Chương 2: BIẾN ĐỔI Z VÀ ỨNG DỤNG VÀO HỆ THỐNG LTI RỜI RẠC 2.1 BIẾN ĐỔI Z 2.2 CÁC TÍNH CHẤT BIẾN ĐỔI Z 2.3 BIẾN ĐỔI Z NGƯỢC 2.4 HÀM TRUYỀN ĐẠT CỦA HỆ LTI RỜI RẠC 2.5 GIẢI PTSP DÙNG BIẾN ĐỔI Z PHÍA 2.1 BIẾN ĐỔI Z 2.1.1 ĐỊNH NGHĨA BIẾN ĐỔI Z: • Biến đổi Z dãy x(n): X (z) = ∞ −n x ( n ) z ∑ n = −∞ Trong Z – biến số phức (*) Biểu thức (*) gọi biến đổi Z hai phía ∞ −n X ( z ) = x ( n ) z Biến đổi Z phía dãy x(n): ∑ (**) n=0 • Nếu x(n) nhân : (*) • Ký hiệu: Z x(n) ←→ X(z) hay Z −1 X(z) ← x(n) → {X(z)} ≡ (**) X(z) = Z{x(n)} hay x(n) = Z- 5.1.2 MIỀN HỘI TỤ CỦA BIẾN ĐỔI Z (ROC) • Miền hội tụ biến đổi Z - ROC (Region Of Convergence) tập hợp tất giá trị Z nằm mặt phẳng phức cho X(z) hội tụ Im(Z) Rx+ • Để tìm ROC X(z) ta áp dụng tiêu chuẩn Cauchy C O R Rx- Re(z) 0 • Tiêu chuẩn Cauchy: ∞ Một chuỗi có dạng: ∑ x( n) = x(0) + x(1) + x( 2) +  n= hội tụ nếu: n lim x ( n) < n→ ∞ x ( n) = a n u( n) Ví dụ 5.1.1: Tìm biến đổi Z & ROC của: Giải: X (z) = ∞ −n x ( n ) z = ∑ n = −∞ ∑ [ a u( n)] z ∞ n −n n = −∞ X (z) = − az −1 Nếu: lim  az n→ ∞    ∞ n= n= = ∑ a n z − n = ∑ ( az −1 ) Theo tiêu chuẩn Cauchy, X(z) hội tụ: 1n n −1 ∞ Im(z) ROC /a/ a ; ROC : Z > a Vậy: X ( z ) = −1 − az n Re(z) x ( n) = − a n u( − n − 1) Ví dụ 5.1.1: Tìm biến đổi Z & ROC của: Giải: X (z) = ∞ −n = x ( n ) z ∑ n = −∞ ∞ ( ) m ∞ ( ∑ [ − a u( − n − 1)] z ∞ m=0 ) Im(z) /a/ Re(z) ROC X ( z) = −∑ ( a z ) + = − az −1 m =0 Nếu: −1 lim a −1 z  n →∞  1n a = a a u ( n − ) x ( n ) = a u ( n − ) Vậy: −1 − az c) Nhân với hàm mũ an Z Nếu: x ( n) ←→ X ( z ) : ROC = R Thì: Z a n x(n) ←→ X (aZ −1 ) : ROC = a R Ví dụ 5.2.3: Xét biến đổi Z & ROC của: x2 (n) = u (n) x1 (n) = a nu (n) Giải: x(n) = u (n) ←→ X ( z ) = Z ∞ ∑ u(n)z −n n = −∞ = ;R : z > −1 1− z a x ( n) = a u( n) ←→ X (az ) = ; R' : z > a −1 − az n n Z −1 d) Đạo hàm X(z) theo z Z x ( n ) ← → X ( z ) : ROC = R Nếu: dX(z) : ROC = R Thì: n x (n) ←→ − z dz Z n g ( n ) = na u ( n) Ví dụ 5.2.4: Tìm biến đổi Z & ROC của: Giải: Theo ví dụ 5.1.1: x(n) = a u (n) ←→ X ( z ) = ; ROC : z > a −1 − az n Z −1 dX ( z ) az Z = :z >a g( n) = nx ( n) ←→ G ( z ) = − z −1 (1 − az ) dz Với hệ số tính bởi: d ( 2−1)  X ( z ) d  2z − 5z +  2 =  =1 K1 = ( z − 2)   ( −1)  (2 − 1)! dz  z  Z =2 dz  ( z − 1)  Z =2 d ( 2− )  X ( z ) z − 5z +  = =2 K2 = ( z − ) ( 2− )   ( z − 1) Z =2 (2 − 2)! dz  z  Z =2 X ( z) 2z − 5z + =1 K3 = ( z − 1) = ( z − 2) z Z =1 Z =1 Vậy X(z)/z có biểu thức là: X ( z) = + + z ( z − 2) ( z − 2) ( z − 1) z −1 ⇒ X ( z) = + + (1 − z −1 ) (1 − z −1 ) (1 − z −1 ) ⇒ x ( n) = n u ( n) + n n u ( n) + u ( n) ROC : z > c) Xét X(z)/z có cặp điểm cực Zc1 Z*c1 phức liên hiệp, điểm cực lại đơn: Zc3,…,ZcN, A( z ) X ( z ) A( z ) = = * b ( z − z )( z − z z B( z ) N c1 c1 )( z − zc )  ( z − zcN ) X(z)/z phân tích thành: X ( z) K1 K2 K3 KN = + + +  + z ( z − zc1 ) ( z − zc*1 ) ( z − zc ) ( z − zcN ) N X ( z) K1 K2 Ki = + +∑ * z ( z − zc1 ) ( z − zc1 ) i =3 ( z − zci ) Với hệ số K1, Ki tính giống điểm cực đơn: X( z ) Ki = ( z − zci ) : i = 1÷ N z Z = Z ci Do hệ số A(z), B(z) thực, nên K2=K1* X1 (z ) K1 K1 * = + Xét : z ( z − z c1 ) ( z − z *c1 ) K1 K1 * ⇒ X1 (z ) = + −1 (1 − z c1z ) (1 − z *c1z −1 ) Nếu gọi: K1 = K1 e jβ zc1 = zc1 e jα Và giả thiết ROC: /z/>max{/zci/}: N  n n Vậy: x( n ) = 2 K1 zc1 cos( nα + β ) + ∑ K i ( zci ) u( n ) i =3   −z :z > Ví dụ: 5.3.7: Tìm x(n) biết: X ( z ) = ( z − z + 2)( z − 1) Giải: X ( z) −1 −1 = = z ( z − z + 2)( z − 1) [ z − (1 + j )][ z − (1 − j )] ( z − 1) K1 K1* K3 = + + [ z − (1 + j )] [ z − (1 − j )] ( z − 1) −1 K1 = = [ z − (1 − j )]( z − 1) Z =1+ j −1 K3 = = −1 ( z − z + 2) Z =1 1/ 1/ −1 ⇒ X ( z) = + + −1 −1 − (1 + j ) z − (1 − j ) z (1 − z −1 ) [ ] [ ] z > 2.4 HÀM TRUYỀN ĐẠT CỦA HỆ THỐNG TTBB 2.4.1 Định nghĩa hàm truyền đạt Miền n: x(n) h(n) y(n)=x(n)*h(n) Z Miền Z: h(n) Z X(z) H(z) Y(z)=X(z)H(z) H(z): gọi hàm truyền đạt H(z)=Y(z)/X(z) 2.4.2 Hàm truyền đạt biểu diễn theo hệ số PTSP N M k =0 r =0 ∑ ak y(n − k ) = ∑ br x(n − r ) Y ( z) M ⇒ H ( z) = = ∑ b r z −r X ( z) r=0 Z N k =0 N −k a z ∑ k k =0 M Y ( z )∑ ak z = X ( z )∑ br z −r −k r =0 Ví dụ: 5.4.1: Tìm H(z) h(n) hệ thống nhân cho bởi: y(n) - 5y(n-1) + 6y(n-2) = 2x(n) - 5x(n-1) Giải: Lấy biến đổi Z hai vế PTSP áp dụng tính chất dịch theo t/g: Y ( z ) − z −1 + z −2 = X ( z ) − z −1 [ ] [ ] Y ( z) − z −1 2z − z ⇒ H ( z) = = −1 −2 = X ( z) − 5z + z z − 5z + H ( z) 2z − K1 K2 = = + z ( z − 2)( z − 3) ( z − 2) ( z − 3) 2z − K1 = =1 ( z − 3) z = 2z − K2 = =1 ( z − 2) z = 1 ⇒ H ( z) = + −1 (1 − z ) (1 − z −1 ) Do hệ thống nhân nên: h(n) = ( 2n + 3n ) u(n) 2.4.3 Hàm truyền đạt hệ thống ghép nối a Ghép nối tiếp h1(n) h2(n) x(n) h(n)=h1(n)*h2(n) y(n) ≡ x(n)  Miền n: Theo tính chất tổng chập: h1(n)*h2(n) Z y(n) H1(z)H2(z) X(z) H1(z) H2(z) Y(z) X(z) H(z)=H1(z)H2(z) Y(z) ≡  Miền Z: 2.4.3 Hàm truyền đạt hệ thống ghép nối (tt) b Ghép song song x(n) h2(n) + y(n) ≡  Miền n: h1(n) x(n) X(z) H1(z) H2(z) + y(n) Y(z) ≡  Miền Z: h1(n)+h2(n) X(z) H1(z)+H2(z) Y(z) 2.4.4 Tính nhân ổn định hệ TTBB rời rạc a Tính nhân  Miền n: Hệ thống TTBB nhân h(n) = : n zc max = max{ zc1 , zc ,, zcN } Hệ thống TTBB nhân Im(z) ROC /zc/max ROC H(z) là: z > zc max = max{ zc1 , zc ,, zcN } Re(z) 2.4.4 Tính nhân ổn định hệ TTBB rời rạc (tt) b Tính ổn định ∞ ∑ h( n) < ∞  Miền n: Hệ thống TTBB ổn định n = −∞  Miền Z: H ( z) = ∞ −n ≤ h ( n ) z ∑ n = −∞ ⇒ H ( z) ≤ ∞ ∑ h( n) n = −∞ ∞ −n = h ( n ) z ∑ n = −∞ (*) ∞ −n h ( n ) z ∑ n = −∞ : z = Theo đ/k ổn định (*), nhận thấy H(z) hội tụ với /z/=1 Hệ thống TTBB ổn định ROC H(z) có chứa /z/=1 c Tính nhân ổn định ROC H(z) là: Hệ thống TTBB nhân z > zc Hệ thống TTBB ổn định max = max{ zc1 , zc ,, zcN } ROC H(z) có chứa /z/=1 Im(z) Hệ thống TTBB nhân ổn định ROC /zc/max /z/=1 ROC H(z) là: z > zc max zc max 2): b Hệ thống ổn định (1/2[...]... X ( z ) = 2 z − 5z + 6 với các miền hội tụ: a) /z/ >3, b) /z/ 2 c) Xét X (z) /z có cặp điểm cực Zc1 và Z* c1 phức liên hiệp, các điểm cực còn lại đơn: Zc3,…,ZcN, A( z ) X ( z ) A( z ) = = * b ( z − z )( z − z z B( z ) N c1 c1 )( z − zc 3 )  ( z − zcN ) X (z) /z được phân tích thành: X ( z) K1 K2 K3 KN = + + +  + z ( z − zc1 ) ( z − zc*1 ) ( z − zc 3 ) ( z − zcN ) N X ( z) K1 K2... +∑ * z ( z − zc1 ) ( z − zc1 ) i =3 ( z − zci ) Với các hệ số K1, Ki được tính giống điểm cực đơn: X( z ) Ki = ( z − zci ) : i = 1÷ N z Z = Z ci Do các hệ số A (z) , B (z) là thực, nên K2=K1* X1 (z ) K1 K1 * = + Xét : z ( z − z c1 ) ( z − z *c1 ) K1 K1 * ⇒ X1 (z ) = + −1 (1 − z c 1z ) (1 − z *c 1z −1 ) Nếu gọi: K1 = K1 e jβ zc1 = zc1 e jα Và giả thiết ROC: /z/ >max{/zci/}: N  n n Vậy: x( n ) = 2 K1 zc1... có bán kính là 2 n z n −1 • n≥0: X ( z ) z = có 1 điểm cực đơn Zc1=2 ( z − 2) Im (z) ROC Thặng dư tại Zc1=2:  z   z  n = 2 = ( z − 2 ) Res     ( z − 2 ) ( z − 2 )  Z =2   Z =2  n n • n ... = 2 ( z − 1) z ( z − 2) ( z − 1) ( z − 2) ( z − 2) Với hệ số tính bởi: d ( 2 1)  X ( z ) d  2z − 5z +  2 =  =1 K1 = ( z − 2)   ( −1)  (2 − 1)! dz  z  Z =2 dz  ( z − 1)  Z =2 d ( 2 ... +  = =2 K2 = ( z − ) ( 2 )   ( z − 1) Z =2 (2 − 2) ! dz  z  Z =2 X ( z) 2z − 5z + =1 K3 = ( z − 1) = ( z − 2) z Z =1 Z =1 Vậy X(z)/z có biểu thức là: X ( z) = + + z ( z − 2) ( z − 2) ( z... Zc1 =2 ( z − 2) Im(z) ROC Thặng dư Zc1 =2:  z   z  n = = ( z − ) Res     ( z − ) ( z − )  Z =2   Z =2  n n • n