MỤC LỤC MỤC LỤC.......................................................................................................................................1 Một số kí hiệu trong tài liệu.............................................................................................................1 Phần 1. Mở đầu................................................................................................................................2 Phần 2. Nội dung.............................................................................................................................3 I. Khảo sát hàm số........................................................................................................................3 1. Hàm số bậc ba .....................................................................................................................3 2. Hàm trùng phương ..............................................................................................................5 3. Hàm .....................................................................................................................................6 II. Một số bài toán liên quan........................................................................................................7 1. Bài toán biện luận dựa vào đồ thị hàm số............................................................................7 2. Bài toán cực trị và sự tương giao của hai đồ thị hàm số....................................................11 3. Bài toán liên quan tới cấp số cộng và cấp số nhân............................................................18 4. Bài toán tiếp tuyến.............................................................................................................21 4.1 Cho biết tiếp điểm............................................................................................................21 4.2 Phương trình tiếp tuyến biết hệ số góc............................................................................22 4.3 Tiếp tuyến đi qua một điểm cho trước.............................................................................24 III. Bài tập củng cố:...................................................................................................................26 Đáp số........................................................................................................................................29 Phần III. Kiến nghị, đề xuất..........................................................................................................29 Tài liệu tham khảo.....................................................................................................................30 Một số kí hiệu trong tài liệu LG Pttt MTBT TN THPT THCN Lời giải Phương trình tiếp tuyến Máy tính bỏ túi Tốt nghiệp trung học phổ thông Trung học chuyên nghiệp TXĐ HS GD – ĐT ĐH – CĐ ĐL Tập xác định Học sinh Giáo dục – Đào tạo Đại học – Cao đẳng Định lí TCĐ Tiệm cận đứng TCN Tiệm cận ngang Phần 1. Mở đầu 1. Cơ sở lí luận - Xuất phát từ mục tiêu GD trong giai đoạn hiện nay là phát huy tính tự giác tích cực của người học và đào tạo ra những con người có trí tuệ, giàu tính sáng tạo và nhân văn cao. - Chúng ta áp dụng các phương pháp phù hợp để bồi dưỡng HS và để HS tự bồi dưỡng nhằm nâng cao năng lực giải quyết vấn đề. 2 - Chúng ta đã và đang đổi mới GD, khắc phục lối truyền thụ một chiều, rèn năng lực tự học cho HS, từng bước áp dụng các phương pháp tiên tiến vào dạy học; - Trước hết cần truyền đạt được các kỹ năng cơ bản, kiến thức tổng quan, tác động tới tư tưởng tình cảm nhằm đem lại cảm hứng học tập cho HS. 2. Cơ sở thực tiễn - “ Đồ thị hàm số và bài toán liên quan” là bài toán chủ đạo trong các kỳ thi TN THPT, ĐH – CĐ, THCN. - Đây là bài toán rất cơ bản của chương trình Giải tích 12, vậy nhưng HS còn chưa nắm vững, vì các lí do như: Trên lớp không đủ thời gian, chưa có sự tổng hợp, hoặc do “ngại” không dám hỏi thầy cô giáo ngay cả những điều đơn giản,… - Bằng thực tế giảng dạy ở trường THPT Nguyễn Thị Giang, tôi mạnh dạn viết chuyên đề này, đồng thời đưa ra một số ý kiến cá nhân nhằm giúp HS trường tôi (hoặc tương đương) có thể tự học thi ĐH – CĐ hiệu quả nhất. - Đề tài được chia làm 2 phần chính: Phần 1: KSHS; Phần 2: Một số bài toán liên quan. 3. Mục đích - Khắc phục tối đa những sai lầm của HS khi làm bài toán “Đồ thị hàm số và bài toán liên quan”. - Giúp HS cảm thấy tự tin hơn khi gặp bài toán “Đồ thị hàm số và bài toán liên quan”. - Cùng đồng nghiệp tìm ra phương pháp dạy học phù hợp nhất với mọi đối tượng HS, giúp HS có hứng thú hơn với bộ môn. 4. Thời gian – Địa điểm - Đề tài được thực hiện tại trường THPT Nguyễn Thị Giang, năm học 2011 – 2012 , 2012 – 2013 trên cơ sở các tiết dạy thuộc Chương 1 của Giải tích 12. 5. Dự kiến thời gian: 10 tiết Phần 2. Nội dung I. Khảo sát hàm số 3 2 1. Hàm số bậc ba y = f ( x ) = ax + bx + cx + d , a ≠ 0. Các bước khảo sát: +)Tập xác định: ¡ +)Chiều biến thiên: 3 y, xlim y. Tính giới hạn xlim →+∞ →−∞ Tính đạo hàm và giải phương trình f '( x) = 0 . Lập bảng biến thiên, điền các giá trị tương ứng vào bảng. Từ bảng biến thiên rút ra các kết luận về chiều biến thiên và cực trị. +)Vẽ đồ thị của hàm số Xác định một số điểm đặc biệt. Vẽ đồ thị hàm số. 3 2 Ví dụ 1 Cho hàm số y = − x + 3 x . Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho. LG: +) TXĐ: ¡ +) Chiều biến thiên: lim y = −∞, xlim y = +∞. x →+∞ →−∞ y ' = −3x 2 + 6 x = −3x( x − 2) ⇒ y ' = 0 ⇔ x = 0 ∨ x = 2. BBT: x −∞ − y' y +∞ 2 0 0 + 0 − 4 +∞ 0 −∞ Hàm số nghịch biến trên các khoảng (−∞;0),(2; +∞) , đồng biến trên khoảng (0;2) . Đồ thị của hàm số có điểm cực tiểu là (0;0) , điểm cực đại là (2;4) . +) Đồ thị (tìm một vài điểm đặc biệt mà đồ thị đi qua) Cho y = 0 ⇒ x = 0 ∨ x = 3 . Hình vẽ: Nhận xét: 4 +) Với các bước KSHS như Giải tích 12, nâng cao (như vừa trình bày), HS dễ tiếp thu và làm nhanh hơn nhiều so với Giải tích 12, cơ bản. Chẳng hạn, việc Giải tích 12, CB tính giới hạn tại vô cực sau khi tìm cực trị khiến nhiều HS quên khi làm bài; Xét chiều biến thiên + tìm cực trị trước khi lập BBT làm HS phải xét dấu của y’ gây mất nhiều thời gian, thậm chí khó đối với một bộ phận không nhỏ HS. +) HS thường viết sai như sau: Hàm số có điểm cực đại là (2;4) ,cực tiểu là (0;0) . Viết đúng phải là: Đồ thị của hàm số có điểm cực đại (2;4) , điểm cực tiểu (0;0) . Hoặc: Hàm số đạt cực đại tại x = 2 , giá trị cực đại là y (2) = 4. Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0 , giá trị cực tiểu là y (0) = 0. +) Đối với hàm bậc ba, đồ thị của nó nhận trung điểm của đoạn thẳng nối điểm cực đại và điểm cực tiểu làm tâm đối xứng, như ví dụ trên là điểm I (1;2). Ví dụ 2 Cho hàm số y = cho. Nhận xét: 1 3 3 2 x − x + 5. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã 4 2 3 2 +) Phần vẽ đồ thị hàm y = ax + bx + cx + d , a ≠ 0 để cho dễ, ta sẽ chọn cho x = 0 ⇒ y = d ; Sau đó chọn y = d ⇒ ax 3 + bx 3 + cx = 0 thì đa số HS làm được 3 2 (theo lối mòn thường cho y = 0 ⇒ ax + bx + cx + d = 0, d ≠ 0? ). 4 2 2. Hàm trùng phương y = ax + bx + c, a ≠ 0 Các bước khảo sát tương tự như hàm bậc ba, tuy nhiên cần chú ý tới tính đối xứng của đồ thị hàm trùng phương, là hàm chẵn, nên đồ thị đối xứng qua trục tung. 4 2 Ví dụ 3. Khảo sát, vẽ đồ thị của hàm số y = f ( x ) = x − 4 x + 3 (C). LG: +) TXĐ ¡ +) Chiều biến thiên lim y = +∞, xlim y = +∞ x →+∞ →−∞ y ' = 4 x 3 − 8 x = 4 x( x 2 − 2) ⇒ y ' = 0 ⇔ x = 0, x = 2, x = − 2. BBT: Hàm số đồng biến trên các khoảng (− 2;0),( 2; +∞) Hàm số nghịch biến trên các khoảng (−∞; − 2),(0; 2). 5 Đồ thị hàm số có điểm cực đại là (0;3), cực tiểu (− 2; −1),( 2; −1). +) Vẽ dồ thị: Cho y = 0 ⇒ x 2 = 3 ⇔ x = ± 3. ( y = 3 ⇒ x = 0, x = ±2 ) y 3 2 1 − 2 -2 x 2 -1 O 1 2 -1 ax + b ( c ≠ 0, ad ≠ bc ) cx + d Các bước khảo sát hàm số: 3. Hàm y =  −d  +) Tập xác định ¡ \  .  c  +) Chiều biến thiên: a a lim y = ⇒ y = là đường tiệm cận ngang (song song với trục hoành). x →±∞ c c d lim y = ? ∞, lim y = ? ∞ ⇒ x = − là tiệm cận đứng (song song với trục tung).  −d   −d  c x → x → ÷ ÷ +  c  y' = −  c  ad − bc d ,x ≠ − . 2 (cx + d ) c Lập BBT và điền các giá trị tương ứng. Kết luận về chiều biến thiên của hàm số. +) Đồ thị Chọn điểm đặc biệt: x = 0 ⇒ y = b / d ; y = 0 ⇒ x = −b / a. Vẽ đường tiệm cận (càng sát trục tọa độ, đồ thị càng dễ vẽ). d a Vẽ đồ thị (chú ý là đồ thị không cắt các tiệm cận, nhận I (− ; ) - là giao của hai c c đường tiệm cận, làm tâm đối xứng). 1− x . Ví dụ 4. Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số y = x+2 −x +1 . LG: Để tránh nhầm lẫn, ta viết lại hàm y = x+2 6 +) TXĐ: D = ¡ \ { −2} . +) Chiều biến thiên: lim y = −1 ⇒ y = −1 là đường tiệm cận ngang. x →±∞ lim y = +∞, lim y = −∞ ⇒ x = −2 là tiệm cận đứng. x →( −2 ) x →( −2 ) y' = + − −3 < 0, ∀x ≠ −2. ( x + 2) 2 BBT: x −∞ − y' y +∞ − 2 − +∞ −1 −∞ −1 Hàm số nghịch biến trên các khoảng ( −∞; −2 ) , ( −2; +∞ ) . +) Đồ thị x = 0 ⇒ y = 1 / 2; y = 0 ⇒ x = 1. y 3 2 1 x -6 -5 -4 -3 -2 O -1 1 2 -1 I -2 -3 -4 -5 -6 Nhận xét: y = −1). +) Trong 3 hàm số ta xét, chỉ được viết tắt giới hạn dạng trên (lim x →±∞ y = +∞, lim y = −∞ , với nhiều đối tượng, đôi +) Để HS nhớ được giới hạn x→lim x →( −2 ) ( −2 ) + − khi cần chỉ rõ, chẳng hạn x → ( −2 ) ⇒ x > −2 ⇒ x + 2 > 0 , hoặc chỉ rõ trên trục số điều đó có nghĩa là các số x → −2 từ phía bên phải, và do đó x > −2. + II. Một số bài toán liên quan 1. Bài toán biện luận dựa vào đồ thị hàm số 3 2 Ví dụ 1.1 Cho hàm số y = − x + 3 x . 7 a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho. b) Dựa vào đồ thị (C) hãy biện luận số nghiệm của phương trình − x 3 + 3x 2 − m = 0 ( m là tham số). LG: b) Phương trình đã cho viết lại là − x 3 + 3x 2 = m (1) Vế trái của (1) là hàm số có đồ thị vừa vẽ ở phần a), vế phải là đường thẳng nằm ngang (song song với trục hoành) y = m. Số nghiệm của phương trình (1) là số giao điểm của đồ thị (C) và đường y = m. Vậy dựa vào đồ thị (C) ta có kết quả biện luận như sau: m < 0 : Phương trình (1) có 1 nghiệm; m = 0 : Phương trình (1) có 2 nghiệm; 0 < m < 4 : Phương trình (1) có 3 nghiệm; m = 4 : Phương trình (1) có 2 nghiệm; m > 4 : Phương trình (1) có 1 nghiệm. Nhận xét: +) Trong tài liệu này chúng ta xét các hàm số có cực trị, do đó việc biện luận số nghiệm của phương trình f ( x) = g (m) , theo tham số m (với g ( m) là đường thẳng nằm ngang, f ( x) là hàm khảo sát và vẽ đồ thị) thường chia làm 5 trường hợp: g ( m) < f CT , g (m) = f CT , f CT < g (m) < f CD , g (m) = f CD , g ( m) > f CD tương ứng là các trường hợp phương trình có 1, 2, 3, 2, 1 nghiệm (cố nhiên phải tìm ra m ). 1 3 Ví dụ 1.2 Cho hàm số y = x 3 − x 2 + 5. 4 2 a) Kháo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho. b) Tìm các giá trị của tham số m để phương trình sau có 3 nghiệm thực phân biệt: x 3 − 6 x 2 + m = 0. Nhận xét: +) Ý b) là phần nhỏ của bài toán biện luận! 1 3 17 2 Ví dụ 1.3 Cho hàm số y = f ( x ) = x − 2 x + . 3 3 a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho. b) Chứng minh rằng phương trình f ( x) = 0 có 3 nghiệm phân biệt. HD b) Đồ thị (C) của hàm đã cho cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt nên phương trình f ( x) = 0 có 3 nghiệm phân biệt. 3 Ví dụ 1.4 Cho hàm số y = − x + 3 x có đồ thị (C). a) Khảo sát, vẽ (C). 8 3 b) Từ (C) hãy suy ra đồ thị của hàm y = − x + 3 x . HD 3 b) Hàm y1 = − x + 3 x = − x 3 + 3x ⇔ x ≥ 0 cho nên đồ thị của hàm y1 với x ≥ 0 trùng với đồ thị (C) ứng vơi x ≥ 0 (phần bên phải trục tung). 3 Mặt khác, y = − x + 3 x là hàm số chẵn, đồ thị nhận trục tung làm trục đối xứng nên ta co cách vẽ sau: 3 Đồ thị của hàm y = − x + 3 x gồm: phần bên phải trục tung của đồ thị (C) và phần đối xứng của nó qua trục tung. Dưới đây là hình vẽ: 3 2 Ví dụ 1.5 Cho hàm y = x − 3kx − 6kx, k là tham số. 1 a) Kháo sát, vẽ hàm trên với k = . 4 3 b) Biện luận theo a số nghiệm của phương trình 4 x − 3x 2 − 6 x − 4a = 0. HD b) Kết quả biện luận như sau: 5 5 a < − : Phương trình vô nghiệm; a = − : Phương trình có 2 nghiệm; 4 4 5 − < a < 0 : Phương trình có 4 nghiệm; a = 0 : Phương trình có 3 nghiệm; 4 a > 0 : Phương trình có 2 nghiệm. 3 2 Ví dụ 1.6 Cho hàm số y = 2 x − 9 x + 12 x − 4 có đồ thị (C). a) khảo sát, vẽ (C). b) Tìm các giá trị của tham số m để phương trình sau có 6 nghiệm phân biệt: 3 2 x − 9 x 2 + 12 x = m. HD b) 4 < m < 5. x3 3x 2 5x + Ví dụ 1.7 Cho hàm số y = f ( x ) = + có đồ thị (C). 6 2 2 a) Khảo sát, vẽ (C). 9 x3 3x 2 5x + + . b) Từ (C) hãy suy ra cách vẽ đồ thị hàm y = 6 2 2 HD  f ( x), f ( x) ≥ 0 b) Ta có y = f ( x) =  − f ( x), f ( x) < 0 Từ đó có cách vẽ đồ thị y = f ( x) như sau: Giữ lại phần phía trên trục hoành (tính từ trục hoành), lấy đối xứng phần phía dưới qua trục hoành. Hình vẽ: 4 2 Ví dụ 1.8 Cho hàm số y = f ( x ) = x − 4 x + 3 có đồ thị (C). a) Khảo sát, vẽ (C). b) Tìm giá trị của tham số m để phương trình sau có 8 nghiệm phân biệt: x 4 − 4 x 2 + 3 + 2m − 1 = 0. LG:  f ( x), f ( x) ≥ 0 b) Ta có y = f ( x) =  − f ( x), f ( x) < 0 Từ đó có cách vẽ đồ thị y = f ( x) như sau: Giữ lại phần phía trên trục tung (tính từ trục hoành), lấy đối xứng phần phía dưới qua trục hoành. Hình vẽ: y 3 2 1 x -2 − 2 -1 O 1 2 2 -1 x 4 − 4 x 2 + 3 + 2 m − 1 = 0 ⇔ x 4 − 4 x 2 + 3 = −2 m + 1 (1) Để phương trình (1) có 8 nghiệm phân biệt ⇔ đồ thị y = f ( x) và đường nằm 1 ngang y = −2m + 1 có 8 giao điểm phân biệt ⇔ 0 < −2m + 1 < 1 ⇔ 0 < m < . 2 2 2 Ví dụ 1.9 Cho hàm số y = ( x + 1) ( x − 1) cố đồ thị (C). a) Khảo sát, vẽ (C). b) Biện luận theo tham số b số nghiệm của phương trình x 4 − 2 x 2 − 2b + 2 = 0. HD 10 b) Kết quả biện luận như sau: 1 1 b < : phương trình có 0 nghiệm; b = : phương trình có 2 nghiệm; 2 2 1 < b < 1: phương trình có 4 nghiệm; b = 1: phương trình có 3 nghiệm; 2 b > 1: phương trình có 2 nghiệm. 4 2 Ví dụ 1.10 Cho hàm số y = 2 x − 4 x cố đồ thị (C). a) Khảo sát, vẽ (C). b) Tìm giá trị của tham số m để phương trình sau có sáu nghiệm phân biệt x 2 x 2 − 2 = m. HD b) 0 < m < 1. y 6 5 4 25/6 3 2 7/6 1 x -7 -6 -5 -4 -3 -2 O -1 1 2 -1 3 Ví dụ 1.11 Cho hàm số y = − x3 + x 2 + 6 x − 3 có đồ thị (C). 2 a) Khảo sát, vẽ (C). b) Tìm giá trị tham số m để phương trình sau có sáu nghiệm phân biệt: 3 − x3 + x 2 + 6 x − 3 = m. 2 HD 9 b) 0 < m < . 2 2. Bài toán cực trị và sự tương giao của hai đồ thị hàm số 2 Ví dụ 2.1 Cho hàm số y = ( x + 1)( x + 2mx + m + 2), m là tham số. a) Khảo sát, vẽ đồ thị của ham số trên với m = −1. b) Tìm giá trị của tham số m để đồ thị của hàm đã cho cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt. HD 11 b) Hoành độ giao điểm của đường cong đã cho và trục hoành ( y = 0) là nghiệm của phương trình x +1 = 0 ( x + 1)( x 2 + 2mx + m + 2) = 0 ⇔  2 (1)  x + 2mx + m + 2 = 0 Như thế, yêu cầu bài toán ⇔ phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt khác – 1 ∆ ' = m2 − m − 2 > 0 ⇔ m < −1;2 < m < 3; m > 3. Hay  − m + 3 ≠ 0  3 2 Ví dụ 2.2 Cho hàm số y = x − (2m − 1) x + (2 − m) x + 2, m là tham số. a) Khảo sát, vẽ đồ thị của hàm đã cho khi m = 2. b) Tìm các giá trị của m để đồ thị của hàm số đã cho có cực trị và cực trị có hoành độ dương. HD b) Hoành độ các điểm cực trị là nghiệm của phương trình y ' = 0. 2 Ycbt ⇔ 3x − 2(2m − 1) x + 2 − m = 0 có 2 nghiệm dương phân biệt  ∆ ' > 0  2(2m − 1) 5  ⇔ S = > 0 ⇔ < m < 2. 3 4  2−m  P = >0  3 Nhận xét: +) Theo viet nếu phương trình bậc 2 có 2 nghiệm phân S = x1 + x2 , P = x1 x2 từ đó theo ycbt ta có hệ điều kiện trên. biệt x1 , x2 thì đặt +) Nếu bài toán yêu cầu hoành độ của cực trị âm thì sao? 3 2 2 Ví dụ 2.3 Cho hàm số y = x − (2m + 1) x + ( m − 3m + 2) x + 4, m là tham số. a) Khảo sát, vẽ đồ thị của hàm đã cho khi m = 1. b) Tìm các giá trị của m để đồ thị của hàm số đã cho có 2 cực trị nằm về hai phía của trục tung. HD b) 2 điểm cực trị nằm về hai phía của trục tung suy ra chúng phải có hoành độ trái 2 2 dấu ⇔ y ' = 0 có 2 nghiệm trái dấu ⇔ 3 x − 2(2m + 1) x + m − 3m + 2 = 0 Có 2 nghiệm trái dấu ⇔ P = m 2 − 3m + 2 < 0 ⇔ 1 < m < 2. 3 3 2 Ví dụ 2.4 Cho hàm số y = x − (4m + 1) x + (7 m + 1) x − 3m − 1, m là tham số. a) Khảo sát, vẽ đồ thị của hàm đã cho khi m = 1. 12 b) Tìm các giá trị của m để đồ thị của hàm số đã cho có 2 cực trị và giá trị các cực trị trái dấu. HD b) Cần để ý rằng khi đồ thị của hàm bậc ba cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt thì 2điểm cực trị nằm về 2 phía của trục hoành (phía trên và phía dưới). Vậy ycbt ⇔ y = 0 có 3 nghiệm phân biệt ⇔ x 3 − (4m + 1) x 2 + (7 m + 1) x − 3m − 1 = 0 có 3 nghiệm phân biệt ⇔ ( x − 1)( x 2 − 4mx + 3m + 1) = 0 có 3 nghiệm phân biệt (1) ⇔ x 2 − 4mx + 3m + 1 = 0 có 2 nghiệm phân biệt khác 1 4m 2 − 3m − 1 > 0 1 ⇔ ⇔ m < − ,1 < m ≠ 2. 4 2 − m ≠ 0 Nhận xét: +) Để biến đổi về phương trình (1) HS cần phải nhẩm được nghiệm (có thể bằng MTBT) x = 1. Sau đó, khó hơn là thực hiện chia đa thức. +) Bảng chia mẫu ví dụ trên như sau (sử dụng lược đồ Hooc – ne ): 1 1 1 −4m −1 1.1 + ( −4m −1) = −4m 7 m +1 −3m −1 1( −4m) + 7 m +1 1(3m +1) + ( −3m −1) = 3m +1 =0 =r Dòng đầu ghi hệ số của phương trình bậc 3 theo thứ tự lũy thừa giảm dần. Dòng thứ 2 (trừ ô đầu là nghiệm nhẩm được) ghi hệ số tam thức bậc 2 (lũy thừa giảm) và cách tính các hệ số đó. Phép chia hết nên dư r = 0. 3 Ví dụ 2.5 Cho hàm số y = x − 3x + 2 có đồ thị (C). a) Khảo sát, vẽ (C). b) Gọi (d) là đường thẳng đi qua M (3;20) , hệ số góc m . Tìm m để (d) cắt (C) tại 3 điểm phân biệt. HD b) Đường thẳng (d) có phương trình: y = m( x − 3) + 20 Phương trình hoành độ 3 2 x − 3x + 2 = m( x − 3) + 20 ⇔ ( x − 3)( x + 3 x + 6 − m) = 0 giao Vậy ycbt ⇔ x 2 + 3x + 6 − m = 0 có 2 nghiệm phân biệt khác 3 ⇔ điểm 15 < m ≠ 24. 4 13 Nhận xét: HS cần nhớ phương trình đường thẳng đi qua M ( x0 ; y0 ) , hệ số góc k có dạng y = k ( x − x0 ) + y0 . 3 2 Ví dụ 2.6 Cho hàm số y = x − 3x + 4 có đồ thị (C). a) Khảo sát, vẽ (C). b) Chứng minh rằng mọi đường thẳng (d) đi qua I (1;2) , hệ số góc k > −3 đều cắt (C) tại 3 điểm phân biệt I , A, B và I là trung điểm của A, B . HD 3 2 b) Phương trình hoành độ giao điểm x − 3x + 4 = k ( x − 1) + 2 x =1 ⇔ ( x − 1)( x 2 − 2 x − k − 2) = 0 ⇔  2 (1)  x − 2x − k − 2 = 0 Để ý rằng x = 1 là hoành độ điểm I . Do k > −3 nên (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt và x = 1 không phải là nghiệm của (1). Suy ra (d) luôn cắt (C) tại 3 điểm phân biệt I , A( x1; y1 ), B ( x2 ; y2 ); x1 , x2 là nghiệm của (1) và y1 = k ( x1 − 1) + 2, y2 = k ( x2 − 1) + 2. Ta có x1 + x2 = 2 = 2 xI ; y1 + y2 = 4 = 2 yI nên I là trung điểm của A, B . 1 3 2 2 Ví dụ 2.7 Cho y = x − mx − x + m + , m là tham số. 3 3 a) Khảo sát, vẽ đồ thị của hàm số trên khi m = 0. b) Tìm giá trị của m để đồ thị của hàm đã cho cắt trục hoành tại 3 điểm phân 2 2 2 biệt có hoành độ x1 , x2 , x3 thỏa: x1 + x2 + x3 > 15. HD b) Phương trình hoành độ giao điểm: x =1 ( x − 1)  x 2 + (1 − 3m) x − 3m − 2  = 0 ⇔  2  f ( x) = x + (1 − 3m) x − 3m − 2 = 0 2 2 Đặt x3 = 1 , ycbt ⇔ f ( x) = 0 có 2 nghiệm x1 , x2 khác 1 thỏa x1 + x2 + 1 > 15 ∆ = (1 − 3m) 2 + 4(3m + 2) > 0  m < −1  ⇔  f (1) = 1 + (1 − 3m) − 3m − 2 ≠ 0 ⇔  ⇔ m > 1. m > 1  ( x + x ) 2 − 2 x x + 1 > 15  1 2 1 2 3 2 Ví dụ 2.8 Cho y = x − 2 x + (1 − m) x + m, m là tham số. a) Khảo sát, vẽ đồ thị của hàm số trên khi m = 1. b) Tìm giá trị của m để đồ thị của hàm đã cho cắt trục hoành tại 3 điểm phân 2 2 2 biệt có hoành độ x1 , x2 , x3 thỏa: x1 + x2 + x3 < 4. HD 14 1 b) − < m < 1, m ≠ 0. 4 Ví dụ 2.9 Cho hàm số y = 2 x3 + 3(m − 1) x 2 + 6m(1 − 2m) x (Cm). Tìm m để đồ thị của hàm số (Cm) có điểm cực đại, cực tiểu và các điểm cực đại, cực tiểu nằm trên đường thẳng có phương trình (d ) : y = −4 x. LG: TXĐ: ¡ y ' = 6 x 2 + 6(m − 1) x + 6m(1 − 2m) ; +) Hàm số có cực đại, cực tiểu khi và chỉ khi phương trình y ' = 0 có hai nghiệm phân biệt ⇔ 6 x 2 + 6(m − 1) x + 6m(1 − 2m) = 0 có hai nghiệm phân biệt ⇔ x 2 + (m − 1) x + m(1 − 2m) = 0 có hai nghiệm phân biệt 1 ⇔ ∆ = (3m − 1) 2 > 0 ⇔ m ≠ . 3 +) Ta có y = y '( x ).(2 x + m − 1) − (3m − 1) 2 x + m(m − 1)(1 − 2m) Gọi hai điểm cực trị là: A( x1; y1 ), B ( x2 ; y2 ) thì có y1 = −(3m − 1) 2 x1 + m(m − 1)(1 − 2m) y2 = −(3m − 1) 2 x2 + m(m − 1)(1 − 2m) Suy ra đường thẳng đi qua cực đại, cực tiểu là: y = −(3m − 1) 2 x + m(m − 1)(1 − 2m) −(3m − 1) 2 = −4 ⇔ m = 1 (thỏa mãn). +) Ycbt ⇔  m(m − 1)(1 − 2m) = 0 Vậy m = 1. Nhận xét: Lời giải trên dựa vào việc chứng minh mệnh đề sau đây Mệnh đề: Đường thẳng đi qua điểm cực đại, cực tiểu (nếu có) của đồ thị hàm số y = ax3 + bx 2 + cx + d (a ≠ 0) là phần dư của phép chia y cho y '. Chứng minh: TXĐ: ¡ Ta có y ' = 3ax 2 + 2bx + c; y = y '( x).(α x + β ) + mx + n ; Giả sử đồ thị hàm số có điểm cực đại, cực tiểu, là A( x1; y1 ), B ( x2 ; y2 ) ( x1 , x2 là nghiệm của phương trình y ' = 0) thì ( do y( ) = 0) + n ( do y( ) = 0 ) y1 = mx1 + n y2 = mx2 ' x1 ' x2 Và như thế đường thẳng đi qua điểm cực đại, cực tiểu là y = mx + n. 15 Muốn làm theo cách trên HS phải thành thạo việc chia đa thức. Nếu các nghiệm của phương trình y ' = 0 là dễ tìm (không phức tạp) thì cũng không cần làm như trên, chúng ta tìm luôn 2 điểm cực trị rồi viết phương trình đi qua chúng ( Hình học 10). HS luyện tập ví dụ sau Ví dụ 2.10 Cho hàm số y = x3 + mx 2 + 7 x + 3 (Cm). Tìm m đường thẳng đi qua cực đại, cực tiểu của hàm số đã cho vuông góc với đường thẳng có phương trình (d ) : y = 3 x − 7. 3 10 . 2 Ví dụ 2.11 Tìm m để hàm số y = x3 − 3x 2 + m2 x + m có điểm cực đại, điểm cực tiểu đối xứng qua đường thẳng x − 2 y − 5 = 0. HD: m = 0. 4 2 Ví dụ 2.12 Cho hàm y = x − 2mx + 2m có đồ thị (C). HD: m = ± 1 a) Khảo sát, vẽ (C) khi m = . 2 b) Tìm giá trị của tham số m để (C) có 3 điểm cực trị. HD b) Hoành độ các điểm cực trị là nghiệm của phương trình y ' = 0 . Ycbt ⇔ 4 x 3 − 4mx = 0 có 3 nghiệm phân biệt ⇔ 4 x( x 2 − m) = 0 có 3 nghiệm phân biệt ⇔ x 2 − m = 0 có 2 nghiệm phân biệt khác 0 ⇔ m > 0. 4 2 2 Ví dụ 2.13 Cho hàm số y = mx + (m − 9) x + 10 có đồ thị (C). a) Khảo sát, vẽ (C) khi m = 1. b) Tìm giá trị của tham số m để (C) có 3 điểm cực trị. HD b) m < −3,0 < m < 3. 2x + 1 Ví dụ 2.14 Cho hàm số y = có đồ thị (C). 2x − 1 a) Khảo sát, vẽ (C). b) Tìm tọa độ giao điểm của (C) và đường thẳng y = x + 2. HD b) Phương trình hoành độ giao điểm: 16 1 1   x = 1 2x + 1 x ≠ x ≠  = x+2⇔ ⇔ ⇔ 2 2 3 2x − 1 2 2 x + 1 = (2 x − 1)( x + 2) 2 x + x − 3 = 0  x = − 2 3 1 Các giao điểm là A(1;3), B( − ; ). 2 2 x+2 Ví dụ 2.15 Cho hàm số y = có đồ thị (C). x −3 a) Khảo sát, vẽ (C). b) Tìm điểm M thuộc (C) sao cho khoảng cách từ M tới tiệm cận đứng bằng khoảng cách từ M tới tiệm cận ngang. HD b) TCĐ x − 3 = 0 , TCN y − 1 = 0. M ∈ (C ) ⇒ M ( x0 ; ycbt ⇔ x0 − 3 = x0 + 2 ),( x0 ≠ 3). x0 − 3 x0 + 2 5 − 1 ⇔ x0 − 3 = ⇔ x0 = 3 ± 5. x0 − 3 x0 − 3 Từ đó tìm được M . Nhận xét: HS cần nhớ lại công thức tính khoảng cách. Khoảng cách từ M ( x0 ; y0 ) tới đường thẳng (d) ax + by + c = 0 được tính theo ax0 + by0 + c . công thức: d ( M , d ) = a 2 + b2 2x + 1 Ví dụ 2.16 Cho hàm số y = có đồ thị (C). x +1 a) Khảo sát, vẽ (C). b) Tìm m để đường thẳng (d) y = −2 x + m cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho diện tích tam giác OAB bằng 3. HD b) Phương trình hoành độ giao điểm:  x ≠ −1 2x + 1 = −2 x + m ⇔  2 x +1 2 x + (4 − m) x + 1 − m = 0 (1) Phương trình (1) có ∆ = m 2 + 8 > 0, ∀m nên (d) luôn cắt (C) tại A, B phân biệt. Gọi x1 , x2 là hai nghiệm phân biệt của (1). 17 A( x1 ; y1 ), B( x2 ; y2 ); y1 = −2 x1 + m, y2 = −2 x2 + m x1 + x2 = m−4 1− m , x1 x2 = , y1 − y2 = 2( x2 − x1 ). 2 2 d (O, AB ) = d (O, d ) = m 5 ; AB = ( x2 − x1 ) + ( y2 − y1 ) = 2 2 5(m 2 + 8) 2 m m2 + 8 1 SOAB = .d ( O, AB ) . AB = = 3 ⇔ m = ±2. 2 4 3. Bài toán liên quan tới cấp số cộng và cấp số nhân Ví dụ 3.1 Cho y = x3 − 3mx 2 + 2m(m − 4) x + 9m 2 − m (Cm) . Tìm m để (Cm) cắt trục hoành tại 3 điểm có hoành độ theo thứ tự lập thành cấp số cộng. LG: Gọi x1 , x2 , x3 thứ tự là hoành độ giao điểm của (Cm) với Ox thì x1 , x2 , x3 thứ tự lập thành cấp số cộng ⇒ x1 + x3 = 2 x2 (1) Mặt khác x1 , x2 , x3 là 3 nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm: x 3 − 3mx 2 + 2m( m − 4) x + 9m 2 − m = 0 Áp dụng ĐL viet cho phương trình bậc 3 ta có x1 + x2 + x3 = 3m (2) Thay (1) vào (2): x2 = m. Ta có y ( x2 ) = y ( m) = 0 ⇔ m3 − 3m3 + 2m 2 ( m − 4) + 9m 2 − m = 0 m = 0 ⇔ m2 − m = 0 ⇔  m = 1 Thử lại: +) Với m = 0 ⇒ y = x 3 ; đồ thị của hàm số này cắt trục hoành tại một điểm (phương trình hoành độ giao điểm có một nghiệm), nên trường hợp này không thỏa mãn yêu cầu bài toán ⇒ m = 0 loại. +) Với m = 1 ⇒ y = x 3 − 3x 2 + 6 x + 8 Có x 3 − 3x 2 + 6 x + 8 = 0 ⇔ x = −2 ∨ x = 1 ∨ x = 4 và nghiệm theo thứ tự lập thành cấp số cộng ⇒ m = 1 thỏa mãn. KL: m = 1. Nhận xét: để hiểu rõ và ghi nhớ lời giải trên ta có thể chứng minh mệnh đề sau Mệnh đề: Đồ thị hàm số y = ax3 + bx 2 + cx + d (a ≠ 0) cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng thì phương trình hoành độ giao điểm có 3 −b nghiệm phân biệt và trong đó một nghiệm là x = . 3a Chứng minh: Gọi x1 , x2 , x3 thứ tự là hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số với Ox thì x1 , x2 , x3 thứ tự lập thành cấp số cộng ⇒ x1 + x3 = 2 x2 (1) 18 Mặt khác x1 , x2 , x3 là 3 nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm: ax3 + bx 2 + cx + d = 0 Áp dụng ĐL viet cho phương trình bậc 3 ta có x1 + x2 + x3 = −b a (2) −b là ĐPCM! 3a Tuy nhiên mệnh đề trên chỉ là điều kiện cần, do đó, việc kiểm tra lại các giá trị của tham số vừa tìm được và kết luận các giá trị đó là cần thiết. Các em HS luyện tập bài tập sau Ví dụ 3.2 Cho y = 3x3 − 3x 2 − 9 x + m(Cm) . Tìm m để (Cm) cắt trục hoành tại 3 điểm có hoành độ theo thứ tự lập thành cấp số cộng. HD: m = 11. Ví dụ 3.3 Cho hàm số y = x3 − (3m + 1) x 2 + (5m + 4) x − 8 (Cm). Tìm m để (Cm) cắt trục hoành tại 3 điểm có hoành độ theo thứ tự lập thành cấp số nhân. LG: Gọi x1 , x2 , x3 thứ tự là hoành độ giao điểm của (Cm) với Ox thì x1 , x2 , x3 thứ tự lập thành cấp số nhân ⇒ x1.x3 = x22 (1) Thay (1) vào (2): x2 = Mặt khác x1 , x2 , x3 là 3 nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm: x 3 − (3m + 1) x 2 + (5m + 4) x − 8 = 0 Áp dụng ĐL viet cho phương trình bậc 3 ta có x1 x2 x3 = 8 (2) Thay (1) vào (2): x23 = 8 ⇔ x2 = 2. Ta có y ( x2 ) = y (2) = 0 ⇔ 4 − 2m = 0 ⇔ m = 2. Thử lại: Với m = 2 ⇒ y = x 3 − 7 x 2 + 14 x − 8 Có x 3 − 7 x 2 + 14 x − 8 = 0 ⇔ x = 1 ∨ x = 2 ∨ x = 4 và nghiệm theo thứ tự lập thành cấp số nhân ⇒ m = 2 thỏa mãn. KL: m = 2. Nhận xét: để hiểu rõ và ghi nhớ lời giải trên ta có thể chứng minh mệnh đề sau Mệnh đề: Đồ thị hàm số y = ax3 + bx 2 + cx + d (a ≠ 0) cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số nhân thì phương trình hoành độ giao điểm có 3 −d . nghiệm phân biệt và trong đó một nghiệm là x = 3 a Chứng minh: Gọi x1 , x2 , x3 thứ tự là hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số với Ox thì x1 , x2 , x3 thứ tự lập thành cấp số nhân ⇒ x1 x3 = x23 (1) Mặt khác x1 , x2 , x3 là 3 nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm: 19 ax3 + bx 2 + cx + d = 0 Áp dụng ĐL viet cho phương trình bậc 3 ta có x1 x2 x3 = Thay (1) vào (2): x23 = −d a (2) −d −d ⇔ x2 = 3 . là ĐPCM! a a Tuy nhiên mệnh đề trên chỉ là điều kiện cần, do đó, việc kiểm tra lại các giá trị của tham số vừa tìm được và kết luận các giá trị đó là cần thiết. Ví dụ 3.4 Cho hàm số y = x 4 − 2(m + 1) x 2 + 2m + 1 (Cm). Tìm m để đồ thị của hàm số đã cho cắt trục Ox tại 4 điểm phân biệt có hoành độ theo thứ tự lập thành cấp số cộng. LG: Gọi x1 , x2 , x3 , x4 lần lượt là hoành độ các giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành, thì x1 , x2 , x3 , x4 là 4 nghiệm phân biệt của phương trình hoành độ giao điểm: x 4 − 2(m + 1) x 2 + 2m + 1 = 0 (1) Đặt t = x 2 ≥ 0;(1) ⇔ t 2 − 2(m + 1)t + 2m + 1 = 0 (2) (1) có 4 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi (2) có 2 nghiệm dương phân biệt  ∆ ' = (m + 1) − 2m − 1 > 0 m2 > 0  1  ⇔  S = t1 + t2 = 2(m + 1) > 0 ⇔ m > −1 ⇔ − < m ≠ 0. (0 < t1 < t2 ) 2  P = t t = 2m + 1 > 0  1 1 2  m > −  2 2  x = ± t1  x 2 = t1 ⇔ Khi đó  2  x = ± t2  x = t2 Sắp thứ tự từ nhỏ đến lớn: x1 = − t2 , x2 = − t1 ; x3 = t1 ; x4 = t2 x1 , x2 , x3 , x4 thứ tự lập thành cấp số cộng ⇒ x4 + x2 = 2 x3 ⇔ t2 = 3 t1 ⇔ t2 = 9t1 m +1  (1) 10t1 = 2(m + 1) t1 = t1 + t2 = 2(m + 1) ⇔ 2 ⇔ 5 Và  t1t2 = 2m + 1 9t1 = 2m + 1 9t 2 = 2m + 1 (2)  1 m = 4 Thay (1) vào (2): 9m − 32m − 16 = 0 ⇔  4 (thỏa mãn) m = − 9  2 4 Vậy hai giá trị cần tìm: m = 4 ∨ m = − . 9 Nhận xét: Chúng ta đi chứng minh mệnh đề sau 20 Mệnh đề: Đồ thị hàm trùng phương y = ax 4 + bx 4 + c(a ≠ 0) cắt trục hoành tại 4 điểm có hoành độ theo thứ tự lập thành cấp số cộng thì điều kiện là phương trình 2 trung gian ( at + bt + c = 0 ) có 2 nghiệm dương phân biệt và nghiệm lớn bằng 9 lần nghiệm nhỏ. Chứng minh: Gọi x1 , x2 , x3 , x4 lần lượt là hoành độ các giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành, thì x1 , x2 , x3 , x4 là 4 nghiệm phân biệt của phương trình hoành (1) độ giao điểm: ax 4 − bx 2 + c = 0 Đặt t = x 2 ≥ 0;(1) ⇔ at 2 − bt + c = 0 (2) (1) có 4 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi (2) có 2 nghiệm dương phân biệt (giả sử 0 < t1 < t2 )  x = ± t1  x 2 = t1  ⇔ Khi đó  2 x = t  x = ± t2  2 Sắp thứ tự từ nhỏ đến lớn: x1 = − t2 , x2 = − t1 ; x3 = t1 ; x4 = t2 x1 , x2 , x3 , x4 thứ tự lập thành cấp số cộng ⇒ x4 + x2 = 2 x3 ⇔ t2 = 3 t1 ⇔ t2 = 9t1 Khi làm bài tập dạng này HS cần chú ý tới điều kiện để phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt hay phương trình (2) có 2 nghiệm dương phân biệt. 4. Bài toán tiếp tuyến Để viết phương trình tiếp tuyến của đường cong bài toán thường cho biết: Tiếp điểm Hệ số góc Một điểm mà tiếp tuyến đi qua. Sau đây ta luyện tập từng điều kiện trên 4.1 Cho biết tiếp điểm a)Bài toán: Viết pttt của đồ thị hàm số y = f ( x ) tại điểm M ( x0 ; y0 ) . Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f ( x ) tại điểm M ( x0 ; y0 ) có phương trình là: y = f '( x0 ).( x − x0 ) + y0 (1) Trong đó M ( x0 ; y0 ) gọi là tiếp điểm, f '( x0 ) là hệ số góc, y0 = f ( x0 ) . b) Tình huống cụ thể: +) Viết pttt của đồ thị hàm y = f ( x ) tại điểm M ( x0 ; y0 ) , thì ta tìm f '( x0 ) rồi thay vào (1). +) Viết pttt của đồ thị hàm y = f ( x ) tại điểm x = x0 , thì tính y0 = f ( x0 ), f '( x0 ) rồi thay vào (1). 21 +) Viết pttt của đồ thị hàm y = f ( x ) tại điểm y = y0 , thì tính x0 từ phương trình y0 = f ( x ) ,tính f '( x0 ) rồi thay vào (1). +) Viết pttt của đồ thị hàm y = f ( x ) tại giao điểm của đồ thị và trục tung, ta cho x0 = 0 ,tính y0 = f ( x0 ), f '( x0 ) rồi thay vao (1). +) Viết pttt của đồ thị hàm y = f ( x ) tại giao điểm của đồ thị và trục hoành, ta cho y0 = 0 ,tính x0 từ phương trình y0 = f ( x ) ,tính f '( x0 ) rồi thay vào (1). 3 2 Ví dụ 4.1.1 Viết pttt của đồ thị hàm y = f ( x ) = x − 3 x + 1 tại điểm A(1; −1) . LG: Ta đã có x0 = 1, y0 = −1 . y ' = f '( x) = 3x 2 − 6 x ⇒ f '( x0 ) = f '(1) = 3.12 − 6.1 = −3. Pttt là y = −3( x − 1) + (−1) ⇔ y = −3 x + 2. 4 2 Ví dụ 4.1.2 Viết pttt của đồ thị hàm y = f ( x ) = x − 2 x tại điểm có tung độ y0 = 3. 4 2 LG: Tìm x0 từ phương trình x0 − 2 x0 = 3 ta được x0 = ± 3 ( ) 3 ( ) f '( x) = 4 x 3 − 4 x ⇒ f '(− 3) = 4 − 3 − 4 − 3 = −8 3; f '( 3) = 8 3. Từ đó có hai pttt là y = 8 3x − 21; y = −8 3 x − 21. Ví dụ 4.1.3 Viết pttt của đồ thị hàm y = f ( x ) = x −1 tại điểm có 2x + 3 a) x = 1; b) y = 1. LG:  3 a) TXĐ ¡ \ − .  2 x = x0 = 1 ⇒ y0 = 0 f '= 5 2 1 ⇒ f '(1) = 2 ,x ≠ − 3 5 ( 2 x + 3) 1 1 1 Vậy pttt y = ( x − 1) + 0 ⇔ y = x − . 5 5 5 1 9 b) HS làm, pttt là y = x + . 5 5 4.2 Phương trình tiếp tuyến biết hệ số góc Bài toán: Viết pttt của đồ thị hàm số y = f ( x ) biết tiếp tuyến có hệ số góc là k . Phương pháp: Gọi M ( x0 ; y0 ) là tiếp điểm. Phương trình tiếp tuyến tại M ( x0 ; y0 ) là: y = f '( x0 ).( x − x0 ) + y0 22 Hay y = f '( x0 ).( x − x0 ) + f ( x0 ) (1) Do tiếp tuyến có hệ số góc là k nên ta tìm được x0 từ: f '( x0 ) = k , và pttt (1) là viết được. Chú ý: Cho hai đường thẳng (d1 ) : y = a1 x + b1 ;(d 2 ) : y = a2 x + b2 a1 , a2 thứ tự là hệ số góc của hai đường thẳng đó a = a2 (d1 ) || (d 2 ) ⇔  1 b1 ≠ b2 ; a = a2 (d1 ) ≡ (d 2 ) ⇔  1 b1 = b2 ; (d1 ) ⊥ (d 2 ) ⇔ a1.a2 = −1. Ví dụ 4.2.1 Viết pttt của đồ thị hàm số y = f ( x ) = góc là k = −4. LG: TXĐ ¡ \ { 1} . f '( x) = 2x −1 biết tiếp tuyến có hệ số x −1 −1 2 , x ≠ 1. x − 1 ( ) Gọi M ( x0 ; y0 ) là tiếp điểm, y0 = f ( x0 ) = 2 x0 − 1 −1 ; f '( x0 ) = 2 . x0 − 1 ( x0 − 1) Phương trình tiếp tuyến tại M ( x0 ; y0 ) là: y = f '( x0 ).( x − x0 ) + y0 Hay y = −1 2 x0 − 1 2 .( x − x0 ) + x0 − 1 ( x0 − 1) (1) 1 3 2   x − 1 = x = ( ) 0 0  −1 1 2 2 ⇔ 2 = − 4 ⇔ x − 1 = ⇔ ( ) Hệ số góc k = −4 nên   2 0 4 ( x0 − 1) ( x − 1) 2 = − 1 x = 1 0  0 2  2 Thay vào (1) thì được hai pttt là: y = −4 x + 2; y = −4 x + 10. 2 2 Ví dụ 4.2.2 Viết pttt của đồ thị hàm số y = f ( x ) = x (2 − x ) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng (d ) : 24 x − y + 2012 = 0. LG: Viết lại (d ) : y = 24 x + 2012, hsg k = 24. f ( x) = − x 4 + 2 x 2 ⇒ f '( x ) = −4 x 3 + 4 x. . 4 2 3 Gọi M ( x0 ; y0 ) là tiếp điểm, y0 = f ( x0 ) = − x0 + 2 x0 ; f '( x0 ) = −4 x0 + 4 x0 . Phương trình tiếp tuyến tại M ( x0 ; y0 ) là: y = f '( x0 ).( x − x0 ) + y0 3 4 2 Hay y = ( −4 x0 + 4 x0 ) .( x − x0 ) + ( − x0 + 2 x0 ) (1) 23 Do tiếp tuyến song song với (d ) : y = 24 x + 2012, hsg k = 24 nên −4 x03 + 4 x0 = 24 ⇔ − x03 + x0 − 6 = 0 ⇔ ( x0 + 2 ) ( − x02 + 2 x0 − 3) = 0 ⇔ x0 = −2. Pttt (1) là y = 24 x + 40. 3 2 Ví dụ 4.2.3 Viết pttt của đồ thị hàm số y = f ( x ) = x − 3 x + 3x biết tiếp tuyến song song với đường thẳng (d ) : y = 3 x. HD: Làm như trên, tìm được hai đường thẳng y = 3x; y = 3x − 4 nhưng do y = 3x trùng với (d ) nên bị loại. Vậy pttt cần tìm là y = 3x − 4. Ví dụ 4.2.4 Viết pttt của đồ thị hàm số y = f ( x ) = với đường thẳng (d ) : x − y + 1 = 0. LG: −2 x + 3 ,(d ) : y = x + 1. Viết lại y = f ( x ) = x −1 3 − 2x biết tiếp tuyến vuông góc x −1 TXĐ R \ { 1} . f '( x) = −1 2 , x ≠ 1. ( x − 1) Gọi M ( x0 ; y0 ) là tiếp điểm, y0 = f ( x0 ) = −2 x0 + 3 −1 ; f '( x0 ) = 2 . x0 − 1 x − 1 ( 0 ) Phương trình tiếp tuyến tại M ( x0 ; y0 ) là: y = f '( x0 ).( x − x0 ) + y0 Hay y = −1 −2 x0 + 3 2 .( x − x0 ) + x0 − 1 ( x0 − 1) (1) Do tiếp tuyến vuông góc với (d ) nên f '( x0 ).1 =  x0 − 1 = 1  x0 = 2 −1 2 .1 = − 1 ⇔ 1 = x − 1 ⇔ ⇔ ( ) 2 0  x − 1 = −1  x = 0 . ( x0 − 1)  0  0 Với x0 = 2 ⇒ pttt (1) : y = − x + 1. Với x0 = 0 ⇒ pttt (1) : y = − x − 3. 4.3 Tiếp tuyến đi qua một điểm cho trước Bài toán: Viết pttt của đồ thị (C) của hàm số y = f ( x ) biết tiếp tuyến đi qua điểm A( x0 ; y0 ). Phương pháp: Gọi (d ) là đường thẳng đi qua A( x0 ; y0 ) và có hệ số góc k Phương trình (d ) : y = k ( x − x0 ) + y0 . 24 Để (d ) là tiếp tuyến của (C) khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm  f ( x) = k ( x − x0 ) + y0 (còn gọi là điều kiện tiếp xúc).   f '( x) = k Từ hệ tìm được k , và do đó pttt (d ) : y = k ( x − x0 ) + y0 là viết được. 3 2 Ví dụ 4.3.1 Viết pttt của đồ thị (C) của hàm số y = f ( x ) = x − 3 x + 2 biết tiếp tuyến đi qua điểm A(−1;2). LG: Gọi (d ) là đường thẳng đi qua A(−1;2) và có hệ số góc k Phương trình (d ) : y = k ( x + 1) + 2. (d ) là tiếp tuyến của (C) khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm  x 3 − 3x 2 + 2 = k ( x + 1) + 2  2 3 x − 6 x = k (1) (2) Thay (2) vào (1) ta được: x 3 − 3x 2 + 2 = (3x 2 − 6 x)( x + 1) + 2 ⇔ x = 0, x = ± 3. Với x = 0 , từ (2) ⇒ k = 0 ⇒ (d ) : y = 2. ( ) Với x = 3 , từ (2) ⇒ k = 27 − 6 3 ⇒ (d ) : y = 27 − 6 3 ( x + 1) + 2. ( ) Với x = − 3 , từ (2) ⇒ k = 27 + 6 3 ⇒ (d ) : y = 27 + 6 3 ( x + 1) + 2. Vậy có 3 pttt thỏa mãn đề bài. Nhận xét: +) Điểm mà tiếp tuyến đi qua có thể nằm trên đồ thị hàm số, có thể không (trường hợp nằm trên đồ thị, ta đã xét ở mục 1)). +) Có thể áp dụng phương pháp làm ở mục 1) để làm bài toán này? Có thể làm được và làm như sau: M ( x0 ; y0 ) Tiếp tuyến tại thuộc đồ thị có dạng (T ) : y = (3x02 − 6 x0 ).( x − x0 ) + ( x03 − 3 x0 2 + 2 ) A ∈ (T ) ⇔ 2 = (3x02 − 6 x0 ).(−1 − x0 ) + ( x03 − 3 x0 2 + 2 ) ⇔ 0 = −2 x03 + +6 x0 ⇔ x0 = 0, x0 = ± 3. Đến đây, ta có thể dễ dàng viết được pttt (T). Ví dụ 4.3.2 Viết pttt của đồ thị (C) của hàm số y = f ( x ) = qua điểm P (3;1). LG: TXĐ R \ { 1} . x +1 biết tiếp tuyến đi x −1 25 Gọi (d ) là đường thẳng đi qua P (3;1) và có hệ số góc k Phương trình (d ) : y = k ( x − 3) + 1. (d ) là tiếp tuyến của (C) khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm  x +1  x − 1 = k ( x − 3) + 1  −2  2 = k x − 1 )  ( Thay (2) vào (1) ta được: (1) (2) x = 2 x +1 −2 = . 2 ( x − 3) + 1 ⇔  x ≠ 1 x − 1 ( x − 1)  Từ (2) ⇒ k = −2. Phương trình tiếp tuyến (d ) : y = −2 x + 7. x+2 có đồ thị (C) và điểm A(0; a) . Tìm a để từ x −1 A(0; a) kẻ được 2 tiếp tuyến đến (C) sao cho 2 tiếp điểm nằm về 2 phía của trục tung. LG: TXĐ R \ { 1} . Ví dụ 4.3.3 Cho hàm số y = Gọi (d ) là đường thẳng đi qua A(0; a) và có hệ số góc k Phương trình (d ) : y = kx + a. (d ) là tiếp tuyến của (C) khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm x + 2  x − 1 = kx + a  −3  2 = k  ( x − 1) (1) (2) Thay (2) vào (1): (a − 1) x 2 − 2(a + 2) x + a + 2 = 0 x+2 −3 = 2 x + a ⇔  x − 1 ( x − 1) x ≠ 1 Ycbt ⇔ pt (*) có 2 nghiệm trái dấu ⇔ (*) . a+2 < 0 ⇔ −2 < a < 1. a −1 III. Bài tập củng cố: 1 4 x − 2 x2. 4 a) Khảo sát, vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho. b) Viết pttt của (C) tại điểm có hoành độ x0 , biết f ''( x0 ) = −1. 1. Cho hàm số y = f ( x ) = 26 3x − 2 . x +1 a) Khảo sát, vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho. b) Viết pttt của (C) tại điểm có tung độ bằng – 2. 3 3. Cho hàm số y = f ( x ) = x − 3 x. 2. Cho hàm số y = f ( x ) = a) Khảo sát, vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho. b) Viết pttt của (C) biết tiếp tuyến có hệ số góc là 9. 4 2 2 4. Cho hàm số y = x − 2(m + 1) x + m (1),m là tham số thực. a) khảo sát, vẽ đồ thị của hàm (1) khi m = 0. b) Tìm m để đồ thị của hàm (1) có 3 điểm cực trị tạo thành 3 đỉnh của một tam giác vuông. 3 2 3 5. Cho hàm số y = x − 3mx + 3m (1),m là tham số thực. a) khảo sát, vẽ đồ thị của hàm (1) khi m = 1. b) Tìm m để đồ thị của hàm (1) có 2 điểm cực trị A, B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng 48. 1 3 5 2 6. Cho hàm số y = x + x − . 3 2 a) Khảo sát, vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho. b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến đi qua điểm A(−7 / 3;1 / 3). 3 2 7. Cho hàm số y = x + 3 x + 1. a) Khảo sát, vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho. b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến đi qua điểm A(1; −3). 2 x − (2m + 1) có đồ thị (Cm). 2 − 3x a) Khảo sát, vẽ đồ thị của hàm đã cho khi m = 1. b) Gọi A là giao điểm của (Cm) và trục hoành, tìm m để tiếp tuyến tại A của (Cm) tạo với trục hoành góc 450. x+2 . 9. Cho hàm số y = x −1 a) Khảo sát, vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho. b) Tìm m để đường thẳng (d ) : y = 2 x − m cắt (C) tại 2 điểm phân biệt A, B sao cho AB = 35. 8. Cho hàm số y = x +1 . x−2 a) Khảo sát, vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho. 10. Cho hàm số y = 27 b) Gọi I là giao điểm của hai tiệm cận của (C). Chứng minh rằng tiếp tuyến tại một điểm bất kỳ của (C) luôn cắt hai tiệm cận tại A, B và tam giác IAB có diện tích không đổi. 2 2 11. Cho hàm y = x (4 − x ). a) Khảo sát, vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho. b) Tìm giá trị thực của tham số m để phương trình sau có sáu nghiệm phân biệt 2 x 4 − x 2 = log m. x . x −1 a) Khảo sát, vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho. b) Tìm m để đường thẳng (d ) : y = − x + m cắt (C) tại 2 điểm phân biệt. 12. Cho hàm số y = 3 2 13. Cho hàm số y = x − 6 x + 9 x − 6. a) Khảo sát, vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho. b) Tìm m để đường thẳng (d ) : y = mx − 2m − 4 cắt (C) tại 3 điểm phân biệt. −x +1 . 2x −1 a) Khảo sát, vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho. b) Chứng minh rằng với mọi m đường thẳng (d ) : y = x + m luôn cắt (C) tại A, B phân biệt. Gọi k1 , k2 lần lượt là hệ số góc của các tiếp tuyến với (C) tại A, B . Tìm m để tổng k1 + k2 đạt giá trị lớn nhất. 14. Cho hàm số y = 2 3 2 x − mx 2 − 2(3m 2 − 1) x + , m là tham số thực. 3 3 a) Khảo sát, vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho khi m = 1 . b) Tìm m để hàm số đã cho có 2 điểm cực trị x1 , x2 sao cho 15. Cho hàm số y = x1 x2 + 2( x1 + x2 ) = 1 . 4 2 16. Cho hàm số y = x − 2(m + 1) x + m (1), m là tham số. a) Khảo sát, vẽ đồ thị của hàm (1) khi m = 1 . b) Tìm m để hàm (1) có 3 điểm cực trị A, B, C sao cho OA = BC ; O là gốc tọa độ, A là điểm cực trị thuộc trục tung, B và C là 2 điểm cực trị còn lại. 17. Cho hàm số y = 1− x . 2x −1 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho. b) Viết phương trình tiếp tuyến của(C), biết tiếp tuyến cắt Ox, Oy tại A, B phân biệt và OA = OB. 18. Cho hàm số y = x 2 ( x − 3) 2 28 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho. b) Tìm các giá trị của tham số m để phương trình x3 − 3x 2 − m = 0 có ba nghiệm thực phân biệt. Đáp số 4b)m = 0; 6b) y = − x − 2 ∨ y = 3 x + 22 ; 3 9b) m = −1 ∨ m = 3; 12b)m > 4 ∨ m < 0; 14b)m = −1; 16b)m = 2 ± 2 2; 5b)m = ±2; 1 5 8b ) m = − ∨ m = ; 2 6 4 11b)1 < m < 10 ; 13b)m > −3; 2 15b)m = ; 3 17b) y = − x − 1 ∨ y = − x + 1. Thực hiện đề tài còn có những khó khăn nhất định, là còn có những bài tập cần các kỹ năng khó vượt quá khả năng HS của trường, tuy nhiên các dạng toán thường thi ĐH – CĐ thì một số HS đã tiếp thu nhanh và thực hành rất tôt. Phần III. Kiến nghị, đề xuất 1. Đối với học sinh Cần vượt qua mọi khó khăn về hoàn cảnh, sự tự ti mặc cảm và cùng với sự cố gắng nỗ lực không mệt mỏi của bản thân sau 12 năm miệt mài đèn sách, có như vậy mới đạt được thành công trong các kì thi, đặc biệt là kì thi ĐH – CĐ. 2. Đối với giáo viên Khuyến khích giáo viên sáng tạo về phương pháp, phương tiện dạy học, tránh đánh giá giáo viên theo cách có thực hiện đúng những chỉ dẫn của sách giáo khoa, sách giáo viên hay không. Giáo viên cần linh hoạt trong từng bài giảng, từng chuyên đề, và đặc biệt là từng đối tượng học sinh. Thường xuyên tổ chức cho giáo viên trao đổi kinh nghiệm, thực hiện các chuyên đề, trong đó chú trọng các biện pháp giúp đỡ học sinh có ý thức tự học trong học tập các môn học. 3. Đối với nhà trường: Thống kê và tổ chức phụ đạo riêng cho học sinh ngay từ đầu năm, nhưng phải đảm bảo số lượng, chất lượng (sự đồng đều về lực học) thì mới có kết quả tốt. 4. Đối với Sở giáo dục 29 Tổ chức hội thảo về đổi mới phương pháp dạy học thường xuyên; khuyến khích và động viên kịp thời đối với những chuyên đề tốt nhất, tạo điều kiện để nhân rộng cho mọi giáo viên tham khảo và thực hiện. Đề tài chắc không thể trách được những thiếu sót, đề nghị các đòng chí có chuyên môn xem xét kỹ để đề tài được hoàn thiện hoặc được thực hiện rộng hơn. Tài liệu tham khảo [1] Trần Văn Hạo (Chủ biên). Giải tích 12. NXB Giáo dục, 2008. [2] Bài tập giải tích 12. [3] Đoàn Quỳnh (Chủ biên). Giải tích 12 – Nâng cao. NXB Giáo dục, 2008. [4] Nguyễn Huy Đoan (Chủ biên). Bài tập Giải tích 12, Nâng cao. NXB Giáo dục, 2009. [5] Các đề thi TN THPT, thi ĐH – CĐ của Bộ GD – ĐT. [6] Các đề thi KSCL của tỉnh Vĩnh Phúc. 30 [...]... a −1 III Bài tập củng cố: 1 4 x − 2 x2 4 a) Khảo sát, vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho b) Viết pttt của (C) tại điểm có hoành độ x0 , biết f ''( x0 ) = −1 1 Cho hàm số y = f ( x ) = 26 3x − 2 x +1 a) Khảo sát, vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho b) Viết pttt của (C) tại điểm có tung độ bằng – 2 3 3 Cho hàm số y = f ( x ) = x − 3 x 2 Cho hàm số y = f ( x ) = a) Khảo sát, vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho... pttt của (C) biết tiếp tuyến có hệ số góc là 9 4 2 2 4 Cho hàm số y = x − 2(m + 1) x + m (1),m là tham số thực a) khảo sát, vẽ đồ thị của hàm (1) khi m = 0 b) Tìm m để đồ thị của hàm (1) có 3 điểm cực trị tạo thành 3 đỉnh của một tam giác vuông 3 2 3 5 Cho hàm số y = x − 3mx + 3m (1),m là tham số thực a) khảo sát, vẽ đồ thị của hàm (1) khi m = 1 b) Tìm m để đồ thị của hàm (1) có 2 điểm cực trị A, B sao... + x 2 + 6 x − 3 = m 2 HD 9 b) 0 < m < 2 2 Bài toán cực trị và sự tương giao của hai đồ thị hàm số 2 Ví dụ 2.1 Cho hàm số y = ( x + 1)( x + 2mx + m + 2), m là tham số a) Khảo sát, vẽ đồ thị của ham số trên với m = −1 b) Tìm giá trị của tham số m để đồ thị của hàm đã cho cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt HD 11 b) Hoành độ giao điểm của đường cong đã cho và trục hoành ( y = 0) là nghiệm của phương... của đồ thị hàm y = f ( x ) tại điểm x = x0 , thì tính y0 = f ( x0 ), f '( x0 ) rồi thay vào (1) 21 +) Viết pttt của đồ thị hàm y = f ( x ) tại điểm y = y0 , thì tính x0 từ phương trình y0 = f ( x ) ,tính f '( x0 ) rồi thay vào (1) +) Viết pttt của đồ thị hàm y = f ( x ) tại giao điểm của đồ thị và trục tung, ta cho x0 = 0 ,tính y0 = f ( x0 ), f '( x0 ) rồi thay vao (1) +) Viết pttt của đồ thị hàm y... 1 3 5 2 6 Cho hàm số y = x + x − 3 2 a) Khảo sát, vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến đi qua điểm A(−7 / 3;1 / 3) 3 2 7 Cho hàm số y = x + 3 x + 1 a) Khảo sát, vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến đi qua điểm A(1; −3) 2 x − (2m + 1) có đồ thị (Cm) 2 − 3x a) Khảo sát, vẽ đồ thị của hàm đã cho khi... tham số thực 3 3 a) Khảo sát, vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho khi m = 1 b) Tìm m để hàm số đã cho có 2 điểm cực trị x1 , x2 sao cho 15 Cho hàm số y = x1 x2 + 2( x1 + x2 ) = 1 4 2 16 Cho hàm số y = x − 2(m + 1) x + m (1), m là tham số a) Khảo sát, vẽ đồ thị của hàm (1) khi m = 1 b) Tìm m để hàm (1) có 3 điểm cực trị A, B, C sao cho OA = BC ; O là gốc tọa độ, A là điểm cực trị thuộc trục tung, B và. .. còn lại 17 Cho hàm số y = 1− x 2x −1 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho b) Viết phương trình tiếp tuyến của(C), biết tiếp tuyến cắt Ox, Oy tại A, B phân biệt và OA = OB 18 Cho hàm số y = x 2 ( x − 3) 2 28 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho b) Tìm các giá trị của tham số m để phương trình x3 − 3x 2 − m = 0 có ba nghiệm thực phân biệt Đáp số 4b)m = 0; 6b)... < 2 3 3 2 Ví dụ 2.4 Cho hàm số y = x − (4m + 1) x + (7 m + 1) x − 3m − 1, m là tham số a) Khảo sát, vẽ đồ thị của hàm đã cho khi m = 1 12 b) Tìm các giá trị của m để đồ thị của hàm số đã cho có 2 cực trị và giá trị các cực trị trái dấu HD b) Cần để ý rằng khi đồ thị của hàm bậc ba cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt thì 2điểm cực trị nằm về 2 phía của trục hoành (phía trên và phía dưới) Vậy ycbt ⇔... khi m = 1 b) Gọi A là giao điểm của (Cm) và trục hoành, tìm m để tiếp tuyến tại A của (Cm) tạo với trục hoành góc 450 x+2 9 Cho hàm số y = x −1 a) Khảo sát, vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho b) Tìm m để đường thẳng (d ) : y = 2 x − m cắt (C) tại 2 điểm phân biệt A, B sao cho AB = 35 8 Cho hàm số y = x +1 x−2 a) Khảo sát, vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho 10 Cho hàm số y = 27 b) Gọi I là giao điểm của hai... tiệm cận tại A, B và tam giác IAB có diện tích không đổi 2 2 11 Cho hàm y = x (4 − x ) a) Khảo sát, vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho b) Tìm giá trị thực của tham số m để phương trình sau có sáu nghiệm phân biệt 2 x 4 − x 2 = log m x x −1 a) Khảo sát, vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho b) Tìm m để đường thẳng (d ) : y = − x + m cắt (C) tại 2 điểm phân biệt 12 Cho hàm số y = 3 2 13 Cho hàm số y = x − 6 x + ... Phần 2: Một số toán liên quan Mục đích - Khắc phục tối đa sai lầm HS làm toán Đồ thị hàm số toán liên quan” - Giúp HS cảm thấy tự tin gặp toán Đồ thị hàm số toán liên quan” - Cùng đồng nghiệp... trục số điều có nghĩa số x → −2 từ phía bên phải, x > −2 + II Một số toán liên quan Bài toán biện luận dựa vào đồ thị hàm số Ví dụ 1.1 Cho hàm số y = − x + x a) Khảo sát vẽ đồ thị (C) hàm số cho... trị tương giao hai đồ thị hàm số Ví dụ 2.1 Cho hàm số y = ( x + 1)( x + 2mx + m + 2), m tham số a) Khảo sát, vẽ đồ thị ham số với m = −1 b) Tìm giá trị tham số m để đồ thị hàm cho cắt trục hoành