Đang tải... (xem toàn văn)
THIẾT kế HỆ THỐNG, điều KHIỂN, BẰNG PHƯƠNG PHÁP KGTT
CHÖÔNG 10. THIEÁT KEÁ HT ÑIEÀU KHIEÅN BAÈNG PHÖÔNG PHAÙP KGTT 10.1 GIỚI THIỆU CHUNG Thieát keá ñaët cöïc vaø thieát keá caùc boä quan saùt Caùc heä thoáng ñieàu chænh laø caùc heä thoáng ñieàu khieån phaûn hoài maø noù seõ ñöa caùc traïng thaùi khaùc khoâng (taïo ra bôûi nhieãu ngoaøi) veà traïng thaùi ban ñaàu vôùi moät toác ñoä phuø hôïp. Moät phöông phaùp ñeå thieát keá caùc HT ñieàu chænh laø xaây döïng heä thoáng voøng kín oån ñònh tieäm caän baèng caùch xaùc ñònh vò trí mong muoán cuûa caùc cöïc voøng kín. Ñieàu naøy coù theå ñöôïc hoaøn thaønh baèng caùch söû duïng phaûn hoài traïng thaùi; chuùng ta giaû söû vec-tô ñieàu khieån u = - Kx (vôùi u laø thaønh phaàn khoâng bò giôùi haïn) vaø xaùc ñònh ma-traän heä soá phaûn hoài K sao cho heä thoáng seõ coù phöông trình ñaëc tính mong muoán. Thieát keá naøy ñöôïc goïi laø ñaët cöïc. Trong tröôøng hôïp naøy, chæ soá thöïc hieän coù theå ñöôïc vieát nhö sau: n Chæ soá thöïc hieän = ∑ ( µ i − si ) 2 i =1 µi laø caùc giaù trò rieâng mong muoán cuûa caùc sai soá ñoäng hoïc cuûa heä thoáng. si laø caùc giaù trò rieâng thöïc teá cuûa caùc sai soá ñoäng hoïc cuûa heä thoáng thieát keá. Trong tröôøng hôïp naøy chæ soá thöïc hieän coù theå ñöôïc taïo ra baèng 0 nhôø söï phuø hôïp chính xaùc caùc si vôùi caùc µi, laøm cho heä thoáng ñöôïc xeùt laø ñieàu khieån ñöôïc hoaøn toaøn traïng thaùi. 1 Phöông phaùp ñieàu khieån toái öu toaøn phöông Phöông phaùp khaùc ñeå thieát keá heä thoáng ñieàu chænh laø giaû söû vec-tô ñieàu khieån phaûn hoài traïng thaùi coù daïng u = - Kx (vôùi u khoâng bò giôùi haïn) vaø xaùc ñònh ma-traän heä soá phaûn hoài K sao cho chæ soá thöïc hieän toaøn phöông laø cöïc tieåu. Coâng thöùc naøy ñeå xaùc ñònh quy luaät ñieàu khieån toái öu thöôøng ñöôïc goïi laø vaán ñeà ñieàu khieån toái öu toaøn phöông (quadratic optimal control problem). Caû hai phöông phaùp ñaët cöïc vaø ñieàu khieån toái öu toaøn phöông yeâu caàu coù phaûn hoài taát caû caùc bieán traïng thaùi. Vì vaäy, caàn thieát taát caû caùc bieán traïng thaùi coù theå laáy phaûn hoài ñöôïc. Tuy nhieân, moät vaøi bieán traïng thaùi coù theå khoâng ño ñöôïc vaø khoâng laáy phaûn hoài ñöôïc. Khi ñoù chuùng ta caàn öôùc löôïng caùc bieán traïng thaùi khoâng ño ñöôïc naøy baèng caùch söû duïng caùc boä quan saùt traïng thaùi. Phöông phaùp ñaët cöïc vaø phöông phaùp ñieàu khieån toái öu toaøn phöông laø khoâng theå aùp duïng neáu heä thoáng laø khoâng ñieàu khieån ñöôïc traïng thaùi hoaøn toaøn. Thieát keá caùc boä quan saùt (ñöôïc yeâu caàu trong nhieàu sô ñoà phaûn hoài traïng thaùi) khoâng theå aùp duïng neáu heä thoáng khoâng quan saùt ñöôïc. Do ñoù, tính ñieàu khieån ñöôïc vaø quan saùt ñöôïc ñoùng moät vai troø quan troïng trong thieát keá caùc heä thoáng ñieàu khieån. Thieát keá caùc heä thoáng servo. Chuùng ta seõ nghieân cöùu thieát keá caùc heä thoáng servo loaïi 1 döïa treân phöông phaùp ñaët cöïc. Chuùng ta seõ xem xeùt hai tröôøng hôïp: (1) ñoái töôïng coù moät khaâu tích phaân; (2) ñoái töôïng khoâng coù khaâu tích phaân. 2 Caùc heä thoáng ñieàu khieån toái öu döïa treân caùc chæ soá thöïc hieän toaøn phöông. Trong nhieàu heä thoáng ñieàu khieån thöïc teá, chuùng ta mong muoán toái thieåu hoùa haøm tín hieäu sai leäch. Ví duï, cho heä thoáng x& = Ax + Bu chuùng ta coù theå mong muoán toái thieåu hoùa haøm sai leäch toång quaùt sau J = ∫ 0T [ξ (t ) − x(t )]∗ Q[ξ (t ) − x(t )] dt vôùi ξ(t) bieåu dieãn traïng thaùi mong muoán, x(t) traïng thaùi thöïc teá, vì vaäy, ξ (r) - x(r) laø vec-tô sai leäch, vaø Q laø ma-traän Hermitian hoaëc ma-traän ñoái xöùng thöïc xaùc ñònh döông (hoaëc baùn xaùc ñònh döông), vaø khoaûng thôøi gian 0 ≤ t ≤ T laø höõu haïn hoaëc voâ haïn. Tuy nhieân ngoaøi caùc sai leäch ñang xeùt nhö laø pheùp ño söï thöïc hieän cuûa heä thoáng, chuùng ta thöôøng phaûi chuù yù ñeán naêng löôïng yeâu caàu cho taùc ñoäng ñieàu khieån. Vì tín hieäu ñieàu khieån coù theå coù thöù nguyeân cuûa löïc hoaëc moâ-men, cho neân naêng löôïng ñieàu khieån tyû leä vôùi tích phaân cuûa bình phöông tín hieäu ñieàu khieån. Neáu haøm sai leäch ñöôïc toái thieåu hoùa maø khoâng chuù yù ñeán naêng löôïng yeâu caàu, thì keát quaû thieát keá coù theå laø quaù lôùn khoâng phuø hôïp. Tín hieäu ñieàu khieån bieân ñoä lôùn ôû beân ngoaøi daûi hoaït ñoäng . Vì vaäy, vieäc xem xeùt thöïc teá ñaët moät giôùi haïn leân vec-tô ñieàu khieån, chaúng haïn, T ∗ ∫ 0 u (t ) R u (t ) dt = K vôùi R laø ma-traän Hermitian hoaëc ma-traän ñoái xöùng thöïc xaùc ñònh döông vaø K laø moät haèng soá döông. Chæ soá thöïc hieän cuûa moät heä thoáng ñieàu khieån trong khoaûng thôøi gian 0 ≤ t ≤ T khi ñoù coù theå ñöôïc vieát, söû duïng heä soá nhaân Lagrange λ, laø J = ∫ 0T [ξ (t ) − x(t )]∗ Q[ξ (t ) − x(t )] dt + λ ∫ 0T u ∗ (t ) R u (t )dt (0 ≤ t ≤ T ) 3 Heä soá nhaân Lagrange λ laø moät haèng soá döông bieåu thò troïng soá giaù trò ñieàu khieån (weight of control cost) ñeå toái thieåu hoùa haøm sai leäch. Chuù yù raèng trong coâng thöùc naøy u(t) laø khoâng bò giôùi haïn. Thieát keá döïa treân chæ soá thöïc hieän naøy coù yù nghóa thöïc teá laø HT ñöôïc thieát keá thoûa hieäp ñöôïc giöõa toái thieåu hoùa tích phaân tín hieäu sai leäch vaø toái thieåu hoùa naêng löôïng ñieàu khieån. Neáu T = ∞ vaø ξ ôû goác toïa ñoä (ξ = 0), thì chæ soá thöïc hieän ôû treân coù theå ñöôïc bieåu dieãn J = ∫ 0∞ [ x ∗ (t )Q x(t ) + u ∗ (t ) R u (t )] dt Heä thoáng ñieàu khieån moâ hình tham khaûo vaø heä thoáng ñieàu khieån thích nghi Moät phöông phaùp höu ích ñeå xaùc ñònh söï thöïc hieän cuûa heä thoáng laø söû duïng moät moâ hình ñeå taïo tín hieäu ra mong muoán vôùi moät tín hieäu vaøo cho tröôùc. Moâ hình naøy chæ laø moät moâ hình toaùn hoïc ñöôïc moâ phoûng treân maùy tính. Trong moät heä thoáng ñieàu khieån tham khaûo moâ hình, tín hieäu ra cuûa moâ hình laø tín hieäu ra cuûa ñoái töôïng ñöôïc so saùnh vaø sai leäch ñöôïc söû duïng ñeå taïo ra tín hieäu ñieàu khieån. Thoâng qua caùc ví duï, chuùng ta seõ nghieân cöùu vieäc thieát keá heä thoáng ñieàu khieån moâ hình tham khaûo söû duïng phöông phaùp Liapunov. Chuùng ta cuõng seõ nghieân cöùu toång quan veà caùc heä thoáng ñieàu khieån thích nghi. 4 10-2 THIEÁT KEÁ HEÄ THOÁNG BAÈNG PHÖÔNG PHAÙP ÑAËT CÖÏC Trong muïc naøy chuùng ta seõ ñöa ra phöông phaùp thieát keá ñöôïc goïi laø kyõ thuaät ñaët cöïc hay kyõ thuaät gaùn cöïc (pole placement or pole assignment technique). Chuùng ta giaû söû raèng taát caû caùc bieán traïng thaùi laø ño ñöôïc vaø coù theå laáy tín hieäu phaûn hoài. Coù theå chöùng minh ñöôïc raèng neáu heä thoáng ñöôïc xeùt laø ñieàu khieån ñöôïc traïng thaùi hoaøn toaøn, thì caùc cöïc cuûa heä thoáng voøng kín coù theå ñöôïc ñaët ôû caùc vò trí mong muoán nhôø phaûn hoài traïng thaùi thoâng qua ma-traän heä soá phaûn hoài traïng thaùi phuø hôïp. Kyõ thuaät thieát keá naøy baét ñaàu vôùi vieäc xaùc ñònh caùc cöïc voøng kín mong muoán döïa treân ñaùp öùng quaù ñoä vaø / hoaëc caùc yeâu caàu ñaùp öùng taàn soá, nhö toác ñoä, heä soá taét daàn (damping ratio), hoaëc daûi taàn, cuõng nhö caùc yeâu caàu traïng thaùi oån ñònh. Giaû söû raèng chuùng ta quyeát ñònh caùc cöïc voøng kín mong muoán ñaët taïi s = µ1, s = µ2, . . ., s = µn, Baèng caùch choïn ma-traän heä soá phuø hôïp cho phaûn hoài traïng thaùi, thì coù theå eùp heä thoáng coù caùc cöïc voøng kín taïi caùc vò trí mong muoán, mieãn laø heä thoáng ban ñaàu laø ñieàu khieån ñöôïc traïng thaùi hoaøn toaøn. Sau ñaây chuùng ta seõ xem xeùt tröôøng hôïp tín hieäu ñieàu khieån laø voâ höôùng vaø chöùng minh raèng ñieàu kieän caàn vaø ñuû ñeå caùc cöïc voøng kín coù theå ñöôïc ñaët ôû caùc vò trí tuøy yù trong maët phaúng s laø heä thoáng laø ñieàu khieån ñöôïc traïng thaùi hoaøn toaøn. Sau ñoù chuùng ta seõ nghieân cöùu 3 phöông phaùp xaùc ñònh ma-traän heä soá phaûn hoài traïng thaùi yeâu caàu. Chuù yù raèng khi tín hieäu ñieàu khieån laø moät thoâng soá vec-tô, thì caùc khía caïnh toaùn hoïc cuûa sô ñoà ñaët cöïc seõ trôû neân phöùc taïp. Do ñoù, chuùng ta seõ khoâng nghieân cöùu tröôøng hôïp naøy. Cuõng caàn chuù yù raèng khi tín hieäu ñieàu khieån laø moät thoâng soá vec-tô, thì ma-traän heä soá phaûn hoài traïng thaùi khoâng phaûi laø duy nhaát. Coù theå choïn moät caùch töï do nhieàu hôn n thoâng soá; töùc laø, ngoaøi vieäc coù theå ñaët n cöïc voøng kín phuø hôïp, chuùng ta coù quyeàn thoûa maõn moät vaøi hoaëc taát caû caùc yeâu caàu khaùc, neáu coù cuûa heä thoáng voøng kín. 5 Thieát keá baèng phöông phaùp ñaët cöïc (Design via pole placement). Khaùc vôùi vieäc chæ xaùc ñònh caùc cöïc voøng kín troäi (p/p thieát keá thoâng thöôøng), p/p ñaët cöïc ôû ñaây xaùc ñònh taát caû caùc cöïc voøng kín. Yeâu caàu heä thoáng laø ñieàu khieån ñöôïc traïng thaùi hoaøn toaøn. Xeùt HT x& = Ax + Bu . (10-1) vôùi x = vec-tô traïng thaùi (n-vector) u = tín hieäu ñieàu khieån (voâ höôùng) A = ma-traän haèng n x n B = ma-traän haèng n x 1 Chuùng ta seõ choïn tín hieäu ñieàu khieån laø u = − Kx . (10-2) Coù nghóa laø t/h ñieàu khieån ñöôïc xaùc ñònh ôû traïng thaùi töùc thôøi. Sô ñoà naøy ñöôïc goïi laø phaûn hoài traïng thaùi. Ma-traän K (1 x n) ñöôïc goïi laø ma-traän heä soá phaûn hoài traïng thaùi. Giaû söû u laø khoâng bò giôùi haïn. Thay phöông trình (10-2) vaøo phöông trình (10-1) ta coù x& (t ) = ( A − BK ) x(t ) Nghieäm cuûa phöông trình naøy laø x(t ) = e( A− BK ) t x(0) (10-3) vôùi x(0) laø traïng thaùi ban ñaàu taïo ra bôûi nhieãu ngoaïi. Tính oån ñònh vaø caùc ñaëc tính ñaùp öùng quaù ñoä ñöôïc xaùc ñònh bôûi caùc giaù trò rieâng cuûa ma-traän A - BK. Neáu ma-traän K ñöôïc choïn phuø hôïp, thì matraän A - BK coù theå laø ma-traän oån ñònh tieäm caän, vaø vôùi taát caû x(0) ≠ 0 coù theå laøm cho x(t) tieán ñeán 0 khi t tieán ñeán voâ cuøng. Caùc giaù trò rieâng cuûa ma-traän A - BK ñöôïc goïi laø caùc cöïc cuûa boä ñieàu chænh. Neáu caùc cöïc boä ñieàu chænh ñöôïc ñaët beân traùi maët phaúng s, thì x(t) tieán ñeán 0 khi t tieán ñeán voâ cuøng. 6 Hình 10-1(a) veõ heä thoáng ôû phöông trình (10-1). Ñaây laø moät heä thoáng ñieàu khieån voøng hôû; vì x khoâng ñöôïc caáp ñeán tín hieäu ñieàu khieån u. Hình 10-1(b) veõ heä thoáng coù phaûn hoài traïng thaùi. Ñaây ñöôïc goïi laø heä thoáng ñieàu khieån voøng kín, vì traïng thaùi x ñöôïc caáp ñeán tín hieäu ñieàu khieån u. Sau ñaây chuùng ta seõ chöùng minh raèng vieäc ñaët tuøy yù caùc cöïc vôùi moät heä thoáng cho tröôùc laø coù theå ñöôïc neáu vaø chæ neáu heä thoáng laø ñieàu khieån ñöôïc traïng thaùi hoaøn toaøn. Hình 10-1 (a) Heä thoáng ñieàu khieån voøng hôû; (b) Heä thoáng ñieàu khieån voøng kín vôùi u = -Kx Ñieàu kieän caàn vaø ñuû ñeå ñaët cöïc tuøy yù Xeùt heä thoáng ñieàu khieån ñöôïc xaùc ñònh bôûi phöông trình (10-1). Chuùng ta giaû söû raèng bieân ñoä cuûa tín hieäu ñieàu khieån u laø khoâng bò giôùi haïn. Neáu tín hieäu ñieàu khieån u ñöôïc choïn u = − Kx vôùi K laø ma-traän heä soá phaûn hoài traïng thaùi (1 x n matrix), thì heä thoáng seõ trôû thaønh heä thoáng ñieàu khieån voøng kín nhö ñöôïc veõ treân hình 10-1(b) vaø nghieäm cuûa phöông trình (10-1) seõ nhö phöông trình (10-3), hay x(t ) = e ( A− BK ) t x(0) Caùc giaù trò rieâng cuûa ma-traän A - BK (µ1, µ2, . . ., µn) laø caùc cöïc voøng kín mong muoán. 7 Baây giôø chuùng ta seõ chöùng minh raèng ñieàu kieän caàn vaø ñuû ñeå ñaët cöïc tuøy yù laø heä thoáng ñieàu khieån ñöôïc traïng thaùi hoaøn toaøn. Đieàu kieän caàn. Chuùng ta baét ñaàu baèng vieäc c/m raèng neáu heä thoáng khoâng ñieàu khieån ñöôïc traïng thaùi hoaøn toaøn, thì toàn taïi giaù trò rieâng cuûa ma-traän A - BK khoâng theå ñieàu khieån ñöôïc baèng phaûn hoài traïng thaùi. Giaû söû heä phöông trình (10-1) laø khoâng ñieàu khieån ñöôïc traïng thaùi hoaøn toaøn. Khi ñoù haïng cuûa ma-traän ñieàu khieån (controllability matrix) nhoû hôn n, hay rank B M AB M . . . M An −1 B = q < n (10-143) Coù nghóa raèng toàn taïi vec-tô coät ñoäc laäp tuyeán tính q trong ma-traän ñieàu khieån. Goïi vec-tô coät ñoäc laäp tuyeán tính q = [f1, f2, . . , fn]. Choïn theâm vec-tô (n-q) vq + 1, vq + 2, . . ., vq + n sao cho P = f1 M f 2 M . . . M f q M vq +1 M vq + 2 M . . . M vn [ ] coù haïng n. Khi ñoù coù theå chöùng minh ñöôïc raèng A11 A12 −1 ˆ A = P AP = , 0 A 22 B11 −1 ˆ B=P B= 0 AP = PAˆ hay [ Af1 Af 2 ... Af q Avq +1 ... Avn ] = [ Af1 f 2 ... B = PBˆ f q vq +1 ... vn ] Aˆ (10 − 144) (10 − 145) Vì cta coù q vec-tô coät ñoäc laäp tuyeán tính f1, f2, …, fq, cta coù theå söû duïng ñònh lyù Caley-Hamilton ñeå 8 bieåu dieãn vec-tô Af1, Af2, …, Afq döôùi daïng q vec-tô sau: Af1 = a11 f1 + a21 f 2 + ... + aq1 f q Af 2 = a12 f1 + a22 f 2 + ... + aq 2 f q ... Af q = a1q f1 + a2 q f 2 + ... + aqq f q Töø ñoù, ptr (10-144) coù theå vieát döôùi daïng: [ Af1 Af 2 ... Af q Avq +1 ... Avn ] a11 a 21 ... = [ f1 f 2 ... f q vq +1 ... vn ] aq1 0 ... 0 Töø (10-145), ta coù: B = f1 ... a1q a1q +1 ... ... a2 q a2 q +1 ... ... ... aqq +1 ... ... ... ... aqq ... 0 ... ... ... 0 f 2 ... fq aq +1q +1 ... ... anq +1 ... ... a1n a2 n ... A11 aqn = P 0 aq +1n ... ann vq +1 ... vn Bˆ A12 A22 (10 − 146) Töø ptr (10-143), q coù theå ñöôïc vieát döôùi daïng q vec-tô coät ñoäc laäp tuyeán tính f1, f2, …, fq: B = b11 f1 + b21 f 2 + ... + bq1 f q 9 Do ñoù, (10-146) coù theå ñöôïc vieát: b11 f1 + b21 f 2 + ... + bq1 f q = f1 Goïi f 2 ... fq vq +1 ) K = KP = [k1 M k 2 ] b11 b 21 ... B11 ... vn bq1 = P 0 0 ... 0 Khi ñoù chuùng ta coù sI − A + BK = P −1 ( sI − A + BK ) P = sI − P −1 AP + P −1 BKP ˆˆ = sI − Aˆ + BK A11 = sI − 0 = A12 B11 + [k k ] A22 0 1 2 sI q − A11 + B11k1 − A12 + B11k2 0 sI n − q − A22 = sI q − A11 + B11k1 . sI n − q − A22 = 0 10 vôùi Iq laø ma-traän ñoàng nhaát (q) vaø In-q laø ma-traän ñoàng nhaát (n -q). Chuù yù raèng caùc giaù trò rieâng cuûa A22 khoâng phuï thuoäc vaøo K. Vì vaäy, neáu heä thoáng laø khoâng ñieàu khieån ñöôïc traïng thaùi hoaøn toaøn, thì toàn taïi giaù trò rieâng cuûa ma-traän A khoâng theå ñaët moät caùch tuøy yù. Do ñoù, ñeå ñaët caùc giaù trò rieâng cuûa ma-traän A - BK moät caùch tuøy yù, thì heä thoáng phaûi ñieàu khieån ñöôïc hoaøn toaøn traïng thaùi(ñieàu kieän caàn). Đieàu kieän ñuû: Neáu heä thoáng laø ñieàu khieån ñöôïc hoaøn toaøn traïng thaùi [coù nghóa laø ma-traän M ôû phöông trình (10-5) coù nghòch ñaûo], thì khi ñoù taát caû caùc giaù trò rieâng cuûa ma-traän A coù theå ñaët tuøy yù. Ñeå thuaän lôïi cho vieäc chöùng minh ñieàu kieän ñuû, chuùng ta chuyeån phöông trình traïng thaùi (10-1) sang daïng chuaån taéc ñieàu khieån ñöôïc. Goïi ma-traän chuyeån T laø (10-4) T = MW vôùi M laø ma-traän ñieàu khieån ñược [ M = B M AB M . . . M A n −1 B ] (10-5) vaø a n −1 a n −2 . W = . . a1 1 a n −2 a n −3 . . . 1 0 . . . a1 1 ... 0 . . . . . . 0 0 . . . 0 0 (10-6) 11 vôùi caùc ai laø caùc heä soá cuûa ña thöùc ñaëc tính sI − A = s n + a1 s n −1 + . . . + a n −1 s + a n Ñaët vec-tô traïng thaùi môùi x baèng x = T xˆ Neáu haïng cuûa ma-traän ñieàu khieån M laø n (coù nghóa laø heä thoáng ñieàu khieån ñöôïc traïng thaùi hoaøn toaøn), khi ñoù nghòch ñaûo cuûa ma-traän T toàn taïi vaø phöông trình (10-1) coù theå ñöôïc vieát x& = T −1 AT xˆ + T −1 Bu (10-7) vôùi 0 0 . T −1 AT = . . 0 − a n 1 0 . . . 0 −a n −1 0 1 . . . 0 −a n −2 0 0 . . . . ... 1 . . . −a1 ... ... (10-8) 12 0 0 . (10-9) T −1 B = . . . 0 1 Phöông trình (10-7) laø daïng chuaån taéc ñieàu khieån ñöôïc. Vì vaäy, cho tröôùc moät phöông trình traïng thaùi (10-1), noù coù theå ñöôïc chuyeån thaønh daïng chuaån taéc ñieàu khieån ñöôïc neáu heä thoáng laø ñieàu khieån ñöôïc hoaøn toaøn traïng thaùi vaø neáu chuùng ta chuyeån vec-tô traïng thaùi x baèng caùch söû duïng ma-traän chuyeån T cho bôûi phöông trình (10-4). Chuùng ta choïn moät taäp hôïp caùc giaù trò rieâng mong muoán laø µ1, µ2, . . . , µn. Khi ñoù phöông trình ñaëc tính mong muoán seõ laø (10-10) ( s − µ1 )( s − µ 2 ) . . . ( s − µ n ) = s n + α1 s n −1 + . . . + α n −1 s + α n Chuùng ta vieát [ Kˆ = KT = δ n δ n −1 . . . δ 1 ] (10-11) ˆ ˆ = − KTxˆ u = − Kx Vôùi ñöôïc söû duïng ñeå ñieàu khieån heä thoáng cho bôûi phöông trình (10-7), phöông trình heä thoáng trôû thaønh x&ˆ = T −1 AT xˆ − T −1 BKT xˆ Phöông trình ñaëc tính laø sI − T −1 AT + T −1 BKT = 0 13 Phöông trình naøy laø phöông trình ñaëc tính vôùi heä thoáng xaùc ñònh bôûi phöông trình (10-1), vôùi u = -Kx ñöôïc söû duïng nhö laø tín hieäu ñieàu khieån. Ñieàu naøy coù theå ñöôïc chöùng minh nhö sau: Vì x& = Ax + Bu = ( A − BK ) x cho neân phöông trình ñaëc tính vôùi heä thoáng naøy laø sI − A + BK = T −1 ( sI − A + BK )T = sI − T −1 AT + T −1 BKT = 0 Baây giôø chuùng ta ñôn giaûn hoùa phöông trình ñaëc tính cuûa heä thoáng ôû daïng chuaån taéc ñieàu khieån ñöôïc. Töø caùc phöông trình (10-8), (10-9), vaø (10-11), chuùng ta coù: sI − T −1 AT + T −1 BKT 1 . . . 0 0 0 . . . . . . . . = sI − + δn . . . . 0 0 . . . 1 0 − a n − a n −1 . . . − a1 1 ... 0 −1 s 0 s ... 0 . . . = . . . . . . a n + δ n a n −1 + δ n −1 . . . s + a1 + δ 1 [ δ n −1 . . . δ 1 ] (10-12) = s n + (a1 + δ 1 ) s n −1 + . . . + (a n −1 + δ n −1 ) s + (a n + δ n ) = 0 14 Ñaây laø phöông trình ñaëc tính vôùi heä thoáng coù phaûn hoài. Vì vaäy, noù phaûi baèng phöông trình ñaëc tính mong muoán (10-10). ( s − µ1 )( s − µ 2 ) . . . ( s − µ n ) = s n + α1 s n −1 + . . . + α n −1 s + α n (10-10) Caân baèng caùc heä soá cuøng soá muõ cuûa s, ta coù a1 + δ 1 = α1 a2 + δ 2 = α 2 . . . an + δ n = α n Giaûi phöông trình treân vôùi caùc δi vaø thay chuùng vaøo phöông trình (10-11), ta coù K = Kˆ T −1 = δ n δ n −1 . . . δ 1 T −1 [ [ ] ] = α n − a n M α n −1 − a n −1 M . . . M α 2 − a 2 M α1 − a1 T −1 . (10-13) Do ñoù, neáu heä thoáng laø ñieàu khieån ñöôïc hoaøn toaøn traïng thaùi, thì taát caû caùc giaù trò rieâng coù theå ñöôïc ñaët tuøy yù baèng caùch choïn ma-traän K theo phöông trình (10-13) (ñieàu kieän ñuû). Vì vaäy, chuùng ta ñaõ chöùng minh ñöôïc raèng ñieàu kieän caàn vaø ñuû ñeå ñaët ñöôïc tuøy yù caùc cöïc laø heä thoáng ñieàu khieån ñöôïc hoaøn toaøn traïng thaùi. 15 Caùc böôùc thieát keá ñeå ñaët cöïc. Giaû söû heä thoáng ñöôïc xaùc ñònh bôûi vaø tín hieäu ñieàu khieån ñöôïc cho x& = Ax + Bu u = − Kx Ma-traän heä soá phaûn hoài K ñöa caùc giaù trò rieâng cuûa A - BK laø µ1, µ2, . . ., µn (caùc giaù trò mong muoán) coù theå ñöôïc xaùc ñònh bôûi caùc böôùc sau. (neáu µi laø moät giaù trò rieâng phöùc, thì lieân hôïp cuûa noù cuõng phaûi laø moät giaù trò rieâng cuûa A - BK.) Böôùc 1: Kieåm tra ñieàu kieän ñieàu khieån ñöôïc cho heä thoáng. Neáu heä thoáng laø ñieàu khieån ñöôïc hoaøn toaøn traïng thaùi, thì söû duïng caùc böôùc sau. Böôùc 2: Töø ña thöùc ñaëc tính vôùi ma-traän A: sI − A = s n + a1 s n −1 + . . . + a n −1 s + a n xaùc ñònh caùc giaù trò a1, a2,. . . , an. Böôùc 3: Xaùc ñònh ma-traän chuyeån T chuyeån phöông trình traïng thaùi heä thoáng thaønh daïng chuaån taéc ñieàu khieån ñöôïc. (Neáu heä thoáng cho tröôùc ñaõ laø daïng chuaån taéc ñieàu khieån ñöôïc, thì T = I.) Khoâng caàn phaûi vieát phöông trình traïng thaùi ôû daïng chuaån taéc ñieàu khieån ñöôïc. Taát caû chuùng ta caàn ôû ñaây laø tìm ma-traän T. Ma-traän chuyeån T ñöôïc cho bôûi phöông trình (10-4), hay T = MW vôùi M ñöôïc cho bôûi phöông trình (10-5) vaø W ñöôïc cho bôûi phöông trình (10-6). Böôùc 4: Söû duïng caùc giaù trò rieâng mong muoán (caùc cöïc voøng kín mong muoán), vieát ña thöùc ñaëc tính mong muoán: ( s − µ1 )( s − µ 2 ) . . . ( s − µ n ) = s n + α1 s n −1 + . . . + α n −1 s + α n vaø xaùc ñònh caùc giaù trò α1, α2, . . . , αn. 16 Böôùc 5: Ma-traän heä soá phaûn hoài traïng thaùi yeâu caàu K coù theå ñöôïc xaùc ñònh töø phöông trình (10-13): [ ] K = α n − a n M α n −1 − a n −1 M . . . M α 2 − a 2 M α1 − a1 T −1 Nhaän xeùt. Chuù yù raèng neáu heä thoáng coù baäc thaáp (n •≤ 3), thì vieäc thay theá tröïc tieáp ma-traän K vaøo ña thöùc ñaëc tính mong muoán coù theå ñôn giaûn hôn. Chaúng haïn, neáu n = 3, thì vieát ma-traän heä soá phaûn hoài traïng thaùi K laø K = [k1 k 2 k 3 ] Thay ma-traän K naøy vaøo ña thöùc ñaëc tính mong muoán sI - A + BK vaø caân baèng noù vôùi (s µ1)(s - µ2)(s - µ3), hay sI − A + BK = ( s − µ1 )( s − µ 2 )( s − µ 3 ) Vì caû hai veá cuûa phöông trình ñaëc tính naøy laø caùc ña thöùc bieán s, caân baèng caùc heä soá cuøng soá muõ cuûa s ôû hai veá, coù theå xaùc ñònh caùc giaù trò k1, k2, vaø k3. Phöông phaùp naøy thuaän lôïi neáu n = 2 hoaëc 3. (vôùi n = 4, 5, 6, . . ., phöông phaùp naøy coù theå raát khoù thöïc hieän.) Coù caùc phöông phaùp khaùc ñeå xaùc ñònh ma-traän heä soá phaûn hoài traïng thaùi K. Sau ñaây, chuùng ta seõ ñöa ra moät coâng thöùc noåi tieáng, ñöôïc goïi laø coâng thöùc Ackermann, ñeå xaùc ñònh ma-traän heä soá phaûn hoài traïng thaùi K. 17 Coâng thöùc Ackermann. Xeùt heä thoáng ñöôïc cho bôûi phöông trình (10-1): x& = Ax + Bu Chuùng ta giaû söû raèng heä thoáng naøy laø ñieàu khieån ñöôïc hoaøn toaøn traïng thaùi. Chuùng ta cuõng giaû söû raèng caùc cöïc voøng kín mong muoán laø s = µ1, s = µ2, . . . , s = µn. Söû duïng ñieàu khieån phaûn hoài traïng thaùi u = − Kx phöông trình heä thoáng naøy trôû thaønh x& = ( A − BK ) x (10-14) ~ Ñaët A = A − BK Phöông trình ñaëc tính mong muoán laø sI − A + BK = ( s − µ1 )( s − µ 2 ) . . . ( s − µ n ) = 0 = s n + α1 s n −1 + . . . + α n −1 s + α n = 0 Vì ñònh lyù Cayley-Hamilton phaùt bieåu raèng A thoûa maõn phöông trình ñaëc tính cuûa noù, ta coù ~ ~ ~ ~ φ ( A) = A n + α 1 A n −1 + . . . + α n −1 A + α n I = 0 (10-15) Ta seõ söû duïng phöông trình (10-15) ñeå ruùt ra coâng thöùc Ackermann. Xeùt tröôøng hôïp n = 3. Xeùt caùc ñoàng nhaát thöùc sau: I=I ~ A = A − BK ~ ~ A 2 = ( A − BK ) 2 = A 2 − ABK − BKA ~ ~ ~ A 3 = ( A − BK ) 3 = A3 − A 2 BK − ABKA − BKA 2 18 Nhaân caùc phöông trình treân theo thöù töï vôùi α1, α2, α3, α0 (vôùi α0 = 1), vaø coïng keát quaû laïi, ~ ~ ~ α 3 I + α 2 A + α1 A 2 + A 3 ~ = α 3 I + α 2 ( A − BK ) + α1 ( A2 − ABK − BKA) + A3 − A2 BK ~ ~ − ABKA − BKA 2 ~ = α 3 I + α 2 A + α1 A2 + A3 − α 2 BK − α1 ABK − α1BKA − A2 BK ~ ~ − ABKA − BKA 2 (10-16) Töø phöông trình (10-15), chuùng ta coù ~ ~ ~ ~ α 3 I + α 2 A + α 1 A 2 + A 3 = φ ( A) = 0 Chuùng ta cuõng coù α 3 I + α 2 A + α1 A 2 + A3 = φ ( A) ≠ 0 Thay hai phöông trình cuoái cuøng vaøo phöông trình (10-16), chuùng ta coù ~ ~ ~ ~ φ ( A) = φ ( A) − α 2 BK − α 1 BKA − BKA 2 − ABKA − A 2 BK Vì φ ( A% ) = 0 , chuùng ta ñaït ñöôïc ~ ~ ~ φ ( A) = B(α 2 K + α 1 KA + KA 2 ) + AB(α1 K + KA) + A 2 BK ~ ~ α 2 K + α 1 KA + KA 2 ~ = B M AB M A 2 B α 1 K + KA (10-17) K [ ] Vì HT laø ñieàu khieån ñöôïc hoaøn toaøn traïng thaùi, nghòch ñaûo cuûa ma-traän ñieàu khieån ñöôïc [ B M AB M A B] 2 19 toàn taïi. Nhaân nghòch ñaûo cuûa ma-traän ñieàu khieån ñöôïc vôùi hai veá cuûa phöông trình (10-17), ta coù α 2 K + α1 KA% + KA% 2 −1 B M AB M A2 B φ ( A) = α1 K + KA% K Nhaân caû hai veá cuûa phöông trình cuoái vôùi [0 0 1], chuùng ta coù ~ ~ α 2 K + α 1 KA + KA 2 −1 [0 0 1] B M AB M A 2 B φ ( A) = [0 0 1] α1 K + KA~ =K K [ ] Phöông trình naøy coù theå ñöôïc vieát [ ] −1 K = [0 0 1] B M AB M A 2 B φ ( A) Phöông trình cuoái cuøng naøy ñöa ra ma-traän heä soá phaûn hoài traïng thaùi yeâu caàu K. Vôùi moät soá nguyeân döông n tuøy yù, chuùng ta coù [ ] −1 K = [0 0 . . . 0 1] B M AB M . . . M A n −1 B φ ( A) (10-18) P/trình (10-18) ñöôïc goïi laø coâng thöùc Ackermann ñeå xaùc ñònh ma-traän heä soá phaûn hoài traïng thaùi K. VÍ DUÏ 10-1 Xeùt heä thoáng vôùi x& = Ax + Bu 1 0 A= , 20 . 6 0 0 B= 1 20 Phöông trình ñaëc tính cuûa heä thoáng laø sI − A = s −1 − 20.6 s = s 2 − 20.6 = 0 Vì caùc nghieäm ñaëc tính laø i = ±4.539, heä thoáng khoâng oån ñònh. Söû duïng ñieàu khieån phaûn hoài traïng thaùi u = -Kx, chuùng ta muoán coù caùc cöïc voøng kín taïi s = - 1.8 ± j2.4 (caùc giaù trò rieâng cuûa A - BK laø µ1 = - 1.8 + j2.4 vaø s = - 1.8 - j2.4). X/ñ ma-traän heä soá phaûn hoài traïng thaùi K. Tröôùc heát chuùng ta phaûi kieåm tra haïng cuûa ma-traän khaû naêng ñieàu khieån: 0 1 M = [B M AB ] = 1 0 Vì haïng cuûa ma-traän M laø 2, cho neân vieäc ñaët cöïc tuøy yù laø khaû thi. Baây giôø chuùng ta giaûi baøi taäp naøy baèng 3 phöông phaùp. Phöông phaùp 1: Phöông phaùp thöù nhaát laø söû duïng phöông trình (10-13). Chuù yù raèng phöông trình traïng thaùi ñaõ cho ôû daïng chuaån taéc ñieàu khieån ñöôïc, ma-traän chuyeån T laø ma-traän ñôn vò, hay T = I. Töø phöông trình ñaëc tính của heä thoáng ban ñaàu, chuùng ta coù a1 = 0, a2 = −20.6 Ña thöùc ñaëc tính mong muoán laø ( s − µ1 )( s − µ 2 ) = ( s + 1.8 − j 2.4)( s + 1.8 + j 2.4) = s 2 + 3.6 s + 9 = s 2 + α1s + α 2 Vì vaäy α 1 = 3.6, α2 = 9 Xeùt phöông trình (10-13) vaø chuù yù raèng T = I, chuùng ta coù 21 K = [α 2 − a 2 M α 1 − a1 ]T −1 = [9 + 20.6 M 3.6 − 0]I −1 = [29.6 3.6] Phöông phaùp 2: Phöông phaùp thöù hai laø söû duïng vieäc thay theá tröïc tieáp ma-traän K = [k1 k2] vaøo ña thöùc ñaëc tính mong muoán. Ña thöùc ñaëc tính vôùi heä thoáng mong muoán laø 1 0 s 0 0 sI − A + BK = − 20.6 0 + 1 [k1 k 2 ] 0 s = s −1 − 20.6 + k1 s + k2 = s 2 + k 2 s − 20.6 + k1 Ña thöùc ñaëc tính naøy phaûi baèng ( s + µ1 )( s + µ 2 ) = ( s + 1.8 − j 2.4)( s + 1.8 + j 2.4) = s 2 + 3.6 s + 9 Caân baèng caùc heä soá cuøng soá muõ cuûa s, chuùng ta coù k1 = 29.6, Hay K = [k1 k 2 = 3.6 k 2 ] = [29.6 3.6] Phöông phaùp 3: Phöông phaùp thöù 3 laø söû duïng coâng thöùc Ackermann cho bôûi phöông trình (10-18). Vì ña thöùc ñaëc tính mong muoán laø ~ sI − ( A − BK ) = sI − A = s 2 + 3.6 s + 9 = φ ( s ) chuùng ta coù 22 φ ( A) = A 2 + 3.6 A + 9 I 1 0 1 1 0 0 1 0 = + 3 . 6 + 9 20.6 0 0 1 20.6 0 20.6 0 29.6 3.6 = 74.16 29.6 Vì vaäy −1 K = [0 1][ B M AB ] φ ( A) −1 0 1 29.6 3.6 = [0 1] = [29.6 3.6] 1 0 74.16 29.6 Ma-traän heä soá phaûn hoài K tìm ñöôïc baèng 3 phöông phaùp naøy laø nhö nhau. Vôùi phaûn hoài traïng thaùi naøy, caùc cöïc voøng kín ñöôïc ñaët taïi s = - 1.8 ± j2.4, nhö mong muoán. ζ = 0.6, ωn = 3 rad/sec. (Heä thoáng khoâng oån ñònh ban ñaàu trôû neân oån ñònh.) Hình 10-2 veõ sô ñoà khoái cuûa heä thoáng naøy coù phaûn hoài traïng thaùi. Chuù yù raèng neáu baäc n cuûa heä thoáng laø 4 hoaëc cao hôn, caùc phöông phaùp 1 vaø 3 ñöôïc söû duïng, vì taát caû vieäc tính toaùn ma-traän coù theå ñöôïc thöïc hieän baèng maùy tính. Neáu söû duïng phöông phaùp 2, vieäc tính toaùn baèng tay trôû neân caàn thieát vì maùy tính khoâng theå ñieàu khieån phöông trình ñaëc tính coù caùc thoâng soá chöa bieát k1, k2, . . ., kn. 23 Nhaän xeùt. Chuù yù ma-traän K khoâng phaûi laø duy nhaát vôùi moät heä thoáng cho tröôùc, maø coøn phuï thuoäc vaøo vò trí caùc cöïc voøng kín mong muoán ñöôïc choïn (xaùc ñònh toác ñoä vaø tính taét daàn cuûa ñaùp öùng). Vieäc choïn caùc cöïc voøng kín mong muoán hoaëc phöông trình ñaëc tính mong muoán laø söï thoûa hieäp giöõa toác ñoä cuûa ñaùp öùng cuûa vec-tô sai leäch vaø ñoä nhaïy caûm vôùi nhieãu vaø nhieãu ño. Töùc laø, neáu chuùng Hình 10-2 Sô ñoà khoái cuûa heä thoáng coù phaûn hoài traïng thaùi ta taêng toác ñoä cuûa ñaùp öùng sai leäch, thì taùc ñoäng ngöôïc laïi cuûa nhieãu vaø nhieãu ño noùi chung cuõng taêng. Neáu heä thoáng laø baäc 2, thì ñaëc tính ñoäng hoïc cuûa heä thoáng (caùc ñaëc tính ñaùp öùng) coù theå töông quan chính xaùc vôùi vò trí cuûa caùc cöïc voøng kín mong muoán vaø caùc zero cuûa ñoái töôïng. Vôùi caùc heä thoáng baäc cao hôn, thì vò trí cuûa caùc cöïc voøng kín vaø ñaëc tính ñoäng hoïc heä thoáng (caùc ñaëc tính ñaùp öùng) khoâng deã daøng töông quan. Do doù, trong vieäc xaùc ñònh ma-traän heä soá phaûn hoài traïng thaùi K vôùi moät heä thoáng ñaõ cho, caàn thieát phaûi kieåm ñònh baèng moâ phoûng maùy tính caùc ñaëc tính ñaùp öùng cuûa heä thoáng vôùi moät vaøi ma-traän K khaùc nhau (döïa treân vaøi phöông trình ñaëc tính mong muoán khaùc nhau) vaø choïn ma-traän cho ñaëc tính toát nhaát. 24 VÍ DUÏ 10-2 Xeùt heä thoáng con laéc ngöôïc ñöôïc veõ treân hình 10-3, moät con laéc ngöôïc ñöôïc ñaët treân moät xe chaïy baèng ñoäng cô ñieän. ÔÛ ñaây chuùng ta chæ xeùt baøi toaùn 2 chieàu, trong ñoù con laéc chæ chuyeån ñoäng trong maët phaúng tôø giaáy. Con laéc ngöôïc laø khoâng oån ñònh vaø noù coù theå rôi baát cöù luùc naøo tröø khi coù moät löïc ñieàu khieån phuø hôïp taùc ñoäng. Giaû söû raèng troïng löôïng quaû laéc taäp trung ôû cuoái caàn nhö ñöôïc veõ trong hình veõ. (Chuùng ta giaû söû raèng caàn khoâng coù troïng löôïng) Löïc ñieàu khieån u taùc ñoäng vaøo xe. Trong hình veõ, θ laø goùc cuûa caàn so vôùi phöông thaúng ñöùng. Chuùng ta giaû söû raèng θ nhoû sao cho coù theå xaáp xæ sinθ = θ, cosθ = 1, vaø cuõng giaû söû raèng θ& nhoû sao cho θθ& 2 ≅ 0 Ñieàu mong muoán laø giöõ cho quaû laéc thaúng ñöùng khi coù söï hieän dieän cuûa nhieãu. Quaû laéc coù theå ñöôïc ñöa trôû veà vò trí thaúng ñöùng khi coù löïc ñieàu khieån phuø hôïp u taùc ñoäng leân xe. ÔÛ cuoái moãi quaù trình ñieàu khieån, ñieàu mong muoán laø ñöa xe trôû laïi vò trí tham khaûo x = 0. Hình 10-3 Con laéc ngöôïc 25 Thieát keá moät boä ñieàu khieån sao vôùi moïi ñieàu kieän ñaàu cho tröôùc (taïo ra bôûi nhieãu) thì quaû laéc coù theå ñöôïc ñöa trôû veà vò trí thaúng ñöùng vaø xe cuõng ñöôïc nhanh choùng ñöa veà vò trí tham khaûo (x = 0) (chaúng haïn, vôùi thôøi gian oån ñònh khoaûng 2 giaây) vôùi taét daàn hôïp lyù (chaúng haïn, töông ñöông vôùi ζ = 0.5 trong heä thoáng baäc 2 chuaån). Giaû söû raèng M, m, vaø l laø: M = 2 kg , m = 0.1 kg , l = 0.5 m Phöông trình chuyeån ñoäng cuûa heä thoáng naøy ñöôïc ruùt ra ôû baøi 2-3. Vôùi θ nhoû, phöông trình chuyeån ñoäng ñöôïc bieåu dieãn ôû phöông trình (2-17) vaø (2-18), vaø ñöôïc vieát laïi nhö sau: (10-19) ( M + m) &x& + mlθ&& = u m&x& + mlθ&& = mgθ (10-20) Tröø phöông trình (10-19) cho phöông trình (10-20) chuùng ta coù M&x& = u − mgθ (10-21) Khöû x töø phöông trình (10-19) vaø (10-21), chuùng ta coù Mlθ&& − ( M + m) gθ = −u hay chuùng ta coù haøm truyeàn cuûa ñoái töôïng Θ( s ) 1 = − U ( s ) Mls 2 − ( M + m) g Thay caùc giaù trò soá vaøo, laáy g = 9.81 m/s, chuùng ta coù: Θ( s ) 1 1 = 2 = 2 −U ( s ) s − 20.601 s − (4.539) 2 Ñoái töôïng con laéc ngöôïc coù moät cöïc treân phaàn aâm truïc thöïc (s = -4.539) vaø moät cöïc khaùc treân phaàn döông truïc thöïc (s = 4.539). Vì vaäy, ñoái töôïng naøy laø moät heä thoáng voøng hôû khoâng oån ñònh. 26 Chuùng ta seõ söû duïng KT ñaët cöïc ñeå oån ñònh hoùa HTvaø ñeå coù ñaëc tính ñoäng hoïc mong muoán. PT KGTT cho HT naøy ñaõ ñöôïc ruùt ra trong ví duï 2-3, vaø coù theå ñöôïc vieát laïi nhö sau: 0 1 0 0 x 0 x&1 M + m 1 1 x& g 0 0 0 − x 2 Ml 2 = Ml + u (10-22) 0 0 0 1 0 x& 3 x3 1 m x& 4 − M g 0 0 0 x 4 M x1 y1 1 0 0 0 x 2 (10-23) y = 0 0 1 0 x 3 2 x4 vôùi x1 = θ x 2 = θ& x3 = x x 4 = x& Thay caùc giaù trò soá cuûa M, vaø l, chuùng ta coù: M +m m g = 0.4905 , g = 20.601 , Ml M 1 = 1, Ml 1 = 0.5 M 27 Phöông trình (10-22) vaø (10-23) coù theå ñöôïc vieát: x& = Ax + Bu y = Cx vôùi 1 0 0 0 0 20.601 0 0 0 − 1 , A= B = , 0 0 1 0 0 − 0.4905 0 0 0 0.5 Chuùng ta seõ söû duïng sô ñoà ñieàu khieån phaûn hoài traïng thaùi 1 0 0 0 C= 0 0 1 0 u = − Kx Kieåm tra tính ñieàu khieån ñöôïc hoaøn toaøn cuûa heä thoáng. Vì haïng cuûa 0 − 20.601 0 −1 − 1 0 − 20.601 0 2 3 M = B M AB M A B M A B = 0 0.4905 0 0.5 0.4905 0 0.5 0 laø 4, phöông trình ñaëc tính naøy laø ñieàu khieån ñöôïc hoaøn toaøn traïng thaùi. [ ] 28 Phöông trình ñaëc tính cuûa heä thoáng laø s sI − A = −1 0 0 0 − 20.601 s 0 0 0 s −1 0.4905 0 0 s = s 4 − 20.601 s 2 = s 4 + a1 s 3 + a 2 s 2 + a 3 s + a 4 = 0 Do ñoù a1 = 0 , a 2 = −20.601, a3 = 0 , a4 = 0 Tieáp ñeán chuùng ta choïn vò trí caùc cöïc voøng kín mong muoán. Vì chuùng ta yeâu caàu heä thoáng coù thôøi gian oån ñònh nhoû phuø hôïp (khoaûng 2 giaây) vaø coù taét daàn hôïp lyù (töông ñöông vôùi ζ = 0.5 trong heä thoáng baäc hai chuaån), Choïn caùc cöïc voøng kín mong muoán taïi s = µi (i = 1, 2, 3, 4), vôùi µ1 = −2 + j 3.464 , µ 2 = −2 − j 3.464 , µ 3 = −10 , µ 4 = −10 (Trong tröôøng hôïp naøy, µ1, vaø µ2, laø moät caëp cöïc phöùc voøng kín troäi coù ζ = 0.5 vaø ωn = 4. hai cöïc voøng kín coøn laïi, µ3 vaø µ4, ñöôïc ñaët xa veà phía beân traùi cuûa caëp caùc cöïc voøng kín troäi, vaø vì vaäy, aûnh höôûng cuûa chuùng leân ñaùp öùng nhoû. Do ñoù caùc yeâu caàu veà toác ñoä vaø taét daàn seõ thoûa maõn). Phöông trình ñaëc tính mong muoán trôû thaønh: (s − µ1 )(s − µ 2 )(s − µ3 ) (s − µ 4 ) = (s + 2 − j3.464)(s + 2 + j3.464(s +10 )(s +10) = (s 2 + 4s +16)(s 2 + 20s +100) = s 4 + 24s 3 +196s 2 + 720s +1600 = s 4 + α1s 3 + α 2 s 2 + α 3 s + α 4 = 0 Cuoái cuøng, chuùng ta coù α 1 = 24, α 2 = 196, α 3 = 720, α 4 = 1600 29 Xaùc ñònh ma-traän heä soá phaûn hoài traïng thaùi K baèng caùch söû duïng phöông trình (10-13), K = [ α 4 − a 4 M α 3 − a3 M α 2 − a 2 M α 1 − a1 ] T −1 vôùi ma-traän T ñöôïc cho bôûi phöông trình (10-4), hay T = MW M vaø W ñöôïc cho bôûi phöông trình (10-5) vaø (10-6), töông öùng. Vì vaäy, 0 − 20.601 0 −1 − 1 0 − 20.601 0 2 3 M = B M AB M A B M A B = 0 0.4905 0 0.5 0.4905 0 0.5 0 − 20.601 0 1 a3 a2 a1 1 0 a a 1 0 − 20.601 0 1 0 2 1 = W = 1 0 0 a1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 [ ] Khi ñoù ma-traän T trôû thaønh 0 −1 0 0 0 0 0 − 1 T = MW = 0 0.5 0 − 9.81 − 9.81 0 0.5 0 30 Do vaäy T −1 1 0.5 − 0 − 0 9.81 9.81 0.5 1 − 0 − = 0 9 . 81 9 . 81 − 1 0 0 0 0 −1 0 0 Ma-traän heä soá phaûn hoài mong muoán K seõ laø K = [ α 4 − a 4 M α 3 − a 3 M α 2 − a 2 M α 1 − a1 ] T −1 = [ 1600 − 0 M 720 − 0 M 196 + 20.601 M 24 − 0] T −1 1 0.5 − − 0 0 9.81 9.81 0.5 1 − 0 − = [1600 720 216.601 24] 0 9 . 81 9 . 81 0 0 0 −1 0 −1 0 0 = [− 298.15 − 60.697 − 163.099 − 73.394] Tín hieäu ñieàu khieån u ñöôïc cho bôûi u = − Kx = 298.15 x1 + 60.697 x 2 + 163.099 x3 + 73.394 x 4 Chuù yù raèng heä thoáng naøy laø moät heä thoáng ñieàu chænh. Goùc mong muoán θd luoân luoân baèng 0, vaø vò trí mong muoán xd cuûa xe cuõng luoân luoân baèng 0. Vì vaäy tín hieäu vaøo tham khaûo laø 0. Hình 10-4 cho thaáy sô ñoà ñieàu khieån phaûn hoài traïng thaùi cuûa heä thoáng con laéc ngöôïc. (Vì caùc tín hieäu vaøo tham khaûo laø luoân luoân baèng 0, cho neân chuùng khoâng ñöôïc veõ treân sô ñoà naøy.) 31 Hình 10-4 Heä thoáng con laéc ngöôïc vôùi ñieàu khieån phaûn hoài traïng thaùi Sau khi ma-traän heä soá phaûn hoài traïng thaùi K ñöôïc xaùc ñònh, söï thöïc hieän cuûa heä thoáng phaûi ñöôïc kieåm ñònh baèng moâ phoûng maùy tính. Ñeå moâ phoûng ñoäng hoïc heä thoáng treân maùy tính vaø thieát laäp ñaùp öùng vôùi ñieàu kieän ñaàu baát kyø, chuùng ta tieán haønh nhö sau: x& = Ax + Bu Từ phương trình trạng thái: vaø phöông trình ñieàu khieån: u = − Kx Thay phöông trình ñieàu khieån vaøo phöông trình traïng thaùi, ta coù: x& = ( A − BK ) x Thay caùc thoâng soá vaøo ta coù 0 1 0 0 x1 x&1 x& − 277.549 − 60.697 − 163.099 − 73.394 x 2 = 2 (10-24) 0 0 0 1 x& 3 x3 x x & 148 . 5845 30 . 3485 81 . 5495 36 . 697 4 4 32 Phöông trình traïng thaùi naøy bao goàm 4 phöông trình vi phaân baäc nhaát, phaûi ñöôïc giaûi baèng maùy tính. Coù theå vieát chöông trình vôùi nhieàu ngoân ngöõ khaùc nhau. [Trong chöông trình, caùc ñieàu kieän ñaàu laø x1(0) = 0.1 rad, x2(0) = 0, x3(0) = 0, vaø x4(0) = 0.] Hình 10-5 veõ caùc ñöôøng cong ñaùp öùng cho thaáy con laéc ngöôïc naøy trôû veà vò trí tham khaûo (θ = 0, x = 0), vôùi caùc ñieàu kieän ñaàu cho tröôùc tuøy yù. Ñaëc bieät, hình 10-5(a) veõ caùc ñöôøng cong ñaùp öùng khi θ(0) = 0.1 rad, θ&(0) = 0 , x(0) = 0, vaø x& (0) = 0 . Hình 10-5(b) veõ caùc ñöôøng cong ñaùp öùng khi θ(0) = 0.2 rad, θ&(0) = 0 , x(0) = 0.2 m, vaø x& (0) = 0 . Ñieàu quan troïng caàn chuù yù laø caùc ñöôøng cong ñaùp öùng naøy phuï thuoäc vaøo phöông trình ñaëc tính mong muoán (töùc laø, caùc cöïc voøng kín mong muoán). Vôùi caùc phöông trình ñaëc tính mong muoán khaùc, caùc ñöôøng cong ñaùp öùng (vôùi cuøng caùc ñieàu kieän ñaàu) laø khaùc nhau. Ñeå hieåu chi tieát hôn vaán ñeà naøy, chuùng ta xeùt tröôøng hôïp caùc cöïc voøng kín mong muoán ñaët taïi s = µi (i = 1, 2,3, 4) : µˆ 1 = −1 + j1.732 , µˆ 2 = −1 − j1.732 , µˆ 3 = −5 , µˆ 4 = −5 ) ) ) ) Vì caùc cöïc voøng kín troäi taïi s = µ1 vaø µ 2 ; coù ζ = 0.5 vaø ωn = 2, vaø caùc cöïc voøng kín taïi s = µ3 and µ 4 ñöôïc ñaët xa gaáp 5 laàn veà phía traùi cuûa caùc cöïc voøng kín troäi ño töø truïc jω. Heä thoáng naøy seõ ñaùp öùng töông töï heä thoáng baäc 2 chuaån coù ζ = 0.5 vaø ωn = 2. Vôùi taäp hôïp caùc cöïc voøng kín mong muoán, phöông trình ñaëc tính mong muoán töông öùng laø ( s − µˆ 1 )(s − µˆ 2 )(s − µˆ 3 ) ( s − µˆ 4 ) = ( s + 1 − j1.732)(s + 1 + j1.732)(s + 5)(s + 5) = ( s 2 + 2s + 4)(s 2 + 10s + 25) = s 4 + 12s 3 + 49s 2 + 90s + 100 = s 4 + αˆ 1 s 3 + αˆ 2 s 2 + αˆ 3 s + αˆ 4 = 0 Vì vaäy, αˆ1 = 12 , αˆ 2 = 49, αˆ 3 = 90, αˆ 4 = 100 33 Ma-traän heä soá phaûn hoài traïng thaùi K vôùi phöông trình ñaëc tính mong muoán naøy laø K = [ αˆ 4 − a 4 M αˆ 3 − a 3 M αˆ 2 − a 2 M αˆ 1 − a1 ] T −1 = [ 100 − 0 M 90 − 0 M 49 + 20.601 M 12 − 0] T −1 1 0.5 − 0 − 0 9.81 9.81 0.5 1 0 − − = [100 90 69.601 12] 0 9 . 81 9 . 81 0 0 0 −1 0 0 0 −1 = [− 74.698 − 16.587 − 10.194 − 9.1743] Tín hieäu ñieàu khieån u trong tröôøng hôïp naøy laø u = − Kx = 74.698 x1 + 16.587 x 2 + 10.194 x 3 + 9.1743 x 4 hình 10-6 veõ caùc ñöôøng cong ñaùp öùng khi θ (0) = 0.1 rad ;θ&(0) = 0; x(0) = 0.1m; x& (0) = 0; Chuù yù raèng vôùi heä thoáng coù taäp hôïp thöù nhaát caùc cöïc voøng kín mong muoán (µ1 = - 2 + j3.464, µ2 = -2 j3.464, µ3 = - 10, µ4 = - 10) thì toác ñoä cuûa ñaùp öùng nhanh gaáp hai laàn so vôùi heä thoáng coù taäp hôïp thöù ) ) ) ) hai caùc cöïc voøng kín mong muoán ( µ1 = - 1 + j1.732, µ 2 = - 1 - j1.732, µ3 = -5, µ 4 = -5). Heä soá taét daàn trong hai tröôøng hôïp naøy gioápng nhau. Tuy nhieân, heä thoáng thöù nhaát yeâu caàu moät tín hieäu ñieàu khieån lôùn hôn so vôùi heä thoáng thöù hai. Trong vieäc thieát keá heä thoáng naøy, ñieàu mong muoán laø nhaø thieát keá kieåm ñònh vaøi taäp hôïp khaùc nhau caùc cöïc voøng kín mong muoán vaø xaùc ñònh ma-traän K töông öùng. Sau khi moâ phoûng treân maùy tính heä thoáng vaø kieåm tra caùc ñöôøng cong ñaùp öùng, choïn ma-traän K cho ñaùp öùng toát nhaát phuï thuoäc vaøo tình huoáng cuï theå, bao goàm caû vieäc xem xeùt tính kinh teá. 34 Hình 10-5 Caùc ñöôøng cong ñaùp öùng vôùi heä thoáng con laéc ngöôïc coù ma-traän heä soá phaûn hoài K ñöôïc cho K = [-298.15 -60.697 - 163.099 -73.394]. (a) Caùc ñieàu kieän ñaàu laø θ(0) = 0.1, θ(0) = 0, x(0) = 0, x& (0) = 0; (b) Caùc ñieàu kieän ñaàu laø θ(0) = 0.2 rad, θ(0) = 0, x(0) = 0.2 m, x& (0) = 0 35 Hình 10-6 Caùc ñöôøng cong ñaùp öùng vôùi HT con laéc ngöôïc coù ma-traän heä soá phaûn hoài K ñöôïc cho K = [74.698 - 16.587 - 10.194 -9.1743]. Caùc ñieàu kieän ñaàu laø θ(0) = 0.1 rad, θ(0) = 0, x(0) = 0.1 m, x& (0) = 0. 36 [...]... của ma-trận khả năng điều khiển: 0 1 M = [B M AB ] = 1 0 Vì hạng của ma-trận M là 2, cho nên việc đặt cực tùy ý là khả thi Bây giờ chúng ta giải bài tập này bằng 3 phương pháp Phương pháp 1: Phương pháp thứ nhất là sử dụng phương trình (10- 13) Chú ý rằng phương trình trạng thái đã cho ở dạng chuẩn tắc điều khiển được, ma-trận chuyển T là ma-trận đơn vò, hay T = I Từ phương trình đặc tính... chuyển phương trình trạng thái hệ thống thành dạng chuẩn tắc điều khiển được (Nếu hệ thống cho trước đã là dạng chuẩn tắc điều khiển được, thì T = I.) Không cần phải viết phương trình trạng thái ở dạng chuẩn tắc điều khiển được Tất cả chúng ta cần ở đây là tìm ma-trận T Ma-trận chuyển T được cho bởi phương trình (10- 4), hay T = MW với M được cho bởi phương trình (10- 5) và W được cho bởi phương trình (10- 6)... (10- 9) T −1 B = . 0 1 Phương trình (10- 7) là dạng chuẩn tắc điều khiển được Vì vậy, cho trước một phương trình trạng thái (10- 1), nó có thể được chuyển thành dạng chuẩn tắc điều khiển được nếu hệ thống là điều khiển được hoàn toàn trạng thái và nếu chúng ta chuyển vec-tơ trạng thái x bằng cách sử dụng ma-trận chuyển T cho bởi phương trình (10- 4) Chúng ta chọn một tập hợp các giá trò... (10- 13) Do đó, nếu hệ thống là điều khiển được hoàn toàn trạng thái, thì tất cả các giá trò riêng có thể được đặt tùy ý bằng cách chọn ma-trận K theo phương trình (10- 13) (điều kiện đủ) Vì vậy, chúng ta đã chứng minh được rằng điều kiện cần và đủ để đặt được tùy ý các cực là hệ thống điều khiển được hoàn toàn trạng thái 15 Các bước thiết kế để đặt cực Giả sử hệ thống được xác đònh bởi và tín hiệu điều. .. , m = 0.1 kg , l = 0.5 m Phương trình chuyển động của hệ thống này được rút ra ở bài 2-3 Với θ nhỏ, phương trình chuyển động được biểu diễn ở phương trình (2-17) và (2-18), và được viết lại như sau: (10- 19) ( M + m) &x& + mlθ&& = u m&x& + mlθ&& = mgθ (10- 20) Trừ phương trình (10- 19) cho phương trình (10- 20) chúng ta có M&x& = u − mgθ (10- 21) Khử x từ phương trình (10- 19) và (10- 21), chúng ta có Mlθ&&... Khi đó phương trình đặc tính mong muốn sẽ là (10- 10) ( s − µ1 )( s − µ 2 ) ( s − µ n ) = s n + α1 s n −1 + + α n −1 s + α n Chúng ta viết [ Kˆ = KT = δ n δ n −1 δ 1 ] (10- 11) ˆ ˆ = − KTxˆ u = − Kx Với được sử dụng để điều khiển hệ thống cho bởi phương trình (10- 7), phương trình hệ thống trở thành x&ˆ = T −1 AT xˆ − T −1 BKT xˆ Phương trình đặc tính là sI − T −1 AT + T −1 BKT = 0 13 Phương. .. lắc thẳng đứng khi có sự hiện diện của nhiễu Quả lắc có thể được đưa trở về vò trí thẳng đứng khi có lực điều khiển phù hợp u tác động lên xe Ở cuối mỗi quá trình điều khiển, điều mong muốn là đưa xe trở lại vò trí tham khảo x = 0 Hình 10- 3 Con lắc ngược 25 Thiết kế một bộ điều khiển sao với mọi điều kiện đầu cho trước (tạo ra bởi nhiễu) thì quả lắc có thể được đưa trở về vò trí thẳng đứng và xe cũng... (a n + δ n ) = 0 14 Đây là phương trình đặc tính với hệ thống có phản hồi Vì vậy, nó phải bằng phương trình đặc tính mong muốn (10- 10) ( s − µ1 )( s − µ 2 ) ( s − µ n ) = s n + α1 s n −1 + + α n −1 s + α n (10- 10) Cân bằng các hệ số cùng số mũ của s, ta có a1 + δ 1 = α1 a2 + δ 2 = α 2 an + δ n = α n Giải phương trình trên với các δi và thay chúng vào phương trình (10- 11), ta có K = Kˆ T −1... Hình 10- 4 Hệ thống con lắc ngược với điều khiển phản hồi trạng thái Sau khi ma-trận hệ số phản hồi trạng thái K được xác đònh, sự thực hiện của hệ thống phải được kiểm đònh bằng mô phỏng máy tính Để mô phỏng động học hệ thống trên máy tính và thiết lập đáp ứng với điều kiện đầu bất kỳ, chúng ta tiến hành như sau: x& = Ax + Bu Từ phương trình trạng thái: và phương trình điều khiển: u = − Kx Thay phương. .. là phương trình đặc tính với hệ thống xác đònh bởi phương trình (10- 1), với u = -Kx được sử dụng như là tín hiệu điều khiển Điều này có thể được chứng minh như sau: Vì x& = Ax + Bu = ( A − BK ) x cho nên phương trình đặc tính với hệ thống này là sI − A + BK = T −1 ( sI − A + BK )T = sI − T −1 AT + T −1 BKT = 0 Bây giờ chúng ta đơn giản hóa phương trình đặc tính của hệ thống ở dạng chuẩn tắc điều khiển .. .Phương pháp điều khiển tối ưu toàn phương Phương pháp khác để thiết kế hệ thống điều chỉnh giả sử vec-tơ điều khiển phản hồi trạng thái có dạng u = - Kx... toàn phương cực tiểu Công thức để xác đònh quy luật điều khiển tối ưu thường gọi vấn đề điều khiển tối ưu toàn phương (quadratic optimal control problem) Cả hai phương pháp đặt cực điều khiển. .. đo cách sử dụng quan sát trạng thái Phương pháp đặt cực phương pháp điều khiển tối ưu toàn phương áp dụng hệ thống không điều khiển trạng thái hoàn toàn Thiết kế quan sát (được yêu cầu nhiều sơ