam giác nhỏ lớn diện tích tam giác ABC Điểm O vị trí xảy dấu bằng? BÀI 3.5 : Gọi O giao điểm hai đường chéo AC BD tứ gác ABCD Biết SAOB = ; SCOD = Hãy tìm giá trị nhỏ diện tích tứ giác ABCD BÀI 3.6 : Đường tròn (O, r) nội tiếp tam giác ABC Đường thẳng kẻ qua O cắt hai cạnh CA CB tam giác M N Đường thẳng MN vị trí CMN có diện tích nhỏ ? BÀI 3.7 : Cho điểm M nằm đường tròn (O,R) Qua M dựng hai dây AB CD vuông góc với cho AB + CD lớn ? BÀI 3.8 : Cho tam giác ABC cân A Các điểm M ,N theo thứ tự chuyển động cạnh AB , AC cho AM = CN Xác định vị trí M ,N để : 26 a) MN có giá trị nhỏ b) Diện tích  AMN có giá trị lớn CHƢƠNG : TOẠ ĐỘ VÀ VECƠ TRONG MẶT PHẲNG VỚI BÀI TOÁN CỰC TRỊ HÌNH HỌC A) TOẠ ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG VỚI BÀI TOÁN CỰC TRỊ VỀ HÌNH HỌC TRONG MẶT PHẲNG:  Sử dụng công thức toạ độ véctơ, phép toán tích vô hướng, công thức góc, khoảng cách  Chọn hệ trục toạ độ thích hợp để giải số toán hình học cổ điển  Cho tam giác ABC với đỉnh có toạ độ xác định thì: X +X Y +Y + Trung đỉêm đoạn AB : I( A B ; A B) 2 X +X +X Y +Y +Y + Trọng tâm G: G( A B C ; A B C) 3   HA BC=0 + Trực tâm H:    HB  CA=0 + Tâm đường tròn ngoại tiếp E : EA = EB = EC AE2=BE2  AE2=CE2   + Khoảng cách: AB =| AB| = (XB-XA)2+(YA-YB)2 VÍ DỤ 1: Cho ABC cạnh a, vẽ tia Aa , Bb , Cc lấy điểm A1 , B1 cho AA1 = BB1 = 2a Xác định toạ độ đỉnh C1 Cc cho A1B1C1 có diện tích nhỏ nhất, tìm giá trị nhỏ GIẢI 27 a a Cho hệ trục toạ độ Axyz với B Ax Khi H(0;0;0), B(a;0;0), C( ; ;0); 2 a a A1(0;0;2a); B1(a;0;a) giả sử CC1 = m, m > CC1( ; ;m) 2 Gọi S, S1 theo thứ tự diện tích ABC, A1B1C1 gọi  góc mặt phẳng (ABC) (A1B1C1) S a2 S1 = = Cos 4Cos Từ ta thấy S1 đạt giá trị nhỏ  Cos đạt giá trị   gọi n1 , n2 theo thứ tự vectơ pháp tuyến mặt phẳng (ABC) (A1B1C1) ta có  n1 (0;0;1),   n A B    n A C 2 1 ,   n2 (a 3; 3a - 2m; a 3)  | n1 n2 |  Cos =   | n1 |.| n2 | = a 6a +(3a-2m)2 Khi Cos đạt giá trị nhỏ  a -2m = 3a  m= 2   Cos =  = a 3a Vậy S1 = đạt CC1 = 28 Ví Dụ 2: Cho tam giác ABC cạnh a vẽ hai tia Aa , Bb phương vuông góc với mặt phẳng (ABC) Gọi A1 , B1 hai điểm di động Aa , Bb cho AA1 + BB1 = l ( l độ dài cho trước) xác định vị trí A1 , B1 cho ABC diện tích nhỏ nhất? tìm giá trị đó? GIẢI Chọn hệ trục toạ độ Axyz với điểm B  Ax , A1  Az a a A(0;0;0), B(a;0;0), C( ; ;0) 2 giả sử AA1 = x, BB1 = y ta đựơc A1 (0;0;x), B1(a;0;y) x + y =l SABC a2 SA1B1C = = Cos 4Cos Ta có : Cos = a a 2 = 4(x +y) +3a 4l +3a2-8xy Ta có SA1B1C  Cos max  tích x.y = max Mặt khác l = x + y  xy  xy   AA1 = BB1 = l l dấu “=” sảy x = y = l Vậy SA1B1C a 2l2+3a2 = Đạt AA1 = BB1 = l B) VECTO TRONG MẶT PHẲNG VỚI BÀI TOÁN CỰC TRỊ VỀ HÌNH HỌC TRONG MẶT PHẲNG Sử dụng phương pháp vectơ ta giải nhiều toán mặt phẳng không gian , toán cực trị hình học phẳng phương pháp vectơ có nhiều ứng dụng 29   *) Tích vô hướng vectơ a , b :        a b = |a |.|b |.cos( a , b )  |a |.|b | Ví dụ 1: Cho ta giác ABC với trọng tâm G a) Chứng minh với điểm M ta có : MA2 + MB2 + MC2 = 3MG2 + GA2 + GB2 + GC2 b)Với vị trí điểm M tổng MA2 + MB2 + MC2 có giá trị nhỏ ? Và giá trị ? GIẢI    a) ta có: MA2 + MB2 + MC2 = MA + MB2 + MC2   =( MG + GA )      + ( MG + GB ) + ( MG + GC )2        = MG2 + GA2 + GB2 + GC2 + 2MG ( GA + GB + GC ) = 3MG2 + GA2 + GB2 + GC2 b) Vì GA2 + GB2 + GC2 không đổi nên theo câu a) suy tổng MA2 + MB2 + MC2 bé MG = hay điểm M trùng với trọng tâm G.Giá trị bé GA2 + GB2 + GC2 Ví dụ : Cho đoạn AB = 4a Với điểm M tuỳ ý, tìm giá trị bé tổng 3MA2 + MB2 Nếu điểm M tuỳ ý thuộc đường thẳng d kết nào?    GIẢI Gọi I điểm cho 3IA + IB =      -3 AI + ( AB - AI ) =      AB = AI  AI = AB Do I cố định AI =a , IB =3a ta có : 30       3MA2 + MB2 = MA + MB = ( MI + IA )2 + ( MI + IB )2    = MI + 3IA2 + IB2 + MI ( IA + IB )  = MI + 3a2 + 9a2 + MI = MI + 12 a2  12a2 Do 3MA2 + MB2 bé M trùng với I Nếu điểm M thuộc đường thẳng d tổng 3MA2 + MB2 nhỏ M hình chiếu cuả I d Ví dụ : Cho tam giác ABC có cạnh BC = a , CA = b, AB = c ,điểm M tuỳ ý, tìm giá trị nhỏ :       f(M) = MA MB + MB MC + MC MA GIẢI Ta có :   MA MB = ( MA2 + MB2 - AB2 )   MB MC =   MC MA = (MB2 + MC2 -BC2 ) ( MC2 + MA2 - CA2 ) 2 (a + b2 + c2 ) Gọi G trọng tâm tam giác ABC ,ta có : MA2 + MB2 + MC2 = 3MG2 + GA2 + GB2 + GC2 Nên f(M) = 3MG2 + GA2 + GB2 + GC2 - (a2 + b2 + c2 )  GA2 + GB2 + GC2 - (a2 + b2 + c2 ) Vậy f(M) nhỏ M  G Cộng lại f(M) = MA2 + MB2 + MC2 - 31 KẾT LUẬN Với toán ta sử dụng nhiều phương pháp giải khác Với dạng toán tím cực trị đại lượng hình học mặt phẳng ta sử dụng số phương pháp sau : + Sử dụng phuơng pháp chung để giải toán hình học (ở chương 1) + Cách giải toán cực trị hình học mặt phẳng cách vận dụng bất đẳng thức hình học bất đẳng thức tam giác, đường vuông góc đường xiên, độ dài đường gấp khúc,các bất đẳng thức đuờng tròn….) +Cách vận dụng bất đẳng thức đại số vào toán cực trị hình học mặt phẳng +Sử dụng phương pháp toạ độ vectơ mặt phẳng giải toán cực trị hình học mặt phẳng Mặc dù cố gắng thực nội dung khoá luận Nhưng chương 4, em chưa đưa hệ thống tập đề nghị để giúp ngưòi đọc hiểu sâu nội dung chương.Em mong thầy cô bạn thông cảm Một lần em xin chân thành cảm ơn giúp đỡ tận tình thầy cô khoa toán Đặc biệt giúp đỡ thầy giáo PHAN HỒNG TRUỜNG giúp đỡ em hoàn thành khoá luận 32 TÀI LIỆU THAM KHẢO 1) Nguyễn Huy Điển ; “Những phƣơng pháp điển hình giải toán phổ thông”, NXB giáo dục,2001 2) “Tuyển tập 30 năm toán học tuổi trẻ”, NXB giáo dục,1997 3) Nguyễn Đức Tấn ,“ Chuyên đề bất đẳng thức cực trị hình học phẳng ”,NXB giáo dục,2001 4) Hoàng Chúng (chủ biên), “ Tài liệu bồi dƣỡng học sinh giỏi hình học 9”,NXB giáo dục,2002 5) Lê Hoành Phò ,“ Bồi dƣỡng học sinh giỏi toán hình học 10”, NXB Quốc gia Hà Nội, 2009 33 [...]... để : 26 a) MN có giá trị nhỏ nhất b) Diện tích  AMN có giá trị lớn nhất CHƢƠNG 4 : TOẠ ĐỘ VÀ VECƠ TRONG MẶT PHẲNG VỚI BÀI TOÁN CỰC TRỊ HÌNH HỌC A) TOẠ ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG VỚI BÀI TOÁN CỰC TRỊ VỀ HÌNH HỌC TRONG MẶT PHẲNG:  Sử dụng các công thức toạ độ các véctơ, phép toán tích vô hướng, công thức về góc, khoảng cách  Chọn hệ trục toạ độ thích hợp để giải một số bài toán hình học cổ điển  Cho tam... tích x.y = max Mặt khác l = x + y  2 xy  xy   AA1 = BB1 = l l dấu “=” sảy ra khi x = y = 4 2 l 2 Vậy min SA1B1C a 2l2+3a2 = 4 Đạt được khi AA1 = BB1 = l 2 B) VECTO TRONG MẶT PHẲNG VỚI BÀI TOÁN CỰC TRỊ VỀ HÌNH HỌC TRONG MẶT PHẲNG Sử dụng phương pháp vectơ ta sẽ giải quyết được rất nhiều bài toán trong mặt phẳng cũng như trong không gian , đối với bài toán cực trị trong hình học phẳng phương pháp... KẾT LUẬN Với mỗi bài toán ta có thể sử dụng nhiều phương pháp giải khác nhau Với dạng bài toán tím cực trị của một đại lượng hình học trong mặt phẳng ta có thể sử dụng một số phương pháp sau : + Sử dụng những phuơng pháp chung cơ bản để giải một bài toán hình học (ở chương 1) + Cách giải các bài toán cực trị về hình học trong mặt phẳng đó là cách vận dụng các bất đẳng thức trong hình học như bất đẳng... đẳng thức trong đuờng tròn….) +Cách vận dụng các bất đẳng thức trong đại số vào bài toán cực trị về hình học trong mặt phẳng +Sử dụng các phương pháp toạ độ và vectơ trong mặt phẳng giải các bài toán cực trị về hình học trong mặt phẳng Mặc dù đã rất cố gắng thực hiện những nội dung của khoá luận này Nhưng ở chương 4, em chưa đưa ra được hệ thống bài tập đề nghị để giúp ngưòi đọc hiểu sâu hơn về nội dung... tình của các thầy cô trong khoa toán Đặc biệt là sự giúp đỡ của thầy giáo PHAN HỒNG TRUỜNG đã giúp đỡ em hoàn thành khoá luận này 32 TÀI LIỆU THAM KHẢO 1) Nguyễn Huy Điển ; “Những phƣơng pháp điển hình trong giải toán phổ thông”, NXB giáo dục,2001 2) “Tuyển tập 30 năm toán học và tuổi trẻ”, NXB giáo dục,1997 3) Nguyễn Đức Tấn ,“ Chuyên đề bất đẳng thức và cực trị trong hình học phẳng ”,NXB giáo dục,2001... độ dài : a) Nhỏ nhất b) lớn nhất BÀI 2.8 : Trong cá hình thoi có cùng chu vi , hình nào có diện tích lớn nhât ? BÀI 2.9 : Cho hình chữ nhật ABCD Tìm tứ giác có bốn đỉnh thuộc bốn cạnh của hình chữ nhật sao cho chu vi của tứ giác đó nhỏ nhất 22 BÀI 2.10 : Trong các hình chữ nhật có đường chéo bằng d không đổi, hình nào có diện tích lớn nhất ? Tính diện tích đó BÀI 2.11 : Cho nửa đường tròn tâm O... Vậy chu vi của tứ giác BCNM lớn nhất khi M,N đồng thời là điểm chính giữa của các cung AB ,AC ( ii) Nếu bài toán đã cho có thể xảy ra nhiều khả năng tương ứng với các trường hợp khác nhau của hình thì phải tìm cực trị trong từng trường hợp, cuối cùng so sánh các giá trị đó để tìm ra cực trị của bài toán Ví dụ 7: Qua đỉnh A của tam giác ABC , dựng đường thẳng d sao cho tổng khoảng cách từ các đỉnh B và... MNPQ đạt giá trị nhỏ nhất bằng hai lần độ dài đường chéo hình vuông, khi đường gấp khúc trùng với đường chéo BD, khi đó MN ∥ AC ∥ PQ và MQ ∥ BD ∥ NP Tứ giác MNPQ trở thành hình chữ nhật Từ bài toán trên tacó thể rút ra kết luận : Mọi hình chữ nhật nội tiếp được trong một hình vuông đã cho đều có chu vi bằng nhau và chu vi đó nhỏ nhất so với chu vi của bất kì tứ giác nào nội tiếp trong hình vuông này... có chu vi nhỏ nhất ? BÀI 3.3: Cho hình chữ nhật ABCD có độ dài các cạnh là 20 cm và 30 cm Hãy xác định vị trí các đỉnh của hình bình hành EFGH nội tiếp hình chữ nhật đã cho ( E , F , G , H lần lượt thuộc các cạnh BC , BA , AD , DC ) sao cho BE = BH = DF = DG để diện tích hình bình hành EFGH có giá trị lớn nhất Tìm giá trị lớn nhất đó BÀI 3.4 : Cho tam giác ABC Qua điểm O nằm bên trong tam giác đó, vẽ... xy tại M1 và M2 Do AOO‟ cân nên :   AOO‟ = AO‟O    AMB = AM‟B Cả hai điểm M và M‟ dều thoả mãn điều kiện bài toán Vậy bài toán có hai nghiệm hình c) trường hợp tổng quát Trước hết ta hãy giải bài toán : Cho đường thẳng xy , hai điểm A và B không nằm trên xy và thuộc cùng một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng xy ; AB không song song và cũng không vuông góc với xy Dựng đường tròn qua A , B và ... Chương : Toạ độ vectơ mặt phẳng với toán cực trị hình học A)Toạ độ mặt phẳng với toán cực trị hình học mặt phẳng …………………………………….… 26 B)Vecto mặt phẳng với toán cực trị hình học mặt phẳng ………………………………………………... có giá trị nhỏ b) Diện tích  AMN có giá trị lớn CHƢƠNG : TOẠ ĐỘ VÀ VECƠ TRONG MẶT PHẲNG VỚI BÀI TOÁN CỰC TRỊ HÌNH HỌC A) TOẠ ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG VỚI BÀI TOÁN CỰC TRỊ VỀ HÌNH HỌC TRONG MẶT PHẲNG:... giải toán cực trị hình học mặt phẳng tìm hiểu cách vận dụng số bất đẳng thức hình học ,bất đẳng thức đại số để giải toán cực trị hình học mặt phẳng , em lựa chọn đề tài “ Bài toán cực trị hình học