Đang tải... (xem toàn văn)
N h ậ n x é t 1.3 Nếu tồn lim n—>00 dược cho Cn y/\cn\ bán kính hội tụ cỉm lũy thừa ( 1.11) R — lim n —>oo 16 c„ a n+l 1.4 H àm giải tích 1.4.1 K h i n iệ m h m g iải tíc h Hàm liai biến t.hực хеш hàm m ột biến phức Điều ĩiày với cấu trúc đại số с dẫn ta đến một, lớp hàm hết, sức quan trọng Đó lớp hàm с K vi Chương nhằm trình bày m ột số tính chất ban đầu lớp hàm Đ ịn h n g h ĩa 1.15 Cho hàm số f xác định miền í l c C X ét giới hạn f ( z + A z) - f ( z ) lim - —^ -, 2,2 + A z £ 12 Aæ->-0 Az Nếu điểm, z giới hạn tồn qọi đạo hàm phức f z, ký hiệu f ' ( z ) hay Như f {z) = J v ' Z ì z + A z e ũ , Ii m дТАо Az Hàrri / có đạo hàm phức z gọi khả vi phức hay с - khả vi г Bởi lim [/( г + Д г) - /(г )] = Д; д v у п lim / ( + А г ) - / ( г ) Д г = д*Ао Дг о псп псп / С - khả vi lim [f(z + A z ) — f ( z )] = Nói cách khác / liên tục Cũng hàm biến thực, quy nạp ta viết / ('k> —( / ^ -1^) vế phải tồn gọi đạo hàm phức cấp к: / t.rcn Q Do địnli nghĩa đạo hàm phức hoàn toàn tương tự với định nghĩa đạo hàm hàm biến thực, ta dễ dàng thiết lập công thức sau Đ ịn h lý 1.18 Nếu f(z) g(z) kỉiả vi f ( z ) / g ( z ), (g{z0) ỷ 0) củng khả vi z0 phức z0 tỉâ a f ( z ) + ß f { z ) , f ( z ) y ( z ) với m,ọi a ,ß £ с và: i ( a f + ßg) (г0) = a f (z0) + ß g ( z 0) гг и я) ы (гỊ^( ы = / ы ф о ) + f ( z 0)ỗ/(zQ) ^_ / = 17 - f { z 0) g ( z 0) iv Nếu си = f{z) khả vi phức Z(J khả vi phức ÙJ0 = f ( z 0) hàm hợp 9of khả vi phức z0 (g f ) (z0) = g {f {z 0) ) f (z0) Ta có điều kiện Cauchy - Rieniaiiĩi sau Giả sử f ( z ) = u(x, y) + iv(x, y), z — X + iy xác định miền Г2 с u(x, y) v(x, y) c Hàm / gọi M2- khả vi z = X + iy nến hàm k h ả v i tạ i (x , Đ ịn h lý 1.19 D ẻ hàm f y) с - khả vi z = X + iy G rỉ điều kiện cần đủ hàm f R 2- khả vi z điều kiện Cauchy- Riem ann sau thỏa m,ãn z du ỡv — (яс,г/)=Tz ~ (x,y)Ox õy du dv 77-(х,у) =~Т—{х,у) ay fl 3Ì ox с N h ậ n x é t 1.4 i Giả sử f hàm M2- khả vi z E Q с Ш2 khẵ vi z vầ C- khẫ vi ỗ f, , ề z) =ũli Nếu f trẽn С - khả vi z tã có ỏl ( ỗu ÖV , ỗu ỗv Л ỏz {z)=2\ủ(z) +iù z)-%{z)w z)) { A u , N „.ÖV Л ỗu ỗv , = ự l (2) + 2T x {z)) = ĩ , {z) + % (z) = {z)Đ ịn h n g h ĩa 1.16 Cho hàm f xác định m iền f i c C với giá trị с gọi giải tích Zq £ Q tồn r > đê f с - khả vi z G ũ ta nói f giải tích Nếu f giải tích z E Q ta nói f giải tích trêĩi Q N h ậ n x é t 1.5 Tã cố th ể m rộng định nghĩa nêu tới trường hợp Q lầ miền tù y ý С CỊ1Ì f ánh xạ từ Q vào с phép nghịch đảo Như vậy, z hữu hạn CỊ1Ì f(zo ) — oo tã nói f' giải tích z f { l / z ) giắi tích ZQ, cịn ZQ — oo tã nói f giải tích z0 f giải tích Ü Nếu khơng có đặc hiệt tã ln coi f i e С f hữu hạn Ta có cấc hằm thức giải tícli tồn m ặt phẩng c Cấc hàm hữu tỷ giải tích Ếrcn с trừ điểm mà khơng xác định T định lý 1.18 ta có 18 Đ ịn h lý 1.20 Giả sử Q с С m ột m iền H (Q) lồ, tập CÁC hàm, giải tích Q Khi đó: ỉ H (fỉ) không qỉan véctơ trẽn c vi H (fì) một, vành Hi Nếu f G H (fì) f {z) 7^ 0, G íỉ -J G H (íỉ) iv Nếu f G H (ũ) va, f cM nhận giá trị thực f lồ, không đoi Cũng từ định lý 1.20 iv ta có Đ ịn h lý 1.21 (về hàin hợp) Nếu f : Q —> Q* g : Q* —> с ìlàm giải tích, Q Q* miền mặt phang {z) (vì), hàm, (]of : >с giải tích oo Đ ịn h lý 2 Giả sử chuỗi lũy thừa Cnz n có bán kính hội tụ R > Khi đó, tổng 71 = oo f ( z ) giải tích m,ọi z với \z\ < R đạo hàm, phức ì,à Cnz ĩl~l n= H ệ q u ả 1.1 i (e*)' — ez ii (sin z)' — COS iii (cos zỴ — —sill z iii (cos z)' — —siĩl iv (sh z ) r = chz V (ch zỴ — sh z vi (ln z)' = -, z 19 c \ [ü, oo Chương X ây dựng hàm giải tích với tập khơng điểm tập khơng có điểm tụ cho trước 2.1 Đ iểm bất th n g, kh ôn g đ iểm hàm giải tích 1 Đ iể m b ấ t th n g c ủ a h m g iải tíc h Giả sử / hàm xác định miền Q Điểm 20 g C gọi điểm bất thường / tồn r > cho vànli kliăn < \z — Zq\ < r bao hàm Q f giải tích vànli kliăn khơng thể mỗ rộng giải tích tới z0, tức khơng tồn hàm giải tích ợ hình trịn \z — Zq\ < r cho g(z) = f ( z ) với < \z — Zq\ < r Giả sử / giải tích vành khăn < \z — Zq\ < r Chỉ xảy ba k h ả n ă n g sa u : i Tồn lim f ( z ) = a G c Khi đó, z0 gọi điểm thường / Z->Zo ii Tồn lim f ( z ) — oo Khi đó, Zq gọi cực điểm / z->-zo iii Không t.ồn lim f ( z ) (t.rong C) Khi dó, z0 dược gọi điếm bất thường cốt £->•20 yến cíia / Đe khảo sát trường hợp ta xét khai triển Laurent / t.ặi Zq vành 20 khăn < \z — Zq\ < r f{z) = (2.1) ^ Cn^z ~ z°)" n = —00 ( 2 ) để C - m Ỷ Ck = với k < —m Số nquyên m > 0, gụi bậc cực điểm Zq ii Điểm ZQ điểm bất thường cốt yếu vàchỉ tồn vô số k >0 để C-k Ỷ 0- 2.1 K h ô n g đ iể m c ủ a h m g iải tíc h Đ ịn h n g h ĩa Cho f hàm giải tích, đa thức diêm 2(j gọi không điểm bậc m hàm qỉải tích f f ( z 0) = • • • = f ( m~1'>\zũ — 0, f (-n^(z(ị) Ỷ 0- Như vậy, Zq không điổm bậc m f ( z ) khai tricn (2.1) có dạng oo f(z) = oo = ( z - Z0Ỵ" Cn,+Il(z - zữf Trong kliai triển (2.1), đặt m = i n f { k : Ck Ỷ 0}- Khi đó: i 2{j cực điểm —oo < /77 < Trong trường hợp —m bậc cực ii Zq đ iể m Z q b ấ t thường cốt yếu m — — oo 2.1.3 H m n g u y ê n h m p h â n h ìn h Đ ịn h n g h ĩa 2 Hàm, f giải tích tồn m ặt phang c qọi hàm nguyên 21 Như vậy, theo định lý Taylor, hàm nguycn có khai triển thành chuỗi M aclaurin c oo /(z) = ^ c „ " ,z e c TI=0 Đối với hàm nguyên / có trường hợp xảy sau đây: i Tồn lim f ( z ) = a £ c , nói cách khác oo điểm thường / Khi đó, / bị z —í-oo chặn t.rcn c ncn theo định lý Liouvillc f = const ii Tồn lim f ( z ) = oo Khi đó, khai triển Laurent / oo có phần đa thức iri Á l z ) = 'Y^UkZk k= Hiện ự>(z) = f ( z ) — g(z) ruột hàm nguyên lim ự>(z) hệ số a,Q z —¥oo khai triển Laurent, / oo Vì vậy, f ( z ) — g(z) số hay f ( z ) đa thức iii lim f ( z ) không tồn Trường hợp ta gọi / hàm siêu việt z —¥oo Đ ịn h n g h ĩa 2.3 Hàm giải tích miền Q c c trừ số diêm bất thường ỉà cực điểrn đưực gụi hàm phân hình ũ Do định lý 2.1 tập cực điểm / đếm dược, liơĩi rời rạc Q Giả sử / hàm giải tích t.rên Q khơng đồng không / ( z 0) = 0, Zq E Q Theo định lý Iihất tồn r > cho f ( z ) Ỷ với < \z — z0\ < r Vậy tập khơng điổm / đếm Như vậy, / g hàm giải tíc h tr ê n Q t h ì f / g m ộ t h m p h â n h ìn h Bâ}r giả sử / hàm phân hình ũ có số hữu hạn cực điểm Z! , , z m với bậc Pi , ,p m Khi đó, hàm g (z ) = f ( z ) Ỵ Ị ( z - Z j Y j 3=1 giải tích t.rên Q Như vậy, / viết dạng thương liai hàm giải tích Trường hợp tổng quát định lý sau Đ ịn h lý 2.3 Mọi hàm phân hình m iền tùy ý ũ đưực biểu diễn dạng thương hai hịm giỗi tích ũ 22 2.2 T ích vô hạn Ta biết tập hợp không điểm hàm giải t.ícli khác số miền fỉ Mục đích xây dựng hàm giải tích / nhận tập khơng có điổm tụ Q tập khơng điểm Nếu a — {a n} khơng có điểm tụ để xây dựng 77 t,a lấy ruột hàm f n G H (Г2) mà hàm / thổ đầu có khơng điểm 1} = С < oo Giả sử {щ , 77-2, } hoán vị tùy ý {1, 2, } Cho < £ < Lấy N để oo (2 10) \un (ố1)! < £ với s G s n=N0 Nếu N > N q M đủ lớn cho {1, , , iV} С {nb n 2, • ■■ , % } • Và (Ịm (ã) ký hiệu tách riêng thứ M tách (2.9), qM Pn — Pn I П (l +“nj-l| V rik > N (2.11) ) Vậy (2.10) bổ đề chứng tỏ I4M — Pn \ < bivl (ee — 1) < \pN \ £ < 2Ce 24 (2.12) Nếu ĩ>k = k ( k = , , ) , Thì M = N qM = p N (2.12) suy dãy { p n } hội tụ s tới / Ngoài \qm - P n \ < \pN \e, với M > N (2.13) Vì \pM \ > (1 - 2e) \p n 0\- Vậy I / 001 > (1 - e ) |pat0 (.s)| v i m ọ i ,s e s (2 ) B ất đẳng thức chứng tỏ / (s) = PN0 (.S') = Cuối từ (2.12) ta suy dãy { qm } hội tụ tớicùng giới hạn dãy {P n }- □ CO Đ ịn h lý 2.5 Giả sử < un < Khi đó, n (1 - o n= oo > un < oo n= Chứng minh Nếu Pm = (1 — Ui ) (1 —u n ), Pi > P2 > ■■• > Pn > Vì tồn CO p — ìimpM- Nếu ^2 un < °°) tlieo định lý 2.4 ta có p > M ặt khác p < Pn — N N n= n (1 — un) ^ exP [ ~ — u — • • • —Un] vế phải tiến đến không N —> oo, liến n=1 oo n=1 un — oo □ Đ ịn h lý 2.6 Giả sử CÁC hàm giải tích f n , n = , , , , miền Q khống đồng bằnq không chuỗi oo J2\l-f„(z)\ n= ( 15 ) hội tụ m ọi compact Q K hi đó, tích oo / W = n / » ( 2) n= (2-16) hội tụ tập compact tới hầm f G H (fì) Ngồi oo rn ( /; z) = m (/„; z) với z G n (2.17) 71 = đăy, m ( f ] z )ký hiệu bội không điểm z f (nếu f (z) Ỷ ta coi Chứng minh Phần thứ định lý suy từ định lỷ 2.4 un (z) = |1 - fn ( z ) \ 25 với = 0) De chứng minh phần thứ hai trước hốt từ (2.15) ta suy điổm thuộc Q có lân cận V N để fn khơng có khơng điểm t.rong V với n > N Tlieo định lỷ 2.4 số không điếm / t.rong V (kể bội ) tổng số khơng điểm t.rong V / b • • • 5ỈN- Vậy (2.17) chứng minh □ 2.3 X ây dự ng hàm giải tích với tậ p kh ơng đ iểm tậ p khơng có đ iểm tụ cho trước Đ ịn h n g h ĩa 2.5 Dặt E (z) = p=0, 1, 2, „ í z2 z^} Ep (z) = (1 - z)exp j z + y + ••• + -y j • Những hờm nò,y đề xuất IVeierstmss vò, gọi lò, CÁC nhẫn tử sơ cấp Các nhân tử có khơng diêm z — B ố đề 2.2 Với \z\ < q = ,l,2 , |1 - E„(z)\ < H p+1 Chứng minh.Bất đẳng thức hiển nhiên với p = f I Đối với p > ta có z2 ZpS\ - E p {z) = z p e x p ị z + Y + ••• + — Vậy —E (z) có khơng điểm bậc p t.ặi z — khai triển theo lũy thừa z có hệ số thực khơng âm Bỏi J z - E p (z) = - E'p ( t ị ) dĩ] Hàm —Ep (z) có khơng điểm bậc p + = 0, ^ v ' = z p+ an z n với an > Vậy Thì í p( z) — 71=0 z p+ =|^WI oo Nếu {Pn} m ột dãy số nguyên không ãm cho oo X 1+Pn / E ( f ) n=l ' < o °- (2-18) r > (ở rn — \rn \), tích, vơ hạn (2.19) ’V - Ĩ Ị M Ì ) n=l v xác định m ột hàm ngun p (z) có khơng điểm zn chi Một, cách xác, a số phức xuất m lần bậc 777 (0 < 771 < oo) dãy zn p khơng có a Điều kiện (2.18) ln ln thỏa mãn kh/i pn — n — Chứnq minh Trước hết Pn — n — (2.18) thỏa m ãn < — < I với n đủ lớn Bây cố định r > Ü Nếu \z\ < r, bổ đề 2.2 suy í - Ep n z \ (\ Z-n)J y < l+Pn l+Pn Zn < klii r n > r ( mà thỏa mãn với n đủ lớn ) Vì từ bổ đồ 2.2 chuỗi ^ —E p í — j \ Zn / n=l hội tụ tập compact m ặt phẳng Định lý 2.6 chứng tỏ tích vơ hạn n E Vn Ị — J hội tụ tới hàm nguyên p(z)c thỏa m ãn yên cầu □ n= Đ ịn h lý 2.8 (W eierstrass) Giả sử f lò, hàm, nguyên với / (0) 7^ vò, giả sử Zị, z2, kỉiônq điểm f (không điểm bội m xuất m lần) Khi đó, tồn hàm nquyên g dãy số nguyên không âm {pn} cho