ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN MAI THỊ THU NHÀN MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN DƯỚI DẤU CĂN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI - 2015 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - MAI THỊ THU NHÀN MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN DƯỚI DẤU CĂN Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số: 60460113 LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS PHẠM VĂN QUỐC Hà Nội – Năm 2015 Mục lục Mở đầu Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Một số công thức cần nhớ 1.2 Ví dụ mở đầu 5 Một số phương pháp giải phương trình chứa ẩn dấu 2.1 Phương pháp 1: Biến đổi tương đương 2.2 Phương pháp 2: Nhân liên hợp 2.3 Phương pháp 3: Đặt ẩn phụ 2.3.1 Đặt ẩn phụ đưa phương trình theo ẩn phụ 2.3.2 Đặt ẩn phụ đưa phương trình tích, phương trình đẳng cấp bậc hai, bậc ba 2.3.3 "Ẩn phụ không hoàn toàn" 2.3.4 Đặt ẩn phụ đưa hệ phương trình 2.3.5 Phương pháp lượng giác hóa 2.4 Phương pháp : Sử dụng tính đơn điệu hàm số 2.5 Phương pháp 5: Sử dụng bất đẳng thức 2.5.1 Sử dụng bất đẳng thức lũy thừa 2.5.2 Sử dụng số bất đẳng thức quen thuộc so sánh vế phương trình 11 11 13 20 21 Một số cách xây dựng phương trình chứa ẩn dấu 3.1 Xây dựng theo phương pháp biến đổi tương đương 3.2 Xây dựng từ nghiệm chọn sẵn phương pháp nhân liên hợp 3.3 Xây dựng từ phương trình bậc hai 3.4 Xây dựng từ phương trình tích, đẳng thức 3.4.1 Xây dựng từ phương trình tích 3.4.2 Xây dựng từ đẳng thức 3.5 Xây dựng từ phép "đặt ẩn phụ không hoàn toàn" 3.6 Xây dựng từ hệ phương trình 3.7 Xây dựng dựa vào hàm số lượng giác phương trình lượng giác 3.8 Xây dựng dựa theo hàm đơn điệu 3.8.1 Dựa theo tính chất hàm đơn điệu 59 59 60 62 64 64 64 66 67 69 71 71 28 32 37 43 46 51 51 55 MỤC LỤC 3.8.2 Dựa vào ước lượng hàm đơn điệu 72 Kết luận 76 Tài liệu tham khảo 77 Mở đầu Phương trình chứa ẩn dấu lớp toán có vị trí đặc biệt quan trọng chương trình toán học bậc phổ thông Nó xuất nhiều đề thi học sinh giỏi kỳ thi tuyển sinh vào đại học Học sinh phải đối mặt với nhều dạng toán phương trình chứa ẩn dấu mà phương pháp giải chúng lại chưa liệt kê sách giáo khoa Đó dạng toán phương trình chứa ẩn dấu giải phương pháp đặt ẩn phụ không hoàn toàn, dạng ẩn phụ lượng giác hóa, Việc tìm phương pháp giải phương trình chứa ẩn dấu niềm say mê không người, đặc biệt người trực tiếp dạy toán Chính vậy, để đáp ứng nhu cầu giảng dạy học tập, tác giả chọn đề tài "Một số phương pháp giải phương trình chứa ẩn dấu căn" Đề tài nhằm phần đáp ứng nhu cầu mong muốn thân đề tài phù hợp mà sau phục vụ thiết thực cho việc giảng dạy nhà trường phổ thông Luận văn hoản thành hướng dẫn trực tiếp TS Phạm Văn Quốc.Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc đến người thầy mình, người nhiệt tình hướng dẫn, bảo mong muốn học hỏi thầy nhiều Tác giả xin chân thành cảm ơn quý thầy cô Ban giám hiệu, Phòng đào tạo Đại học sau Đại học Trường Đại học Khoa học Tự Nhiên, Đại học Quốc Gia Hà Nội, quý thầy cô tham gia giảng dạy khóa học, toàn thể học viên khóa 2013-1015 tạo điều kiện, giúp đỡ tác giả suốt trình học tập nghiên cứu để tác giả hoàn thành khóa học hoàn thành luận văn Luận văn gồm phần mở đầu, ba chương, phần kết luận danh mục tài liệu tham khảo Chương Một số kiến thức chuẩn bị Chương Một số phương pháp giải phương trình chứa ẩn dấu Chương Một số cách xây dựng phương trình chứa ẩn dấu MỤC LỤC Mặc dù cố gắng nhiều nghiêm túc trình nghiên cứu, thời gian trình độ hạn chế nên kết đạt luận văn khiêm tốn không tránh khỏi thiếu xót Vì tác giả mong nhận nhiều ý kiến đóng góp, bảo quý báu quý thầy cô, bạn học viên để luận văn hoàn thiện Hà Nội, tháng 08 năm 2015 Học viên thực Mai Thị Thu Nhàn Chương Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Một số công thức cần nhớ Căn bậc hai bậc ba tích √ ab = |a| |b| với a, b ∈ R, ab ≥ √ √ √ ab = a b với a, b ∈ R Căn bậc hai bậc ba thương a = b a = b |a| |b| √ a √ b với a, b ∈ R, ab ≥ 0, b = với a, b ∈ R, b = Căn lũy thừa √ √ m m n am = a n = ( n a) , với a ∈ R∗+ ; m, n ∈ N∗ , n ≥ Căn nhiều lớp n √ m a= m √ n a= √ nm a với a ∈ R∗+ ; m, n ∈ N∗ ; m, n ≥ Đưa thừa số dấu bậc hai √ √ a2 b = |a| b, với a ∈ R, b ∈ R+ Đưa thừa số vào dấu bậc hai √ √ a b = a2 b a, b ≥ 0; a, b ∈ R √ √ a b = − a2 b a ≤ 0, b ≥ 0; a, b ∈ R Tích hai √ √ √ √ m+n 1 1 m+n mn m a n a = a m a n = a m + n = a mn = am+n = ( mn a) với a ∈ R∗+ ; m, n ∈ N∗ ; m, n ≥ Thương hai √ m √ √ n−m a am mn − n1 = a n−m m mn = √ = = a an−m = ( mn a) n a an Chương Một số kiến thức chuẩn bị với a ∈ R∗+ ; m, n ∈ N∗ ; m, n ≥ 10 11 12 √ √ A=B⇔ A= √ √ A= √ B⇔ √ B≥0 A = B2 A≥0 A = B B ⇔ A = B A = B ⇔ A = B3 13 Phương trình tương đương Hai phương trình (cùng ẩn) gọi tương đương chúng có tập nghiệm Nếu phương trình f1 (x) = g1 (x) tương đương với phương trình f2 (x) = g2 (x) ta viết f1 (x) = g1 (x) ⇔ f2 (x) = g2 (x) Khi muốn nhấn mạnh hai phương trình có tập xác định D (hay có điều kiện xác định mà ta kí hiệu D) tương đương với nhau, ta nói - Hai phương trình tương đương với D, - Với điều kiện D, hai phương trình tương đương với Chẳng hạn với x > 0, hai phương trình x2 = x = tương đương với Trong phép biến đổi phương trình, đáng ý phép biến đổi không làm thay đổi tập nghiệm phương trình Ta gọi chúng phép biến đổi tương đương Như vậy, phép biến đổi tương đương biến phương trình thành phương trình tương đương với nó.Chẳng hạn, việc thực phép biến đổi đồng vế phương trình không thay đổi tập xác định phép biến đổi tương đương 14 Hàm số đồng biến, hàm số nghịch biến Hàm số y = f (x) gọi đồng biến (tăng) khoảng (a,b) với ∀x1, x2 ∈ (a, b) mà x1 < x2 f (x1 ) < f (x2 ) Hàm số y = f (x) gọi nghịch biến (giảm) khoảng (a,b) với ∀x1, x2 ∈ (a, b) mà x1 < x2 f (x1 ) > f (x2 ) Hàm số y = f (x) đồng biến nghịch biến (a,b), ta nói hàm số y = f (x) đơn điệu (a,b) Định lý Giả sử hàm số y = f (x) có đạo hàm (a,b) Khi : Chương Một số kiến thức chuẩn bị - Hàm số y = f (x) đồng biến (a,b) ⇔ f , (x) ≥ 0, ∀x ∈ (a, b) f , (x) = xảy số hữu hãn điểm (a,b) - Hàm số y = f (x) đồng biến (a,b) ⇔ f , (x) ≤ 0, ∀x ∈ (a, b) f , (x) = xảy số hữu hãn điểm (a,b) - Nếu f , (x) > 0, ∀x ∈ (a, b) f liên tục [a, b] y = f (x) đồng biến [a, b] - Nếu f , (x) < 0, ∀x ∈ (a, b) f liên tục [a, b] y = f (x) nghịch biến [a, b] 15 Hệ phương trình đối xứng loại I f (x, y) = (I) với f (x, y) = f (y, x) g(x, y) = g(y, x) g(x, y) = Phương pháp giải Biến đổi tổng, tích đặt S =x+y đưa hệ phương trình với ẩn P = xy S,P Giải hệ phương trình tìm S, P điều kiện có nghiệm (x, y) S ≥ 4P Tìm nghiệm (x, y) cách giải phương trình X − SX + P = nhẩm nghiệm với S, P đơn giản 16 Hệ phương trình đối xứng loại II f (x, y) = f (y, x) = (1) (2) Phương pháp giải Trừ (1) (2) vế cho vế ta hệ phương trình f (x, y) − f (y, x) = f (x, y) = (3) (1) Biến đổi (3) phương trình tích (x − y).g(x, y) = ⇔ Khi giải hai trường hợp f (x, y) = ∨ x=y x=y g(x, y) = f (x, y) = g(x, y) = Giải hệ ta tìm nghiệm hệ cho 17 Một số công thức lượng giác hay dùng cos 2x = cos2 x − sin2 x = cos2 x − = − sin2 x sin 2x = sin x cos x Chương Một số kiến thức chuẩn bị cos 3x = cos3 x − cos x sin 3x = sin x − sin3 x + cos 2x cos2 x = − cos 2x sin x = 1.2 Ví dụ mở đầu Ví dụ 1.1 Giải phương trình 1+ x − x2 = √ x+ √ − x Nhận xét Trước hết có điều kiện ≤ x ≤ Để giải phương trình rõ ràng ta tìm cách làm thức Có nhiều cách để làm thức Cách Đầu tiên ta nghĩ tới lũy thừa hai vế Vì hai vế phương trình cho không âm với điều kiện xác định nên ta bình phương hai vế để thu phương trình tương đương sau √ √ 2√ x − x2 = x + − x √ √ 2√ ⇔ 1+ x − x2 = x+ 1−x √ 4√ ⇔1+ x − x2 + x − x2 = + x − x2 √4 ⇔ 27(x − x2 ) − x − x2 = √ √ ⇔ x − x2 27 x − x2 − = √ x√− x2 = ⇔ 27 x − x2 − =  x = (thỏa mãn)  x = (thỏa mãn) √ ⇔ 27 ± 473 x= (thỏa mãn) 54 √ 27 ± 473 Vậy phương trình có nghiệm x = 0, x = 1, x = 54 √ √ √ Cách Ta thấy x + − x2 = + x − x2 √ √ √ y2 − Do đặt y = x + − x2 Suy ra, ta tính x − x2 = Phương trình cho trở thành phương trình bậc hai ẩn y 1+ 1+ y2 − = y ⇔ y − 3y + = ⇔ y=1 y = Chương Một số cách xây dựng phương trình chứa ẩn dấu Bây muốn tạo phương trình vô tỷ ta thay A, B, C, a, b, c số "hoặc biểu thức" theo ý muốn ta dạng phương trình vô tỷ giải theo phương pháp đặt ẩn phụ đưa phương trình bậc hai Ví dụ 3.6 (Cho dạng 2) Cho A = 1, B = 2, C = 4, a = ta toán sau Giải phương trình √ 1−x+ √ 1+x+2 − x2 = Hướng dẫn Điều kiện −1 ≤ x ≤ √ √ √ Đặt − x + + x = t, t ≥ 0, suy t2 = + − x2 Ta thu phương trình t2 + t − = 0, suy t = √ √ Thay trở lại ta có − x + + x = 2, suy x = Ví dụ 3.7 Với x = 3, ta có t = Mặt khác t2 = x + + √ √ x + 1+ 2x + = Với t = 5, ta có 2t2 −3t = 35 2x2 + 5x + + 2x + = 3x + + 2x2 + 5x + Thay vào 2t2 − 3t = 35 ta √ √ √ 6x + + 2x2 + 5x + − x + + 2x + = 35 √ √ √ ⇔ x + + 2x + = 6x − 27 + 2x2 + 5x + Ta có toán sau Bài toán Giải phương trình √ x+1+ √ 2x + = 6x − 27 + Hướng dẫn Điều kiện x ≥ −1 Đặt t = Khi t2 = x + + √ x+1+ 2x2 + 5x + √ 2x + 3, t ≥ 2x2 + 5x + + 2x + = 3x + + 2x2 + 5x + √ Suy 6x + 2x2 + 5x + = 2t2 − Thay vào phương trình cho ta 3t = 2t2 − − 27 ⇔ 2t2 − 3t − 35 = ⇔ Với t = 5, trả lại ẩn x ta x = 63 t = (thỏa mãn) −7 t= (loại) Chương Một số cách xây dựng phương trình chứa ẩn dấu 3.4 3.4.1 Xây dựng từ phương trình tích, đẳng thức Xây dựng từ phương trình tích Phương trình dạng au + bv = ab + uv hay (u − b)(v − a) = suy u = b, v = a Chọn u, v biểu thức chứa a, b số thực cho trước ta xây dựng phương trình vô tỷ Ví dụ 3.8 Chọn a = 1, b = 5, u = trình √ x−1+5 √ x − 1, v = √ x2 + Ta thu phương x2 + − x3 − x2 + x − = x2 + − x3 − x2 + x − = Vậy ta có toán sau Bài toán Giải phương trình √ x−1+5 Hướng dẫn Nghiệm phương trình nghiệm hai phương √ √ trình x2 + = x − = Ta xây dựng từ phương trình chứa nhiều tích gán cho u, v biểu thức chứa Gán cho a, b số biểu thức chứa Biến đổi chút ta có phương trình đẹp hay không phụ thuộc vào việc ta chọn có khéo không 3.4.2 Xây dựng từ đẳng thức Xuất phát từ đẳng thức đó, sáng tác lên phương trình chứa ẩn dấu thức Chẳng hạn từ đẳng thức (a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 3(a + b)(b + c)(c + a) ta có (a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 ⇔ (a + b)(b + c)(c + a) = Bằng cách chọn a, b, c cho (a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 ta tạo phương trình vô tỷ chứa bậc ba Sau ta xây dựng số phương trình từ đẳng thức (a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 3(a + b)(b + c)(c + a) a3 + b3 − ab(a + b) = (a + b)(a − b)2 a3 + b3 = (a + b)(a2 − ab + b2 ) a4 + = (a2 − 2a + 2)(a2 + 2a + 2) Ví dụ 3.9 Từ đẳng thức (a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 3(a + b)(b + c)(c + a) √ √ √ chọn a = 1990x + 1999, b = 25x + 8, c = − x ta có 64 Chương Một số cách xây dựng phương trình chứa ẩn dấu a3 + b3 + c3 = 2014x + 2015 Ta toán sau Bài toán Giải phương trình √ 1990x + 1999 + √ √ √ 25x + + − x − 2014x + 2015 = Hướng dẫn Điều kiện x ∈ R √ √ √ Đặt a = 1990x + 1999, b = 25x + 8, c = − x Khi a3 + b3 + c3 = 2014x + 2015 Thay vào phương trình cho ta a+b+c− √ a3 + b3 + c3 = ⇔ (a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 Mặt khác, ta có đẳng thức (a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 3(a + b)(b + c)(c + a) a = −b Suy ra, (a + b)(b + c)(c + a) = ⇔ b = −c  c = −a 2007 x=− 2015 1990x + 1999 = −25x −   Vậy 25x + = x −  x=−  − x = −1990x − 1999 x=− 2007 1989 Ví dụ 3.10 Từ đẳng thức a3 + b3 − ab(a + b) = (a + b)(a − b)2 Chọn a = √ √ x + 1, b = − x + 2, √ √ x2 + 3x + x + − x + √ √ x2 + 3x + x + − x + a3 + b3 − ab(a + b) = x + − x − + = −1 + 3 Bằng cách cho a3 + b3 − ab(a + b) = ta toán sau Bài toán Giải phương trình x2 + 3x + √ √ x + − x + = Hướng dẫn Phương trình cho tương đương (x + 1) − (x + 2) + Đặt a = x2 + 3x + √ √ x+1− 3x+2 √ √ x + 1, b = − x + 2, thay vào phương trình ta a3 + b3 − ab(a + b) = 65 Chương Một số cách xây dựng phương trình chứa ẩn dấu Vậy a=b a = −b ⇔ (a + b)(a − b)2 = ⇔ √ √ 3 x+1=− x+2 √ √ ⇔x=− 3 x+1= x+2 Ví dụ 3.11 Ta sáng tác phương trình dựa đẳng thức a4 + = (a2 − 2a + 2)(a2 + 2a + 2) Xét đẳng thức x4 + = x2 + 2x + x2 − 2x + √ √ √ Đặt u = x2 + 2x + 2, v = x2 − 2x + Khi uv = x4 + Nếu muốn sáng tác phương trình giải cách đưa phương trình au2 − buv +cv = 0, ta cần tính biểu thức au2 +cv theo x, sau cho buv = au2 +cv , ta phương trình ẩn x Xét (u − 2v) (3u − v) = ⇔ 3u2 + 2v = 7uv Mà 3u2 + 2v = 5x2 + 2x + 10 nên ta toán sau Bài toán Giải phương trình 5x2 + 2x + 10 = x4 + √ √ Hướng dẫn Đặt u = x2 + 2x + 2, v = x2 − 2x + với u > 0, v > Khi u2 = x2 + 2x + 2, v = x2 − 2x + u2 v = x4 + 4, 3u2 + 2v = 5x2 + 2x + 10 Thay vào phương trình cho, ta 3u2 + 2v = 7uv ⇔ (u − 2v) (3u − v) = ⇔ u = 2v v = 3u Khi u = 2v , ta x2 + 2x + = √ ± x2 − 2x + ⇔ x = Khi v = 3u, ta x2 − 2x + = 3.5 x2 + 2x + ⇔ 8x2 + 20x + 16 = (vô nghiệm) Xây dựng từ phép "đặt ẩn phụ không hoàn toàn" Ta xét toán xây dựng phương trình dạng At2 + Bt + C = 0, t biểu thức chứa x, A, B, C biểu thức hữu tỷ chứa x, cho ∆ = B − 4AC luôn biểu thức phương Thường để thuận tiện tính toán ta chọn t = f (x) t = g(x) 66 −B C = f (x)+g(x) = f (x)g(x), A A Chương Một số cách xây dựng phương trình chứa ẩn dấu √ Ví dụ 3.12 Ta chọn t = x2 + 2, f (x) = 3, g(x) = x − Ta có toán giải phương trình vô tỷ sau Bài toán Giải phương trình x2 + − x2 + x = + x2 + Hướng dẫn Để giải trước hết biến đổi phương trình dạng (x2 + 2) − (2 + x) Sau đặt t = √ x2 + − + 3x = x2 + 2, phương trình cho trở thành t2 − (2 + x)t − + 3x = Có thể nhẩm nghiệm tính ∆, nghiệm t = 3, t = x − Sau tìm x với giá trị t vừa tìm Như ta sáng tạo nhiều toán dựa cách xây dựng 3.6 Xây dựng từ hệ phương trình • Xét hệ phương trình tổng quát dạng bậc hai (αx + β)2 = ay + b (αy + β)2 = ax + b Ta xây dựng lên phương trình √ Từ phương trình thứ hai hệ ta có αy + β = ax + b, thay vào phương trình hệ ta có phương trình (αx + β)2 = a√ βa ax + b + b − α α Vậy để có phương trình vô tỷ cách đưa hệ đối xứng loại II, ta cần chọn α, β, a, b phù hợp với mức độ khó dễ toán Ví dụ 3.13 Ta xét phương trình đối xứng loại II sau (x + 1)2 = y + (y + 1)2 = x + Việc giải hệ phương trình đơn giản Bây ta biến hệ thành phương trình cách đặt y = f (x) √ cho phương trình thứ hai hệ Vậy y = x + − 1, thay vào phương trình đầu hệ phương trình ta có phương trình √ √ (x + 1)2 = ( x + − 1) x2 + 2x = x + 67 Chương Một số cách xây dựng phương trình chứa ẩn dấu Từ ta có toán sau Bài toán Giải phương trình x2 + 2x = √ x + Ví dụ 3.14 Ta xây dựng toán sau Chọn α = 2, β = −3, a = 4, b = Ta có phương trình √ √ (2x − 3)2 = 4x + + 11 hay 2x2 − 6x − = 4x + Khi ta có toán sau Bài toán Giải phương trình 2x2 − 6x − = √ 4x + Hướng dẫn Biến đổi phương trình dạng √ (2x − 3)2 = 4x + + 11 Sau đặt 2y − = √ 4x + để hệ phương trình (2x − 3)2 = 4y + (2y − 3)2 = 4x + Suy (x − y)(x + y − 1) = √ √ Với x = y 2x − = 4x + 5, suy x = + √ Với x + y − = y = 1, suy x = − Ví dụ 3.15 Ta sử dụng phương pháp lặp để sáng tác √ phương trình từ 4x = √ 30 + u hệ phương trình đối xứng loại II Xuất phát từ 4u = sử dụng phép ta phương trình 4x = 30 + x + 30 1√ x + 30 Từ phương trình ta lại thu hệ phương trình đối xứng loại II   1√   4u = 30 + x + 30   4x = 1√ 30 + u + 30 Từ hệ này, tiếp tục sử dụng phép ta thu phương trình 4x = 30 + 30 + 30 + 1√ x + 30 Ta có toán sau Bài toán (Đề dự bị Olympic 30/4 Chuyên Hùng Vương) 68 Chương Một số cách xây dựng phương trình chứa ẩn dấu Giải phương trình 4x = 30 + 30 + 30 + 1√ x + 30 Bài toán giải ví dụ chương • Nếu xét hệ (αx + β)3 = ay + b (αy + β)3 = ax + b Từ phương trình ta √ αy + β = ax + b ⇔ y = √ ax + b β − α α Thay vào phương trình hệ, ta √ a ax + b aβ − + b (αx + β) = α α Ví dụ 3.16 Chọn α = 1, β = 1, a = 3, b = ta √ (x + 1)3 = 3 3x + + Ta có toán sau Bài toán (Đề nghị Olympic 30/04/2009) Giải phương trình √ x3 + 3x2 − 3 3x + = − 3x Hướng dẫn Phương trình cho tương đương √ (x + 1)3 = 3 3x + + Đặt y + = √ 3x + Ta có hệ (x + 1)3 = 3y + (y + 1)3 = 3x + (1) (2) Lấy (1) trừ (2) theo vế ta (x + 1)3 − (y + 1)3 = −3(x − y) ⇔ x = y Thay vào (1) giải tìm x = 1, x = −2 nghiệm 3.7 Xây dựng dựa vào hàm số lượng giác phương trình lượng giác Từ phương trình lượng giác đơn giản đó, kết hợp với phép biến đổi lượng giác tạp phương trình chứa ẩn dấu hay 69 Chương Một số cách xây dựng phương trình chứa ẩn dấu Như từ công thức lượng giác cos 3t = sin t, ta tạo ta phương trình vô tỷ Từ cos 3t = 4cos3 t − cos t ta có phương trình vô tỷ 4x3 − 3x = − x2 (3.1) x Ta thay x phương trình (3.1) biểu thức ví dụ (x−1), , ta có phương trình khó Tương tự từ công thức sin 3x, sin 4x ta xây dựng phương trình vô tỷ theo kiểu lượng giác t Ta thấy phương trình tương đương với cos3 t − cos t = Ví dụ 3.17 Từ phương trình lượng giác cos 3t = cos , với t ∈ [0; π] 2(1 + cos t) Đặt x = cos t ta toán sau Bài toán (Đề nghị Olympic 30/04/2006) Giả phương trình x3 − 3x = √ x + Hướng dẫn Điều kiện x ≥ −2 Nếu x > x3 − 3x = x + x(x2 − 4) > x > √ 2x = √ x+x> √ x + Vậy x > không thỏa mãn, để giải phương trình cho cần xét −2 ≤ x ≤ Khi đặt x = cos t, t ∈ [0; π] Thay vào phương trình cho, ta cos3 t − cos t = 2(1 + cos t) t ⇔ cos3 t − cos t = cos  k4π t t= ⇔ cos 3t = cos  (k ∈ Z) t = k4π 4π 4π Kết hợp t ∈ [0; π], lấy t = 0, t = , t = √ 1 Ví dụ 3.18 Từ phương trình lượng giác + = 2 công thức cos t sin t √ sin2 t + cos2 t = 1, suy sin t = − cos2 t √ 1 Thay cos t = x, ta có phương trình sau + √ = 2 x − x2 Khi đó, ta có toán sau Bài toán Giải phương trình √ 1 +√ = 2 x − x2 70 Chương Một số cách xây dựng phương trình chứa ẩn dấu Hướng dẫn Phương trình giải theo phương pháp đặt ẩn phụ lượng giác Ví dụ 3.19 Từ phương trình + sin t = cos6 t + sin6 t thay cos t x, ta phương trình 5+3 − x2 = x6 + − x2 − x2 = x6 + − x2 Nên ta có toán sau Bài toán Giải phương trình 5+3 Hướng dẫn Từ điều kiện −1 ≤ x ≤ 1, ta đặt x = cos t, t ∈ [0; π] ta thu phương trình + sin t = sin6 t + cos6 t ⇔ + sin t = 8(1 − sin2 t cos2 t) ⇔ sin t = − 24 sin2 t cos2 t ⇔ sin t = − sin2 t cos2 t π − t = cos 4t ⇔ cos Đây phương trình lượng giác bản, ta tìm t, sau suy x 3.8 3.8.1 Xây dựng dựa theo hàm đơn điệu Dựa theo tính chất hàm đơn điệu Dựa vào tính chất "Nếu hàm số y = f (x) đồng biến (hoặc nghịch biến) liên tục D số nghiệm D phương trình f (x) = a không vó nhiều nghiệm ∀u, v ∈ D : f (u) = f (v) ⇔ u = v " Ta xây dựng phương trình chứa ẩn dấu thức Ví dụ 3.20 Xét hàm số f (t) = t3 + 2t đồng biến R Cho f −x3 + 9x2 − 19x + 11 = f (x − 1) Ta √ −x3 + 9x2 − 19x + 11 + −x3 + 9x2 − 19x + 11 = (x − 1)3 + 2(x − 1) Khai triền rút gọn ta toán sau Bài toán (Đề nghị Olympic 30/04/2009) Giải phương trình x3 − 6x2 + 12x − = −x3 + 9x2 − 19x + 11 71 Chương Một số cách xây dựng phương trình chứa ẩn dấu Hướng dẫn Đặt y = √ −x3 + 9x2 − 19x + 11 Ta có hệ y = −x3 + 9x2 − 19x + 11 2y = 2x3 − 12x2 + 21x − 14 y = −x3 + 9x2 − 19x + 11 ⇔ y = x3 − 6x2 + 12x − Cộng vế với vế hai phương ta y + 2y = x3 − 3x2 + 5x − ⇔ y + 2y = (x − 1)3 + 2(x − 1) Xét hàm đặc trưng f (t) = t3 + 2t, chứng minh hàm đồng biến R sau dùng phương pháp sử dụng tính đơn điệu hàm số để giải Ví dụ 3.21 Từ hàm đơn điệu y = f (x) = 2x3 + x2 + với x ≥ 0, ta xây dựng phương trình f (x) = f √ 3x − hay 2x3 + x2 + = √ 3x − + (3x − 1)2 + Rút gọn ta phương trình √ 2x3 + x2 − 3x + = 2(3x − 1) 3x − Nên ta có toán sau Bài toán Giải phương trình √ 2x3 + x2 − 3x + = 2(3x − 1) 3x − Ví dụ 3.22 Từ hàm số đồng biến R, f (t) = t3 + t từ phương trình √ f 7x2 + 9x − = f (x + 1) Ta xây dựng toán sau Bài toán Giải phương trình x3 − 42 − 5x + = 7x2 + 9x − Hướng dẫn Bài toán giải theo phương pháp sử dụng phương pháp hàm số Giải phương trình ta có nghiệm phương trình nghiệm phương trình x+1= √ −1 ± Suy x = x = 3.8.2 7x2 + 9x − Dựa vào ước lượng hàm đơn điệu Để dễ sử dụng kết hợp nhiều ước lượng xây dựng số ước lượng như: 72 Chương Một số cách xây dựng phương trình chứa ẩn dấu √ √ √ √ √ √ −1 ≤ x − − x ≤ √ √ Hàm số f (x) = x − − x hàm đơn điệu tăng [0; 1] Nên ta có −1 = f (0) ≤ f (x) ≤ f (1) = −1 ≤ x − − x ≤ √ √ Hàm số f (x) = x − − x hàm tăng [0; 1] Nên ta có −1 = f (0) ≤ f (x) ≤ f (1) = −1 ≤ x − − x ≤ √ √ Hàm số f (x) = x − − x hàm tăng liên tục [0; 1] Nên ta có −1 = f (0) ≤ f (x) ≤ f (1) = √ x+3 √ ≤ 2+ 1−x √ x+3 √ Hàm số f (x) = hàm tăng [−3; 1] 2+ 1−x Nên ta có = f (−3) ≤ f (x) ≤ f (1) = √ x + 15 √ ≤ ≤ 2+ 41−x √ x + 15 √ Hàm số f (x) = hàm tăng [−15; 1] 2+ 41−x Nên ta có = f (−15) ≤ f (x) ≤ f (1) = √ √ + x − + − x ≤ √ √ Hàm số f (x) = + x − + − x hàm tăng [0; 1] ≤ Nên ta có f (x) ≤ f (1) = √ x+3− √ − x ≤ √ √ Hàm số f (x) = x + − + − x hàm tăng [−3; 1] 1+ Nên ta có f (x) ≤ f (1) = √ √ − x ≤ √ √ Ta có x ≤ x, − x ≤ − x √ √ Suy x + − x ≤ x + − x = x+ Dấu đẳng thức đạt x = 0, x = Sử dụng bất đẳng thức trung bình cộng trung bình nhân, ta nhận √ 2x − ≤ x √ 2x − 2x − + Vì ≤ = x 2x Dấu đẳng thức xảy x = 73 Chương Một số cách xây dựng phương trình chứa ẩn dấu √ 4x − ≤ x √ 4x − 4x − + + + ≤ = Vì x 4x Dấu đẳng thức xảy x = √ 6x − 11 ≤ x √ 6x − + + + + + 6x − Vì ≤ = x 4x Dấu đẳng thức xảy x = 10 12 √ x + − x ≤ √ √ Vì x + − x ≤ √ x+2−x = 2 Dấu đẳng thức xảy x = √ x + − x ≤ √ √ x+2−x = Vì x + − x ≤ Dấu đẳng thức xảy x = √ 14 x + − x2 ≤ 13 √ Vì x+ √ − x2 ≤ |x| + √ √ √ − x2 = x2 + − x2 ≤ x2 + − x2 = 2 Dấu đẳng thức xảy x = √ 15 x + − x4 ≤ Vì 4 √ √ x + − x 4 4 ≤ |x| + = x + 2−x ≤2 x+ = 2 Dấu đẳng thức xảy x = √ 16 x + − x6 ≤ √ − x4 √ − x4 Vì 6 √ √ x + − x x + − x6 ≤ = 2 Dấu đẳng thức xảy x = x+ √ − x6 ≤ |x| + √ − x6 = Ta gọi ước lượng Có thể tạo nhiều ước lượng theo cách Ta xây dựng phương trình chứa ẩn dấu sau Cách Cộng hai hay nhiều ước lượng 74 Chương Một số cách xây dựng phương trình chứa ẩn dấu Ví dụ 3.23 Giải phương trình √ √ √ √ √ √ x + x + x = + − x + − x + − x Giải Điều kiện ≤ x ≤ Phương trình cho tương đương √ √ √ √ √ √ x − − x + x − − x + x − − x = Sử dụng ước lượng ta thu vế trái ≤ 3, dấu đẳng thức xảy x = Vậy phương trình có nghiệm x = Ví dụ 3.24 Giải phương trình √ 2x − + √ 4x − + √ 6x − = 3x Giải Điều kiện x ≥ Phương trình cho tương đương √ 2x − + x √ 4x − + x √ 6x − = x Sử dụng ước lượng ta thu vế trái ≤ 3, dấu xảy x = Vậy phương trình có nghiệm x = Cách Nhân ước lượng dương ta thu phương trình chứa Ví dụ 3.25 Giải phương trình √ √ √ 2x − 4x − 6x − = x3 √ √ √ 2x − 4x − 6x − = (vì x3 = 0) x x x Hướng dẫn Điều kiện x ≤ Phương trình cho tương đương Vế trái nhỏ Dấu xảy x = 75 Chương Một số cách xây dựng phương trình chứa ẩn dấu Kết luận Luận văn "Một số phương pháp giải phương trình chứa ẩn dấu căn" giải vấn đề sau : - Hệ thống số phương pháp giải phương trình chứa ẩn dấu - Đưa số cách xây dựng, sáng tạo phương trình chứa ẩn dấu Kết luận văn đóng góp vào việc nâng cao chất lượng dạy học môn Toán trường trung học phổ thông giai đoạn 76 Chương Một số cách xây dựng phương trình chứa ẩn dấu TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Văn Mậu, 1993, Phương pháp giải phương trình bất phương trình, NXB Giáo Dục [2] Nguyễn Văn Mậu, 2002, Đa thức đại số phân thức hữu tỷ, NXB Giáo Dục [3] Nguyễn Vũ Lương, 2008„ Hệ phương trình phương trình chứa thức, NXB Đại Học Quốc Gia Hà Nội [4] Nguyễn Tuấn Anh, 2014, Một số phương pháp giải phương trình vô tỷ,NXB Giáo Dục [5] Tạp chí toán học tuổi trẻ [6] Các chuyên đề phương pháp giải phương trình mạng Internet [7] Tuyển tập đề thi Olympic 30-4, NXB Đại Học Sư Phạm 77 [...]... phương trình (hệ phương trình) theo ẩn phụ vừa đặt và giải phương trình (hệ phương trình ) này Thông thường sau khi đặt ẩn phụ thì những phương trình thu được là những phương trình đơn giản hơn mà ta đã biết cách giải Bước 3 Giải phương trình (hệ phương trình) với ẩn phụ đã biết để xác định nghiệm của phương trình đã cho 2.3.1 Đặt ẩn phụ đưa về phương trình theo ẩn phụ mới Phương pháp này sử dụng ẩn. .. 1 Một số kiến thức chuẩn bị ⇔ x=1 sin t 4 sin2 t − 6 sin t + 8 = 0 Từ đó ta có nghiệm của phương trình đã cho Qua ví dụ trên, ta thấy rằng có thể có nhiều cách để giải một phương trình chứa ẩn dưới dấu căn nào đó Mọi phương pháp đều có chung một mục đích, đó là tìm cách loại bỏ căn thức và đưa phương trình đã cho về phương trình mà ta đã biết cách giải 10 Chương 2 Một số phương pháp giải phương trình. .. nhất x = 6 2.3 Phương pháp 3: Đặt ẩn phụ Nội dung của phương pháp này là đặt một biểu thức chứa căn thức bằng một biểu thức theo ẩn mới mà ta gọi là ẩn phụ, rồi chuyển phương trình đã cho về phương trình với ẩn phụ vừa đặt Giải phương trình theo ẩn phụ để tìm nghiệm rồi thay vào biểu thức vừa đặt để tìm nghiệm theo ẩn ban đầu Với phương pháp này ta tiến hành theo các bước sau Bước 1 Chọn ẩn phụ và tìm... 19x2 = 0 ⇔ x= 30 Thay x = 0 vào phương trình đã cho ⇒ −2 = 1 (vô lý) 12 Chương 2 Một số phương pháp giải phương trình chứa ẩn dưới dấu căn 19 vào phương trình đã cho thỏa mãn 30 19 Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = 30 Thay x = Ví dụ 2.5 (Thi chọn HSG lớp 9 Bắc Giang, năm 2009) Giải phương trình √ x+1+ √ 2x + 3 = √ 3x + √ 2x − 2 Giải Điều kiện x ≥ 1 Phương trình đã cho tương đương √ 3x − √... Chương 2 Một số phương pháp giải phương trình chứa ẩn dưới dấu căn Suy ra √ √ x2 − x + 1 = 3 x − 2 ⇔ x2 − x + 1 = 9x − 18 ⇔ x2 − 10x + 19 = 0 √ ⇔ x = 5 ± 6 (thỏa mãn) √ √ Vậy phương trình có 2 nghiệm là x = 5 + 6, x = 5 − 6 2.3.3 "Ẩn phụ không hoàn toàn" Đặt ẩn phụ không hoàn toàn là khi ta đặt ẩn phụ mới t thì phương trình nhận được hệ số của nó vẫn chứa x Khi đó nếu phương trình bậc 2 (ẩn t) có biệt... > 1 ⇔ √ √ < 1 2 2 2x − 3 + x 1 Suy ra √ √ − 2 = 0 vô nghiệm 2x − 3 + x Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 3 Giải Điều kiện x ≥ Phương trình đã cho tương đương 15 (2.2) Chương 2 Một số phương pháp giải phương trình chứa ẩn dưới dấu căn Ví dụ 2.10 Giải phương trình √ √ 3 x + 24 + 12 − x = 6 Giải Điều kiện x ≤ 12 Phương trình đã cho tương đương √ √ ( 3 x + 24 − 3) + ( 12 − x − 3) = 0 x + 24 − 27... (2.5) Chương 2 Một số phương pháp giải phương trình chứa ẩn dưới dấu căn √ √ 1+ 5 1− 5 Vậy phương trình có 2 nghệm là x = ;x= 2 2 Ví dụ 2.19 Giải phương trình x3 + 8 = 3(x2 − x + 6) 10 Giải Điều kiện x ≥ −2 Phương trình đã cho tương đương 10 (x + 2)(x2 − 2x + 4) = 3(x + 2) + 3(x2 − 2x + 4) x+2 3(x + 2) ⇔ 2 + 3 = 10 2 x − 2x + 4 x − 2x + 4 x+2 , t ≥ 0 Đặt t = 2 x − 2x + 4 Khi đó, phương trình trở thành... ẩn phụ Đây là bước quan trọng nhất, ta cần chọn biểu thức thích hợp để đặt làm ẩn phụ Để làm tốt bước này ta cần phải xác định được mối quan hệ của các 20 Chương 2 Một số phương pháp giải phương trình chứa ẩn dưới dấu căn biểu thức có mặt trong phương trình Cụ thể là, phải xác định được sự biểu diễn tường minh của một biểu thức qua một biểu thức khác trong phương trình đã cho Bước 2 Chuyển phương trình. .. x 2x2 − x − 10 Chương 2 Một số phương pháp giải phương trình chứa ẩn dưới dấu căn Nhận xét Phương trình đã cho tương đương 3x2 − 6x − 5 = √ 2 − x 3x2 − 5x − 6 Dúng máy tính bấm nghiệm, ta thấy phương trình ra nghiệm xấu Chính vì thế, ta sẽ thêm bớt ẩn sao cho phù hợp để có thể nhân liên hợp Do giả thiết ở √ √ phương trình này có 2 − x nên ta sẽ thêm bớt α 2 − x vào phương trình √ √ √ 3x2 − 6x − 5... Chương 2 Một số phương pháp giải phương trình chứa ẩn dưới dấu căn Ví dụ 2.15 (Toán học Tuổi trẻ số 454, tháng 4 năm 2015) Giải phương trình 2x2 − x − 3 = √ 2 − x Giải Điều kiện x ≤ 2 Phương trình đã cho tương đương √ 2 x2 − x − 1 + x − 1 − 2 − x = 0 x2 − x − 1 √ ⇔ 2 x2 − x − 1 + =0 x−1+ 2−x 1 √ ⇔ (x2 − x − 1) 1 + =0 x − 1 + √2 − x 1± 5 (thỏa mãn) ⇔ x2 − x − 1 = 0 ⇔ x = √2 1± 5 Vậy phương trình có ... bị Chương Một số phương pháp giải phương trình chứa ẩn dấu Chương Một số cách xây dựng phương trình chứa ẩn dấu MỤC LỤC Mặc dù cố gắng nhiều nghiêm túc trình nghiên cứu, thời gian trình độ hạn... bỏ thức đưa phương trình cho phương trình mà ta biết cách giải 10 Chương Một số phương pháp giải phương trình chứa ẩn dấu 2.1 Phương pháp 1: Biến đổi tương đương Nội dung phương pháp lũy thừa... phương trình cho Bước Chuyển phương trình ban đầu phương trình (hệ phương trình) theo ẩn phụ vừa đặt giải phương trình (hệ phương trình ) Thông thường sau đặt ẩn phụ phương trình thu phương trình