MÔN TOÁN CHUYÊN ĐỀ: CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN NGƯỜI VIẾT: PHÙNG THỊ ĐIỆP 1 LỜI MỞ ĐẦU Trong đề thi tốt nghiệp THPT , đề thi tuyển sinh Đại học - Cao đẳng hàng năm của Bộ GD&ĐT bài toán tích phân hầu như không thể thiếu,là câu IV trong đề thi. Tính tích phân là một trong những bài toán khó vì nó cần đến sự áp dụng linh hoạt của định nghĩa, các tính chất , các phương pháp tính của tích phân. Tuy nhiên các đề thi Đại học -Cao đẳng gần đây câu tính tích phân lại không quá khó cho nên trong quá trình giảng dạy tôi cố gắng dạy chi tiết ,cụ thể từng phương pháp để học sinh của tôi có thể đạt điểm tối đa trong câu hỏi này.Và tôi đã viết chuyên đề “CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” để đưa ra một số phương pháp hay dùng khi tính tích phân giúp các em nhân diện và đưa ra cách giải một cách nhanh nhất. Chuyên đề gồm 3 phần: Phần 1: Hệ thống kiến thức cơ bản Phần 2: Các phương pháp tính tích phân Phần 3: Tuyển tập các bài tính tích phân trong các đề thi đại học Chuyên đề dùng giảng dạy ôn thi Tốt nghiệp THPT ,ĐH, CĐ cho học sinh khối 12. Thời gian giảng dạy chuyên đề này cho học sinh khối 12 khi ôn thi ĐH, CĐ là 6 tiết học chuyên đề và 6 tiết học ở nhà. Mặc dù rất cố gắng, nhưng do thời gian và khả năng có hạn nên bài viết khó tránh khỏi những thiếu sót. Tối rất mong nhận được sự góp ý của quí thầy cô, bạn bè đồng nghiệp và các em học sinh để chuyên đề được hoàn thiện hơn và trở thành tài liệu có ích trong giảng dạy và học tập. NỘI DUNG 2 Phần I: Kiến thức cơ bản 1. Định nghĩa tích phân Cho hàm số f ( x ) liên tục trên [ a ;b ].Giả sử F( x ) là một nguyên hàm của f ( x ) trên đoạn [ a ;b ] .Hiệu số F (b) - F (a ) được gọi là tích phân từ a đến b (hay tích phân xác định trên [ a ;b ] của hàm số f ( x ) kí hiệu b ∫ f ( x ) dx . a b ∫ f ( x ) dx = F ( x ) a b = F ( b) − F ( a) a b Chú ý : Tích phân ∫ f ( x ) dx chỉ phụ thuộc vào a ,b và hàm số f ( x) mà không phụ thuộc a vào cách ký hiệu biến số tích phân. Vì vậy ta có thể viết b b a a F ( b ) − F ( a ) = ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( t ) dt =... 2. Các tính chất của tích phân: Giả sử các hàm f ( x ) và g ( x ) liên tục trên các khoảng K và a, b , c là 3 điểm của K, dựa vào định nghĩa tích phân ta có các tính chất sau: a Tính chất 1: ∫ f ( x ) dx = 0 a b Tính chất 2: ∫ a a f ( x ) dx = − ∫ f ( x ) dx b b b a a Tính chất 3: ∫ kf ( x ) dx = k ∫ f ( x ) dx b b b a a a Tính chất 4: ∫  f ( x ) ± g ( x )  dx = ∫ f ( x ) dx ± ∫ g ( x ) dx c Tính chất 5: ∫ a b c a b f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx Tính chất 6: Nếu f ( x ) ≥ 0, ∀x ∈ [ a; b ] thì b ∫ f ( x ) dx ≥ 0 a Tính chất 7: Nếu f ( x ) ≥ g ( x ) , ∀x ∈ [ a; b ] thì b b a a ∫ f ( x ) dx ≥ ∫ g ( x ) dx 3.Bảng nguyên hàm, tích phân 3 Nguyên hàm của những Nguyên hàm của những hàm số hàm số sơ cấp thường gặp ∫ dx = x + C α ∫ x dx = ∫ x ∫ a dx = x ∫ du = u + C 1 ∫ ( ax + b ) dx = ln x + C ( x ≠ 0 ) x x hàm số hợp ∫ d ( ax + b ) = a ( ax + b ) + C xα +1 + C ( α ≠ 1) α +1 ∫ e dx = e α 1 ( ax + b ) a α +1 α +1 dx = + C ( α ≠ 1) +C ax + C ( 0 < a ≠ 1) ln a 1 1 ∫ sin 2 x 1 dx = tan x + C 1 1 ∫ cos ( ax + b ) dx = a tan ( ax + b ) + C 2 dx = − cot x + C 1 u +C au ∫ a dx = ln a + C ( 0 < a ≠ 1) u ∫ sin ( ax + b ) dx = − a cos ( ax + b ) + C x du = ln u + C ( u ≠ 0 ) u u ∫ sin xdx = − cos x + C 2 uα +1 + C ( α ≠ 1) α +1 ∫ e du = e 1 ax +b ax + b ∫ e dx = a e + C ∫ cos ( ax + b ) dx = a sin ( ax + b ) + C 1 α ∫ u du = ∫ dx 1 ∫ ax + b = a ln ax + b + C ( x ≠ 0 ) ∫ cos xdx = sin x + C ∫ cos Nguyên hàm của những ∫ cos udu = sin u + C ∫ sin udu = − cos u + C 1 ∫ cos 2 u 1 1 ∫ sin ( ax + b ) dx = − a cot ( ax + b ) + C ∫ sin 2 2 u du = tan u + C du = − cot u + C Phần II: Các phương pháp tính tích phân 1/Tính tích phân bằng cách sử dung bảng nguyên hàm • Công thức cần nhớ f ( x) dx = dF ( x) ( F ( x ) = f ( x) ) ' 1 sin(ax + b)dx = − d (cos ax + b) a 1 cos(ax + b) dx = d (sin ax + b) a 1 1 dx = d tan(ax + b) 2 cos (ax + b) a 1 1 dx = − dcot (ax + b) 2 sin (ax + b) a dx = d ( x + C ) 1 d (ax + b) a 1 eax +b dx = d (eax +b ) a 1 dx = d ln x ( x > 0) x dx = • Các ví dụ e2 Ví dụ 1 :Tính tích phân : a ) I= ∫ e dx x ln x ln 3 b) I = ∫ 0 e x dx (e x + 1)3 Giải 4 e2 d ln x = ln ln x ln x a) I = ∫ e ln 3 b) I = ∫ (e 0 x + 1) 3 − 2 e2 e = ln 2 e x + 1) ( x d ( e + 1) = 1 − 2 − 1 2 ln 3 0 = 2 −1 Ví dụ 2: Tính tích phân π 4 π 2 a) I = 1 − 2sin x dx ( KB − 2003) ∫ 0 2 b) I = (esin x + cos x) cos xdx ( KD – 2005) ∫ 1 + sin 2 x 0 Giải π 4 π 4 cos2 x 1 d (sin 2 x + 1) 1 dx = ∫ = ln 1 + sin 2 x 1 + sin 2 x 2 0 1 + sin 2 x 2 0 a) I = ∫ π 2 π 4 0 1 = ln 2 2 π 2 I = ∫ esin x .cos xdx + ∫ cos 2 xdx 0 0 π 2 π 2 1 + cos 2 x dx 2 0 b) = ∫ esin x d sin x + ∫ 0 =e sin x π π 1 1 π 2 + ( x + sin 2 x) 2 = e + − 1 2 4 4 0 0 π 4 cos x dx . 3 (sin x + cos x ) 0 Ví dụ 3. Tính tích phân I = ∫ Hướng dẫn π 4 π π 4 4 cos x 1 dx 1 I=∫ dx = . = d (tan x + 1) . 3 3 2 3 ∫ ∫ (sin x + cos x ) (tan x + 1) cos x (tan x + 1) 0 0 0 3 8 ĐS: I = . 1 Ví dụ 4 : Tính tích phân I = ∫ 0 ( x + 1) 2 x2 + 1 dx (KD-2013) Giải 5 1 I =∫ 0 1 1 1 x2 + 1 + 2 x 2x d ( x 2 + 1) 1 dx = dx + dx = x + ∫0 ∫0 x 2 + 1 ∫0 x 2 + 1 0 x2 + 1 I = 1 + ln ( x 2 + 1) = 1 + ln 2 1 0 (Khi tính các tích phân dạng này học sinh tỏ ra lúng túng khi đưa f ( x) dx = dF ( x) .Làm thật nhiều bài tập các em sẽ rút ra kinh nghiệm làm bài thôi) • Bài tập tự luyện : Tính các tích phân π 2 π 2 1. ∫ sin xcos xdx 3 π 3 4. ∫ cot gxdx 5. π 6 3 3. tgxdx ∫ 0 π 6 e ∫ 1 + 4sin xcosxdx 6 . sin(ln x) dx x 1 ∫ 0 1 x ∫e 2 +2 π 2 xdx 8. π 2 ∫e ∫ sin 3 xcos 2 xdx cosx sin xdx ∫e 11. 2 x +2 xdx 0 π 2 sin x 14. ∫0 1 + 3cosx dx 13. ∫ sin xcos xdx 2 3 π 3 ∫ π 9. e sin x cosxdx 4 1 π 4 π 2 π 2 π 3 0 10. 2 π 3 π 4 7. π 4 2. ∫ sin xcos xdx 2 π 2 3 2 12. ∫ sin xcos xdx π 3 e 15. sin(ln x) dx x 1 ∫ 2/ Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số • Đổi biến số loại 1: b Để tính tích phân ∫ f [u( x)]u ( x)dx / ta thực hiện các bước sau: a Bước 1. Đặt t = u(x) và tính dt = u / ( x)dx . Bước 2. Đổi cận: x = a ⇒ t = u (a ) = α , x = b ⇒ t = u (b) = β . b Bước 3. ∫ a β f [u ( x)]u / ( x)dx = ∫ f (t )dt . α 6 * Một số dấu hiệu dẫn tới việc lựa chọn ẩn phụ: Dấu hiệu Có thể chọn t = ϕ ( x) f ( x, (ϕ ( x)) n ) Hàm Hàm f ( x, n ϕ ( x)) Đặt t = n ϕ ( x) Hàm f ( x, n ϕ ( x), m ϕ ( x)) Đặt t = mn ϕ ( x) Hàm f ( x) = a sin x + b cos x c sin x + d cos x + e Đặt t = tan x 2 Hàm lẻ với sinx Đặt t = cos x Hàm lẻ với cosx Đặt t = s inx • Các ví dụ 3 Ví dụ 1: Tính tích phân a/ I= ∫x 5 1 + x 2 dx 0 1 I = ∫ x 2 2 − x 2 dx b/ (KB-2013) 0 Giải: Đặt t = 1 + x 2 ⇔ t 2 = 1 + x 2 ⇒ 2tdt = 2 xdx x = o ⇒ t =1 Đổi cận: x= 3⇒t =2 Khi đó 3 I= ∫ 0 2 x 4 1 + x 2 .xdx = ∫ (t 2 − 1) 2 t 2 dt 1 t 2t t  2 848 = − + ÷1 = 5 3 105 7 7 5 3 Đ/s I = b/ Hướng dẫn Đặt t = 2 − x 2 Ví dụ 2 : Tính tích phân 2 2 −1 3 π 3 sin 3 x dx cos x + 2 0 I=∫ Giải Đặt t = cos x ⇒ dt = − sin xdx Đổi cận : 7 x = 0 ⇒ t =1 π 1 x= ⇒t = 3 2 1 2 I =∫ 1 ( t 2 − 1) dt t+2 1 2 = ∫ (t − 2 + 1 3 5 5 )dt = + 3ln t+2 2 6 2 dx x+3 x Ví dụ 3 : Tính tích phân I = ∫ 1 Hướng dẫn Đặt t = 6 x I= 2 2 − 3 3 2 + 6 6 2 − 5 − 6 ln Đs : 1+ 2 2 • Bài tập tự luyện : Tính các tích phân 1 1 2 1. ∫ x x + 1dx 0 1 4. x +1 3 0 7. e ∫ 1 3 10. ∫ 0 3. ∫ x 0 x +1 2 6. 0 1 + ln x dx x x5 + 2 x3 2 3 2 5. ∫ x 1 − x dx dx 8. e ∫ 1 9. 1 ∫ 0 1 11. ∫ x 1 − x dx dx ∫x 1 1 + 3ln x ln x dx x 5 3 x 2 + 1dx 0 1 x2 ∫ 1 2 2. ∫ x 1 − x dx 2 12 0 π 2 ∫e 1 x3 + 1 dx x dx 2x +1 cos2 x s inx.cos xdx 0 • Đổi biến số loại 2: b Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a;b], để tính ∫ f ( x)dx ta thực hiện các bước sau: a Bước 1. Đặt x = u(t) và tính dx = u / (t )dt . Bước 2. Đổi cận: x = a ⇒ t = α , x = b ⇒ t = β . b Bước 3. ∫ a β β α α f ( x)dx = ∫ f [u (t )]u / (t ) dt = ∫ g (t )dt . *Lưu ý: Một số dấu hiệu dẫn tới việc chọn ẩn phụ: 8 Dấu hiệu Có thể chọn a2 − x2 π π   x =| a | sin t , − 2 ≤ t ≤ 2   x =| a | cost , 0 ≤ t ≤ π x2 − a2 |a| π π   x = sin t , − 2 ≤ t ≤ 2 ; t ≠ 0  x = | a | , 0 ≤ t ≤ π ;t ≠ π  cost 2 x2 + a2 π π   x =| a | tan t , − 2 < t < 2   x =| a | cott , 0 < t < π a+x hoặc a−x Đặt x = a cos 2t a−x a+x Đặt x = a + (b − a )sin 2 t ( x − a)(b − x) 1 2 Ví dụ 1. Tính tích phân I =∫ 0 1 1 − x2 dx . (Hàm số chứa ϕ ( x) nhưng đặt theo cách 1 ta không giải quyết được bài toán này) Giải  π π Đặt x = sin t , t ∈  − ;  ⇒ dx = cos tdt  2 2 Đổi cận π 6 ⇒I =∫ 0 x=0⇒t =0 1 π x= ⇒t = 2 6 π 6 cos t 1 − sin 2 t Vậy I = dt = ∫ 0 π 6 π cos t π π dt = ∫ dt = t 06 = − 0 = . cos t 6 6 0 π . 6 1 dx . 1 + x2 0 Ví dụ 2. Tính tích phân I = ∫ Giải  π π 2 Đặt x = tan t , t ∈  − ; ÷⇒ dx = (tan x + 1) dt  2 2 9 π π 2 4 4 π x = 0 ⇒ t = 0, x = 1 ⇒ t = ⇒ I = tan t + 1 dt = dt = π . ∫0 1 + tan 2 t ∫0 4 4 Vậy I = π . 4 2 Ví dụ 3. Tính tích phân I = 2+ x dx 2− x ∫ 0 Giải Đặt x = 2 cos 2t ⇒ dx = −4 sin 2tdt Đổi cận: x=0⇒t = π 4 x= 2 ⇒t = π 8 I=∫ π 4 π 8 π 8 π 4 4 8 2(1 + cos2t ) ( −4sin 2tdt ) = −4 ∫ 2 cos 2 tdt = 4 ∫ (1 + cos2t )dt 2(1 − cos2t ) π π π +4−2 2 2 = • Bài tập tự luyện: Tính các tích phân 1 1 dx 2. ∫ 2 x + 2x + 2 −1 4 4. ∫ 4 − x dx 2 5 0 7. 2 3 ∫x 1 1 1 1 dx 1. ∫ 2 1 + x 0 2 2 ∫ 0 1 8. ∫ dx x2 −1 0 1 ∫ 3. x2 + 1 0 dx 2 x2 1 − x2 dx (1− x ) 2 3 6. ∫ x 4 − x 2 dx 2 1 3 2 dx 9. ∫ −3 3 2 dx (9− x ) 2 3 • Đổi biến số Loại 3: Dựa vào việc đánh giá cận của tích phân và tính chất của hàm số dưới dấu tích phân ta có thể lựa chọn phép đặt ẩn phụ thông thường: a • Với I = ∫ f ( x ) dx có thể lựa chọn việc đặt x = −t −a π 2 π • Với I = ∫ f ( x ) dx có thể lựa chọn việc đặt x = − t 2 0 10 π • Với I = ∫ f ( x ) dx có thể lựa chọn việc đặt x = π − t 0 2π ∫ f ( x ) dx • Với I = có thể lựa chọn việc đặt x = 2π − t 0 b • Với I = ∫ f ( x ) dx có thể lựa chọn việc đặt x = a + b − t a Một số tích phân đặc biệt thường gặp • π 2 cos n x / sin n x ∫0 cosn x + sin n xdx Đặt t = a • I= ∫ f ( x ) dx • Nếu f ( x ) là hàm lẻ đặt x = −t Đ/s =0 −a a I= ∫ (a −a π π − x (Thường Đ/s= ) 2 4 1 ) f ( x )dx, +1 Nếu f ( x ) là hàm chẵn đặt x = −t x 1 2004 Ví dụ 1. Tính tích phân I = ∫ x s inxdx . −1 Khi gặp tích phân trên ,nhiều học sinh nghĩ đến phương pháp tích phân từng phần song phương pháp đó lại không áp dụng được cho tích phân này. Giải 0 Viết lại dưới dạng: I = ∫ x 1 2004 −1 sin xdx + ∫ x 2004 sin xdx (1) 0 0 2004 Xét tích phân: J = ∫ x sin xdx −1 Đặt x = −t ⇒ dx = −dt  x = −1 t = 1 ⇒ x = 0 t = 0 Đổi cận:  0 Khi đó: I = ∫ ( −t ) 2004 1 1 sin ( −t ) dt = − ∫ x 2004 sin xdx (2) 0 Thay (2) vào (1) ta được I = 0 Ví dụ 2 . Tính tích phân π 2 I = ∫ 13 0 13 cosx dx cosx + 13 s inx Giải Đặt x = π − t ⇒ dx = −dt 2 11 x=0⇒t = Đổi cận x= 0 ⇒ I = ∫ 13 π 2 π 2 π ⇒t =0 2 π 2 13 π 2 13 13 sin t sin t sin x ( − dt ) = dt = dt = J ∫ ∫ 13 13 13 13 sin t + cos t sin t + cos t sin x + 13 cos x 0 0 I=J   π π ⇒ I = 2  π 4  I + J = ∫ dx = 2  0 Ta có Lưu ý chung : khi tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số thì “đổi biến phái đổi cận” • Bài tập tự luyện : Tính các tích phân 1 1. ∫ x 2012 sin xdx −1 π 7. ∫ − π 4 1 cos 4 x 2. ∫0 sin 4 x + cos 4 x dx 3. π sin 2 xdx 5. ∫ x 3 +1 −π x sin xdx 4. ∫ 4 + cos 2 x 0 π 4 π 2 cos 6 x + sin 6 x dx 6x + 1 π 2 8. ∫ − π 2 6. cos xdx ex + 1 −1 ∫ π 2 ∫ 0 13 13 π 2 x + cosx dx 4 − sin 2 x 9. ∫ − π 2 cosx dx cosx + 13 s inx x 2 .sin 2 x dx 1 + 2x 3/ Tính tích phân bằng phương pháp tích phân từng phần: b b Công thức tích phân từng phần : ∫ u( x)v'(x)dx = u ( x)v( x) a − ∫ v( x)u '( x)dx b a a Tích phân các hàm số dễ phát hiện u và dv β • Loại 1: ∫ α β • Loại 2: sin ax    f ( x) cosax dx e ax  ∫ f ( x) ln(ax)dx α u = f ( x) du = f '( x)dx   sin ax  sin ax    Đặt:    ⇒    dv = cos ax  dx v = ∫ cosax  dx   e ax  eax    dx  u = ln(ax ) du = x ⇒ Đặt:   dv = f ( x )dx v = f ( x)dx  ∫ 12   acosax    sin ax   du =  dx u =  − a sin ax     Đặt:   cos ax  ⇒   v = 1 e ax ax  dv = e dx  a β ax sin ax  e ∫α . cosax dx • Loại 3: Để sử dụng có hiệu quả phương pháp tích phân từng phần khi tính tích phân điều quan trọng nhất làm sao chọn hàm u một cách thích hợp .Phép chọn u làm sao để dễ dàng tìm được v tính được ∫ vdu dễ dàng. 1 I = ∫ ( x − 2)e 2 x dx ( KD − 2006) . Ví dụ 1. Tính tích phân 0 Giải  du = dx u = x − 2  ⇒ Đặt  1 2 x (chọn C = 0 ) 2x  dv = e dx v = e  2 1 1 1 1 5 − 3e 2 ⇒ I = ( x − 2) e 2 x − ∫ e 2 x dx = . 2 20 4 0 3 2 a/ I = ∫ ln( x − x)dx Ví dụ 2. Tính tích phân ( KD − 2004) . 2 2 b/ I = ∫ 1 x2 −1 ln xdx x2 ( KA − 2013) Giải a/ 2x −1  u = ln( x 2 − x)  du = 2 dx ⇒ x −x Đặt   dv = dx v = x 3 3 2x −1 dx x −1 2 ⇒ I = x ln( x − x) − ∫ 2 2 3 3 = x ln( x 2 − x ) − ∫ (2 + 2 2 1 )dx x −1 = 3ln 3 − 2 . 2 b/ Hướng dẫn I = ∫ (1 − 1 1 ) ln xdx x2 1  u = ln x du = dx   x 1  ⇒ Đặt   dv = 1 − dx  1  2 ÷  v = x+  x    x 13 Đ/s I = 5ln 2 − 3 2 π 2 Ví dụ 3. Tính tích phân I = e x sin xdx . ∫ 0 Giải u = sin x du = cos xdx ⇒  x x  dv = e dx v = e Đặt  π 2 π 2 π 2 0 π 2 ⇒ I = ∫ e sin xdx = e sin x − ∫ e cos xdx = e − J . x 0 x x 0 u = cos x du = − sin xdx ⇒  x x  dv = e dx v = e Đặt  π 2 π 2 π 2 0 ⇒ J = ∫ e x cos xdx = e x cos x + ∫ e x sin xdx = −1 + I 0 π 2 0 π e 2 +1 . ⇒ I = e − ( −1 + I ) ⇒ I = 2 Lưu ý:Tính tích phân dạng này thường quay lại tích phân ban đầu. • Bài tập tự luyện: Tính các tích phân e ln 3 x 1. ∫ 3 dx x 1 e ∫x 4. 2. ln xdx ∫ x ln( x 2 + 1)dx 0 e ∫ x ln( x 3. ln 3 x 5. ∫ 3 dx x 1 ∫x 2 ln xdx ∫ x ln xdx 6. 1 9. 1 1 ∫ ( x + x ) ln xdx 1 π 2 ∫ ( x + cosx) s inxdx 0 π 3 2 11. + 1)dx e e 8. 2 0 1 1 10. ∫ x ln xdx e 2 1 7. 1 e ∫ ln( x 2 + x)dx 1 12. ∫ x tan π 2 xdx 4 2 13. ∫ 1 ln x dx x5 π 2 14. ∫ 0 1 x cos xdx 15. ∫ xe x dx 0 4/Liên kết giữa phương pháp đổi biến số và phương pháp tích phân từng phần 14 Trong một số bài toán phải đổi biến số sau đó mới sử dụng tích phân từng phần,hoặc sử dụng đồng thời cả 2 phương pháp. Ví dụ 1 :Tính tích phân π 2 I = ∫ esin x s inx.cos3 xdx 2 0 Giải Đặt t = sin 2 x ⇒ dt = 2sin x cos xdx Đổi cận x=0⇒t =0 π x = ⇒ t =1 2 1 1 dt 1 ⇒ I = ∫ e ( 1 − t ) = − ∫ ( t − 1) et dt 2 20 0 t Sử dụng tích phân từng phần Đs: I = 1 ( e − 2) 2 π3 8 Ví dụ 2: Tính tích phân I = sin 3 xdx ∫ 0 Giải Đặt t = 3 x ⇒ x = t 3 ⇒ dx = 3t 2 dt Đổi cận x = 0⇒t −0 x= π3 π ⇒t = 8 2 π 2 ⇒ I = ∫ 3t 2 sin tdt 0 Sử dụng tích phần từng phần 2 lần Đs I = 3π − 6 • Bài tập tự luyện: Tính tích phân 1 1. ∫ x (e + x + 1)dx 2 2x 0 1 4 ∫ cos xdx 0 3 π 2 e5 ln x.ln(ln x)dx 2. ∫ x e2 3. ( x + sin 3 x + esinx ).cos xdx ∫ 0 1 5. ∫ sin xdx 0 6. π2 2 ∫ x sin xdx 0 15 π 3 ln ( s inx ) dx 7. ∫ cos 2 x π 4 4 x 8. ∫ e dx 9. ∫ 1 ln ( 9 − x ) 1 x dx 6 Phần 3:TUYỂN TẬP ĐỀ THI TÍCH PHÂN TRONG NHỮNG NĂM GẦN ĐÂY (2002-2013) 2 x2 −1 ln x.dx x2 ĐS: 5 3 ln 2 − 2 2 I = ∫ x 2 − x 2 .dx ĐS: 2 2 −1 3 I =∫ 1. KA - 2013: 1 1 2. KB - 2013 0 1 ( x + 1) 2 dx 2 x + 1 0 ĐS: 1 + ln 2 1 + ln ( x + 1) dx x2 1 ĐS: 3. KD - 2013 I =∫ 4. KA - 2012 I =∫ 3 1 x3 I =∫ 4 dx x + 3x 2 + 2 0 5. KB - 2012 3 2 ĐS: ln 3 − ln 2 π 4 I = ∫ x ( 1 + sin 2 x ) dx 6. KD - 2012 ĐS: 0 7 . KA – 2011 π 4 x sin x + ( x + 1) cos x ; I=∫ dx x sin x + cos x 0 π 3 1 + x sin x dx ; 2 cos x 0 8 . KB – 2011 I=∫ 9 . KD – 2011 I =∫ 4 0 2 10 . CĐ– 2011 I =∫ 1 1 11. KA-2010 I =∫ 0 4x −1 dx ; 2x +1 + 2 ĐS: 5ln x 2 + e x + 2 x 2e x dx 1 + 2e x ĐS: 1 2π − ln(2 + 3) 3 5 3 1 1 1 + 2e + ln 3 2 3 ln x dx ; x(ln x + 2) 2 3 1 2 3 ĐS: ln − e 13 . KD-2010 3  I = ∫  2 x − ÷ln xdx ; x 1 π2 1 + 32 4 π 2 +4 2  π + ln  ÷ ÷ 4 8   ĐS: 3 + ĐS: e 12 . KB-2010 ĐS: 2x + 1 dx ; x( x + 1) I =∫ 2 2 + ln 3 − ln 2 3 3 ĐS: 1 2 e −1 2 16 1 14 . CĐ – 2010 I =∫ 0 15 . KA – 2009 2x −1 dx ; x +1 ĐS: π 2 I = ∫ (cos3 x − 1) cos 2 xdx ; ĐS: 0 3 3 + ln x dx ; ( x + 1) 2 1 16 . KB – 2009 I =∫ 17 . KD – 2009 I =∫ ĐS: 8 π − 15 4 3 − ln 3 3 1 + ln − ln 4 4 2 3 dx ; e −1 1 ĐS: ln(e3 − 1) − ln(e − 1) − 2 x π 6 tan 4 x dx ; cos 2 x 0 18 . KA – 2008 I=∫ ĐS: 19 . KB – 2008 π  sin  x − ÷dx 4  ; I=∫ sin 2 x + 2(1 + sin x + cos x) 0 20 . KD – 2008 I =∫ π 4 −10 3 1 − ln(2 − 3) 27 2 ĐS: 1 1− 2   ÷ 2 2  2 + 1 ÷  ĐS: 3 − 2 ln 2 16 2 ln x dx ; x3 1 e 21 . KD – 2007 I = ∫ x 3 ln 2 xdx ; ĐS: 5e 4 − 1 32 ĐS: 2 3 1 22 . KA – 2006 π 2 I=∫ 0 sin 2 x cos 2 x + 4sin 2 x ln 5 23 . KB – 2006 I= ∫e ln 3 x dx ; dx ; + 2e − x − 3 ĐS: ln 1 24 . KD – 2006 I = ∫ ( x − 2)e 2 x dx ; ĐS: 5 − 3e 2 2 ĐS: 34 27 0 25 . KA – 2005 26 . KB – 2005 27 . KD – 2005 π 2 sin 2 x + sin x ; dx 1 + 3cos x 0 I=∫ π 2 sin 2 x.cos x dx ; 1 + cos x 0 I=∫ π 2 I = ∫ (esin x + cos x) cos xdx ; ĐS: 2ln2 – 1 ĐS: e + 0 2 28 . KA – 2004 x dx ; x −1 1 1+ I =∫ 3 2 ĐS: π −1 4 11 − 4 ln 2 3 17 e 29 . KB – 2004 1 + 3ln x ln x dx ; x I =∫ 0 ĐS: 116 135 3 30 . KD – 2004 I = ∫ ln( x 2 − x )dx ; ĐS: 3ln3 – 2 2 2 3 31 . KA – 2003 I= ∫ 5 32 . KB – 2003 dx x x2 + 4 ; π 4 1 − 2sin 2 x ; dx 1 + sin 2 x 0 I=∫ ĐS: 1 5 ln 4 3 ĐS: 1 ln 2 2 2 33 . KD – 2003 I = ∫ x 2 − x dx ; ĐS: 1 0 1 34 . CĐ – 2007 2007 1  1 I = ∫ 2 1 + ÷ x 1 x  dx 2 Vĩnh Tường ngày 06 tháng 03 năm 2014 Phùng Thị Điệp 18 19 [...]... kết giữa phương pháp đổi biến số và phương pháp tích phân từng phần 14 Trong một số bài toán phải đổi biến số sau đó mới sử dụng tích phân từng phần,hoặc sử dụng đồng thời cả 2 phương pháp Ví dụ 1 :Tính tích phân π 2 I = ∫ esin x s inx.cos3 xdx 2 0 Giải Đặt t = sin 2 x ⇒ dt = 2sin x cos xdx Đổi cận x=0⇒t =0 π x = ⇒ t =1 2 1 1 dt 1 ⇒ I = ∫ e ( 1 − t ) = − ∫ ( t − 1) et dt 2 20 0 t Sử dụng tích phân từng... Một số tích phân đặc biệt thường gặp • π 2 cos n x / sin n x ∫0 cosn x + sin n xdx Đặt t = a • I= ∫ f ( x ) dx • Nếu f ( x ) là hàm lẻ đặt x = −t Đ/s =0 −a a I= ∫ (a −a π π − x (Thường Đ/s= ) 2 4 1 ) f ( x )dx, +1 Nếu f ( x ) là hàm chẵn đặt x = −t x 1 2004 Ví dụ 1 Tính tích phân I = ∫ x s inxdx −1 Khi gặp tích phân trên ,nhiều học sinh nghĩ đến phương pháp tích phân từng phần song phương pháp đó...  dv = e dx  a β ax sin ax  e ∫α cosax dx • Loại 3: Để sử dụng có hiệu quả phương pháp tích phân từng phần khi tính tích phân điều quan trọng nhất làm sao chọn hàm u một cách thích hợp Phép chọn u làm sao để dễ dàng tìm được v tính được ∫ vdu dễ dàng 1 I = ∫ ( x − 2)e 2 x dx ( KD − 2006) Ví dụ 1 Tính tích phân 0 Giải  du = dx u = x − 2  ⇒ Đặt  1 2 x (chọn C = 0 ) 2x  dv = e dx v =... 2 6 cos xdx ex + 1 −1 ∫ π 2 ∫ 0 13 13 π 2 x + cosx dx 4 − sin 2 x 9 ∫ − π 2 cosx dx cosx + 13 s inx x 2 sin 2 x dx 1 + 2x 3/ Tính tích phân bằng phương pháp tích phân từng phần: b b Công thức tích phân từng phần : ∫ u( x)v'(x)dx = u ( x)v( x) a − ∫ v( x)u '( x)dx b a a Tích phân các hàm số dễ phát hiện u và dv β • Loại 1: ∫ α β • Loại 2: sin ax    f ( x) cosax dx e ax  ∫ f ( x) ln(ax)dx... dt = J ∫ ∫ 13 13 13 13 sin t + cos t sin t + cos t sin x + 13 cos x 0 0 I=J   π π ⇒ I = 2  π 4  I + J = ∫ dx = 2  0 Ta có Lưu ý chung : khi tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số thì “đổi biến phái đổi cận” • Bài tập tự luyện : Tính các tích phân 1 1 ∫ x 2012 sin xdx −1 π 7 ∫ − π 4 1 cos 4 x 2 ∫0 sin 4 x + cos 4 x dx 3 π sin 2 xdx 5 ∫ x 3 +1 −π x sin xdx 4 ∫ 4 + cos 2 x 0 π 4 π 2 cos 6... phương pháp đó lại không áp dụng được cho tích phân này Giải 0 Viết lại dưới dạng: I = ∫ x 1 2004 −1 sin xdx + ∫ x 2004 sin xdx (1) 0 0 2004 Xét tích phân: J = ∫ x sin xdx −1 Đặt x = −t ⇒ dx = −dt  x = −1 t = 1 ⇒ x = 0 t = 0 Đổi cận:  0 Khi đó: I = ∫ ( −t ) 2004 1 1 sin ( −t ) dt = − ∫ x 2004 sin xdx (2) 0 Thay (2) vào (1) ta được I = 0 Ví dụ 2 Tính tích phân π 2 I = ∫ 13 0 13 cosx dx cosx + 13... = − ∫ ( t − 1) et dt 2 20 0 t Sử dụng tích phân từng phần Đs: I = 1 ( e − 2) 2 π3 8 Ví dụ 2: Tính tích phân I = sin 3 xdx ∫ 0 Giải Đặt t = 3 x ⇒ x = t 3 ⇒ dx = 3t 2 dt Đổi cận x = 0⇒t −0 x= π3 π ⇒t = 8 2 π 2 ⇒ I = ∫ 3t 2 sin tdt 0 Sử dụng tích phần từng phần 2 lần Đs I = 3π − 6 • Bài tập tự luyện: Tính tích phân 1 1 ∫ x (e + x + 1)dx 2 2x 0 1 4 ∫ cos xdx 0 3 π 2 e5 ln x.ln(ln x)dx 2 ∫ x e2 3 ( x + sin... 2 π 2 Ví dụ 3 Tính tích phân I = e x sin xdx ∫ 0 Giải u = sin x du = cos xdx ⇒  x x  dv = e dx v = e Đặt  π 2 π 2 π 2 0 π 2 ⇒ I = ∫ e sin xdx = e sin x − ∫ e cos xdx = e − J x 0 x x 0 u = cos x du = − sin xdx ⇒  x x  dv = e dx v = e Đặt  π 2 π 2 π 2 0 ⇒ J = ∫ e x cos xdx = e x cos x + ∫ e x sin xdx = −1 + I 0 π 2 0 π e 2 +1 ⇒ I = e − ( −1 + I ) ⇒ I = 2 Lưu ý :Tính tích phân dạng này thường... = e Đặt  π 2 π 2 π 2 0 ⇒ J = ∫ e x cos xdx = e x cos x + ∫ e x sin xdx = −1 + I 0 π 2 0 π e 2 +1 ⇒ I = e − ( −1 + I ) ⇒ I = 2 Lưu ý :Tính tích phân dạng này thường quay lại tích phân ban đầu • Bài tập tự luyện: Tính các tích phân e ln 3 x 1 ∫ 3 dx x 1 e ∫x 4 2 ln xdx ∫ x ln( x 2 + 1)dx 0 e ∫ x ln( x 3 ln 3 x 5 ∫ 3 dx x 1 ∫x 2 ln xdx ∫ x ln xdx 6 1 9 1 1 ∫ ( x + x ) ln xdx 1 π 2 ∫ ( x + cosx) s inxdx... Tính tích phân 0 Giải  du = dx u = x − 2  ⇒ Đặt  1 2 x (chọn C = 0 ) 2x  dv = e dx v = e  2 1 1 1 1 5 − 3e 2 ⇒ I = ( x − 2) e 2 x − ∫ e 2 x dx = 2 20 4 0 3 2 a/ I = ∫ ln( x − x)dx Ví dụ 2 Tính tích phân ( KD − 2004) 2 2 b/ I = ∫ 1 x2 −1 ln xdx x2 ( KA − 2013) Giải a/ 2x −1  u = ln( x 2 − x)  du = 2 dx ⇒ x −x Đặt   dv = dx v = x 3 3 2x −1 dx x −1 2 ⇒ I = x ln( x − x) − ∫ 2 2 3 3 = x ... viết chuyên đề “CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” để đưa số phương pháp hay dùng tính tích phân giúp em nhân diện đưa cách giải cách nhanh Chuyên đề gồm phần: Phần 1: Hệ thống kiến thức Phần 2: Các. .. 2: Các phương pháp tính tích phân Phần 3: Tuyển tập tính tích phân đề thi đại học Chuyên đề dùng giảng dạy ôn thi Tốt nghiệp THPT ,ĐH, CĐ cho học sinh khối 12 Thời gian giảng dạy chuyên đề cho... đặt x = −t x 2004 Ví dụ Tính tích phân I = ∫ x s inxdx −1 Khi gặp tích phân ,nhiều học sinh nghĩ đến phương pháp tích phân phần song phương pháp lại không áp dụng cho tích phân Giải Viết lại dạng: