MỤC LỤC I Mở đầu II Nội dung .3 Hệ thống kiến thức Các dạng toán thường gặp Bài tập đề nghị 15 III Kết luận .18 Tài liệu tham khảo 19 I MỞ ĐẦU Hình học không gian nội dung quan trọng chương trình hình học phổ thông Trong kỳ thi tốt nghiệp đại học thiếu tập hình học không gian đa số em học sinh ngại gặp toán hình học không gian tổng hợp, loại toán khó đòi hỏi trí tưởng tượng, óc thẩm mỹ tính tư cao, học sinh đáp ứng điều Tuy nhiên, em học sinh lại học tương đối tốt phần kiến thức “Hình học giải tích” chương trình hình học lớp 12 Từ nảy ý tưởng muốn tạo “cầu nối” khó khăn giải toán hình học không gian tổng hợp với kiến thức hình học giải tích không gian, ta biến toán hình học không gian khó thành toán đơn giản, lời giải ngắn gọn, không đòi hỏi nhiều khả tư duy, kỹ vẽ hình chứng minh hình học Với lý đó, xây dựng nên chuyên đề “Phương pháp toạ độ không gian” Giúp em học sinh có thêm phương pháp hiệu phải tiếp cận với tập hình học không gian khó tưởng tượng, khó suy luận làm thi đại học, cao đẳng Qua việc tổng hợp đề thi đại học từ năm 2002 đến thực tiễn giảng dạy môn hình học không gian kỳ II lớp 11, năm lớp 12 từ đưa phương án gắn tọa độ loại hình cụ thể đề thi gồm loại: hình chóp tam giác, hình chóp tứ giác, hình lăng trụ (bao gồm hình lập phương hình hộp chữ nhật) Nguyễn Hữu Trung II NỘI DUNG Hệ thống kiến thức sử dụng chuyên đề Trước giải toán hình học không gian phương pháp tọa độ, cần nắm cách diễn đạt số khái niệm hình học không gian “ngôn ngữ” hình học giải tích, Từ đó, ta chuyển toán hình học tổng hợp thành toán hình học giải tích, sau ta sử dụng công cụ hình học giải tích để giải toán Đường thẳng Đường thẳng Đường thẳng A, B, C thẳng hàng A, B, C, D không đồng phẳng Khoảng cách từ tới Khoảng cách h hai đường thẳng chéo (a) qua điểm M có vec tơ phương (b) qua điểm N vec tơ phương Khoảng cách từ đường thẳng d đến mặt phẳng (P) song song với khoảng cách từ điểm M thuộc d tới (P) Khoảng cách hai đường thẳng song song khoảng cách từ điểm thuộc mặt phẳng tới mặt phẳng Khoảng cách hai đường thẳng song song khoảng cách từ điểm thuộc đường thẳng tới mặt phẳng Diện tích hình bình hành ABCD: Diện tích tam giác ABC: Thể tích khối hộp ABCD.A’B’C’D’: Thể tích tứ diện ABCD: Góc hai đường thẳng phương có vec tơ phương xác định công thức: đường thẳng có vec tơ Góc đường thẳng d có vec tơ phương tuyến : Góc mặt phẳng (P) có vec tơ phương tuyến mặt phẳng (P) có vec tơ pháp mặt phẳng (Q) có vec tơ pháp : Nhận xét: từ công thức kết hợp với tọa độ không gian từ toán hình học không gian tổng hợp ta thu toán hình học giải tích không gian Để giải toán hình không gian phương pháp tọa độ ta cần thực ba bước chính: Bước 1: Chọn hệ trục tọa độ thích hợp Bước 2: Tìm tọa độ đỉnh điểm liên quan dựa vào hệ trục chọn Bước 3: giải đáp yêu cầu toán 11Equation Section (Next) Cách chọn hệ trục tọa độ không gian Trong ba bước bước tỏ khó khăn tìm hết toạ độ điểm yếu tố hình học khác “số hoá” nên việc giải toán trở nên đơn giản học sinh nắm kiến thức hình học giả tích Trong tài liệu tham khảo mà có được, tác giả chủ yếu gắn hệ trục toạ độ theo hướng tuỳ thuộc vào hình cụ thể đưa cách gắn hệ trục, hình kiểu gắn hệ trục khác khó nhớ khó vận dụng với em học sinh học Để giải khó khăn đưa hướng tư cho phương pháp sau: ta tưởng tượng ta phải xây dựng công trình mà có dạng hình chóp, hình lăng trụ ta phải xây móng dựng cột trụ sau lên tầng từ hình thành nên công việc sau (được gọi chuyển toán hình không gian toán hình phẳng) + công việc 1: xác định đáy hình mặt phẳng Oxy, O(0;0;0) đỉnh cạnh chứa đỉnh Ox, Oy ta tìm sau cách dựng đường vuông góc với Ox O +công việc 2: xác định toạ độ điểm thuộc đáy với lưu ý chúng có cao độ 0, ta phải tìm hoành độ tung độ +công việc 3: ta dựng đến Oz cách kẻ đường vuông góc với Ox, Oy (nhớ Oy, Oz không thiết phải trùng với đường hình) +công việc 4: tìm toạ độ điểm không thuộc đáy Hãy tìm hình chiếu đáy toạ độ hình chiếu kết hợp với chiều cao điểm ta tìm cao độ toạ độ điểm Các dạng toán thường gặp 2.1 Hình chóp tam giác Ví dụ Cho hình chóp O.ABC có OA=a, OB=b, OC=c đôi vuông góc với Điểm M có đỉnh thuộc tam giác ABC có khoảng cách đến mặt phẳng (OBC), (OCA), (OAB) 1, 2, Tính a, b, c để thể tích tứ diện O.ABC nhỏ Giải z O M A B C x y Chọn hệ tọa độ hình vẽ, ta có O(0;0;0), A(a;0;0), B(0;b;0), C(0;0;c) Và M(1;2;3) Phương trình mặt phẳng (ABC): Vì M thuộc (ABC) nên Mặt khác Ví dụ 2: Tứ diện S.ABC có SA vuông góc với đáy tam giác ABC vuông C Độ dài SA=4, AC=3, BC=1 M trung điểm AB, H đối xứng B qua M tinh góc (SHB) (SCB) Giải Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ, ta có A(0;0;0), B(1;3;0), C(0;3;0), S(0;0;4) H(1;0;0) Mặt phẳng (P) qua H vuông góc với SB I cắt SC K, dễ thấy ((SHB) ,(SCB))=(IH,IK) z I K A y C M x H B Mặt khác, Phương trình tham số SB là: Phương trình SC là: Và Suy ra, Ví dụ Cho hình chóp tam giác S.ABC có độ dài cạnh đáy a Gọi M, N trung điểm SB, SC Tính theo a diện tích tam giác AMN, biết (AMN) vuông góc với (SBC) Giải Gọi O hình chiếu S lên mặt phẳng (ABC), ta suy O trọng tâm tam giác ABC Gọi I trung điểm BC, ta có: Trong mặt phẳng (ABC), ta vẽ tia Oy vuông góc với OA Đặt SO=h, chọn hệ trục tọa độ hình vẽ ta được: O(0;0;0), S(0;0;h), Hơn nữa, 2.2 Hình chóp tứ giác: Hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với đáy đáy hình vuông (hoặc hình chữ nhật) Ta chọn hệ tọa độ dạng tam diện vuông Hình chóp S.ABCD có đáy hình vuông hình thoi tâm O, đường cao SO vuông góc với đáy Ta chọn hệ tọa độ OA, OB, OS thuộc Ox, Oy, Oz Giả sử SO=h, OA=a, OB=b Ta có: O(0;0;0), A(a;0;0), B(0;b;0), C(-a;0;0), D(0;-b;0), S(0;0;h) Hình chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật ABCD AB=b, tam giác SAD cạnh a vuông góc với đáy Gọi H trung điểm AD, ABCD ta vẽ tia Hy vuông góc với AD Chọn hệ tọa độ Hxyz ta có: H(0;0;0), A( ;0;0), B( ;b;0), C( ;b;0), D , Ví dụ 4: (Đề thi đại học khối B năm 2006) Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật ABCD , SA vuông góc với đáy Gọi M, N trung điểm AD, SC, I giao điểm MB AC Chứng minh 10 mặt phẳng (SAC) vuông góc với mặt phẳng (SMB) Tính thể tích khối tứ diện ANIB Giải z S A D M y B C x Chọn hệ tọa độ Oxyz hình vẽ (O trùng với A) Gọi E giao điểm AC BD Ta có: A(0;0;0), B(a;0;0), C(a; ;0), D(0; ), I( ;0), S(0;0;a), N( ), E( với I trọng tâm tam giác ABC Chứng minh (SBM) vuông góc với (SAC) 11 ), M( ) Ta có: Mặt khác, Tính thể tích khối tứ diện Ta có: Vậy thể tích khối tứ diện AINB là: (đvtt) 2.3 Hình lăng trụ đứng: Tùy theo hình dạng đáy ta chọn hệ trục dạng Nhận xét: Hình chóp tam giác có đáy tam giác cạnh bên nhau, không thiết phải cạnh đáy Chân đường cao trọng tâm đáy Tứ diện hình chóp có đáy tam giác có cạnh bên cạnh đáy Hình hộp có đáy hình bình hành không thiết hình chữ nhật Ví dụ Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh Gọi M, N trung điểm AB DD’ a, Chứng minh (BDC’) Tính MN khoảng cách từ MN đến mặt phẳng 12 b, Gọi P trung điểm C’D’ Tính thể tích góc MN BD c, Tính bán kính R đường tròn ngoại tiếp tam giác A’BD Giải Chọn hệ trục tọa độ Axyz cho: A(0;0;0), B(2;0;0), C(2;2;0), D(0;2;0), A’(0;0;2), B’(2;0;2), C’(2;2;2), D’(0;2;2), M(1;0;0), N(0;2;1), P(1;2;2) z A’ D’ P N B’ A O M y B C x a, Chứng minh MN//(BDC’) Ta có: 13 Ta có: b, Tính thể tích C.MNP Ta có: C, Tính R Gọi I, R’ tâm bán kính mặt cầu (S) ngoại tiếp hình lập phương nên I trung điểm AC’ R= 14 Ta có: A’, B, D thuộc (S) nên đường tròn ngoại tiếp A’BD giao mặt phẳng (A’BD) (S) Ví dụ 6: (Đề thi tuyển sinh đại học khối B năm 2003) Cho lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy hình thoi cạnh a, M, N trung điểm AA’, CC’ Gọi a, Chứng minh rằng: B’, M, D, N đồng phẳng b, Tính AA’ theo a để B’MDN hình vuông Giải z a, Chứng minh DNB’N đồng phẳng B’ C’ A’ D’ N B M C 15 A O x D y Gắn hệ trục tọa độ hình vẽ AC giao BD tai O Từ giả thiết ABCD hình thoi cạnh a, Giả sử BB’=x, ta có: nên: BD=AD=a, AC= Từ suy ra: D, M, N, B’ đồng phẳng b, Tính AA’ Dễ thấy nên tứ giác DMB’N hình thoi, để hình vuông thì: Vậy AA’=a Một số tập tham khảo 3.1 Các toán hình chóp tam giác Bài 1: (Đề thi đại học khối D-2002) 16 Cho tứ diện ABCD có AD vuông góc với mặt phẳng (ABC) AC=AD=4cm, AB=3cm, BC=5cm Tính khoảng cách từ A tới mặt phẳng (BCD) Bài 2: Cho tam giác ABC vuông A, có đường cao AD, AB=2, AC=4 Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng ABC A lấy điểm S cho SA=6 Gọi E, F trung điểm SB, SC H hình chiếu A EF a, Chứng minh H trung điểm SD b, Tính góc hai mặt phẳng (ABC) (ACE) c, Tính thể tích hình chóp A.BCEF Bài 3: Cho hình chóp O.ABC có cạnh OA=OB=OC=3cm vuông góc với đôi Gọi H hình chiếu O lên mặt phẳng (ABC) điểm A’, B’, C’ hình chiếu H mặt phẳng (OBC), (OCA), (OAB) a, Tính thể tích tứ diện H.A’B’C’ b, Gọi S điểm đối xứng H qua O Chứng minh tứ diện S.ABC tứ diện Bài 4: Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông cân A, SA vuông góc với đáy Biết AB=2,((ABC),(SBC))= a, Tính độ dài SA b, Tính khoảng cách từ A tới (SBC) Bài 5: (Đề thi đh khối D-2003) Cho hai mặt phẳng (P), (Q) vuông góc với nhau, giao tuyến đường thẳng d, d lấy hai điểm A, B với AB=a Trong (P) lấy điểm C, (Q) lấy điểm D cho AC, BD vuông góc với d AC=BD=AB Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD theo a 3.2 Các toán hình chóp tứ giác Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vuông cạnh a, SA=a vuông góc với đáy Gọi E trung điểm CD 17 a, Tính diện tích tam giác SBE b, Tính khoảng cách từ C đến (SBE) c, (SBE) chia hình chóp thành hai phần, tính tỉ số thể tích hai phần Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vuông cạnh a Cạnh bên SA vuông góc với đáy SA=a a, Tính khoảng cách từ C đến (SBD) b, Tính khoảng cách hai đường thẳng SD AC Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vuông cạnh a Cạnh bên SA vuông góc với đáy SA=a SC, SD H, M, K Mặt phẳng qua A vuông góc với SC cắt SB, a, Chứng minh AH vuông góc với SB, AK vuông góc với SD b, Chứng minh BD song song với c, Chứng minh HK qua trọng tâm G tam giác SAC d, Tính thể tích hình ABCDKMH Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vuông cạnh a Tam giác SAD vuông góc với (ABCD) Gọi H trung điểm AD a, Tính d(D,(SBC)), d(HC,SD) b, Mặt phẳng qua H vuông góc với SC I Chứng tỏ cắt SB, SD 3.3 Các toán hình hộp, lăng trụ đứng Bài 1: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a Gọi I, J, M, N trung điểm A’D’, BB’, CD, BC a, Chứng minh: I, K, M, N đồng phẳng 18 b, Tính khoảng cách IK AD c, Tính diện tích tứ giác IKNM Bài 2: (Đề thi đại học khối A-2003) Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ tính góc hai mặt phẳng (A’BC) (A’DC) Bài 3: Cho lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ có đáy tam giác vuông A Cho AB=a, AC=b, Â’=c Mặt phẳng a, Tìm điều kiện a, b, c để b, Cho qua B vuông góc với B’C cắt CC’ I (I không trùng với C, C’) cắt CC’ I Hãy xác định tính diện tích thiết diện Bài 4: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB=2, AD=4,AA’=6 Các điểm M, N thỏa mãn AB, C’D’ Gọi I, K trung điểm a, Tính khoảng cách Từ A đến (A’BD) b, Chứng minh I, K, M, N đồng phẳng Bài 5: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a Tìm M thuộc AA’ cho (BD’M) cắt hình lập phương theo thiết diện có diện tích nhỏ III KẾT LUẬN Phương pháp hình học giải tích giải toán hình học không gian thay hoàn toàn phương pháp tổng hợp có yếu điểm phải tính toán biểu thức cồng kềnh có ưu điểm không đòi hỏi người học cần nhiều tư phức tạp 19 Trong điều kiện phòng thi học sinh không đủ bình tĩnh thời gian để tìm hướng giải cho toán hình không gian tổng hợp với phương pháp hình học giải tích thí sinh vẽ xong hình tư hướng giải nắm kỹ gắn hệ trục Trong khuôn khổ viết đề cập tới việc gắn tọa độ cho hình lăng trụ chưa có điều kiện thực gắn trục cho hình lăng trụ xiên có đáy tam giác tứ giác mà thực gắn hệ trục cho lăng trụ đứng Nhưng ta hiểu hình lăng trụ ghép lại hình chóp hướng giải sáng sủa Vì khoảng thời gian hạn hẹp, viết tránh khỏi sai sót hạn chế Rất mong đóng góp quý thầy cô đồng nghiệp để viết hoàn thiện TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Hà Văn Chương- Phạm Hồng Danh, Giới thiệu đề thi tuyển sinh Đại học & Cao đẳng, Nhà xuất Đại học Sư phạm, 2010 [2] Võ Thành Văn, chuyên đề ứng dụng tọa độ giải toán hình học không gian, Nhà xuất bàn Đại học Sư phạm, 2010 [3] wwww.vnmath.com [4] toanhocvietnam.vn [5] mathcope.vn 20 21 [...]... Phương pháp hình học giải tích giải bài toán hình học không gian không thể thay thế được hoàn toàn phương pháp tổng hợp nó có một yếu điểm là đôi khi phải tính toán biểu thức cồng kềnh nhưng nó có một ưu điểm là không đòi hỏi người học cần quá nhiều tư duy phức tạp 19 Trong điều kiện ở phòng thi khi học sinh không đủ bình tĩnh và thời gian để tìm ra hướng giải cho bài toán hình không gian tổng hợp trong. .. hết sức rất hạn hẹp, bài viết này không thể tránh khỏi những sai sót và hạn chế Rất mong sự đóng góp của các quý thầy cô đồng nghiệp để bài viết được hoàn thiện hơn TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Hà Văn Chương- Phạm Hồng Danh, Giới thiệu đề thi tuyển sinh Đại học & Cao đẳng, Nhà xuất bản Đại học Sư phạm, 2010 [2] Võ Thành Văn, chuyên đề ứng dụng tọa độ trong giải toán hình học không gian, Nhà xuất bàn Đại học... dạng của đáy ta có thể chọn hệ trục như các dạng trên Nhận xét: Hình chóp tam giác đều có đáy là tam giác đều và cạnh bên bằng nhau, nhưng không nhất thiết phải bằng cạnh đáy Chân đường cao là trọng tâm của đáy Tứ diện đều là hình chóp có đáy là tam giác đều có cạnh bên bằng cạnh đáy Hình hộp có đáy là hình bình hành không nhất thiết là hình chữ nhật Ví dụ 5 Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh bằng... Chứng minh rằng tứ diện S.ABC là tứ diện đều Bài 4: Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông cân tại A, SA vuông góc với đáy Biết AB=2,((ABC),(SBC))= a, Tính độ dài SA b, Tính khoảng cách từ A tới (SBC) Bài 5: (Đề thi đh khối D-2003) Cho hai mặt phẳng (P), (Q) vuông góc với nhau, giao tuyến là đường thẳng d, trên d lấy hai điểm A, B với AB=a Trong (P) lấy điểm C, trong (Q) lấy điểm D sao cho AC, BD cùng... không đủ bình tĩnh và thời gian để tìm ra hướng giải cho bài toán hình không gian tổng hợp trong khi đó với phương pháp của hình học giải tích thí sinh chỉ vẽ xong hình là có thể tư duy ngay hướng giải khi nắm được các kỹ năng gắn hệ trục Trong khuôn khổ bài viết này khi đề cập tới việc gắn tọa độ cho hình lăng trụ chưa có điều kiện thực hiện gắn trục cho hình lăng trụ xiên có đáy là tam giác hoặc tứ giác... giữa IK và AD c, Tính diện tích tứ giác IKNM Bài 2: (Đề thi đại học khối A-2003) Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ tính góc giữa hai mặt phẳng (A’BC) và (A’DC) Bài 3: Cho lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác vuông tại A Cho AB=a, AC=b, Â’=c Mặt phẳng a, Tìm điều kiện của a, b, c để b, Cho qua B và vuông góc với B’C cắt CC’ tại I (I không trùng với C, C’) cắt CC’ tại I Hãy xác định và... giao của mặt phẳng (A’BD) và (S) Ví dụ 6: (Đề thi tuyển sinh đại học khối B năm 2003) Cho lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình thoi cạnh a, M, N là trung điểm của AA’, CC’ Gọi a, Chứng minh rằng: B’, M, D, N đồng phẳng b, Tính AA’ theo a để B’MDN là hình vuông Giải z a, Chứng minh DNB’N đồng phẳng B’ C’ A’ D’ N B M C 15 A O x D y Gắn hệ trục tọa độ như hình vẽ AC giao BD tai O Từ giả thiết...mặt phẳng (SAC) vuông góc với mặt phẳng (SMB) Tính thể tích khối tứ diện ANIB Giải z S A D M y B C x Chọn hệ tọa độ Oxyz như hình vẽ (O trùng với A) Gọi E là giao điểm AC và BD Ta có: A(0;0;0), B(a;0;0), C(a; ;0), D(0; ), I( ;0), S(0;0;a), N( ), E( với I là trọng tâm tam giác ABC Chứng minh (SBM) vuông góc với (SAC)... AC= Từ đó suy ra: D, M, N, B’ đồng phẳng b, Tính AA’ Dễ thấy nên tứ giác DMB’N là hình thoi, để nó là hình vuông thì: Vậy AA’=a 3 Một số bài tập tham khảo 3.1 Các bài toán về hình chóp tam giác Bài 1: (Đề thi đại học khối D-2002) 16 Cho tứ diện ABCD có AD vuông góc với mặt phẳng (ABC) AC=AD=4cm, AB=3cm, BC=5cm Tính khoảng cách từ A tới mặt phẳng (BCD) Bài 2: Cho tam giác ABC vuông tại A, có đường cao... (BDC’) Tính MN và khoảng cách từ MN đến mặt phẳng 12 b, Gọi P là trung điểm C’D’ Tính thể tích của và góc giữa MN và BD c, Tính bán kính R của đường tròn ngoại tiếp tam giác A’BD Giải Chọn hệ trục tọa độ Axyz sao cho: A(0;0;0), B(2;0;0), C(2;2;0), D(0;2;0), A’(0;0;2), B’(2;0;2), C’(2;2;2), D’(0;2;2), M(1;0;0), N(0;2;1), P(1;2;2) z A’ D’ P N B’ A O M y B C x a, Chứng minh MN//(BDC’) Ta có: 13 Ta có: ... minh hình học Với lý đó, xây dựng nên chuyên đề “Phương pháp toạ độ không gian” Giúp em học sinh có thêm phương pháp hiệu phải tiếp cận với tập hình học không gian khó tưởng tượng, khó suy luận... tơ pháp mặt phẳng (Q) có vec tơ pháp : Nhận xét: từ công thức kết hợp với tọa độ không gian từ toán hình học không gian tổng hợp ta thu toán hình học giải tích không gian Để giải toán hình không. .. có cao độ 0, ta phải tìm hoành độ tung độ +công việc 3: ta dựng đến Oz cách kẻ đường vuông góc với Ox, Oy (nhớ Oy, Oz không thiết phải trùng với đường hình) +công việc 4: tìm toạ độ điểm không