Chöông 9. Phaân tích heä thoáng ñieàu khieån trong khoâng gian traïng thaùi. 9-1. GIÔÙI THIEÄU CHUNG. 9-2. KIEÁN THÖÙC CÔ BAÛN TRONG PHAÂN TÍCH KHOÂNG GIAN TRAÏNG THAÙI. Tính khoâng duy nhaát cuûa taäp hôïp caùc bieán traïng thaùi Giaù trò rieâng cuûa ma-traän n × n . Tính baát bieán cuûa giaù trò rieâng. Ma-traän ñöôøng cheùo n × n . Bieåu dieãn khoâng gian traïng thaùi cuûa heä thoáng baäc n vôùi r haøm ñieàu khieån. Ñònh lyù Cayley –Hamilton. Tính eAt. Tính khoâng duy nhaát cuûa taäp caùc bieán traïng thaùi . Vôùi moät heä thoáng cho tröôùc thì taäp caùc bieán traïng thaùi laø khoâng duy nhaát. Giaû söû x1 , x 2 , . . ., x n laø taäp hôïp caùc bieán traïng thaùi. Chuùng ta coù theå laáy taäp khaùc caùc bieán traïng thaùi. Giaùo trình lyù thuyeát ñieàu khieån töï ñoäng - Traàn Hoaøi An .1 xˆ1 = X 1 ( x1 , x 2 , . . ., x n ) xˆ 2 = X 2 ( x1 , x 2 , . . ., x n ) . . . xˆ n = X n ( x1 , x 2 , . . ., x n ) ) ) ) Mieãn laø vôùi moïi taäp caùc giaù trò x1 , x2 , . . ., xn , töông öùng coù moät taäp duy nhaát caùc giaù trò x1 , x 2 , . . ., x n vaø ngöôïc laïi. Khi ñoù neáu x laø vector traïng thaùi, thì xˆ laø: xˆ = Px cuõng laø vector traïng thaùi mieãn laø P khoâng ñôn trò (nonsingular). Caùc vector traïng thaùi khaùc nhau truyeàn cuøng moät thoâng tin veà ñaùp öùng cuûa heä thoáng. VÍ DUÏ 9-1. &&& y + 6 && y + 11y& + 6 y = 6u (9-1) vôùi y laø tín hieäu ra vaø u laø tín hieäu vaøo cuûa heä thoáng. Thieát laäp bieåu dieãn khoâng gian traïng thaùi cuûa heä thoáng. Ta choïn caùc bieán traïng thaùi nhö sau: x1 = y x2 = y& x3 = &y& 2 x&1 = x 2 x& 2 = x3 x& 3 = −6 x1 − 11x 2 − 6 x3 + 6u 1 0  x1  0  x&1   0  x&  =  0 0 1   x 2  + 0  u 2         x& 3  − 6 − 11 − 6  x3  6  x1  y = [1 0 0]  x 2     x3  (9-2) (9-3) Phöông trình (9-2) vaø (9-3) coù theå ñöôïc vieát: x& = Ax + Bu (9-4) y = Cx (9-5) u 6 1 + s + + x3 1 s x2 1 x1 y s -6 + + + -11 -6 Hình 9-1. Bieåu dieãn sô ñoà khoái cuûa heä thoáng (9-2) vaø (9-3). 3 vôùi 1 0  0  0 1 , A= 0   − 6 − 11 − 6 0  B = 0  ,   6 C = [1 0 0] Hình 9-1 veõ sô ñoà khoái cuûa phöông trình traïng thaùi vaø phöông trình ra cuûa heä thoáng naøy. Chuù yù raèng haøm truyeàn cuûa caùc khoái phaûn hoài coù heä soá aâm cuûa phöông trình vi phaân (9-1). Giaù trò rieâng cuûa ma-traän A n x n. Giaù trò rieâng cuûa ma-traän A n × n laø caùc nghieäm cuûa phöông trình ñaëc tính λI−A =0 Giaù trò rieâng coøn ñöôïc goïi laø nghieäm ñaëc tính. Xeùt ma-traän A sau: 1 0  0 A= 0 0 1   − 6 − 11 − 6 Phöông trình ñaëc tính laø: 0  λ −1 λ λ I − A =  0 −1   − 6 11 λ + 6 = λ 3 + 6λ 2 + 11λ + 6 = (λ + 1)(λ + 2)(λ + 3) = 0 Giaù trò rieâng cuûa A laø nghieäm cuûa phöông trình ñaëc tính hay laø –1, -2, vaø –3. 4 VÍ DUÏ 9-2. Xeùt heä thoáng ñöôïc moâ taû trong ví duï 9-1. Chöùng minh phöông trình (9-2) khoâng chæ laø phöông trình traïng thaùi coù theå cho heä thoáng naøy. Giaû thieát chuùng ta xaùc ñònh taäp bieán traïng thaùi môùi z1, z2, z3 baèng pheùp chuyeån. 1 1  z1   x1   1  x  = − 1 − 2 − 3  z   2   2  x3   1 4 9  z 3  hay vôùi x = Pz 1 1  1 P =  − 1 − 2 − 3    1 4 9 (9-6) (9-7) Thay (9-6) vaøo (9-4) ta coù: P z& = AP z + Bu Nhaân hai veá vôùi P-1 ta coù: z& = P −1 AP z + P −1 Bu (9-8) hay 5  z&1   3 2.5  z&  =  − 3 − 4  2   z&3   1 1.5  3 2.5 + − 3 − 4   1 1.5 0.5  0 1 0  1 1 1  z1  − 1  0 0 1   − 1 − 2 − 3  z 2      4 9  z 3  0.5 − 6 − 11 − 6  1 0.5 0 − 1  0  u   0.5 6 Ñôn giaûn ta ñöôïc 0 0   z1   3  z&1   − 1  z&  =  0 − 2 0   z 2  +  − 6 u 2         z&3   0 0 − 3  z 3   3 (9-9) Phöông trình (9-9) cuõng laø phöông trình traïng thaùi moâ taû heä thoáng (9-2). y = CP z Phöông trình ra (9-5) seõ laø: Hay 1 1  z1   1 y = [1 0 0] − 1 − 2 − 3  z 2      1 4 9  z 3   z1  = [1 1 1]  z 2     z 3  (9-10) 6 Ma-traän chuyeån P, xaùc ñònh bôûi phöông trình (9-7), söûa ñoåi ma-traän heä soá cuûa z thaønh ma-traän ñöôøng cheùo. Töø phöông trình (9-9), ba phöông trình traïng thaùi voâ höôùng khoâng coøn keát dính nhau nöõa. Caùc phaàn töû ñöôøng cheùo cuûa ma-traän P −1 AP trong phöông trình (98) chính laø ba giaù trò rieâng cuûa A. Ñieàu quan troïng caàn löu yù laø caùc giaù trò rieâng cuûa A vaø cuûa P −1 AP laø ñoàng nhaát. Chuùng ta seõ chöùng minh ñieàu naøy trong caùc tröôøng hôïp chung ôû sau. Tính baát bieán cuûa giaù trò rieâng. Ñeå chöùng minh tính baát bieán cuûa giaù trò rieâng döôùi pheùp chuyeån tuyeán tính, chuùng ta phaûi chöùng minh raèng ña thöùc ñaëc tính λ I − A vaø λ I − P AP laø ñoàng nhaát. −1 Vì ñònh thöùc cuûa tích laø tích cuûa caùc ñònh thöùc, ta coù: λ I − P −1 AP = λ P −1 P − P −1 AP = P −1 (λ I − A) P = P −1 λ I − A P = P −1 P λ I − A Chuù yù raèng tích cuûa caùc ñònh thöùc P −1 vaø P laø ñònh thöùc cuûa tích P −1 P , ta coù: λ I − P −1 AP = P −1 P λ I − A = λI −A Vaäy ta ñaõ chöùng minh raèng giaù trò rieâng cuûa A baát bieán döôùi pheùp chuyeån tuyeán tính. 7 Ñöôøng cheùo hoùa ma-traän  0  0   .  A= .  .   0 − a n Pheùp chuyeån  1 λ  1  λ12  P= .  .   . λ1n −1 1 0 0 . 1 . . . . . 0 − a n −1 0 − a n−2 x = Pz 1 λ2 λ22 . . . λn2−1 n×n . 0  ... 0   .   .  .   ... 1  . . . − a1  ... (9-11) vôùi 1  λn  . . . λ2n   .  .   .  . . . λnn−1  ... ... laø n giaù trò rieâng bieät cuûa A. Vôùi pheùp chuyeån P −1 AP thaønh ma-traän ñöôøng cheùo, vôùi λ1 , λ2 , . . ., λn 8 λ1    P −1 AP =     0 λ2 . . . 0        λn  Neáu ma-traän A xaùc ñònh bôûi phöông trình (9-11) coù giaù trò rieâng boäi, thì khoâng theå ñöôøng cheùo hoùa ma-traän. Chaúng haïn, neáu ma-traän A (3 x 3) nhö sau:  0 A= 0  − a3 0  1   − a1  1 0 − a2 coù caùc giaù trò rieâng laø 1 S =  λ1  λ12 0 1 2λ1 λ1 , λ1 , λ3 , khi ñoù pheùp chuyeån x = Sz, vôùi 1 λ3  λ32  taïo ra λ1 S −1 AS =  0   0 1 λ1 0 0 0  λ3  Daïng naøy ñöôïc goïi laø daïng kinh ñieån Jordan (Jodan canonical form). 9 VÍ DUÏ 9-3. Xeùt heä thoáng ñöôïc cho treân ví duï 9-1 vaø 9-2. (9-12) &y&& + 6 &y& + 11y& + 6 y = 6u Vieát laïi döôùi daïng haøm truyeàn: 6 6 3 −6 3 Y ( s) + = 3 = = + U ( s) s + 6 s 2 + 11s + 6 ( s + 1)( s + 2)( s + 3) s + 1 s + 2 s + 3 3 −6 3 Y ( s) = U ( s) + U ( s) + U ( s) (9-13) Vì vaäy s +1 s+2 s+3 Ñaët X 1 (s) = 3 U ( s) (9-14) s +1 −6 X 2 (s) = U ( s) (9-15) s+2 3 X 3 ( s) = U ( s) (9-16) s+3 Bieán ñoåi Laplace ngöôïc cuûa phöông trình (9-14), (9-15), (9-16) laø: x&1 = − x1 + 3u x& 2 = −2 x2 − 6u x& 3 = −3 x3 + 3u Bieåu dieãn döôùi daïng vector – ma traän, ta coù: 0 0  x1   3   x&1   − 1  x&  =  0 − 2 0  x 2  +  − 6 u  2       x& 3   0 0 − 3  x3   3  (9-17) Vì phöông trình (9-13) coù theå ñöôïc vieát: Y ( s) = X 1 ( s) + X 2 ( s) + X 3 ( s) 10 3 1 + + x1 s -1 u -6 1 + + s x2 + + y + -2 3 1 + + x3 s -3 Hình 9-2. Sô ñoà khoái bieåu dieãn heä thoáng ôû phöông trình (9-17), (9-18). Ta coù: y = x1 + x 2 + x3 hay  x1  y = [1 1 1]  x 2     x3  (9-18) Phöông trình (9-17), (9-18) coù cuøng daïng nhö phöông trình (9-9) vaø (9-10). 11 Bieåu dieãn KGTT cuûa caùc heä phöông trình vi phaân baäc n vôùi r haøm ñieàu khiển. Xeùt heä thoáng nhiều cöûa vaøo, nhiều cöûa ra ñöôïc veõ treân hình (9-3). Trong heä thoáng naøy x , x , . . ., x ñaïi dieän cho caùc bieán traïng thaùi; u , u , . . ., u ñaïi dieän cho caùc bieán vaøo vaø y , y , . . ., y ñaïi dieän cho caùc bieán ra. Vôùi heä thoáng naøy chuùng ta coù heä phöông trình sau: 1 2 1 2 1 n 2 r m x&1 = a11 (t ) x1 + a12 (t ) x 2 + . . . + a1 n (t ) x n + b11 (t ) u1 + b12 (t ) u 2 + . . . + b1 r (t ) u r x& 2 = a 21 (t ) x1 + a 22 (t ) x 2 + . . . + a 2 n (t ) x n + b21 (t ) u1 + b22 (t ) u 2 + . . . + b2 r (t ) u r . . . x& n = a n1 (t ) x1 + a n 2 (t ) x 2 + . . . + a nn (t ) x n + bn1 (t ) u1 + bn 2 (t ) u 2 + . . . + bn r (t ) u r . . . . . . … u1 u2 ur … x1 . . . Ñoái töôïng . . tuyeán tính .. x2 .. xn Phaàn töû ra . . . y1 y2 ym Hình 9-3. Heä thoáng nhiều cöûa vaøo – nhiều cöûa ra. Trong ñoù a(t) vaø b(t) laø nhöõng haèng soá hay laø haøm cuûa t. 12 x& = A(t ) x + B (t ) u (9-19) vôùi  x1  x   2 . x =   = vector traïng thaùi. . .    xn   u1  u   2 . u =   = vector vaøo hay vector . .   u r   a11 (t ) a12 (t ) . . . a1n (t )  a (t ) a (t ) . . . a (t ) 22 2n  21   . . .  A(t ) =   . .   .  . . .    a n1 (t ) a n 2 (t ) . . . a nn (t )  ñieàu khieån. 13 b11 (t ) b12 (t ) . . . b1 r (t )  b (t ) b (t ) . . . b (t ) 22 2r  21   . . .  B (t ) =   . .   .  . . .    bn1 (t ) bn 2 (t ) . . . bn r (t ) Vôùi caùc tín hieäu ra, ta coù: y1 = c11 (t ) x1 + c12 (t ) x2 + . . . + c1 n (t ) xn + d11 (t ) u1 + d12 (t ) u 2 + . . . + d1 r (t ) u r y 2 = c21 (t ) x1 + c 22 (t ) x2 + . . . + c2 n (t ) x n + d 21 (t ) u1 + d 22 (t ) u 2 + . . . + d 2 r (t ) u r . . . y m = c m1 (t ) x1 + c m 2 (t ) x 2 + . . . + c mn (t ) x n + d m1 (t ) u1 + d m 2 (t ) u 2 + . . . + d m r (t ) u r Hay vieát döôùi daïng ma-traän, ta coù: y = C (t ) x + D (t ) u  y1  y   2  .  y =   = vector  .   .     ym  (9-20) ra. (9-20) 14  d11 (t ) d12 (t ) . . . d 1 r (t )   c11 (t ) c12 (t ) . . . c1n (t )   d (t ) d (t ) . . . d (t )   c (t ) c (t ) . . . c (t )  22 2r 22 2n  21    21  . . .   . . .  C (t ) =    ; D(t ) =  . . . . . .      .  . . .  . .      d t d t d t ( ) ( ) . . . ( ) c t c t c t ( ) ( ) . . . ( )   m 1 m 2 m r  m1  m2 mn  Sô ñoà Graph tín hieäu treân hình 9-4(b), caùc muõi teân keùp bieåu dieãn ñaïi löôïng vector – ma traän. D(t) D(t) u B(t) + ∫ dt + A(t) x C(t) + + y ∫ dt u x C(t) B(t) y A(t) (b) (a) Hình 9-4 (a). Sô ñoà khoái bieåu dieãn heä thoáng caùc phöông trình (9-19), (9-20). (b) Sô ñoà Graph tín hieäu töông öùng. Ñònh lyù Cayley – Hamilton. Ñònh lyù Cayley – Hamilton raát höõu ích trong vieäc chöùng minh caùc ñònh lyù coù lieân quan ñeán vector – ma traän cuõng nhö vieäc giaûi phöông trình ma-traän. Xeùt ma-traän A n × n vaø phöông trình ñaëc tính cuûa noù: λ I − A = λn + a1λn −1 + . . . + a n −1λ + a n = 0 15 Ñònh lyù Cayley – Hamilton phaùt bieåu raèng ma-traän A thoûa maõn PT ñaëc tính cuûa noù, hay A n + a1 A n −1 + . . . + a n −1 A + a n I = 0 Ñeå chöùng minh ñònh lyù naøy, chuù yù raèng adj(λ I − A) laø moät ña thöùc cuûa λ coù baäc n –1. adj (λ I − A) = B1λn−1 + B2 λn−2 + . . . + Bn−1λ + Bn vôùi B1= I. Vì (λ I − A) adj(λ I − A) = [adj (λ I − A)] (λ I − A) = λ I − A I Ta coù: λ I − A I = Iλn + a1 I λn−1 + . . . + a n −1 Iλ + a n I = 0 = (λI − A)( B1λn −1 + B2 λn − 2 + . . . + Bn −1λ + Bn ) = ( B1λn −1 + B2 λn −2 + . . . + Bn −1λ + Bn )(λI − A) Töø phöông trình naøy, ta thaáy raèng A vaø Bi (i = 1, 2, . . ., n) coù tính giao hoaùn. Vì tích cuûa (λ I − A) vaø adj(λ I − A) seõ baèng 0 neáu moät trong chuùng baèng 0. Neáu A ñöôïc thay cho λ ôû phöông trình naøy, thì roõ raøng λ I − A = 0 A n + a1 A n −1 + . . . + a n −1 A + a n I = 0 Tính eAt Tính eAt baèng maùy tính. Nghieäm cuûa phöông trình traïng thaùi lieân tuïc, khoâng döøng, tuyeán tính coù thaønh phaàn haøm muõ ma-traän eAt. Coù vaøi phöông phaùp ñeå tính eAt. Neáu soá haøng cuûa ma-traän vuoâng laø ≥ 4 thì vieäc tính baèng tay trôû neân khoù khaên vaø caàn thieát phaûi söû duïng maùy tính. Caùch ñôn giaûn nhaát ñeå tính eAt laø khai trieån eAt thaønh chuoãi caùc luõy thöøa cuûa t (Haøm muõ 16 ma-traän eAt laø hoài quy vôùi moät giaù trò höõu haïn cuûa t). Chaúng haïn, eAt coù theå khai trieån thaønh chuoãi luõy thöøa nhö sau: e At At  At  At  A 2 t 2  At  A n t n   + . . .+   +. . . = I + ( At ) +   +  2  1!  3  2!  n + 1  n !  Chuù yù raèng moãi thaønh phaàn trong ngoaëc ñôn laø baèng toaøn boä thaønh phaàn tröôùc ñoù, chaúng haïn  At    = At ;  1!   A 2 t 2  At  At    =   ; . . .  2!  2  1!   A n t n  At  A n −1t n −1    =    n !  n  (n − 1)!  Ñieàu naøy cho ta moät sô ñoà hoài quy. Vieäc tính ñöôïc thöïc hieän chæ ñeán caùc thaønh phaàn ñuû ñoä chính xaùc yeâu caàu. Söû duïng chuaån (norm) cuûa ma-traän ñeå kieåm tra ñieåm döøng tính toaùn. Chuaån laø moät soá voâ höôùng ñöôïc duøng ñeå xaùc ñònh bieân ñoä tuyeät ñoái cuûa cuûa n2 phaàn töû cuûa ma-traän n × n . Coù vaøi daïng chuaån khaùc nhau. ÔÛ ñaây chuùng ta söû duïng daïng chuaån sau: n Chuaån cuûa M = M = ∑ mi j , vôùi mi j laø caùc phaàn töû cuûa ma-traän M. i , j =1 Phöông phaùp 1 tính eAt. Chuyeån ma-traän A thaønh daïng ñöôøng cheùo hoaëc daïng Jordan chính taéc. Ñaàu tieân chuùng ta xeùt tröôøng hôïp ma-traän A chæ coù caùc giaù trò rieâng khaùc bieät vaø vì vaäy coù theå chuyeån thaønh daïng ñöôøng cheùo. Sau ñoù chuùng ta xeùt tröôøng hôïp ma-traän A coù giaù trò rieâng boäi vaø vì vaäy khoâng theå ñöôøng cheùo hoùa. x& = Ax Xeùt phöông trình traïng thaùi 17 Neáu moät ma-traän vuoâng coù theå ñöôøng cheùo hoùa, thì moät ma-traän ñöôøng cheùo hoùa (matraän chuyeån) toàn taïi vaø noù coù theå ñaït ñöôïc baèng moät phöông phaùp chuaån (trìnhbaøy ôû phuï luïc). Xeùt P laø ma-traän ñöôøng cheùo hoùa cuûa A. Ñaët: x = Pxˆ xˆ& = P −1 APxˆ = Dxˆ Khi ñoù vôùi D laø ma-traän ñöôøng cheùo. Nghieäm cuûa phöông trình naøy laø: xˆ (t ) = e D t xˆ (0) x(t ) = Pxˆ (t ) = Pe D t P −1 x(0) Vì vaäy Chuù yù raèng x(t) cuõng coù theå ñöa ra bôûi phöông trình: x(t ) = e A t x(0) At D t −1 Chuùng ta coù e = Pe P , hay e A t = Pe D t P −1 e λ1t    = P     0 e λ2t . . . 0     −1 P    λn t e  (9-21) Tieáp theo, chuùng ta seõ xeùt tröôøng hôïp ma-traän A coù theå ñöôïc chuyeån thaønh daïng Jordan chính taéc. Xeùt phöông trình traïng thaùi: x& = Ax 18 Tröôùc tieân thieát laäp ma-traän chuyeån S maø noù chuyeån ma-traän A thaønh daïng Jordan chuaån (xem phuï luïc) ñeå cho: S AS = J vôùi J laø moät ma-traän ôû daïng Jordan chuaån. Xaùc ñònh x = Sxˆ Khi ñoù x&ˆ = S ASxˆ = Jxˆ Nghieäm cuûa phöông trình naøy laø: xˆ (t ) = e J t xˆ (0) x(t ) = Sxˆ (t ) = Se J t S −1 x(0) Vì vaäy x(t ) = e A t x(0) Vì nghieäm x(t) cuõng coù theå ñöôïc ñöa ra bôûi phöông trình e A t = Se J t S −1 Chuùng ta coù Chuù yù raèng eJt laø moät ma-traän tam giaùc [caùc phaàn töû döôùi (hoaëc treân ñöôøng cheùo chính) coøn caùc phaàn töû cuûa ñöôøng cheùo chính laø baèng 0) maø taát caû caùc phaàn töû cuûa noù laø −1 −1 e λt , te λt , 12 t 2 e λ t . . . Chaúng haïn, neáu ma-traän J coù daïng Jordan chuaån sau: λ1 J = 0   0 1 λ1 0 0 1  λ1  thì eJ t e λ1t  = 0  0  te λ1t e λ1t 0 1 2 t 2 e λ1t   te λ1t  e λ1t  19 Töông töï, neáu  λ1 0  0  J =     0 1 λ1 0 1 0 λ1 λ4 1 0 λ4 λ6 0         λ 7  thì e λ1t  0 0  eJ t =     0  te λ1t e λ1t 0 1 2 λ1t 2 λ1t t e te e λ1t e λ4t te λ4t 0 e λ4t e λ6t 0 0         0  e λ7t  20 Ví duï xeùt ma-traän A sau ñaây: 1 0 0 A = 0 0 1   1 − 3 3 λ I − A = λ3 − 3λ2 + 3λ − 1 = (λ − 1) 3 = 0 Phöông trình ñaëc tính laø: Vì vaäy ma-traän A coù moät giaù trò rieâng boäi baäc ba taïi λ = 1. Ñieàu naøy coù theå chæ ra raèng ma-traän A coù moät vector rieâng boäi baäc ba. Ma-traän chuyeån seõ chuyeån ma-traän A thaønh daïng Jordan chính taéc coù theå ñöôïc ñöa ra bôûi: 1 0 0 S = 1 1 0   1 2 1 Nghòch ñaûo cuûa ma-traän S laø: S −1 0 0  1 = − 1 1 0    1 − 2 1 Suy ra  1 S −1 AS = − 1   1 1 = 0  0 0 0  0 1 0 1 0 0 1 0  0 0 1 1 1 0    − 2 1 1 − 3 3 1 2 1 1 0 1 1 = J  0 1 Chuù yù raèng 21 eJ t e t  = 0 0  te t et 0 1 2 t 2et   te t  e t  Do ñoù e A t = Se J t S −1 t t 2 t 0 0 1 0 0 e te 12 t e   1   = 1 1 0  0 e t te t  − 1 1 0     t 1 2 1  0 0 e   1 − 2 1 1 2 t e t − te t + 12 t 2 e t  te t − t 2 e t 2t e   1 2 t = e t − te t − t 2 e t te t + 12 t 2 e t  2t e t 2 t t t 1 2 t  te t + 12 t 2 e t − 3 te − t e e + 2 te + 2t e   Phöông phaùp 2 tính eAt Phöông phaùp naøy söû duïng pheùp chuyeån ñoåi Laplace. Töø phöông trình (4-60), eAt ñöôïc tính: e At = L−1[( sI − A) −1 Đeå tính ñöôïc eAt, ñaàu tieân ta nghòch ñaûo ma-traän (sI-A). Sau ñoù laáy aûnh Laplace ngöôïc. 22 Phöông phaùp 3 tính eAt. Phöông phaùp naøy söû duïng coâng thöùc noäi suy Sylvester (baøi taäp A-9-6). Tröôùc tieân chuùng ta xeùt tröôøng hôïp caùc nghieäm cuûa ña thöùc toái thieåu φ(λ) cuûa A laø rieâng bieät (ñònh nghóa ña thöùc cöïc tieåu ôû baøi taäp A-9-3). Sau ñoù chuùng ta seõ xem xeùt tröôøng hôïp nghieäm boäi. Tröôøng hôïp 1. Ña thöùc toái thieåu cuûa A chæ coù nghieäm rieâng boäi (nghieäm ñôn). Giaû thieát raèng baäc cuûa ña thöùc A laø m. Söû duïng coâng thöùc noäi suy, coù theå chöùng minh raèng eAt coù theå ñaït ñöôïc baèng caùch giaûi phöông trình ñònh thöùc sau: 1 λ1 λ12 . . . λ1m −1 e λ1t 1 λ2 λ22 . . . λm2 −1 e λ2t . . . . . . 1 λm I A . . . . . . λ2m . . . λmm−1 A2 . . . A m −1 . . . =0 (9-22) e λm t e At Baèng vieäc giaûi phöông trình (9-22) cho eAt, eAt coù theå tính ñöôïc döôùi daïng ek (k = 0, 1, 2, . . ., m-1) vaø e λ t (i = 1, 2, 3, . . . , m) [Phöông trình (9-22) coù theå ñöôïc khai trieån coät cuoái cuøng]. Töø (9-22), ta coù: e A t = α 0 (t ) I + α 1 (t ) A + α 2 (t ) A 2 + .. . + α m−1 (t ) A m−1 (9-23) i 23 vaø vieäc xaùc ñònh α k (t ) (k = 0,1, 2,. . ., m − 1) baèng vieäc giaûi taäp m phöông trình sau vôùi α k (t ) α 0 (t ) + α 1 (t )λ1 + α 2 (t )λ12 + .. . + α m−1 (t )λ1m−1 = e λ1t α 0 (t ) + α 1 (t )λ2 + α 2 (t )λ22 + .. . + α m−1 (t )λm2 −1 = e λ2t . . α 0 (t ) + α 1 (t )λm + α 2 (t )λ2m + .. . + α m−1 (t )λmm−1 = e λmt Neáu A laø ma-traän n × n vaø coù giaù trò rieâng taùch bieät, thì soá α (t ) ñöôïc xaùc ñònh laø m = n. Neáu A coù nghieäm boäi nhöng ña thöùc toái thieåu cuûa noù chæ coù nghieäm ñôn giaûn, thì soá α (t ) ñöôïc xaùc ñònh m laø nhoû hôn n (m < n). Tröôøng hôïp 2. Ña thöùc toái thieåu cuûa A coù nghieäm boäi. Xeùt tröôøng hôïp ña thöùc toái thieåu cuûa A coù 3 nghieäm λ = λ = λ vaø caùc nghieäm khaùc (λ , λ , . . ., λ ) laø caùc nghieäm taùch bieät. Baèng aùp duïng coâng thöùc noäi suy Sylvester, ta coù theå chöùng minh raèng eAt coù theå xaùc ñònh töø phöông trình ñònh thöùc sau: k k 1 4 5 2 3 m 24 0 0 1 3λ1 0 1 1 2λ1 3λ12 λ1 1 λ4 λ12 λ24 λ13 λ34 (m − 1)(m − 2) m −3 λ1 ... 2 ... (m − 1)λ1m − 2 λ1m −1 ... ... t 2 λ1t e 2 te λ1t e λ1t λm4 −1 e λ4 t . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 λm λ2m λ3m ... λmm−1 e λm t I A2 A3 ... A m −1 e At A . =0 (9-24) Phöông trình (9-24) coù theå giaûi ñöôïc eAt baèng caùch khai trieån coät cuoái cuøng. Chuù yù raèng, nhö tröôøng hôïp 1, giaûi phöông trình (9-24) vôùi eAt. e A t = α 0 (t ) I + α 1 (t ) A + α 2 (t ) A 2 + .. . + α m−1 (t ) A m−1 (9-25) vaø xaùc ñònh α k (t ), (k = 0, 1, 2, . . ., m − 1) töø: (m − 1)(m − 2) t 2 λ1t m −3 α 2 (t ) + 3α 3 (t )λ1 + . . . + α m−1 (t )λ1 = e 2 2 α1 (t ) + 2α 2 (t )λ1 + 3α 3 (t )λ12 + . . . + (m − 1)α m −1 (t )λ1m− 2 = teλ1t α 0 (t ) + α1 (t )λ1 + α 2 (t )λ12 + .. . + α m−1 (t )λ1m−1 = eλ t 1 α 0 (t ) + α1 (t )λ4 + α 2 (t )λ42 + .. . + α m−1 (t )λ4m−1 = eλ t 4 ... α 0 (t ) + α1 (t )λm + α 2 (t )λm2 + .. . + α m−1 (t )λmm−1 = eλ t m 25 VÍ DUÏ 9-4. Xeùt ma-traän 1 0 A=  0 − 2  Tính eAt laø toång cuûa moät chuoãi voâ haïn. Ma-traän muõ eAt coù theå luoân ñöôïc khai trieån thaønh chuoãi ma-traän, khi ñoù noù coù theå ñöôïc coïng vôùi nhau thaønh daïng kín. Trong ví duï naøy ta coù: e At 2 1 1 t2 0 A k t k 1 0 0 =I+∑ =  +  0 − 2  t +  0 − 2  2! + . . . 0 1 k =1 k !         1 1 (2t ) 2 (2t ) 3 1 − 1 − 2 t + − + . . .    1 12 (1 − e − 2t ) 2 2 2 ! 3 !    = =  2 3 4 (2t ) (2t ) (2t )   0 e −2t   0 1 − 2t + 2! − 3! + 4! − . . .   ∞ VÍ DUÏ 9-5. Xeùt ma-traän A nhö ôû ví duï 9-4. 1 0 A=  0 − 2  Tính toaùn eAt baèng caùch söû duïng ba phöông phaùp phaân tích ñaõ ñeà caäp ôû treân. Phöông phaùp 1. Giaù trò rieâng cuûa A laø 0 vaø –2 (λ1 = 0, λ2 = -2). Ma-traän chuyeån P seõ laø 1 1 P=  0 − 2  26 Khi ñoù töø phöông trình (9-21), ta coù: e At 1  e 0 0 =  − 0 2   0 1 1 0  0 2 =    e − 2t  0 − 12  0 1 2 (1 − e −2t )  e − 2t  Phöông phaùp 2. Vì 1  s − 1   s 0  0 sI − A =  − =     0 s  0 − 2   0 s + 2  Ta coù: 1  ( sI − A) −1 =  s 0  1  s ( s + 2)   1  s + 2  Neân 1 e = L [( sI − A) ] =  0 Phöông phaùp 3. Töø phöông trình (9-22), ta coù: 1 λ1 e λ1t 1 λ 2 e λ2 t = 0 I A e At At −1 −1 1 2 (1 − e−2t )   e −2t  Thay 0 cho λ1 vaø –2 cho λ2 trong phöông trình cuoái cuøng, ta coù: 27 1 0 1 1 − 2 e −2t = 0 I A e At Khai trieån ñònh thöùc, ta coù: − 2e + A + 2 I − Ae = 0 Hay −2 t 1 1 1 2 0 0 1    − 1 ( 1 e )       1 At − 2 t − 2 t 2 + − = e = 12 ( A + 2 I − Ae ) =   e    −2t 2  0 − 2 0 2 0 − 2 0 e    Moät caùch khaùc söû duïng phöông trình (9-23), tröôùc heát ta xaùc ñònh α 0 (t ) vaø α 1 (t ) töø: α 0 (t ) + α 1 (t )λ1 = e λ1t − 2t At α 0 (t ) + α 1 (t )λ2 = e λ2t Vì λ1 = 0 vaø λ2 = -2, hai phöông trình treân seõ laø: α 0 (t ) = 1 α 0 (t ) − 2α 1 (t ) = e −2t Giaûi ra ta ñöôïc α 0 (t ) = 1, Khi ñoù eAt seõ laø: e At 1 2 α 1 (t ) = (1 − e −2t ) 1 1 = α 0 (t ) I + α 1 (t ) A = I + (1 − e −2t ) A =  2 0 1 2 (1 − e −2 t )  e −2t  28 9-3. MA-TRAÄN TRUYEÀN. Trong phaàn naøy chuùng ta xeùt vaán ñeà thieát keá boä ñieàu khieån phaân ly ñeå cho moät söï thay ñoåi ôû moät cöûa vaøo chæ aûnh höôûng ñeán moät cöûa ra. Thuoäc tính phaân ly laø raát quan troïng trong heä thoáng ñieàu khieån quaù trình. Xeùt heä thoáng ñöôïc moâ taû bôûi: x = Ax + Bu (9-26) y = Cx + Du (9-27) Vôùi x = vector traïng thaùi (n - vector). u = vector ñieàu khieån (r - vector). y = vector ra (m – vector) A = ma-traän n × n ; B = ma-traän n × r ; C = ma-traän m × n ; D = ma-traän m × r . Ma-traän G(s) lieân quan ñeán bieán ñoåi Laplace cuûa tín hieäu ra y(t) vaø bieán ñoåi Laplace cuûa tín hieäu vaøo u(t) ñöôïc goïi laø ma-traän truyeàn. Y ( s) = G ( s)U ( s) (9-28) ÔÛ daïng khai trieån, phöông trình (9-28) coù theå ñöôïc vieát: 29  Y1 ( s )   G11 ( s ) G12 ( s ) . . . G1r ( s )  U 1 ( s )  Y ( s )   G ( s ) G ( s ) . . . G ( s )  U ( s ) 22 1r  2   21  2   .   . . .  .  =      . . . . .       .   . . .  .       Y s G ( s ) G ( s ) . . . G ( s ) U ( s ) ( ) m2 mr  m   m1  r  (9-29) Phaàn töû thöù (i, j) cuûa G(s) laø haøm truyeàn lieân quan ñeán tín hieäu ra thöù i ñoái vôùi tín hieäu vaøo thöù j. Ma-traän truyeàn G(s) lieân quan ñeán caùc ma-traän A, B, C, vaø D theo caùch sau: Bieán ñoåi Laplace cuûa phöông trình (9-26) vaø (9-27): sX ( s ) − x(0) = AX ( s ) + BU ( s ) (9-30) Y ( s ) = CX ( s ) + DU ( s ) (9-31) Chæ xeùt trong tröôøng hôïp haøm truyeàn, chuùng ta giaû thieát traïng thaùi ñaàu x(0) laø zero; x(0) = 0. (Töùc laø ma-traän truyeàn ñöôïc xaùc ñònh nhö laø tyû soá cuûa bieán ñoåi Laplace cuûa vector ra ñoái vôùi bieán ñoåi Laplace cuûa vector vaøo khi ñieàu kieän ñaàu baèng 0). Töø phöông trình (9-30), ta coù: X ( s ) = ( sI − A) −1 BU ( s ) (9-32) Thay (9-32) vaøo (9-31), ta coù: Y ( s ) = [C ( sI − A) −1 B + D ]U ( s ) (9-33) So saùnh phöông trình (9-28) vaø (9-33), ta coù: G ( s) = C ( sI − A) −1 B + D (9-34) Roõ raøng bieåu thöùc haøm truyeàn ñöôïc ñöa ra bôûi phöông trình (1-53) laø tröôøng hôïp ñaëc 30 bieät cuûa bieåu thöùc ma-traän truyeàn. Tính phaân ly cuûa heä thoáng nhieàu tín hieäu vaøo – nhieàu tín hieäu ra (MIMO System). Xeùt heä thoáng ñöôïc veõ treân hình (9-5). B ( s ) = H ( s )Y ( s ) = H ( s )G0 ( s ) E ( s ) Ma-traän truyeàn cuûa heä thoáng voøng kín ñöôïc xaùc ñònh nhö sau: Y ( s ) = G0 ( s )[U ( s ) − B ( s )] = G0 ( s )[U ( s ) − H ( s )Y ( s )] [ I + G0 ( s ) H ( s )]Y ( s ) = G0 ( s )U ( s ) Ta coù: Nhaân hai veá cuûa phöông trình naøy vôùi [ I + G0 (s) H (s)]−1 , ta coù: Y ( s) = [ I + G0 ( s) H ( s)]−1 G0 ( s)U ( s) Ma-traän truyeàn voøng kín G(s) khi ñoù laø: (9-35) G ( s ) = [ I + G0 ( s ) H ( s )]−1 G0 ( s ) U(s) E(s) + _ G0(s) Y(s) B(s) H(s) Hình 9-5. Sô ñoà khoái cuûa heä thoáng nhieàu tín hieäu vaøo, nhieàu tín hieäu ra. 31 Nhieàu heä thoáng ñieàu khieån quaù trình coù nhieàu cöûa vaøo vaø nhieàu cöûa ra vaø ñieàu mong muoán laø söï thay ñoåi ôû moät cöûa vaøo naøy chæ aûnh höôûng ñeán moät cöûa ra. (Neáu tính caùch ly naøy ñaït ñöôïc thì deã daøng duy trì moãi giaù trò cöûa ra ôû haèng soá mong muoán khi khoâng coù maët nhieãu ngoaøi). Baây giôø chuùng ta giaû thieát raèng ma-traän truyeàn Gp(s) (ma-traän n × n ) cuûa moät ñoái töôïng laø coù tröôùc, caàn thieát keá moät boä buø noái tieáp Gc(s) ( cuõng laø ma-traän n × n ) ñeå cho n cöûa vaøo vaø n cöûa ra laø caùch ly nhau, tức là ma-traän truyeàn voøng kín phaûi laø ma-traän ñöôøng cheùo. G11 ( s )  G22 ( s )   G ( s) =      0         Gnn ( s)  0 . . . Chuùng ta seõ xeùt tröôøng hôïp ma-traän phaûn hoài H(s) laø ma-traän ñoàng nhaát (identity), thì töø phöông trình (9-35), ta coù: G ( s ) = [ I + G0 ( s )]−1 G0 ( s ) (9-36) Chuù yù raèng G0(s) trong vaán ñeà naøy laø: G0 ( s) = G p ( s)Gc ( s) H (s) = 1 vaø Töø phöông trình (9-36), ta coù: G0 ( s )[ I − G ( s )] = G ( s ) hay hay [ I + G0 ( s )]G ( s ) = G0 ( s ) G0 ( s) = G ( s)[ I − G ( s )] −1 32 Vì ma-traän truyeàn voøng kín mong muoán G(s) laø moät ma-traän ñöôøng cheùo, I – G(s) cuõng laø moät ma-traän ñöôøng cheùo. Khi ñoù G0(s) laø tích cuûa hai ma-traän ñöôøng cheùo, cuõng laø matraän ñöôøng cheùo. Coù nghóa laø, ñeå ñaït ñöôïc tính caùch ly, ta phaûi taïo G0(s) laø ma-traän ñöôøng cheùo, duø ma-traän phaûn hoài H(s) laø ma-traän đơn vị. VÍ DUÏ 9-6. Xeùt HT treân hình 9-6. X/ñ ma-traän cuûa boä buø noái tieáp ñeå cho ma-traän truyeàn voøng kín laø:  1  G ( s) =  s + 1  1  Vì  0  1   s + 1  1   s +1  1 0 0  s +1  s  s −1 G0 = G ( I − G ) =   = 1 5 s + 1  1  1  1 5s + 1   5s     0  1 5s  Vaø töø phöông trình (9-6), ma-traän truyeàn ñoái töôïng laø:  1  G p ( s) =  2s + 1  1   0  1   s + 1 Ta coù: 1  G0 ( s ) =  s 1    1 0  2s + 1 G ( s ) G ( s ) = = p c  1   1 5s    0  G ( s ) G ( s )  c11 c12   1 Gc 21 ( s) Gc 22 ( s)  s + 1 33 Vì vaäy −1  1  1  0 0  s   G ( s ) Gc12 ( s )   2s + 1 Gc ( s ) =  c11 =      G s G s ( ) ( ) 1 1 c 22  c 21   1  0   s + 1   5s  2s + 1 1   0   2s + 1 0 s  s =  =   −( s + 1)(2s + 1) s + 1  0 1   − ( s + 1)(2s + 1)  5s   s (9-37) Ñoái töôïng _ r1 +  0   s + 1 5s  Gc11 + u1 + y1 1 2s + 1 Gc21 1 Gc12 r2 + _ Gc22 + + u2 + 1 + y2 s +1 Hình 9-6. Heä thoáng nhieàu tín hieäu vaøo, nhieàu tín hieäu ra. 34 Ñieàu quan troïng caàn löu yù laø trong vieäc phaân tích naøy, chuùng ta khoâng phaûi xem xeùt nhieãu ngoaøi. Noùi chung trong kyõ thuaät naøy vieäc coù khöû töû soá vaø maãu soá . Vì vaäy, vaøi giaù trò rieâng seõ bò maát trong Gp(s).Gc(s). Ñieàu naøy coù nghóa laø maëc duø taïo ra ñöôïc keát quaû phaân ly mong muoán trong ñaùp öùng vôùi tín hieäu vaøo khi khoâng coù nhieãu, neáu heä thoáng bò taùc ñoäng cuûa nhieãu ngoaøi, thì heä thoáng coù theå trôû neân khoâng ñieàu khieån ñöôïc vì moät chuyeån ñoäng naøo ñoù taïo ra bôûi giaù trò rieâng bò khöû laø khoâng theå ñieàu khieån ñöôïc. 9-4. TÍNH ÑIEÀU KHIEÅN ÑÖÔÏC. Tính ñieàu khieån ñöôïc vaø tính quan saùt ñöôïc. Moät heä thoáng ñöôïc goïi laø ñieàu khieån ñöôïc taïi ñieåm t0 neáu baèng moät vector ñieàu khieån khoâng cöôõng böùc coù theå chuyeån heä thoáng töø traïng thaùi baét ñaàu x(t0) ñeán traïng thaùi khaùc trong moät khoaûng thôøi gian höõu haïn. Một hệ thống được gọi là quan sát được nếu tại thời điểm t0, có thể xác định được trạng thái này từ việc quan sát tín hiệu ra trong một khoảng thời gian hữu hạn. Khaùi nieäm tính ñieàu khieån ñöôïc vaø tính quan saùt ñöôïc ñöôïc ñöa ra bôûi Kalman. Chuùng ñoùng moät vai troø quan troïng trong thieát keá heä thoáng ñieàu khieån trong khoâng gian traïng thaùi. Thöïc ra, ñieàu kieän ñieàu khieån ñöôïc vaø quan saùt ñöôïc coù theå quyeát ñònh söï toàn taïi cuûa moät nghieäm hoaøn toaøn ñoái vôùi vaán ñeà thieát keá heä thoáng ñieàu khieån. Nghieäm cuûa vaán ñeà naøy coù theå khoâng toàn taïi neáu heä thoáng ñöôïc xeùt laø heä thoáng khoâng 35 ñieàu khieån ñöôïc. Maëc duø haàu heát caùc heä thoáng vaät lyù laø ñieàu khieån ñöôïc vaø quan saùt ñöôïc, töông öùng vôùi moâ hình toaùn hoïc coù theå khoâng sôû höõu thuoäc tính ñieàu khieån ñöôïc vaø quan saùt ñöôïc. Khi ñoù caàn phaûi bieát döôùi ñieàu kieän naøo thì heä thoáng laø ñieàu khieån ñöôïc vaø quan saùt ñöôïc. Vector ñoäc laäp tuyeán tính. Vector x1 , x 2 , . . ., x n ñöôïc goïi laø ñoäc laäp tuyeán tính neáu c1 x1 + c2 x 2 + . . . + cn xn = 0 vôùi c1 , c 2 , . . ., c n laø caùc haèng soá, khi vaø chæ khi c1 = c2 = . . . = c n = 0 Ngöôïc laïi, caùc vector x1 , x 2 , . . ., x n ñöôïc goïi laø phuï thuoäc tuyeán tính neáu vaø chæ neáu xi coù theå ñöôïc bieåu dieãn laø toå hôïp tuyeán tính cuûa x j ( j = 1, 2, . . . , n; j ≠ i ) hay n xi = ∑ c j x j i =1 j ≠i Vôùi c j laø caùc haèng soá. Ñieàu naøy coù nghóa neáu xi coù theå ñöôïc bieåu dieãn laø toå hôïp tuyeán tính cuûa vector khaùc trong taäp hôïp, noù laø phuï thuoäc tuyeán tính hay noù khoâng phaûi laø thaønh phaàn ñoäc laäp trong taäp hôïp ñoù. VÍ DUÏ 9-7. Xeùt 1  x1 = 2,   3 1 x 2 =  0 ,   1 2 x 3 = 2   4 36 laø phuï thuoäc tuyeán tính vì x1 + x 2 − x3 = 0 1  y1 = 2,   3 1 y 2 = 0  ,   1  2 y 3 =  2   2 laø ñoäc laäp tuyeán tính vì c1 y1 + c2 y2 + c3 y3 = 0 khi vaø chæ khi c1 = c2 = c3 = 0 Chuù yù raèng neáu ma-traän n × n laø nonsingular (töùc laø ma-traän coù haïng n hoaëc ñònh thöùc khaùc 0), thì n vector coät (hoaëc haøng) laø ñoäc laäp tuyeán tính. Neáu ma-traän n × n laø singular (töùc laø haïng cuûa ma-traän nhoû hôn n hay ñònh thöùc baèng 0) thì x vector coät (hoaëc haøng laø phuï thuoäc tuyeán tính. Ñeå minh hoïa ñieàu naøy, chuù yù raèng: 1 [x1 M x2 M x3 M] = 2 3 1 [ y1 M y 2 M y3 M] = 2 3 1 2 0 2 = sin gular .  1 4 1 2 0 2 = non sin gular .  1 2 Tính ñieàu khieån ñöôïc traïng thaùi hoaøn toaøn cuûa heä thoáng lieân tuïc. Xeùt heä thoáng lieân tuïc sau: x& = Ax + Bu (9-38) Vôùi x = vector traïng thaùi (n vector). 37 u = tín hieäu ñieàu khieån (voâ höôùng). A = ma-traän n × n . B = ma-traän n × 1 . Heä thoáng ñöôïc moâ taû bôûi phöông trình (9-38) ñöôïc goïi laø “coù theå ñieàu khieån traïng thaùi” taïi t = t0 neáu coù theå xaây döïng tín hieäu ñieàu khieån khoâng cöôõng böùc chuyeån moät traïng thaùi baét ñaàu ñeán moät traïng thaùi cuoái trong moät khoaûng thôøi gian höõu haïn t 0 ≤ t ≤ t1 . Neáu moïi traïng thaùi laø coù theå ñieàu khieån ñöôïc thì heä thoáng ñoù ñöôïc goïi laø coù theå ñieàu khieån traïng thaùi hoaøn toaøn. Baây giôø chuùng ta seõ ruùt ra ñieàu kieän cho tính ñieàu khieån ñöôïc traïng thaùi hoaøn toaøn . Khoâng maát tính toång quaùt, giaû thieát raèng traïng thaùi cuoái laø goác cuûa khoâng gian traïng thaùi vaø thôøi ñieåm ñaàu laø t0. Nghieäm cuûa phöông trình (9-38) laø: t x(t ) = e A t x(0) + ∫ 0 e A( t −τ ) Bu (τ )dτ Aùp duïng ñònh nghóa tính ñieàu khieån ñöôïc traïng thaùi hoaøn toaøn, ta coù: t x(0) = − ∫ 0 e Aτ Bu (τ ) dτ (9-39) 1 Chuù yù raèng e − Aτ coù theå ñöôïc vieát: e − Aτ n −1 = ∑ α k (τ ) A k k =0 (9-40) Thay phöông trình (9-40) vaøo phöông trình (9-39) ta ñöôïc: n −1 t1 x(0) = − ∑ A k B ∫0 α k (τ )u (τ )dτ k =0 (9-41) 38 Baây giôø ta ñaët: t1 ∫0 α k (τ )u (τ )dτ = β k Phöông trình (9-41) seõ laø:  β0    β  1   .  n −1 k n −1  x(0) = −∑ A Bβ k = −  B M AB M . . . M A B    .  k =0   .   β   n −1  (9-42) Neáu heä thoáng laø coù theå ñieàu khieån traïng thaùi hoaøn toaøn, thì vôùi moät traïng thaùi ñaàu cho tröôùc x(0), phöông trình (9-42) phaûi thoûa maõn. Ñieàu naøy yeâu caàu haïng cuûa ma-traän n × n [B M AB M . . . M An−1 B] baèng n. Töø phaân tích naøy, chuùng ta coù theå phaùt bieåu ñieàu kieän ñeå ñieàu khieån ñöôïc traïng thaùi hoaøn toaøn nhö sau: Heä thoáng ñöôïc cho bôûi phöông trình (9-38) laø coù theå ñieàu khieån ñöôïc traïng thaùi hoaøn toaøn neáu vaø chæ neáu caùc vector B, AB, . . . , AB-1 laø ñoäc laäp tuyeán tính, hoaëc ma-traän [B M AB M . . . M An−1 B] laø ma-traän haïng n. Môû roäng cho tröôøng hôïp vector ñieàu khieån u coù r chieàu. Neáu heä thoáng ñöôïc moâ taû bôûi: x& = Ax + Bu vôùi u laø r – vector, thì noù coù theå ñöôïc chöùng minh ñieàu kieän cho tính ñieàu khieån ñöôïc 39 traïng thaùi hoaøn toaøn laø ma-traän n × nr sau: [B M AB M . . . M A n−1 B ] coù haïng laø n hoaëc bao goàm n vector coät ñoäc laäp tuyeán tính. Ma-traän [B M AB M . . . M A n−1 B ] thöôøng ñöôïc goïi laø ma-traän ñieàu khieån ñöôïc. VÍ DUÏ 9-8. Xeùt heä thoáng sau: vì 1  x1  1  x&1  1 =  x&  0 − 1  x  + 0 u  2    2  1 1 [B M AB] =   = sin gular 0 0 Heä thoáng laø khoâng theå ñieàu khieån ñöôïc traïng thaùi hoaøn toaøn. VÍ DUÏ 9-9. Xeùt heä thoáng sau: vì 1  x1  0  x&1  1 =  x&  2 − 1  x  + 1 u  2    2  0 1 [B M AB ] =  = non sin gular  1 − 1 Heä thoáng laø coù theå ñieàu khieån ñöôïc hoaøn toaøn. 40 Daïng khaùc cuûa ñieàu kieän cuûa tính ñieàu khieån ñöôïc traïng thaùi hoaøn toaøn. Xeùt heä thoáng ñöôïc xaùc ñònh bôûi: x& = Ax + Bu (9-43) Vôùi x = vector traïng thaùi (n - vector). u = vector ñieàu khieån (r – vector). A = ma-traän n × n , B = ma-traän n × r . Neáu caùc giaù trò rieâng cuûa A laø rieâng bieät, thì coù theå tìm ma-traän truyeàn P sao cho λ1    P −1 AP = D =     0 λ2 . . . 0        λn  Chuù yù raèng neáu caùc giaù trò rieâng cuûa A laø rieâng bieät, thì caùc vector rieâng cuûa A laø rieâng bieät. Tuy nhieân , ngöôïc laïi thì khoâng ñuùng. Chaúng haïn, moät ma-traän ñoái xöùng thöïc n × n coù giaù trò rieâng boäi coù n vector rieâng – rieâng bieät. Cuõng chuù yù raèng moãi coät cuûa ma-traän P laø vector rieâng cuûa A keát hôïp vôùi λi (i = 1, 2, . . . , n) x = Pz Ta ñònh nghóa (9-44) Thay phöông trình (9-44) vaøo phöông trình (9-43), ta coù: z& = P −1 APz + P −1 Bu (9-45) 41 P −1 B = F = ( f i j ) Baèng ñònh nghóa Ta coù theå vieát laïi phöông trình (9-45) nhö sau: z&1 = λ1 z1 + f11u1 + f12u2 + . . . + f1r ur z&2 = λ2 z2 + f 21u1 + f 22u2 + . . . + f 2 r ur ... z&n = λn zn + f n1u1 + f n 2u2 + . . . + f nr ur Neáu taát caû caùc phaàn töû cuûa mộât haøng naøo ñoù cuûa ma-traän F ( n × r ) baèng 0 thì bieán traïng thaùi töông öùng khoâng theå ñieàu khieån ñöôïc baèng moät ui baát kyø. Vì vaäy ñieàu kieän cuûa tính ñieàu khieån ñöôïc traïng thaùi hoaøn toaøn neáu caùc vector rieâng cuûa A laø rieâng bieät thì heä thoáng laø coù theå ñieàu khieån ñöôïc neáu vaø chæ neáu khoâng coù haøng naøo cuûa P-1B coù taát caû caùc phaàn töû baèng 0. Caàn löu yù laø ñeå aùp duïng ñieàu kieän naøy cho tính ñieàu khieån ñöôïc traïng thaùi hoaøn toaøn, chuùng ta phaûi ñaët ma-traän P-1AP trong phöông trình (9-45) ôû daïng ñöôøng cheùo. Neáu ma-traän A trong phöông trình (9-43) khoâng coù vector rieâng – rieâng bieät thì khoâng theå ñöôøng cheùo hoùa ñöôïc. Trong tröôøng hôïp naøy, chuùng ta coù theå chuyeån A thaønh daïng Jordan chính taéc. Chaúng haïn neáu A coù giaù trò rieâng λ1 , λ1 , λ1 , λ4 , λ4 , λ6 , . . . , λn vaø coù n–3 vector rieâng – rieâng bieät thì daïng Jordan chính taéc cuûa A laø: 42 λ1 1 0 0 λ 1 1   0 0 λ1  λ4   0 J =        0 1 λ4 λ6 . . . 0              λn  Caùc ma-traän con vuoâng treân ñöôøng cheùo chính ñöôïc goïi laø”khoái Jordan”. S −1 AS = J Giaû söû raèng ta coù theå tìm moät ma-traän truyeàn S ñeå cho: x = Sz (9-46) Neáu chuùng ta xaùc ñònh moät vector traïng thaùi môùi z baèng Khi ñoù thay phöông trình (9-46) vaøo phöông trình (9-43), ta coù: z& = S −1 ASz + S −1 Bu = Jz + S −1 Bu (9-47) Ñieàu kieän ñieàu khieån ñöôïc traïng thaùi hoaøn toaøn cuûa phöông trình (9-43) khi ñoù coù theå phaùt bieåu nhö sau: Heä thoáng laø coù theå ñieàu khieån ñöôïc traïng thaùi hoaøn toaøn neáu vaø chæ neáu 1. Khoâng coù hai khoái Jordan cuûa PT (9-47) ñöôïc keát hôïp vôùi cuøng caùc giaù trò rieâng. 2. Caùc phaàn töû cuûa moät haøng naøo ñoù cuûa S-1B töông öùng vôùi haøng cuoái cuøng cuûa moãi khoái Jordan laø khoâng baèng 0 taát caû. 43 3. Caùc phaàn töû cuûa moãi haøng cuûa S-1B töông öùng vôùi caùc giaù trò rieâng – rieâng bieät laø khoâng baèng 0 taát caû. VÍ DUÏ 9-10. Caùc heä thoáng sau laø coù theå ñieàu khieån ñöôïc traïng thaùi hoaøn toaøn. 0  x1  2  x&1  − 1 =  x&   0 − 2  x  + 5 u  2    2  0  x1  0  x&1  − 1 1  x&  =  0 − 1 0   x 2  + 4 u 2         x& 3   0 0 − 2  x3  3 1 0 0   x1  0 1  x&1  − 2  x&   0 − 2   x  0 0  1 2      2    u1   x&3  =  0   x3  + 3 0   0 −2        u2  & x x −5 1   4  0 0   4   x&5   0 0 − 5  x5  2 1 Caùc heä thoáng sau ñaây laø khoâng theå ñieàu khieån traïng thaùi hoaøn toaøn. 0  x1  2  x&1  − 1  x&  =  0 − 2  x  + 0 u  2    2  0  x1  4 2  x&1  − 1 1   x  + 0 0  u1   x&  =  0 − 1 0  2   2   u 2   x& 3   0 0 − 2  x3  3 0 44 1 0 0   x1  4  x&1  − 2  x&   0 − 2   x   2 1 2      2    x&3  =  0   x3  + 1  u 0 −2        & x − 5 1  4    x4  3  x&5   0 0 − 5  x5  0 Ñieàu kieän cho tính ñieàu khieån ñöôïc traïng thaùi hoaøn toaøn trong maët phaúng s. Ñieàu kieän cho tính ñieàu khieån ñöôïc traïng thaùi hoaøn toaøn coù theå ñöôïc phaùt bieåu döôùi daïng haøm truyeàn hoaëc ma-traän truyeàn. Ñieàu kieän caàn vaø ñuû cho tính ñieàu khieån ñöôïc traïng thaùi hoaøn toaøn laø khoâng xaûy ra loaïi boû trong haøm truyeàn hay ma-traän truyeàn. (Chöùng minh ôû baøi taäp A-9-10). Neáu xaûy ra loaïi boû, heä thoáng khoâng theå ñieàu khieån ñöôïc theo höôùng cuûa kieåu loaïi boû ñoù. VÍ DUÏ 9-11. Xeùt haøm truyeàn sau: X ( s) s + 2.5 = U ( s) ( s + 2.5)( s − 1) Roõ raøng vieäc loaïi boû thaønh phaàn (s + 2.5) xaûy ra trong töû vaø maãu soá cuûa haøm truyeàn (laøm giaûm baäc töï do). Vì söï loaïi boû naøy, heä thoáng naøy khoâng theå ñieàu khieån ñöôïc traïng thaùi hoaøn toaøn. Keát luaän töông töï coù theå ñaït ñöôïc bôûi vieäc vieát haøm truyeàn ôû daïng phöông trình traïng thaùi. 45 Moät bieåu dieãn khoâng gian traïng thaùi laø: 1   x1  1  x&1   0  x&  = 2.5 − 1.5  x  + 1 u   2    2  vì 1 1 [B M AB ] =   1 1 neân haïng cuûa ma-traän [B M AB ] laø 1. Vì vaäy chuùng ta coù theå ñi ñeán keát luaän: Heä thoáng khoâng theå ñieàu khieån ñöôïc traïng thaùi hoaøn toaøn. Tính ñieàu khieån được tín hieäu ra. Trong thieát keá thöïc teá moät heä thoáng ñieàu khieån, chuùng ta coù theå caàn ñieàu khieån tín hieäu ra hôn laø traïng thaùi cuûa heä thoáng. Tính ñieàu khieån ñöôïc traïng thaùi hoaøn toaøn khoâng phaûi laø ñieàu kieän caàn vaø cuõng khoâng phaûi laø ñieàu kieän ñuû cuûa vieäc ñieàu khieån tín hieäu ra cuûa heä thoáng. Vôùi lyù do naøy, caàn phaûi xaùc ñònh khaû naêng ñieàu khieån tín hieäu ra hoaøn toaøn. Xeùt heä thoáng ñöôïc moâ taû bôûi: x& = Ax + Bu (9-48) y = Cx + Du (9-49) Vôùi x = vector traïng thaùi ( n- vector). u = vector ñieàu khieån (r – vector). y = vector ra (m – vector). A = ma-traän n × n , B = ma-traän n × r , C = ma-traän m × n , D = ma-traän m × r . 46 Heä thoáng ñöôïc moâ taû bôûi phöông trình (9-48), (9-49) ñöôïc goïi laø coù theå ñieàu khieån tín hieäu ra hoaøn toaøn neáu coù theå xaùc ñònh moät vector ñieàu khieån khoâng cöôõng böùc u(t) ñeå noù chuyeån moät tín hieäu ra baét ñaàu y(t0) tôùi moät tín hieäu ra cuoái y(t1) trong moät khoaûng thôøi gian höõu haïn t 0 ≤ t ≤ t1 . Coù theå chöùng minh raèng ñieàu kieän ñeå cho khaû naêng ñieàu khieån traïng thaùi hoaøn toaøn laø nhö sau: Heä thoáng ñöôïc moâ taû bôûi phöông trình (9-48), (9-49) laø coù theå ñieàu khieån tín hieäu ra hoaøn toaøn neáu vaø chæ neáu ma-traän m × (n + 1) r [CB M CAB M CA B M . . . M CA 2 n −1 BMD ] coù haïng baèng m (xem chöùng minh ôû A-9-11). Chuù yù raèng söï hieän dieän cuûa Du trong phöông trình (9-49) luoân luoân giuùp thieát laäp khaû naêng ñieàu khieån tín hieäu ra. 9-5. TÍNH QUAN SAÙT ÑÖÔÏC. Trong phaàn naøy chuùng ta nghieân cöùu veà khaû naêng quan saùt cuûa heä thoáng tuyeán tính. Xeùt heä thoáng khoâng bò taùc ñoäng ñöôïc moâ taû bôûi heä phöông trình sau: x& = Ax (9-50) y = Cx (9-51) Trong ñoù x = vector traïng thaùi (n- vector), y = vector ra (m- vector). A = ma-traän n × n , C = ma-traän m × n . Heä thoáng naøy ñöôïc goïi laø coù theå quan saùt hoaøn toaøn neáu moïi traïng thaùi x(t0) coù theå 47 ñöôïc xaùc ñònh töø vieäc quan saùt y(t) trong moät khoaûng thôøi gian höõu haïn, t ≤ t ≤ t . Vì vaäy heä thoáng naøy laø coù theå quan saùt ñöôïc hoaøn toaøn neáu moïi söï chuyeån tieáp cuûa traïng thaùi aûnh höôûng leân vector ra. Khaùi nieäm khaû naêng quan saùt laø raát höõu ích trong vieäc giaûi quyeát vaán ñeà xaây döïng laïi caùc bieán traïng thaùi khoâng ño ñöôïc töø caùc bieán ño ñöôïc trong moät khoaûng thôøi gian toái thieåu coù theå. Trong phaàn naøy chuùng ta chæ xöû lyù heä thoáng tuyeán tính döøng. Vì vaäy khoâng maát tính toång quaùt, chuùng ta giaû thieát t0 = 0. Khaùi nieäm veà khaû naêng quan saùt laø raát quan troïng bôûi vì trong thöïc teá khoù khaên gaëp phaûi vôùi ñieàu khieån phaûn hoài traïng thaùi laø vaøi bieán traïng thaùi khoâng theå ño tröïc tieáp. Caàn phaûi öôùc löôïng caùc bieán traïng thaùi khoâng ño ñöôïc ñeå xaây döïng caùc tín hieäu ñieàu khieån (xem 10-3). Trong vieäc nghieân cöùu veà ñieàu kieän cuûa khaû naêng quan saùt, ta xeùt heä thoáng khoâng bò taùc ñoäng ñöôïc cho ôû phöông trình (9-50), (9-51). Lyù do nhö sau: Neáu heä thoáng naøy ñöôïc moâ taû bôûi x& = Ax + Bu 0 1 y = Cx + Du t thì x(t ) = e x(0) + ∫ 0 e A( t −τ ) Bu (τ )dτ vaø y(t) laø: y (t ) = Ce A t x(0) + C ∫ 0 e A( t −τ ) Bu (τ )dτ + Du At t Vì caùc ma-traän A, B, C vaø D ñaõ bieát vaø u(t) laø cuõng ñaõ bieát, hai thaønh phaàn sau cuøng 48 beân veá phaûi cuûa phöông trình cuoái laø nhöõng con soá ñaõ bieát. Vì vaäy, chuùng coù theå ñöôïc tröø ñi töø giaù trò quan saùt cuûa y(t). Vì vaäy, ñeå nghieân cöùu ñieàu kieän caàn vaø ñuû cho khaû naêng quan saùt hoaøn toaøn, cần phải xeùt heä thoáng ñöôïc moâ taû bôûi phöông trình (9-50) vaø (9-51). Khaû naêng quan saùt hoaøn toaøn cuûa heä thoáng lieân tuïc. Xeùt heä thoáng ñöôïc moâ taû bôûi phöông trình (9-50), (9-51) x& = Ax y = Cx At Vector ra y(t) laø: y (t ) = Ce x(0) n −1 Chuù yù raèng Ta coù e At = ∑α k (t ) Ak k =0 n −1 y (t ) = ∑ α k (t )CA k x(0) k =0 y (t ) = α 0 (t )Cx(0) + α 1 (t )CAx(0) + . . . + α n −1 (t )CA n −1 x(0) (9-52) Hay Neáu heä thoáng laø coù theå quan saùt hoaøn toaøn thì vôùi moät tín hieäu ra y(t) trong khoaûng thôøi gian 0 ≤ t ≤ t1 , x(0) ñöôïc xaùc ñònh duy nhaát töø phöông trình (9-52). Ñieàu naøy ñöôïc thaáy ôû choã noù yeâu caàu haïng cuûa ma-traän nm × n 49  C   CA     .    .    .   n −1  CA  baèng n (xem baøi taäp A-9-14). Töø phaân tích naøy, ta coù theå phaùt bieåu ñieàu kieän cho khaû naêng quan saùt hoaøn toaøn nhö sau: Heä thoáng ñöôïc moâ taû bôûi phöông trình (9-50) vaø (9-51) laø coù theå quan saùt hoaøn toaøn neáu vaø chæ neáu ma-traän n × nm [C ∗ M A∗C ∗ M . . . M ( A∗ ) n−1 C ∗ ] coù haïng baèng n hoaëc coù n vector coät ñoäc laäp tuyeán tính. Ma-traän naøy ñöôïc goïi laø ma-traän quan saùt ñöôïc. VÍ DUÏ 9-12. Xeùt heä thoáng ñöôïc moâ taû bôûi 1  x1  0  x&1   1 =  x&  − 2 − 1  x  + 1 u  2    2  x  y = [1 0]  1   x2  Xeùt tính ñieàu khieån ñöôïc vaø quan saùt ñöôïc cuûa heä thoáng. 50 Vì haïng cuûa ma-traän [B M AB] =  1  1 − 1 0 laø 2, heä thoáng coù theå ñieàu khieån ñöôïc traïng thaùi hoaøn toaøn. Vôùi khaû naêng ñieàu khieån tín hieäu ra, ta caàn tìm haïng cuûa ma-traän [CB M CAB ]. Vì [CB M CAB ] = [0 1] Haïng cuûa ma-traän naøy laø 1. Vì vaäy, heä thoáng coù theå ñieàu khieån tín hieäu ra hoaøn toaøn. Ñeå thöû ñieàu kieän quan saùt ñöôïc, xeùt haïng cuûa ma-traän [C M A C ]. Vì ∗ [C ∗ ∗ ∗ 1 0 M A∗ C ∗ =   0 1  ] haïng cuûa ma-traän naøy laø 2 , vì vaäy heä thoáng naøy coù theå quan saùt hoaøn toaøn. Ñieàu kieän cho khaû naêng quan saùt hoaøn toaøn trong maët phaúng s. Ñieàu kieän cho khaû naêng quan saùt hoaøn toaøn cuõng coù theå phaùt bieåu döôùi ddaïng haøm truyeàn hay ma-traän truyeàn. Ñieàu kieän caàn vaø ñuû cho khaû naêng quan saùt hoaøn toaøn laø khoâng xaûy ra vieäc khöû (loaïi boû) trong haøm truyeàn hay ma-traän truyeàn. Neáu xaûy ra vieäc khöû (loaïi boû) thì kieåu loaïi boû naøy khoâng theå quan saùt ñöôïc ôû tín hieäu ra. VÍ DUÏ 9-13. Chöùng minh raèng heä thoáng sau laø khoâng coù theå quan saùt hoaøn toaøn. x& = Ax + Bu y = Cx 51 Vôùi  x1  x =  x 2 ,    x3  1 0  0 A= 0 0 1,   − 6 − 11 − 6  0  B = 0  ,   1 C = [4 5 1] Chuù yù raèng haøm ñieàu khieån u khoâng aûnh höôûng ñeán khaû naêng quan saùt hoaøn toaøn cuûa heä thoáng. Ñeå kieåm tra khaû naêng quan saùt hoaøn toaøn, ta coù theå ñôn giaûn ñaët u = 0. Vôùi heä thoáng naøy, ta coù: 4 − 6 6 C ∗ M A ∗ C ∗ M ( A ∗ ) 2 C ∗ = 5 − 7 5    1 − 1 − 1 [ ] Chuù yù raèng 4 − 6 6 5 − 7 5 = 0   1 − 1 − 1 Vì vaäy haïng cuûa ma-traän naøy laø nhoû hôn 3. Do ñoù heä thoáng laø khoâng quan saùt ñöôïc hoaøn toaøn. Thöïc teá trong heä thoáng naøy ñaõ xaûy ra vieäc loaïi boû trong haøm truyeàn cuûa heä thoáng. Haøm truyeàn giöõa X1(s) vaø U(s) laø: vaø haøm truyeàn giöõa Y(s) vaø X1(s) laø: Haøm truyeàn giöõa Y(s) vaø U(s) laø: X 1 ( s) 1 = U ( s) ( s + 1)( s + 2)( s + 3) Y ( s) = ( s + 1)( s + 4) X 1 (s) ( s + 1)( s + 4) Y (s) = U ( s ) ( s + 1)( s + 2)(s + 3) 52 Roõ raøng thaønh phaàn (s + 1) ñaõ bò loaïi boû nhau. Coù nghóa laø coù caùc traïng thaùi baét ñaàu khaùc 0 x(0), khoâng theå xaùc ñònh ñöôïc töø vieäc ño y(t). Quan heä giöõa khaû naêng ñieàu khieån, khaû naêng quan saùt, haøm truyeàn. Haøm truyeàn khoâng coù söï loaïi boû neáu vaø chæ neáu heä thoáng laø coù theå ñieàu khieån traïng thaùi hoaøn toaøn vaø coù theå quan saùt hoaøn toaøn. Coù nghóa laø haøm truyeàn coù loaïi boû khoâng mang theo taát caû caùc thoâng tin moâ taû caùc ñaëc tính cuûa heä thoáng ñoäng löïc. Daïng khaùc cuûa ñieàu kieän cho khaû naêng quan saùt hoaøn toaøn. Xeùt heä thoáng ñöôïc moâ taû bôûi phöông trình (9-50), (9-51) x& = Ax (9-53) y = Cx (9-54) Giaû thieát raèng ma-traän truyeàn P chuyeån A thaønh ma-traän ñöôøng cheùo hay P −1 AP = D vôùi D laø ma-traän ñöôøng cheùo. Goïi x = Pz Khi ñoù phöông trình (9-53), (9-54) coù theå ñöôïc vieát z& = P −1 APz = Dz y = CPz Vì vaäy Hay y (t ) = CPe D t z (0) 53 e λ1t    y (t ) = CP      0 e λ2t . . .  e λ1t z1 (0)  0   λ2t   e z ( 0 ) 2       .   z (0) = CP  .       .  λn t   λnt e  e z n (0) Heä thoáng laø coù theå quan saùt hoaøn toaøn neáu khoâng coù coät naøo cuûa ma-traän CP ( m × n ) goàm taát caû caùc phaàn töû baèng 0. Ñieàu naøy vì, neáu coät thö i cuûa CP bao goàm taát caû caùc phaàn töû baèng 0 thì bieán traïng thaùi zi(0) seõ khoâng xuaát hieän trong phöông trình ra vaø vì theá khoâng theå xaùc ñònh ñöôïc töø vieäc quan saùt y(t). Do ñoù x(0), lieân quan vôùi z(0) bôûi ma-traän nonsingular P khoâng theå xaùc ñònh ñöôïc. (Vieäc thöû naøy chæ aùp duïng neáu ma-traän P-1AP laø ôû daïng ñöôøng cheùo). Neáu ma-traän A khoâng theå chuyeån thaønh ma-traän ñöôøng cheùo, thì baèng vieäc söû duïng moät ma-traän chuyeån thích hôïp S, chuùng ta coù theå chuyeån A thaønh daïng Jordan chính taéc, hay S −1 AS = J vôùi J laø ma-traän Jordan chính taéc. x = Sz Ta xaùc ñònh Khi ñoù phöông trình (9-53) vaø (9-54) coù theå ñöôïc vieát: z& = S −1 ASz = Jz; y = CSz 54 y (t ) = CSe z (0) Vì vaäy Heä thoáng laø coù theå quan saùt ñöôïc hoaøn toaøn neáu: (1). Khoâng coù hai khoái Jordan trong J laø keát hôïp vôùi cuøng caùc giaù trò rieâng. (2). Khoâng coù coät cuûa CS töông öùng vôùi haøng thöù nhaát cuûa moãi khoái Jordan bao goàm caùc phaàn töû baèng 0 vaø (3). Khoâng coù coät cuûa CS töông öùng vôùi caùc giaù trò rieâng – rieâng bieät bao goàm caùc phaàn töû baèng 0. Ñeå phaân loaïi ñieàu kieän (2), trong ví duï (9-14), chuùng ta coù theå bao quanh bôûi caùc ñöoøng neùt ñöùt caùc coät cuûa CS töông öùng vôùi haøng thöù nhaát cuûa moãi khoái Jordan. VÍ DUÏ 9-14. Caùc heä thoáng sau ñaây laø coù theå quan saùt hoaøn toaøn. Jt 0  x1   x&1  − 1  x&  =  0 − 2  x  ,  2  2   x&1  2 1 0  x1   x&  = 0 2 1  x  ,  2   2  x& 3  0 0 2  x 3  x  y = [1 3]  1   x2   x1   y1   3 0 0    y  =  4 0 0  x 2     2  x3  0   x1   x&1  2 1 0  x&    x   2  0 2 1  2  x& 3  = 0 0 2   x3  ,      1  x 4  −3  x& 4    x& 5  0 0 − 3  x5     x1  x  2  y1   1 1 1 0 0    y  =  0 1 1 1 0  x3     2   x4   x5    55 Caùc heä thoáng sau ñaây laø khoâng quan saùt ñöôïc hoaøn toaøn. 0  x1  x   x&1  − 1 y = [0 1]  1   x&  =  0 − 2  x  ,  2  x2   2   x1   x&1  2 1 0  x1   y1   0 1 0    x&  = 0 2 1  x  ,  y  =  0 2 0  x 2   2   2    2   x& 3  0 0 2  x 3  x3   x1  0   x1   x&1  2 1 0 x   x&    x  2 0 2 1  y1   1 1 1 0 0    2   2  x =  x& 3  = 0 0 2   x3  ,  y   0 1 1 0 0  3    2        x4  & 3 1 − x x  4   4  x5   x& 5  0   0 − 3  x5    Nguyeân lyù ñoái ngaãu Baây giôø chuùng ta nghieân cöùu moái quan heä giöõa khaû naêng ñieàu khieån vaø khaû naêng quan saùt. Chuùng ta giôùi thieäu nguyeân lyù ñoái ngaãu cuûa Kalman, laøm roõ söï töông töï hieån nhieân giöõa khaû naêng ñieàu khieån vaø khaû naêng quan saùt. Xeùt heä thoáng S1 ñöôïc moâ taû bôûi x& = Ax + Bu y = Cx Vôùi x = vector traïng thaùi (n - vector). u = vector ñieàu khieån (r – vector) y = vector ra (m - vector). B = ma-traän n × r , C = ma-traän m × n , A = ma-traän n × n , 56 vaø heä thoáng S2 ñöôïc moâ taû bôûi z& = A∗ z + C ∗ v n = B∗ z Vôùi z = vector traïng thaùi (n - vector). v = vector ñieàu khieån (r – vector) n = vector ra (m - vector). A* = chuyeån vò lieân hôïp cuûa A, B* = chuyeån vò lieân hôïp cuûa B. C* = chuyeån vò lieân hôïp cuûa C. Nguyeân lyù ñoái ngaãu phaùt bieåu raèng heä thoáng S1 laø coù theå ñieàu khieån traïng thaùi hoaøn toaøn (coù theå quan saùt hoaøn toaøn) neáu vaø chæ neáu heä thoáng S2 laø coù theå quan saùt hoaøn toaøn (coù theå ñieàu khieån traïng thaùi hoaøn toaøn). Ñeå laøm roõ nguyeân lyù naøy, chuùng ta vieát ñieàu kieän caàn vaø ñuû ñeå heä thoáng coù khaû naêng ñieàu khieån traïng thaùi hoaøn toaøn vaø khaû naêng quan saùt hoaøn toaøn vôùi S1 vaø S2. Vôùi heä thoáng S1 1. Ñieàu kieän caàn vaø ñuû cho khaû naêng ñieàu khieån ñöôïc traïng thaùi hoaøn toaøn laø haïng cuûa ma-traän n × nr [B M AB M . . . M An−1 B] baèng n. 2. Ñieàu kieän caàn vaø ñuû cho khaû naêng quan saùt hoaøn toaøn laø haïng cuûa ma-traän n × nm 57 [C ∗ M A∗C ∗ M . . . M ( A∗ ) n −1 C ∗ ] baèng n. Vôùi heä thoáng S2 1. Ñieàu kieän caàn vaø ñuû cho khaû naêng ñieàu khieån ñöôïc traïng thaùi hoaøn toaøn laø haïng cuûa ma-traän n × nm [C ∗ M A∗C ∗ M . . . M ( A∗ ) n−1 C ∗ ] baèng n 2. Ñieàu kieän caàn vaø ñuû cho khaû naêng quan saùt hoaøn toaøn laø haïng cuûa ma-traän n × nr [B M AB M . . . M An−1 B] baèng n. Baèng caùch so saùnh caùc ñieàu kieän, ta nhaän thaáy nguyeân lyù naøy hieån nhieân ñuùng. Baèng caùch söû duïng nguyeân lyù naøy, khaû naêng quan saùt cuûa moät heä thoáng cho tröôùc coù theå ñöôïc kieåm tra baèng vieäc thöû khaû naêng ñieàu khieån traïng thaùi ñoái ngaãu cuûa noù . 58 9-6. THIEÁT LAÄP PHÖÔNG TRÌNH KGTT DAÏNG CHUAÅN TAÉC. Thieát laäp phöông trình khoâng gian traïng thaùi daïng coù theå ñieàu khieån ñöôïc, coù theå quan saùt ñöôïc, ñöôøng cheùo hoaëc daïng Jordan chuaån. Bieåu dieãn khoâng gian traïng thaùi daïng chuaån taéc. Xeùt heä thoáng sau: (n) ( n −1) (n) ( n −1) y = a1 y + . . . + a n −1 y& + a n y = b0 u + b1u + . . . + bn −1u& + bn u Vôùi u laø tín hieäu vaøo vaø y laø tín hieäu ra, phöông trình naøy cuõng coù theå ñöôïc vieát: Y ( s ) b0 s n + b1 s n −1 + . . . + bn −1 s + bn = n U ( s) s + a1 s n −1 + . . . + a n −1 s + a n (9-55) Ba phöông phaùp ñeå thieát laäp bieåu dieãn khoâng gian traïng thaùi ôû daïng chuaån taéc: 1. Phöông phaùp laäp trình tröïc tieáp ñeå thieát laäp daïng chuaån taéc coù theå ñieàu khieån ñöôïc. 2. Phöông phaùp laäp trình aån ñeå thieát laäp daïng chuaån taéc coù theå quan saùt ñöôïc. 3. Phöông phaùp laäp trình khai trieån phaân soá ñeå thieát laäp daïng chuaån taéc Jordan hoaëc daïng chuaån taéc ñöôøng cheùo. Phöông phaùp laäp trình tröïc tieáp. Phöông trình (9-55) coù theå ñöôïc vieát nhö sau: (b1 − a1b0 ) s n −1 + . . . + (bn −1 − a n −1b0 ) s + (bn − a n b0 ) Y ( s) = b0 + U ( s) s n + a1 s n −1 + . . . + a n −1 s + a n Y ( s ) = b0U ( s ) + Yˆ ( s ) (9-56) 59 Vôùi n −1 ( b − a b ) s + . . . + (bn −1 − a n −1b0 ) s + (bn − a n b0 ) 1 1 0 Yˆ ( s) = U ( s) s n + a1 s n −1 + . . . + a n −1 s + a n Yˆ ( s ) U (s) = = Q( s ) (b1 − a1b0 ) s n−1 + . . . + (bn −1 − an −1b0 ) s + (bn − an b0 ) s n + a1 s n−1 + . . . + an −1 s + an Töø phöông trình cuoái cuøng naøy, hai phöông trình sau ñöôïc thieát laäp. s n Q( s) = −a1 s n −1Q( s) − . . . − a n −1 sQ( s) − a n Q( s) + U ( s) (9-57) Yˆ ( s) = (b1 − a1b0 ) s n −1Q( s) + . . . + (bn −1 − an −1b0 ) sQ( s) + (bn − anb0 )Q( s) (9-58) Định nghĩa caùc bieán nhö sau: X 1 ( s ) = Q( s ) X 2 ( s ) = sQ( s ) . . . X n −1 ( s ) = s n − 2 Q( s ) X n ( s ) = s n − 1Q ( s ) Khi ñoù: sX 1 ( s) = X 2 ( s ) sX 2 ( s ) = X 3 ( s ) . . . sX n −1 ( s) = X n ( s) 60 Chuùng coù theå vieát laïi nhö sau: x&1 = x2 x& 2 = x3 . . . x& n −1 = xn Chuù yù raèng s n Q(s) = sX n (s) . Phöông trình (9-57) coù theå ñöôïc vieát sX n ( s ) = − a1 X n − . . . − a n −1 X 2 ( s ) − a n X 1 ( s ) + U ( s ) Hay x& n = −a n x1 − a n−1 x2 − . . . − a1 xn ( s) + U ( s) Cuõng töø phöông trình (9-56) vaø (9-58), ta coù: Y ( s) = b0U ( s) + (b1 − a1b0 ) s n −1Q( s) + . . . + (bn −1 − an −1b0 ) sQ( s) + (bn − an b0 )Q( s) = b0U ( s) + (b1 − a1b0 ) X n ( s) + . . . + (bn −1 − an −1b0 ) X 2 ( s) + (bn − an b0 ) X 1 ( s ) Bieán ñoåi Laplace cuûa phöông trình ra naøy laø: y = (bn − a n b0 ) x1 + (bn −1 − an −1b0 ) x2 + . . . + (b1 − a1b0 ) xn + b0 u Khi ñoù phöông trình traïng thaùi vaø phöông trình ra seõ laø: 61  x&1   0  x&   0  2    .   .    . = .   .   .    & x n − 1   0   x& n  − a n  1 0 0 1 . . . . . . 0 0 − a n −1 − an −2 0   x1  0 0   x 2  0     .   .  .   .   .  +  .  u .   .  .     . . . 1   x n −1  0 . . . − a1   xn  1 ... ...  x1  x   2 . y = bn − a n b0 M bn −1 − a n −1b0 M . . . M b1 − a1b0   b0 u . .    xn  [ ] (9-59) (9-60) Caùch bieåu dieãn khoâng gian traïng thaùi ñöôïc ñöa ra bôûi phöông trình (9-59) vaø (9-60) ñöôïc goïi laø daïng chuaån taéc coù theå ñieàu khieån ñöôïc. Daïng chuaån taéc coù theå ñieàu khieån ñöôïc laø quan troïng trong kyõ thuaät nghieân cöùu phöông phaùp thay theá cöïc trong thieát keá heä thoáng ñieàu khieån. 62 + b0 u + + + b1 – a1b0 ∫ _ + + b2 – a2b0 + + bn-1 – an-1b0 ∫ xn + bn – anb0 ∫ xn-1 a1 + y an-1 a2 + x1 x2 + + an + + Hình 9-7. Bieåu dieãn sô ñoà khoái cuûa heä thoáng ñöôïc cho bôûi phöông trình (9-59), (9-60). Phöông phaùp laäp trình aån. Xeùt heä thoáng haøm truyeàn xaùc ñònh bôûi phöông trình (9-55). Y ( s ) b0 s n + b1 s n −1 + . . . + bn −1 s + bn = n U (s) s + a1 s n −1 + . . . + a n −1 s + a n (9-55) Phöông trình naøy coù theå vieát thaønh daïng sau: s n [Y ( s) − b0U ( s)] + s n −1[a1Y ( s ) − b1U ( s)] + . . . + s[an −1Y ( s) − bn −1U ( s )] + anY ( s) − bnU ( s ) = 0 Chia hai veá cho sn vaø saép xeáp laïi ta coù: 1 Y ( s) = b0U ( s ) + [b1U ( s ) − a1Y ( s)] + . . . s 1 1 + n−1 [bn −1U ( s) − a n −1Y ( s)] + n [bnU ( s ) − a nY ( s)] s s (9-61) 63 Baây giôø ta ñònh nghóa caùc bieán traïng thaùi nhö sau: 1 X n ( s ) = [bU 1 ( s ) − a1Y ( s ) + X n −1 ( s )] s 1 X n −1 ( s) = [b2U ( s) − a2Y ( s ) + X n − 2 ( s )] s . . . 1 X 2 ( s) = [bn −1U ( s) − an −1Y ( s ) + X 1 ( s )] s 1 X 1 ( s) = [bnU ( s ) − anY ( s )] s Phöông trình (9-61) coù theå ñöôïc vieát laïi: Y ( s ) = b0U ( s ) + X n ( s ) (9-63) Thay theá phöông trình (9-63) vaøo (9-62) vaø nhaân caû hai veá cuûa phöông trình vôùi s, ta coù: sX n ( s ) = X n −1 ( s) − a1 X n ( s) + (b1 − a1b0 )U ( s) sX n −1 ( s ) = X n − 2 ( s) − a2 X n ( s ) + (b2 − a 2b0 )U ( s ) . . sX 2 ( s) = X 1 ( s ) − a n −1 X n ( s ) + (bn −1 − an −1b0 )U ( s ) sX 1 ( s ) = −a n X n ( s ) + (bn − an b0 )U ( s ) 64 Laáy bieán ñoåi Laplace ngöôïc vaø saép xeáp laïi: x&1 = −an xn + (bn − an b0 )u x& 2 = x1 − an −1 xn + (bn −1 − an −1b0 )u . . x& n −1 = xn −2 − a2 xn + (b2 − a2 b0 )u x& n = xn −1 − a1 xn + (b1 − a1b0 )u Cuõng laáy bieán ñoåi Laplace ngöôïc cuûa phöông trình (9-63) y = xn + b0u u bn – anb0 bn-1 – an-1b0 + + ∫ _ x1 an + _ an-1 b0 b1 – a1b0 + ∫ x2 xn-1 + + ∫ _ + y xn a1 Hình 9-8. Bieåu dieãn sô ñoà khoái cuûa heä thoáng ñöa ra bôûi phöông trình (9-64) vaø (9-65). Vieát lạïi phöông trình ra vaø phöông trình traïng thaùi ôû daïng vector – ma traän chuaån. 65  x&1  0 0 . . . 0  x&  1 0 . . . 0  2   .  . . .  = .  .  . .  .  . . .     x& n  0 0 . . . 1 − an   x1   bn − a n b0  − an −1   x2  bn −1 − a n −1b0       . .  .   u   +  . .  .     . .  .       − a1   xn   b1 − a1b0   x1  x   2   .    y = [0 0 . . . 0 1] .  + b0 u  .     xn −1   xn  (9-64) (9-65) Bieåu dieãn khoâng gian traïng thaùi ñöa ra bôûi phöông trình (9-64) vaø (9-65) ñöôïc goïi laø daïng chuaån taéc quan saùt ñöôïc. Chuù yù raèng ma-traän traïng thaùi n × n cuûa phöông trình traïng thaùi ñöa ra bôûi phöông trình (9-64) laø chuyeån vò cuûa phöông trình traïng thaùi xaùc ñònh bôûi PT (9-59). Phöông phaùp laäp trình khai trieån phaân soá. Xeùt haøm truyeàn heä thoáng ñöôïc xaùc ñònh bôûi phöông trình (9-55). Tröôùc heát chuùng ta xem xeùt tröôøng hôïp ña thöùc maãu soá chöùa caùc nghieäm rieâng bieät. Sau ñoù chuùng ta xeùt tröôøng hôïp ña thöùc maãu soá chöùa nghieäm boäi. 66 Tröôøng hôïp caùc nghieäm rieâng bieät, phöông trình (9-55) coù theå ñöôïc vieát: n n −1 cn c1 c2 Y ( s ) b0 s + b1 s + . . . + bn −1 s + bn = = b0 + + + ... + U ( s ) ( s − p1 )( s − p 2 ) . . . ( s − p n ) s − p1 s − p 2 s − pn Vì pi ≠ p j neân phöông trình cuoái cuøng naøy coù theå ñöôïc vieát Y ( s ) = b0U ( s ) + cn c1 c2 U (s) + U (s) + . . . + U ( s) s − p1 s − p2 s − pn (9-66) Xaùc ñònh caùc bieán traïng thaùi nhö sau: X 1 ( s) = 1 1 U ( s ); X 2 ( s ) = U ( s ); s − p1 s − p2 . . . X n (s) = 1 U (s) s − pn Hay sX 1 ( s) = p1 X 1 ( s ) + U ( s) sX 2 ( s ) = p2 X 2 ( s ) + U ( s ) . . . sX n ( s) = p n X n ( s ) + U ( s ) 67 Laáy bieán ñoåi Laplace ngöôïc cuûa caùc phöông trình naøy: x&1 = p1 x1 + u x& 2 = p 2 x 2 + u . . . x& n = p n xn + u (9-66) coù theå ñöôïc vieát döôùi daïng Xi(s) Y ( s ) = b0U ( s ) + c1 X 1 ( s ) + c 2 X 1 ( s ) + . . . + c n X n ( s ) Laáy bieán ñoåi Laplace ngöôïc, ta coù: y = c1 x1 + c2 x 2 + . . . + cn x n + b0 u Phöông trình vaø phöông trình traïng thaùi coù theå vieát döôùi daïng chuaån sau  x&1   p1  x&    2  .   = .  .      x& n   0 p2 . . . 0   x1   1   x   1   2    .   .     +  u  .   .   .   .      p n   xn   1  (9-67) 68 y = [c1 c2  x1  x   2 . . . . c n ]   + b0 u . .    xn  (9-68) b0 x1 1 s − p1 u x2 1 s − p2 + c1 c2 . . . . . . 1 cn s − p1 + + + y + Hình 9-9. Bieåu dieãn sô ñoà khoái cuûa heä thoáng ñöôïc ñöa ra bôûi phöông trình (9-67), (9-68) Bieåu dieãn khoâng gian traïng thaùi ñöôïc ñöa bôûi phöông trình (9-67), (9-68) ñöôïc goïi laø daïng chuaån taéc ñöôøng cheùo. 69 Tröôøng hôïp ña thöùc maãu cuûa phöông trình (9-55) coù nghieäm boäi. daïng chuaån taéc ñöôøng cheùo ôû treân phaûi ñöôïc söûa ñoåi thaønh daïng chuaån taéc Jordan. Chaúng haïn, giaû söû raèng caùc pi laø sai khaùc töø caùc thaønh phaàn khaùc, tröø ba thaønh phaàn pi ñaàu tieân laø baèng nhau, hay p1 = p 2 = p3 . Daïng thöøa soá cuûa Y (s) / U (s) laø: b0 s n + b1 s n −1 + . . . + bn −1 s + bn Y ( s) = U ( s) ( s − p1 ) 3 ( s − p 4 )( s − p5 ) . . . ( s − p n ) Khai trieån phaân soá ta coù: c3 cn c1 c2 c4 + + + . . . + s − pn ( s − p1 ) 3 ( s − p1 ) 2 s − p1 s − p 4 c3 cn c1 c2 c4 Y ( s ) = b0U ( s ) + U ( s ) + U ( s ) + U ( s ) + U ( s ) + . . . + U ( s) ( s − p1 ) 3 ( s − p1 ) 2 s − p1 s − p4 s − pn Y ( s) = b0 + X 1 ( s) = 1 U ( s) ( s − p1 )3 X 2 ( s) = 1 U ( s) ( s − p1 ) 2 X 3 ( s) = 1 U (s) s − p1 X 4 ( s) = 1 U ( s) s − p4 9-69) . . . X n ( s) = 1 U ( s) s − pn 70 Chuù yù raèng giöõa X 1 ( s ), X 2 ( s ) vaø X 3 ( s) coù moái quan heä sau: X 1 (s) X (s) 1 1 = , 2 = X 2 ( s ) s − p1 X 3 ( s ) s − p1 Khi ñoù ta ñònh nghóa caùc bieán traïng thaùi ôû treân vaø moái quan heä tröôùc ñoù, ta coù: sX 1 ( s ) = p1 X 1 ( s ) + X 2 ( s ) sX 3 ( s ) = p1 X 3 ( s ) + U ( s ) x&1 = p1 x1 + x2 x& 2 = p1 x 2 + x3 sX 4 ( s ) = p4 X 4 ( s ) + U ( s ) x&3 = p1 x3 + u sX 2 ( s ) = p1 X 2 ( s ) + X 3 ( s ) . . . sX n ( s ) = pn X n ( s ) + U ( s ) , x& 4 = p 4 x4 + u . . . x& n = p n x n + u Phöông trình ra, phöông trình (9-69) coù theå ñöôïc vieát: Y ( s ) = b0U ( s ) + c1 X 1 ( s ) + c 2 X 2 ( s ) + c3 X 3 ( s ) + c 4 X 4 ( s ) + . . . + c n X n ( s ) Bieán ñoåi Laplace ngöôïc cuûa phöông trình ra naøy laø: y = c1 x1 + c 2 x 2 + c3 x3 + c 4 x 4 + . . . + c n x n + b0 u Vì theá bieåu dieãn khoâng gian traïng thaùi cuûa heä thoáng cho tröôøng hôïp ña thöùc maãu soá coù ba nghieäm p1 coù theå ñöôïc vieát: 71  p1 1 & x  1   x&   0 p 1  2   x&3     0 0  x&4  =  0 . . . .    . .  . .   .  x&n   0 ... 0 1 p1 0 . . . 0 0 . . 0 p4 . . . . . . . . . 0 0  x1   0   .     x 0 .  2     x3   1  0     x 1 0   4 +  u  .   .       .   .   .   .      x   1  pn   n    (9-70)  x1  x   2 . y = [c1 c 2 . . . c n ]   + b0 u . (9-71) .    x n  Bieåu dieãn khoâng gian traïng thaùi ôû daïng ñöa ra bôûi phöông trình (9-70) vaø (9-71) ñöôïc goïi laø daïng chuaån taéc Jordan. 72 b0 + + c3 + + c2 u 1 s − p1 1 x3 s − p1 1 s − p1 x4 x2 s − p1 x1 c1 c4 + + y + + + .. . .. . 1 s − pn 1 xn cn Hình 9-10. Bieåu dieãn sô ñoà khoái cuûa heä thoáng cho bôûi phöông trình (9-70), (9-71). VÍ DUÏ 9-15. Xeùt heä thoáng Y (s) s+3 = 2 U ( s) s + 3s + 2 Thieát laäp bieåu dieãn khoâng gian traïng thaùi trong daïng chuaån taéc ñieàu khieån ñöôïc, daïng chuaån taéc quan saùt ñöôïc, vaø daïng chuaån taéc ñöôøng cheùo. 73 Daïng chuaån taéc ñieàu khieån ñöôïc. 1  x1 (t )  0  x&1 (t )   0 =  x& (t ) − 2 − 3  x (t ) + 1 u (t )  2     2    x (t )  y (t ) = [3 1]  1   x 2 (t ) Daïng chuaån taéc quan saùt ñöôïc.  x&1 (t )  0 − 2  x1 (t )  3  x& (t ) = 1 − 3  x (t ) + 1 u (t )  2     2    x (t )  y (t ) = [0 1]  1   x 2 (t ) Daïng chuaån taéc ñöôøng cheùo.  x&1 (t )   −1  x& (t )  =  0  2   0   x1 (t )  1 + u (t ) −2   x2 (t )  1  x (t )  y (t ) = [ 2 −1]  1   x2 (t )  74 9-7. TIEÂU CHUAÅN OÅN ÑÒNH LIAPUNOV. OÅn ñònh laø moät trong nhöõng thoâng soá quan troïng nhaát caàn phaûi ñöôïc xaùc ñònh. Neáu heä thoáng laø tuyeán tính vaø döøng, coù theå aùp duïng nhieàu nguyeân lyù oån ñònh khaùc nhau. Trong ñoù coù tieâu chuaån oån ñònh Nyquist vaø tieâu chuaån oån ñònh Routh. Neáu HT phi tuyeán hoaëc tuyeán tính khoâng döøng, khoâng theå aùp duïng ñöôïc caùc tieâu chuaån treân. Phöông phaùp oån ñònh Lipunov 2 (coøn goïi laø phöông phaùp tröïc tieáp) laø moät phöông phaùp chung nhaát ñeå xaùc ñònh tính oån ñònh cuûa heä thoáng phi tuyeán vaø heä thoáng tuyeán tính khoâng döøng, cuõng nhö heä thoáng tuyeán tính döøng hoaëc heä thoáng tuyeán tính khoâng döøng. Hôn nöõa phöông phaùp naøy coøn cho pheùp tính toaùn toái öu hoùa heä thoáng. Phöông phaùp Liapunov 2. 1892 A.M.Liapunov ñöa ra hai phöông phaùp (goïi laø phöông phaùp 1 vaø phöông phaùp 2) ñeå xaùc ñònh tính oån ñònh cuûa heä thoáng ñoäng löïc ñöôïc moâ taû bôûi phöông trình vi phaân coå ñieån. - Phöông phaùp thöù nhaát bao goàm taát caû caùc böôùc trong ñoù söû duïng daïng cuï theå cuûa nghieäm cuûa phöông trình vi phaân. - Phöông phaùp thöù hai khoâng yeâu caàu nghieäm cuûa phöông trình vi phaân. Töùc laø baèng söû duïng phöông phaùp Liapunov 2 chuùng ta coù theå xaùc ñònh tính oån ñònh cuûa heä thoáng maø khoâng caàn phaûi giaûi phöông trình vi phaân. Ñaây laø moät öu ñieåm lôùn bôûi vì vieäc giaûi phöông trình vi phaân phi tuyeán hoaëc khoâng döøng laø raát khoù khaên. 75 Maëc duø phöông phaùp Liapunov 2 khi aùp duïng ñeå phaân tích tính oån ñònh cuûa heä thoáng phi tuyeán yeâu caàu phaûi coù kinh nghieäm vaø kheùo leùo nhöng noù coù theå xaùc ñònh ñoä oån ñònh cuûa nhöõng heä thoáng phi tuyeán maø caùc phöông phaùp khaùc khoâng laøm ñöôïc. Heä thoáng. Xeùt heä thoáng sau: x& = f ( x, t ) (9-72) trong ñoù x laø vector traïng thaùi (n chieàu) vaø f(x, t) laø vector n chieàu maø taát caû caùc phaàn töû cuûa noù laø haøm cuûa x1 , x2 , . . . . xn . Chuùng ta giaû thieát raèng heä phöông trình (9-72) coù nghieäm duy nhaát xuaát phaùt töø ñieàu kieän ñaàu cho tröôùc. Chuùng ta bieåu dieãn nghieäm cuûa phöông trình (9-72) daïng φ (t; x0 , t 0 ) , vôùi x = x0 taïi t = t0. Khi ñoù φ (t ; x0 , t 0 ) = x0 . Traïng thaùi caân baèng. Trong heä phöông trình (9-72), moät traïng thaùi xe, vôùi f ( xe , t ) = 0 vôùi moïi t (9-73) ñöôïc goïi laø traïng thaùi caân baèng cuûa heä thoáng. Neáu heä thoáng tuyeán tính döøng, töùc laø neáu f ( x, t ) = Ax , thì toàn taïi chæ moät traïng thaùi caân baèng neáu A laø nonsingular, vaø toàn taïi voâ soá traïng thaùi caân baèng neáu A laø singular. Vôùi heä thoáng phi tuyeán, coù theå coù moät hoaëc nhieàu traïng thaùi caân baèng. Caùc traïng thaùi naøy töông öùng vôùi nghieäm khoâng ñoåi cuûa heä thoáng ( x = xe vôùi moïi t). Vieäc xaùc ñònh traïng thaùi caân baèng khoâng lieân quan nghieäm cuûa phöông trình vi phaân cuûa heä thoáng (9-72), nhöng chæ coù nghieäm (9-73). Moät traïng thaùi caân baèng ñöôïc caùch ly (caùch ly vôùi nhau) coù theå ñöôïc dòch veà goác toác 76 toïa ñoä, hoaëc f (0, t ) = 0 , baèng vieäc dòch goác toïa ñoä. Trong caùc phaàn sau ñaây chuùng ta phaân tích ñoä oån ñònh cuûa traïng thaùi caân baèng taïi goác toïa ñoä. Ñoä oån ñònh theo quan ñieåm Liapunov. Xeùt moät quaû caàu baùn kính k xung quanh traïng thaùi caân baèng xe. x − xe ≤ k trong ñoù x − xe goïi laø tieâu chuaån oån ñònh Euclidean vaø xaùc ñònh bôûi x − xe = [( x1 − x1e ) 2 + ( x 2 − x 2 e ) 2 + . . . + ( x n − x ne ) 2 ]1 / 2 Xeùt vaø bao goàm taát caû nhöõng ñieåm thoûa maõn x0 − xe ≤ δ S (δ ) bao goàm taát caû nhöõng ñieåm thoûa maõn φ (t ; x0 , t0 ) − xe ≤ ε vôùi moïi t ≥ t 0 Traïng thaùi caân baèng xe cuûa heä thoáng phöông trình (9-72) ñöôïc goïi laø oån ñònh theo quan ñieåm Liapunov neáu töông öùng vôùi moãi S (ε ) coù moät S (δ ) sao cho quyõ ñaïo xuaát phaùt trong S (δ ) khoâng rôøi S (ε ) khi t → ∞ . Soá thöïc δ phuï thuoäc vaøo ε vaø noùi chung cuõng phuï thuoäc vaøo t0, traïng thaùi caân baèng ñöôïc goïi laø oån ñònh ñoàng daïng (uniform). Oån ñònh tieäâm caän Moät traïng thaùi caân baèng xe cuûa heä phöông trình (9-72) ñöôïc goïi laø oån ñònh tieäm caän neáu noù oån ñònh theo quan ñieåm Liapunov vaø neáu baát cöù nghieäm naøo xuaát phaùt trong S (δ ) ñoàng quy, khoâng rôøi S (ε ) , ñeán xe khi t → ∞ . S (ε ) 77 Trong thöïc teá, oån ñònh tieäm caän laø quan troïng hôn oån ñònh thuaàn tuùy (mere stability). Vì oån ñònh tieäm caän laø moät khaùi nieäm coù tính ñòa phöông, ñôn giaûn ñeå thieát laäp oån ñònh tieâïm caän khoâng coù nghóa raèng heä thoáng seõ hoaït ñoäng chính xaùc. Vaøi khaùi nieäm veà kích thöôùc cuûa mieàn lôùn nhaát cuûa oån ñònh tieäm caän caàn ñöôïc xem xeùt. Mieàn naøy ñöôïc goïi laø (domain of attraction). Noù laø moät phaàn cuûa khoâng gian traïng thaùi trong ñoù nhöõng quyõ ñaïo oån ñònh tieäm caän xuaát phaùt. Noùi caùc khaùc, baát kyø quyõ ñaïo naøo xuaát phaùt trong mieàn domain of attraction laø oån ñònh tieäm caän. OÅn ñònh tieäm caän theo nghóa roäng. Neáu oån ñònh tieäm caän thoûa maõn vôùi moïi traïng thaùi (taát caû caùc ñieåm trong khoâng gian traïng thaùi) töø ñoù quyõ ñaïo xuaát phaùt, traïng thaùi caân baèng ñöôïc goïi laø oån ñònh tieäm caän theo nghóa roäng. Töùc laø traïng thaùi caân baèng xe cuûa heä thoáng ñöôïc cho bôûi phöông trình (9-72) ñöôïc goïi laø oån ñònh tieäm caän theo nghóa roäng neáu noù oån ñònh vaø baát kyø nghieäm naøo hoài quy veà xe khi t → ∞ . Hieån nhieân, ñieàu kieän caàn ñeå oån ñònh tieäm caän theo nghóa roäng laø noù chæ coù moät traïng thaùi caân baèng trong toaøn boä khoâng gian traïng thaùi. Trong kyõ thuaät ñieàu khieån, ñieàu mong muoán laø oån ñònh tieäm caän theo nghóa roäng. Neáu traïng thaùi caân baèng khoâng phaûi laø oån ñònh tieäm caän theo nghóa roäng, thì vaán ñeà seõ laø xaùc ñònh mieàn lôùn nhaát cuûa oån ñònh tieäm caän. Ñieàu naøy thöôøng thì raát khoù. Tuy nhieân, vôùi nhöõng muïc ñích thöïc teá, chæ caàn xaùc ñònh mieàn oån ñònh tieäm caän ñuû lôùn ñeå khoâng coù nhieãu vöôït qua noù. 78 Khoâng oån ñònh. Moät traïng thaùi caân baèng xe ñöôïc goïi laø khoâng oån ñònh neáu vôùi moät soá thöïc ε > 0 vaø moät soá thöïc δ > 0, nhoû tuøy yù, luoân toàn taïi moät traïng thaùi x0 trong S(δ) ñeå cho quyõ ñaïo xuaát phaùt taïi traïng thaùi naøy rôøi S(ε). Bieåu dieãn ñoä oån ñònh, oån ñònh tieäm caän vaø khoâng oån ñònh baèng ñoà thò. Xeùt trong khoâng gian hai chieàu. Hình 9-11(a), (b), (c) veõ traïng thaùi caân baèng, vaø quyõ ñaïo ñieån hình töông öùng vôùi tröôøng hôïp oån ñònh, oån ñònh tieäm caän vaø khoâng oån ñònh. Trong hình 9-11(a), (b), (c) mieàn S(δ) bao traïng thaùi ñaàu x0 vaø mieàn S(ε) töông öùng bao quyõ ñaïo xuaát phaùt töø x0. Chuù yù raèng caùc ñònh nghóa treân khoâng xaùc ñònh mieàn chính xaùc cuûa ñieàu kieän ñaàu cho pheùp. Vì vaäy caùc ñònh nghóa aùp duïng cho laân caän cuûa traïng thaùi caân baèng, tröø phi S(ε) töông öùng vôùi toaøn boä maët phaúng traïng thaùi. Chuù yù raèng trong hình 9-11(c), quyõ ñaïo rôøi S(ε) vaø nguï yù raèng traïng thaùi caân baèng laø khoâng oån ñònh. Tuy nhieân, chuùng ta khoâng theå noùi raèng quyõ ñaïo seõ ñi ñeán voâ cuøng vì noù coù theå tieán ñeán moät giôùi haïn beân ngoaøi mieàn S(ε). (Neáu moät heä thoáng tuyeán tính döøng laø khoâng oån ñònh, quyõ ñaïo xuaát phaùt gaàn traïng thaùi caân baèng khoâng oån ñònh ñi ñeán voâ cuøng. Nhöng trong tröôøng hôïp nhöõng heä thoáng phi tuyeán, ñieàu naøy khoâng caàn ñuùng). Kieán thöùc veà caùc ñònh nghóa treân laø yeâu caàu toái thieåu veà nhöõng hieåu bieát veà phaân tích oån ñònh cuûa heä thoáng tuyeán tính vaø phi tuyeán ñöôïc bieåu dieãn ôû phaàn naøy. 79 S(ε) S(ε) S(δ) S(ε) S(δ) X0 Xe (a) S(δ) X0 Xe (b) X0 Xe (c) Hình 9-11. (a) Traïng thaùi caân baèng oån ñònh. (b) Traïng thaùi caân baèng oån ñònh tieäm caän. (c) Traïng thaùi caân baèng khoâng oån ñònh. Chuù yù raèng nhöõng ñònh nghóa naøy khoâng chæ laø moät khaùi nieäm ñònh nghóa veà oån ñònh cuûa traïng thaùi caân baèng. Trong thöïc teá, coù nhieàu caùch khaùc nhau. Chaúng haïn trong lyù thuyeát ñieàu khieån coå ñieån thoâng thöôøng, chæ nhöõng heä thoáng oån ñònh tieäm caän môùi ñöôïc goïi laø oån ñònh, vaø nhöõng heä thoáng ñoù laø oån ñònh theo quan ñieåm Liapunov, nhöng khoâng oån ñònh tieäm caän thì ñöôïc goïi laø khoâng oån ñònh. Tính xaùc ñònh döông cuûa haøm voâ höôùng Moät haøm voâ höôùng V(x) ñöôïc goïi laø xaùc ñònh döông trong mieàn Ω (bao goàm goác toïa ñoä cuûa khoâng gian traïng thaùi) neáu V(x) > 0 vôùi taát caû traïng thaùi x ≠ 0 trong mieàn Ω vaø V(0) = 0. Moät haøm khoâng döøng V(x,t) ñöôïc goïi laø xaùc ñònh döông trong mieàn Ω (bao goàm goác 80 toïa ñoä cuûa khoâng gian traïng thaùi) neáu noù ñöôïc bao töø döôùi bôûi moät haøm xaùc ñònh döông döøng, töùc laø, toàm taïi moät haøm xaùc ñònh döông V(x) thoûa V ( x, t ) > V ( x) vôùi moïi t ≥ t 0 V (0, t ) = 0 vôùi moïi t ≥ t 0 Tính xaùc ñònh aâm cuûa haøm voâ höôùng. Moät haøm voâ höôùng V(x) ñöôïc goïi laø xaùc ñònh aâm neáu – V(x) laø xaùc ñònh döông. Tính baùn ñònh döông cuûa haøm voâ höôùng. Moät haøm voâ höôùng V(x) ñöôïc goïi laø baùn ñònh döông neáu noù döông vôùi taát caû traïng thaùi trong mieàn Ω ngoaïi tröø taïi goác toïa ñoä vaø taïi caùc traïng thaùi khaùc nhaát ñònh, taïi ñoù noù baèng 0. Tính baùn ñònh aâm cuûa haøm voâ höôùng. Moät haøm voâ höôùng V(x) ñöôïc goïi laø baùn xaùc ñònh aâm neáu – V(x) laø baùn ñònh döông. Tính khoâng xaùc ñònh cuûa haøm voâ höôùng. Moät haøm voâ höôùng V(x) ñöôïc goïi laø khoâng xaùc ñònh neáu trong mieàn Ω noù giaû thieát laø coù caû caùc giaù trò aâm vaø caùc giaù trò döông, mieàn Ω nhoû tuøy yù. 81 VÍ DUÏ 9-16. Trong ví duï naøy chuùng ta ñöa ra moät vaøi haøm voâ höôùng vaø phaân loaïi chuùng theo caùc ñònh nghóa treân. ÔÛ ñaây chuùng ta giaû thieát x laø vector hai chieàu. 2 2 1. V ( x) = x1 + 2 x 2 xaùc ñònh döông. baùn xaùc ñònh döông. 2. V ( x) = ( x1 + x2 ) 2 xaùc ñònh aâm. 3. V ( x) = − x12 − (3x1 + 2 x2 ) 2 2 4. V ( x) = x1 x2 + x 2 khoâng xaùc ñònh. 5. 2 x 22 V ( x) = x + 1 + x 22 xaùc ñònh döông. 2 1 Daïng toaøn phöông. Moät daïng haøm voâ höôùng ñoùng vai troø quan troïng trong phaân tích oån ñònh döïa treân phöông phaùp oån ñònh Liapunov 2 laø daïng toaøn phöông. Ví duï. V ( x) = x T Px = [x1 x2  p11 p  12  . . . . xn ]   .  .   p1n p 21 . . . p 22 . . . . . . . . . p2n p1n   x1  p 2 n   x 2  .  .    .  .  .  .    p nn   x n  Chuù yù raèng x laø vector thöïc vaø P laø ma-traän ñoái xöùng thöïc (∈ R). 82 Daïng Hermitlan. Neáu x laø moät vector phöùc n chieàu vaø P laø moät ma-traän Hermitlan, thì daïng toaøn phöông phöùc ñöôïc goïi laø daïng Hermitlan. Ví duï V ( x) = x∗ Px = [ x1 x2  p11 p  12  . . . . xn ]   .  .   p1n p21 . . . p22 . . . . . . . . . p2 n p1n   x1  p2 n   x2  .  .    .  .  .  .    pnn   xn  Trong vieäc phaân tích trong oån ñònh khoâng gian traïng thaùi, chuùng ta thöôøng söû duïng daïng Hermitlan, nhieàu hôn daïng toaøn phöông vì daïng Hermitlan toång quaùt hôn daïng toaøn phöông (vôùi vector thöïc x vaø ma-traän ñoái xöùng thöïc P, daïng Hermitlan x*Px baèng daïng toaøn phöông xTPx). Tính xaùc ñònh döông cuûa daïng toaøn phöông hay daïng Hermitlan V(x) coù theå xaùc ñònh baèng nguyeân lyù Sylvester, nhö sau: Ñieàu kieän caàn vaø ñuû ñeå daïng toaøn phöông hoaëc daïng Hermitlan V(x) laø xaùc ñònh döông laø taát caû caùc ñònh thöùc con chính cuûa P laø döông; töùc laø 83 p11 > 0, p11 p12 p12 > 0, p 22 ... ,  p11 p  12  .   .  .   p1n p 21 p 22 . . . p2n . . . . . . . . . p1n  p 2 n  .  > 0 .  .   p nn  (Chuù yù raèng pi j laø lieân hôïp phöùc cuûa pi j , vôùi daïng toaøn phöông p i j = p i j ). V(x) = x*Px laø baùn xaùc ñònh döông neáu P laø singular vaø taát caû caùc ñònh thöùc con chính laø khoâng aâm. V(x) laø xaùc ñònh aâm neáu – V(x) laø xaùc ñònh döông. Töông töï, V(x) laø baùn xaùc ñònh aâm neáu – V(x) laø baùn xaùc ñònh döông. VÍ DUÏ 9-17. Chöùng minh raèng daïng toaøn phöông sau laø xaùc ñònh döông. V ( x ) = 10 x12 + 4 x 22 + x32 + 2 x1 x 2 − 2 x 2 x3 − 4 x1 x3 V ( x) = x T Px = [x1 1 − 2  x1   10 x3 ]  1 4 − 1   x 2  − 2 − 1 1   x3  x2 Aùp duïng nguyeân lyù Sylvester, coù 10 > 0, 10 1 1 4 10 > 0, 1 −2 1 4 −1 > 0 − 2 −1 1 84 Vì taát caû caùc ñònh thöùc con chính cuûa ma-traän P laø döông, V(x) laø xaùc ñònh döông. Phöông phaùp oån ñònh Liapunov 2. Töø lyù thuyeát coå ñieån veà cô khí, chuùng ta bieát raèng heä thoáng dao ñoäng laø oån ñònh neáu toång naêng löôïng cuûa noù (moät haøm xaùc ñònh döông) laø giaûm lieân tuïc (coù nghóa laø vi phaân theo t cuûa toång naêng löôïng laø xaùc ñònh aâm) cho ñeán khi ñaït traïng thaùi caân baèng. Phöông phaùp Liapunov 2 döïa treân vieäc toång quaùt hoùa sau: neáu moät heä thoáng coù traïng thaùi caân baèng oån ñònh tieäm caän, thì naêng löôïng tích luõy cuûa heä thoáng chæ thò (display) trong damain of attraction suy giaûm theo thôøi gian cho ñeán khi ñaït giaù trò naêng löôïng cöïc tieåu taïi traïng thaùi caân baèng. Tuy nhieân trong caùc heä thoáng toaùn hoïc thuaàn tuùy, khoâng coù moät caùch ñôn giaûn ñeå xaùc ñònh “haøm naêng löôïng”. Ñeå vöôït qua khoù khaên naøy, Liapunov giôùi thieäu haøm Liapunov, laø moät haøm naêng löôïng aûo. Tuy nhieân, yù kieán naøy toång quaùt hôn haøm naêng löôïng vaø ñöôïc söû duïng roäng raõi. (vôùi heä thoáng ñôn giaûn, chuùng ta coù theå ñoaùn haøm Liapunov phuø hôïp, nhöng vôùi moät heä thoáng phöùc taïp, vieäc tìm haøm Liapunov raát khoù khaên). Haøm Liapunov phuï thuoäc vaøo x1 , x2 , . . . , xn vaø t. Chuùng ta kyù hieäu chuùng laø V ( x1 , x2 , . . . , x n , t ) hay V(x, t). Neáu haøm Liapunov khoâng bao goàm bieán t thì kyù hieäu laø V ( x1 , x 2 , . . . , x n ) hay V(x). Trong phöông phaùp Liapunov 2, ñaùp öùng daáu cuûa V(x, t), V& ( x, t ) = dV ( x, t ) / dt cho chuùng ta nhöõng thoâng tin veà ñoä oån ñònh, oån ñònh tieäm caän hoaëc khoâng oån ñònh cuûa traïng thaùi caân baèng maø khoâng yeâu caàu chuùng ta giaûi tröïc tieáp ra nghieäm (ñieàu naøy aùp duïng cho caû heä thoáng tuyeán tính vaø phi tuyeán). 85 Ñònh lyù oån ñònh Liapunov. Coù theå chöùng minh raèng neáu moät haøm voâ höôùng V(x), trong ñoù x laø vector n chieàu, laø xaùc ñònh döông, thì traïng thaùi x thoûa V ( x) = C trong ñoù C laø moät haèng soá döông, naèm trong moät hypersurface kín trong khoâng gian traïng thaùi n chieàu, ít nhaát laø trong laân caän cuûa goác toïa ñoä. Neáu V (x) → ∞ khi x → ∞ , thì beà maët kín ñoù môû roäng treân toaøn boä khoâng gian traïng thaùi. Hypersurface V(x) = C1 naèm trong toaøm boä beân trong hypersurface V(x) = C2 neáu C1 < C2. Vôùi moät heä thoáng cho tröôùc, neáu haøm voâ höôùng xaùc ñònh döông V(x) coù theå ñöôïc tìm thaáy sao cho ñaïo haøm theo thôøi gian cuûa noù doïc theo quyõ ñaïo laø luoân luoân aâm, khi t taêng, V(x) laáy giaù trò caøng ngaøy caøng nhoû hôn C. Khi t taêng thì cuoái cuøng V(x) thu veà giaù trò 0. Ñieàu naøy coù nghóa oån ñònh tieäm caän cuûa goác toïa ñoä cuûa khoâng gian traïng thaùi. Ñònh lyù oån ñònh Liapunov cung caáp moät ñieàu kieän ñuû cho oån ñònh tieäm caän. Ñònh lyù naøy coøn coù theå phaùt bieåu nhö sau: Ñònh lyù 9-1. Giaû söû heä thoáng ñöôïc moâ taû bôûi x& = f ( x, t ) f (0, t ) = 0 vôùi moïi t. trong ñoù Neáu toàn taïi moät haøm voâ höôùng V(x, t) lieân tuïc, coù ñaïo haøm rieâng baäc nhaát vaø thoûa caùc ñieàu kieän sau: 86 1. V ( x, t ) laø xaùc ñònh döông. 2. V& ( x, t ) laø xaùc ñònh aâm. thì traïng thaùi caân baèng taïi goác toïa ñoä laø oån ñònh tieäm caän ñoàng daïng. Hôn nöõa, neáu V ( x, t ) → ∞ khi x → ∞ thì traïng thaùi caân baèng taïi goác toïa ñoä laø oån ñònh ñoàng daïng theo nghóa roäng. Chuùng ta ñöa ra chi tieát chöùng minh ñònh lyù naøy. (Xem baøi taäp A-9-15). VÍ DUÏ 9-18. Xeùt heä thoáng x&1 = x 2 − x1 ( x12 + x 22 ) x& 2 = − x1 − x 2 ( x12 + x 22 ) Roõ raøng taïi goác toïa ñoä (x1 = 0, x2 = 0) laø traïng thaùi caân baèng, xaùc ñònh tính oån ñònh cuûa noù. Neáu chuùng ta xaùc ñònh haøm voâ höôùng V(x) sau V ( x) = x12 + x 22 xaùc ñònh döông, thì vi phaân cuûa V(x) doïc theo quyõ ñaïo baát kyø laø V& ( x) = 2 x1 x&1 + 2 x 2 x& 2 = −2( x12 + x 22 ) 2 V& (x) xaùc ñònh aâm. Ñieàu naøy chöùng minh raèng V(x) giaûm lieân tuïc theo moät quyõ ñaïo baát kyø, vì vaäy V(x) laø moät haøm Liapunov. Vì V ( x) → ∞, khi x → ∞ töø traïng thaùi caân baèng theo ñònh lyù 9-1, traïng thaùi caân baèng taïi goác cuûa heä thoáng laø oån ñònh tieäm caän theo nghóa roäng. Chuù yù raèng neáu chuùng ta xeùt V(x) laáy caùc giaù trò haèng soá 0, C1 , C 2 , . . . (0 < C1 < C 2 < . . .) thì 87 V(x) = 0 töông öùng vôùi goác cuûa maët phaúng traïng thaùi vaø V ( x) = C1 , V ( x) = C 2 . . . moâ taû nhöõng ñöôøng khoâng giao nhau bao kín goác toïa ñoä, hình (9-12). Chuù yù raèng vì V(x) khoâng bao toûa troøn, hay V (x) → ∞ khi x → ∞ , ñöôøng troøn môû roäng ra toaøn boä maët phaúng traïng thaùi. Vì ñöôøng troøn V ( x) = C k naèm hoaøn toaøn trong voøng V ( x) = C k +1 , ñöôøng quyõ ñaïo bieåu dieãn vöôït qua caùc ñöôøng bao V(x) töø beân ngoaøi ñi vaøo beân trong. Töø ñoù, caùch dieãn giaûi hình hoïc cuûa haøm Liapunov coù theå ñöôïc phaùt bieåu nhö sau: V(x) laø pheùp ño khoaûng caùch cuûa traïng thaùi x töø goác toïa ñoä cuûa khoâng gian traïng thaùi. Neáu khoaûng caùch giöõa goác toïa ñoä vaø traïng thaùi töùc thôøi V(x) laø giaûm lieân tuïc khi t taêng [töùc laø V& ( x) < 0 ], thì x(t ) → 0 . x2 V= C3 V= C2 V= C1 x1 V taêng Hình 9-12. Quyõ ñaïo bieåu dieãn caùc ñöôøng ñoàng caáp V. Nhaän xeùt: Maëc duø ñònh lyù 9-1 laø moät ñònh lyù cô baûn cuûa phöông phaùp 2, nhöng noù hôi chaët cheû vì V& ( x, t ) phaûi xaùc ñònh aâm. Tuy nhieân, neáu söï chaët cheû chæ theâm vaøo ñöôïc ñeà nghò vôùi V& ( x, t ) laø noù khoâng trieät tieâu ñoàng nhaát doïc theo quyõ ñaïo töø goác toïa ñoä, thì noù coù theå thay yeâu caàu V& ( x, t ) laø moät xaùc ñònh aâm bôûi V& ( x, t ) laø baùn xaùc ñònh aâm. 88 Ñònh lyù 9-2. x& = f ( x, t ) Xeùùt heä thoáng f (0, t ) = 0 trong ñoù vôùi moïi t ≥ t 0 . Neáu toàn taïi moät haøm voâ höôùng V ( x, t ) lieân tuïc, coù ñaïo haøm baäc nhaát vaø thoûa caùc ñieàu kieän sau: 1. V ( x, t ) laø xaùc ñònh döông. 2. V& ( x, t ) laø baùn xaùc ñònh aâm. 3. V& (φ (t ; x0 , t 0 ), t ) khoâng trieät tieâu ñoàng nhaát trong khoaûng t ≥ t 0 vôùi moïi to vaø vôùi moïi x0 ≠ 0 trong ñoù φ (t , x0 , t 0 ) laø quyõ ñaïo hay laø nghieäm xuaát phaùt töø x0, t0 thì traïng thaùi caân baèng taïi goác toïa ñoä cuûa heä thoáng laø oån ñònh tieäm caän ñoàng daïng theo nghóa roäng. Nhaän xeùt. Chuù yù raèng neáu V& ( x, t ) khoâng xaùc ñònh aâm, nhöng chæ laø baùn xaùc ñònh aâm thì quyõ ñaïo cuûa ñieåm bieåu dieãn coù theå laø tieáp tuyeán vôùi beà maët cuï theå naøo ñoù V ( x, t ) = C . Tuy nhieân, vì V& (φ (t ; x 0 , t 0 ), t ) khoâng trieät tieâu ñoàng nhaát khi t ≥ t 0 vôùi moïi t0, x0 ≠ 0 , neân ñieåm bieåu dieãn khoâng theå duy trì taïi ñieåm tieáp xuùc (ñieåm töông öùng vôùi V& ( x, t ) = 0 ) vaø vì vaäy phaûi dòch chuyeån veà goác toïa ñoä. Tính khoâng oån ñònh. Neáu moät traïng thaùi caân baèng x = 0 cuûa heä thoáng laø khoâng oån ñònh thì toàn taïi haøm voâ höôùng W ( x, t ) xaùc ñònh tính oån ñònh cuûa traïng thaùi caân baèng. Đònh lyù oån ñònh nhö sau: 89 Ñònh lyù 9-3. x& = f ( x, t ) Giaû thieát heä thoáng ñöôïc moâ taû nhö sau: trong ñoù f (0, t ) = 0 vôùi moät haøm voâ höôùng W ( x, t ) lieân tuïc, coù ñaïo haøm baäc nhaát, vaø thoûa caùc ñieàu kieän sau: 1. W ( x, t ) laø xaùc ñònh döông trong mieàn laân caän goác toïa ñoä. 2. W& ( x, t ) xaùc ñònh döông trong mieàn ñoù. thì traïng thaùi caân baèng taïi goác toïa ñoä laø khoâng oån ñònh. VÍ DUÏ 9-19. Xeùt heä thoáng sau: 1  x1   x&1   0  x&  = − 1 − 1  x   2  2  Roõ raøng, traïng thaùi caân baèng laø goác toïa ñoä x = 0. Xaùc ñònh ñoä oån ñònh cuûa traïng thaùi naøy. Neáu choïn haøm voâ höôùng Liapunov sau: V ( x) = 2 x12 + x 22 xaùc ñònh döông. V& ( x) = 4 x1 x&1 + 2 x 2 x& 2 = 2 x1 x 2 − 2 x 22 khi ñoù V& (x) laø haøm khoâng xaùc ñònh, coù nghóa laø V (x ) naøy khoâng phaûi laø haøm Liapunov, vaø vì vaäy khoâng theå xaùc ñònh tính oån ñònh vôùi haøm naøy ñöôïc. 90 Neáu choïn haøm Liapunov sau: V ( x) = x12 + x 22 xaùc ñònh döông. thì V& ( x ) = 2 x1 x&1 + 2 x 2 x& 2 = −2 x 22 baùn xaùc ñònh aâm. Neáu V& (x) laø trieät tieâu ñoàng nhaát vôùi t ≥ t1 thì x2 phaûi baèng 0 vôùi moïi t ≥ t1 . Ñieàu naøy yeâu caàu x& 2 = 0 vôùi moïi t ≥ t1 . Vì x& 2 = − x1 − x2 neân x cuõng phaûi baèng 0 vôùi moïi t ≥ t1 . Coù nghóa laø V& ( x) trieät tieâu ñoàng nhaát chæ taïi goác 1 toïa ñoä. Vì vaäy theo ñònh lyù 9-2, traïng thaùi caân baèng taïi goác toïa ñoä laø oån ñònh tieäm caän theo nghóa roäng. Ñeå chöùng minh moät söï löïa choïn khaùc cuûa haøm Liapunov cuõng cho thoâng tin töông töï veà tính oån ñònh, ta choïn haøm Liapunov sau: V ( x) = 12 [( x1 + x 2 ) 2 + 2 x12 + x 22 ] xaùc ñònh döông. V& ( x) = ( x1 + x 2 )( x&1 + x& 2 ) + 2 x1 x&1 + x 2 x& 2 = ( x1 + x 2 )( x 2 − x1 − x 2 ) + 2 x1 x 2 + x 2 (− x1 − x 2 ) = −( x12 + x 22 ) xaùc ñònh aâm. Vì V (x ) → ∞ khi x → ∞ , söû duïng ñònh lyù 9-1, traïng thaùi caân baèng taïi goác toïa ñoä laø oån 91 ñònh tieäm caän theo nghóa roäng. Vì ñònh lyù oån ñònh phöông phaùp Liapunov 2 yeâu caàu tính xaùc ñònh döông V(x), chuùng ta thöôøng (khoâng phaûi luoân luoân) choïn V(x) coù daïng toaøn phöông hay daïng Hermitlan cuûa x (chuù yù raèng haøm xaùc ñònh döông ñôn giaûn nhaát laø daïng toaøn phöông hoaëc Hermitlan). Khi ñoù chuùng ta kieåm tra neáu ít nhaát V& (x) baùn xaùc ñònh aâm. 9-8. PHAÂN TÍCH OÅN ÑÒNH LIAPUNOV CUÛA HEÄ THOÁNG TUYEÁN TÍNH DÖØNG. Coù nhieàu phöông phaùp ñeå nghieân cöùu tính oån ñònh tieäm caän cuûa heä thoáng tuyeán tính döøng. Chaúng haïn vôùi moät heä thoáng lieân tuïc x& = Ax thì ñieàu kieän caàn vaø ñuû ñeå oån ñònh tieäm caän taïi goác toïa ñoä cuûa heä thoáng laø taát caû giaù trò rieâng cuûa A coù phaàn thöïc aâm hoaëc caùc ñieåm 0 cuûa phöông trình ñaëc tính sI − A = s n + a1 s n −1 + . . . + a n −1 s + a n coù phaàn thöïc aâm. Vieäc tìm caùc giaù trò rieâng seõ raát khoù khaên vaø khoâng theå trong tröôøng hôïp caùc heä thoáng baäc cao hoaëc neáu caùc heä soá cuûa ña thöùc ñaëc tính laø khoâng phaûi nhöõng con soá. Trong nhöõng tröôøng hôïp naøy, tieâu chuaån oån ñònh Routh coù theå ñöôïc aùp duïng. Moät phöông phaùp khaùc coù theå söû duïng hieäu quaû laø phöông phaùp Liapunov 2. ÔÛ phöông phaùp naøy khoâng yeâu caàu caùc thöøa soá cuûa phöông trình ñaëc tính. Hôn nöõa phöông phaùp naøy coù theå ñöôïc söû duïng ñeå tìm 92 nghieäm cuûa caùc baøi toaùn toái öu. Muïc ñích cuûa phaàn naøy laø ñöa ra phöông phaùp Liapunov ñeå phaân tích tính oån ñònh cuûa heä thoáng tuyeán tính döøng. Phaân tích tính oån ñònh cuûa heä thoáng tuyeán tính döøng theo tieâu chuaån Liapunov. Xeùt heä thoáng tuyeán tính döøng sau x& = Ax (9-74) trong ñoù x laø vector traïng thaùi n chieàu vaø A laø moät ma-traän haèng n × n . Chuùng ta giaû thieát raèng A laø nonsingular. Khi ñoù chæ coù traïng thaùi caân baèng ôû goác toïa ñoä x = 0. Tính oån ñònh cuûa traïng thaùi caân baèng cuûa heä thoáng tuyeán tính döøng coù theå ñöôïc nghieân cöùu deã daøng baèng caùch söû duïng phöông phaùp Liapunov 2. Vôùi heä thoáng ñöôïc xaùc ñònh bôûi phöông phaùp 9-74. Ta choïn haøm Liapunov sau: V ( x) = x ∗ Px trong ñoù P laø ma-traän Hermitlan xaùc ñònh döông. (Neáu x laø vector thöïc vaø A laø ma-traän thöïc thì choïn ma-traän ñoái xöùng thöïc xaùc ñònh döông). Khi ñoù ta coù: V& ( x) = x& ∗ Px + x ∗ Px& = ( Ax) ∗ Px + x ∗ PAx = x ∗ A∗ Px + x ∗ PAx = x ∗ ( A∗ P + PA) x Vì V(x) ñöôïc choïn ñeå xaùc ñònh döông, neân chuùng ta yeâu caàu ñeå oån ñònh tieäm caän thì V& (x) phaûi xaùc ñònh aâm. Töùc laø yeâu caàu raèng: V& ( x) = − x ∗ Qx 93 vôùi Q = −( A∗ P + PA) = xaùc ñònh döông. Vì vaäy ñeå oån ñònh tieäm caän heä phöông trình (9-74), ñieàu kieän ñuû laø Q phaûi xaùc ñònh döông. Ñeå thöû tính xaùc ñònh döông cuûa ma-traän n × n , chuùng ta söû duïng nguyeân lyù Sylvester, laø: “Ñieàu kieän caàn vaø ñuû ñeå ma-traän laø xaùc ñònh döông laø caùc ña thöùc cuûa taát caû caùc ma-traän chính laø döông.” Thay vì xaùc ñònh ma-traän xaùc ñònh döông P tröôùc vaø thöû Q coù xaùc ñònh döông hay khoâng, ta neân xaùc ñònh ma-traän xaùc ñònh döông Q tröôùc vaø sau ñoù thöû P coù xaùc ñònh döông hay khoâng töø phöông trình: A∗ P + PA = −Q Chuù yù raèng P xaùc ñònh döông laø moät ñieàu kieän caàn vaø ñuû. Ñònh lyù 9-4. Xeùt heä thoáng ñöôïc moâ taû sau ñaây. x& = Ax vôùi x laø vector traïng thaùi n chieàu, vaø A laø ma-traän nonsingular haèng n × n . Moät ñieàu kieän caàn vaø ñuû ñeå traïng thaùi caân baèng x = 0 laø oån ñònh tieäm caän theo nghóa roäng laø vôùi ma-traän Hermitlan (hay ñoái xöùng thöïc) xaùc ñònh döông cho tröôùc, toàn taïi ma-traän Hermitlan (hay ñoái xöùng thöïc) xaùc ñònh döông P thoûa A∗ P + PA = −Q 94 Haøm voâ höôùng x*Px laø haøm Liapunov cuûa heä thoáng naøy. [Chuù yù raèng trong heä thoáng tuyeán tính ñöôïc xeùt, neáu traïng thaùi caân baèng (goác toïa ñoä) laø oån ñònh tieäm caän, thì noù laø oån ñònh tieäm caän theo nghóa roäng]. Nhaän xeùt. Trong aùp duïng ñònh lyù naøy, chuù yù 1. Neáu heä thoáng chæ coù vector traïng thaùi x thöïc vaø ma-traän traïng thaùi A thöïc, thì haøm Liapunov x*Px seõ laø xT Px vaø phöông trình Liapunov seõ laø: AT P + PA = −Q 2. Neáu V& ( x) = − x ∗Qx khoâng trieät tieâu ñoàng nhaát theo quyõ ñaïo naøo ñoù thì Q coù theå ñöôïc choïn laø xaùc ñònh döông. 3. Neáu ta choïn moät ma-traän xaùc ñònh döông ngaãu nhieân laø Q hay laø moät ma-traän baùn xaùc ñònh döông laø Q neáu V& (x) khoâng trieät tieâu ñoàng nhaát theo quyõ ñaïo naøo ñoù vaø giaûi phöông trình ma-traän. A∗ P + PA = −Q ñeå xaùc ñònh P, thì tính xaùc ñònh döông cuûa P laø ñieàu kieän caàn vaø ñuû ñeå oån ñònh tieäm caän cuûa traïng thaùi caân baèng x = 0. Chuù yù raèng V& (x) khoâng trieät tieâu ñoàng nhaát theo quyõ ñaïo naøo ñoù neáu ma-traän xaùc ñònh döông Q thoûa ñieàu kieän haïng sau ñaây. 95  Q1 / 2   1/ 2   Q A    . rank  =n .     .  1 / 2 n −1  Q A  (xem A – 9 –17) 4. Keát quaû cuoái cuøng khoâng phuï thuoäc vaøo ma-traän Q cuï theå ñöôïc choïn cuõng nhö noù laø xaùc ñònh döông (hoaëc coù theå laø baùn xaùc ñònh döông). 5. Ñeå xaùc ñònh caùc phaàn töû cuûa ma-traän P, chuùng ta ñoàng nhaát heä soá caùc ma-traän A∗ P + PA = −Q . Keát quaû laø coù n( n + 1) / 2 phöông trình tuyeán tính ñeå xaùc ñònh caùc phaàn töû pij = p ij cuûa P. neáu chuùng ta goïi caùc giaù trò rieâng cuûa A laø λ1 , λ 2 , . . . , λ n . Vôùi λ j + λ k ≠ 0 thì caùc phaàn töû cuûa P laø xaùc ñònh duy nhaát. Chuù yù raèng neáu ma-traän A bieåu dieãn moät heä thoáng oån ñònh thì toång λ j + λ k luoân khaùc 0. 6. Trong vieäc xaùc ñònh coù toàn taïi ma-traän Hermitlan xaùc ñònh döông hay ma-traän ñoái xöùng P hay khoâng, thöôøng choïn Q = I, vôùi I laø ma-traän ñôn vò. Khi ñoù caùc phaàn töû ∗ cuûa P ñöôïc xaùc ñònh töø A P + PA = − I vaø ma-traän P ñöôïc thöû tính xaùc ñònh döông. 96 VÍ DUÏ 9-20. Xeùt heä thoáng baäc hai sau: 1  x1   x&1   0  x&  =  − 1 − 1  x   2  2  Roõ raøng traïng thaùi caân baèng laø goác toïa ñoä. Xaùc ñònh tính oån ñònh cuûa traïng thaùi naøy. Ta thöû giaû thieát haøm Liapunov V ( x) = x T Px vôùi P ñöôïc xaùc ñònh töø AT P + PA = − I Hay ta coù: 0 − 1  p11 1 − 1  p    12 p12   p11 +  p 22   p12 p12   0 1  − 1 0 =    p 22   − 1 − 1  0 − 1 Khai trieån ma-traän naøy, ta coù caùc phöông trình sau: − 2 p12 = −1 p11 − p12 − p 22 = 0 2 p12 − 2 p 22 = −1 Giaûi ra ta ñöôïc:  p11 p  12 3 p12   2 = p 22   1 2 1 2  1  97 Thöû tính xaùc ñònh döông cuûa P, chuùng ta kieåm tra caùc ñònh thöùc cuûa caùc ma-traän con chính 3 > 0, 2 3 2 1 2 1 2 >0 1 Vaäy P xaùc ñònh döông. Vì vaäy traïng thaùi caân baèng taïi goác toïa ñoä laø oån ñònh tieäm caän theo nghóa roäng, vaø haøm Liapunov laø: V ( x ) = x T Px = 12 (3 x12 + 2 x1 x 2 + 2 x 22 ) vaø V& ( x) = −( x12 + x 22 ) VÍ DUÏ 9-21. Xaùc ñònh K ñeå heä thoáng treân hình veõ 9-13 oån ñònh. u + K _ s +1 x3 1 s+2 x2 1 x1 s Hình 9-13. Heä thoáng ñieàu khieån. 98 Phöông trình traïng thaùi cuûa heä thoáng laø:  x&1   0  x&  =  0  2   x& 3  − K 1 −2 0 0  x1   0  1  x 2  +  0  u − 1  x3   K  Ñeå xaùc ñònh K, chuùng ta giaû thieát tín hieäu vaøo u = 0. Khi ñoù ta coù: x&1 = x2 (9-75) x& 2 = −2 x 2 + x3 (9-76) x& 3 = − Kx1 − x3 (9-77) Phöông trình (9-75) - (9-77), chuùng ta xaùc ñònh goác laø traïng thaùi caân baèng. Choïn matraän ñoái xöùng thöïc baùn xaùc ñònh döông Q laø: 0 0 0  Q = 0 0 0 0 0 1 (9-78) Vieäc löïa choïn Q naøy laø cho pheùp vì V& ( x) = − x T Qx khoâng theå ñoàng nhaát baèng 0 tröø ñieåm goác. Chuù yù raèng V& ( x) = − x T Qx = − x32 V& (x) ñoàng nhaát baèng 0 neáu x3 ñoàng nhaát baèng 0. Neáu x3 baèng 0 thì x1 phaûi naèng 0 vì töø phöông trình (9-77) ta coù 0 = − Kx1 − 0 Neáu x1 = 0, thì x2 phaûi ñoàng nhaát baèng 0 vì phöông trình (9-75) 99 0 = x2 Vì vaäy V& (x) laø ñoàng nhaát zero taïi goác toïa ñoä. Do ñoù chuùng ta coù theå söû duïng ma-traän xaùc ñònh bôûi phöông trình (9-78) ñeå phaân tích oån ñònh. Caùch khaùc, chuùng ta coù theå kieåm tra haïng cuûa ma-traän.  0  0   0   Q1 / 2   0  1/ 2   Q A= 0 Q1 / 2 A 2  − K    0   0  K  0 0 0 0 0 0 0 0 −K 0 0 1  0 0  − 1 0  0 1 Roõ raøng haïng laø 3 vôùi K ≠ 0 . Vì vaäy, chuùng ta coù theå choïn Q naøy cho phöông trình Liapunov. Baây giôø chuùng ta giaûi phöông trình Liapunov. AT P + PA = −Q Hay 0 − K   p11 0 1 − 2 p 0    12 0 1 − 1   p13 p12 p 22 p 23 p13   p11 p 23  +  p12 p33   p13 p12 p 22 p 23 p13   0 p 23   0 p33  − K 0  0 0 0  1 = 0 0 0 0 − 1 0 0 − 1 1 −2 100 Giaûi phöông trình naøy ta coù:  K 2 + 12 K   126−K2 K P=  12 − 2 K  0   6K 12 − 2 K 3K 12 − 2 K K 12 − 2 K   K  12 − 2 K  6  12 − 2 K  0 Ñeå P laø xaùc ñònh döông, ñieàu kieän caàn vaø ñuû laø: 12 − 2 K > 0 vaø K > 0 0[...]... quả phân ly mong muốn trong đáp ứng với tín hiệu vào khi không có nhiễu, nếu hệ thống bò tác động của nhiễu ngoài, thì hệ thống có thể trở nên không điều khiển được vì một chuyển động nào đó tạo ra bởi giá trò riêng bò khử là không thể điều khiển được 9- 4 TÍNH ĐIỀU KHIỂN ĐƯC Tính điều khiển được và tính quan sát được Một hệ thống được gọi là điều khiển được tại điểm t0 nếu bằng một vector điều khiển không. .. khiển trong không gian trạng thái Thực ra, điều kiện điều khiển được và quan sát được có thể quyết đònh sự tồn tại của một nghiệm hoàn toàn đối với vấn đề thiết kế hệ thống điều khiển Nghiệm của vấn đề này có thể không tồn tại nếu hệ thống được xét là hệ thống không 35 điều khiển được Mặc dù hầu hết các hệ thống vật lý là điều khiển được và quan sát được, tương ứng với mô hình toán học có thể không sở... chuyển hệ thống từ trạng thái bắt đầu x(t0) đến trạng thái khác trong một khoảng thời gian hữu hạn Một hệ thống được gọi là quan sát được nếu tại thời điểm t0, có thể xác định được trạng thái này từ việc quan sát tín hiệu ra trong một khoảng thời gian hữu hạn Khái niệm tính điều khiển được và tính quan sát được được đưa ra bởi Kalman Chúng đóng một vai trò quan trọng trong thiết kế hệ thống điều khiển trong. .. 1 + + x3 s -3 Hình 9- 2 Sơ đồ khối biểu diễn hệ thống ở phương trình (9- 17), (9- 18) Ta có: y = x1 + x 2 + x3 hay  x1  y = [1 1 1]  x 2     x3  (9- 18) Phương trình (9- 17), (9- 18) có cùng dạng như phương trình (9- 9) và (9- 10) 11 Biểu diễn KGTT của các hệ phương trình vi phân bậc n với r hàm điều khiển Xét hệ thống nhiều cửa vào, nhiều cửa ra được vẽ trên hình (9- 3) Trong hệ thống này x , x ,... t )  e −2t  28 9- 3 MA-TRẬN TRUYỀN Trong phần này chúng ta xét vấn đề thiết kế bộ điều khiển phân ly để cho một sự thay đổi ở một cửa vào chỉ ảnh hưởng đến một cửa ra Thuộc tính phân ly là rất quan trọng trong hệ thống điều khiển quá trình Xét hệ thống được mô tả bởi: x = Ax + Bu (9- 26) y = Cx + Du (9- 27) Với x = vector trạng thái (n - vector) u = vector điều khiển (r - vector) y = vector ra (m –... (9- 32) Thay (9- 32) vào (9- 31), ta có: Y ( s ) = [C ( sI − A) −1 B + D ]U ( s ) (9- 33) So sánh phương trình (9- 28) và (9- 33), ta có: G ( s) = C ( sI − A) −1 B + D (9- 34) Rõ ràng biểu thức hàm truyền được đưa ra bởi phương trình (1-53) là trường hợp đặc 30 biệt của biểu thức ma-trận truyền Tính phân ly của hệ thống nhiều tín hiệu vào – nhiều tín hiệu ra (MIMO System) Xét hệ thống được vẽ trên hình (9- 5)... 5s   s (9- 37) Đối tượng _ r1 +  0   s + 1 5s  Gc11 + u1 + y1 1 2s + 1 Gc21 1 Gc12 r2 + _ Gc22 + + u2 + 1 + y2 s +1 Hình 9- 6 Hệ thống nhiều tín hiệu vào, nhiều tín hiệu ra 34 Điều quan trọng cần lưu ý là trong việc phân tích này, chúng ta không phải xem xét nhiễu ngoài Nói chung trong kỹ thuật này việc có khử tử số và mẫu số Vì vậy, vài giá trò riêng sẽ bò mất trong Gp(s).Gc(s) Điều này có... Laplace của phương trình (9- 26) và (9- 27): sX ( s ) − x(0) = AX ( s ) + BU ( s ) (9- 30) Y ( s ) = CX ( s ) + DU ( s ) (9- 31) Chỉ xét trong trường hợp hàm truyền, chúng ta giả thiết trạng thái đầu x(0) là zero; x(0) = 0 (Tức là ma-trận truyền được xác đònh như là tỷ số của biến đổi Laplace của vector ra đối với biến đổi Laplace của vector vào khi điều kiện đầu bằng 0) Từ phương trình (9- 30), ta có: X ( s... s ) U(s) E(s) + _ G0(s) Y(s) B(s) H(s) Hình 9- 5 Sơ đồ khối của hệ thống nhiều tín hiệu vào, nhiều tín hiệu ra 31 Nhiều hệ thống điều khiển quá trình có nhiều cửa vào và nhiều cửa ra và điều mong muốn là sự thay đổi ở một cửa vào này chỉ ảnh hưởng đến một cửa ra (Nếu tính cách ly này đạt được thì dễ dàng duy trì mỗi giá trò cửa ra ở hằng số mong muốn khi không có mặt nhiễu ngoài) Bây giờ chúng ta giả... (t ) u 2 + + bn r (t ) u r … u1 u2 ur … x1 Đối tượng tuyến tính x2 xn Phần tử ra y1 y2 ym Hình 9- 3 Hệ thống nhiều cửa vào – nhiều cửa ra Trong đó a(t) và b(t) là những hằng số hay là hàm của t 12 x& = A(t ) x + B (t ) u (9- 19) với  x1  x   2 . x =   = vector trạng thái . .    xn   u1  u   2 . u =   = vector vào hay vector . .   u r   a11 (t ) a12 ... kết luận: Hệ thống điều khiển trạng thái hoàn toàn Tính điều khiển tín hiệu Trong thiết kế thực tế hệ thống điều khiển, cần điều khiển tín hiệu trạng thái hệ thống Tính điều khiển trạng thái hoàn... hệ thống trở nên không điều khiển chuyển động tạo giá trò riêng bò khử điều khiển 9- 4 TÍNH ĐIỀU KHIỂN ĐƯC Tính điều khiển tính quan sát Một hệ thống gọi điều khiển điểm t0 vector điều khiển không. .. thể điều khiển trạng thái t = t0 xây dựng tín hiệu điều khiển không cưỡng chuyển trạng thái bắt đầu đến trạng thái cuối khoảng thời gian hữu hạn t ≤ t ≤ t1 Nếu trạng thái điều khiển hệ thống