1 MỤC LỤC Mục lục Mở đầu Sự tồn điểm bất động không gian tựa mêtric nón 1.1 Không gian tựa mêtric nón 1.2 Một số kết tồn điểm bất động không gian tựa mêtric nón 16 Sự tồn điểm bất động không gian tựa mêtric nón có thứ tự phận 22 2.1 Thứ tự phận 22 2.2 Sự tồn điểm bất động không gian tựa mêtric nón có thứ tự phận 24 Kết luận 31 Tài liệu tham khảo 32 MỞ ĐẦU Lý thuyết điểm bất động chủ đề quan tâm nghiên cứu giải tích, có nhiều ứng dụng quan trọng lý thuyết tối ưu, lý thuyết trò chơi, bao hàm thức vi phân nhiều ngành kỹ thuật khác Định lý điểm bất động ánh xạ co không gian mêtric đầy đủ Banach mở rộng cho nhiều kiểu ánh xạ nhiều không gian khác Một mở rộng giảm bớt điều kiện định nghĩa mêtric, từ thu lớp không gian rộng lớp không gian mêtric Sau đó, người ta nghiên cứu tồn điểm bất động ánh xạ không gian nhận Năm 2007, Huang Long - Giang Zhang Xian mở rộng khái niệm không gian mêtric nón cách thay tập hợp số thực nón định hướng không gian Banach Trong [3], giới thiệu khái niệm không gian tựa mêtric nón đưa số kết điểm bất động ánh xạ không gian tựa mêtric nón Vấn đề tồn điểm bất động ánh xạ không gian mêtric mêtric nón có thứ tự phận quan tâm nghiên cứu thu nhiều kết ([5], [6]) Mục đích nghiên cứu tồn điểm bất động ánh xạ không gian tựa mêtric nón không gian tựa mêtric nón có thứ tự phận Xem xét số kết tương tự tồn điểm bất động không gian mêtric cho không gian tựa mêtric hay không Với mục đích luận văn trình bày thành hai chương Chương trình bày khái niệm, tính chất không gian tựa mêtric nón số kết tồn điểm bất động không gian tựa mêtric nón Chương trình bày số khái niệm thứ tự phận, tập bị chặn, cận trên, cận số kết tồn điểm bất động ánh xạ không gian tựa mêtric nón có thứ tự phận Luận văn hoàn thành trường Đại học Vinh hướng dẫn thầy giáo PGS TS Đinh Huy Hoàng Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy Tác giả xin cảm ơn thầy, cô giáo Khoa Toán học, Trường Đại học Vinh nhiệt tình giảng dạy giúp đỡ tác giả suốt thời gian học tập Cuối xin cám ơn gia đình, đồng nghiệp, bạn bè, đặc biệt bạn lớp Cao học 19 Giải tích cộng tác, giúp đỡ động viên tác giả suốt trình học tập nghiên cứu Mặc dù có nhiều cố gắng, luận văn không tránh khỏi hạn chế, thiếu sót Chúng mong nhận ý kiến đóng góp thầy, cô giáo bạn bè để luận văn hoàn thiện Vinh, tháng năm 2013 Tác giả CHƯƠNG SỰ TỒN TẠI ĐIỂM BẤT ĐỘNG TRONG KHÔNG GIAN TỰA MÊTRIC NÓN Chương trình bày khái niệm, tính chất không gian tựa mêtric nón số kết tồn điểm bất động không gian tựa mêtric nón 1.1 Không gian tựa mêtric nón Mục trình bày định nghĩa, ví dụ số tính chất không gian tựa mêtric nón Đầu tiên, nhắc lại số khái niệm kết không gian tôpô, ánh xạ liên tục, không gian Banach làm sở cho việc trình bày sau 1.1.1 Định nghĩa ([2]) Cho tập hợp X Họ τ tập X gọi tôpô X thỏa mãn điều kiện T1 ) ∅, X ∈ τ ; T2 ) Nếu Gi ∈ τ với i ∈ I Gi ∈ τ ; i∈I T3 ) Nếu G1 , G2 ∈ τ G1 ∩ G2 ∈ τ Tập X với tôpô τ gọi không gian tôpô ký hiệu (X, τ ) hay đơn giản X Các phần tử X gọi điểm không gian tôpô Các phần tử thuộc τ gọi tập mở Giả sử E ⊂ X Tập E gọi tập đóng X\E tập mở 1.1.2 Định nghĩa ([2]) Cho không gian tôpô X, tập A X gọi lân cận điểm x ∈ X tồn tập mở V ⊂ X cho x ∈ V ⊆ A Cho không gian tôpô X, x ∈ X, U(x) họ tất lân cận x Họ B(x) ⊂ U(x) gọi sở lân cận x với U ∈ B(x) tồn V ∈ B(x) cho V ⊂ U 1.1.3 Định nghĩa ([2]) Dãy {xn } không gian tôpô X gọi hội tụ tới x ∈ X với lân cận U x tồn n0 ∈ N cho xn ∈ U với n n0 Khi đó, ta viết xn → x lim xn = x n→∞ 1.1.4 Định nghĩa ([2]) Không gian tôpô X gọi thỏa mãn tiên đề đếm thứ điểm x ∈ X có sở lân cận B(x) có lực lượng đếm Không gian tôpô X gọi T2 -không gian không gian Hausdorff hai điểm x, y ∈ X, x = y tồn lân cận Ux Uy x y tương ứng cho Ux ∩ Uy = ∅ Nếu X không gian Hausdorff dãy X mà hội tụ hội tụ tới điểm 1.1.5 Định nghĩa ([2]) Giả sử X, Y hai không gian tôpô f : X → Y ánh xạ f gọi liên tục x ∈ X với lân cận V f (x), tồn lân cận U x cho f (U ) ⊂ V ánh xạ f gọi liên tục X (nói gọn liên tục) liên tục điểm X 1.1.6 Định lý ([2]) Giả sử X Y không gian tôpô, f : X → Y Khi điều kiện sau tương đương 1) f liên tục X; 2) Nếu E tập mở Y f −1 (E) mở X; 3) Nếu E tập đóng Y f −1 (E) đóng X 1.1.7 Định nghĩa ([2]) Giả sử X tập khác rỗng d : X ×X → R Hàm d gọi mêtric X điều kiện sau thỏa mãn với x, y ∈ X d(x, y) = x = y ; i) d(x, y) ii) d(x, y) = d(y, x) với x, y ∈ X ; iii) d(x, y) d(x, z) + d(z, y) với x, y, z ∈ X Tập X với mêtric gọi không gian mêtric ký hiệu (X, d) X 1.1.8 Định nghĩa Giả sử X tập khác rỗng d : X × X → R Hàm d gọi tựa mêtric X thỏa mãn i) d(x, y) với x, y ∈ X d(x, y) = x = y; ii) d(x, y) d(x, z) + d(z, y) với x, y, z ∈ X Tập X với tựa mêtric gọi không gian tựa mêtric ký hiệu (X, d) X 1.1.9 Định nghĩa ([1]) Giả sử E không gian véc tơ trường K = R K = C Hàm p : E → R thỏa mãn điều kiện i) p(x) 0, ∀x ∈ E p(x) = ⇔ x = 0; ii) p(xλ) = |λ|p(x), ∀x ∈ E, ∀λ ∈ K; iii) p(x + y) p(x) + p(y) ∀x, y ∈ E p gọi chuẩn không gian véc tơ E Số p(x) gọi chuẩn véc tơ x ∈ E Ta thường ký hiệu chuẩn x x Không gian véc tơ E với chuẩn gọi không gian định chuẩn 1.1.10 Mệnh đề ([1]) Nếu E không gian định chuẩn công thức d(x, y) = x − y ∀x, y ∈ E, xác định mêtric E Ta gọi mêtric mêtric sinh chuẩn hay mêtric chuẩn 1.1.11 Định nghĩa ([1]) Một không gian định chuẩn không gian mêtric đầy đủ theo mêtric sinh chuẩn gọi không gian Banach 1.1.12 Định lý ([1]) Nếu E không gian định chuẩn ánh xạ chuẩn: x → x , ∀x ∈ E; phép cộng: (x, y) → x + y, ∀(x, y) ∈ E × E phép nhân với vô hướng: (λ, x) → λx, ∀(λ, x) ∈ K × E ánh xạ liên tục 1.1.13 Định lý ([1]) Giả sử E không gian định chuẩn Khi đó, với a ∈ E λ ∈ K, λ = ánh xạ x → x + a, x → λx với x ∈ E phép đồng phôi E lên E 1.1.14 Định nghĩa ([5]) Cho E không gian Banach trường số thực R Tập P E gọi nón thỏa mãn điều kiện sau i) P tập đóng khác rỗng P = {0}; ii) Với x, y ∈ P, a, b ∈ R, a, b ta có ax + by ∈ P ; iii) Nếu x ∈ P −x ∈ P x = 1.1.15 Ví dụ ([5]) 1) Trong không gian số thực R với chuẩn thông thường, tập P = {x ∈ R : x 0} nón 2) Giả sử E = R2 , P = {(x, y) ∈ E : x, y 0} ⊂ R2 Khi đó, P thỏa mãn ba điều kiện: i) P tập đóng, P = ∅, P = {0}; ii) Với (x, y), (u, v) ∈ P a, b ∈ R, a, b ta có a(x, y) + b(u, v) ∈ P ; iii) Nếu (x, y) ∈ P (−x, −y) ∈ P (x, y) = (0, 0) Vậy P nón E Cho P nón không gian Banach E Khi đó, E xét quan hệ thứ tự xác định P sau: x Chúng ta quy ước x < y x y y − x ∈ P y x = y quy ước x y y − x ∈ intP với intP phần P 1.1.16 Định nghĩa ([5]) Cho P nón không gian Banach E 1) Nón P gọi nón chuẩn tắc tồn số thực K > cho với x, y ∈ E x y ta có x K y Số thực K nhỏ thỏa mãn điều kiện gọi số chuẩn tắc P 2) Nón P gọi nón quy dãy tăng bị chặn E hội tụ Nghĩa là, {xn } dãy E cho x1 x2 xn y với y ∈ E tồn x ∈ E cho xn − x → n → ∞ Định lý sau nói quan hệ nón quy nón chuẩn tắc 1.1.17 Định lý ([5]) Mọi nón quy không gian Banach nón chuẩn tắc 1.1.18 Định nghĩa Giả sử X tập khác rỗng d : X × X → E 1) Hàm d gọi tựa mêtric nón X thỏa mãn điều kiện sau i) d(x, y) với x, y ∈ X ; ii) d(x, y) = ⇔ x = y ; iii) d(x, y) d(x, z) + d(z, y) với x, y, z ∈ X Tập X với tựa mêtric nón d X gọi không gian tựa mêtric nón ký hiệu (X, d) X 2) Hàm d gọi mêtric nón X thỏa mãn điều kiện sau i) d(x, y) với x, y ∈ X d(x, y) = ⇔ x = y ; ii) d(x, y) = d(y, x) với x, y ∈ X ; iii) d(x, y) d(x, z) + d(z, y) với x, y, z ∈ X Tập X với mêtric nón d X gọi không gian mêtric nón ký hiệu (X, d) X 1.1.19 Ví dụ 1) Mọi tựa mêtric tựa mêtric nón, không gian tựa mêtric không gian tựa mêtric nón 2) Mọi không gian mêtric nón tựa mêtric nón 3) Giả sử P = {f ∈ C[0,1] : f (x) ∀x ∈ [0, 1]} Khi đó, P nón không gian Banach C[0,1] với chuẩn sup Lấy f0 ∈ P, f0 = xác định hàm d : R × R → C[0,1] công thức  f0 x < y d(x, y) = 2f0 y < x  x = y Khi đó, ta dễ dàng kiểm tra d tựa mêtric nón R Nếu x < y d(x, y) = d(y, x) Do d không mêtric nón R Từ sau, nói tới không gian tựa mêtric nón không giải thích thêm ta hiểu tựa mêtric nón d nhận giá trị nón P 10 1.1.20 Bổ đề ([5]) Giả sử P nón không gian Banach E; a, b, c ∈ E α số thực dương Khi i) Nếu a b b c a c; ii) Nếu a b b c a c; iii) Nếu a b, c d a + c b + d; iv) αintP ⊂ intP ; v) Với δ > x ∈ intP tồn < γ < cho γx < δ; vi) Với c1 ∈ intP c2 ∈ P, ∃ d ∈ intP cho c1 vii) Với c1 ; c2 ∈ intP tồn e ∈ intP cho e viii) Nếu a ∈ P a d, c2 c1 e d; c2 ; x với x ∈ intP a = 0; ix) Nếu E không gian Banach thực với nón P, a λa với a ∈ P, < λ < a = 0; x) Nếu xn yn ∀ n ∈ N, lim xn = x, lim yn = y n→∞ n→∞ x y Chứng minh i) Vì phép cộng liên tục nên intP + intP ⊂ intP Nếu a b b c b − a ∈ intP c − b ∈ intP, suy c − a = c − b + b − a ∈ intP + intP ⊂ intP Vậy a c (x + intP ) tập mở P nón suy ii) Dễ thấy intP + P = x∈P x + intP ⊂ P Do P + intP ⊂ intP Nếu a c b − a ∈ P b b c − b ∈ intP, suy c − a = c − b + b − a ∈ intP + P ⊂ intP Vậy a iii) Ta có a b, c c d nên b − a ∈ intP d − c ∈ intP suy b − a + c − d ∈ intP hay (b + d) − (a + c) ∈ intP a + c b + d iv) Vì phép nhân vô hướng liên tục nên αintP ⊂ intP v) Với δ > x ∈ intP chọn số tự nhiên n > cho Khi đó, với γ = δ n x thỏa mãn: < γ < γx γ x δ n x x δ < δ n δ n x < 18 Do với n = 1, 2, p ∈ N ta có d(xn , xn+p ) d(xn , xn+1 ) + d(xn+1 , xn+2 ) + + d(xn+p−1 , xn+p ) (αn + αn+1 + + αn+p−1 )d(x0 , x1 ) p αn n1 − α d(x0 , x1 ) d(x0 , x1 ) =α 1−α 1−α Hay d(xn , xn+p ) αn d(x0 , x1 ) 1−α (1.1) Tương tự, với n = 1, 2, p ∈ N d(xn+p , xn ) Từ α ∈ [0, 1) suy αn 1−α d(x0 , x1 ) αn d(x1 , x0 ) 1−α → αn 1−α d(x1 , x0 ) (1.2) → n → ∞ Kết hợp với (1.1) (1.2) suy với c ∈ intP tồn số tự nhiên nc cho d(xn , xm ) c với n, m nc Do {xn } dãy Cauchy Vì X đầy đủ nên tồn a ∈ X cho xn → a Bây giờ, ta chứng minh a điểm bất động f Thật vậy, ta có f (xn ) = xn+1 → a Vì xn → a f liên tục nên f (xn ) → f (a) Kết hợp với giả thiết X không gian Hausdorff nên a = f (a), tức a điểm bất động f Cuối ta chứng minh a điểm bất động f Giả sử b điểm bất động f Khi đó, d(a, b) = d(f (a), f (b)) αd(a, b) Vì α ∈ [0, 1) nên theo Bổ đề 1.1.20 ix) suy d(a, b) = 0, tức a = b 1.2.5 Chú ý Từ việc chứng minh Định lý 1.2.4 ta thấy rằng, giả thiết Định lý 1.2.4 thỏa mãn a điểm bất động f f n x → a với x ∈ X, f x = f (f x), f x = f (f x), 19 1.2.6 Hệ Giả sử X không gian tựa mêtric nón Hausdorff, đầy đủ g : X → X cho g n0 ánh xạ co với n0 số tự nhiên Khi đó, g có điểm bất động a g n x → a với x ∈ X Chứng minh Vì g n0 ánh xạ co nên theo Định lý 1.2.4, g n0 có điểm bất động a Khi đó, từ g n0 (a) = a suy g n0 (ga) = g(g n0 a) = ga Như ga điểm bất động g n0 Do a = ga, tức a điểm bất động g Giả sử x điểm bất động X Khi đó, theo Chú ý 1.2.5 ta có (g n0 )n x → a Tương tự ta có (g n0 )n (g j x) → a với j = 1, 2, , n0 , Tức lim g n0 n+j x = a với j = 1, 2, , n0 n→∞ Từ suy g n x → a với x ∈ X Giả sử b điểm bất động g Theo kết vừa chứng minh g n b → a Vì b điểm bất động g nên g n b = b với n Do b = a 1.2.7 Định nghĩa Giả sử f {fn } dãy ánh xạ từ không gian tựa mêtric nón X vào không gian tựa mêtric nón Y Ta nói {fn } hội tụ tới f X với c ∈ intP tồn số tự nhiên nc , cho với n với x ∈ X ta có d(fn x, f x) d(f x, fn x) c, c nc 20 1.2.8 Định lý Giả sử X không gian tựa mêtric nón, đầy đủ, Hausdorff, P nón chuẩn tắc với số chuẩn tắc K F : X → X Cho Fn : X → X dãy ánh xạ liên tục cho Fn có điểm bất động xn , n = 1, 2, {Fn } hội tụ tới F X Khi đó, a) Nếu xn → x0 d(xn , x0 ) → F xn → x0 d(xn , x0 ) → x0 điểm bất động F b) Nếu F ánh xạ co {fn } hội tụ tới điểm bất động F Chứng minh Đầu tiên, ta chứng minh F liên tục X Vì {Fn } hội tụ tới F X nên với c ∈ intP tồn số tự nhiên nc cho d(Fn x, F x) d(F x, Fn x) c, c với n (1.3) nc , với x ∈ X Với a ∈ X , Fnc liên tục a nên tồn lân cận Ua a cho d(Fnc a, Fnc x) c với x ∈ Ua (1.4) Do với x ∈ Ua , từ (1.3) (1.4) ta có d(F a, F x) d(F a, Fnc a) + d(Fnc a, Fnc x) + d(Fnc x, F x) 3c Từ suy F liên tục a Như F liên tục X a) Giả sử xn → x0 (tức d(x0 , xn ) → 0) d(xn , x0 ) → Khi đó, với c ∈ intP tồn số tự nhiên nc cho d(xn , x0 ) c với n > nc (1.5) Vì F liên tục xn → x0 nên tồn số tự nhiên nc cho d(F x0 , F xn ) c với n > nc (1.6) Theo bất đẳng thức thứ hai (1.3) ta có d(F xn , xn ) = d(F xn , Fn xn ) c với n > nc (1.7) 21 Từ (1.5), (1.6) (1.7) suy với n d(F x0 , x0 ) max(nc , nc , nc ) ta có d(F x0 , F xn ) + d(F xn , Fn xn ) + d(Fn xn , x0 ) 3c Do từ Hệ 1.1.24 suy d(F x0 , x0 ) = 0, tức F x0 = x0 Vậy x0 điểm bất động F Giả sử F xn → x0 (tức d(x0 , F xn ) → 0) d(xn , x0 ) → Khi đó, từ (1.7) suy d(F xn , xn ) → 0, kết hợp với bất đẳng thức d(x0 , xn ) d(x0 , F xn ) + d(F xn , xn ) với n, ta có d(x0 , xn ) → 0, tức xn → x0 Do theo kết chứng minh x0 điểm bất động F b) Giả sử F ánh xạ co Khi đó, theo Định lý 1.2.4 F có điểm bất động a Ta có d(a, xn ) = d(F a, Fn xn ) d(F a, F xn ) + d(F xn , Fn xn ) αd(a, xn ) + d(F xn , Fn xn ) với n Do đó, với n ta có d(a, xn ) d(F xn , Fn xn ) 1−α Vì P nón chuẩn tắc với số chuẩn tắc K nên bất đẳng thức kéo theo d(a, xn ) K d(F xn , Fn xn ) 1−α Từ α ∈ [0, 1) d(F xn , Fn xn ) → suy d(a, xn ) → 0, tức xn → a 22 CHƯƠNG SỰ TỒN TẠI ĐIỂM BẤT ĐỘNG TRONG KHÔNG GIAN TỰA MÊTRIC NÓN CÓ THỨ TỰ BỘ PHẬN Chương trình bày số khái niệm thứ tự phận, tập bị chặn, cận trên, cận số kết tồn điểm bất động ánh xạ không gian tựa mêtric nón có thứ tự phận 2.1 Thứ tự phận Mục trình bày số khái niệm thứ tự phận, tập bị chặn, cận trên, cận dưới, 2.1.1 Định nghĩa ([4]) Cho tập hợp X quan hệ quan hệ hai X gọi quan hệ thứ tự phận X thỏa mãn điều kiện sau: (i) x x với x ∈ X ; (ii) Từ x (iii) x y y y; y x suy x = y với x, y ∈ X ; z suy x z với x, y, z ∈ X Tập X với thứ tự phận gọi tập thứ tự phận ký hiệu (X, ) X 2.1.2 Định nghĩa ([2]) Giả sử A ⊂ X quan hệ thứ tự phận X 23 1) Phần tử x ∈ X gọi cận (tương ứng cận dưới) A a x (tương ứng x a) với a ∈ A; 2) Phần tử x ∈ X gọi cận (tương ứng cận đúng) A x cận (tương ứng cận dưới) A y cận (tương ứng cận dưới) A x y (tương ứng x) Khi đó, ta ký hiệu x = sup A (tương ứng x = inf A); y 3) Phần tử a ∈ A gọi phần tử cực đại (tương ứng cực tiểu) A, x ∈ A mà a x (tương ứng x a) a = x; 4) Tập A gọi dây chuyền X A tuyến tính, tức với x, y ∈ A x y y x 5) Hai phần tử x, y gọi gọi so sánh với x < y y < x 2.1.3 Bổ đề (Zone) ([2]) Giả sử X tập thứ tự phận khác rỗng Khi đó, dây chuyền X có cận X có phần tử cực đại 2.1.4 Bổ đề Giả sử (X, d) không gian tựa mêtric nón ϕ : X → P, λ số thực dương ϕ quan hệ X cho x Khi đó, ϕ ϕ y ⇔ λd(x, y) ϕ(y) − ϕ(x); x, y ∈ X thứ tự phận X Chứng minh Vì d(x, x) = với x ∈ X nên x Giả sử x, y ∈ X cho x ϕ y y λd(x, y) λd(y, x) Do λ[d(x, y) + d(y, x)] ϕ x với x ∈ X x Khi đó, ta có ϕ(y) − ϕ(x) ϕ(x) − ϕ(y) Vì λ > 0, d(x, y) d(y, x) = d(x, y) = Do x = y ϕ 0, d(y, x) nên 24 Giả sử x, y, z ∈ X cho x λd(x, z) λ[d(x, y) + d(y, z)] Do x ϕ Vậy ϕ ϕ y y ϕ z Khi đó, ta có ϕ(y) − ϕ(x) + ϕ(z) − ϕ(y) = ϕ(z) − ϕ(x) z thứ tự phận X 2.2 Sự tồn điểm bất động không gian tựa mêtric nón có thứ tự phận Mục dành cho việc trình bày số kết tồn bất động ánh xạ không gian tựa mêtric nón có thứ tự phận Trong mục này, ta giả thiết (X, d) không gian tựa mêtric nón, đầy đủ, Hausdorff; X có thứ tự phận kí hiệu 2.2.1 Định lý Giả sử f : X → X g : P → [0, 1) hai hàm không giảm thỏa mãn điều kiện sau i) Với x, y ∈ X mà chúng so sánh với ta có d(f x, f y) ii) Tồn x0 ∈ X cho x0 g(d(x, y))d(x, y); f x0 ; iii) f liên tục X có tính chất iii’) Từ {xn } dãy không giảm X, xn → x suy xn x với n = 1, 2, Khi đó, f có điểm bất động X Chứng minh Lấy x0 ∈ X Đặt x1 = f (x0 ), x2 = f (x1 ), , xn+1 = f (xn ), Vì f không giảm nên x0 x1 x2 Do với n = 1, 2, ta có d(xn , xn+1 ) = d(f xn−1 , f xn ) g(d(xn−1 , xn ))d(xn−1 , xn ) d(xn−1 , xn ) 25 Vì g hàm không giảm nên với n = 1, 2, ta có g(d(xn , xn+1 )) g(d(xn−1 , xn )) Do đó, với n = 1, 2, ta có d(xn , xn+1 ) g(d(xn−1 , xn ))d(xn−1 , xn ) g(d(xn−1 , xn ))g(d(xn−2 , xn−1 ))d(xn−2 , xn−1 ) [g(d(xn−2 , xn−1 ))]2 d(xn−2 , xn−1 ) [g(d(x0 , x1 ))]n d(x0 , x1 ) Từ sử dụng bất đẳng thức tam giác suy với n = 1, 2, với p = 0, 1, 2, ta có d(xn , xn+p ) d(xn , xn+1 ) + d(xn+1 , xn+2 ) + + d(xn+p−1 , xn+p ) {[g(d(x0 , x1 ))]n + [g(d(x0 , x1 ))]n+1 + + [g(d(x0 , x1 ))]n+p−1 }d(x0 , x1 ) − [g(d(x0 , x1 ))]p = [g(d(x0 , x1 ))]n d(x0 , x1 ) − g(d(x0 , x1 )) [g(d(x0 , x1 ))]n = d(x0 , x1 ) − g(d(x0 , x1 )) Từ g(d(x0 , x1 )) < suy [g(d(x0 ,x1 ))]n d(x0 , x1 ) 1−g(d(x0 ,x1 )) suy với c ∈ intP tồn n1 ∈ N cho [g(d(x0 , x1 ))]n d(x0 , x1 ) c ∀n − g(d(x0 , x1 )) → n → ∞ Từ n1 Do với c ∈ intP tồn số tự nhiên n1 cho d(xn , xn+p ) với n c n1 , p = 0, 1, 2, Tương tự ta chứng minh với c ∈ intP tồn số tự nhiên n2 cho với n n2 , p = 0, 1, 2, c Do với c ∈ intP tồn số tự nhiên nc = ta có d(xn+p , xn ) max(n1 , n2 ) cho d(xn , xm ) c với m, n nc 26 Từ suy {xn } dãy Cauchy Vì X không gian đầy đủ nên tồn x ∈ X cho xn → x Nếu f liên tục xn = f xn−1 → f (x) Vì X không gian Hausdorff nên x = f x, tức x điểm bất động f Giả sử điều kiện iii’) thỏa mãn Khi đó, xn → x nên với t ∈ intP tồn nt ∈ N cho d(x, xn ) Theo điều kiện iii’) xn t ∀n nt x với n Do kết hợp với g(u) ∈ [0, 1) với u ∈ P ta có d(f x, f xn ) g(d(x, xn ))d(x, xn ) t ∀n nt Theo Định lý 1.1.26 f xn → f x Mặt khác, f xn = xn+1 với n = 1, 2, nên xn → f x Vì X không gian Hausdorff nên x = f x, tức x điểm bất động f 2.2.2 Hệ Giả sử f : X → X hàm thỏa mãn điều kiện i) Tồn α ∈ [0, 1) cho với x, y ∈ X mà chúng so sánh với ta có d(f x, f y) ii) Tồn x0 ∈ X cho x0 αd(x, y); f x0 ; iii) f liên tục X có tính chất iii’) Từ {xn } dãy không giảm X xn → x xn x với n = 1, 2, Khi đó, f có điểm bất động X Chứng minh Ta xác định hàm g : P → [0, 1) công thức g(t) = α ∀t ∈ P Khi đó, f g thỏa mãn điều kiện Định lý 2.2.1 Do đó, f có điểm bất động X 27 2.2.3 Định lý Giả sử P nón quy không gian Banach E , thứ tự E xác định P tuyến tính P (tức với a, b ∈ P a b b a) Khi đó, f : X → X hàm liên tục không giảm thỏa mãn 1) Với c ∈ P, < c ∃ δ(c) ∈ intP cho từ c d(x, y) < c+δ(c) x so sánh với y suy d(f (x), f (y)) < c; 2) Tồn x0 ∈ X cho x0 f (x0 ) f có điểm bất động Chứng minh Nếu x0 = f (x0 ), định lý chứng minh Giả sử x0 < f (x0 ) f ánh xạ không giảm nên quy nạp, ta thu x0 < f (x0 ) f (x0 ) f (x0 ) f n (x0 ) f n+1 (x0 ) Đặt xn = f n (x0 ), n = 1, 2, Khi đó, {xn } dãy không giảm, tức {xn } dãy tăng Đầu tiên, ta chứng minh lim d(xn , xn+1 ) = Nếu dãy {xn } không tăng n→∞ ngặt tồn n0 ∈ N cho xn0 = xn0 +1 = f (xn0 ) Do đó, xn0 điểm bất động f Định lý chứng minh Nếu {xn } dãy tăng ngặt {d(xn , xn+1 } dãy giảm ngặt Thật vậy, {xn } dãy tăng ngặt nên xn < xn+1 với n Do đó, < d(xn , xn+1 ) áp dụng 1) cho c = d(xn, xn+1) ta có d(xn+1 , xn+2 ) = d(f (xn ), f (xn+1 )) < d(xn , xn+1 ) với n ∈ N Do {d(xn , xn+1 } dãy giảm ngặt Vì P nón quy nên {d(xn , xn+1 )} → c ∈ P Ta có c < d(xn , xn+1 ) với n = 1, 2, Thật vậy, đặt cn = d(xn , xn+1 ), n = 1, 2, Nếu tồn n0 ∈ N cho cn0 cn < cn0 c c với n > n0 Do c − cn0 < c − cn với n > n0 28 (vì c − cn − (c − cn0 ) = cn0 − cn ∈ P với n > n0 ) Vì P nón quy nên P chuẩn tắc với số chuẩn tắc K Do ta có < c´ − cn0 < K c´ − cn với n > n0 Điều mâu thuẫn với cn → c Do c < cn với n Đặt d = inf {cn : n = 1, 2, } Khi đó, d ta có d cn với n = 1, 2, Do đó, theo Bổ đề 1.1.20 x) lim cn = c Từ định nghĩa inf imum, ta có c = d n→∞ Vậy d(xn , xn+1 ) → inf {d(xj , xj+1 ) : j = 1, 2, } Bây giờ, ta chứng minh c = Giả sử c > áp dụng điều kiện 1) cho c = c , tìm δ(c ) ∈ intP cho từ d(x, y) < c + δ(c ) x < y suy d(f (x), f (y)) < c c Vì c = lim d(xn , xn+1 ), nên tồn n0 ∈ N cho n→∞ c d(xn , xn+1 ) < c + δ(c ) ∀n n0 Do đó, kết hợp với xn0 < xn0 +1 ta có d(xn0 +1 , xn0 +2 ) = d(f (xn0 ), f (xn0 +1 )) < c Điều mâu thuẫn c = inf {d(xn+1 , xn+2 ) : n = 1, 2, } Vậy c´ = hay lim d(xn+1 , xn+2 ) = n→∞ Tương tự ta chứng minh lim d(xn , xn−1 ) = n→∞ Tiếp theo, ta chứng tỏ {xn } dãy Cauchy Với c ∈ intP , từ điều kiện 1) suy tồn δ(c) ∈ intP (có thể chọn δ(c) c c) cho từ d(x, y) < c + δ(c) x < y suy d(f (x), f (y)) < c Mặt khác, từ d(xn , xn+1 ) → suy tồn n0 ∈ N cho < d(xn−1 , xn ) < δ(c) với n n0 (2.1) 29 Khi đó, với n n0 quy nạp ta chứng minh d(xn , xn+p ) c với p = 1, 2, (2.2) Thật vậy, từ (2.1), áp dụng điều kiện 1) với c = d(xn−1 , xn ) sử dụng δ(c) c ta có d(xn , xn+1 ) < c Như (2.2) với p = Giả sử (2.2) với p > 1, ta chứng minh (2.2) với p + Sử dụng (2.1) giả thiết quy nạp với n d(xn−1 , xn+p ) n0 p > ta có d(xn−1 , xn ) + d(xn , xn+p ) < δ(c) + c Bây giờ, ta xét hai trường hợp Trường hợp 1: c d(xn−1 , xn+p ) Khi đó, ta có c d(xn−1 , xn+p ) < c + δ(c) Do từ xn−1 < xn+p suy d(xn , xn+p+1 ) = d(f (xn−1 ), f (xn+p )) < c Như (2.2) với p + Trường hợp 2: d(xn−1 , xn+p ) < c Khi đó, {xn } dãy tăng ngặt nên xn−1 < xn < < xn+p Do d(xn−1 , xn+p ) > áp dụng điều kiện 1) với c = d(xn−1 , xn+p ) ta có d(xn , xn+p+1 ) = d(f (xn−1 ), f (xn+p )) < d(xn−1 , xn+p ) < c Vậy (2.2) với p + Do (2.2) với n n0 p ∈ N Như với c ∈ intP tồn số tự nhiên nc cho với n d(xn , xn+p ) nc p = 0, 1, 2, ta có c 30 Tương tự ta chứng minh với c ∈ intP tồn số tự nhiên nc cho với n nc p = 0, 1, 2, ta có d(xn+p , xn ) c Do {xn } dãy Cauchy Vì X đầy đủ nên tồn z ∈ X cho xn → z Do f liên tục nên xn = f (xn−1 ) → f (z) Vì X Hausdorff nên z = f (z) Vậy z điểm bất động f 31 KẾT LUẬN Luận văn thu kết sau 1) Trình bày khái niệm, ví dụ chứng minh chi tiết số tính chất nón không gian Banach 2) Trình bày khái niệm, ví dụ số tính chất không gian tựa mêtric nón Trình bày cách xây dựng tôpô không gian tựa mêtric nón 3) Chứng minh số định lý tồn điểm bất động ánh xạ không gian tựa mêtric nón, Định lý 1.2.4, Hệ 1.2.6 Định lý 1.2.8 4) Đưa chứng minh số kết tồn điểm bất động ánh xạ không gian tựa mêtric nón có thứ tự phận, Định lý 2.2.1, Hệ 2.2.2 Định lý 2.2.3 32 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Văn Khuê Lê Mậu Hải (2002), Cơ sở lý thuyết hàm giải tích hàm, Tập II, NXB Giáo dục [2] J Kelley (1973), Tôpô đại cương, Hà Huy Khoái, Hồ Thuần Đinh Mạnh Tường (dịch), NXB Đại học Trung học chuyên nghiệp, Hà Nội [3] Phan Thị Quỳnh (2012), Không gian tựa mêtric nón tồn điểm bất động, Luận văn thạc sĩ toán học, Trường Đại học Vinh [4] Nguyễn Thị Hải Yến (2012), Không gian mêtric nón với thứ tự phận tồn điểm bất động, Luận văn thạc sĩ toán học, Trường Đại học Vinh [5] Huang Long - Guang and Zhang Xian (2007), Cone metric space and fixed point theorem of contractive mappings, J Math Anat Appl 332, no 2, 1468-1476 [6] J Harjani, B Lopéz and K Sadarangani (2011), A fixed point theorem for Meir Keeler contractions in ordered metric space, Fixed point theorem and Applycations, 2011:83 [7] Z Kelelburgl, M Pavlovic, Stojon Redenovic (2010), Common fixed point theorems for ordered contractions and quasicontractions in ordered cone metric space, Computers and mathematics with Applications, No.59, pp 3148-3159 [...]... bày cách xây dựng tôpô trên không gian tựa mêtric nón 3) Chứng minh một số định lý về sự tồn tại điểm bất động của các ánh xạ trong không gian tựa mêtric nón, đó là Định lý 1.2.4, Hệ quả 1.2.6 và Định lý 1.2.8 4) Đưa ra và chứng minh một số kết quả về sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ trong không gian tựa mêtric nón có thứ tự bộ phận, đó là Định lý 2.2.1, Hệ quả 2.2.2 và Định lý 2.2.3 32 TÀI LIỆU... Không gian tựa mêtric nón (X, d) được gọi là đầy đủ nếu mọi dãy Cauchy trong X đều hội tụ Tập con Y của không gian tựa mêtric nón (X, d) được gọi là đầy đủ nếu mọi dãy Cauchy trong Y đều hội tụ tới điểm thuộc Y 1.2 Một số kết quả về sự tồn tại điểm bất động trong không gian tựa mêtric nón Mục này trình bày một số định lý về sự tồn tại điểm bất động của các ánh xạ co trong không gian tựa mêtric nón Từ đây... quả về sự tồn tại bất động của các ánh xạ trong không gian tựa mêtric nón có thứ tự bộ phận Trong mục này, ta giả thiết (X, d) là không gian tựa mêtric nón, đầy đủ, Hausdorff; trên X có thứ tự bộ phận cũng được kí hiệu bởi 2.2.1 Định lý Giả sử f : X → X và g : P → [0, 1) là hai hàm không giảm thỏa mãn các điều kiện sau i) Với mọi x, y ∈ X mà chúng so sánh được với nhau ta có d(f x, f y) ii) Tồn tại x0... phận, tập bị chặn, cận trên, cận dưới và một số kết quả về sự tồn tại điểm bất động của các ánh xạ trong không gian tựa mêtric nón có thứ tự bộ phận 2.1 Thứ tự bộ phận Mục này trình bày một số khái niệm cơ bản về thứ tự bộ phận, tập bị chặn, cận trên, cận dưới, 2.1.1 Định nghĩa ([4]) Cho tập hợp X và quan hệ là một quan hệ hai ngôi trên X được gọi là quan hệ thứ tự bộ phận trên X nếu thỏa mãn các điều... Do đó, với mọi n ta có d(a, xn ) 1 d(F xn , Fn xn ) 1−α Vì P là nón chuẩn tắc với hằng số chuẩn tắc K nên bất đẳng thức kéo theo d(a, xn ) K 1 d(F xn , Fn xn ) 1−α Từ α ∈ [0, 1) và d(F xn , Fn xn ) → 0 suy ra d(a, xn ) → 0, tức là xn → a 22 CHƯƠNG 2 SỰ TỒN TẠI ĐIỂM BẤT ĐỘNG TRONG KHÔNG GIAN TỰA MÊTRIC NÓN CÓ THỨ TỰ BỘ PHẬN Chương này trình bày một số khái niệm cơ bản về thứ tự bộ phận, tập bị chặn,... với mọi x ∈ X x Khi đó, ta có ϕ(y) − ϕ(x) ϕ(x) − ϕ(y) 0 Vì λ > 0, d(x, y) d(y, x) = d(x, y) = 0 Do đó x = y ϕ 0, d(y, x) 0 nên 24 Giả sử x, y, z ∈ X sao cho x λd(x, z) λ[d(x, y) + d(y, z)] Do đó x ϕ Vậy ϕ ϕ y và y ϕ z Khi đó, ta có ϕ(y) − ϕ(x) + ϕ(z) − ϕ(y) = ϕ(z) − ϕ(x) z là một thứ tự bộ phận trên X 2.2 Sự tồn tại điểm bất động trong không gian tựa mêtric nón có thứ tự bộ phận Mục này dành cho việc... biết rằng, nếu {xn } là dãy trong không gian tựa mêtric (X, d) thì xn → x ∈ X khi và chỉ khi d(x, xn ) → 0 Định lý sau đây cho ta thấy kết quả này vẫn đúng trong không gian tựa mêtric nón 1.1.25 Mệnh đề ([5]) Giả sử P là nón chuẩn tắc trong không gian Banach E, {an }, {bn } và {cn } là ba dãy trong E Khi đó, nếu an bn cn , với mọi n và lim an = lim cn = d thì tồn tại lim bn và lim bn = d n→∞ n→∞ n→∞... nón X vào không gian tựa mêtric nón Y Ta nói {fn } hội tụ đều tới f trên X nếu với mọi c ∈ intP tồn tại số tự nhiên nc , sao cho với mọi n và với mọi x ∈ X ta có d(fn x, f x) d(f x, fn x) c, c nc 20 1.2.8 Định lý Giả sử X là không gian tựa mêtric nón, đầy đủ, Hausdorff, P là nón chuẩn tắc với hằng số chuẩn tắc K và F : X → X Cho Fn : X → X là dãy các ánh xạ liên tục sao cho mỗi Fn có điểm bất động xn... thứ tự bộ phận và khác rỗng Khi đó, nếu mọi dây chuyền trong X đều có cận trên thì trong X có phần tử cực đại 2.1.4 Bổ đề Giả sử (X, d) là một không gian tựa mêtric nón và ϕ : X → P, λ là một số thực dương và ϕ là một quan hệ trên X được cho bởi x Khi đó, ϕ ϕ y ⇔ λd(x, y) ϕ(y) − ϕ(x); x, y ∈ X là một thứ tự bộ phận trên X Chứng minh Vì d(x, x) = 0 với mọi x ∈ X nên x Giả sử x, y ∈ X sao cho x ϕ y và. .. Khuê và Lê Mậu Hải (2002), Cơ sở lý thuyết hàm và giải tích hàm, Tập II, NXB Giáo dục [2] J Kelley (1973), Tôpô đại cương, Hà Huy Khoái, Hồ Thuần và Đinh Mạnh Tường (dịch), NXB Đại học và Trung học chuyên nghiệp, Hà Nội [3] Phan Thị Quỳnh (2012), Không gian tựa mêtric nón và sự tồn tại điểm bất động, Luận văn thạc sĩ toán học, Trường Đại học Vinh [4] Nguyễn Thị Hải Yến (2012), Không gian mêtric nón ... cứu tồn điểm bất động ánh xạ không gian tựa mêtric nón không gian tựa mêtric nón có thứ tự phận Xem xét số kết tương tự tồn điểm bất động không gian mêtric cho không gian tựa mêtric hay không. .. với mêtric nón d X gọi không gian mêtric nón ký hiệu (X, d) X 1.1.19 Ví dụ 1) Mọi tựa mêtric tựa mêtric nón, không gian tựa mêtric không gian tựa mêtric nón 2) Mọi không gian mêtric nón tựa mêtric. .. giới thiệu khái niệm không gian tựa mêtric nón đưa số kết điểm bất động ánh xạ không gian tựa mêtric nón Vấn đề tồn điểm bất động ánh xạ không gian mêtric mêtric nón có thứ tự phận quan tâm nghiên