Đang tải... (xem toàn văn)
Để giúp các bạn học sinh ôn tập một cách dễ dàng hơn nhằm chuẩn bị cho kì thi đại học, chúng tôi xin giới thiệu đến các bạn một tài liệu ôn thi Đại học môn Toán về chuyên đề mũ và logarit. Tài liệu bao gồm cách giải và bài tập về mũ và logarit có trong các đề thi đại học, cao đẳng khối A, B, D một số năm trước.
Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán học – MŨ, LOGARIT Chuyên đề 10: PHƯƠNG TRÌNH MŨ Dạng 1: Dạng bản: với < a af(x) b b f(x) log b a Dạng 2: Đưa số: af(x) ag(x) Nếu < a 1: (1) f(x) = g(x) (1) a (1) Nếu a thay đổi: ( g(x) trình t Dạng 3: Đặt ẩn phụ: Đặt t= aax ,1)t > 0;f(x) giải phương g(t) Dạng 4: Đoán nghiệm chứng minh nghiệm PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT 0 a Điều kiện tồn logaf(x) f(x) 0 a a Dạng 1: log f(x) b b f(x) a 0 a Dạng 2: Đưa số: log f(x) log g(x) (x) g a a f(x) g(x) Dạng 3: Đặt ẩn phụ Đặt t = logax sau giải phương trình đại số theo t Dạng 4: Đoán nghiệm chứng minh nghiệm Vấn đề 1: PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT A PHƯƠNG PHÁP GIẢI B ĐỀ THI Bài 1: ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2011 1x 1x Giải phương trình: log2 − x + log11 x ( 288 ) ( G i a + x ûi Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán học – ) TT Luyện Thi Đại Học VĨNH (x ∈ R) VIỄN −2=0 ( log2 − x2 log1 288 ( )+ + ) − = Điều kiện: –1≤ x ≤ 289 ( ⇔ log2 − x2 log2 ( )= 1x +1x ( x2 ) + ⇔ − x2 = +1x 1x Với –1≤ x ≤ hai vế (*) x2 không âm nên bình phương hai vế (*) ta được: x2 ) (*) ) (*) ( ⇔ ⇔ − x2 )2 = ( 16 ( ( +2 − x ) = + x2 2x3 ) (1) > (1) − 4.2 > Đa ët t = 2 ⇒t =1–x ⇒ 2 x = – t , (1) trở thành: (1) thành – 3t – ( + t )2 = 32 (1 + t ) ⇔ t + 14t – 32t + 17 = 4t > ⇔ 4t + 3t – 1 < ⇔ −1 < t < = 2-2 x2 2x3 Do bất phương trình cho tương ⇔ (t – 1)(t – t đương: +15t – 17) = ⇔ (t −x < 2 – 1) (t + 2t + 17) = ⇔ t = Do (1) ⇔1 x2 = x2 2x ⇔ x = (Thỏa điều kiện –1≤ x ≤ 1) ⇔− Vậy, phương trình cho có nghiệm x ⇒ Giải bất phương trình 4x 3.2x ⇔ a − < ët x t ⇔ 2x + = − x2 2x3 2 3.2 2( ⇔ x x2 2x3 −x x2 2x3 − > x ) x2 2x3 Giải phương trình 42x x2 2x3 42 Bài 3: ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2010 x+2 x+2 Giải + + x3 x3 (*); Điều x2 kiện : x ≥ − +4x = −4 42+ ( x+2 4x−4 + (2 −1) − x − * ) 2x3 (24x−4 −1) = 2x3 ) 4x−4 ⇔ ⇔ (2 −1) = 2+ (4 + Do phương trình (*) có hai trường hợp − • 24x = ⇔ 4x − = ⇔ x = (nhận) x2 2x34x4 (x ) • 24+2 x+2 = 2x ⇔ x3 = + ⇔ x − = 2( x2 ⇔ (x − 2)(x2 + 2x + 4) = x = ( nhận ) ⇔ x2 + 2x + = Nhận xét: Phương trình (1) có: 2(x − 2) x+2+2 x+2+ VT = x2 + 2x + = (x + 1)2 + ≥ ; VP = x2 (1) x+2+2 ≤1 Suy phương trình (1) vô nghiệm Vậy : (*) có hai nghiệm x = 1; x = Bài 4: CAO ĐẲNG KHỐI A, B, D NĂM 2008 Giải phương trình log22 (x +1) − log2 x +2=0 Giải log22 (x log +1) − x 1 + = (1) Điều kiện x > −1 (1) ⇔ log22 (x +1) − 3log (x +1) + = log2 (x + 1) = x + = x = 1 ⇔ ⇔2 ⇔ log (x + 1) = x+1=4 x=3 Bài 5: ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2008 2 Giải phương trình log2x – 1(2x + x – 1) + logx + 1(2x – 1) = Giải 0 < 2x − ≠ x > 0 2x2 + x − > ⇔2 < x ≠ Điều kiện: ⇔ 0 log2x−1(2x2 + x −1) + logx+1(2x −1)2 = 290 − 2) ⇔ log2x – 1(2x – 1)(x + 1) + logx + 1(2x – 1) = ⇔ + log2x – 1(x + 1) + 2logx + 1(2x – 1) = Đặt: t = log2x−1(x + 1) ⇒ logx+1(2x − 1) =2x−1 log Ta có phương trình ẩn t là: + t + = ⇔ t2 290 t (x + 1) = t = t − 3t + = ⇔ t=2 TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN • Với t = ⇔ log2x – 1(x + 1) = ⇔ x + = 2x – ⇔ x = (nhận) x = (loạ i) • Với t = ⇔ log2x – 1(x + 1) = ⇔ (2x – 1) = x + ⇔ x = Nghiệm phương trình là: x = x = Giải phương trình: log (42x 15.2x 27) log x 4.2 0 Bài 6: ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2007 Giải x Điều kiện: 4.2 − > Phương trình cho tương đương với x x x x x log2(4 + 15.2 + 27) = log2(4.2 − 3) ⇔ 5.(2 ) − 13.2 − = 2x = − ( loạ i ) ⇔ 2x = x x Do > nên = ⇔ x = log23 (thỏa mãn điều kiện) Bài 7: ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2007 Giải phương trình: ( 1) x ( 1) x 2 Giải Đặt x −1 = t (t > 0), phương trình trở thành: ( t+ ) = ⇔ t =2 − 1, t =2 + − 2t Với t = −1 ta có x = Với t = + ta có x = −1 2 Giải phương trình : 2x2 +x − 4.2x2 −x − 22x + = Bài 8: ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2006 Giải Phương trình cho tương đương với: 22x(2x2 • −x −1) − 4(2x2 −x −1) = ⇔ (22x − 4)(2x2 22x − = ⇔ 22x = 22 ⇔ x = −x −1) = Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán học – • 2x2 −x −1 = ⇔ 2x2 −x = ⇔ x2 − x = ⇔ x = 0, x = Vậy phương trình cho có hai nghiệm x = 0, x = Giải phương trình: 3.8x + 4.12x −18x − 2.27x = Bài 9: ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2006 Giải 3x 2x x Phương trình cho tương đương với: −2= + − 3 (1) x (t > 0), phương trình (1) trở thành 3t + 4t − t − = 3 (vì t > 0) ⇔ (t + 1) (3t − 2) = ⇔ t = Đặt t = x 2 Với t = hay x = = Bài 10: ĐỀ DỰ BỊ ( ) Giải phương trình: log5 5x − = − x Giải x Điều kiện: – > (a) • Dễ thấy x = nghiệm (1) ( ) x • VT: f(x) = log5 − hàm số đồng biến • VP: g(x) = – x hàm số nghòch biến Do x = nghiệm phương trình x Giải phương trình 2 −x 2+x−x −2 2=3 Bài 11: t = 2x Đặt −x x 22 −x Giải (t > 0) 2+x−x −2 2=3⇔t− t = t = −1 (loại) ⇔ t − 3t − = ⇔ t = (nhận) 10 Giải 1/ Khi m = phương trình (2) trở thành log x log23x + log23x − = Điều kiện x > Đặt t = ≥ (2) ⇔ t + t − = ⇔ t = ∨ t = −3 (loại) • t = ⇒ log3x =± ⇔ x=3 2/ ⇔ 1≤ 1≤ x≤ log2 33 x +1 ≤4 ±3 ⇒≤ ≤ t Phương trình (2) có nghiệm thuộc 1; 3 ⇔ 2m = t + t − = f(t) có nghiệm t ∈ [1, 2] Vì f tăng [1, 2] nên ycbt ⇔ f(1) ≤ 2m ≤ f(2) ⇔ ≤ m ≤ Vấn đề 2: BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT A P H BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ af(x) ag(x) (1) Nếu a > 1: (1) f(x) > g(x) Nếu < a < 1: (1) f(x) < g(x) Tổng quát: a f(x) a g(x) a 0; a (a 1)(f(x) g(x)) af(x) ag(x) a ( a 1) f(x)LOGARIT g(x) BẤT PHƯƠNG TRÌNH (1) loga f(x) > loga g(x) Nếu a > g(x) : (1) f(x) g(x) f(x) : (1)0 f(x) Nếu < a < g(x) ƯƠNG PHÁP GIẢI B.ĐỀ THI Bài 1: ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2008 x2 x Giải bất phương trình: log0,7 log6 x Giải x2 + x x + > Điều kiện: log x + x >0 x+ x2 + x Bất phương trình tương đương với log0,7 < log0,7 x+4 log6 2 x2 (1) ⇔ log +x +x − 5x − 24 >0 x >1⇔ x >6⇔ x+4 Giải bất phương trình: log1 x + x2 3x x x+4 0 ⇔ −4 < x < −3 hay x > Bài 2: ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2008 x2 − 3x + Điều kiện: >0 x Giải x − 3x + Bất phương trình tương đương với log ≥ log (1) ⇔ ⇔ ⇔ x x − 3x + 2 x − 3x + > >0 x x ⇔ 2 x − 3x + x − 4x + ≤1 ≤0 x x (x2 − 3x + 2)x > 0 < x < ∨ x > (x2 − 4x + 2)x ≤ ⇔ x ≠ x < ∨ 22 − ≤ x ≤ +2 −2 ≤ x < 1∨ < x ≤ +2 (1) (1) Bài 3: ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2007 Giải bất phương trình: log3 (4x − 3) + log1 (2x + 3) ≤ Điều kiện: x > log (4x − 3)2 ≤ Giải Bất phương trình cho ⇔ 2x + TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN ⇔ (4x − 3)2 ≤ 9(2x + 3) ⇔ 16x2 − 42x −18 ≤ ⇔ − ≤x≤3 Kết hợp điều kiện ta nghiệm bất phương trình < x ≤ là: Bài 4: ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2006 −2 Giải bất phương trình: log5(4x + 144) − log5 < + log5(2x Giải Bất phương trình cho tương đương với −2 log5(4x +144) − log5 16 < + log5(2x +1) (1) −2 (1) ⇔ log5(4x +144) < log5 16 + log5 + log5(2x +1) ⇔ log5(4x + 144) < log5[80(2x x−2 x ⇔ +144 < 80(2 −2 +1)] x x +1) ⇔ − 20.2 + 64 < ⇔ < 2x < 16 ⇔ < x < Bài 5: ĐỀ DỰ BỊ ( Giải phương trình: ) log5 5x − = − x Giải x Điều kiện : – > (a) • Để thấy x = nghiệm (1) ( ) • VT : f(x) = log5 5x − hàm số đồng biến • VP : g(x) = – x hàm số nghòch biến Do x = nghiệm phương trình Bài 6: x 72 Giải bất phương trình: loglog x3 Giải 0 < x ≠ Điều kiện 9x − 72 > ⇔ x > log9 73 x log3 − 72 > ( ) +1) Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán học – ( x ) Bất phương trình ⇔ log3 − 72 < x (Vì x > log9 73 > 1) ⇔ 9x − 3x − 72 < ⇔ − ≤ 3x ≤ Kết hợp với điều kiện ta log9 73 < x ≤ ⇔ x ≤2 Vấn đề 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT Thường sử dụng phương pháp biến đổi phương trình hệ, sau dùng phương pháp để tìm nghiệm A.PHƯƠNG PHÁP GIẢI 2log (3y 1) x Giải hệ phương trình: 4x 2x 3y2 (x, y ) B.ĐỀ THI Bài 1: ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2010 Giải Điều kiện: 3y – > 3y − = 2x log (3y − 1) = x Ta có x + x = 3y2 ⇔ x + x = 3y2 ⇔ x 2 = x x 4 + = 3y 2x + 2x + y = y = ⇔ ⇔ x x x + 2x ) = (2x + 3(4 2.4 + − =0 1)2 x = x y = + −1 ⇔ ⇔ x y=2 +1 x +1 y = ⇔ x x (2 + 1)(2 − ) = (nhận) y = Bài 2: ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2010 x2 4x y Giải hệ phương trình: 2 log (x 2) log y0 2 x2 − 4x + y + = (1) Giải ; Điều kiện: x > , y > log2 (x − 2) − log2 y=y 0= (2) − x (2) ⇔ (x − 2) = y • ⇔ y = − x x = (loại) y = x − 2: (1) ⇔ x2 − 3x = ⇔ x = ⇒ y = • x = (loại) y = − x: (1) ⇔ x2 − 5x + = ⇔ x = ⇒ y = −2 (loạ i) x = Giải hệ phương trình: log2 x2 y2 log2 xy 2 3 x xyy 81 Vậy hệ có nghiệm y=1 Bài 3: ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2009 Giải Với điều kiện xy > (*), hệ cho tương đương: x, y x2 + y2 = x = x = y 2xy y ⇔ ⇔ 2 y − + = x xy y = y = ±2 Kết hợp (*), hệ có nghiệm: (x; y) = (2; 2) (x; y) = (−2; −2) Chứng minh với a > 0, hệ phương trình sau có nghiệm nhất: ex − ey = ln(1 + x) − ln(1 + y) y − x = a Bài 4: ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2006 Giải Điều kiện: x, y > −1 Hệ cho tương đương với: ex +a − ex + ln(1 + x) − ln(1 + a + x) = (1) (2) y = x + a Hệ cho có nghiệm phương trình (1) có nghiệm khoảng (−1; + ∞) x +a x Xét hàm số f(x) = e − e + ln(1 + x) − ln(1 + a + x) với x > −1 Do f(x) liên tục khoảng (−1; +∞) lim f(x) = −∞, lim f(x) = +∞ x→−1 + nên phương trình f(x) = có nghiệm khoảng (−1; + ∞) 1 + Mặt khác: f '(x) = ex a − ex + − 1+ x 1+a+x x→+∞ x a = e (e −1) + a > 0, ∀x > − (1 + x)(1 + a + x) ⇒ f(x) đồng biến khoảng (−1; + ∞) Suy phương trình f(x) = có nghiệm khoảng (−1; + ∞) Vậy hệ cho có nghiệm Bài 5: ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2005 x1 2y1 Giải hệ phương trình: 3log9 (9x2 ) log3 y3 x − + = 2y x ≥ (1) Giải Điều kiện : (2) 3log9 (9x ) − log3 y = 0 ⇒ 2x > ⇒ x+1 − 72+ − 72+ x+1 x+1 ≤ ≤ 2005(1 − x) > > 2005(1 − x) + 72x nên (1) hiển nhiên sai Do (1) ⇔ −1 ≤ x ≤ • Vậy hệ có nghiệm khi: (2) có nghiệm ∈ [−1; 1] ⇔ x 2– 2x + ≥ m(x - 2) có nghiệm x ∈ [−1; 1] x − 2x + ⇔ ≤ m ( x − < 0) có nghiệm x ∈ [−1; 1] x−2 x2 − 2x + , x ∈ [−1; 1] 3x−2 Xét hàm f(x) = f′(x) = x f'(x) f(x) −∞ x 2− 4x + ( x − 2) −1 + −2 , f’(x) = ⇔ x = ± 2− − −2 − − 2+ +∞ + Dựa vào bảng biến thiên hệ có nghiệm ⇔ −2 ≤ m Bài 7: ĐỀ DỰ BỊ log y x log 1 Giải hệ phương trình: 4y x2 y2 25 Giải y > Điều kiện y − x > log y − x = (y − x) + = log 1 y Hệ ⇔ ⇔ y 2 2 x + y = 25 x + y = 25 y= x x = x = − y = x ⇔ ⇔ ⇔ (nhậ n ) ∨ 16 x + x = y = x =9 y = −4 25 Bài 8: Giải hệ phương trình: 3x 23x 5y2 4y x1 x 2 y 2x Giải 2 = 5y − 4y 23x = 5y2 − 4y ⇔ ⇔ 4x + 2x+1 x =y x 2 = +2 y y2 − 5y + = x = x = ⇔ ∨ ⇔ y = y = y = 2x 5y2 − 4y = y3 x y = (loại) Bài 9: ĐỀ DỰ BỊ x | y | 3 Giải hệ phương trình: log4x log2y Giải x ≥ 1 2 Điều kiện: y≥1 2 2 (2) ⇔ log4x = log4y ⇔ x = y Thay x = y vào (1) ta : y – 4|y| + = y= y = ⇒ x = ⇔ y = 3⇔ y= ⇒ x = 9(do y ≥ 1) Vậy hệ có cặp nghiệm (1; 1) (9; 3) [...]... ≤ x < 1∨ 2 < x ≤ 2 +2 (1) (1) Bài 3: ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2007 Giải bất phương trình: 2 log3 (4x − 3) + log1 (2x + 3) ≤ 2 3 Điều kiện: x > log 3 4 (4x − 3)2 ≤ 2 Giải Bất phương trình đã cho ⇔ 3 2x + 3 TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN ⇔ (4x − 3)2 ≤ 9(2x + 3) ⇔ 16x2 − 42x −18 ≤ 0 ⇔ − 8 3 ≤x≤3 3 Kết hợp điều kiện ta được nghiệm của bất phương trình < x ≤ 3 4 là: Bài 4: ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2006 −2 Giải bất... B.ĐỀ THI Bài 1: ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2008 x2 x Giải bất phương trình: log0,7 log6 x 4 0 Giải x2 + x x + 4 > 0 Điều kiện: log x 2 + x >0 6 x+ 4 x2 + x Bất phương trình tương đương với log0,7 < log0,7 x+4 log6 1 2 2 x2 (1) ⇔ log +x +x − 5x − 24 >0 x >1⇔ x >6⇔ 6 x+4 Giải bất phương trình: log1 2 x + 4 x2 3x 2 x x+4 0 ⇔ −4 < x < −3 hay x > 8 Bài 2: ĐẠI HỌC... một nghiệm y=1 Bài 3: ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2009 Giải Với điều kiện xy > 0 (*), hệ đã cho tương đương: x, y x2 + y2 = x = x = y 2xy y ⇔ ⇔ 2 2 y 4 − + = x xy y = y = ±2 2 4 Kết hợp (*), hệ có nghiệm: (x; y) = (2; 2) và (x; y) = (−2; −2) Chứng minh rằng với mọi a > 0, hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất: ex − ey = ln(1 + x) − ln(1 + y) y − x = a Bài 4: ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2006... Điều kiện 9x − 72 > ⇔ x > log9 0 73 x log3 9 − 72 > 0 ( ) +1) Hướng dẫn giải CDBT từ các ĐTQG Toán học – ( x ) Bất phương trình ⇔ log3 9 − 72 < x (Vì x > log9 73 > 1) ⇔ 9x − 3x − 72 < 0 ⇔ − 8 ≤ 3x ≤ 9 Kết hợp với điều kiện ta được log9 73 < x ≤ 2 ⇔ x ≤2 Vấn đề 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT Thường sử dụng phương pháp biến đổi từng phương trình trong hệ, sau đó dùng phương pháp thế để tìm... tăng trên [1, 2] nên ycbt ⇔ f(1) ≤ 2m ≤ f(2) ⇔ 0 ≤ m ≤ 2 Vấn đề 2: BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT A P H BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ af(x) ag(x) (1) Nếu a > 1: (1) f(x) > g(x) Nếu 0 < a < 1: (1) f(x) < g(x) Tổng quát: a f(x) a g(x) a 0; a 1 (a 1)(f(x) g(x)) 0 af(x) ag(x) a 0 ( a 1) f(x )LOGARIT g(x) 0 BẤT PHƯƠNG TRÌNH (1) loga f(x) > loga g(x) Nếu a > 1 g(x) 0... sử dụng phương pháp biến đổi từng phương trình trong hệ, sau đó dùng phương pháp thế để tìm nghiệm A.PHƯƠNG PHÁP GIẢI 2log (3y 1) x Giải hệ phương trình: 4x 2x 3y2 (x, y ) B.ĐỀ THI Bài 1: ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2010 Giải Điều kiện: 3y – 1 > 0 3y − 1 = 2x log (3y − 1) = x Ta có 2 4 x + 2 x = 3y2 ⇔ x 4 + 2 x = 3y2 ⇔ 1 x 2 = 2 3 x x 2 4 + 2 = 3y 2x + 2x... nghiệm duy nhất trong khoảng (−1; + ∞) Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất Bài 5: ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2005 x1 2y1 Giải hệ phương trình: 3log9 (9x2 ) log3 y3 3 x − 1 + = 1 2y x ≥ 1 (1) Giải Điều kiện : 2 3 (2) 3log9 (9x ) − log3 y = 3 0 ... +2 (1) (1) Bài 3: ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2007 Giải bất phương trình: log3 (4x − 3) + log1 (2x + 3) ≤ Điều kiện: x > log (4x − 3)2 ≤ Giải Bất phương trình cho ⇔ 2x + TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN... = Bài 8: ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2006 Giải Phương trình cho tương đương với: 22x(2x2 • −x −1) − 4(2x2 −x −1) = ⇔ (22x − 4)(2x2 22x − = ⇔ 22x = 22 ⇔ x = −x −1) = Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán học. .. 1) f(x )LOGARIT g(x) BẤT PHƯƠNG TRÌNH (1) loga f(x) > loga g(x) Nếu a > g(x) : (1) f(x) g(x) f(x) : (1)0 f(x) Nếu < a < g(x) ƯƠNG PHÁP GIẢI B.ĐỀ THI Bài 1: ĐẠI HỌC KHỐI