SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VĨNH PHÚC TRƯỜNG THPT YÊN LẠC ——————————————– CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐH và CĐ PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN HÀM VÔ TỶ NGUYỄN VĂN ĐIỂN Yên lạc, tháng 3 năm 2014 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VĨNH PHÚC TRƯỜNG THPT YÊN LẠC ——————————————– CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐH và CĐ PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN HÀM VÔ TỶ Họ và Tên: Nguyễn Văn Điển Chức vụ : Giáo viên Trường : THPT Yên Lạc Yên lạc, tháng 3 năm 2014 Mở đầu 1. Lý do. Bài toán tích phân và ứng dụng của tích phân luôn có mặt trong các đề thi tuyển sinh ĐH và CĐ. Khi đứng trước bài toán tích phân, nhất là tích phân của hàm vô tỷ các học sinh có lực học trung bình và khá vẫn thường lúng túng trong việc lựa chọn cách giải. Trong các sách tham khảo khi viết về tích phân của hàm vô tỷ, các tác giả thường phân chia thành nhiều dạng khác nhau, do đó làm cho học sinh không thể nhớ được hết các dạng đề áp dụng vào bài tập cụ thể. Để khác phục những hạn chế trên, tôi đưa ra cách giải tổng quát cho các bài toán tích phân của hàm vô tỷ với cách đổi biến số thông thường. Trong chuyên đề này, tôi không đưa ra cách giải chi tiết cho mỗi bài tập mà thay vào đó là tìm phương pháp đổi biến thích hợp và từ đó hướng dẫn học sinh cách giải bài tập. 2. Mục đích Xây dựng phương pháp pháp giải tổng quát cho các bài toán tính tích phân của hàm vô tỷ, hình thành tư duy và kỹ năng tính tích phân của các hàm vô tỷ nói riêng và tích phân nói chung. 3. Thời lượng dạy của chuyên đề. Chuyên đề được dạy trong 3 tiết, trong đó 2 tiết nhằm xây dựng phương pháp giải, phương pháp tư duy và hình thành kỹ năng cho học sinh giải bài toán tích phân của hàm vô tỷ, 3 tiết cho học sinh củng cố phương pháp và hoàn thiện kỹ năng tính tích phân của hàm vô tỷ. 3 4. Đối tượng dạy chuyên đề. Chuyên đề được dạy cho đối tượng học sinh lớp 12 ôn thi ĐH và CĐ có lực học từ TB trở lên. 4 Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số. b I= f (u(x)).u (x)dx. a Với cách đặt u(x) = t ⇒ u (x)dx = dt ta có: u(b) f (t)dt. I= u(a) 1.2 Tích phân hàm phân thức hữu tỷ. b P (x) dx. Q(x) I= a Trong đó deg(P (x)) < deg(Q(x)) và Q(x) = (x − x1 )n1 ...(x − xp )np (a1 x2 + b1 x + c1 )m1 ...(ar x2 + br x + cr )mr Nếu deg(P (x)) deg(Q(x)) thi ta có: P (x) R(x) = T (x) + khi đó Q(x) Q(x) deg(R(x)) < deg(Q(x)) 1.3 Tích phân hàm lượng giác. β I= f (sin x). cos xdx α β I= f (cos x). sin xdx α 5 β f (sin x ± cos x).(sin x ∓ cos x)dx I= α β I= f (tan x) dx cos2 x α β f (cot x) I= dx sin2 x α β a1 sin x + b1 cos x + c1 dx a2 sinx + b2 cos x + c2 I= α 6 Chương 2 Nội dung Bài toán tổng quát b (f (x))±1 .( g(x))±1 dx. Tính tích phân sau: I = (I) a Đây là dạng tích phân thường gạp nhất trong dạng tích phân của hàm số vô tỷ. Các loại tích phân có dạng khác (I) sẽ được đề cập trong chuyên đề. Để tính tích phân này, chúng ta sẽ hướng dẫn học sinh tiếp cận theo hai hướng giải sau: (C1) Đặt ( g(x))±1 = t (C2) Phân tích hoặc g(x) = g(x) = a2 − u2 (x) và đặt u(x) = a sin x a2 + u2 (x) và đặt u(x) = a tan x Khi nào tính (I) được tính bằng (C1) hoặc (C2)? Với cách đặt ( g(x))±1 = t khi đó ta biến đổi được (f (x))±1 dx = (h(t))dt Khi đó ta sẽ tính được (I) bằng (C1) nếu h(t) là hàm đa thức hoặc phân thức hữu tỷ. Ngược lại ta sẽ tính (I) theo (C2). 1. Một số ví dụ. 1 Ví dụ 1. Tính tích phân sau: I = √ x x2 + 3dx (1) 0 Nếu đặt x2 + 1 = t thì ta phai biến đổi được xdx = h(t)dt với h(t) là hàm đa thức hoặc phân thức hữu tỷ. 7 √ Đặt x2 + 1 = t ⇒ x2 + 1 = t2 ⇒ xdx = tdt. Vậy ta tính được (1) theo (C1). Tuy nhiên ta cũng tính đươc (1) theo (C2). √ 3 1 √ dx x x2 + 3 Ví dụ 2. Tính tích phân sau: I = Nếu đặt √ 0 x2 + 1 = t thì ta phai biến đổi được (2) dx = h(t)dt với x h(t) là hàm đa thức hoặc phân thức hữu tỷ. Đặt √ x2 + 1 = t ⇒ x2 + 1 = t2 ⇒ xdx = tdt. Bằng cách nhân hai vế của xdx = tdt với x2 = t2 − 1 ta được dx tdt = 2 x t −1 Vậy ta tính được (2) theo (C1). Tương tự (1) ta cũng tính đươc (2) theo (C2). 1 (x+1) x2 + 2x + 2dx Ví dụ 3. Tính tích phân sau: I = (3) 0 Ta thử tính (3) theo (C1). √ Đặt x2 + 2x + 2 = t ⇒ x2 + 2x + 2 = t2 ⇒ (x + 1)dx = tdt. Do đó ta được (3) theo (C1). √ 3 x2 Ví dụ 4. Tính tích phân sau: I = 3 − x2 dx (4) 0 √ Nếu đặt 3 − x2 = t thì ta phai biến đổi được x2 dx = h(t)dt với h(t) là hàm đa thức hoặc phân thức hữu tỷ. Ta có √ 3 − x2 = t ⇒ 3 − x2 = t2 ⇒ −xdx = tdt. 2 Muốn = h(t)dt √ xuất hiện x dx √ ta nhân hai vế của −xdx = tdt với 2 2 x = 3 − t ta được x dx = −t 3 − t2 dt . Do đó ta không tính được (4) theo (C1). Ta tính (4) theo (C2). 8 Đặt x = √ 3 sin t ⇒ dx = √ Đổi cận: x : 0 → √ Ta có: I = 3 3 √ 3 cos tdt 3⇒t:0→ π 2 π 2 sin2 t cos tdt. Đây là tích phân cơ bản của hàm lượng 0 giác. 3 dx √ (x − 1) x2 + 1 Ví dụ 5. Tính tích phân sau: I = 2 Đặt x = tan t ⇒ dx = (5) dx cos2 t Đổi cận: x : 2 → 3 ⇒ t : α → β (Trong đó α, β là goc nhọn thỏa mãn tan α = 2; tan β = 3). β dx sin x − cos x Khi đó: I = α 2 Ví dụ 6. Tính tích phân sau: I = 0 dx √ (x + 1) 3 + 2x − x2 (6) Cũng như (5) ta không thể tính (6) theo (C1). Ta tìm cách đưa 3 + 2x − x2 = Ta có: √ 3 + 2x − x2 = a2 ± u2 (x) 4 − (x − 1)2 Với cách đặt: x − 1 = 2 sin t ta có I = π 6 1 2 − quen thuộc của hàm lượng giác. 9 π 6 dt . Đây là tích phân 1 + sin t √ 2 x2 − 1dx Ví dụ 7. Tính tích phân sau: I = (7) 1 Ta không thể tính (7) theo (C1) và (C2). √ Ta viết lại (7) như sau: I = 2 x 1− 1 dx x2 1 1 Với cách đặt: = sin t, ta dễ dàng tính được (7). x 3 dx x 2x2 + 2x + 1 √ Ví dụ 8. Tính tích phân sau: I = √ √ (8) 3+1 2 dx = h(t)dt với x h(t) là đa thức hoặc phân thức hữu tỷ là hoàn toàn không thể. Cũng như (7), việc đặt Ta xét cách biến đổi Ta có √ √ 2x2 + 2x + 1 = t để rồi đưa 2x2 + 2x + 1 = 2x2 + 2x + 1 = a2 ± u2 (x) √ 1 1 (x 2 + )2 + 2 2 √ 1 1 Đặt: x 2 + √ = √ tan t ta được tích phân mới phức tạp, nhất là 2 2 việc đổi cận tích phân. 3 Tương tự (7), ta viết lại (8) như sau: I = √ 2 3+1 x 2 dx 2 1 2+ + 2 x x (8.1) Ta tính (8.1) theo (C1). 2 1 2 1 1 1 + 2 = t ⇒ 2 + + 2 = t2 ⇒ −( 2 + 3 )dx = tdt, do x x x x x x dx đó ta cũng không thể biến đổi 2 = h(t)dt với h(t) là đa thức hoặc phân x thức hữu tỷ. Đặt: 2+ 10 Ta tính (8.1) theo (C2). 3 3 dx dx Ta có I = . = 2 1 1 √ √ 2 2 2 3 + 1 x 2 + x + x2 3 + 1 x 1 + (1 + x ) 2 2 1 dx dt Đặt: 1 + = tan t ⇒ − 2 = x x cos2 t √ π 4 3+1 Đổi cận: x : → 2 ⇒ t : → α với tan α = và α nhọn. 2 3 3 π 3 dt Khi đó: I = . Đây là tích phân quen thuộc của hàm lượng giác. cos t α √ 232 √ Ví dụ 9. Tính tích phân sau: I = Đặt: √ 2 dx x5 − 4x2 (9) x5 − 4x2 = t ⇒ x5 − 4x2 = t2 ⇒ (5x4 − 8x)dx = 2tdt Việc đưa dx = h(t)dt trong đó h(t) là đa thức hoặc phân thức hữu tỷ là hoàn toàn không thể. Ta cũng không thể đưa thể tính (9) theo (C2). Ta có: √ √ x5 − 4x2 = a2 ± u2 (x). Do đó cũng không √ x2 (x3 − 4) = x x3 − 4 x5 − 4x2 = √ 232 Ta viết lại (9): I = 2 dx √ x x3 − 4 (9.1) Ta tính lại (9.1) theo (C1). Đặt: √ x3 − 4 = t ⇒ x3 − 4 = t2 ⇒ 3x2 dx = 2tdt ⇒ √ √ Đổi cận: x : 2 → 2 3 2 ⇒ t : 2 → 2 3 11 2tdt dx = x 3(t2 + 4) √ 2 3 Ta có I = 2 3 dt . Đây là tích phân quen thuộc của hàm hữu tỷ. t2 + 4 2 1 √ 7 Ví dụ 10. Tính tích phân sau: I = 1 √ 26 dx √ x2 3 x3 + x (10) Ta không thể tính (15) theo (C1) hoặc (C2). 1 √ 7 dx Ta biến đổi (10) như sau: I = 1 x3 √ 26 3 1+ 1 x2 1 1 dx 3 = t ⇒ 1 + = t ⇒ −2 = 3t2 dt 2 2 3 x x x 1 1 Đổi cận: x : √ → √ ⇒ t : 3 → 2 26 7 Đặt: 3 1+ 3 3 Ta có: I = 2 t2 dt 2 0 Ví dụ 11. Tính tích phân sau: I = Ta có: √ −1 x2 + 2x + 2 = x(x2 − 1)dx √ x2 + 2x + 2 1 + (x + 1)2 Ta tính (11) như sau: Đặt x + 1 = tan t ⇒ dx = π 4 Khi đó ta có: I = ( dt cos2 t sin3 x sin2 x sin x + 3 + 2 )dx cos4 x cos3 x cos2 x 0 12 (11) 1 1+x dx 3−x Ví dụ 12. Tính tích phân sau: I = (12) 0 4 8tdt 1+x =t⇒x=3− 2 ⇒ dx = 2 3−x t +1 (t + 1)2 Đặt: 1 Khi đó ta có: I = 8t2 dt . (t2 + 1)2 1 √ 3 π 4 sin2 udu Với cách đặt t = tan u ta có: I = 8 π 6 1 √ Ví dụ 13. Tính tích phân sau: I = 0 dx x2 + 6x + 5 (13) Với (13) ta có thể tính như các tích phân trên bằng cách viêt : 1 1 dx I= 0 sau đó đặt: (x + 3)2 − 4 dx =I= (x + 3) 0 1− 4 (x + 3)2 2 = sin t. (x + 3) Lợi dụng sự có nghiêm của phương trình: x2 + 6x + 5 = 0 và x + 5 > 0 ∀x ∈ [0; 1] nên ta có cách khác tính (13) như sau: 1 1 I= 0 và đặt: dx √ = x2 + 6x + 5 1 dx 0 (x + 1)(x + 5) dx = 0 (x + 5) x+1 x+5 x+1 =t x+5 −2 Ví dụ 14. Tính tích phân sau: I = −5 13 √ x − x2 + 3x + 2 √ dx x + x2 + 3x + 2 (14) Như (13) ta lợi dụng sự có nghiệm của x2 + 3x + 2 = 0 và x + 1 < 0, ∀x ∈ [−5; −2] nên ta viết (14) như sau: −2 x + (x + 1) I= −5 x − (x + 1) x+2 x+1 dx x+2 x+1 1 dx Ví dụ 15. Tính tích phân sau: I = 0 (3x + 1)3 (5x + 4) 1 dx Ta biến đổi (15) như sau: I = (3x + 1)2 0 3x + 1 5x + 4 1 dx I= hoặc: 0 và đặt: (5x + 4)2 3x + 1 = t. 5x + 4 14 3x + 1 5x + 4 3 (15) 2.Hàm số dưới dấu tích phân là hàm lượng giác. π 4 Ví dụ 1. Tính tích phân sau: I = π 3 − √ sin x 1 − cos2 x dx cos2 x √ 2 2 √ Đặt: cos x = t. Khi đó (11) trở thành: I = π 4 Ví dụ 2. Tính tích phân sau: I = (1) 1 − t2 dt t2 1 2 cos x − sin x √ dx 3 − sin 2x (2) 0 Ta thấy trong (2) xuất hiện (cos x − sin x)dx do đó ta biến đổi (2) như π 4 cos x − sin x sau: I = dx 4 − (sin x + cos x)2 0 √ 2 √ Đặt: sin x + cos x = t ta có: I = 1 π 4 Ví dụ 3. Tính tích phân sau: I = 0 dt 4 − t2 sin 4x √ dx cos2 x tan4 x + 1 (3) dx Ta thấy trong (3) xuất hiện do đó ta tìm cách biến đổi sin 4x cos2 x theo tan x. 4 tan x(1 − tan2 x) Ta có: sin 4x = 2 sin 2x cos 2x = . (1 + tan2 x)2 Với cách biến đổi như vậy thì (3) sẽ có dạng phức tạp hơn rất nhiều. 15 √ sin4 x Ta thấy: +1= +1= cos4 x π 4 Do đó (3) được viết lại thành: I = sin4 x + cos4 x cos2 x tan4 x √ =2 2 π 4 sin 4x 4 sin x + 0 sin 2x cos 2x 2 cos4 x dx dx 2 − sin 2x 0 1 √ Với cách đặt: sin 2x = t ta được I = 2 2 √ 0 2π Ví dụ 4. Tính tích phân sau: I = √ tdt dx 2 − t2 1 + sin 2xdx (4) 0 2π 2π (sin x + cos x)2 dx = Ta có: I = 0 = √ |sin x + cos x| dx 0 2π 2 π sin (x + ) dx 4 0  7π 3π   4 2π 4   √  π π π  sin (x + )dx + sin (x + )dx = 2  sin (x + )dx −   4 4 4 0  3π 7π 4 16 4 3. Hàm số dưới dấu tích phân là các hàm mũ và logarit 3 ln 2 dx √ ( 3 ex + 2)2 Ví dụ 1. Tính tích phân sau: I = Đặt: √ 3 (1) 0 ex = t ⇒ ex = t3 ⇒ ex dx = 3t2 dt ⇒ dx = 3dt . t2 Đổi cận: x : 0 → 3 ln 2 ⇒ t : 1 → 2 2 Khi đó: I = 3 t2 (t dt . + 2)2 1 e3 Ví dụ 2 . Tính tích phân sau: I = Đặt: √ ln3 x √ x 1 + ln x 1 1 + ln x = t ⇒ 1 + ln x = t2 ⇒ Đổi cận: x : 1 → e3 ⇒ t : 1 → 2 2 (t2 − 1)3 dt. Khi đó: I = 2 1 17 dx = 2tdt. x (1) 4. Bài tập. Tính các tích phân sau: 81 Bài 1. I= √ √ 4 x− 8x √ dx x( 4 x + 1) 1 15 Bài 2. √ I= dx √ dx x+1+ 3x+1 0 1 Bài 3. dx √ dx (x2 + 1) x2 + 1 I= 0 1 Bài 4. dx √ dx x2 + 1 + x2 + 1 I= 0 1 Bài 5. dx √ dx x + 1 − x2 I= 0 4 Bài 6. x2 + x √ dx 1+x x I= 0 1 Bài 7. 1−x dx 1+x 1 x I= 1 2√ 3 Bài 8. √ 2 x− I= 1 dx x2 1 5 Bài 9. √ I= 2 √ 2013 Bài 10. dx 5 + 4x − x2 6 √ I= 1 0 Bài 11. dx x2015 + 3x2 dx I= 1 − 2 1+ −x(x + 1) 18 0 Bài 12. (x + 2)dx √ x2 + 2x + 2 I= −1 0 Bài 13. 1+x dx 1−x I= −1 3 Bài 14. I= √ ( x+2 x−1+ √ x − 2 x − 1)dx 0 1 4 Bài 15. x dx 1 − 2x I= 0 1 Bài 16. √ I= 0 1 Bài 17. I= 0 1 Bài 18. I= 1 2√ Bài 19. 17 dx (x + 2) Bài 22. (x2 + 4x + 5 10 2 2xdx √ x + x2 − 1 I= 1√ Bài 21. x2 dx √ dx 4 − x6 √ 1 − x2 dx x6 I= √ Bài 20. xdx dx 4 − x4 3 x3 dx √ I= x2 + 1 1 √ 2 6 3 dx I= x (x2 − 2)3 √ 2 2 19 π 4 Bài 23. I= 0 π 4 Bài 24. I= π 6 π 2 Bài 25. I= π 6 π 2 Bài 26. I= 1 sin x sin2 x + dx 2 π 2 I= π 4 π 2 Bài 28. cos xdx √ sin x 3 + cos2 x sin 2x 0 Bài 27. tan xdx √ cos x 1 + cos2 x cos2 x + 4 sin2 xdx sin x − cos x √ dx. 1 + sin 2x 1− I= √ 3 sin 2x + 2 cos2 xdx 0 π 2 Bài 29. 10 I= 1 − cos5 x sin x cos9 xdx 0 π 3 Bài 30. √ 4 I= π 4 dx sin3 x cos5 x 20 e Bài 31. I= 5 I= 2 Bài 33. 2 x 1 Bài 32. log32 x e I= 1 + 3 ln x √ ln ( x − 1 + 1) √ dx x−1+ x−1 ln x 2 + ln2 x dx x 3 1 ln 5 Bài 34. √ I= ln 2 ln 3 Bài 35. I= e2x dx ex − 1 ex I= 0 ln 3 Bài 36. dx (ex − 1)3 dx 2e3x − e2 x √ dx ex 4ex − 3 + 1 0 ln 2 Bài 37. √ 3 I= 0√ Bài 38. ex − 1dx e 3 − 2 ln x √ dx x 1 + 2 ln x I= 1 ln 5 Bài 39. dx √ (10e−x − 1) ex − 1 I= ln 2 e Bài 40. ln xdx √ √ x( 2 + ln x + 2 − ln x) I= 1 Yên Lạc, tháng 3 năm 2014 Tác giả Nguyễn Văn Điển 21 [...]... x+1 1 dx Ví dụ 15 Tính tích phân sau: I = 0 (3x + 1)3 (5x + 4) 1 dx Ta biến đổi (15) như sau: I = (3x + 1)2 0 3x + 1 5x + 4 1 dx I= hoặc: 0 và đặt: (5x + 4)2 3x + 1 = t 5x + 4 14 3x + 1 5x + 4 3 (15) 2 .Hàm số dưới dấu tích phân là hàm lượng giác π 4 Ví dụ 1 Tính tích phân sau: I = π 3 − √ sin x 1 − cos2 x dx cos2 x √ 2 2 √ Đặt: cos x = t Khi đó (11) trở thành: I = π 4 Ví dụ 2 Tính tích phân sau: I = (1)... = 2 2 √ 0 2π Ví dụ 4 Tính tích phân sau: I = √ tdt dx 2 − t2 1 + sin 2xdx (4) 0 2π 2π (sin x + cos x)2 dx = Ta có: I = 0 = √ |sin x + cos x| dx 0 2π 2 π sin (x + ) dx 4 0  7π 3π   4 2π 4   √  π π π  sin (x + )dx + sin (x + )dx = 2  sin (x + )dx −   4 4 4 0  3π 7π 4 16 4 3 Hàm số dưới dấu tích phân là các hàm mũ và logarit 3 ln 2 dx √ ( 3 ex + 2)2 Ví dụ 1 Tính tích phân sau: I = Đặt: √... I = 2 3 dt Đây là tích phân quen thuộc của hàm hữu tỷ t2 + 4 2 1 √ 7 Ví dụ 10 Tính tích phân sau: I = 1 √ 26 dx √ x2 3 x3 + x (10) Ta không thể tính (15) theo (C1) hoặc (C2) 1 √ 7 dx Ta biến đổi (10) như sau: I = 1 x3 √ 26 3 1+ 1 x2 1 1 dx 3 = t ⇒ 1 + = t ⇒ −2 = 3t2 dt 2 2 3 x x x 1 1 Đổi cận: x : √ → √ ⇒ t : 3 → 2 26 7 Đặt: 3 1+ 3 3 Ta có: I = 2 t2 dt 2 0 Ví dụ 11 Tính tích phân sau: I = Ta có: √... Với (13) ta có thể tính như các tích phân trên bằng cách viêt : 1 1 dx I= 0 sau đó đặt: (x + 3)2 − 4 dx =I= (x + 3) 0 1− 4 (x + 3)2 2 = sin t (x + 3) Lợi dụng sự có nghiêm của phương trình: x2 + 6x + 5 = 0 và x + 5 > 0 ∀x ∈ [0; 1] nên ta có cách khác tính (13) như sau: 1 1 I= 0 và đặt: dx √ = x2 + 6x + 5 1 dx 0 (x + 1)(x + 5) dx = 0 (x + 5) x+1 x+5 x+1 =t x+5 −2 Ví dụ 14 Tính tích phân sau: I = −5 13... 2 1 + (x + 1)2 Ta tính (11) như sau: Đặt x + 1 = tan t ⇒ dx = π 4 Khi đó ta có: I = ( dt cos2 t sin3 x sin2 x sin x + 3 + 2 )dx cos4 x cos3 x cos2 x 0 12 (11) 1 1+x dx 3−x Ví dụ 12 Tính tích phân sau: I = (12) 0 4 8tdt 1+x =t⇒x=3− 2 ⇒ dx = 2 3−x t +1 (t + 1)2 Đặt: 1 Khi đó ta có: I = 8t2 dt (t2 + 1)2 1 √ 3 π 4 sin2 udu Với cách đặt t = tan u ta có: I = 8 π 6 1 √ Ví dụ 13 Tính tích phân sau: I = 0 dx...Ta tính (8.1) theo (C2) 3 3 dx dx Ta có I = = 2 1 1 √ √ 2 2 2 3 + 1 x 2 + x + x2 3 + 1 x 1 + (1 + x ) 2 2 1 dx dt Đặt: 1 + = tan t ⇒ − 2 = x x cos2 t √ π 4 3+1 Đổi cận: x : → 2 ⇒ t : → α với tan α = và α nhọn 2 3 3 π 3 dt Khi đó: I = Đây là tích phân quen thuộc của hàm lượng giác cos t α √ 232 √ Ví dụ 9 Tính tích phân sau: I = Đặt: √ 2 dx x5 − 4x2 (9) x5 −... = 3t2 dt ⇒ dx = 3dt t2 Đổi cận: x : 0 → 3 ln 2 ⇒ t : 1 → 2 2 Khi đó: I = 3 t2 (t dt + 2)2 1 e3 Ví dụ 2 Tính tích phân sau: I = Đặt: √ ln3 x √ x 1 + ln x 1 1 + ln x = t ⇒ 1 + ln x = t2 ⇒ Đổi cận: x : 1 → e3 ⇒ t : 1 → 2 2 (t2 − 1)3 dt Khi đó: I = 2 1 17 dx = 2tdt x (1) 4 Bài tập Tính các tích phân sau: 81 Bài 1 I= √ √ 4 x− 8x √ dx x( 4 x + 1) 1 15 Bài 2 √ I= dx √ dx x+1+ 3x+1 0 1 Bài 3 dx √ dx (x2... hoặc phân thức hữu tỷ là hoàn toàn không thể Ta cũng không thể đưa thể tính (9) theo (C2) Ta có: √ √ x5 − 4x2 = a2 ± u2 (x) Do đó cũng không √ x2 (x3 − 4) = x x3 − 4 x5 − 4x2 = √ 232 Ta viết lại (9): I = 2 dx √ x x3 − 4 (9.1) Ta tính lại (9.1) theo (C1) Đặt: √ x3 − 4 = t ⇒ x3 − 4 = t2 ⇒ 3x2 dx = 2tdt ⇒ √ √ Đổi cận: x : 2 → 2 3 2 ⇒ t : 2 → 2 3 11 2tdt dx = x 3(t2 + 4) √ 2 3 Ta có I = 2 3 dt Đây là tích. .. 3 − sin 2x (2) 0 Ta thấy trong (2) xuất hiện (cos x − sin x)dx do đó ta biến đổi (2) như π 4 cos x − sin x sau: I = dx 4 − (sin x + cos x)2 0 √ 2 √ Đặt: sin x + cos x = t ta có: I = 1 π 4 Ví dụ 3 Tính tích phân sau: I = 0 dt 4 − t2 sin 4x √ dx cos2 x tan4 x + 1 (3) dx Ta thấy trong (3) xuất hiện do đó ta tìm cách biến đổi sin 4x cos2 x theo tan x 4 tan x(1 − tan2 x) Ta có: sin 4x = 2 sin 2x cos 2x = ... sinh cách giải tập Mục đích Xây dựng phương pháp pháp giải tổng quát cho toán tính tích phân hàm vô tỷ, hình thành tư kỹ tính tích phân hàm vô tỷ nói riêng tích phân nói chung Thời lượng dạy chuyên... nhằm xây dựng phương pháp giải, phương pháp tư hình thành kỹ cho học sinh giải toán tích phân hàm vô tỷ, tiết cho học sinh củng cố phương pháp hoàn thiện kỹ tính tích phân hàm vô tỷ Đối tượng... (x))±1 ( g(x))±1 dx Tính tích phân sau: I = (I) a Đây dạng tích phân thường gạp dạng tích phân hàm số vô tỷ Các loại tích phân có dạng khác (I) đề cập chuyên đề Để tính tích phân này, hướng dẫn