1 MỤC LỤC MỤC LỤC MỞ ĐẦU CHƯƠNG 1.CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Đa tạp khả vi 1.2 Tác động nhóm tập hợp không gian quỹ đạo 10 CHƯƠNG ĐA TẠP GRASSMANN VỚI MỘT SỐ TÍNH CHẤT HÌNH HỌC VÀ TÍNH CHẤT HÌNH HỌC ĐẠI SỐ CỦA NÓ 20 2.1 Định nghĩa đa tạp Stiefel 20 2.2 Mệnh đề 20 2.3 Định nghĩa đa tạp Grassman 21 2.4 Một số cách xây dựng đa tạp Grassmann 21 2.5 Dạng tắc ngăn Schubert không gian xạ ảnh 25 2.6 Dạng tắc ngăn Schubert đa tạp Grassmann 30 KẾT LUẬN 36 TÀI LIỆU THAM KHẢO 37 MỞ ĐẦU Ta biết nhiều hình học xạ ảnh Về mặt tập hợp, không gian xạ ảnh tập tất đường thẳng không gian affine qua điểm tập hợp gọi bó đường thẳng Vậy không gian tất mặt phẳng qua điểm; hay tổng quát tập tất p-phẳng (p  2) không gian affine qua điểm không gian gì? Không gian tổng quát không gian Grassmann hay đa tạp Grassmann Đa tạp Grassmann có tính chất liên quan đến hình học nói chung, hình học đại số nói riêng? Với mong muốn hiểu biết tốt vấn đề vừa nêu nên hướng dẫn PGS.TS Nguyễn Huỳnh Phán, chọn đề tài: “ĐA TẠP GRASSMANN VỚI MỘT SỐ TÍNH CHẤT HÌNH HỌC VÀ TÍNH CHẤT HÌNH HỌC ĐẠI SỐ CỦA NÓ” Nội dung luận văn trình bày xếp theo hệ thống định nghĩa, khái niệm kèm với chứng minh chi tiết mệnh đề, định lý tính chất hình học tính chất hình học đại số đa tạp Grassmann với số cách xây dựng đa tạp Grassmann Luận văn gồm chương Chương 1: Các kiến thức chuẩn bị Chương 2: Đa tạp Grassmann với số tính chất hình học tính chất hình học đại số Luận văn thực Trường Đại học Đồng Tháp hướng dẫn thầy, PSG.TS Nguyễn Huỳnh Phán Tác giả xin tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy Nhân dịp này, tác giả xin cảm ơn thầy môn Hình học, Khoa Toán Trường Đại học Vinh nhiệt tình giảng dạy giúp đỡ tác giả suốt thời gian học tập Cuối cùng, xin cám ơn gia đình bạn bè lớp Cao học 19 Hình học cộng tác giúp đỡ tác giả suốt trình học tập nghiên cứu Đồng Tháp, ngày 31 tháng 08 năm 2013 Tác giả Huỳnh Đình Bảo Huy CHƯƠNG CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Chương trình bày số khái niệm, định nghĩa, tính chất liên quan chuẩn bị cho nội dung luận văn đa tạp khả vi,tác động nhóm tập hợp không gian quỹ đạo số kiến thức liên quan 1.1 ĐA TẠP KHẢ VI Trong mục trình bày lý thuyết đa tạp khả vi định nghĩa, ví dụ minh họa, số tính chất đa tạp khả vi có chứng minh chi tiết 1.1.1 Định nghĩa  Giả sử M T2 không gian Nếu U mở M U * tập mở R n  :U  U * đồng phôi  (U ,  ) gọi đồ M Với p U  ( p)  Rn , nên  ( p)   x1 , x2 , , xn  Khi  x1 , x2 , , xn  gọi tọa độ p (U ,  ) (U ,  ) gọi hệ tọa độ địa phương  Giả sử (U1 , 1 ) (U , 2 ) đồ M cho W  U1 U   Khi (U1 , 1 ) (U , 2 ) gọi phù hợp ánh xạ: 2 11 : 1 (U1 U )  2 (U1  U ) vi phôi ( song ánh khả vi hai chiều) Chú ý: Ta thấy U1 U   2 11 : W1  1 (W)  W2  2 (W) , (2 11 )1  1 21 2 11 gọi công thức đổi tọa độ từ (U1 , 1 ) sang (U , 2 ) điểm p  W Ta quy ước U1  U   (U1 , 1 ) (U , 2 ) phù hợp Ví dụ 1: Trong ta lấy M  S1   x; y  / x  y  1 Đặt U1   x; y   S1 / x  0  Và 1 :U1  U* ;   1 y ; y  y   1;1, U  1;1 1 y2 ; y  * y Khi (U1 , 1 ) đồ S Chứng minh * 1 song ánh:     Giả sử A  a ; a B  b2 ; b U1 cho 1 ( A)  1 ( B) Khi a  b A  B Vậy 1 đơn ánh Với y   1;1 , lấy X  1 y2 ; y  X U1 1  X   y Vậy 1 toàn ánh * 1 liên tục: điều hiển nhiên 1 phép chiếu 1 * 1 liên tục: Ta có 11 :U *  U1 x   x2 ; x 1 Vì hàm tọa độ 11 : x   x , 121 : x Do 1 đồng phôi Vậy (U1 , 1 ) đồ S x liên tục nên 11 liên tục Ví dụ 2: Trong ta lấy M  S   x; y  / x  y  1    * Đặt U   x; y   S / y  0  x;  x / x   1;1 ,U   1;1  x; 2 :U  U 2*  x2  x Khi U ;2  đồ M  S U1 ; 1  với U ; 2  phù hợp Chứng minh + Chứng minh tương tự ví dụ ta có U ;2  đồ S + Ta chứng minh U1;1  U ;2  phù hợp Thật vậy: W  U1 U   x; y   S / x  0, y  0 W1  1 (W)   0;1 , W2  2 (W)   0;1 1 Do f : 2 1 :  0;1   0;1 t  1 t2 Khi đó: f song ánh ' f hàm số khả vi f (t )  f 1 hàm số khả vi f 1 t 1 t2 , t   0;1 : (0;1)   0;1 x  x2 Vậy U1;1  U ;2  phù hợp 1.1.2 Định nghĩa  Giả sử Giả sử M T2 không gian A  { Ui ;i iI họ đồ M } A thỏa mãn: Ui  M i/ i I ii/ U i ;i  U j ; j  phù hợp, với i  j ta nói A Atlat M   Hai Atlat A  U i ;i iI  , B  V j ; j  jJ Ui ;i   gọi phù hợp V j ; j  phù hợp với i, j Nhận xét: Nếu A B hai Atlat phù hợp A  B Atlat 1.1.3 Định nghĩa  Nếu A Atlat cực đại M ( tức A không nằm Atlat nào) A gọi cấu trúc khả vi M  Một T2 - không gian M có cấu trúc khả vi gọi đa tạp khả vi n- chiều Nhận xét:  1 Atlat cực đại A gọi cấu trúc khả vi i  j vi phôi với i, j  Khi nói M đa tạp khả vi ta cần Atlat với số đồ để tính toán phép tính khả vi 2 Ví dụ 1: Lấy M  S   x; y  / x  y  1 Ta chứng minh U1;1  U ;2  hai đồ M    * Đặt U   x; y   S / x  0    y ; y / y   1;1 ,U   1;1 3 :U  U3*  1 y2 ; y  y U   x; y   S / y  0   x;  1 x  / x   1;1,U *   1;1 4 :U  U 4*  x;   x  x Tương tự, ta chứng minh U ;3  U ;4  hai đồ M Do U ;  i i i 1 Atlat M Vậy M  S đa tạp khả vi – chiều Nhận xét Cho M đa tạp n – chiều Ta thấy N tập mở M N đa tạp n – chiều Chứng minh Thật vậy, ta thường lấy Atlat N thu hẹp Atlat M N Giả sử M đa tạp m – chiều với tập đồ bảo hòa A  U i ;i iI N đa tạp n – chiều với tập đồ bảo hòa B  V j ;  j  jJ Ký hiệu fi j : U i V j  i (U i )   j (V j )  (a; b)  a1; ; am ; b1; ; bn  nm Khi U i  V j , fi j i j Atlat tập tích Đềcác M  N Vậy M  N đa tạp (m + n ) – chiều n Ví dụ 2: Xét GL(n, R) ={các tự đẳng cấu tuyến tính R } Khi GL(n, R) đa tạp khả vi n - chiều Chứng minh: Ta đồng Mat(n  n, R)  R n Xét ánh xạ det : Mat(n  n, R)  R A =  x ij   detA =   S (-1) sign x1i x 2i .x ni n n Ở phần tử (hay biến) X ti , t = 1, 2, …, n phần tử nằm hàng t, t cột it ma trận A Do đó, rõ ràng det A đa thức bậc n, n2 biến từ biến x11, x12,…, x1n, … biến xn1 , xn2, , xnn Sn nhóm tất song ánh (còn gọi phép thế) tập n số 1, 2, …, n (có n! song ánh vậy), sgn  dấu phép  Cho nên đó:  det ánh xạ (chính xác hàm số) khả vi 1 1  det (,0)  det (0, )  GL(n,R) suy GL(n,R) mở Rn Do GL(n,R) , đa tạp khả vi n2 - chiều 10 1.2 TÁC ĐỘNG CỦA MỘT NHÓM TRÊN MỘT TẬP HỢP VÀ KHÔNG GIAN QUỸ ĐẠO 1.2.1 Định nghĩa tác động nhóm tập hợp Cho G nhóm E tập hợp Ta nói phép toán trái G E nói nhóm G tác động trái tập hợp E có ánh xạ từ G  E vào E; (s, x ) s x thỏa mãn điều kiện sau: i) e x = x với x E ii) (s.t) x = s.(t x ) với t,s G x E Từ định nghĩa ta suy s-1 (s) x = x với x s, với s  G, ánh xạ x s x song ánh từ E vào E với ánh xạ ngược x s-1 x 1.2.2 Định nghĩa không gian quỹ đạo Mỗi x  E, tập G x = {s x ; s  G} gọi G - quỹ đạo quỹ đạo x ( phép toán G E) Tập S x = {s  G; s x = x } nhóm G, gọi ổn định tử x Ánh xạ s s x từ G lên G x phân tích thành P  G   G / S x   G.x Ở G / Sx lớp ghép trái s.S x theo nhóm S x ; p phép chiếu tắc ( p : s s S x )  song ánh (  : s S x G tác động trung thành E xE s x ) S x  e Ta nói G tác động tự E với x E S x  e Nói cách khác, x  E cho s.x = t.x  s = t Do tác động G, ta có quan hệ tương đương cảm sinh E cho x ~ y  s  G cho x  s y 23 2.4.4 Mệnh đề NVp, n tập đóng đại số Zariski không gian vectơ Rp x n gồm tất ma trận chữ nhật cấp p  n Chứng minh Vì  X1   2  Xi = X X =    NVp, n   i j    X , X  p X  (1) =  i , j (2) Nhưng điều kiện (1) (2) cho đa thức nhiều biến, nên NV p, n tập đóng đại số Zariski 2.4.5 Mệnh đề NVp, n tập compact R pn Chứng minh Điều kiện (1) Mệnh đề 2.4.4 nói lên X phần tử tích Đềcác p mặt cầu đơn vị không gian Rn – Cho nên NVp, n tập bị chặn theo Mệnh đề trên, NVp, n đóng nên compact Xét tác động nhóm trực giao O(p,R) NVp, n cho bởi: (T , X ) TX , T  O( p, R) , Nghĩa ta xem giống thu hẹp tác động GL(p, R) Vp, n Từ ta có không gian quỹ đạo NVp, n / O(p, R) 2.4.6 Mệnh đề Tác động O(p, R) NVp, n giải tích, tự Chứng minh Như phép chứng minh cho tác động GL(p, R) Vp, n Ví dụ: Khi p = 1, NV1, n mặt cầu n-1 chiều Rn 24 2.4.7 Mệnh đề Có tương ứng – không gian quỹ đạo Vp, n/ GL(p, R) NVp, n / O(p, R) Do NVp, n / O(p, R) đa tạp Grassmann Chứng minh Mỗi p - phẳng qua điểm O xác định một p -cơ sở trực chuẩn không gian vectơ (hay p - mục tiêu trực chuẩn nó) Và hai p -cơ sở trực chuẩn cho không gian vectơ nên có chiều p chúng quỹ đạo tác động nhóm trực giao O(p, R) NVp, n Do không gian Vp, n/ GL(p, R) NVp, n / O(p, R) song ánh với 2.4.8 Bây ta mô tả cấu trúc khả vi không gian quỹ đạo Gp,n  Vp ,n / GL( p, R) Ký hiệu Vn, p tập ma trận X cở n  p có hạng p GL(p,R) tác động Vn, p (X, T) XT Mỗi J = (Ii1, i2,…., ip) gồm p số nguyên tập I : = {1,2,3,…,n}, thỏa mãn  i1  i2   ip  n , ký hiệu Tj gồm ma trận X  Vn, p mà p hàng ứng với số J lập nên ma trận vuông p  p, ký hiệu Xj p( n  p ) n p khả nghịch Thế Tj mở R  vi phôi với GL(p,R)  R n Vn, p hợp   = n! / p! (n - p)! tập hợp Tj dạng Ta dùng p   Tj để mô tả đồ địa phương Gn,p Ký hiệu đa tạp quỹ đạo Vn, p / GL( p, R) Nếu  đồ thị tác động   (TJ  Vn, p ) đồ thị C  ánh xạ: ( X , T ) ( XXJ1T ) I \J từ TJ  GL( p, R) vào R p( n  p ) Do  đa tạp đóng Vn, p / GL( p, R) nên không gian quỹ đạo 25 Vn, p / GL( p, R) đa tạp khả vi Hơn ta có song ánh tắc không gian quỹ đạo lên Gn,p cho ( (S X ))  S. '( X ) ; lượt phép chiếu Vn, p / GL( p, R) lên Gn,p Vậy   từ   ' lần vi phôi Bây ký hiệu VJ = {X  TJ ; XJ =IP }; IP ma trận đơn vị cở p VJ vi phôi với  (TJ ) : U J  VJ đồng với R p( n p ) , nên ta có tập đồ Gn,p (U J ,  , p(n  p)) Nói , (TJ , TJ / GL( p, R),  ) phân thớ tầm thường đáy vi phôi với R p( n  p ) 2.5 Dạng tắc ngăn Schubert không gian xạ ảnh Trước trình bày kết tổng quát ngăn Schubert cho đa tạp Grassamann, ta đề cập kết tương tự không gian xạ ảnh Nhắc lại rằng, không gian xạ ảnh thực Pn xây dựng cách cho tập hợp R n1 \ 0 quan hệ tương đương “ ~ ” : X ~ Y tồn n 1 số thực   R  0 cho X  Y Pn không gian thương R \ ~ Nói cách khác, ta xét tác động giải tích nhóm Lie ( với phép nhân)  * số thực khác không R  R \ 0 C - đa tạp R n 1 \ 0 cho ( , X )   X , Pn không gian quỹ đạo tác động này; Pn  Rn \ 0 / R* phép chiếu tự nhiên Pr : R n1 \ 0  Pn cho X * {quỹ đạo X} =  X ,   R* R - phân thớ (phân thớ với nhóm cấu trúc R* ) Ký hiệu quỹ đạo X  X  Mỗi quỹ đạo gọi lớp 26 2.5.1 Mệnh đề Mỗi quỹ đạo [X] không gian R n1 \ 0 / R* chứa phần tử X k có dạng X k  {x1 , x2 , , xk ,1,0, ,0} Chứng minh Vì X  R n 1 \ 0 nên X  ( x1 , x2 , , xn1}   Giả sử xk+1 tọa độ khác không kể từ phải sang trái X Thế X ~ Xk   y1 , y2 , , yk ,1,0, ,0  với y1  Nói khác đi, X k  Để chứng x2 x1 xk , y2  ,…, yk  xk 1 xk 1 xk 1 X xk 1 minh tinh X k , ta giả sử X ~  X 'k   x1 , x2 , x 'k ,1, 0, ,  Thế tính bắc cầu quan hệ ~ suy X k ~ X 'k nghĩa X k   X 'k với   R* Nhưng tọa độ thứ k +1 X k X 'k nên   Vậy X k  X 'k 2.5.2 Định nghĩa: Ta gọi X k nói Mệnh đề 2.5.1 dạng tắc quỹ đạo (hay lớp)  X  Rõ ràng X k phụ thuộc vào k tham số tự x1 , x2 , , xk Mỗi số nguyên  k  n ta ký hiệu U  tập hợp gồm tất quỹ đạo  X  mà X có dạng tắc kiểu X k   x1 , x2 , , xk ,1, 0, ,  k 2.5.3 Mệnh đề: U k đa tập Pn đồng phôi với R ánh xạ f : X  Xk 27 Chứng minh: Theo Mệnh đề 2.5.1 , f song ánh Ta cần chứng minh f liên tục hai chiều Muốn vậy, ta ký hiệu Uk  { X  Rn1 \ 0 mà quỹ đạo  X  chứa phần tử dạng X k   x1 , x2 , , x k ,1,0, ,0  } U  {  u1 , , u k , uk 1 ,0, ,0  ; uk 1  0} Nên U k C  - đa tạp (k+1) – n 1 chiều R \ 0 bất biến tác động R* nghĩa X U k * X ~ Y ( X  Y ,   R ) Y U k , nên ta có biểu đồ giao hoán sau: g Rk Uk Pr f U k / R* : U k Với g :  u1 , , u k 1 , 0, 0, ,   u1 / uk 1, u / uk 1, , u n / uk 1  C  - ánh xạ f.Pr = g , nên f với C  - ánh xạ  * Cuối cùng, U k C - đa tạp (k+1) – chiều R - bất biến R n 1 \ 0 nên không gian thương U k  U k / R* C  - đa tạp Pn có * chiều dim U k - dim R   k  1   k 2.5.4 Định nghĩa Mỗi đa tạp U k không gian xạ ảnh Pn gọi ngăn k – chiều 28 2.5.5 Hệ quả: Pn  n k 1 U k U k rời nhau, khác rỗng Nói cách khác đi, họ U k ;1  k  n phân hoạch không gian xạ ảnh Pn Ký hiệu S1,n    , 1 ,   , ,  n  với thứ tự cho  a    b   a  b Thứ tự biến S1, n thành dàn (tức là, từ thứ tự này, với hai phần tử a, b tập hợp, ta xác định phần tử cận đúng, ký hiệu a  b xác định phần tử cận đúng, ký hiệu ,  thỏa mãn tiên đề: a  (a  b) = a a  (a  b) = a) a  b Thế hai phép toán cảm sinh Giao hoán, kết hợp lũy đẵng, tức là: Dàn S1, n gọi dàn Schubert Về sau ta đề cập đến dàn Schubert tổng quát Sp, n với p > Từ Hệ 2.5.5 ta có nhận xét sau 2.5.6 Nhận xét Tương ứng ngăn k – chiều Uk Pn với phần tử (k) dàn schubert S1,n song ánh Nhờ song ánh này, ta trình bày phương pháp để nghiên cứu tôpô không gian xạ ảnh Pn thay nghiên cứu trực tiếp nó, ta nghiên cứu dàn S1,n thông qua đặc trưng đại số S1,n để đưa kết luận tôpô Pn Cụ thể ta có kết sau 29 2.5.7 Định lý Ngăn U l thuộc bao đóng U k ( Pn ) ngăn U k   ( )  (k) dàn schubert ( S1,n , ) U1  U k  (l )  (k ) Vì vậy, ngăn Ul nằm hoàn toàn biên ngăn Uk l < k Chứng minh Giả sử U l  U k lớp [X ]  Ul Thế tồn dãy  X m   U k X m ]  [X ] cho lim[ n  Điều có nghĩa lớp X m   x1m , x2m , , xkm1 , 0, ,  U k [X] [Xm] có có đại đại diện diện là X   x1 , x2 , , x l ,0, ,0  U l  X m   X ( X m dần X) Nhưng X m X có dạng (chú ý rằng, tọa độ thứ lớn l đề không), nên rõ ràng l  k có nghĩa  l    k  dàn S1,n Ngược lại, giả sử  l    k  dàn S1,n , nghĩa l  k tồn dây chuyền  S1,n ,   có dạng  l    l  1   l  2    k  1   k  Do để chứng minh định lý, ta cần chứng minh cho trường hợp  l  có dạng  l    k  1 , nghĩa  l  nằm trước  k  dàn S1,n Vì trường hợp chứng minh ta có: U1  U l 1  U l    U k 1  U k Giả sử l  k 1  X  U l X   x1 , x2 , , xk 1 , xk , 0, ,   R n1 ; có xk  đại Ta diện lấy dãy 30 X   U t k  R n1 \ 0 có dạng   X t   x1 , x2 , , xk 1 , xk , , 0, ,  , t   t số tự nhiên Thế rõ ràng  X   U t k X  dần X t   Vì dãy quỹ đạo t dần quỹ đạo  X  U k 1  Pn Nghĩa U k 1  U k 2.5.8 Nhận xét Ý nghĩa Định lý 2.5.7 xác lập mối quan hệ topo không gian xạ ảnh Pn với dàn Schubert S1,n Nhờ mối quan hệ này, mà sử dụng dàn để nghiên cứu topo Pn 2.6 Dạng tắc ngăn Schubert đa tạp Grassmann Ký hiệu Sp, n = { a := (a1, a2,…, ap);  a1  a2 ……  ap  n-p; số nguyên không âm} Trên Sp, n định nghĩa thứ tự cho bởi: (a1, a2,…, ap)  (b1, b2,…, bp) :   bi với  i  p Thế Sp, n với thứ tự lập thành dàn, gọi dàn Schubert (xem Lê Thị Thu Hà [2]) Mỗi phần tử a gọi số Schubert     Nhắc lại rằng, a  a1 , a2 , , a p  a(1) , a(2) , , a( p )  S p,n , ngăn Schubert U a đa tạp G p , n gồm tất quỹ đạo ma trận X (a) có dạng sau 31  x11 x1a (1) 1    x x x x 21 2a (1)  a (1)  a (2)         xi1 xia (1) 1 xia (1) 1 xia (2) 1 xia ( i ) 1       x p1 x pa (1) 1 x pa (1) 1 x pa (2) 1 x pa (i ) 1 x pa ( i ) 1 x pa (p) 1 0    Chú ý rằng, ma trận X(a) này, số hàng i nằm cột thứ a(i) Những vị trí lại, không số không số thực tự x t l Vậy tương ứng số Schubert a S p ,n ngăn Schubert U a Grassmann G p ,n tương ứng với – dimU a  a1  a2   a p 2.6.1 Định lý Ký hiệu U a biên G p ,n U a Thế ngăn Ub  U a b  a dàn Schubert S p ,n Để chứng minh kết này, sử dụng Mệnh đề II.2.2 [2] tài liệu tham khảo: Nếu b  a dàn S p ,n tồn S p ,n phần tử x1 , x2 , , xr cho b  x1  x2   xr 1  xr  a xi 1 phần tử sau xi với i  1, 2, , r 1 32 Chứng minh Theo Mệnh đề II.2.2, ta cần chứng minh cho trường hợp a sau b Thật vậy, chứng minh trường hợp này, b  x(1)  x(2)   x(r )  a x(i 1) sau x(i ) nên ta có Ub  U (1)  U x (2)  U x (3)   U x ( r )  U a Vì a sau b   b1 , b2 , , bi 1 , bi , bi 2 , , bn  nên theo định lý 2.6.1, a có a   b1 , b2 , , bi 1 , bi  1, bi 2 , , bn    b(1) , b(2) , , b(i ) 1 , b( i )  1, b( i ) 2 , , bn  ; dạng bi 1  bi  Giả sử [X ]  Ub , [X ] có đại diện ma trận X có dạng:  x11 x1b (1) 1     x21 x2b (1) 1 x2b (1) 1 x2b (2) 1       xi1 xib (1) 1 xib (1) 1 xib (2) 1 xib ( i ) 1       x p1 x pb (1) 1 x pb (1) 1 x pb (2) 1 x pb (i ) 1 x pb (i ) 1 x pb (p)  p 1 0    Hãy ý tới hàng i ma trận Áp dụng phương pháp tương tự không gian xạ ảnh, hoàn toàn xây dựng dãy  X m  U a X m  X , hàng ma trận X m cho lim m 0 giống hàng X , trừ hàng thứ i Xn xây dựng trường hợp không gian xạ ảnh Do U b  U a dãy quỹ đạo U a  [X n ]  [X ]  U b , nghĩa U b  U a 33 Ngược lại giả sử U b  U a , nghĩa [X a ]  Ub giới hạn dãy [X n ] U a ; [X ] có đại diện [X ] , [X n ] có đại diện X n với dạng trên, mà  X m   X Suy bt  , với i , nghĩa b  a Định lý chứng minh Từ Định lý 2.6.1, ta nhận hệ sau: 2.6.2 Hệ  Ngăn Schubert đóng đa tạp Grassmann G p ,n ngăn ứng với phần tử cực tiểu ( ) dàn Schubert S p ,n ; ( )   0, 0, , 0  Ngăn Schubert mở trù mật G p ,n ngăn ứng với phần tử cực đại (1) dàn Schubert S p ,n ; (1)   n  p, n  p, , n  p  Chứng minh  Vì U ( )  U k ; k    Nhưng ( ) phần tử bé nhất, nên k  ( ) Do U ( )  U ( ) nghĩa U ( ) tập đóng Chú ý rằng, U ( ) gồm phần tử đại diện ma trận 1 0 0 .0     .   .0 .0   p n X ( ) có dạng 34  Vì U (1)  U a ; a  (1)  U a ; a  S p ,n   Gp ,n nên U (1) trù mật G p , n U (1) Chú ý, gồm tất quĩ đạo ma trận có dạng * * .0  * * 0        * * 0   pn * số thực Do dimU (1)  p(n  p)  dim Gp,n nên U (1) mở G p ,n Hệ chứng minh Nhắc lại rằng, ánh xạ r : S p ,n  N , r (a)  a1  a2   a p hàm hạng dàn S p ,n 2.6.3 Hệ   DimU a  r (a) Biên U a  U a \ U a ngăn U a hợp số ngăn U t với chiều U t thực bé chiều U a Chứng minh  Vì dimU a  a1  a2   a p  r (a)  Theo Định lý 2.6.1, ta có U a  U t ; t  a Mà t < a r (t )  r(a) nên dimU t  dim a 35 2.6.4 Chú ý Trái với trường hợp không gian xạ ảnh Pn , đa tạp Grassmann tổng quát Gp, n ; p >1, biên U a ngăn Schubert U a hợp tất ngăn có chiều bé thua chiều U a Thật vậy, lấy n = 5, p = dàn Schubert S5,5 chứa phần tử a  (0,0,0,0, 4) ; b  (0, 0, 0,1,3) ; c  (0, 0, 0, 2, 2) d  (0,0,1,1, 2) ; f  (0,1,1,1,1) ; g  (1,1,1,1,1) Và dimU a  dimUb  dimU c  dimU d  dimU f   dimU g  Nhưng, có U f  U g f < g dàn S p ,n phần tử a, b, c, d, f không so sánh với g Cho a, b  Sp, n Ta định nghĩa a  b = Sup { a, b} a  b = inf {a, b} Sup Inf tồn với a b 2.6.5 Mệnh đề Với a, b  S p ,n ta có:  U a  U a b U b  U a  b  U a b  U a  U b Chứng minh Vì a  a  b b  a  b nên ta có kết luận Lại a  b  a a  b  b nên ta có kết luận 36 KẾT LUẬN Những kết luận văn chủ yếu đạt là: Trình bày có hệ thống số khái niệm, định nghĩa, tính chất Đa tạp khả vi, tác động nhóm tập hợp không gian quỹ đạo Trình bày xếp theo hệ thống định nghĩa, khái niệm kèm với chứng minh chi tiết mệnh đề, định lý đa tạp Grassmann Phát biểu chứng minh số kết tính chất đại số đa tạp Grassmann tài liệu tham khảo Mệnh đề 2.2, Mệnh đề 2.4.4, Mệnh đề 2.4.5, Mệnh đề 2.4.6 Hướng phát triển: tiếp tục tìm tòi thêm tính chất hình học tính chất hình học đại số đa tạp Grassmann 37 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Văn Như Cương - Tạ Mân (2002), Hình học afin hình học Ơclit,NXB ĐHQG Hà Nội [2] Lê Thị Thu Hà (1998), Dàn Schubert số ứng dụng vào hình học topo, luận văn thạc sỹ Toán [3] Nguyễn Mộng Hy (2001), Hình học cao cấp, NXB Giáo dục [4] Nguyễn Huỳnh Phán (2012), Hình học nhóm phép biến đổi, giảng chuyên đề cho nghiên cứu sinh chuyên ngành hình học Topo, Viện nghiên cứu phát triển công nghệ [5] Nguyễn Huỳnh Phán - Trương Đức Hinh (1996), Phân thớ chính, giảng chuyên đề cao học, ĐHSP Vinh [6] Nguyễn Huỳnh Phán (2012) , Nhập môn hình học đại số, giảng chuyên đề cao học, Viện nghiên cứu phát triển công nghệ [7] Nguyễn Hữu Quang (2007), giảng đa tạp khả vi, Vinh [8] John W Milnor and James D Stasheff (1974), Characteristic Classes, Princeton Univesity and University of Tokyo [...]... với nền X/G Ký hiệu:  0 : X G (G / H )  X / G là phép chiếu Ta xây dựng vi phôi  : X G (G / H )  X / H sao cho sơ đồ sau giao hoán: X G (G / H ) u X/H  0 X/G 20 CHƯƠNG II ĐA TẠP GRASSMANN VỚI MỘT SỐ TÍNH CHẤT HÌNH HỌC VÀ TÍNH CHẤT HÌNH HỌC ĐẠI SỐ CỦA NÓ Trong chương này trình bày một số định nghĩa về đa tạp Stiefel, đa tạp Grassmann ; trình bày và chứng minh một số tính chất hình học và tính. .. kèm với chứng minh chi tiết mệnh đề, định lý về đa tạp Grassmann 3 Phát biểu và chứng minh một số kết quả về tính chất đại số của đa tạp Grassmann không có trong các tài liệu tham khảo như Mệnh đề 2.2, Mệnh đề 2.4.4, Mệnh đề 2.4.5, Mệnh đề 2.4.6 4 Hướng phát triển: tiếp tục tìm tòi thêm những tính chất hình học và tính chất hình học đại số của đa tạp Grassmann ... hình học và tính chất hình học đại số của nó Đây là một trong những nội dung chính của đề tài, nó bao gồm nhiều kết quả đã được đề cập trong các tài liệu tham khảo, nhưng hầu hết các chứng minh là do chúng tôi trình bày, sắp xếp theo cách hiểu của bản thân Ngoài ra, có một số kết quả, đặc biệt là những kết quả về tính chất hình học đại số của đa tạp Grassmann, đều do chúng tôi phát biểu và tự chứng minh,... nghĩa đa tạp Grassman Đa tạp Grassmann Gp, n là họ tất cả các p - phẳng cùng đi qua 1 điểm trong không gian afin Rn Khi p = 1, như ta đã biết, đó là không gian xạ ảnh Pn-1 Như vậy, khái niệm đa tạp Grassmann là sự tổng quát hóa khái niệm không gian xạ ảnh 2.4 Một số cách xây dựng của đa tạp Grassmann Trong mục này ta sẽ trình bày một số cách xây dựng đa tạp Grassmann 2.4.1 Ta xét một tác động của nhóm... và b  a  b nên ta có kết luận 1 Lại vì a  b  a và a  b  b nên ta có kết luận 2 36 KẾT LUẬN Những kết quả luận văn chủ yếu đạt được là: 1 Trình bày có hệ thống một số các khái niệm, định nghĩa, tính chất về Đa tạp khả vi, tác động của một nhóm trên một tập hợp và không gian quỹ đạo 2 Trình bày và sắp xếp theo một hệ thống định nghĩa, khái niệm kèm với chứng minh chi tiết mệnh đề, định lý về đa. .. trong ma trận X(a) này, số 1 trên hàng i luôn nằm ở cột thứ a(i) Những vị trí còn lại, nếu không là số không thì là một số thực tự do x t l nào đó Vậy tương ứng giữa một bộ chỉ số Schubert a của S p ,n và một ngăn Schubert U a của Grassmann G p ,n là tương ứng với 1 – 1 và dimU a  a1  a2   a p 2.6.1 Định lý Ký hiệu U a là biên trong G p ,n của U a Thế thì ngăn Ub  U a khi và chỉ khi b  a trong... Vp,n khi và chỉ khi mọi định thức p con cấp p của X đều triệt tiêu Mỗi ma trận X, có tất cả Cn định thức con cấp p như vậy, mà mỗi chúng, như đã nói ở Ví dụ 2, mục 1.1.3, Chương I, là một đa thức thuần nhất bậc p gồm p2 biến Như vậy, phần bù của Vp,n trong không gian ma trận R p n p là nghiệm của một họ Cn các đa thức Do đó nó là một tập đóng đại số Zariski, cho nên Vp, n là một tập mở Zariski với cấu... xạ và f.Pr = g , nên f với là C  - ánh xạ  * Cuối cùng, vì U k là C - đa tạp con (k+1) – chiều R - bất biến của R n 1 \ 0 nên không gian thương U k  U k / R* là C  - đa tạp con của Pn có * chiều bằng dim U k - dim R   k  1  1  k 2.5.4 Định nghĩa Mỗi đa tạp con U k của không gian xạ ảnh Pn gọi là một ngăn k – chiều 28 2.5.5 Hệ quả: Pn  n k 1 U k và các U k của là rời nhau, khác rỗng Nói... thường 1.2.6 Một số tính chất của phân thớ chính 1.2.6.1 Mệnh đề Cho G - phân thớ chính ( X , B,  ) và G còn tác động khả vi bên trái trên đa tạp F Khi đó G tác động tự do trên X  F bởi ( x, y).s (x.s,s1y) Với tác động này: i) Đa tạp quỹ đạo tồn tại, ký hiệu là X G F ii) Mỗi quỹ đạo Z  X G F , ký hiệu  F (Z) là phần tử của B bằng  (X) với mọi ( x, y)  Z Hơn nữa ( B G F , B,  F ) là một phân... O(p, R) cũng là một đa tạp Grassmann Chứng minh Mỗi p - phẳng đi qua điểm O được xác định bởi một một p -cơ sở trực chuẩn của không gian vectơ nền (hay cũng là p - mục tiêu trực chuẩn trong nó) Và hai p -cơ sở trực chuẩn cùng cho một không gian vectơ nên có chiều p khi và chỉ khi chúng cùng một quỹ đạo bởi tác động của nhóm trực giao O(p, R) trên NVp, n Do đó các không gian Vp, n/ GL(p, R) và NVp, n / ... II ĐA TẠP GRASSMANN VỚI MỘT SỐ TÍNH CHẤT HÌNH HỌC VÀ TÍNH CHẤT HÌNH HỌC ĐẠI SỐ CỦA NÓ Trong chương trình bày số định nghĩa đa tạp Stiefel, đa tạp Grassmann ; trình bày chứng minh số tính chất hình. .. lý tính chất hình học tính chất hình học đại số đa tạp Grassmann với số cách xây dựng đa tạp Grassmann Luận văn gồm chương Chương 1: Các kiến thức chuẩn bị Chương 2: Đa tạp Grassmann với số tính. .. Phán, chọn đề tài: ĐA TẠP GRASSMANN VỚI MỘT SỐ TÍNH CHẤT HÌNH HỌC VÀ TÍNH CHẤT HÌNH HỌC ĐẠI SỐ CỦA NÓ” Nội dung luận văn trình bày xếp theo hệ thống định nghĩa, khái niệm kèm với chứng minh chi