Chơng Các hàm số học Khi nghiên cứu số nguyên, ta thờng làm việc với đại lợng nh: số ớc số nguyên tố cho trớc, tổng ớc nó, tổng luỹ thừa bậc k ớc, Ngoài ví dụ có nhiều hàm số học quan trọng khác Trong chơng này, ta xét sơ qua vài hàm quan trọng Phần lớn chơng đợc giành cho hàm Euler, hàm số học quan trọng Đ1 Định nghĩa Định nghĩa 3.1 Hàm số học tức hàm xác định tập hợp số nguyên dơng Định nghĩa 3.2 Một hàm số học f đợc gọi nhân tính với n, m nguyên tố nhau, ta có f(mn)=f(m)f(n) Trong trờng hợp đẳng thức với m,n (không thiết nguyên tố nhau), hàm f đợc gọi nhân tính mạnh Những ví dụ đơn giản hàm nhân tính (mạnh) là: f(n)=n f(n)=1 Dễ chứng minh tính chất sau đây: f hàm nhân tính, n số nguyên dơng có khai triển thành thừa số nguyên tố dạng n=p1a1p2a2 pkak, f(n) đợc tính theo công thức f(n)=f(pa1)f(pa2) f(pak) Đ2 Phi hàm Euler Trong hàm số học, hàm Euler mà ta định nghĩa sau có vai trò quan trọng Định nghĩa 3.3 Phi- hàm Euler (n) hàm số học có giá trị n số số không vợt n nguyên tố với n Ví dụ Từ định nghĩa ta có: (1)=1, (2)=1, (3)=2, (4)=2, (5)=4, (6)=2, (7)=6, (8)=4 , (9)=6, (10)=4 Từ định nghĩa ta có hệ trực tiếp: Số p nguyên tố (p)=p-1 Nếu định lí Fermat bé cho ta công cụ nghiên cứu đồng d modulo số nguyên tố, Phi-hàm Euler đợc dùng để xét đồng d modulo hợp số Trớc vào vấn đề đó, ta cần số định nghĩa sau 39 Định nghĩa 3.4 Hệ thặng d thu gọn modulo n tập hợp (n) số nguyên cho phần tử tập hợp nguyên tố với n , hai phần tử đồng d với modulo n Nói cách khác từ hệ thặng d đầy đủ modolo n, để lập hệ thặng d thu gọn, ta giữ lại giá trị nguyên tố với n Ví dụ Các số 1,2,3,4,5,6 lập thành hệ thặng d thu gọn modulo Đối với modulo 8, ta lấy 1,3,5,7 Định lí 3.5 Nếu r1,r2, ,r ( n ) hệ thặng d thu gọn modulo n, a số nguyên dơng, (a,n)=1, tập hợp ar1,ar2, ,ar ( n ) hệ thặng d thu gọn modulo n Chúng dành chứng minh định lí cho độc giả Định lí đợc dùng để chứng minh mở rộng định lí Fermat bé Định lí Euler Nếu m số nguyên dơng a số nguyên tố với n a ( m) 1(mod m) Chứng minh Ta lập luận hoàn toàn tơng tự nh định lí Fermat bé Giả sử r1,r2, ,r ( m) modulo m, lập nên từ số nguyên dơng không vợt m nguyên tố với m Theo định lí 3.5, ar1,ar2, ,a r ( m) hệ thặng d thu gọn Khi thặng d dơng bé hệ tập hợp r1,r2, , r ( m) xếp theo thứ tự Ta có: ar1ar2 a r ( m) r1r2 r ( m) (mod m) Nh vậy, a ( m) r1,r2, ,r ( m) r1r2 r ( m) (mod m) Từ suy định lí Định lí Euler dùng để tìm nghịch đảo modulo m Chẳng hạn a m số nguyên tố nhau, ta có a.a ( m) 1(mod m), tức a ( m) nghịch đảo a modulo m Từ suy nghiệm phơng trình đồng d tuyến tính ax b(mod m), với (a,m)=1 x a ( m) b(mod m) Định lí 3.6 Phi hàm Euler hàm nhân tính Chứng minh Giả sử m, n hai số dơng nguyên tố Ta cần chứng tỏ (mn)= (m) (n) Ta xếp tất số nguyên dơng không vợt nm thành bảng sau: m+1 2m+1 (n-1)m+1 m+2 2m+2 (n-1)m+2 40 r m+r 2m+r (n-1)m+r m 2m 3m mn Giả sử r số nguyên không vợt m, (m,n)=d>1 Khi hàng thứ r số nguyên tố với mn Vì để tính (mn), ta cần quan tâm số hàng thứ r với (r,m)=1 Các số hàng nguyên tố với m Mặt khác dễ thấy số hàng lập thành hệ thặng d đầy đủ modulo n Do có (n) số hàng nguyên tố với n, tức hàng có (n) số nguyên tố với mn Cả thảy có (n) hàng nh vậy, định lí đợc chứng minh Nhờ tính chất ta có công thức Phi-hàm Euler Định lí 3.7 Giả sử n=p1a1p2a2 pkak phân tích n thành thừa số nguyên tố Khi ta có: (n)=n(1- 1 )(1 ) (1 ) p1 p2 pk Chứng minh Do Phi-hàm Euler hàm nhân tính nên ta cần chứng minh rằng, với số nguyên tố p, (pk)=pk-pk-1 Thật vậy, số nguyên dơng không vợt pk không nguyên tố với p phải có dạng sp với s nguyên dơng Có pk-1 số nh Do đó, số số không vợt pk nguyên tố với pk pk-pk-1 Tính chất quan trọng sau Phi-hàm thờng dợc sử dụng sau Định lí 3.8 Giả sử n số nguyên dơng Khi (d ) =n d |n tổng đợc lấy theo ớc n Chứng minh Ta phân số nguyên từ đến n thành nhóm Cd: m Cd (m,n)=d, tức (m/d, n/d)=1 Nh vậy, số phần tử Cd số số nguyên không vợt n/d nguyên tố với n/d, tức (n/d) Ta có n= (n / d ) d |n Khi d chạy qua ớc n n/d chạy qua ớc n: định lí đợc chứng minh Nhận xét Các tính chất Phi-hàm Euler đợc sử dụng để tính đồng d luỹ thừa lớn Chẳng hạn, ta cần tính an mod k, n số nguyên lớn Giả sử ta có 41 k= p1 p2 p s s Khi a ( pi i 1(mod pi i ) Nếu N bội chung nhỏ ( pi i ) aN 1(mod k) Do đó, viết n=Nq+r với r0 Khi số nguyên x nghiệm đồng d ax 1(mod m) x bội bậc a modulo n Chứng minh Giả sử x thoả mãn đồng d Ta viết x=q ordna+r, r0, ordna | (n) Hệ 3.22 Nếu a n số nguyên tố nhau, n>0, aj(mod n) i j(mod n) Chứng minh hệ đợc dành cho độc giả Do hệ 3.21, r n nguyên tố bậc r không vợt (n) Các số có bậc (n) giữ vai trò quan trọng nhiều vấn đề khác số học Ta có định nghĩa sau Định nghĩa 3.23 Nếu r n số nguyên tố nhau, n>0, ordnr = (n) r đợc gọi nguyên thuỷ modulo n Chú ý số có nguyên thuỷ Chẳng hạn, xét n=8 Các số nhỏ nguyên tố với 1, 3, 5, 7, đồng thời ta có ord81=1, bậc số lại 2, (8)=4 Vấn đề số nguyên có nguyên thuỷ đợc xét sau Định lí 3.24 Nếu r, n nguyên tố nhau, n>0, r nguyên thuỷ modulo n, số sau lập thành hệ thặng d thu gọn modulo n: r1,r2, ,r (n) Chứng minh Vì (r,n)=1, số nguyên tố với n Ta cần chứng tỏ rằng, hai số đồng d với modulo n Giả sử ri rj(mod n) Theo hệ 3.22, i j(mod (n)) Từ suy i=j, i, j không vợt (n) Định lí đợc chứng minh Định lí 3.25 Nếu ordma=t u số nguyên dơng, ordm(au)= t / (t,u) Chứng minh Đặt v=(t,u), t=t1v, u=u1v, s= ordm(au) Ta có (au)t =(au1v)t/v=(at)u1 1(mod m) Do đó, s|t1 Mặt khác, (au)s=aus 1(mod m) nên t|su Nh vậy, t1v | u1vs, đó, t1|u1s Vì (u1, t1)=1, ta có t1|s Cuối cùng, s|t1, t1|s nên s=t1=t/v=t/(t, u), chứng minh xong 45 Hệ 3.26 Giả sử r nguyên thủy modulo m, m số nguyên lớn Khi ru nguyên thủy modulo m (u, (m))=1 Thật vậy, ordmru=ord mr/(u, ordmr)= (m)/(u, (m)): hệ đợc chứng minh Định lí 3.27 Nếu số nguyên dơng m có nguyên thuỷ, có tất ( (m)) nguyên thuỷ không đồng d Thật vậy, r nguyên thuỷ r, r2, , r (m) hệ đầy đủ thặng d thu gọn modulo m Số nguyên thuỷ modulo m số số u thoả mãn (u, (m))=1, có ( (m)) số u nh Định lí đợc chứng minh Đ5 Sự tồn nguyên thuỷ Trong tiết này, ta xác định số nguyên có nguyên thuỷ Trớc tiên ta chứng minh số nguyên tố có nguyên thuỷ Để làm việc đó, ta cần vài kiến thức đồng d đa thức Giả sử f(x) đa thức với hệ số nguyên Số c đợc gọi nghiệm đa thức f(x) modulo m f(c) 0(mod m) Dễ thấy rằng, c nghiệm số đồng d với c modulo m nghiệm Đối với số nghiệm đa thức modulo số nguyên, ta có tính chất tơng tự nh số nghiệm đa thức Định lí Lagrange Giả sử f(x)=anxn+ +a1x+a0 đa thức với hệ số nguyên, n>o, đồng thời an / 0(mod p) Khi f(x) có nhiều n nghiệm modulo p không đồng d cặp Chứng minh Ta chứng minh qui nạp Khi n=1, định lí rõ ràng Giả sử định lí chứng minh với đa thức bậc n-1 có hệ số luỹ thừa cao không chia hết cho p, giả sử đa thức f(x) có n+1 nghiệm modulo p không đồng d cặp c0,c1, ,cn Ta có f(x)-f(c0)=(x-x0)g(x), g(x) đa thức bậc n-1 với hệ số cao an Vì với k, k n, ck-c0 / (mod p), f(ck)-f(c0)= (ck-c0)g(ck) 0(mod p), nên ck nghiệm g(x) modulo p: trái với giả thiết quy nạp Định lí đợc chứng minh Định lí 3.28 Giả sử p số nguyên tố d ớc p-1 Khi đa thức xd-1 có d nghiệm modulo p không đồng d cặp Chứng minh Thật vậy, giả sử p-1=de Ta có xp-1-1=(xd-1)g(x) Theo định lí Fermat bé, xp-1-1 có p-1 nghiệm modulo p không đồng d cặp Mặt khác, nghiệm phải nghiệm xd-1 g(x) Theo định lí Lagrange, g(x) có nhiều p-d-1 nghiệm không đồng d cặp, xd-1 phải có (p-1)-(p-d-1)=d nghiệm Lại theo định lí Lagrange, xd-1 có không d nghiệm, có d nghiệm modulo p không đồng d cặp Định lí dợc chứng minh 46 Định lí đợc sử dụng chơng xây dựng trờng hữu hạn Định lí 3.29 Giả sử p số nguyên tố, d ớc dơng p-1 Khi đó, số số nguyên không đồng d bậc d modulo p (d) Chứng minh Giả sử F(d) số số nguyên dơng bậc d modulo p bé p Ta cần chứng tỏ F(d)= (d) Vì (d)=p-1 nên d|p-1, từ ta có p-1= F (d ) d | p Mặt khác ta có: p-1= (d ) d | p theo công thức Phi-hàm Nh định lí đợc chứng minh ta chứng tỏ đợc F(d) (d) d|p-1 Khi F(d)=0, điều nói tầm thờng Giả sử F(d) 0, tức tồn số nguyên a bậc d modulo p Khi đó, số nguyên a, a2, ,ad không đồng d modulo p Rõ ràng rằng, luỹ thừa a nghiệm xd-1 0(mod p), mà số nghiệm không đồng d d, nên nghiệm modulo p đồng d với luỹ thừa a Do đó, phần tử tuỳ ý bậc d nghiệm phơng trình xd-1 0(mod p) nên phải đồng d với luỹ thừa a Mặt khác, theo định lí 3.24, luỹ thừa k a có bậc d (k,d)=1 Có (d) số k nh vậy, suy F(d) ) (d), định lí đợc chứng minh Hệ 3.30 Mọi số nguyên tố có nguyên thuỷ Thật vậy, giả sử p số nguyên tố Khi có (p-1) số nguyên bậc p-1 modulo p (Định lí 3.28) không đồng d cặp Theo định nghĩa, số nguyên thuỷ: p có (p-1) nguyên thuỷ Phần lại chơng đợc giành để tìm tất số nguyên dơng có nguyên thuỷ Định lí 3.31 Nếu p số nguyên tố lẻ với nguyên thuỷ r, r, r+p nguyên thuỷ modulo p2 Chứng minh Vì r nguyên thuỷ modulo p nên ta có ordpr= (d)=p-1 Giả sử n= ord p r Ta có rn 1(mod p2), rn 1(mod p) Nh vậy, bậc p-1 r ớc n Mặt khác, n bậc r modulo p2 nên n ớc (p2)=p(p-1) Vì n|p(p-1) p-1|n nên dễ dàng suy rằng, n=p-1, n=p(p-1) Nếu n=p(p-1) r nguyên thuỷ modulo p2, ord p2 r= (p2) Trong trờng hợp lại, n=p-1, ta có rp-1 1(mod p2) Đặt s=r+p Cần phải chứng minh s nguyên thuỷ modulo p2 Vì s r(mod p), s nguyên thuỷ 47 modulo p Nh vậy, theo chứng minh ord p2 s p-1, p(p-1) Ta chứng tỏ rằng, bậc p-1 Ta có sp-1=(r+p)p-1 rp-1+(p-1)prp-2(mod p2) 1+(p-1)prp-2 1-prp-2(mod p2) Từ ta thấy rằng, sp-1 / 1(mod p2) Thật vậy, ngợc lại prp2 p-2 0(mod p ), nên r 0(mod p) Điều có, p /| r r nguyên thuỷ modulo p Nh ord p2 s=p(p-1)= (p2), tức s=r+p nguyên thuỷ modulo p2 Bây ta xét luỹ thừa tuỳ ý số nguyên tố Định lý 3.32 Giả sử p số nguyên tố lẻ, pk có nguyên thuỷ với số nguyên dơng k Hơn nữa, n nguyên thuỷ modulo p2 r nguyên thuỷ modulo pk với số ngyên dơng k Chứng minh Từ Định lí 3.31, p có nguyên thuỷ r cho nguyên thuỷ modulo p2, rp-1 / (mod p2) Ta chứng minh r nguyên thuỷ modulo pk với số nguyên dơng k Bằng quy nạp thấy rp k ( p 1) / (mod pk) (*) với số nguyên dơng k Giả sử n= ord p k r Ta có n | (pk)=pk-1(p-1) Mặt khác rn / (mod pk), rn / (mod p) Do p-1= (p) |n (Định lí 3.30) Vì (p-1) |n n|pk-1(p-1) nên n=pt(p-1), t số nguyên dơng t k-1 Nếu n=pt(p-1) với t k-2 rp k ( p 1) t = (r p ( p 1) ) p k t (mod p k ) , mâu thuẫn Vậy ord p k r =pk-1(p-1)= (pk), r nguyên thuỷcủa pk Chứng minh (*): k=2: Giả sử (*) với số nguyên dơng k Khi rp k ( p 1) / (mod p k ) Vì (r,p)=1, ta thấy (r,pk-1)=1 Do đó, từ Định lí Euler ta có rp k ( p 1) r( p Vậy tồn số nguyên d cho 48 k ) rp p /| d, theo giả thiết r p k k ( p 1) ( p 1) =1+dpk-1, / (mod p k ) Ta lấy luỹ thừa bậc p hai vế phơng trình nhận đợc rp k ( p 1) p = (1 + dp k ) p = + p(dp k ) + p (dp k ) + + (dp k ) p + dp k (mod p k +1 ) Vì p /| d nên ta có rp k ( p 1) / (mod p k +1 ) , chứng minh xong Ví dụ: r=3 nguyên thuỷ modulo 7k với số nguyên dơng k Định lí 3.33: Nếu số nguyên dơng n luỹ thừa số nguyên tố hai lần luỹ thừa số nguyên tố, n nguyên thuỷ Chứng minh Giả sử n số nguyên dơng với phân tích thừa số nguyên tố nh sau t t t n = p1 p2 pm m Giả sử n có nguyên thuỷ r, tức (n,r)=1 ordnr= (n) Vì (r,n)=1 nên (r,pt)=1 pt luỹ thừa nguyên tố có mặt phân tích Theo Định lý Euler, t r ( p ) (mod p t ) Giả sử U bội chung nhỏ ( p1 ), ( p2 ), , ( pm m ), t t t U=[ ( p1 ), ( p2 ), , ( pm m ) ] t t t Vì ( pi i ) | U nên t t rU 1(mod pi i ) Với I=1, 2, , m Do ordnr= (n) U Mặt khác, (n)= ( p1t p2 t pmt ) = ( p1t ) ( p2 t ) ( pmt ) m m Từ ta có ( p1t ) ( p2 t ) ( pmt ) [ ( p1 t ), ( p2 t ), , ( pm t ) ], m 49 m Tức ( p1 t1 ), ( p2 t2 ), , ( pm tm ) phải nguyên tố đôi Do (pt)=pt-1(p-1) nên (pt) chẵn p lẻ, p=2 t Vậy, số ( p1t ), ( p2 t ), , ( pm t ) không nguyên tố cặp, trừ trờng hợp m m=1 (và n luỹ thừa số nguyên tố), m=2 n=2pt, p số nguyên tố lẻ t số nguyên dơng Định lí 3.34: Nếu p số nguyên tố lẻ t số nguyên dơng, 2pt có nguyên thuỷ Cụ thể là, r nguyên thuỷ modulo pt r, (tơng ứng, r+pt), nguyên thuỷ modulo 2pt r lẻ, (tơng ứng, r chẵn) Chứng minh: Giả sử r nguyên thuỷ modulo pt, t r ( p ) (mod p t ) , luỹ thừa nhỏ (pt) thoả mãn đồng d Do (2pt)= (2) (pt)= (pt) nên t r ( p ) (mod p t ) Khi r lẻ, t r ( p ) (mod 2) t Từ ta có r ( p ) (mod p t ) Vì luỹ thừa bé r thoả mãn đồng d nên r nguyên thuỷ 2pt Khi r chẵn, r+pt lẻ Do đó, t (r + p t ) ( p ) (mod 2) Vì r+pt r (mod pt) nên t (r + pt ) ( p ) (mod p t ) Do t (r + pt ) ( p ) (mod p t ) , luỹ thừa bé (r+pt) thoả mãn đồng d, ta suy r+pt nguyên thuỷ modulo 2pt Định lí 3.35: Nếu a số nguyên lẻ, k số nguyên a (2 k )/2 = a2 k (mod 2k) Chứng minh Ta chứng minh quy nạp Giả sử a số nguyên lẻ, a=2b+1.Ta có a2=4b(b+1)+1 Vì b b+1 chẵn nên | 4b(b+1)+1, tức a2 (mod 8) 50 Nh vậy, định lí k=3 Giả sử a2 k (mod 2k) Khi tồn số nguyên d cho a2 k =1+d.2k Từ ta có: k a =1+d.2k+1+d2.22k, tức a2 k (mod 2k+1) Từ định lí ta suy rằng, luỹ thừa 2k với k nguyên thuỷ Nh vậy, luỹ thừa có có nguyên thuỷ Kết hợp điều với Định lí 3.32, 3.33, 3.34, ta có định lí sau Định lí 3.36: Số nguyên dơng n có nguyên thuỷ n=2, 4, pt, 2pt, p số nguyên tố lẻ, t số nguyên dơng 51 Bài tập tính toán thực hành chơng I Bài tập 3.1 Hàm Mửbius đợc định nghĩa nh sau: (n)=(-1)k, n không chia hết cho số phơng khác 1, k số ớc nguyên tố n; (1)=1, (n)=0 n có ớc số phơng khác Chứng minh rằng, với n>1, (d ) =0 d |n 3.2 (Biến đổi ngợc Mửbius ) Cho f(n) hàm số học Đặt F(n)= f (d ) d |n Chứng minh rằng: 1) f(n)= (d ) F(n/d) d |n 2) Nếu f hàm nhân tính F hàm nhân tính 3.3 Dùng biến đổi ngợc Mửbius công thức n= (n/d), chứng minh d |n 1) (pk)=pk-pk-1 với p số nguyên tố 2) (n) hàm nhân tính 3.4 Cho hàm nhân tính hàm Mửbius Chứng minh rằng, ớc nguyên tố n p1,p2, pk (d ) (d)=(1- (p ))(1- (p )) (1- (p )) k d |n (nếu n=1, ta xem vế phải 1) 3.5 Hàm k(n) (tổng luỹ thừa bậc k ớc số n) đợc định nghĩa nh sau: k(n)= d k d |n 1) Cho công thức tính k(p) với p số nguyên tố 2) Tính k(ps) s số nguyên dơng 3) Chứng minh k(n) hàm nhân tính 52 4) Từ cho công thức tính k(n) n= p1 p2 ps s 3.6 Tìm tất số tự nhiên n thoả mãn (n)+ (n)=2n 3.7 Chứng minh n hợp số (n)>n+ (n) 3.8 Chứng minh hai số nguyên có tích ớc số khác hai số nguyên khác 3.9.Tính đồng d sau nhiều phơng pháp khác (chẳng hạn phơng pháp bình phơng liên tiếp nhờ nhận xét cuối Đ2): 31000000mod 165 51234567mod 221 71000000000mod541 3.10 Chứng minh 91 số giả nguyên tố sở nhng không giả nguyên tố Euler sở 3, không số giả nguyên tố sở 3.11 Cho f(n) hàm nhân tính giới nội Chứng minh tổng f ( n) / n s hội tụ tuyệt đối nửa mặt phẳng Re s>1 (trong Re kí hiệu phần thực số), tổng miền hội tụ tích vô hạn hội tụ sau (1 + f ( p) p s + + f ( p m ) p ms + ) , pP (tích đợc lấy tập hợp tất số nguyên tố) 3.12 Chứng minh rằng, f hàm nhân tính mạnh giới nội f ( n) / n n =1 s s pP f ( p) / p = 3.13 Chứng minh đẳng thức sau Zeta-hàm Riemann: s p P p ( s) = / n s = n =1 3.14 Chứng minh n 2,4,p ,2 p , p số nguyên tố lẻ a ( n )/ 1(mod n) 3.15 Chứng minh n chia hết cho 24 (n) chia hết cho 24 53 3.17 a) Chứng minh p,q số nguyên tố lẻ khác n=pq số giả nguyên tố sở ordq2|p-1, ordp2|q-1 b) Trong số sau đây, số số giả nguyên tố sở 2: 871, 1378, 2047, 2813 3.18 Chứng minh p,q số nguyên tố lẻ khác n=pq số giả nguyên tố sở MpMq=(2p-1)(2q-1) số giả nguyên tố sở 3.19 a) Chứng minh đa thức f(x) bậc n, hệ số nguyên, có n nghiệm modulo p hệ số f(x) chia hết cho p b) Cho p số nguyên tố Chứng minh hệ số đa thức f(x)=(x-1)(x-2) (x-p+1)-xp-1-x+1 chia hết cho p c) Dùng câu b) để chứng minh định lí Wilson 3.20 Tìm tất số tự nhiên n cho: (n)=12, 18, 24, 48, 52, 84 3.21 Chứng minh với k>1, phơng trình (n)=k có vô số nghiệm 3.22 Tìm n nhỏ để (n)=1, 2, 3, 6, 14, 100 3.23 Tìm nguyên thuỷ modulo: 112 , 17 2, 132, 192, 3k, 13k, 11k, 17k 3.24 Chứng minh m có nguyên thuỷ đồng d x2 1(mod m) có nghiệm x= 1(mod m) 3.25 Chứng minh không tồn nguyên thuỷ 2k, k 3, số nguyên lẻ đồng d với số nguyên dạng ( 1) , =0 1, số nguyên thoả mãn o k 3.26 Giả sử n số có nguyên thuỷ Chứng minh tích số nguyên dơng nhỏ n nguyên tố với n đồng d (-1) modulo n (khi n số nguyên tố, ta có định lí Wilson) 3.27 Tìm tất nghiệm đồng d sau: a) x2+x+1 0(mod 7) b) x2+5x+1 0(mod 7) c) x2+3x+1 0(mod 7) II Thực hành tính toán máy tính II Tính Phi-hàm Euler Để tính Phi-hàm Euler số nguyên dơng n ta thực dòng lệnh nh sau: [> phi(n); 54 Sau dấu (;) ấn phím Enter hình kết Thí dụ: Tính Phi-hàm Euler 65 [> phi(65); 48 II Thực hành tìm số biết phi-hàm Euler Để tìm số biết Phi-hàm Euler k ta thực dòng lệnh sau: [>invphi(k); Sau dấu (;) ấn phím Enter hình số cần tìm Thí dụ: Tìm số biết Phi-hàm Euler Ta thực nh sau: [> invphi(4); [5, 8, 10, 12] Vậy số có Phi-hàm Euler 5, 8, 10, 12 II Thực hành kiểm tra số nguyên tố Mersenne Cho m số nguyên dơng, đặt Mm:=2m-1 Để kiểm tra xem Mm có phải số nguyên tố Mersenne hay không ta thực dòng lệnh nh sau: [> mersenne(m); Sau dấu (;) ấn phím Enter Nếu hình xuất kết số Mm số nguyên tố Mersenne Mm số Nếu không hình xuất chữ false Thí dụ 1: M7 có phải số nguyên tố Mersenne hay không? Ta thực dòng lệnh nh sau: [> mersenne(7); 127 Vậy M7=127 số nguyên tố Mersenne Thí dụ 2: M125 có phải số nguyên tố Mersenne hay không? [> mersenne(125); false Vậy M125 số nguyên tố Mersenne 55 Thí dụ 3: M11 có phải số nguyên tố Mersenne hay không? [> mersenne(11); false Vậy M11 số nguyên tố Mersenne II Tính bậc số theo modulo Cho m số nguyên dơng, n số nguyên Để tính bậc n modulo m ta thực dòng lệnh nh sau: [>order(n,m); Sau dấu (;) ấn phím Enter Nếu m, n số nguyên tố hình xuất kết bậc n theo modulo m Nếu m, n không nguyên tố hình xuất chữ FAIL Thí dụ 1: Tính bậc 13 theo modulo 100 [> order(13,100); 20 Vậy ord10013=20 Thí dụ 2: Tính bậc theo modulo [>order(5,8); Vậy ord85 =2 Thí dụ 3: Tính bậc theo modulo 12 [> order(8,12); FAIL II Tìm nguyên thuỷ Cho n số nguyên lớn Để tìm nguyên thuỷ modulo n ta thực dòng lệnh nh sau: [> primroot(n); Sau dấu (;) ấn phím Enter Nếu hình kết số số nguyên thuỷ modulo n Nếu hình chữ FAIL n nguyên thuỷ Thí dụ 1: Tìm nguyên thuỷ modulo 41 [> primroot(41); Vậy nguyên thuỷ modulo 41 56 Thí dụ 2: Tìm nguyên thuỷ modulo 15 [> primroot(15); FAIL Vậy 15 nguyên thuỷ Để tìm nguyên thuỷ modulo n lớn g ta thực dòng lệnh sau: [> primroot(g,n); Sau dấu (;) ấn phím Enter Nếu hình kết số số nguyên thuỷ lớn g modulo n Nếu hình chữ FAIL n nguyên thuỷ Chú ý, g=0 hai lệnh nh Thí dụ 1: Tìm nguyên thuỷ lớn modulo 41 [> primroot(7,41); 11 Vậy 11 nguyên thuỷ lớn modulo 41 Thí dụ 2: Tìm nguyên thuỷ lớn modulo [> primroot(2,8); FAIL Vậy nguyên thuỷ lớn II Thực hành tính hàm (n) Để tính giá trị hàm (n) n ta thực dòng lệnh nh sau: [> tau(n); Sau dấu (;) ấn phím Enter hình kết Thí dụ 1: Tính (-9) [> tau(-9); Thí dụ 2: Tính (100) [> tau(100); Vậy số ớc dơng 100 II Thực hành tính hàm (n) Để tính giá trị hàm (n) n ta thực dòng lệnh nh sau: [>sigma(n); 57 Sau dấu (;) ấn phím Enter hình kết Thí dụ: Tính (9) [>sigma(9); 13 Vậy tổng ớc dơng 13 II Thực hành tính đồng d thức, giải phơng trình đồng d Để tính đồng d a theo modulo n ta thực dòng lệnh nh sau: [> a mod n; Sau dấu (;) ấn phím Enter hình kết Thí dụ: Tính 51234567 mod 221 [> 5&^1234567 mod 221; 112 Để giải phơng trình đồng d ta thực dòng lệnh nh sau: [>msolve (các phơng trình, modulo); Sau dấu (;) ấn phím Enter, phơng trình đồng d có nghiệm hình kết Thí dụ: Tìm nghiệm đồng d sau: x2+x+1 (mod 7) [>msolve(x^2+x+1=0,7); x=4, x=2 Vậy nghiệm phơng trình x=2, x=4(mod 7) 58 [...]... là các số nguyên tố lẻ khác nhau thì n=pq là số giả nguyên tố cơ sở 2 khi và chỉ khi ordq2|p-1, ordp2|q-1 b) Trong các số sau đây, số nào là số giả nguyên tố cơ sở 2: 871, 1378, 2047, 2813 3.18 Chứng minh rằng nếu p,q là các số nguyên tố lẻ khác nhau thì n=pq là số giả nguyên tố cơ sở 2 khi và chỉ khi MpMq=(2p-1)(2q-1) là số giả nguyên tố cơ sở 2 3.19 a) Chứng minh rằng nếu đa thức f(x) bậc n, hệ số. .. Tính Phi -hàm Euler Để tính Phi -hàm Euler của một số nguyên dơng n ta thực hiện dòng lệnh nh sau: [> phi(n); 54 Sau dấu (;) ấn phím Enter màn hình sẽ hiện ra kết quả Thí dụ: Tính Phi -hàm Euler của 65 [> phi(65); 48 II 2 Thực hành tìm các số khi biết phi -hàm Euler của nó Để tìm các số khi biết Phi -hàm Euler k ta thực hiện dòng lệnh sau: [>invphi(k); Sau dấu (;) ấn phím Enter màn hình sẽ hiện ra các số cần... tố 2) Tính k(ps) khi s là số nguyên dơng 3) Chứng minh rằng k(n) là hàm nhân tính 52 4) Từ đó cho công thức tính k(n) khi n= p1 1 p2 2 ps s 3.6 Tìm tất cả các số tự nhiên n thoả mãn (n)+ (n)=2n 3.7 Chứng minh rằng n là một hợp số khi và chỉ khi (n)>n+ (n) 3.8 Chứng minh rằng nếu hai số nguyên có tích các ớc số khác nhau thì hai số nguyên đó khác nhau 3.9.Tính các đồng d sau đây bằng nhiều... suy ra rằng, các luỹ thừa 2k với k 3 không có căn nguyên thuỷ Nh vậy, trong các luỹ thừa của 2 chỉ có 2 và 4 là có căn nguyên thuỷ Kết hợp điều này với các Định lí 3.32, 3.33, 3.34, ta có định lí sau đây Định lí 3.36: Số nguyên dơng n có căn nguyên thuỷ khi và chỉ khi n=2, 4, pt, 2pt, trong đó p là số nguyên tố lẻ, t là số nguyên dơng 51 Bài tập và tính toán thực hành chơng 3 I Bài tập 3.1 Hàm Mửbius... à (n)=(-1)k, nếu n không chia hết cho số chính phơng nào khác 1, và k là số các ớc nguyên tố của n; à (1)=1, à (n)=0 khi n có ớc là số chính phơng khác 1 Chứng minh rằng, với mọi n>1, à (d ) =0 d |n 3.2 (Biến đổi ngợc Mửbius ) Cho f(n) là một hàm số học Đặt F(n)= f (d ) d |n Chứng minh rằng: 1) f(n)= à (d ) F(n/d) d |n 2) Nếu f là hàm nhân tính thì F cũng là hàm nhân tính 3.3 Dùng biến đổi ngợc... (pk)=pk-pk-1 với p là số nguyên tố 2) (n) là hàm nhân tính 3.4 Cho là hàm nhân tính và à là hàm Mửbius Chứng minh rằng, nếu các ớc nguyên tố của n là p1,p2, pk thì à (d ) (d)=(1- (p ))(1- (p )) (1- (p )) 1 2 k d |n (nếu n=1, ta xem vế phải là 1) 3.5 Hàm k(n) (tổng luỹ thừa bậc k của các ớc số của n) đợc định nghĩa nh sau: k(n)= d k d |n 1) Cho công thức tính k(p) với p là số nguyên tố 2) Tính... Sau dấu (;) ấn phím Enter màn hình sẽ hiện ra các số cần tìm Thí dụ: Tìm các số khi biết Phi -hàm Euler của nó là 4 Ta thực hiện nh sau: [> invphi(4); [5, 8, 10, 12] Vậy các số có Phi -hàm Euler bằng 4 là 5, 8, 10, 12 II 3 Thực hành kiểm tra số nguyên tố Mersenne Cho m là một số nguyên dơng, đặt Mm:=2m-1 Để kiểm tra xem Mm có phải là số nguyên tố Mersenne hay không ta thực hiện dòng lệnh nh sau: [> mersenne(m);... tồn tại căn nguyên thuỷ 2k, k 3, mỗi số nguyên lẻ đồng d với đúng một số nguyên dạng ( 1) 5 , trong đó =0 hoặc 1, là số nguyên thoả mãn o 2 k 2 1 3.26 Giả sử n là một số có căn nguyên thuỷ Chứng minh rằng tích của các số nguyên dơng nhỏ hơn n và nguyên tố cùng nhau với n đồng d (-1) modulo n (khi n là số nguyên tố, ta có định lí Wilson) 3.27 Tìm tất cả các nghiệm của đồng d sau: a) x2+x+1... với mọi số nguyên dơng k Định lí 3.33: Nếu số nguyên dơng n không phải là luỹ thừa của một số nguyên tố hoặc hai lần luỹ thừa một số nguyên tố, thì n không có căn nguyên thuỷ Chứng minh Giả sử n là số nguyên dơng với phân tích ra thừa số nguyên tố nh sau t t t n = p1 1 p2 2 pm m Giả sử n có căn nguyên thuỷ r, tức là (n,r)=1 và ordnr= (n) Vì (r,n)=1 nên (r,pt)=1 trong đó pt là một trong các luỹ thừa... Do (pt)=pt-1(p-1) nên (pt) chẵn nếu p lẻ, hoặc nếu p=2 và t 2 Vậy, các số ( p1t ), ( p2 t ), , ( pm t ) không nguyên tố cùng nhau từng cặp, trừ trờng hợp 1 2 m m=1 (và do đó n là luỹ thừa của số nguyên tố), hoặc m=2 và n=2pt, trong đó p là số nguyên tố lẻ và t là số nguyên dơng Định lí 3.34: Nếu p là số nguyên tố lẻ và t là số nguyên dơng, thì 2pt có căn nguyên thuỷ Cụ thể là, nếu r là căn nguyên