SỞ GD-ĐT QUẢNG NAM KỲ THI TỐT NGHIỆP TRUNG HỌC PHỔ THÔNG NĂM 2011 TRƯỜNG THPT BẮC TRÀ MY Môn thi: TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề ĐỀ THI THAM KHẢO I - PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) Câu (3,0 điểm) x−2 Cho hàm số y = có đồ thị (C) x −1 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số cho Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) giao điểm đồ thị (C) với trục tung Câu (3,0 điểm) Giải phương trình: x + 2.71−x − = ( x ∈ R ) Tìm GTLN GTNN hàm số f ( x) = ln x đoạn 1; e  x e Tính tích phân I = 2x+lnx ∫1 x dx Câu (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông cân B với AC = 2a; SA ⊥ (ABC); góc hai mặt phẳng (SBC) (SAC) 600 Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a II – PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) Thí sinh làm hai phần (phần phần 2) Theo chương trình Chuẩn Câu 4.a (2,0 điểm) Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình x + y + z − x − y − z = mặt phẳng (P) có phương trình: 2x - y + 2z + = Tìm tọa độ tâm I bán kính mặt cầu (S) Chứng minh mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) Viết phương trình mặt phẳng (Q) tiếp diện mặt cầu (S) biết mặt phẳng (Q) song song với mặt phẳng (P) Câu 5.a (1,0 điểm) Cho số phức z thỏa mãn ( + i ) ( − i ) z = + i + ( + 2i ) z Tính môđun số phức z Theo chương trình Nâng cao Câu 4.b (2,0 điểm) Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d: x −1 y + z − = = mặt phẳng (α) có phương trình: −1 2x + y − 2z + = Tìm tọa độ điểm I thuộc đường thẳng d cho khoảng cách từ I đến mặt phẳng ( α ) 2 Gọi A giao điểm d ( α ) Viết phương trình tham số đường thẳng ∆ nằm ( α ) , qua A vuông góc với d Câu 5b (1,0 điểm) Giải phương trình x − (3 + 4i) x − + 5i = tập số phức Hết Thí sinh không sử dụng tài liệu Giám thị không giải thích thêm SỞ GD-ĐT QUẢNG NAM TRƯỜNG THPT BẮC TRÀ MY CÂU Câu (3,0 điểm) KỲ THI TỐT NGHIỆP TRUNG HỌC PHỔ THÔNG NĂM 2011 Môn thi: TOÁN ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM ĐÁP ÁN ĐIỂM (2,0 điểm) a) Tập xác định: D = R\{1} b) Sự biến thiên: * Chiều biến thiên: > ∀x ≠ Ta có: y ' = ( x − 1) 0,25 0,50 Do hàm số đồng biến khoảng (-∞; 1) (1: +∞) * Cực trị: Hàm số cực trị * Giới hạn tiệm cận: lim+ y = −∞, lim− y = +∞; lim y = 1, lim y = x →1 x →−∞ x →1 x →+∞ Suy ra, đồ thị hàm số có tiệm cận đứng đường thẳng x = tiệm cận ngang đường thẳng y = * Bảng biến thiên: x -∞ +∞ + y' 0,50 + +∞ 0,25 y -∞ c) Đồ thị: (C) cắt trục tung điểm ( 0; ) trục hoành điểm ( 2; ) y 0,50 1 x (1,0 điểm) Gọi A = (C) ∩ Oy Khi A(0; 2) Ta có: y ' = ( x − 1) y ' ( 0) = Do phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) điểm A là: y = x + 0,25 0,50 0,25 Câu (3,0 điểm) (1,0 điểm) Đặt t = x , t > Khi phương trình cho trở thành: t + 0,50 14 − = ⇔ t − 9t + 14 = (*) t Giải (*), ta t = t = x Với t = = ⇔ x = log Với t = x = ⇔ x = Vậy phương trình cho có tập nghiệm là: T = { log 2; 1} (1,0 điểm) Ta có: ( − ln x ) ln x ∀x ∈ 1; e3  f '( x) =   x2 0,25 0,25 0,50 x = f ' ( x ) = ⇔ ( − ln x ) ln x = ⇔  x = e Khi đó: f ( 1) = 0, f e = , f e = e e ( ) ( ) 0,25 f ( x ) = x = Max f ( x ) = x = e Suy ra: xMin ∈1; e3  x∈1; e3  e2 (1,0 điểm) e e x + ln x ln x   I =∫ dx = ∫  + ÷dx x x  1 e e 1 0,25 0,50 = ∫ dx + ∫ ln x d ( ln x ) = ( e − 1) + Câu (1,0 điểm) ( ) e ln x = 2e − 2 S Trong ∆ vuông cân ABC, kẻ BI ⊥ AC ⇒ I trung điểm AC  BI ⊥ AC ⇒ BI ⊥ SC Do   BI ⊥ SA Trong ∆ vuông SAC, kẻ IK⊥ SC, AH ⊥ SC Khi đó: A  SC ⊥ IK ⇒ SC ⊥ ( BIK ) *  SC ⊥ BI Suy ra: góc hai mặt phẳng (SBC) (SAC) · · BKI Do đó: BKI = 600 AH AC = = ⇒ AH = IK * AH // IK ⇒ IK IC 0,5 H K I 60 C B AC Trong ∆ vuông BIK, ta có: IK = BI = = a tan 600 3 Suy ra: AH = 2a 3 1 1 = − = − = ⇒ SA = a 2 2 SA AH AC 12a 4a 2a 2 Trong ∆ vuông cân ABC, ta có: AB = 4a ⇒ AB = a = BC Trong ∆ vuông SAC, ta có: 0,25 0,50 Khi đó: AB.BC = a a3 (đvtt) VS ABC = S ∆ABC SA = 3 (0,75 điểm) * Tâm I bán kính R mặt cầu (S): I(1; 2; 2) R = 2.1 − + 2.2 + = * Khoảng cách h từ I đến (P): h = 22 + ( −1) + 22 S ∆ABC = Câu 4.a (2,0 điểm) Vì h = < = R nên (P) cắt mặt cầu (S) (đpcm) (1,25 điểm) Vì (Q) song song với (P) nên phương trình (Q) có dạng: 2x – y + 2z + D = (D ≠ 3) 2.1 − + 2.2 + D D+4 = Ta có: d ( I , ( Q ) ) = 22 + ( −1) + 22 0,25 0,25 0,50 0,25 0,25 (Q) tiếp diện mặt cầu (S) nên d ( I , ( Q ) ) = R ⇔ D+4 D = =3⇔  (thỏa D ≠ 3)  D = −13 Do có hai mặt phẳng (Q) thỏa đề là: 2x – y + 2z + = 2x – y + 2z – 13 = Câu 5.a (1,0 điểm) Ta có: ( + i ) ( − i ) z = + i + ( + 2i ) z ⇔ ( + 2i ) z = + i ⇔z= 0,50 Do đó: z = + ( −3) = 13 Câu 4.b (2,0 điểm) 0,25 0,50 8+i = − 3i + 2i 0,50 (0,75 điểm) x = 1− t  Phương trình tham số d là:  y = −3 + 2t z = + t  0,25 Do I∈d nên I ( − t ; −3 + 2t;3 + t ) d ( I,( α ) ) = ⇔ ( − t ) − + 2t − ( + t ) + 22 + 12 + ( −2 ) =2  t = −2 =2⇔ t = Do có hai điểm I thỏa đề là: I(3; -7; 1) I(-3; 5; 7) (1,25 điểm) Do A∈d nên A ( − t1 ; −3 + 2t1;3 + t1 ) ⇔ − 2t Do A∈(α) nên ta có: ( − t1 ) − + 2t1 − ( + t1 ) + = ⇔ t1 = Do A(0; -1; 4) r Mặt phẳng (α) có vectơ pháp tuyến n = ( 2;1; −2 ) r Đường thẳng d có vectơ phương u = ( −1; 2;1) 0,50 0,25 0,50 r r Ta có:  n, u  = ( 5;0;5 ) r r r r Do vectơ u ∆ =  n, u  có phương song song trùng với đường thẳng ∆ nên u ∆ vectơ phương ∆  x = 5t '  Suy phương trình tham số đường thẳng ∆ là:  y = −1  z = + 5t '  Câu 5.b (1,0 điểm) Ta có: ∆ =  − ( + 4i )  − 4.1 ( −1 + 5i ) = −3 + 4i = ( + 2i ) 2 0,50 0,50 Vì ∆ = ( + 2i ) ≠ nên phương trình có hai nghiệm phân biệt là: x1 = + 4i − ( + 2i ) = 1+ i + 4i + + 2i x2 = = + 3i 0,50 HẾT BỘ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO SỞ GD- ĐT QUẢNG NAM KỲ THI TỐT NGHIỆP TRUNG HỌC PHỔ THÔNG NĂM 2011 Môn thi : TOÁN Thời gian làm 150 phút I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7 điểm) x4 Câu 1.(3 điểm) Cho hàm số y = - 3x + 2 (C) Khảo sát vẽ đồ thị hàm số (C) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số (C) điểm có hoành độ x = Câu (3 điểm ) Giải phương trình: 16 x − 17.4 x + 16 = ∏ Tính tích phân I= ∫( e cos x + x ) sin xdx Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số: y = −2 x + x − x + [−1; 3] Câu (1 điểm ) Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy a;góc cạnh bên đáy 60 Tính diện tích xung quanh thể tích khối nón đỉnh S, đáy hình tròn ngoại tiếp tứ giác ABCD II.PHẦN RIÊNG – PHẦN TỰ CHỌN (3 điểm) 1.Theo chương trình chuẩn: Câu 4.a (2điểm).Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng (d): x+2 y z +3 = = −2 mặt phẳng(P): x + y − z + = Viết phương trình mặt cầu tâm I (1; −2; 3) tiếp xúc với mặt phẳng (P) Viết phương trình mặt phẳng (α ) chứa đường thẳng (d) vuông góc với mặt phẳng (P) Câu 5.a ( 1,0 điểm ).Giải phương trình: x + x + = tập số phức 2.Theo chương trình nâng cao :  x = + 2t  Câu 4.b ( 2,0 điểm ): Trong không gian Oxyz cho đường thẳng (d):  y = −1 + 3t mặt phẳng  z = + 5t  (P): 2x + y + z – = 1/ Chứng tỏ đường thẳng (d) không vuông góc mp (P) Tìm giao điểm đường thẳng (d) mặt phẳng (P) 2/ Viết phương trình đường thẳng (d’) hình chiếu vuông góc đường thẳng (d) lên mặt phẳng (P) Câu 5.b ( 1,0 điểm ) :Giải phương trình: z − (3 + 4i ) z + (−1 + 5i ) = tâp số phức HẾT Sở GD & ĐT Quảng Nam Trường THPT Chu Văn An (ĐỀ THI THAM KHẢO) KỲ THI TỐTNGHIỆPTRUNG HỌC PHỔ THÔNG NĂM 2011 Đáp án môn thi: TOÁN CÂU Câu điểm ĐÁP ÁN ĐIỂM - Tập xác định R - Sự biến thiên: y = +∞; lim y = +∞ + Giới hạn: xlim →−∞ x →+∞ + Bảng biến thiên: Chiều biến thiên: y’ = 2x3 – 6x = ⇔ x = x = ± −∞ x y‘ y - - 0 + - +∞ -2 +∞ 0,25 0,25 0,25 + +∞ -2 Hàm số đồng biến khoảng (− 3;0 ) ( 3; +∞) , hàm số nghịch biến khoảng (−∞, − 3) & (0, 3) Cực trị: Hàm số đạt cực đại x = 0; yCĐ = , Hàm số đạt cực tiểu x = ± , yCT = -2 - Đồ thị : vẽ đúng, có bảng giá trị đặc biệt y 0,25 0,25 0,25 0,5 f(x)=(x^4)/4-3*x^2+(5/2) x -8 -6 -4 -2 -5 Kết luận: Đths nhận Oy làm trục đối xứng - Khi x = 1, ta có y = - Hệ số góc tiếp tuyến : y’( ) = -4 - Phương trình tiếp tuyến cần tìm : y = -4( x – ) = -4x +4 0,25 0,25 0,5 - Đưa 42 x − 17.4 x + 16 = - Đặt t = x đk : t > 0,25 Câu điểm t = Pt trở thành : t − 17.t + 16 = ⇔  thỏa đk t = 16  x - t = ⇒ =1⇔ x = 0,25 0,25 0,25 - t = 16 ⇒ x = 16 ⇔ x = Vậy phương trình có nghiệm x = x = 2 π π cosx ∫0 e sinx.dx + ∫0 x.sinx.dx * đặt t = cosx ⇒ dt = - sinxdx x=0 ⇒ t=1 ; x= π ⇒ t=-1 −1 π t t t Nên ∫ ecosx sinx.dx = ∫ e (−dt) = ∫ e dt = e −1 = e − −1 e u = x du = dx ⇒ *đặt  dv = sinx.dx v = −cosx -I= Nên ∫ π π x.sinx.dx = − x.cosx π0 + ∫ cosx.dx = π + sinx Vậy I = e − π 0,25 0,25 0,25 =π +π e 0,25 f(x) = -2x +4x - 2x +2 đoạn [ −1;3]  x = 1∈ [ −1;3] f ‘(x) = −6 x + x − = ⇔   x = ∈ [ −1;3]  46 f(1) = 2; f(3) = -22; f(-1) = 10; f( ) = 27 Vậy max f ( x ) = 10 ; f ( x) = −22 [ −1;3] 0,25 0,25 0,5 [ −1;3] Câu điểm - Do SABCD hình chóp nên ABCD hình vuông cạnh a Gọi O=AC∩BD ⇒SO đường cao h.chóp đường cao hình nón - Do OD hình chiếu SD lên (ABCD) nên góc cạnh bên SD ∧ đáy SDO Trong tam giác vuông SOD ta có SO = DO tan 600 = 0,25 a a 3= 2 DO = a (SD = l đường sinh hình nón) cos600 a - Đường tròn ngoại tiếp ABCD có tâm O bán kính r=OD = Và SD = Vậy : 0,25 - Diện tích xung quanh hình nón : S xq = π rl = π 0,25 a a = π a (đvdt) - Thể tích khối nón V= 0,25  a  a πa (đvtt) π r h = π  = ÷ 3   12 Câu 4a điểm (S) có bán kính R khoảng cách từ I đến (P) ⇒ R= d(I; (P)) = 1.1 + 2.(−2) − 2.3 + 1+ + Vậy (S): ( x − 1) + ( y + ) + ( z − 3) = 0,5 - (d) qua A(-2;0;-3) có VTCP u = (1; −2;2) 0,25 2 Câu 5a điểm Câu 4b điểm 0,5 =1 2 r r - (P) có VTPT n = (1;2; −2) ur urr ( α ) qua A có VTPT n ' = u;n  = ( 0;4;4 ) = 4(0;1;1) Pttq ( α ) là: y + z +3 = 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5 - ∆ ' = − = −4 = 4i ⇒ ∆ ' = 2i - phương trình có nghiệm phức là: x = -1 – 2i x = -1 + 2i r a).- (d) qua A(2;-1;1) có VTCP u = (2;3;5) r - (P) có VTPT n = (2;1;1) urr r r 0,25 r Ta có: u;n  = ( −2;8; −4 ) ≠ nên u & n không phương d không vuông góc với (P) b) Gọi H = d ∩ ( P) nên H ( + 2t ; −1 + 3t ;1 + 5t ) vào phương trình (P) ta được: 2(2+2t)-1+3t+1+5t -8 =0 ⇒ t= 8 3 8 3 0,25 0,25 Vậy H  ;0; ÷ 0,25 - đường thẳng d’ qua A∈ d vuông góc với (P) nên nhận VTPT  x = + 2t '  (P) làm VTCP có ptts là:  y = −1 + t ' z = + t '  -K = d '∩ ( P ) nên K ( + 2t '; −1 + t ';1 + t ' ) vào (P) ⇒ t’ = 0,25  10  ;− ; ÷  3 3 Nên K  0,25 Do đường thẳng qua H, K hình chiếu vuông góc d lên (P) có uuur  3   VTCP HK =  ; − ; −1÷ = ( 2; −1; −3) 0,25 Câu 5b điểm  x = + 2t   Vậy d’:  y = −t   z = − 3t  z − (3 + 4i ) z + (−1 + 5i ) = ∆ = (−(3 + 4i )) − 4(−1 + 5i ) = −3 + 4i = (1 + 2i) PT có nghiệm phân biệt z1 = + 3i z2 = + i 0,25 0,5 0,5  D = 10 = 14 ⇔ + D = 14 ⇔  14  D = −18 • Vậy có hai mặt phẳng thỏa đề là: 3x + 2y − z + 10 = 3x + 2y − z − 18 = Giải phương trình z − − 2i z + − 4i = tập số phức d(I, (P)) = R ⇔ Câu 5b ( 4+D ) • Ta có: ∆ ' = ( − i ) − ( − 4i ) = − 4i − + 4i = −4 = ( 2i ) • Do phương trình có hai nghiệm là: z1 = − i − 2i = − 3i z = − i + 2i = + i 0.25 1.0 0.5 0.5 SỞ GD&ĐT QUẢNG NAM TRƯỜNG THPT HIỆP ĐỨC ĐỀ THAM KHẢO ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT MÔN TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH ( 7,0 điểm ) Câu I ( 3,0 điểm ) Cho hàm số y = − x + x + Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số cho Biện luận theo m số nghiệm thực phương trình x − x − + m = Câu II ( 3,0 điểm ) Giải phương trình 3.132 x +1 − 68.13x + = π ∫ Tính tích phân I= sin3xdx Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số f ( x ) = x e x [-3;-1] Câu III ( 1,0 điểm ) Cho hình chóp SABC có SA ⊥ mp(ABC) Đáy ABC tam vuông A, AB = a, AC = a SC = a Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a II PHẦN RIÊNG ( 3,0 điểm ) Thí sinh học theo chương trình làm phần dành riêng cho chương trình Theo chương trình Chuẩn: Câu IV.a ( 2,0 điểm ) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A( 6;-1 ;0) mặt phẳng (P) có phương trình: x − y + 3z + = Viết phương trình tham số đường thẳng d qua A vuông góc với mp(P) Viết phương trình mặt cầu có tâm hình chiếu H vuông góc điểm A lên mp(P) qua điểm A Câu V.a ( 1,0 điểm ) Giải phương trình z − 3z + 46 = tập số phức Theo chương trình Nâng cao: Câu IV.b ( 2,0 điểm ) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A( 3; ;1), hai đường thẳng d1 d2 có phưong t x =  x −1 y + z − = = trình là: d  y = + 2t , d’ 1 −  z = + 3t  Tìm toạ độ hình chiếu vuông góc điểm A d1 Xét vị trí tương đối d d’ Câu V.b ( 1,0 điểm ) Tìm bậc hai số phức z = - 24 + 10i Hết TRƯỜNG THPT HIỆP ĐỨC ĐÁP ÁN - THANG ĐIỂM Câu Đáp án Điểm Câu I điểm (2 điểm) Tập xác định: D = R Sự biến thiên: Chiều biến thiên: 0,25đ ( ) Ta có: y ' = −4 x + x = −4 x x − ; y ' = ⇔ x = 0, x = ±1 Trên khoảng ( −∞; −1) ( 0; 1), y’>0 nên hàm số đồng biến Trên khoảng (-1;0) ( 1;+∞ ) , y’ < nên hàm số nghịch biến Cực trị: Hàm số đạt cực đại x = ±1 , yCĐ = Hàm số đạt cực tiểu x = 0, yCT = Giới hạn: 3 3   lim y = lim x  −4 + + ÷ = +∞ lim y = lim x  −4 + + ÷ = +∞ x →−∞ x →−∞ x →+∞ x →+∞ x x  x x    0,25đ 0,25đ 0,25đ Bảng biến thiên: 0,5 đ Đồ thị: Đồ thị cắt trục tung điểm (0; 3) ( Đồ thị cắt trục hoành hai điểm − 3;0 ( 3;0) ) Đồ thị nhận trục tung làm trục đối xứng (1 điểm) 4 Phương trình: x − x − + m = ⇔ − x + x + = m + 1( *) Số nghiệm phương trình (*) số giao điểm đồ thị hàm số y = − x + x + đường thẳng y = m+1 0,5 đ 0,25đ 0,25đ Dựa vào đồ thị ta có kết biện luận số nghiệm phương trình (*): m+1 m+1 > m +1= 3< m+1 < m m>3 m=3 2[...]... 68t + 6 = 0 ⇔ t = 1 5 ∨ t = ( thoả điều kiện) 13 3 1 1 x ⇔ 13x = 13 1 ⇔ x = −1 thì 13 = 13 13 5 5 5 x Với t = thì 13 = ⇔ x = log 13 3 3 3 0,5 đ Với t = 0,5 đ Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x = −1, x = log 13 5 3 2 (1 điểm) π 3 π 3 1 I= ∫ sin3 xdx = − cos3x 3 0 0 1 2 I = − ( cosπ - cos0 ) = 3 3 0,5 đ 0,5 đ 3 (1 điểm) Xét trên đoạn [ -3; -1] hàm số đã cho có đạo hàm: 0,25đ f ' ( x ) = 2 xe + x e = e... trình (1) có 1 nghiệm + 0 4 m +1= 4 33 m =3 2 ... 68.13x + = , Đặt t = 13x điều kiện t > Phương trình trở thành 39 t − 68t + = ⇔ t = ∨ t = ( thoả điều kiện) 13 1 x ⇔ 13x = 13 1 ⇔ x = −1 13 = 13 13 5 x Với t = 13 = ⇔ x = log 13 3 0,5 đ Với t = 0,5... ) Câu (3 điểm ) Cho hàm số y = x3 – 3x2 + 2, có đồ thị ( C ) 1) Khảo sát biến thi n vẽ đồ thị hàm số cho 2) Tìm giá trị tham số m để phương trình 3x2 - x3 = m có nghiệm Câu (3 điểm ) 1) Giải phương... x = −2 Ta có −2 ∈ [ 3; −1] ,0 ∉ [ 3; −1] 0,25đ , f − = , f − = ( ) ( ) e3 e2 e Vậy f ( x ) = , Max f ( x ) = e [ 3; −1] e [ 3; −1] Ta có SA ⊥ mp(ABC) nên chi u cao khối 0,25đ f ( 3 ) = Câu