ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Vũ Duy Thắng CÁC MÔ HÌNH CHUỖI THỜI GIAN TÀI CHÍNH LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội - 2011 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Vũ Duy Thắng CÁC MÔ HÌNH CHUỖI THỜI GIAN TÀI CHÍNH Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất thống kê toán học Mã số: 60.46.15 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Trần Hùng Thao Hà Nội - 2011 Lời mở đầu Phân tích dự báo giá tài sản tài cổ phiếu, trái phiếu, tỷ giá chủ đề thu hút nhiều quan tâm chuyên gia, nhà đầu tư, nhà khoa học Chính tầm quan trọng mà có nhiều nhà nghiên cứu dành công sức cho lĩnh vực với nhiều phương pháp phân tích khác Cho đến kể đến hai phương pháp phân tích quen thuộc với hầu hết nhà đầu tư phân tích kĩ thuật (Technical analysic) phân tích (Fundamental analysic) Bên cạnh hai phương pháp có phương pháp phân tích định lượng thông qua mô hình toán học Dự báo thị trường phương pháp phân tích định lượng sử dụng phổ biến giới Hầu hết quỹ đầu tư,quỹ phòng hộ (Hedge fund) phòng giao dịch (Trading desk) ngân hàng đầu tư có hệ thống giao dịch tự động phương pháp định lượng (Quantitative trading) Hiệu phương pháp chứng minh nhiều thị trường Lí hiệu phương pháp tín hiệu đưa khách quan dựa tiêu chí thống kê từ mô hình Do giảm thiểu sai sót cảm xúc người Phương pháp phân tích định lượng giả định mối liên hệ yếu tố thiết lập khứ có ảnh hưởng, lặp lại tương lai Hay nói cách khác, phương pháp dựa liệu từ khứ để phát chiều hướng vận động chúng tương lai theo quy luật Phổ biến sử dụng chuỗi thời gian (Time series analysis) sử dụng phân tích nhân Ngoài ra, người ta sử dụng phương pháp phức tạp Mạng thần kinh(Neural network) Trong phạm vi đề tài để cập đến mô hình chuỗi thời gian thị trường tài Các mô hình chuỗi thời gian nhằm để dự báo giá trị tương lai tài sản tài dựa phân tích số liệu khứ Do với phương pháp điều kiện quan trọng chuỗi thời gian cần có tính ổn định thể tính dừng Luận văn chia làm ba chương: Chương I: Trình bày khái niệm phương trình sai phân, toán tử trễ, chuỗi thời gian dừng, kỳ vọng điều kiện martingale làm sở cho i chương sau Chương II: Trình bày số mô hình chuỗi thời gian dừng không dừng MA, AR, ARMA, ARIMA Chương III: Trình bày mô hình dự báo rủi ro ARCH, GARCH mô hình cải tiến IGARCH, TGARCH, EGARCH ứng dụng thực tế phân tích tỷ giá Đây phần luận văn Qua xin bày tỏ biết ơn sâu sắc tới PGS.TS.Trần Hùng Thao người tận tình giảng giải hướng dẫn suốt trình làm luận văn Tôi xin cảm ơn thày cô tổ môn khoa Toán –Cơ-Tin trường Đại Học Khoa Học Tự Nhiên-Đại Học Quốc Gia Hà Nội giúp suốt trình học tập cao học, cảm ơn công ty tư vấn đầu tư MHT http://www.mhtgold.com mà hợp tác năm qua giúp phần cung cấp số liệu, xin cảm ơn gia đình, bạn bè, đồng nghiệp động viên giúp đỡ suốt trình học làm luận văn Hà Nội, tháng 12 năm 2011 Vũ Duy Thắng ii Bảng ký hiệu ACF:Hàm tự tương quan ADF:Thống kê kiểm định Dickey-Fuller AIC:Tiêu chuẩn thông tin Akaike AR:Quá trình tự hồi quy ARMA:Quá trình trung bình trượt tự hồi quy ARIMA:Quá trình ARMA tích hợp ARCH:Mô hình phương sai có điều kiện sai số thay đổi tự hồi quy BIC:Tiêu chuẩn thông tin Bayes tiêu chuẩn Schwartz GDP:Tổng sản phẩm quốc nội IID:Độc lập phân bố MA:Quá trình trung bình trượt MSE:Sai số dự báo bình phương trung bình MLE:Ước lượng hợp lí cực đại PACF:Hàm tự tương quan riêng RMSE:Căn bậc hai MSE GARCH:Mô hình ARCH tổng quát EGARCH:Mô hình GARCH dạng mũ TGARCH:Mô hình GARCH đồng tích hợp iii Mục lục Kiến thức chuẩn bị 1.1 Chuỗi thời gian toán tử trễ 1.1.1 Chuỗi thời gian 1.1.2 Chuỗi dừng 1.1.3 Toán tử trễ(Lag operator) 1.2 Phương trình sai phân 1.2.1 Sai phân 1.2.2 Phương trình sai phân 1.2.3 Phương trình sai phân cấp 1.2.4 Phương trình sai phân cấp p 1.3 Kỳ vọng điều kiện martingale 1.3.1 Không gian xác suất lọc 1.3.2 Kỳ vọng điều kiện 1.3.3 Martingale Các mô hình chuỗi thời gian tuyến tính 2.1 Quá trình trung bình trượt 2.1.1 Quá trình trung bình trượt MA(1) 2.1.2 Quá trình trung bình trượt bậc q- MA(q) 2.1.3 Quá trình trung bình trượt vô hạn MA (∞) 2.2 Quá trình tự hồi quy AR(Autoregressive) 2.2.1 Quá trình tự hồi quy cấp AR(1) 2.2.2 Quá trình tự hồi quy cấp p AR(p) 2.2.3 Xác định bậc AR(p) PACF 2.2.4 Ước lượng tham số trình AR(p) 2.2.5 Quá trình trung bình trượt tự hồi quy ARMA(p,q) 2.2.6 Dự báo 2.2.7 Kiểm định iv 1 1 3 4 10 10 11 14 14 14 15 16 16 16 20 21 22 25 26 29 Các mô hình phi tuyến Gauss có điều kiện ứng dụng 3.1 Rủi ro 3.2 Cấu trúc mô hình 3.3 Mô hình ARCH(p) 3.3.1 Mô hình ARCH(1) 3.3.2 Mối liên hệ ARCH(p) AR(p) 3.3.3 Ước lượng mô hình ARCH(p) 3.3.4 Kiểm định hiệu ứng ARCH 3.3.5 Dự báo 3.3.6 Mô hình AR(1)/ARCH(1) 3.3.7 Đánh giá mô hình ARCH(p) 3.4 Mô hình GARCH(p,q) 3.4.1 Dạng mô hình 3.4.2 Mối liên hệ GARCH ARMA 3.4.3 Mô hình GARCH(1,1) 3.4.4 Dự báo phương sai 3.5 Các mô hình GARCH khác 3.5.1 Mô hình TGARCH(Threshold) 3.5.2 Mô hình EGARCH 3.6 Ứng dụng Tài liệu tham khảo 37 38 38 39 39 41 43 43 44 45 48 48 48 49 50 52 54 54 54 57 66 v Chương Kiến thức chuẩn bị Mục đích chương trình bày kiến thức phương trình sai phân, toán tử trễ, chuỗi dừng, toán tử kì vọng điều kiện Martingale sử dụng chương sau nghiên cứu mô hình chuỗi thời gian MA, ARMA, ARIMA 1.1 Chuỗi thời gian toán tử trễ 1.1.1 Chuỗi thời gian Chuỗi thời gian dãy quan sát biến số theo thời gian Mẫu quan sát xem đoạn hữu hạn chuỗi vô hạn quan sát (yt )+∞ −∞ = ( y−1 , y0 , y1 , y2 yn , ) Ví dụ: Chuỗi nhiễu trắng Gauss(white noise) εt ∼ N 0; σ với εt độc lập phân phối 1.1.2 Chuỗi dừng Chuỗi dừng khái niệm quan trọng phân tích chuỗi thời gian Nó chia làm hai loại dừng yếu (weakly stationarity) dừng chặt (strict stationarity) 1.1.2.1 Chuỗi dừng chặt Chuỗi yt gọi dừng chặt với giá trị tùy ý j1 , j2 jn phân bố đồng thời yt , yt+ j1 , , yt+ jn phụ thuộc vào khoảng j1 , j2 jn mà không phụ thuộc vào thời gian t 1.1.2.2 Chuỗi dừng yếu Chuỗi thời gian yt gọi dừng yếu Eyt = µ ∀t V aryt = σ 2∀t (1.1) cov (yt ; yt−k ) = γk ∀t Như với chuỗi dừng yếu kì vọng,phương sai hệ số tương quan trình yt không phụ thuộc vào thời gian Ngược lại chuỗi thời gian gọi không dừng không thỏa mãn ba điều kiện Trong phạm vi đề tài đặc biệt tính dừng hiểu dừng yếu 1.1.2.3 Nhận xét + Một chuỗi dừng chặt với moment bậc hữu hạn dừng yếu song điều ngược lại không +Như chuỗi dừng yếu giá trị trung bình, phương sai, hiệp phương sai độ trễ khác giống không cần biết ta đo lường chúng thời điểm Một chuỗi liệu có xu hướng trở giá trị trung bình dao động xung quanh giá trị trung bình(đo phương sai) giống Câu hỏi chuỗi thời gian dừng lại quan trọng vậy? Vì sở dự báo chuỗi thời gian giả định xu hướng vận động liệu khứ trì cho giai đoạn tương lai Do đó,dữ liệu cần có tính ổn định thể tính dừng Theo Gujarati(2003) cho chuỗi thời gian không dừng nghiên cứu hành vi khoảng thời gian xét mà Nghĩa khái quát cho giai đoạn khác,không thể dự báo điều cho tương lai thân liệu thay đổi, tất ngẫu nhiên Một ví dụ tiếng cho chuỗi không dừng bước ngẫu nhiên(Random walk) đề cập chương sau 1.1.3 Toán tử trễ(Lag operator) Toán tử trễ công cụ hữu hiệu nghiên cứu chuỗi thời gian Các phương trình sai phân mô hình chuỗi thời gian trình bày quán công cụ Giả sử có chuỗi thời gian (xt )+∞ −∞ ta định nghĩa toán tử trễ sau: Lxt = xt−1 L2 xt = L (Lxt ) = xt−2 (1.2) Lk xt = xt−k Từ định nghĩa (1.2) dễ dàng nhận thấy toán tử trễ L có tính chất sau đây: a)Tuyến tính L (xt + wt ) = L (xt ) + L (wt ) = xt−1 + wt−1 L (β xt ) = β L (xt ) = β xt−1 b)Nếu (xt )+∞ −∞ = (c) thì: Lxt = xt−1 = c α + β L + θ L2 c = (α + β + θ ) c 1.2 Phương trình sai phân 1.2.1 Sai phân Với quỹ đạo y = y(t) phụ thuộc liên tục vào t vi phân hàm số xác định thông qua đạo hàm Tuy nhiên,khi t biến thiên rời rạc t=1,2,3 n khái niệm đạo hàm vi phân ý nghĩa Trong trường hợp người ta dùng khái niệm sai phân Sai phân cấp ∆yt = yt − yt−1 (1.3) Sai phân cấp n ∆nyt = ∆ ∆n−1 yt (1.4) EGARCH(p;q) có dạng log σt2 p = α0 + ∑ βi log σt−i + i=1 q ∑ αj j=1 ut− j ut− j +γj σt− j σt− j (3.33) Như hệ số vế phải không cần điều kiện không âm (α +γ )u Hơn nữa,từ phương trình ut− j > đóng góp lượng j σt−j j t− j vào log σt2 Còn ut− j < đóng góp lượng (γ j −α j )ut− j σt− j vào log σt2 3.5.2.2 Mô hình EGARCH dạng Một dạng khác EGARCH Nelson(1991) mô tả sau ut = σt εt Đặt hàm g (εt ) = θ εt + γ [|εt | − E |εt |] (3.34) Với θ , γ số thực Do εt |εt | − E |εt | biến ngẫu nhiên có kì vọng từ (3.34) ta có Eg (εt ) = Sự bất cân xứng g (εt ) thấy từ việc viết lại sau   (θ + γ ) ε − γ E |ε | (ε ≥ 0) t t t g (εt ) = (3.35)  (θ − γ ) εt − γ E |εt | (εt < 0) Chú ý εt ∼ N (0; 1) E |εt | = hàm mật độ f (εt ) = E |εt | = π Γ( v+1 ) √ Γ( 2v ) (v−2)π εt ∼ δ (v) với v bậc tự v+1 εt2 − (v > 2) + v−2 √ v−2Γ( v+1 ) v √ (v−1)Γ( ) π Mô hình EGARCH(p;q) mô tả ut = σt εt log σt2 = α0 + 1+β1 L+ +βq−1 Lq−1 1−α1 L− −α p L p g (εt−1 ) 55 (3.36) Với α0 số, L toán tử trễ Lg (εt ) = g (εt−1 ) Các đa thức toán tử + β1L + + βq−1Lq−1 − α1L − − α p L p có nghiệm nằm đường tròn đơn vị nhân tử chung a)Mô hình EGARCH(1;1) ut = σt εt (3.37) log σt2 = α0 + 1−1α1 L g (εt−1 ) ⇔ (1 − α1L) log σt2 = α0 (1 − α1L) + g (εt−1 ) Giả sử thêm εt ∼ N (0; 1) E |εt | = α0 (1 − α1) + (γ + θ ) εt−1 − γ π -Nếu εt−1 ≥ (1 − α1L) log σt2 = π -Nếu εt−1 < (1 − α1L) log σt2 = α0 (1 − α1) + (θ − γ ) εt−1 − γ Đặt α∗ = α0 (1 − α1) − γ ta viết thành   α + (γ + θ ) ε (ε ≥ 0) ∗ t−1 t−1 (1 − α1L) log σt =  α∗ + (θ − γ ) ε (ε < 0) π t−1 t−1 b)Dự báo EGARCH(1;1) (1 − α1L) log σt2 = α0 (1 − α1L) + g (εt−1 ) + g (ε ⇔ log σt2 = α0 (1 − α1) + α1 log σt−1 t−1 ) g (εt−1) = θ εt−1 + γ |εt−1 | − π Suy 2α1 exp [α0 (1 − α1)] exp [g (εt−1 )] σt2 = σt−1 g (εt−1 ) = θ εt−1 + γ |εt−1 | − π Giả sử h thời điểm ban đầu biết Dự báo thời điểm h+1 = σ 2α1 exp [α (1 − α )] exp [g (ε )] σh+1 h h Với σh , εh biết ,dự báo thời điểm h+2 Đặt σh2 (1) = σh+1 = σ 2α1 exp [α (1 − α )] exp [g (ε Từ σh+2 h+1 )] h+1 Lấy kì vọng có điều kiện với σ -trường ℑh ta 56 π σh2 (2) = σh2α1 (1) exp [α0 (1 − α1)] E [exp (g (εh+1 )) |ℑh ] Mặt khác E [exp g (ε )] = +∞ −∞ exp θ ε + γ |ε | − +∞ = exp −γ = exp −γ π e (θ + γ )2 = exp −γ π e (θ + γ )2 2 ε √1 e(θ +γ )ε e− 2π π f (ε ) d ε π ε √1 e(θ −γ )ε e− d ε −∞ 2π +∞ (θ −γ )2 [(θ +γ )−ε ]2 [(θ −γ )−ε ]2 √1 e− √1 e− 2 dε + e dε 2π −∞ 2π Φ (θ + γ ) + e dε + (θ −γ )2 Φ (γ − θ ) Trong f (ε ) Φ hàm mật độ phân phối xác suất biến ngẫu nhiên chuẩn ε ∼ N (0; 1) Vì σh2 (2) = σh2α1 (1) exp α0 (1 − α1) − γ π exp (θ +2γ ) Φ (θ + γ ) + exp (θ −2γ ) Φ (γ − θ ) 2 Tương tự σh2 ( j) = σh2α1 ( j − 1) exp α0 (1 − α1) − γ π exp (θ +γ )2 Φ (θ + γ ) + exp (θ −γ )2 Φ (γ − θ ) 3.6 Ứng dụng Phần trình bày ứng dụng mô hình ARCH, GARCH, TGARCH việc phân tích cách hoàn chỉnh lựa chọn mô hình phù hợp dự báo chuỗi lợi suất số SPX thị trường chứng khoán Mỹ từ 02/1/1990 đến 31/12/1999 57 Đồ thị chuỗi lợi suất Hình 3.1: Đồ thị chuỗi lợi suất Lược đồ tự tương quan chuỗi lợi suất Hình 3.2: Lược đồ tự tương quan Nhìn vào lược đồ tự tương quan ta thấy chuỗi dừng Kiểm định ADF Thống kê |T | = 49.37636 lớn nhiều so với giá trị mức ý nghĩa 1%, 5%, 10% Do chuỗi dừng 58 Hình 3.3: Kiểm định ADF Bước 1:Lựa chọn dạng mô hình phù hợp cho phương trình suất sinh lợi trung bình Nhìn vào lược đồ tự tương quan ta thấy mô hình AR(1), MA(1), ARMA(0,0) phù hợp với liệu Để chọn mô hình phù hợp nhất, ta ước lượng ba mô hình so sánh, đánh giá, lựa chọn mô hình tốt dựa tiêu chí Tiêu chuẩn thông tin Akaike(AIC), tiêu chuẩn Schwarz(SBC), bậc hai sai số dự báo bình phương trung bình(RMSE), ý nghĩa thống kê hệ số hồi quy Ước lượng ba mô hình ta Hình 3.4: Ước lượng MA1 59 Hình 3.5: Ước lượng AR1 Trong ba mô hình ta thấy ARMA(0,0) phù hợp hai mô hình lại Hình 3.6: Ước lượng ARMA hệ số hồi quy ý nghĩa thống kê Bước 2:Kiểm định ảnh hưởng ARCH chọn mô hình thích hợp Sau chọn mô hình ARMA ta vào Residual tests chọn kiểm định ảnh hưởng ARCH Với ARCH(1) ta thấy thống kê F = 123.2670 lớn nhiều so với giá trị bình phương bậc tự mức ý nghĩa 1% Ta tra giá trị qua bảng hàm CHIINV(0.001,1)=6.64 Excel, nên có ảnh hưởng ARCH(1) Tiếp tục tăng độ trễ lên 2, ,4 ta thấy ARCH(3), ARCH(4), ARCH(5) có hệ số ý nghĩa thống kê ARCH(6) có hệ số hồi quy mang 60 Hình 3.7: Kiểm định ảnh hưởng ARCH(1) dấu âm Hình 3.8: Kiểm định ảnh hưởng ARCH(3) Như ta cần so sánh ARCH(1) ARCH(2) Ước lượng hai mô hình ta được: 61 Hình 3.9: Kiểm định ảnh hưởng ARCH(6) Hình 3.10: Ước lượng ARCH(1) Ta chọn mô hình ARCH(2) cho ta ước lượng phương sai nhẵn Phương trình ước lượng theo mô hình ARCH(2) rt = 0.000679 + et + 0.219541e2 σt2 = 5.21.10−5 + 0.124948et−1 t−2 Bước 3:ARCH(2) hay GARCH(1,1) Việc sử dụng ARCH có nhiều độ trễ có hạn chế ảnh hưởng đến kết ước lượng giảm đáng kể số bậc tự mô hình, điều nghiêm trọng với chuỗi thời gian ngắn ví dụ giá cổ phiếu lưu hành thị trường Trong trường hợp ta nên dùng mô hình GARCH Tiếp tục ước lượng GARCH(1,1) ta 62 Hình 3.11: Ước lượng ARCH(2) Hình 3.12: Ước lượng mô hình GARCH(1,1) Phương trình ước lượng rt = 0.000598 + et + 0.93994σ σt2 = 5.83.10−7 + 0.053332et−1 t−1 63 Bước 4:Kiểm tra hiệu ứng bất cân xứng:GARCH(1,1) hay TGARCH(1,1) Ta muốn biết ảnh hưởng tin tốt, xấu có tác động đến lợi suất hay không Ước lượng TGARCH(1,1) cách chọn ô Threshold order ta Phương trình ước lượng Hình 3.13: Ước lượng TGARCH(1,1) rt = 0.000458 + et + 0.085922d 2 σt2 = 1.01.10−6 + 0.016215.et−1 t−1.et−1 + 0.927825σt−1 Điều có nghĩa tin xấu đóng góp lượng 0.102137 vào σt2 tin tốt đóng góp lượng 0.016215 Hệ số hồi quy biến tương tác có ý nghĩa cao chứng tỏ có khác biệt đáng kể ảnh hưởng tin tốt, xấu lên số SPX 64 Kết Luận Chuỗi thời gian tài công cụ thống kê mạnh để phân tích mô hình tài Luận văn đề cập đến mô hình chuỗi thời gian tài phát triển mạnh thời gian gần ứng dụng thực tế phân tích biến số kinh tế GDP dự báo lợi suất, rủi ro phân tích tỷ giá, cổ phiếu Các đóng góp luận văn bao gồm: 1.Ước lượng tham số cho trình AR(1) thể mệnh đề 2.2.4 chương 2.Ứng dụng mô hình ARIMA phân tích,dự báo GDP Mỹ tính theo năm gốc 2005 3.Ước lượng tham số cho mô hình AR(1)/ARCH(1) tích hợp thể mệnh đề 3.3.6 chương ứng dụng phân tích, lựa chọn mô hình ARCH, GARCH phù hợp để dự báo suất sinh lợi phương sai số SPX thị trường chứng khoán Mỹ Luận văn mở rộng thời gian tới theo hướng kết hợp với lí thuyết cực trị EVT-Extreme Value Theory mà tác giả tiếp cận Hội thảo quốc tế Toán Tài Chính Hải Phòng tháng 10/2011 Trong thời gian thực luận văn,dù cố gắng thời gian khả có hạn nên luận văn có sai sót định Rất mong nhận đóng góp thày cô bạn đọc để luận văn hoàn chỉnh 65 Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Quang Dong (2010) Phân Tích Chuỗi Thời Gian Trong Tài Chính, NXB Khoa Học Và Kỹ Thuật [2] Đào Hữu Hồ-Nguyễn Văn Hữu-Hoàng Hữu Như (2004) Thống Kê Toán Học, NXB Đại Học Quốc Gia Hà Nội [3] Nguyễn Văn Hữu-Nguyễn Hữu Dư (2003) Phân Tích Thống Kê Và Dự Báo, NXB Đại Học Quốc Gia Hà Nội [4] Nguyễn Trọng Hoài-Phùng Thanh Bình-Nguyễn Khánh Duy (2009) Dự Báo Và Phân Tích Dữ Liệu Trong Kinh Tế Và Tài Chính, NXB Thống Kê [5] Nguyễn Văn Ngọc(2010) Lí Thuyết Chung Về Thị Trường Tài Chính,Ngân Hàng Và Chính Sách Tiền Tệ, NXB Đại Học Kinh Tế Quốc Dân [6] Nguyễn Duy Tiến-Vũ Viết Yên(2009) Lí Thuyết Xác Suất,NXB Giáo Dục [7] Trần Hùng Thao (2009) Nhập Môn Toán Học Tài Chính, NXB Khoa Học Và Kỹ Thuật Tiếng anh [8] Albert N.Shiryaev (1999) Essentials Of Stochastic Finance Facts,Models,Theory, World Scientific Publishing Co.Pte.Ltd [9] Damien Lamberton and Bernard Lapeyer(1998) Introduction To Stochastic Calculus Applied To Finance, NXB Mc Graw-Hill, New York, Hoa Kỳ 66 [10] James D.Hamilton (2004) Time Series Analysis, NXB Princeton [11] Paul Embrechts-T.Mikosh(1996) Modelling Extremal Events For Insurance And Finance, NXB Springer-Verlag [12] Ruey S.Tsay(2005) Analysis Of Financial Time Series,NXB John Wiley and Sons,Inc,New Jersey 67 Phụ lục 1)Dự báo suất sinh lợi phương sai có điều kiện số SPX mô hình ARCH(2) Phương trình ước lượng rt = 0.000679 + et + 0.219541e2 σt2 = 5.21.10−5 + 0.124948et−1 t−2 -Để dự báo cho giai đoạn t+1 ta cần thông tin et , et−1 Để lấy số liệu phần dư ta vào Proc/Make residual series Sau tạo giá trị bình phương phần dư -Ta có bảng sau dự báo cho ngày sau: Hình 3.14: Dự báo mô hình ARCH(2) Như lợi suất cho ngày rt = 0.000679 với phương sai σt2 = 5.29.10−5 Hoặc lợi suất tăng lên 0.068% với độ lệch chuẩn 7.27% 68 2)Dự báo suất sinh lợi phương sai có điều kiện số SPX mô hình GARCH(1,1) Phương trình ước lượng rt = 0.000598 + et + 0.93994σ σt2 = 5.83.10−7 + 0.053332et−1 t−1 Bảng dự báo Hình 3.15: Bảng dự báo mô hình GARCH(1,1) Như lợi suất cho ngày rt = 0.000598 với phương sai σt2 = 6.22.10−5 Hoặc lợi suất tăng lên 0.06% với độ lệch chuẩn 7.8% vào ngày 1/1/2000 Kết nhiều khác biệt với mô hình ARCH(2) 69 [...]... mô hình, xác định các tham số p,d,q -Ước lượng các tham số -Kiểm định Ý nghĩa của mô hình ARIMA trong tài chính Thông thường các chuỗi dữ liệu kinh tế và tài chính như GDP, CPI, GNP, giá cổ phiếu đều là các chuỗi không dừng, có yếu tố xu thế Chính vì vậy để tạo ra chuỗi dừng ta phải khử yếu tố xu thế trong các chuỗi dữ liệu gốc thông qua quy trình lấy sai phân hoặc lợi nhuận logarit Từ việc dự báo chuỗi. .. (1.23) Chương 2 Các mô hình chuỗi thời gian tuyến tính Mục đích chương này nhằm giới thiệu các mô hình chuỗi thời gian tuyến tính tiêu biểu như quá trình trung bình trượt MA, các quá trình tự hồi quy AR, hồi quy tích hợp ARMA và mô hình ARIMA cùng ứng dụng của nó vào phân tích và dự báo biến số kinh tế vĩ mô 2.1 Quá trình trung bình trượt 2.1.1 Quá trình trung bình trượt MA(1) Quá trình MA(1) mô tả quá trình... và các kết quả cơ bản nhằm mục đích sử dụng ở chương 3 trong phân tích các mô hình rủi ro như ARCH, GARCH 9 1.3.1 Không gian xác suất được lọc Cho (Ω, ℑ, P) là không gian xác suất Một họ σ -trường con ℑt ⊂ ℑ được gọi là bộ lọc nếu nó thỏa mãn i) Nó là một họ tăng tức là ℑs ⊂ ℑt (s < t) ℑt+ε ii) Họ đó liên tục phải tức là ℑt = ε >0 iii) Mọi tập P-bỏ qua được A ∈ ℑ đều được chứa trong ℑ0 Một không gian. .. Cn là các hằng số Phương trình sai phân gọi là otonom nếu nó không chứa biến thời gian t dưới dạng hiện yt+n = f (yt ; yt+1 yt+n−1 ) (1.6) 1.2.3 Phương trình sai phân cấp 1 Phương trình sai phân cấp 1 mô tả mối quan hệ tuyến tính của yt (giá trị của biến số y nào đó thay đổi theo thời gian tại thời điểm t) theo biến trễ ở thời kì trước đó yt−1 và biến đầu vào (input variable) wt yt = ϕ yt−1 + wt Trong... = ϕ1 + θ1; ψ2 = ϕ1 (ϕ1 + θ1) ; ψ3 = ϕ12 (ϕ1 + θ1) Do ϕ (L) = ϕ0 + θ (L) ut nên tính dừng của quá trình ARMA chỉ phụ thuộc vào các tham số ϕi i = 1, p mà không phụ thuộc vào các tham số θi i = 1, q Chú ý: Ta nói chuỗi thời gian khả nghịch nếu ta có thể tái hiện các ut qua các giá trị hiện tại và quá khứ yt , yt−1 Ví dụ MA(1) là khả nghịch, AR(p) là khả nghịch 25 2.2.6 Dự báo 2.2.6.1 Dự báo quá trình... ϕ L)−1 wt = 1 + ϕ L + ϕ 2L2 + wt = wt + ϕ wt−1 + ϕ 2wt−2 + Điều kiện |ϕ | < 1 chính là đảm bảo cho chuỗi yt là dừng Điều này sẽ được trình bày kĩ hơn ở mô hình AR(1) chương 2 1.2.4 Phương trình sai phân cấp p Phương trình sai phân bậc p mô tả mối quan hệ tuyến tính của yt theo p biến trễ của chính nó và giá trị hiện thời của biến đầu vào wt yt = ϕ1 yt−1 + ϕ2yt−2 + + ϕ pyt−p + wt (1.9) Dạng vecto... θ1ut−k−1 + + θqut−k−q Vậy với bất kì các giá trị của θ1 ; θ2 θq thì giá trị trung bình, phương sai và hệ số tương quan của yt đều không phụ thuộc vào thời gian Do đó MA(q) cũng là quá trình dừng 15 2.1.3 Quá trình trung bình trượt vô hạn MA (∞) Quá trình trung bình trượt vô hạn có dạng: +∞ yt = µ + ∑ ψk ut−k (2.7) k=0 +∞ Điều kiện để chuỗi dừng là chuỗi ∑ ψk2 < +∞ k=0 Khi chuỗi dừng ta có Eyt = µ V aryt... ut ) Ta có Eyt = Ey0 = const nhưng varyt = t σ 2 phụ thuộc vào thời gian t nên bước ngẫu nhiên không phải là chuỗi dừng Hơn nữa γ1 = cov (yt ; yt−1 ) = cov (yt−1 + ut ; yt−1 ) = cov(yt−1 ; yt−1 ) = varyt−1 = (t − 1) σ 2 ⇒ γk = cov (yt ; yt−k ) = (t − k) σ 2 ⇒ ACF(k) = γk varyt = t−k t ACF(k) cũng phụ thuộc thời gian t,nó không phải là chuỗi dừng ACF(k) sẽ không có xu hướng giảm về 0 khi độ trễ k tăng... ℑt = σ (Xs )s≤t Theo lí thuyết trò chơi nếu coi Xt là số vốn ở thời điểm t,ℑt = σ (Xs )s≤t là thông tin tích lũy đến thời điểm t thì trò chơi thiệt hại nếu nó là martingale trên, trò chơi có lợi nếu nó là martingale dưới và công bằng nếu nó là martingale Các kết quả chính của martingale là các bất đẳng thức và định lý hội tụ, nhất là các định lý của Doob 1.3.3.2 Hiệu martingale(Martingale difference)... tuyến tính của giá trị xuất phát y−1 và các giá trị quá khứ của w Ảnh hưởng của w0 đến yt là ∂ yt = ϕt ∂ w0 Tương tự yt+ j = ϕ j+1yt−1 + ϕ j wt + ϕ j−1wt+1 + + wt+j Ảnh hưởng của wt đến yt là ∂ yt+ j (1.8) =ϕj ∂ wt Nhân tử này gọi là nhân tử động (dynamic multiplier) Nó chỉ phụ thuộc vào j là độ dài khoảng thời gian từ t đến t+j chứ không phụ thuộc vào thời gian t là thời điểm quan sát Kết luận này đúng ... trễ, chuỗi dừng, toán tử kì vọng điều kiện Martingale sử dụng chương sau nghiên cứu mô hình chuỗi thời gian MA, ARMA, ARIMA 1.1 Chuỗi thời gian toán tử trễ 1.1.1 Chuỗi thời gian Chuỗi thời gian. .. chuỗi thời gian thị trường tài Các mô hình chuỗi thời gian nhằm để dự báo giá trị tương lai tài sản tài dựa phân tích số liệu khứ Do với phương pháp điều kiện quan trọng chuỗi thời gian cần có... Chương Các mô hình chuỗi thời gian tuyến tính Mục đích chương nhằm giới thiệu mô hình chuỗi thời gian tuyến tính tiêu biểu trình trung bình trượt MA, trình tự hồi quy AR, hồi quy tích hợp ARMA mô hình