Chuyên đề : Sử dụng phương pháp hàm số tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức và chứng minh bất đẳng thức. Chuyên đề: “SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT CỦA BIỂU THỨC VÀ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC.” Môn: Toán Tổ : Toán - Lý - Tin Mã : 55 Người thực hiện: Phạm Văn Minh Điện thoại: 0166.817.9181 Email: phamvanminh.gvbinhson@vinhphuc.edu.vn Trường THPT Bình Sơn MỤC LỤC 1 GV: Phạm Văn Minh Chuyên đề : Sử dụng phương pháp hàm số tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức và chứng minh bất đẳng thức. Nội dụng Trang A. MỞ ĐẦU 3 I. Lí do chọn đề tài 3 II. Mục đích nghiên cứu 3 III. Đối tượng học sinh 3 IV.Dự kiến thời gian 3 B. NỘI DUNG 4 I. MỘT SỐ KIẾN THỨC SỬ DỤNG TRONG CHUYÊN ĐỀ 4 1. Ứng dụng đạo hàm xét tính đơn điệu của hàm số 4 2. Cực trị của hàm số 4 3. Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số và biểu thức 5 4. Một số Bất đẳng thức áp dụng trong đề tài 6 5. Các bước lập Bảng biến thiên của hàm số 7 6. Sử dụng phương pháp hàm số tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất và chứng minh bất đẳng thức 7 II. CÁC VÍ DỤ 8 1.Sử dụng phương pháp hàm số chứng minh bất đẳng thức 8 Dạng 1. Bất đẳng thức chỉ có 1 ẩn 8 Dạng 2. Bất đẳng thức có nhiều ẩn 9 2.Sử dụng phương pháp hàm số tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức 15 Dạng 1. Biểu thức chứa 2 ẩn 15 Dạng 2. Biểu thức chứa 3 ẩn 24 III. BÀI TẬP 32 C. KẾT QUẢ SAU KHI ÁP DỤNG ĐỀ TÀI 38 D. ĐỀ XUẤT VÀ KIẾN NGHỊ 38 E. TÀI LIỆU THAM KHẢO 38 Trường THPT Bình Sơn 2 GV: Phạm Văn Minh Chuyên đề : Sử dụng phương pháp hàm số tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức và chứng minh bất đẳng thức. A.PHẦN MỞ ĐẦU I.LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Trong quá trình tìm tòi, nghiên cứu để viết chuyên đề tôi lựa chọn viết chuyên đề này vì các lý do sau: - Xu hướng ra đề thi đại học những năm gần đây, ở câu bất đẳng thức người ra đề thường ra bài toán mà có thể giải bằng nhiều cách giải. Và sử dụng phương pháp hàm số là một trong những cách giải của bài toán. - Trong quá trình giảng dạy và tìm tòi tài liệu tôi nhận thấy tài liệu về: “Sử dụng phương pháp hàm số tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất và chứng minh bất đẳng thức” còn rất ít và trình bày rời rạc, chưa thành hệ thống. - Thực tế giảng dạy cho thấy, học sinh rất cần có một tài liệu trình bày có hệ thống về: “Sử dụng phương pháp hàm số tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất và chứng minh bất đẳng thức” để các em có thể học tập tốt hơn. Đồng thời tài liệu cũng có thể giúp cho các giáo viên bồi dưỡng chuyên môn nâng cao khả năng của bản thân. Chính vì những lý do, tôi quyết định viết chuyên đề về: “Sử dụng phương pháp hàm số tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất và chứng minh bất đẳng thức”. II.MỤC ĐÍCH Chuyên đề viết ra nhằm đạt các mục đích sau: - Chuyên đề là tài liệu dạy và học trong việc ôn thi đại học cao đẳng, đồng thời cùng dùng trong việc bồi dưỡng học sinh giỏi. - Chuyên đề giúp giáo viên nâng cao chuyên môn. - Chuyên đề nhằm phát triển và rèn luyện tư duy hàm cho học sinh. - Đồng thời mong muốn thông qua chuyên đề học sinh có thể nâng cao được điểm thi đại học cao đẳng. III.ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH - Đối tượng dạy học của chuyên đề là học sinh lớp 12A1, 12A2 của trường THPT Bình Sơn. IV.THỜI GIAN DẠY CHUYÊN ĐỀ - Dự kiến thời lượng giảng dạy chuyên đề là : 9 tiết. Trường THPT Bình Sơn B.NỘI DUNG 3 GV: Phạm Văn Minh Chuyên đề : Sử dụng phương pháp hàm số tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức và chứng minh bất đẳng thức. I. MỘT SỐ KIẾN THỨC SỬ DỤNG TRONG CHUYÊN ĐỀ 1.Ứng dụng đạo hàm xét tính đơn điệu của hàm số 1.1. Định nghĩa: Cho hàm số f ( x) xác định trên khoảng K. Khi đó *) f ( x) gọi là đồng biến trên K nếu với mọi x1 , x2 ∈ K mà x1 < x2 ta đều có f ( x1 ) < f ( x2 ). *) f ( x) gọi là nghịch biến trên K nếu với mọi x1 , x2 ∈ K mà x1 < x2 ta đều có f ( x1 ) > f ( x2 ). Các hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên một khoảng còn được gọi chung là các hàm đơn điệu trên khoảng đó. 1.2. Định lý ( Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu trên một khoảng) Cho hàm số f ( x) có đạo hàm trên khoảng (a;b). Khi đó *) Nếu f ( x) ≥ 0 ∀x ∈ (a; b) (và dấu = chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm) thì f ( x) đồng biến trên (a; b) . *) Nếu f ( x) ≤ 0 ∀x ∈ (a; b) (và dấu = chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm) thì f ( x) nghịch biến trên (a; b) . 1.3. Điểm tới hạn của hàm số Điểm x0 được gọi là điểm tới hạn của hàm số f ( x) nếu nó thuộc tập xác định của f ( x) và f '( x0 ) = 0 hoặc f '( x0 ) không xác định. Chú ý: Trên mỗi khoảng phân chia bởi hai điểm tới hạn kề nhau, đạo hàm của hàm số giữ nguyên một dấu. 2. Cực trị của hàm số 2.1. Định nghĩa: Cho hàm số f(x) xác định trên tập D, x0 ∈ D *) x0 được gọi là điểm cực đại của hàm số f nếu tồn tại khoảng (a;b) chứa điểm x0 sao cho (a;b) ⊂ D và f(x)f(x0), với mọi x0∈ (a;b)\{x0}. Lúc đó, f(x0) được gọi là giá trị cực tiểu của f. - Điểm cực đại và điểm cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị của hàm số. - Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu được gọi chung là giá trị cực trị của hàm số. - Nếu x0 là điểm cực trị của hàm số f thì điểm (x0; f(x0)) được gọi là điểm cực trị của đồ thị hàm số f. 2.2. Định lí 1 (Định lí Fecmart-Điều kiện cần để hàm số có cực trị) Nếu hàm số f có đạo hàm và đạt cực trị tại điểm x0 thì f’(x0) = 0. 2.3. Định lí 2 (Điều kiện đủ - Dấu hiệu 1) Trường THPT Bình Sơn 4 GV: Phạm Văn Minh Chuyên đề : Sử dụng phương pháp hàm số tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức và chứng minh bất đẳng thức. Giả sử hàm số f liên tục trên khoảng (a;b) chứa điểm x0 và có đạo hàm trên các khoảng (a;x0) và (x0;b). Khi đó: i) Nếu f’(x) 0 ∀x ∈ ( x0 ;b) thì f đạt cực tiểu tại điểm x0 ii) Nếu f’(x)>0, ∀x ∈ (a;x0 ) và f’(x) < 0 ∀x ∈ ( x0 ;b) thì f đạt cực đại tại điểm x0 Quy tắc 1 -Tìm tập xác định. -Tính f’(x). Tìm các điểm tới hạn. -Lập Bảng biến thiên. -Kết luận. 2.4. Định lí 3 (Điều kiện đủ - Dấu hiệu 2) Giả sử hàm số f có đạo hàm đến cấp hai trên khoảng (a;b) chứa điểm x0 đồng thời f’(x0) = 0 và f’’(x0) ≠ 0. Khi đó i) Nếu f’’(x0) < 0 thì hàm số f đạt cực đại tại điểm x0 ii) Nếu f’’(x0) > 0 thì hàm số f đạt cực tiểu tại điểm x0 Quy tắc 2 -Tìm tập xác định. -Tính f’(x). Tìm các nghiệm xi của phương trình f’(x) = 0 -Tính f’’(x) và suy ra f’’(xi). o Nếu f’’(xi) < 0 thì f đạt cực đại tại xi o Nếu f’’(xi) > 0 thì f đạt cực tiểu tại xi Chú ý: Khi áp dụng qui tắc 2, ta chỉ tìm được các điểm cực trị là nghiệm của phương trình f’(x)=0, hơn nữa f’’(x) phải bằng khác 0. Ngoài các trường hợp trên, ta phải sử dụng qui tắc 1. 3. Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số và biểu thức 3.1. Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số Định nghĩa: Cho hàm số f(x) xác định trên tập D. Khi đó - Số M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số f(x) trên D nếu thỏa mãn hai điều kiện sau:  M ≥ f ( x)∀x ∈ D  ∃x0 ∈ D | f ( x0 ) = M f ( x) = f ( x0 ) . Kí hiệu: M = max D Trường THPT Bình Sơn 5 GV: Phạm Văn Minh Chuyên đề : Sử dụng phương pháp hàm số tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức và chứng minh bất đẳng thức. - Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) trên D nếu thỏa mãn hai điều kiện sau:  m ≤ f ( x)∀x ∈ D  ∃x0 ∈ D | f ( x0 ) = m f ( x) = f ( x0 ) . Kí hiệu: m = min D Các bước tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trên một khoảng: - Tính đạo hàm - Lập Bảng biến thiên - Dựa vào Bảng biến thiên suy ra giá trị lớn nhất, nhỏ nhất Các bước tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn [a;b]: - Tính đạo hàm - Tìm các điểm tới hạn xi và tính các giá trị f (a), f (b), f ( xi ). f ( x ) = max { f (a ); f (b); f ( xi )} ; min f ( x) = min { f ( a); f (b); f ( xi )} - Kết luận max [a ;b ] [a ;b ] 3.2. Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức Cho biểu thức n biến P = f ( x1; x2 ;...; xn ) xác định trên D = D1 × D2 × ... × Dn , tức là xi ∈ Di , ∀i = 1, n. Khi đó - Số M được gọi là giá trị lớn nhất của P trên D nếu thỏa mãn hai điều kiện sau:  M ≥ P, ∀xi ∈ Di , i = 1, n  0 0 0 0 ∃xi ∈ Di , ∀i = 1, n sao cho P = f ( x1 ; x2 ;...; xn ) = M f ( x1 ; x2 ;...; xn ) = f ( x10 ; x20 ;....; xn0 ) . Kí hiệu: Pmax = M = max D - Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất của P trên D nếu thỏa mãn hai điều kiện sau:  m ≤ P, ∀xi ∈ Di , i = 1, n  0 0 0 0 ∃xi ∈ Di , ∀i = 1, n sao cho P = f ( x1 ; x2 ;...; xn ) = m f ( x1 ; x2 ;...; xn ) = f ( x10 ; x20 ;....; xn0 ) . Kí hiệu: Pmin = m = min D 4. Một số Bất đẳng thức áp dụng trong đề tài 4.1. Bất đẳng thức Cô si - Trường hợp 2 số: Với mọi x, y không âm, ta đều có: x + y ≥ 2 xy . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = y. - Trường hợp 3 số: Với mọi x, y, z không âm, ta đều có: x + y + z ≥ 3 3 xyz . Bất đẳng thức Cô si được vận dụng nhiều trong các bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất cũng như các bài toán chứng minh bất đẳng thức. Ta có thể khai thác, sử dụng các dạng Trường THPT Bình Sơn 6 GV: Phạm Văn Minh Chuyên đề : Sử dụng phương pháp hàm số tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức và chứng minh bất đẳng thức. thức khác nhau của bất đẳng thức này, chẳng hạn trường hợp ba số dương, ta có các dạng khác như: 1 1 1 x + y + z ≥ 3 xyz; + + ≥ x y z 3 3 3 3 3 3 9  x+ y+z ≥ ; ÷ ≥ xyz;... 3 xyz x + y + z   Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = y = z. 4.2. Bất đẳng thức Bunhia-copxki Với 6 số thực bất kì: a1 , a2 , a3 ; b1 , b2 , b3 ta luôn có a1b1 + a1b1 + a1b1 ≤ a1b1 + a1b1 + a1b1 ≤ (a 2 1 + a22 + a32 ) . ( b12 + b22 + b32 ) Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a1 : a2 : a3 = b1 : b2 : b3 . 4.3. Các bất đẳng thức suy ra từ bình phương một biểu thức *) ( x − y ) 2 ≥ 0 ⇒ x 2 + y 2 ≥ 2 xy. Dấu bằng xảy ra khi x = y. *) ( x − y ) 2 + ( y − z )2 + ( z − x) 2 ≥ 0 ⇔ x 2 + y 2 + z 2 ≥ xy + yz + zx . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = y = z. *) ( x − y ) 2 + ( y − z )2 + ( z − x) 2 ≥ 0 ⇔ ( x + y + z ) 2 ≥ 3( xy + yz + zx) 5. Các bước lập Bảng biến thiên của hàm số Việc lập Bảng biến thiên của hàm số là một khâu quan trọng trong quá trình giải bài toán tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số một biến trên khoảng hay nửa khoảng. Kỹ năng này học sinh đã được rèn luyện nhiều trong quá trình học lý thuyết, vì thời gian không nhiều nên trong đề tài này tôi chỉ đề cập tới kĩ năng chuyển bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức nhiều biến thành bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số (một biến) và đưa ra bảng biến thiên để suy ra kết luận cuối cùng mà không trình bày chi tiết từng bước, đặc biệt là bỏ qua việc tìm giới hạn. Trong giảng dạy, yêu cầu học sinh phải lập bảng biến thiên với những bài toán tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số trên một khoảng hay nửa khoảng, còn với đoạn thì ta không cần lập bảng biến thiên. Các bước cơ bản để lập Bảng biến thiên bao gồm: Tìm tập xác định, tính đạo hàm, tìm các điểm tới hạn, các giới hạn cần thiết rồi hoàn thiện Bảng biến thiên. 6. Sử dụng phương pháp hàm số tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất và chứng minh bất đẳng thức: - Đánh giá, biến đổi biểu thức, bất đẳng thức đưa về xét một hàm số. - Tìm khoảng đánh giá của hàm số. - Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số trên khoảng vừa tìm được. - Giải quyết bài toán ban đầu. II. CÁC VÍ DỤ Trường THPT Bình Sơn 7 GV: Phạm Văn Minh Chuyên đề : Sử dụng phương pháp hàm số tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức và chứng minh bất đẳng thức. 1.Sử dụng phương pháp hàm số chứng minh bất đẳng thức Dạng 1. Bất đẳng thức chỉ có 1 ẩn - Đối với bất đẳng thức dạng này ta chuyển tất cả sang một vế và xét hàm số . Ví dụ 1. Chứng minh rằng: e x + cos x ≥ 2 + x − x2 LG: Xét hàm số f ( x) = e + cos x − 2 − x + , 2 x x2 , 2 ∀x ∈ ¡ x∈¡ f '( x) = e x − sin x − 1 + x ⇒ f ''( x) = e x − cos x + 1 > 0 , ∀x ∈ ¡ ⇒ f '( x) là hàm số đồng biến và f '( x) = 0 có tối đa một nghiệm. Kiểm tra thấy x = 0 là nghiệm duy nhất của f '( x) = 0 . Bảng biến thiên: Dựa vào BBT của f ( x) ⇒ f ( x) ≥ 0, ∀x ∈ ¡ ⇒ e x + cos x ≥ 2 + x − x2 , 2 x∈¡ Ví dụ 2. Chứng minh rằng: ∀x ∈ ( 0;1) luôn có x ( 1 − x 2 ) ≤ 2 3 9 2 2 Lg: Xét hàm số: f ( x ) = x ( 1 − x ) ; x ∈ ( 0;1) f ' ( x ) = 1 − 3x ; f ' ( x ) = 0 ⇔ x = ± 1 3 Bảng biến thiên: Trường THPT Bình Sơn 8 GV: Phạm Văn Minh Chuyên đề : Sử dụng phương pháp hàm số tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức và chứng minh bất đẳng thức. Từ đó suy ra: f ( x ) ≤ 2 3 ; ∀x ∈ ( 0;1) 9 Dấu “=” xảy ra khi x = 1 . 3 Dạng 2. Bất đẳng thức có nhiều ẩn - Đối với bất đẳng thức có 2 ẩn thì từ giả thiết ta biểu diễn 1 ẩn theo ẩn còn lại rồi thay vào bất đẳng thức để xét hàm số. - Đối với bất đẳng thức có nhiều hơn 2 ẩn thì sử dụng đánh giá tìm ra hàm số, ra khoảng của biến số để giải. Ví dụ 3. Chứng minh rằng nếu a, b, c > 0 và a 2 + b 2 + c 2 = 1 thì a b c 3 3 + + ≥ b2 + c 2 a 2 + c2 a 2 + b2 2 Lg: 1 3 3 x 3 3x 2 ≥ ⇒ ≥ Áp dụng ví dụ 2) ta có: 2 1 − x2 2 x ( 1 − x2 ) a b c a b c + 2 2+ 2 = + + 2 2 2 2 b +c a +c a + b 1 − a 1 − b 1 − c2 Do đó: 2 3 3a 2 3 3b 2 3 3c 2 3 3 2 3 3 ≥ + + = a + b2 + c2 ) = ( 2 2 2 2 2 Vậy a b c 3 3 + 2 + 2 ≥ 2 2 2 b +c a +c a +b 2 2 Dấu “=” xảy ra khi a = b = c = 1 . 3 1 4 4 Ví dụ 4. Chứng minh rằng với x + y = 1 thì x + y ≥ . 8 Trường THPT Bình Sơn 9 GV: Phạm Văn Minh Chuyên đề : Sử dụng phương pháp hàm số tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức và chứng minh bất đẳng thức. Lg: Từ x + y = 1 ⇒ y = 1 − x nên x 4 + y 4 = x 4 + ( 1 − x ) 4 Xét hàm số: f ( x ) = x 4 + ( 1 − x ) 4 ⇒ f ' ( x ) = 4 x3 − 4 ( 1 − x ) 3 ; f ' ( x ) = 0 ⇔ x = 1 . 2 Bảng biến thiên: Từ đó suy ra: f ( x ) ≥ 1 8 ∀x ∈ ¡ 1 Dấu “=” xảy ra khi x = y = . 2 Ví dụ 5. Cho các số thực x, y thay đổi và thỏa mãn ( x + y )3 + 4 xy ≥ 2 . Chứng minh : P = 3( x 4 + y 4 + x 2 y 2 ) − 2( x 2 + y 2 ) + 1 ≥ 9 16 Lg: Ta có ( x + y )3 + 4 xy ≥ 2 ⇒ 2 ≤ ( x + y )3 + ( x + y ) 2 ⇒ x + y ≥ 1 ⇒ x 2 + y 2 ≥ 1 2 P = 3( x 4 + y 4 + x 2 y 2 ) − 2( x 2 + y 2 ) + 1 2 3 3 = x 2 + y 2 + x 4 + y 4 − 2( x 2 + y 2 ) + 1 2 2 2 9 ≥ x 2 + y 2 − 2( x 2 + y 2 ) + 1 4 ( ) ( ) ( ) 1 9 Đặt t = x 2 + y 2 ⇒ t ≥ . Khi đó: P ≥ .t 2 − 2t + 1 2 4 9 1 Xét hàm số: f (t ) = .t 2 − 2t + 1 với t ≥ . 4 2 9 f '(t ) = .t − 2 ≥ 0 2 ∀t ≥ Trường THPT Bình Sơn 1 ⇒ Suy ra hàm số đồng biến trên 2 10 1   2 ; +∞ ÷ GV: Phạm Văn Minh Chuyên đề : Sử dụng phương pháp hàm số tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức và chứng minh bất đẳng thức. 9 1 9 P ≥ f (t ) ≥ f  ÷ = ⇒ P ≥ (ĐPCM) 16  2  16 1 2 1 1 1 Ví dụ 6. Chứng minh rằng: ( x + y + z )  + + ÷ ≤ 12 với mọi số thực x, y, z ∈ [ 1;3] x y z Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = y = 2 Lg: Ta có : x ∈ [ 1;3] ⇒ (3 − x)( x − 1) ≥ 0 ⇔ − x + 4 x − 3 ≥ 0 ⇔ 4 − x − Tương tự : 3 1 4− x ≥0⇔ ≤ x x 3 1 4− y 1 4− z ≤ ; ≤ y 3 z 3 1 1 1 4− x 4− y 4− z + + Suy ra: P = ( x + y + z )  + + ÷≤ ( x + y + z )  ÷ 3 3   3 x y z 2 x + y + z) ( − P ≤ 4( x + y + z ) 3 Đặt t = x + y + z ⇒ t ∈ [ 3;9] Khi đó : P ≤ f (t ) = 4t − f '(t ) = 4 − t2 t2 . Xét hàm số : f (t ) = 4t − với t ∈ [ 3;9] 3 3 2t ; f '(t ) = 0 ⇔ t = 6 3 f (3) = f (9) = 9; f (6) = 12 ⇒ f (t ) ≤ f (6) = 12 với mọi t ∈ [ 3;9] 1 1 1 Vậy ( x + y + z )  + + ÷ ≤ 12 (ĐPCM) x y z Ví dụ 7. Chứng minh rằng với mọi số thực dương a, b, c thỏa mãn a 2 + b 2 + c 2 = 1 , ta có: a 5 − 2a 3 + a b 5 − 2b3 + b c 5 − 2c 3 + c 2 + + ≤ b2 + c 2 c2 + a2 a2 + b2 3 Lg: Do a, b, c > 0 , a 2 + b 2 + c 2 = 1 ⇒ a, b, c ∈ (0;1) ( ) 5 3 a a2 − 1 a − 2 a + a Ta có: = b2 + c 2 1 − a2 ( 2 = −a3 + a ) ( ) ( ) 3 3 3 Bất đẳng thức trở thành: −a + a + −b + b + −c + c ≤ Trường THPT Bình Sơn 11 2 3 GV: Phạm Văn Minh Chuyên đề : Sử dụng phương pháp hàm số tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức và chứng minh bất đẳng thức. 3 Xét hàm số : f ( x) = − x + x với x ∈ ( 0;1) 1 3 f '(t ) = −3x 2 + 1; f '( x) = 0 ⇔ t = Lập bảng biến thiên Từ bảng biến thiên suy ra : Max f ( x) = (0;1) ( ) ( ) ( 2 3 3 ) 3 3 3 Suy ra: −a + a + −b + b + −c + c ≤ Đẳng thức xảy ra ⇔ a = b = c = 2 3 (ĐPCM) 1 3 Ví dụ 8. Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn a + b + c = 1 . Chứng minh rằng: ab + bc + ca − 2abc ≤ 7 . 27 Lg: Ta có ab + bc + ca − 2abc = a (b + c) + (1 − 2a )bc = a (1 − a ) + (1 − 2a)bc . (b + c) 2 (1 − a) 2 Đặt t = bc thì ta có 0 ≤ t = bc ≤ . = 4 4  (1 − a) 2  Xét hs f (t ) = a(1 − a) + (1 − 2a )t trên đoạn  0; . 4   2 ( a + 1 − a ) 1 7 Có f (0) = a (1 − a) ≤ = < 4 4 27 2  (1 − a) 2  7 1 1  1 7 − (2a + )  a − ÷ ≤ và f  với mọi a ∈ [ 0;1] ÷= 3  3  27  4  27 4 Trường THPT Bình Sơn 12 GV: Phạm Văn Minh Chuyên đề : Sử dụng phương pháp hàm số tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức và chứng minh bất đẳng thức. 7  1 Với a ∈  0;  ⇒ f (t ) ≤ f (0) < 27  2  (1 − a) 2  7 1  Với a ∈  ;1 ⇒ f (t ) ≤ f  ÷≤ 2   4  27 7 . Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1/3 27 Ví dụ 9. Cho các số thực x, y, z thỏa mãn điều kiện x + y + z = 0 . Chứng minh rằng: Vậy ab + bc + ca − 2abc ≤ 3 x− y +3 y− z z− x +3 − 6x2 + 6 y2 + 6z 2 ≥ 3 (Đề thi ĐH khối B năm 2012) Lg: t Trước tiên, ta đi chứng minh f ' ( t ) = 3 ln t − 1 > 0; ∀t ≥ 0(*) t Thật vậy: Xét hàm số f ( t ) = 3 − t − 1; t ≥ 0 f ' ( t ) = 3t ln t − 1 > 0; ∀t ≥ 0 . Suy ra hàm số đồng biến trên khoảng ⇒ f ( t) ≥ f ( t) = 0 Áp dụng (*) ta có: 3 ( 0;+∞ ) Dấu bằng xảy ra khi t = 0 x− y +3 y−z +3 z−x ≥ x− y + y− z + z−x +3 Áp dụng BĐT: a + b ≥ a + b , ta được: ( x− y + y−z + z−x) = 2 2 2 2 = x − y + y − z + z − x + 2. x − y . y − z + 2. x − y . z − x + 2. y − z . z − x ( 2 2 ≥ 2. x − y + y − z + z − x 2 ( ) 2 2 Do đó: x − y + y − z + z − x ≥ 2 x − y + y − z + z − x 2 ) = 6 x2 + 6 y 2 + 6 z 2 − 2 ( x + y + z ) = 6x 2 + 6 y 2 + 6z 2 2 Vậy 3 x − y + 3 y − z + 3 z − x − 6 x 2 + 6 y 2 + 6 z 2 ≥ 3 Dấu bằng xảy ra khi x = y = z = 0 Ví dụ 10. Cho các số thực x, y, z thỏa mãn điều kiện x + y + z = 0 và x 2 + y 2 + z 2 = 1 . Trường THPT Bình Sơn 13 GV: Phạm Văn Minh Chuyên đề : Sử dụng phương pháp hàm số tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức và chứng minh bất đẳng thức. Chứng minh rằng: x5 + y 5 + z 5 ≥ 5 6 6 (Đề thi ĐH khối B năm 2012) Lg: Ta có: 0 = ( x + y + z ) = x 2 + y 2 + z 2 + 2 x ( y + z ) + 2 yz = 1 − 2 x 2 + 2 yz ⇒ yz = x 2 − 2 1 2 y2 + z 2 1 − x2 1 1 − x2 2 2 2 Mặt khác, ta có: yz ≤ = ⇒x − ≤ ⇔ 3x 2 ≤ 2 ⇔ − ≤x≤ 2 2 2 2 3 3 5 5 5 5 2 2 3 3 2 2 Khi đó: x + y + z = x + ( y + z ) ( y + z ) − y z ( y + z ) = 2 1 5 3  = x + ( 1 − x ) ( y + z ) − 3 yz ( y + z )  −  x 2 − ÷ x = ( 2 x 3 − x ) = f ( x )    2 4 5 2 Xét hàm số f ( x ) = ta có f ' ( x ) =  2 2 5 3 x ∈ 2 x − x với ( ) − ;  4  3 3 15 2 5 1 x − ; f '( x ) = 0 ⇔ x = ± 2 4 6 Bảng biến thiên Từ đó suy ra: f ( x ) ≤  2 2 ; x ∈ − ;  6 6  3 3 Trường THPT Bình Sơn 5 14 GV: Phạm Văn Minh Chuyên đề : Sử dụng phương pháp hàm số tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức và chứng minh bất đẳng thức. 1 2  x = y = − ; z =  6 6  1 2 1  ;y = ;z = − Dấu bằng xảy ra khi  x = − 6 6 6  x = 2 ; y = − 1 ; z = − 1  6 6 6 Ví dụ 11. Cho 4 số thực a, b, c, d thỏa mãn: a 2 + b 2 = 1; c − d = 3 . CM: F = ac + bd − cd ≤ 9+6 2 4 LG: Áp dụng BĐT Bunhiacopxki và giả thiết ta có: F≤ (a 2 )( ) + b 2 c 2 + d 2 − cd = 2d 2 + 6d + 9 − d 2 − 3d = f (d ) 1 − 2 ( d + 3) + 2 Ta có: f '(d ) = (2d + 3) 2d 2 + 6d + 9 9 2 ; f '(d ) = 0 ⇔ d = − 3 2 Bảng biến thiên:  3 9+6 2 Dựa vào BBT ta suy ra được : f ( d ) ≤ f  − ÷ = 4  2 Dấu “=” xảy ra khi a = 1 1 3 3 ;b = − ;c = ;d = − 2 2 2 2 2. Sử dụng phương pháp hàm số tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức Dạng 1. Biểu thức chứa 2 ẩn Ví dụ 12. Cho x, y là hai số dương thay đổi thỏa mãn điều kiện 4( x + y ) − 5 = 0 . Tìm giá 4 1 trị nhỏ nhất của biểu thức S = + x 4y Trường THPT Bình Sơn 15 GV: Phạm Văn Minh Chuyên đề : Sử dụng phương pháp hàm số tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức và chứng minh bất đẳng thức. LG: Ta có : 4( x + y ) − 5 = 0 ⇒ y = Đặt f ( x ) = f '( x) = ( 5 − 4x 20 − 15 x ⇒S= 4 x(5 − 4 x) với 0 < x < 5 4 20 − 15 x 5 với 0 < x < x(5 − 4 x) 4 4 25 − 40 x + 15 x 2 2 x (5 − 4 x) 2 ) ; f '( x) = 0 ⇔ x = 1; x = 5 3 Bảng biến thiên: Dựa vào BBT ⇒ minS = 5 đạt được khi x = 1, y = 4 y ≤ 0 Ví dụ 13. Cho các số thực x, y thỏa mãn  2  x + x = y + 12 của biểu thức P = xy + x + 2 y + 17 . . Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất Lời giải: Theo giả thiết, ta có y = x 2 + x − 12 ≤ 0 ⇒ x ∈ [ − 4;3]. Khi đó, P = x3 + 3x 2 − 9 x − 7 , suy ra  x = −3 P '( x ) = 3 x 2 + 6 x − 9.P '( x) = 0 ⇔  x =1   x = −3; y = −6  Pmax = 20 ⇔  Từ đó suy ra   x = 3; y = 0  P = −12 ⇔ x = 1; y = −10.  min Ví dụ 14. Cho các số thực x, y thỏa mãn ( x − 4 ) + ( y − 4 ) + 2 xy ≤ 32. Tìm GTNN của biểu 3 3 thức P = x + y + 3 ( xy − 1) ( x + y − 2). 2 4 Lời giải: Theo giả thiết ta có ( x − 4 ) + ( y − 4 ) + 2 xy ≤ 32 ⇔ ( x + y ) − 8 ( x + y ) ≤ 0 ⇔ x + y ∈ [0;8] . 2 Trường THPT Bình Sơn 4 2 16 GV: Phạm Văn Minh Chuyên đề : Sử dụng phương pháp hàm số tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức và chứng minh bất đẳng thức. 3 2 2 3 3 3 P = x + y + 3 ( xy − 1) ( x + y − 2 ) = ( x + y ) − 6 xy − 3 ( x + y ) + 6 Lại có 4 xy ≤ ( x + y ) ⇒ −6 xy ≥ − ( x + y ) . Do đó 2 ≥ ( x + y) − 3 3 2 ( x + y ) − 3( x + y ) + 6 2 3 2 Đặt t = x + y ⇒ t ∈ [0;8]. Xét hàm số f (t ) = t 3 − t 2 − 3t + 6 , ta có 1+ 5 , vì t thuộc đoạn [0;8]. Ta có 2  1 + 5  17 − 5 5 f ( 0 ) = 6; f ( 8 ) = 398; f  ÷ Suy ra ÷= 4  2  17 − 5 5 1+ 5 1+ 5 Pmin = min f (t ) = ⇔t = ⇔x= y= . [0;8] 4 2 4 f '(t ) = 3t 2 − 3t − 3. f '(t ) = 0 ⇔ t = Ví dụ 15. Cho x, y là hai số dương thay đổi thỏa mãn điều kiện xy ≤ y − 1 . Tìm giá trị x+ y x − 2y − lớn nhất của biểu thức P = 2 x − xy + 3 y 2 6( x + y ) ( Đề thi đại học khối D năm 2013) 2 x y −1 1  1 1  Lg: Do x, y > 0, xy ≤ y − 1 ⇒ 0 < ≤ 2 = −  − ÷ y 4  y 2 y Đặt t = t +1 t −2 x 1 − ⇒ 0 < t ≤ . Khi đó : P = 2 y 4 t − t + 3 6(t + 1) Xét f (t ) = Ta có: t +1 t2 − t + 3 − t−2 1 với 0 < t ≤ 6(t + 1) 4 7 − 3t f '(t ) = 2 (t 2 −t +3 ) 3 − 1  1 < 0 ∀ t ∈  0;  2(t + 1) 2  4 5 7 1 + Do đó : P = f (t ) ≤ f  ÷ =  4  3 30 Vậy : m ax P = x = 1 / 2 5 7 + ⇔ 3 30 y = 2 (x Ví dụ 16. Cho hai số thực x, y > 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của P = Trường THPT Bình Sơn 17 3 ) ( + y3 − x2 + y 2 ( x − 1)( y − 1) ) GV: Phạm Văn Minh Chuyên đề : Sử dụng phương pháp hàm số tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức và chứng minh bất đẳng thức. LG: 2 t Đặt t = x + y ; t > 2 . Áp dựng BĐT 4 xy ≤ ( x + y ) 2 ⇒ xy ≤ 4 t 3 − t 2 − xy (3t − 2) t2 Ta có: P = . Do t > 2;3t − 2 > 0 và − xy ≥ − xy − t + 1 4 t2 t − t − (3t − 2) t2 4 = Suy ra: P ≥ t −2 t2 − t +1 4 3 2 t 2 − 4t t2 f '( t ) = ; f '(t ) = 0 ⇔ t = 0 ∨ t = 4 Xét hàm số f (t ) = với t > 2. Ta có : 2 t −2 ( t − 2) Lập bảng biến thiên f (t ) = 8 ⇒ min P = 8 ⇔ x = y = 2 Suy ra : (min 2;+∞ ) Ví dụ 17. Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn : x 2 − xy + y 2 = 1 . Tìm giá trị lớn nhất và x4 + y 4 + 1 nhỏ nhất của biểu thức: P = 2 x + y2 + 1 LG: Từ giả thiết suy ra: 1 = x 2 − xy + y 2 = ( x − y ) 2 + xy ≥ xy 1 = x 2 − xy + y 2 = ( x + y ) 2 − 3xy ≥ −3xy 1 Từ đó suy ra: − ≤ xy ≤ 1 3 Mặt khác : x 2 − xy + y 2 = 1 ⇒ x 2 + y 2 = 1 + xy ⇒ x 4 + y 4 = 1 + 2 xy − x 2 y 2 Trường THPT Bình Sơn 18 GV: Phạm Văn Minh Chuyên đề : Sử dụng phương pháp hàm số tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức và chứng minh bất đẳng thức. 2 1 −t + 2t + 2 1 Đặt t = xy ⇒ − ≤ t ≤ 1. Khi đó: P = f (t ) = ; − ≤ t ≤1 3 t+2 3 f '(t ) = −t 2 − 4t + 2 ( t + 2) 2 t = 6 − 2 ; f '(t ) = 0 ⇔  t = − 6 − 2 (l ) Bảng biến thiên: Từ BBT suy ra: max P = f ( 6 − 2) = 6 − 2 6  1  11 min P = f  − ÷ =  3  15 Ví dụ 18. Cho các số thực x, y khác không và thỏa mãn ( x + y ) xy = x 2 + y 2 − xy . Tìm giá trị 1 1 lớn nhất của biểu thức P = x3 + y 3 . Lời giải: s2 Đặt s = x + y; p = x. y ⇒ p ≠ 0. Theo giả thiết s. p = s 2 − 3 p ⇒ p = (dễ thấy s ≠ −3 ). s+3 Khi đó x, y là các nghiệm của phương trình X − sX + p = 0 , nên để x, y tồn tại ta phải có 2 s2 ≥ 4 p ⇔ s2 ≥ s ≥ 1 4s 2 s −1 ⇔ ≥0⇔  . s+3 s+3  s < −3 2 2 t +3 x 3 + y 3 ( x + y )( x 2 + y 2 − xy )  x + y   s + 3  = Mặt khác: P = 3 3 = ÷ = ÷ . Xét hàm số f (t ) = t , với 3 3 x y x y  xy   s  3 t ∈ (−∞; −3) ∪ [1; +∞) . Ta có f '(t ) = − 2 < 0 . Bảng biến thiên t Trường THPT Bình Sơn 19 GV: Phạm Văn Minh Chuyên đề : Sử dụng phương pháp hàm số tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức và chứng minh bất đẳng thức. 1 2 2 Suy ra f (t ) ∈ (0;1) ∪ (1; 4] . Từ đó P = [ f (t )] ≤ 16 ⇒ Pmax = 16 ⇔ x = y = . (x Ví dụ 19. Cho x,y ∈ R và x, y > 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của P = 3 ) ( + y3 − x2 + y 2 ) ( x − 1)( y − 1) Lg : Đặt t = x + y ; t > 2. Áp dụng BĐT 4xy ≤ (x + y)2 ta có xy ≤ t2 4 t 3 − t 2 − xy (3t − 2) P= . xy − t + 1 t 2 (3t − 2) t −t − t2 t2 4 = Do 3t - 2 > 0 và − xy ≥ − nên ta có P ≥ t−2 t2 4 − t +1 4 3 Xét hàm số f (t ) = 2 t2 t 2 − 4t ; f '(t ) = ; f’(t) = 0 ⇔ t = 0 v t = 4. t−2 (t − 2) 2 min f (t ) = f(4) = 8 đạt được khi  x + y = 4 ⇔  x = 2 Do đó min P = (2; +∞ )  xy = 4 y = 2 Ví dụ 20. Cho x > 0, y > 0, x + y = 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức T= x y + 1− x 1− y  π 2 2 Lg: Đặt x = cos a; y = sin a ⇒ a ∈  0; ÷ khi đó  2 Trường THPT Bình Sơn 20 GV: Phạm Văn Minh Chuyên đề : Sử dụng phương pháp hàm số tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức và chứng minh bất đẳng thức. cos 2 a sin 2 a cos3 a + sin 3 a ( sin a + cos a ) ( 1 − sin a.cos a ) T= + = = sin a cos a sina.cos a sin a.cos a π t2 −1  Đặt t = sin a + cos a = 2 sin  a + ÷⇒ sin a.cos a = 4 2  π Với 0 < a < ⇒ 1 < t ≤ 2 2 f '( t ) = −t 4 − 3 (t 2 ) −1 2 < 0 ∀t ∈ 1; 2  ⇒ f ( t ) ≥ f f ( t) = f Vậy t∈min 1; 2  (  ( 3 − t Khi đó T = 2 − 3t = f ( t ) ; t −1 ( 2) = ( 2) = 2 2 khi x = y = 1 . Hay min T = 2 khi x = y = 1 . 2 2 Ví dụ 21. Cho hai số thực x, y thỏa mãn x ≥ 1, y ≥ 1;3( x + y ) = 4 xy. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức 1 1  P = x3 + y 3 + 3  3 + 3 ÷ y  x Lời giải: 3x 2 2 2 t = xy Đặt . Ta có 3( x + y ) = 4 xy ⇔ 3x + 3xy = 4 x y ⇔ xy = ( vì x ≥ 1) . Lại có 4x − 3 3y 3y 3( x + y ) = 4 xy ⇔ x = , y ≥ 1 ; ta có y ≥ 1) . Xét hàm số f ( y ) = , (vì 4y − 3 4y −3 9 f '( y ) = − < 0, ∀y ≥ 1 ⇒ f ( y ) ≤ f (1) = 3, ∀y ≥ 1. Vậy x ∈ [1;3] . 2 ( 4 y − 3) x = 0 12 x 2 − 18 x 3x 2  g '( x ) = , g '( x ) = 0 ⇔ , x ∈ [1;3]. Ta có Xét hàm số g ( x) = x = 3 (4 x − 3) 2 4x − 3  2 9 ≤ t = g ( x ) ≤ 3, ∀x ∈ [1;3]. Khi đó 4   3  3  P = ( x 3 + y 3 ) 1 + 3 3 ÷ = ( x + y )3 − 3xy ( x + y )  . 1 + 3  x y   ( xy )  Suy ra  4 xy 3 4 xy   3  64 3 12 64 =  − 3 xy . 1 + = t − 4t 2 − +   ÷ 3 3   ( xy )  27 t 9  3  Xét hàm số P = h(t ) = 64 3 12 64 9  t − 4t 2 − + , t ∈  ;3 . 27 t 9 4  Trường THPT Bình Sơn 21 GV: Phạm Văn Minh Chuyên đề : Sử dụng phương pháp hàm số tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức và chứng minh bất đẳng thức.  Ta có h '(t ) = 8t  8t  12 9  − 1÷+ 2 > 0, t ∈  ;3 . Suy ra 9  t 4  MaxP = h(3) =  x = 3; y = 1 280 ⇔ 9  x = 1; y = 3 3  9  307  MinP = h  ÷ = ⇔ x = y = . 2  4  36  Ví dụ 22. Cho các số thực x, y không đồng thời bằng 0. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất x 2 + xy + y 2 của biều thức: P = 2x2 + y 2 Lời giải Vì tử số và mẫu số của biêỉ thức P là các đa thức đẳng cấp bậc hai đối với x, y nên ta xét hai trường hợp sau: x2 1 -Nếu y = 0 ⇒ x ≠ 0 ⇒ P = 2 = 2x 2 x2 x + +1 y2 y 2 -Nếu y ≠ 0 . Chia cả tử số và mẫu số của P cho y ta được : P = x2 2 2 +1 y x −2t 2 − 2t + 1 t2 + t +1 Đặt t = y , ta được P = 2 . Ta có P ' = ; 2 2 (2t + 1) 2t + 1 P ' = 0 ⇔ 2t 2 + 2t − 1 = 0 ⇔ t = t −1 ± 3 . Bảng biến thiên 2 P’ P −1 − 3 2 -∞ - + 1 2 Kết hợp các trường hợp trên, ta có: Trường THPT Bình Sơn 0 −1 + 3 2 0 +∞ - 3 2 3 −2 1 2 3 2 3+2 3 3 ≤ P ≤ 2 3+2 2 3−2 22 GV: Phạm Văn Minh Chuyên đề : Sử dụng phương pháp hàm số tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức và chứng minh bất đẳng thức. Vậy MinP = 3 x −1 − 3 3 x −1 + 3 khi = ; MaxPS = khi = y 2 y 2 2 3+2 2 3−2 x + y ≤ 3 Ví dụ 23. Cho hai số thực x, y thỏa mãn  2 2  x + y − xy = 4 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = x 2 y + y 2 x − 2 xy . Lời giải: x + y = t + 3 x + y = t + 3  ⇔ Đặt t = x + y − 3 ⇒ t ≤ 0. Khi đó ta có hệ  t 2 + 6t + 5 2 ( x + y ) − 3 xy = 4 xy =   3  Suy ra x, y là các nghiệm của phương trình: X 2 − (t + 3) X + t 2 + 6t + 5 = 0 (*) 3 Điều kiện để (*) có nghiệm là: t ≤ 0 t ≤ 0  2 ⇔ ⇔ t ∈ [ − 7;0].   4( t + 6 t + 5) 2 2 ≥0 t + 6t − 7 ≤ 0  ∆ = (t + 3) − 3  Khi đó P = xy ( x + y − 2) = (t 2 + 6t + 5)(t + 1) 1 3 = (t + 7t 2 + 11t + 5) 3 3  t = −1 1 2 Ta có P '(t ) = (3t + 14t + 11), P '(t ) = 0 ⇔  11 . 3 t=− 3  5  11  256  11  256 P (−7) = −24; P(0) = ; P(−1) = 0; P  − ÷ = ⇒ MaxP(t ) = P  − ÷ = . 3 t∈[ − 7;0]  3  81  3  81 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi t = − X2 + 11 ⇒ x, y là các nghiệm phương trình 3 2 32 X− = 0 ⇔ 27X 2 + 18 X − 32 = 0 3 27   −9 + 945 −9 − 945 x = x =   27 27 Suy ra  hoặc   y = −9 − 945  y = −9 + 945   27 27 Ví dụ 24. Cho các số thực x, y thỏa mãn x + y − 1 = 2 x − 4 + y + 1 . Tìm giá trị lớn nhất và 1 2 giá trị nhỏ nhất của biểu thức: S = ( x + y ) − 9 − x − y + x + y Trường THPT Bình Sơn 23 GV: Phạm Văn Minh Chuyên đề : Sử dụng phương pháp hàm số tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức và chứng minh bất đẳng thức. Lời giải: Điều kiện: x ≥ 2; y ≥ −1;0 < x + y ≤ 9; Ta có 0 ≤ x + y − 1 = 2. x − 2 + 1. y + 1 ≤ 3( x + y − 1) ⇒ ( x + y − 1) 2 ≤ 3( x + y − 1) ⇒ 0 ≤ x + y − 1 ≤ 3 ⇔ 1 ≤ x + y ≤ 4. 2 Đặt t = x + y, t ∈ [1; 4] , ta có S = t − 9 − t + S '(t ) = 2t + 1 t 1 1 − > 0, ∀t ∈ [1; 4] . Vậy S đồng biến trên [1;4]. 2 9 − t 2t t Suy ra S max = S (4) = 42 − 9 − 4 + 1 33 − 2 5 = ⇔ x = 4; y = 0; 2 4 S min = S (1) = 2 − 2 2 ⇔ x = 2; y = −1. Dạng 2. Biểu thức chứa 3 ẩn x ≥ y ≥ z Ví dụ 25. Cho các số thực x, y, z thỏa mãn  2 2 2 x + y + z = 3 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = ( x + 2)( y + 2)( z + 2) Lời giải: Từ giả thiết x 2 + y 2 + z 2 = 3 ⇒ x, y, z ∈ [ − 3; 3] ⇒ x + 2, y + 2, z + 2 > 0 . Do đó P đạt giá trị nhỏ nhất khi x, y, z ≤ 0 . Xét x, y, z không dương, khi đó ta có x 2 + y 2 + z 2 = 3, z ≤ y ≤ x ≤ 0 ⇒ x ∈ [ − 1;0] 1 1 P = ( x + 2)( y + 2)( z + 2) = ( x + 2) ( y + z + 2) 2 + x 2 + 1 ≥ ( x + 2)( x 2 + 1) 2 2  x = −1 1 3 2 1 2 1 Xét hàm số f ( x) = ( x + 2)( x + 1), ∀x ∈ [ − 1;0]; f '( x) = x + 2 x + . f '( x) = 0 ⇔  x=− 2 2 2 3   1   1  25 . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ ÷ = f  − ÷ =  23    3  27  Suy ra Pmin = min f ( x) = min  f (−1); f (0); f  −  1 5 khi: x = y = − ; z = − . 3 3 Ví dụ 26. Cho các số thực không âm x, y, z thoả mãn x 2 + y 2 + z 2 = 3 . Tìm giá trị lớn nhất 5 của biểu thức: P = xy + yz + zx + x + y + z . Lời giải: Trường THPT Bình Sơn 24 GV: Phạm Văn Minh Chuyên đề : Sử dụng phương pháp hàm số tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức và chứng minh bất đẳng thức. t2 − 3 Đặt t = x + y + z ⇒ t 2 = 3 + 2( xy + yz + zx) ⇒ xy + yz + zx = . 2 Ta có 0 ≤ xy + yz + zx ≤ x 2 + y 2 + z 2 = 3 nên 3 ≤ t 2 ≤ 9 ⇒ 3 ≤ t ≤ 3 với t > 0. Khi đó P = t2 − 3 5 + . 2 t Xét hàm số f (t ) = t2 5 3 + − , 3 ≤ t ≤ 3. 2 t 2 5 t3 − 5 Ta có f '(t ) = t − 2 = 2 > 0 với t ≥ 3. t t Suy ra f (t ) đồng biến trên [ 3, 3] . Do đó f (t ) ≤ f (3) = 14 . 3 Đẳng thức xảy ra khi t = 3 ⇔ x = y = z = 1. Vậy giá trị lớn nhất của P là 14 , xảy ra khi x = y = z = 1. 3 x ≥ y ≥ z Ví dụ 27. Cho các số thực x, y, z thỏa mãn  2 2 2 x + y + z = 3 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = ( x + 2)( y + 2)( z + 2) Lời giải: Từ giả thiết x 2 + y 2 + z 2 = 3 ⇒ x, y, z ∈ [ − 3; 3] ⇒ x + 2, y + 2, z + 2 > 0 . Do đó P đạt giá trị nhỏ nhất khi x, y, z ≤ 0 . Xét x, y, z không dương, khi đó ta có x 2 + y 2 + z 2 = 3, z ≤ y ≤ x ≤ 0 ⇒ x ∈ [ − 1;0] 1 1 P = ( x + 2)( y + 2)( z + 2) = ( x + 2) ( y + z + 2) 2 + x 2 + 1 ≥ ( x + 2)( x 2 + 1) 2 2  x = −1 1 3 2 1 2 Xét hàm số f ( x) = ( x + 2)( x + 1), ∀x ∈ [ − 1;0]; f '( x) = x + 2 x + . f '( x) = 0 ⇔  1 x=− 2 2 2 3   1   1  25 . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ ÷ = f  − ÷ =  23    3  27  Suy ra Pmin = min f ( x) = min  f (−1); f (0); f  −  1 3 5 3 khi: x = y = − ; z = − . Ví dụ 28. Cho x, y, z ≥ 0 thỏa mãn x + y + z > 0 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P= x3 + y 3 + 16 z 3 ( x + y + z )3 Trường THPT Bình Sơn 25 GV: Phạm Văn Minh Chuyên đề : Sử dụng phương pháp hàm số tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức và chứng minh bất đẳng thức. 3 x+ y 3 3 2 Lg: Ta có: (đúng) x +y ≥ Đặt x + y + z = a ; t = ( ) 4 ⇔ ( x − y) ( x + y) ≥ 0 z (0 ≤ t ≤ 1) . a ( x + y )3 + 64 z 3 (a − z )3 + 64 z 3 3 = = ( 1 − t ) + 64t 3 Khi đó : 4 P ≥ 3 3 ( x + y + z) a 3 Xét hàm số: f (t ) = ( 1 − t ) + 64t 3 với t ∈ [ 0;1] 1 2 f '(t ) = 3  − ( 1 − t ) + 64t 2  ; f '(t ) = 0 ⇔ t = ∈ [ 0;1]   9 Bảng biến thiên: Suy ra : min f (t ) = [ 0;1] 64 16 ⇒ min P = ⇔ x = y = 4 z > 0 81 81 Ví dụ 29. Cho các số thực a, b, c thỏa mãn abc = 2 2 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức a 6 + b6 b6 + c 6 c6 + a6 P= 4 + + a + b 4 + a 2b 2 b 4 + c 4 + b 2 c 2 c 4 + a 4 + c 2 a 2 Lời giải: Ta có P = ∑ syc (a 2 + b2 )(a 4 + b4 − a 2b 2 ) . Từ gả thiết suy ra a, b, c khác không nên a 2 , b 2 , c 2 là a 4 + b 4 + a 2b 2 các số thược dương. Xét biểu thức 4 2 a a +1−  ÷ 2  ÷ 4 4 2 2 a +b −a b b b a t 2 − t +1    Q= 4 = t = ⇒ Q = , t > 0. Hàm số trung gian Q (t ) , đặt 2  ÷ a + b 4 + a 2b 2  a  4 t2 + t +1 a b  ÷ +1+  ÷ b b 2t 2 − 2 , Q '(t ) = 0 ⇔ t = 1 (vì t > 0). Bảng biến thiên có Q '(t ) = 2 (t + t + 1)2 Trường THPT Bình Sơn 26 GV: Phạm Văn Minh Chuyên đề : Sử dụng phương pháp hàm số tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức và chứng minh bất đẳng thức. 1 3 Suy ra Qmin = ⇔ t = 1 ⇔ a = ±b. Áp dụng tương tự, ta được 1 1 1 2 P ≥ (a 2 + b 2 ) + (b 2 + c 2 ) + (c 2 + a 2 ) = (a 2 + b 2 + c 2 ) ≥ 2 3 a 2b 2c 2 = 4 . Suy ra Pmin = 4 , chẳng 3 3 3 3 hạn khi a = b = c = 2. Ví dụ 30. Cho các số thực bất kì x, y, z . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 1 1  1 1 1   1 P = 3  x + y −1 + z − 2 ÷− 2  x + y −1 + z − 2 ÷ 16   8 27 64  4 9 Lời giải: Xét hàm số f (t ) = 3t 2 − 2t 3 , với t > 0. Ta có f '(t ) = 6t (1 − t ), f '(t ) = 0 ⇒ t = 1 Bảng biến thiên Suy ra f (t ) ≤ 1, ∀t > 0 . Lần lượt thay t = 1 1 1 ; t = y −1 ; t = z − 2 ; ta được x 2 3 4 3 2 3 2 3 2 − x ≤ 1; y −1 − y −1 ≤ 1; z − 2 − z − 2 ≤ 1 . Cộng các bất đẳng thức trên, vế theo vế, ta được x 4 8 9 27 16 64 MaxP = 3 ⇔ x = x , y = 1, z = 2. P ≤ 3. Suy ra Trường THPT Bình Sơn 27 GV: Phạm Văn Minh Chuyên đề : Sử dụng phương pháp hàm số tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức và chứng minh bất đẳng thức. 2 Ví dụ 31. Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn điều kiện (a + b)(b + c) = 4c . 32a 3 32b3 a 2 + b2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : P = + − c (b + 3c)3 (a + 3c)3 (Đề thi đại học khối A,A1 năm 2013) a b Lg: Đặt x = ; y = ⇒ x, y > 0 và xy + x + y = 3 ⇒ xy = 3 − x − y . c c 32 x3 32 y 3 + − x2 + y 2 Khi đó: P = 3 3 ( y + 3) ( x + 3) 3 (u + v)3 Với u , v > 0 ⇒ u 3 + v3 = (u + v)3 − 3uv(u + v ) ≥ (u + v )3 − (u + v)3 = 4 4  32 x 32 y + ≥ 8 3 3 ( y + 3) ( x + 3)  3 Do đó: 3 Suy ra : P ≥ ( x + y − 1) 3 − 3  ( x + y ) 2 − 2 xy + 3 x + 3 y  x y  + = 8 ÷  ÷ y +3 x + 3÷ xy + 3 x + 3 y + 9    3 ( x + y ) 2 + 2x + 2 y − 6 x + y) t Đặt t = x + y ⇒ t > 0 . Ta có: 3 = xy + x + y ≤ x + y + ( =t+ ⇒t ≥2 4 4 2 2 P ≥ ( t − 1) − t 2 + 2t − 6 . 3 Xét f (t ) = ( t − 1) 3 − t 2 + 2t − 6 với t ≥ 2 . f '(t ) = 3 ( t − 1) − 2 t +1 t 2 + 2t − 6 Với t ≥ 2 thì: 3 ( t − 1) ≥ 3; t +1 2 t 2 + 2t − 6 ≤ 3 3 ⇒ f '(t ) ≥ 3 − >0 2 2 Suy ra: f (t ) ≥ f (2) = 1 − 2 ⇒ P ≥ 1 − 2 Vậy min P = 1 − 2 ⇔ a = b = c Ví dụ 32. Cho a, b, c là các số thực dương. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P= 4 a 2 + b2 + c 2 + 4 − 9 ( a + b). ( a + 2c ) ( b + 2c ) Lg: Ta có: Trường THPT Bình Sơn 28 GV: Phạm Văn Minh Chuyên đề : Sử dụng phương pháp hàm số tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức và chứng minh bất đẳng thức. a + b + 4c a 2 + b 2 + 2ab + 4ac + 4bc 2 2 (a + b). ( a + 2c ) ( b + 2c ) ≤ (a + b) = 2 4 9 P ≤ − Đặt t = a + b + c + 4 ⇒ t > 2 và t 2 t2 − 4 . 2 2 ( 2 4 9 Xét f (t ) = t − 2 t2 − 4 ( 4 9t f '(t ) = − 2 + t t2 − 4 ( ) 2 2 ) ) với t > 2 ) = ( ≤ 2 a + b + c2 −(t − 4)  4(t 3 − 4) + t (7t − 4)  2 ( 2 t . t −4 ) 2 ; f '(t ) = 0 ⇔ t = 4 Bảng biến thiên: 5 5 . Vậy max P = ⇔ a = b = c = 2 8 8 Ví dụ 33. Cho ba số thực dương x, y, z có tổng bằng 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Từ bảng biến thiên ta được: P ≤ P = 3( x 2 + y 2 + z 2 ) − 2 xyz Lg: Ta có: P = 3 ( x + y + z ) 2 − 2 ( xy + yz + zx )  − 2 xyz = 3 9 − 2 ( xy + yz + zx )  − 2 xyz = 27 − 6 x( y + z ) − 2 yz ( x + 3) 2 y + z) ( ≥ 27 − 6 x(3 − x) − 2 = Xét hàm số: ( 1 − x3 + 15 x 2 − 27 x + 27 2 ) với 0 < x < 3 f ( x) = − x 3 + 15 x 2 − 27 x + 27 Trường THPT Bình Sơn ( x + 3) 29 GV: Phạm Văn Minh Chuyên đề : Sử dụng phương pháp hàm số tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức và chứng minh bất đẳng thức. x = 1 f '( x) = −3x 2 + 30 x − 27; f '( x) = 0 ⇔  x = 9 Bảng biến thiên: Từ bảng biến thiên suy ra min P = 7 ⇔ x = y = z = 1 Ví dụ 34. Cho các số thực x, y, z thỏa mãn x 2 + y 2 + z 2 = 2 . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức : P = x3 + y 3 + z 3 − 3xyz Lg: Ta có : ( P = ( x + y + z ) x 2 + y 2 + z 2 − xy − yz − zx ) 2  x2 + y 2 + z 2 − ( x + y + z )  ÷ = ( x + y + z) 2 +  ÷ 2    ( x + y + z) 2  = ( x + y + z ) 3 −  2   Đặt t = x + y + z ⇒ t ≤ 6 . Ta có : P = f (t ) = 3t − t3 ; 2 3t 2 f '(t ) = 3 − ; f '(t ) = 0 ⇔ t = ± 2 2 Bảng biến thiên: Trường THPT Bình Sơn 30 GV: Phạm Văn Minh Chuyên đề : Sử dụng phương pháp hàm số tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức và chứng minh bất đẳng thức. Từ bảng biến thiên ta có: Max P = 2 2 ; Min P = − 2 2 Ví dụ 35. Cho các số thực không âm x, y, z thỏa mãn x 2 + y 2 + z 2 = 3 . Tìm giá trị lớn 5 nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức : P = xy + yz + zx + x+ y+z Lg: Đặt t = x + y + z ⇒ xy + yz + zx = t2 − 3 ;t≥0 2 Ta có : 0 ≤ xy + yz + zx ≤ x 2 + y 2 + z 2 = 3 ⇒ 3 ≤ t ≤ 3 t2 − 3 5 Khi đó : P = f (t ) = + 2 t t2 5 3 Xét hàm số : f (t ) = + − 2 t 2 f '(t ) = t − 5 ≥ 0 với mọi t2 với 3≤t ≤3 3≤t ≤3 P = f (t ) ≤ f (3) = 14 3 Suy ra : Max P = 14 ⇔ x = y = z =1 3 III. BÀI TẬP Bài 1. Cho hai số dương x , y thỏa mãn : x + y = 5 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = LG: Thay y = 5 − x thì: P = f ( x) = Trường THPT Bình Sơn 4x + y 2x − y + xy 4 3x + 5 3x − 5 + với 0 < x < 5 x(5 − x) 4 31 GV: Phạm Văn Minh Chuyên đề : Sử dụng phương pháp hàm số tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức và chứng minh bất đẳng thức. 3 Bài 2. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn : a 2 + b 2 + c 2 ≤ . Tìm giá trị nhỏ nhất 4 của: P = (a + b)(b + c )(c + a ) + 2 2 2 HD: a + b + c ≤ 1 1 1 + + a 3 b3 c3 3 1 ⇒ 0 < abc ≤ 4 8 Áp dụng bất đẳng thức Côsi có: P ≥ 8abc + Xét hàm f (t ) = 8t + 3 t 3 abc  1 , t ∈  0;   8 Bài 3. Cho hai số thực thay đổi x, y và thỏa mãn x 2 + y 2 = 2 . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = 2( x3 + y 3 ) − 3xy HD: P = 2( x3 + y 3 ) − 3xy = 2( x + y )(2 − xy ) − 3xy Đặt t = x + y ⇒ xy = t2 − 2 3 ⇒ P = −t 3 − t + 6t + 3 2 2 ( x + y ) 2 ≥ 4 xy ⇒ t 2 ≥ 2(t 2 − 2) ⇒ −2 ≤ t ≤ 2 Bài 4. Cho hai số thực x, y và thỏa mãn x 2 + y 2 = 1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ x 2 + 6 xy nhất của biểu thức: P = 1 + 2 xy + 2 y 2 HD: P = x 2 + 6 xy x 2 + 2 xy + 3 y 2 TH1: y = 0 ⇒ P = 1 x TH2: y ≠ 0 . Đặt t = y ( t ∈ R) t 2 + 6t ⇒P= 2 t + 2t + 3 Bài 5. Cho hai số thực x, y và thỏa mãn x 2 + xy + y 2 ≤ 3 . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = x 2 − xy + 2 y 2 HD: Đặt a = x 2 + xy + y 2 ⇒ 0 ≤ a ≤ 3 TH1: a = 0 ⇒ x = y = 0 ⇒ P = 0 Trường THPT Bình Sơn 32 GV: Phạm Văn Minh Chuyên đề : Sử dụng phương pháp hàm số tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức và chứng minh bất đẳng thức. 2 2 2 x y TH2: a ≠ 0 . Giả sử y ≠ 0 ,đặt t = ( t ∈ R) ⇒ P x − xy + 2 y t −t + 2 = 2 = 2 2 a x + xy + y t + t +1 Bài 6. Cho hai số thực dương x, y . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P= Đặt t= x y ( t > 0) ( x+ ⇒ P = f (t ) = ( 4 xy 2 2 x + 4y 4t t + t2 + 4 ) 2 ) 3 3 Bài 7. Cho hai số thực dương a, b, c và thỏa mãn a + 2b + 2c = abc . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = a + b + c bc > 1  HD: a(bc − 1) = 2b + 2c ⇒  2(b + c) 4 bc ≥ a = bc − 1 bc − 1  P =a+b+c≥ 4 bc 4 bc +b+c≥ + 2 bc . bc − 1 bc − 1 ( Đặt t = bc ⇒ t ∈ ( 1; +∞ ) ) 2 2 Bài 8. Chứng minh rằng: 1 + x ln x + 1 + x ≥ 1 + x ( 2 2 HD: Xét hàm số: f ( x) = 1 − 1 + x + x ln x + 1 + x ) ∀x ∈ R trên R a, b, c > 0 a b c 3 3 Bài 9. Cho  2 . Chứng minh rằng: 2 . + 2 + 2 ≥ 2 2 2 2 2 2 b +c c +a a +b a + b + c = 1 HD: a b c 3 3 a b c 3 3 + 2 + 2 ≥ ⇔ + + ≥ 2 2 2 2 2 2 2 2 b +c c +a a +b 1− a 1− b 1− c 2 a2 b2 c2 3 3 ⇔ + + ≥ 2 a 1 − a2 b 1 − b2 c 1 − c2 ( ) ( ) ( 2 Xét hàm số: f ( x) = x 1 − x ( ) ) với x ∈ (0;1)  π Bài 10. Cho các số thực x, y, z ∈  0;  . Chứng minh rằng:  2 Trường THPT Bình Sơn 33 GV: Phạm Văn Minh Chuyên đề : Sử dụng phương pháp hàm số tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức và chứng minh bất đẳng thức. 1 1 1 1 1 1 12 + 2 + 2 − 2 − 2 − 2 ≤ 3− 2 2 sin x sin y sin z x y z π HD: Xét hàm số: f (t ) = 1 1  π − 2 trên  0;  2 sin t t  2 a, b, c > 0 Bài 11. Cho  . a + b + c ≤ 1 1 1 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = 3( a + b + c) + 2  + + ÷. a b c HD: Ta có: 1 1 1 9 + + ≥ a b c a+b+c Xét hàm số: f (t ) = 3t + Suy ra : P ≥ 3(a + b + c) + 18 a+b+c 18 với t ∈ (0;1] t a, b, c > 0 Bài 12. Bài 11. . Cho  2 . 2 2 a + b + c = 1  Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = HD: Ta có: 1 1 1 9 + + ≥ a b c a+b+c 1 1 1 + + − (a + b + c) . a b c Suy ra : P ≥ ( 9 − (a + b + c) a+b+c ) Đặt: t = a + b + c ≤ 3 a 2 + b 2 + c 2 ⇒ 0 < t ≤ 3 Xét hàm số: f (t ) = ( 9 − t với t ∈ 0; 3  t a, b, c > 0 Bài 13. Cho  . a + b + c ≤ 1 Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức: P = (a − b)(b − c)(c − a )  a, b > 0 Bài 14. Cho  . ab + a + b = 3 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = 3a 3b ab + + − a 2 − b2 b +1 a +1 a + b HD: Đặt t = a + b ⇒ ab = 3 − t ; t ∈ (0;3) Bài 15. Cho x, y, z là ba số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: Trường THPT Bình Sơn 34 GV: Phạm Văn Minh Chuyên đề : Sử dụng phương pháp hàm số tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức và chứng minh bất đẳng thức. x 1  y 1  z 1  P = x  + ÷+ y  + ÷+ z  + ÷  2 zx   2 xy   2 yz  x2 y 2 z 2 x2 + y 2 + z 2 + + HD: Ta có: P = + 2 2 2 xyz x2 + y2 y2 + z 2 z 2 + x2 Do x + y + z = + + ≥ xy + yz + zx 2 2 2 2 2 2  x2 1   y 2 1   z 2 1  ⇒ P ≥  + ÷+  + ÷+  + ÷  2 x  2 y  2 z t2 1 Xét hàm số: f (t ) = + trên ( 0;+∞ ) 2 t Bài 16. Cho 0 < x < y ≤ z ≤ 1; 3x + 2 y + z ≤ 4. tìm GTLN F = 3x 2 + 2 y 2 + z 2 (TH-TT) HD: từ gt ta có: x ≤ F ≤ f ( y) = Ta xét 4 − 2y − z thay vào F ta được: 3 1 2 1 2− y 1 2 4z + 4z( y − 2) + 10 y 2 − 16 y + 16 ≤ f  ÷ = (9 y − 12 y + 20) = g ( y ) 3 3  2  3 ( ) 2 2 ≤ y ≤ 1 (vì y b > c > 0. CMR: a3b 2 + b3c 2 + c3a 2 > a 2b3 + b 2c 3 + c 2a 3 ( 3 2 3 2 3 2 2 3 2 3 2 3 HD: Xét hàm số f ( a ) = a b + b c + c a − a b + b c + c a ) Ta có f’’(a) > 0 suy ra f’(a) đb suy ra f ′ ( a ) ≥ f ′ ( b ) = b 4 + 2bc3 − 3b 2c 2 > 0 Vây f’(a) > 0 suy ra f(a) > f(b) = 0. Bài 18. x ≥ y ≥ z ≥ 0. CMR: HD: Xét hàm số f ( x ) = x z y x y z + + ≥ + + z y x y z x x z y x y z + + − + + với đk đã cho. z y x  y z x ÷   1 1  Ta có: f ′ ( x ) = ( y − z )  − 2 ÷≥ 0 suy ra f(x) đb suy ra f ( x ) ≥ f ( y ) = 0  yz x  Bài 19. Cho x,y,z > 0. Cmr: x 4 + y 4 + z 4 + xyz ( x + y + z ) ≥ xy ( x 2 + y 2 ) + yz (y 2 + z 2 ) + zx(z 2 + x 2 ) HD: Không mất tính tổng quát ta giả sử: x ≥ y ≥ z . xét hàm số Trường THPT Bình Sơn GV: Phạm Văn Minh 35 Chuyên đề : Sử dụng phương pháp hàm số tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức và chứng minh bất đẳng thức. 4 4 4 2 2 2 2 2 2 f ( x ) = x + y + z + xyz (x + y + z ) − xy (x + y ) − yz (y + z ) − zx(z + x ) chỉ ra f”(x) > 0 suy ra f ′(x) ≥ f ′( y ) = z 2 y − z 3 = z 2 ( y − z ) ≥ 0 nên f(x) đb suy ra f ( x ) ≥ f ( y ) = z 4 − 2z 3 y + y 2 z 2 = z 2 (z − y ) 2 ≥ 0 Bài 20. Cho các số dương x, y, z. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 ( x + y + z ) + 9 xyz P= ( x + y + z ) ( xy + yz + zx ) 2 xy + yz + zx 1 Bài 21. Cho các số dương x, y, z thỏa mãn x 2 + y 2 + z 2 = 7 . Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức P = x4 + y 4 + z 4 ( x + y + z) 4 Bài 22. Cho các số dương x, y, z thỏa mãn ( x + y + z ) = 32 xyz . Tìm giá trị lớn nhất của biểu 3 ( x + y + z) thức P = 4 4 4 4 x +y +z Bài 23. Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn 21xy + 2 yz + 8 zx ≤ 12 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P= 1 2 3 + + . x y z Bài 24. Cho các số dương x, y thỏa mãn x + y = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức  1  1  P =  x 2 + 2 ÷ y 2 + 2 ÷ y  x   Bài 25. Cho các số dương x, y thỏa mãn x + y = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P= 1 1 + 3 x +y xy 3 Bài 26. Cho các số thực x, y thỏa mãn các điều kiện  x ≠ 0; y ≠ 0  2 2  xy ( x + y ) = x + y − x − y + 2 1 1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P = x + y 2 Bài 27. Cho các số dương x, y thỏa mãn 1 − y = x ( x − y ) . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x6 + y 6 − 1 x3 y + y 3 x Trường THPT Bình Sơn 36 GV: Phạm Văn Minh Chuyên đề : Sử dụng phương pháp hàm số tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức và chứng minh bất đẳng thức. 2 2 Bài 28. Cho các số dương a, b thỏa mãn 2(a + b ) + ab = ( ab + 2 ) ( a + b ) . Tìm giá trị nhỏ  a 3 b3   a 2 b 2  P = 4 nhất của biểu thức  3 + 3 ÷− 9  2 + 2 ÷ a  b a  b Bài 29. Cho các số thực x, y thỏa mãn các điều kiện x 2 + y 2 + xy = 3 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P = x 4 + y 4 + 4 xy − x 3 y 3 Bài 30. Cho các số dương x, y, z thỏa mãn x 2 + y 2 + z 2 = 1. Tìm GTLN của biểu thức P = 6( y + z − x) + 27 xyz. Bài 31. Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác có chu vi bằng 3. Tìm giá trị lớn 2 2 2 nhất của biểu thức P = 3 ( a + b + c ) + 4abc Bài 32. Cho các số dương x, y, z thỏa mãn x + y + z ≤ 1. Tìm GTNN của biểu thức P = x+ y+z+ 1 1 1 + + . x y z Bài 33. Cho các số dương x, y, z thỏa mãn x + y + z ≤ 1. Tìm GTNN của biểu thức P = x2 + 1 1 1 + y2 + 2 + z2 + 2 . 2 x y z Bài 34. Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn a + b + c =3. Tìm giá trị lớn nhất 2 2 2 2 2 2 của biểu thức P = ( a − ab + b ) ( b − bc + c ) ( c − ca + a ) . C. KẾT QUẢ SAU KHI ÁP DỤNG ĐỀ TÀI Trong năm học vừa qua tôi đã thực hiện đề tài này với nhóm học sinh có học lực khá và giỏi (lớp 12A1). Để đánh giá hiệu quả của đề tài, tôi đã thực hiện hai bài kiểm tra trước và sau khi áp dụng, cụ thể như sau: Đề 1(Trước khi thực hiện chuyên đề) Đề 2(Sau khi thực hiện chuyên đề) Hai đề có mức độ khó tương đương Kết quả cho thấy điểm số trung bình ở lớp 12A1 tăng 68,74%,.Như vậy, việc áp dụng đề tài này rất có hiệu quả đối với lớp học sinh khá và giỏi. D. ĐỀ XUẤT VÀ KIẾN NGHỊ 1. Một số hướng phát triển Đề tài Trường THPT Bình Sơn 37 GV: Phạm Văn Minh Chuyên đề : Sử dụng phương pháp hàm số tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức và chứng minh bất đẳng thức. -Khai thác thêm các kỹ năng đánh giá khác -Kỹ năng khảo sát theo từng biến -Ứng dụng trong chứng minh bất đẳng thức …. 2. Kiến nghị, đề xuất về việc triển khai áp dụng đề tài Đề tài này thực sự cần thiết phải giảng dạy trong quá trình ôn thi học sinh giỏi và ôn thi đại học. Có thể áp dụng cho học sinh 12 chuẩn bị thi đại học. Chỉ nên áp dụng đề tài này cho nhóm đối tượng học sinh khá và giỏi, còn với nhóm đối tượng học sinh trung bình và yếu, thời gian đó giành cho việc hệ thống, ôn tập, củng cố kiến thức cơ bản. E. TÀI LIỆU THAM KHẢO - Sách giáo khoa Giải tích 12 (Chương trình Nâng cao) - Tạp chí Toán học và tuổi trẻ - Đề thi tuyển sinh Đại học, thi học sinh giỏi Quốc gia - Đề thi học sinh giỏi các tỉnh - Các đề thi khảo sát chất lượng của các trường Trung học phổ thông trên cả nước. - Các tài liệu trên Internet. Sông Lô, ngày 01 tháng 12 năm 2013 Người viết chuyên đề Phạm Văn Minh Trường THPT Bình Sơn 38 GV: Phạm Văn Minh [...]... 2 2 2 2 Sử dụng phương pháp hàm số tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức Dạng 1 Biểu thức chứa 2 ẩn Ví dụ 12 Cho x, y là hai số dương thay đổi thỏa mãn điều kiện 4( x + y ) − 5 = 0 Tìm giá 4 1 trị nhỏ nhất của biểu thức S = + x 4y Trường THPT Bình Sơn 15 GV: Phạm Văn Minh Chuyên đề : Sử dụng phương pháp hàm số tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức và chứng minh bất đẳng thức LG: Ta... ⇒P= 2 t + 2t + 3 Bài 5 Cho hai số thực x, y và thỏa mãn x 2 + xy + y 2 ≤ 3 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = x 2 − xy + 2 y 2 HD: Đặt a = x 2 + xy + y 2 ⇒ 0 ≤ a ≤ 3 TH1: a = 0 ⇒ x = y = 0 ⇒ P = 0 Trường THPT Bình Sơn 32 GV: Phạm Văn Minh Chuyên đề : Sử dụng phương pháp hàm số tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức và chứng minh bất đẳng thức 2 2 2 x y TH2: a ≠ 0 Giả... Bảng biến thiên: Trường THPT Bình Sơn 30 GV: Phạm Văn Minh Chuyên đề : Sử dụng phương pháp hàm số tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức và chứng minh bất đẳng thức Từ bảng biến thiên ta có: Max P = 2 2 ; Min P = − 2 2 Ví dụ 35 Cho các số thực không âm x, y, z thỏa mãn x 2 + y 2 + z 2 = 3 Tìm giá trị lớn 5 nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức : P = xy + yz + zx + x+ y+z Lg: Đặt t = x + y +... Cộng các bất đẳng thức trên, vế theo vế, ta được x 4 8 9 27 16 64 MaxP = 3 ⇔ x = x , y = 1, z = 2 P ≤ 3 Suy ra Trường THPT Bình Sơn 27 GV: Phạm Văn Minh Chuyên đề : Sử dụng phương pháp hàm số tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức và chứng minh bất đẳng thức 2 Ví dụ 31 Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn điều kiện (a + b)(b + c) = 4c 32a 3 32b3 a 2 + b2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :... dụng phương pháp hàm số tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức và chứng minh bất đẳng thức 3 Bài 2 Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn : a 2 + b 2 + c 2 ≤ Tìm giá trị nhỏ nhất 4 của: P = (a + b)(b + c )(c + a ) + 2 2 2 HD: a + b + c ≤ 1 1 1 + + a 3 b3 c3 3 1 ⇒ 0 < abc ≤ 4 8 Áp dụng bất đẳng thức Côsi có: P ≥ 8abc + Xét hàm f (t ) = 8t + 3 t 3 abc  1 , t ∈  0;   8 Bài 3 Cho hai số thực... −2 1 2 3 2 3+2 3 3 ≤ P ≤ 2 3+2 2 3−2 22 GV: Phạm Văn Minh Chuyên đề : Sử dụng phương pháp hàm số tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức và chứng minh bất đẳng thức Vậy MinP = 3 x −1 − 3 3 x −1 + 3 khi = ; MaxPS = khi = y 2 y 2 2 3+2 2 3−2 x + y ≤ 3 Ví dụ 23 Cho hai số thực x, y thỏa mãn  2 2  x + y − xy = 4 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = x 2 y + y 2 x − 2 xy Lời giải: x + y = t +... Phạm Văn Minh Chuyên đề : Sử dụng phương pháp hàm số tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức và chứng minh bất đẳng thức  Ta có h '(t ) = 8t  8t  12 9  − 1÷+ 2 > 0, t ∈  ;3 Suy ra 9  t 4  MaxP = h(3) =  x = 3; y = 1 280 ⇔ 9  x = 1; y = 3 3  9  307  MinP = h  ÷ = ⇔ x = y = 2  4  36  Ví dụ 22 Cho các số thực x, y không đồng thời bằng 0 Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất x 2 +... ≥ 1 − 2 Vậy min P = 1 − 2 ⇔ a = b = c Ví dụ 32 Cho a, b, c là các số thực dương Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P= 4 a 2 + b2 + c 2 + 4 − 9 ( a + b) ( a + 2c ) ( b + 2c ) Lg: Ta có: Trường THPT Bình Sơn 28 GV: Phạm Văn Minh Chuyên đề : Sử dụng phương pháp hàm số tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức và chứng minh bất đẳng thức a + b + 4c a 2 + b 2 + 2ab + 4ac + 4bc 2 2 (a + b) ( a + 2c )... các số thực x, y, z ∈  0;  Chứng minh rằng:  2 Trường THPT Bình Sơn 33 GV: Phạm Văn Minh Chuyên đề : Sử dụng phương pháp hàm số tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức và chứng minh bất đẳng thức 1 1 1 1 1 1 12 + 2 + 2 − 2 − 2 − 2 ≤ 3− 2 2 sin x sin y sin z x y z π HD: Xét hàm số: f (t ) = 1 1  π − 2 trên  0;  2 sin t t  2 a, b, c > 0 Bài 11 Cho  a + b + c ≤ 1 1 1 1 Tìm giá trị nhỏ. .. dụ 16 Cho hai số thực x, y > 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của P = Trường THPT Bình Sơn 17 3 ) ( + y3 − x2 + y 2 ( x − 1)( y − 1) ) GV: Phạm Văn Minh Chuyên đề : Sử dụng phương pháp hàm số tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức và chứng minh bất đẳng thức LG: 2 t Đặt t = x + y ; t > 2 Áp dựng BĐT 4 xy ≤ ( x + y ) 2 ⇒ xy ≤ 4 t 3 − t 2 − xy (3t − 2) t2 Ta có: P = Do t > 2;3t − 2 > 0 và − xy ≥ − xy ... : Sử dụng phương pháp hàm số tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức chứng minh bất đẳng thức 1.Sử dụng phương pháp hàm số chứng minh bất đẳng thức Dạng Bất đẳng thức có ẩn - Đối với bất đẳng thức. .. thiên hàm số Sử dụng phương pháp hàm số tìm giá trị lớn nhất, nhỏ chứng minh bất đẳng thức II CÁC VÍ DỤ 1.Sử dụng phương pháp hàm số chứng minh bất đẳng thức Dạng Bất đẳng thức có ẩn Dạng Bất đẳng. .. Văn Minh Chuyên đề : Sử dụng phương pháp hàm số tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức chứng minh bất đẳng thức I MỘT SỐ KIẾN THỨC SỬ DỤNG TRONG CHUYÊN ĐỀ 1.Ứng dụng đạo hàm xét tính đơn điệu hàm số