9 Phân tích Hệ thống Điều khiển trong Không gian Trạng thái 9.1 Giới thiệu Đối với hệ thống phức tạp hiện đại thường có nhiều ngõ vào và nhiều ngõ ra, điều này thường dẫn đến những trở ngại nhất định. Để có thể phân tích được hệ thống thuộc dạng này, sự cần thiết là giảm thiểu độ phức tạp trong biểu thức toán học và dùng đến máy tính cho hầu hết các phép toán cần thiết trong việc phân tích. Nội dung của chương này sẽ trình bày phương pháp không gian trạng thái (state-space) trong phân tích hệ thống, đây cũng là phương pháp có thể giải quyết được vấn đề trên. Trong khi lý thuyết điều khiển cổ điển dựa vào mối quan hệ vào – ra, thường là hàm truyền, thì với lý thuyết điều khiển hiện đại lại dựa vào mô tả của phương trình hệ thống, là tập hợp của n phương trình vi phân bậc một, và có thể biểu diễn bằng phương trình vi phân dạng ma trận – véc tơ trạng thái. Việc sử dụng phương trình dạng ma trận – véc tơ trạng thái này sẽ làm đơn giản hóa việc tính toán cho hệ thống. Như vậy thì việc gia tăng số biến trạng thái, số ngõ vào hay số ngõ ra của hệ cũng không làm phức tạp cho phương trình hệ thống. Trong chương 9 này và chương 10 kế tiếp sẽ giải quyết vấn đề phân tích và thiết kế hệ thống điều khiển trong không gian trạng thái. Giới hạn trong chương này là giới thiệu những nét cơ bản trong phân tích không gian trạng thái, bao gồm việc biểu diễn không gian trạng thái, xét tính điều khiển được và tính quan sát được của hệ thống. Chương 10 sẽ trình bày các phương pháp hữu ích dựa trên bộ điều khiển hồi tiếp trạng thái. 9.2 Biểu diễn hàm truyền trong không gian trạng thái Có nhiều kỹ thuật khác nhau để biểu diễn không gian trạng thái từ hàm truyền hệ thống. Trong chương 2 chúng ta đã xét một vài phương pháp cơ bản. Ở đây chúng tôi sẽ biểu diễn không gian trạng thái dạng điều khiển được, quan sát được, dạng chuẩn tắc đường chéo và dạng chuẩn tắc Jordan (Các phương pháp này được trình bày chi tiết qua các bài tập từ A.9.1 đến A.9.4) 9.2.1 Biểu diễn theo dạng chuẩn tắc Xét hệ có phương trình: (n) ( n−1) (1) (n) ( n−1) (1) y + a1 y +  + an−1 y + an y = b0 u + b1 u +  + bn−1 u + bnu (9.1) Với u là tín hiệu vào, y là ngõ ra, ai và bi tương ứng là các hệ số hằng. Phương trình trên qua phép biến đổi Laplace, có thể được viết lại dưới dạng hàm truyền: Y ( s ) b0 s n + b1s n−1 +  + bn−1s + bn = n U (s) s + a1s n−1 +  + an−1s + an (9.2) Sau đây ta sẽ biểu diễn không gian trạng thái cho hệ thống được định nghĩa bởi (9.1) và (9.2) theo dạng chuẩn tắc điều khiển được, chuẩn tắc quan sát được, và dạng chuẩn tắc đường chéo (hoặc Jordan). Dạng chuẩn tắc điều khiển được Biểu diễn không gian trạng thái sau đây được gọi là dạng chuẩn tắc điều khiển được:  x 1   0  x   0  2    .   .     . = .  .   .     x n−1   0  x  − a  n   n 1 0 . . 0 1 . . . 0 − an−1 . 0 − an − 2 y = [ bn − anb0  bn−1 − an−1b0   x1  0   x   0  2     .   .        .  +  . u .  .   .       1   xn−1  0  − a1   xn  1   0 0 . . (9.3)  x1  x   2  .       b1 − a1b0 ]  .  + b0u  .     xn−1  x   n (9.4) Dạng chuẩn tắc điều khiển được giữ vai trò quan trọng trong việc thiết kế hệ thống dùng phương pháp đặt cực. Dạng chuẩn tắc quan sát được Biểu diễn không gian trạng thái sau đây được gọi là dạng chuẩn tắc quan sát được:  x 1  0  x  1  2    .  .     .  = .  .  .     x n−1  0  x  0  n   0  0 − an   x1   bn − an b0  0  0 − an−1   x2  bn−1 − an−1b0   .  . .  .   .      .  . .  .  +  u  .  . .  .   .     0  0 − a2   xn−1   b2 − a2b0  0  1 − a1   xn   b1 − a1b0  (9.5) y = [0 0  x1  x   2  .    0 1]  .  + b0u  .     xn−1  x   n  (9.6) Lưu ý rằng ma trận trạng thái nxn của phương trình trạng thái (9.5) chính là ma trận chuyển vị của phương trình trạng thái (9.3). Dạng chuẩn tắc đường chéo Xét hàm truyền hệ thống được cho bởi biểu thức (9.2). Giả sử đa thức ở mẫu số hàm truyền có n nghiệm phân biệt và được triển khai theo dạng n thừa số. Khi đó ta có thể viết lại hàm truyền như sau: Y ( s ) b0 s n + b1s n−1 +  + bn−1s + bn = U (s) ( s + p1 )( s + p2 )  ( s + pn ) = b0 + cn c1 c2 + ++ ( s + p1 ) ( s + p2 ) ( s + pn ) (9.7) Biểu diễn không gian trạng thái dạng chuẩn tắc đường chéo của hệ được mô tả như sau:  x 1  − p1  x   0  2   .    =  .    .       x n1   0 0 − p2 . . . 0 y = [ c1 c2 0   x1  1 0   x2  1   .  .     +  u   .  .    .  .      − pn   xn  1  x1  x   2 .  cn ]   + b0u . .    xn  (9.8) (9.9) Dạng chuẩn tắc Jodan: Xét trường hợp đa thức ở mẫu số của (9.2) có nghiệm bội. Trong trường hợp này, dạng chuẩn tắc đường chéo như trên cần phải được điều chỉnh thành dạng chuẩn tắc Jordan. Chẳng hạn, trong số n nghiệm của đa thức mẫu số, có 3 nghiệm bội p 1 = p2 = p3 , các nghiệm còn lại (từ p 4 đến pn) là riêng biệt. Khi đó biểu thức hàm truyền có dạng: b0 s n + b1s n−1 +  + bn−1s + bn Y (s) = U ( s) ( s + p1 ) 3 ( s + p4 )( s + p5 )  ( s + pn ) Triển khai biểu thức trên thành tổng các số hạng, ta được: c3 cn Y ( s) c1 c2 c4 = b0 + + + + ++ 3 2 U (s) ( s + p1 ) ( s + p1 ) ( s + p1 ) ( s + p4 ) ( s + pn ) Phương trình biểu diễn không gian trạng thái theo dạng chuẩn tắc Jordan như sau:  x 1  − p1  x   0  2   x 3   0     x 4  =  0 .  .    .  . .  .     x n   0 1 − p1 0  0 1 − p1 0  . . . 0 y = [ c1 c2 0  : 0  − p4  0   x1  0   x  0  2      x3  1       x4  + 1u  .   .       .   .   .   .      − pn   xn  1 0 : 0 0  x1  x   2 .  cn ]   + b0u . .    xn  (9.10) (9.11) VÍ DỤ 9.1: Y (s) s+3 = 2 U ( s) s + 3s + 2 Biểu diễn phương trình không gian trạng thái theo dạng chuẩn tắc điều khiển được, quan sát được và dạng chuẩn tắc đường chéo? Xét hệ thống có hàm truyền: TRẢ LỜI: Dạng chuẩn tắc điều khiển được: 1   x1 (t )  0  x 1 (t )  0  x (t ) = − 2 − 3  x (t )  + 1u (t )  1     1    x (t )  y (t ) = [ 3 1]  1   x2 (t ) Dạng chuẩn tắc quan sát được:  x 1 (t )  0 − 2  x1 (t ) 3  x (t )  = 1 − 3  x (t ) + 1u (t )  1     1    x (t )  y (t ) = [ 0 1]  1   x2 (t ) Dạng chuẩn tắc đường chéo:  x 1 (t ) − 1 0   x1 (t ) 1  x (t ) =  0 − 2  x (t ) + 1u (t )  1     1    x (t )  y (t ) = [ 2 − 1]  1   x2 (t ) 9.2.2 Giá trị riêng của ma trận A Giá trị riêng của ma trận vuông cấp n (A) chính là nghiệm của phương trình đặc trưng λI − A = 0 Các giá trị riêng còn được gọi là các nghiệm đặc trưng. Giả sử, cho ma trận A như sau: 1 0 0  A= 0 0 1  − 6 − 11 − 6 Khi đó, ta có phương trình đặc trưng: λ −1 0 λI − A = 0 λ − 1 = λ3 + 6λ2 + 11λ + 6 = 0 6 11 λ + 6 ⇔ ( λ + 1)( λ + 2 )( λ + 3) = 0 Khi đó, các giá trị riêng của A là nghiệm của phương trình đặc trưng, đó là -1, -2 và -3. 9.2.3 Đường chéo hóa ma trận cấp n x n Lưu ý rằng, nếu một ma trận A (cấp n x n) có n giá trị riêng độc lập được biểu diễn theo dạng:  0  0   .  A= .  .   0 − a  n 1 0 . . 0 1 . . . 0 − a n −1 . 0 − a n−2       .    1   − a1    0 0 . . (9.12) Đặt x là ma trận chuyển, x = P.z, với:  1 λ  1  λ12  P= .  .   . λn −1  1       . .   . .  λn2−1  λnn−1  Trong đó: λ1 , λ 2 , …, λ n là n giá trị riêng độc lập của A 1 λ2 λ22 . 1 λn λ2n .  Khi đó sẽ chuyển ma trận P-1AP sang dạng ma trận đường chéo như sau: λ1    P −1 AP =      0 0  λ2   .  .   .  λ n  Nếu ma trận A như ở biểu thức (9.12) có giá trị riêng bội, thì không thể đường chéo hóa như trên được. Khi đó ta sẽ chuyển sang dạng chuẩn tắc Jordan. Ví dụ cho ma trận A cấp 3 x 3 như sau:  0 A =  0 − a3 0  1  − a1  1 0 − a2 có 3 giá trị riêng λ1, λ1, λ3. Khi đó ta đặt x = Sz sao cho 1 S =  λ1 λ12 0 λ3  λ3  1 1 2λ1 Ta được λ1 S −1 AS =  0  0 Đây chính là dạng chuẩn tắc Jordan. 1 λ1 0 0 0  λ3  VÍ DỤ 9.2: Hệ thống biểu diễn phương trình không gian trạng thái như sau: 1 0   x1  0  x 1   0  x  =  0 0 1   x2  + 0u  2   x 3  − 6 − 11 − 6  x3  6  x1  y = [1 0 0]  x2   x3  Có thể biểu diễn theo dạng đuờng chéo hóa được không? (9.13) (9.14) TRẢ LỜI: Phương trình (9.13) và (9.14) có dạng : Với: 1 0 0  A= 0 0 1  − 6 − 11 − 6 x = Ax + Bu (9.15) y = Cx (9.16)  0 B + 0 6 C = [1 0 0] Giải phương trình λI − A = 0 , ta được 3 nghiệm là: λ1 = −1 , λ2 = −2 , λ 3 = − 3 Các giá trị riêng này là riêng biệt. Khi đó, ta đặt 3 biến trạng thái mới z , z , z sao cho 1 2 3 x = P.z 1 1   z1   x1   1  x  = − 1 − 2 − 3  z   2   2   x3   1 4 9   z3  (9.17) Với: 1 P =  λ1 λ12 1 λ2 λ22 1 1 1 1   λ3  = − 1 − 2 − 3 λ32   1 4 9  (9.18) Thay biểu thức (9.17) vào biểu thức (9.15), ta được: Pz = APz + Bu Nhân cả 2 vế với ma trận P-1, ta được: z = P −1 APz + P −1 Bu (9.19) Hay: 1 0  1 1 1   z1   3 2.5 0.5 0  z 1   3 2.5 0.5  0  z  = − 3 − 4 − 1   0   0 1  − 1 − 2 − 3  z 2  + − 3 − 4 − 1  0u  2    z 3   1 1.5 0.5 − 6 − 11 − 6  1 4 9   z 3   1 1.5 0.5 6 0   z1   3   z 1  − 1 0    ⇔  z 2  =  0 − 2 0   z 2  + − 6u  z 3   0 0 − 3  z3   3  Biểu thức (9.20) chính là phương trình trạng thái biểu diễn theo dạng đường chéo hóa. (9.20) Và phương trình ngõ ra, ở (9.16) được viết lại: y = CPz 1 1   z1  1  z1      y = [1 0 0] − 1 − 2 − 3  z 2  = [1 1 1]  z 2   1  z3  4 9   z3  (9.21) 9.2.4 Tính bất biến của giá trị riêng Để chứng minh tính bất biến của các giá trị riêng với phép chuyển đổi tuyến tính, ta phải chỉ ra −1 rằng nghiệm của các đa thức đặc trưng λI − A và λI − P AP là như nhau. Áp dụng định thức của một tích bằng tích của các định thức, ta có: λI − P −1 AP = λP −1 P − P −1 AP = P −1 (λI − A) P = P −1 (λI − A) P = P −1 P (λI − A) −1 −1 Lưu ý rằng tích của 2 định thức P và P chính là định thức của tích P P , do đó ta có: λI − P −1 AP = P −1 P (λI − A) = (λI − A) Điều này chứng tỏ giá trị riêng của ma trận A là bất biến qua phép chuyển đổi tuyến tính. 9.2.5 Tính không duy nhất của tập các biến trạng thái Với hệ thống cho trước, việc biểu diễn tập các biến trạng thái là không duy nhất. Giả sử ta gọi x1, x2, …, xn là tập gồm n biến trạng thái của hệ thống. Ta có thể đưa ra nhiều tập các biến trạng thái khác nhau của cùng hệ thống: xˆ1 = X 1 ( x1 , x2 ,..., xn ) xˆ 2 = X 2 ( x1 , x2 ,..., xn ) . . . xˆ n = X n ( x1 , x2 ,..., xn ) Điều này có nghĩa là với mỗi tập các giá trị xˆ1 , xˆ 2 , …, xˆ n tương ứng với duy nhất tập các biến x1, x2, …, xn và ngược lại. Do đó, nếu x là một vec-tơ trạng thái, thì ta có: xˆ = Px cũng là một vec-tơ trạng thái, trong đó P là ma trận không đơn trị (non-singular). Các vec-tơ trạng thái khác nhau nhưng mang thông tin như nhau về hành vi của một hệ thống. 9.3 Biểu diễn mô hình hệ thống trong MATLAB Trong mục này ta sẽ xét sự chuyển đổi của mô hình hệ thống từ dạng hàm truyền sang dạng không gian trạng thái và ngược lại. Trước hết, ta xét sự biến đổi từ hàm truyền sang không gian trạng thái. Giả sử ta có phương trình hàm truyền vòng kín được biểu diễn bởi: Y (s) Numerator polynomial in s Num = = U ( s) Deno min ator polynomial in s Den Khi đó, ta có thể dùng MATLAB với dòng lệnh: [A,B,C,D]=tf2ss(num,den) Kết quả sẽ là các ma trận A, B, C, D biểu diễn không gian trạng thái. Điều quan trọng cần lưu ý là biểu diễn không gian trạng thái của bất kỳ một hệ thống là không duy nhất. Có nhiều kiểu biểu diễn không gian trạng thái của cùng một hệ thống. Dòng lệnh như trên của MATLAB chỉ là một dạng biểu diễn của hệ. 9.3.1 Biến đổi không gian trạng thái từ hàm truyền Giả sử cho hàm truyền hệ thống sau: Y ( s) 10 s + 10 = 3 U ( s ) s + 6 s 2 + 5s + 10 Khi đó, ta có thể biểu diễn không gian trạng thái của hệ theo nhiều dạng như sau: (9.22) 1 0   x1   0   x 1   0  x  =  0 0 1   x2  +  10 u  2   x 3  − 10 − 5 − 6  x3  − 50  x1  y = [1 0 0]  x2   x3  Dạng khác:  x 1  − 6 − 5 − 10  x1  1  x  =  1 0 0   x2  + 0u  2   x 3   0 1 0   x3  0 (9.23)  x1  y = [ 0 10 10]  x2  + [ 0]u  x3  (9.24) Trong MATLAB, việc biến đổi từ hàm truyền (9.22) sang dạng không gian trạng thái sẽ có dạng như (9.23) và (9.24). Chương trình MATLAB cụ thể sau đây sẽ cho kết quả là các ma trận A, B, C, D. MATLAB Program 9-1 ----------------------------------------------------------------------num=[10 10]; den=[1 6 5 10]; [A,B,C,D]=tf2ss(num,den) A= -6 -5 -10 1 0 0 0 1 0 B= 1 0 0 C= 0 10 10 D= 0 9.3.2 Biến đổi từ không gian trạng thái sang hàm truyền Để có được hàm truyền từ phương trình biểu diễn không gian trạng thái của hệ thống, ta dùng lệnh sau: [num,den]= ss2tf(A,B,C,D,iu) Trong đó, giá trị iu phải được khai báo đối với hệ thống có nhiều ngõ vào. Vi dụ hệ có 3 ngõ vào (u1, u2, u3), thì iu sẽ là 1, 2, hay 3; với iu = 1 tương ứng với u1, iu = 2 tương ứng với u2, iu = 3 tương ứng với u3. Trường hợp hệ thống chỉ có 1 ngõ vào, ta có thể viết lệnh: [num,den]= ss2tf(A,B,C,D) hoặc: [num,den]= ss2tf(A,B,C,D,1) (Xem Ví dụ 9.3 và chương trình tương ứng MATLAB Program 9-2). Trường hợp hệ thống có nhiều ngõ vào nhiều ngõ ra, xem Ví dụ 9.4 VÍ DỤ 9.3: Xác định hàm truyền của hệ thống được định nghĩa bởi hệ phương trình không gian trạng thái: 1 0 0  x 1   0   x1     x  =  0      0 1  2    x2  +  25.04 u  x 3  − 5.008 − 25.1026 − 5.03247  x3  − 121.005  x1  y = [1 0 0]  x2   x3  TRẢ LỜI: Chương trình MATLAB Program 9-2 sẽ cho ta hàm truyền của hệ thống, có dạng: Y ( s) 25.04s + 5.008 = 3 U ( s ) s + 5.0325s 2 + 25.1026s + 5.008 MATLAB Program 9-2 ----------------------------------------------------------------------A=[0 1 0; 0 0 1; -5.008 -25.1026 -5.03247]; B=[0; 25.04; -121.005]; C=[1 0 0]; D=[0]; [num,den]=ss2tf(A,B,C,D) % Hoặc dùng lệnh: %[num,den]=ss2tf(A,B,C,D,1) num = 0 0 25.0400 5.0080 den = 1.0000 5.0325 25.1026 5.0080 VÍ DỤ 9.4: Xét hệ có nhiều ngõ vào, nhiều ngõ ra. Với hệ có nhiều hơn một ngõ ra, ta sử dụng lệnh: [num,den]=ss2tf(A,B,C,D,iu) sẽ tạo ra hàm truyền cho tất cả ngõ ra ứng với mỗi ngõ vào (Các hệ số ở tử số tương ứng được trả về là ma trận gồm nhiều dòng tuơng ứng với nhiều ngõ ra). Cụ thể, ta xét hệ có phương trình trạng thái sau: 1   x1  1 1  u1   x 1   0  x  = − 25 − 4  x  + 0 1 u   2    2   2   y1  1 0  x1  0 0  u1   y  = 0 1  x  + 0 0 u   2    2   2  TRẢ LỜI: Hệ thống có 2 ngõ vào và 2 ngõ ra. Ta có 4 hàm truyền tương ứng là: Y 1(s)/U1(s), Y2(s)/U1(s), Y1(s)/U2(s), Y2(s)/U2(s). (Tức là khi xét ngõ vào u1 , ta xem như u2 = 0 và ngược lại). Xem kết quả từ chương trình MATLAB Program 9-3. MATLAB Program 9-3 ----------------------------------------------------------------------A=[0 1; -25 -4]; B=[1 1; 0 1]; C=[1 0; 0 1]; D=[0 0; 0 0]; % Voi ngo vao u1: [num,den]=ss2tf(A,B,C,D,1) num = 0 1.0000 4.0000 0 0 -25.0000 den = 1.0000 4.0000 25.0000 % Voi ngo vao u2: [num,den]=ss2tf(A,B,C,D,2) num = 0 1.0000 5.0000 0 1.0000 -25.0000 den = 1.0000 4.0000 25.0000 Các kết quả ‘num’ và ‘den’ ở chương trình MATLAB Program 9-3 lần lượt biểu diễn cho 4 hàm truyền: Y1 ( s) s+4 − 25 ; Y2 ( s ) = = 2 2 U1 ( s) s + 4 s + 25 U1 ( s ) s + 4 s + 25 Y1 ( s) s+5 s − 25 ; Y2 ( s ) = = 2 2 U 2 ( s ) s + 4s + 25 U 2 ( s ) s + 4s + 25 9.4 Giải phương trình trạng thái bất biến Trong mục này tác giả sẽ trình bày hướng giải quyết tổng quát để giải phương trình trạng thái tuyến tính bất biến theo thời gian. Trước hết là trường hợp hệ thuần nhất, sau đó đến trường hợp không thuần nhất. 9.4.1 Giải phương trình trạng thái thuần nhất Trước hết, ta xét phương trình vi phân vô hướng dạng: x = ax (9.25) Giải phương trình này, giả sử ta được nghiệm x(t) có dạng: x(t ) = b0 + b1t + b2t 2 +  + bk t k +  (9.26) Thay vào phương trình (9.25), ta được: b1 + 2b2t + 3b3t 2 +  + kbk t k −1 +  = a (b0 + b1t + b2 t 2 +  + bk t k + ) (9.27) Đồng nhất các hệ số ở 2 vế của phương trình theo bậc của t, ta được: b1 = ab0 1 1 ab1 = a 2b0 2 2 1 1 3 b3 = ab2 = a b0 3 3× 2 b2 =  1 k a b0 k! Giá trị b0 được xác định khi thay t = 0 vào (9.26), hay: bk = x(0) = b0 Do đó nghiệm x(t) có thể được viết lại là: x(t ) = (1 + at + 1 2 2 1 a t +  + a k t k + ) x (0) 2! k! x(t ) = e at x(0) Bây giờ ta sẽ giải phương trình vi phân dạng ma trận véc tơ x = Ax Với: x là véc tơ gồm n phần tử A là ma trận n x n (9.28) Tương tự như cách giải phương trình vô hướng trên, ta có nghiệm x(t) là một véc tơ có dạng: x(t ) = b0 + b1t + b2t 2 +  + bk t k +  (9.29) Từ phương trình (9.29), ta có thể viết lại phương trình (9.28) như sau b1 + 2b2t + 3b3t 2 +  + kbk t k −1 +  = A(b0 + b1t + b2 t 2 +  + bk t k + ) (9.30) Từ đây, ta cũng được các hệ số bi tương ứng như sau: b1 = Ab0 1 1 Ab1 = A2b0 2 2 1 1 b3 = Ab2 = A3b0 3 3× 2 b2 =  1 k A b0 k! Giá trị b0 được xác định khi thay t = 0 vào (9.29), hay: bk = x(0) = b0 Nghiệm x(t) được viết lại là: 1 2 2 1 (I: Ma trận đơn vị) A t +  + Ak t k + ) x(0) 2! k! Vế phải của phương trình này là dạng ma trận n x n, nó có dạng tương tự như dạng chuỗi của hàm mũ vô hướng nên được gọi là ma trận hàm mũ, và: x(t ) = ( I + At + 1 2 2 1 A t +  + A k t k +  = e At 2! k! Vì vậy, nghiệm của phương trình (9.28) có thể viết như sau: I + At + x(t ) = e At x(0) (9.31) Vì ma trận hàm mũ là rất quan trọng trong việc phân tích không gian trạng thái của hệ tuyến tính, nên ta sẽ khảo sát các thuộc tính của chúng. Ma trận hàm mũ Có thể chứng minh rằng ma trận hàm mũ của một ma trận A cấp n x n, ∞ e At = ∑ k =0 Ak t k k! là hội tụ tuyệt đối với mọi giá trị t. ∞ Do tính hội tụ của chuỗi ∑ k =0 Ak t k , nên ta có thể lấy vi phân 2 vế: k! d At t2 t k −1 e = A + A 2 t + A3 +  + A k + dt 2! (k − 1)! = A( I + At + A 2 t2 t k −1 +  + A k −1 + ) = Ae At 2! (k − 1)! t2 t k −1 +  + A k −1 + ) A = e At A 2! (k − 1)! Theo tính chất của ma trận hàm mũ thì: = ( I + At + A 2 e A( t + s ) = e At e As Thật vậy:  ∞ A k t k  ∞ A k s k   ∑  e At e As =  ∑  k =0 k!  k =0 k!   ∞ t i s k −i   = ∑ A  ∑ k =0  i=0 i!(k − i )!  ∞ (t + s ) k = ∑ Ak k! k =0 ∞ Đặc biệt, khi thay s = -t, ta có: k = e A( t + s ) e At e − At = e − At e At = e A( t −t ) = I Theo cách đó, nghịch đảo của e At là e − At . Nếu nghịch đảo của e At luôn luôn tồn tại, thì e At được gọi là không đơn trị. Điều quan trọng cần nhớ là: e ( A+ B ) t = e At e Bt e ( A+ B ) t ≠ e At e Bt khi AB = BA khi AB ≠ BA Để chứng minh điều này, cần chú ý: e ( A+ B ) t = I + ( A + B )t + ( A + B) 2 2 ( A + B ) 3 3 t + t + 2! 3!    A 2 2 A3 3 B2 2 B3 3 e At e Bt =  I + At + t + t +  I + Bt + t + t +  2! 3! 2! 3!    2 2 2 2 3 3 2 3 2 3 At Bt At A Bt AB t B 3t 3 2 = I + ( A + B)t + + ABt + + + + + + 2! 2! 3! 2! 2! 3! Do đó: ( BA − AB) 2 ( BA 2 + ABA + + B 2 A + BAB − 2 A2 B − 2 AB 2 ) 3 t + t + 2! 3! Sai lệch giữa e ( A+ B )t và e At e Bt sẽ triệt tiêu khi thay A bằng B e ( A+ B ) t − e At e Bt = Dùng phép biến đổi Laplace để giải phương trình trạng thái thuần nhất Trước hết ta xét hàm vô hướng: (9.32) x = ax Lấy biến đổi Laplace 2 vế phương trình (9.32), ta được: sX ( s ) − x(0) = aX ( s ) (9.33) Suy ra: x(0) = ( s − a) −1 x(0) s−a Khi đó, lấy biến đổi Laplace ngược 2 vế, ta được: X (s) = x(t ) = e at x(0) Mở rộng phương trình vi phân hàm vô hướng ở trên đối với phương trình trạng thái thuần nhất: (9.34) x (t ) = Ax(t ) Lấy biến đổi Laplace 2 vế phương trình (9.34), ta được: sX ( s ) − x(0) = AX ( s ) ⇔ ( sI − A) X ( s ) = x(0) Nhân 2 vế cho (sI - A)-1, ta được: X ( s ) = ( sI − A) −1 x(0) Khi đó, lấy biến đổi Laplace ngược 2 vế: [ ] x(t ) = L−1 ( sI − A) −1 x(0) (9.35) Chú ý rằng: A A2 + + s s2 s3 Do đó, biến đổi Laplace ngược của (sI - A)-1 cho ta: ( sI − A) −1 = I + [ L−1 ( sI − A) −1 ] = I + At + A2!t 2 2 + Thay (9.36) vào (9.35), ta được nghiệm x(t): x(t ) = e At x(0) A 3t 3 +  = e At 3! (9.36) Ma trận chuyển trạng thái Ta có thể viết lại nghiệm của phương trình trạng thái thuần nhất: x (t ) = Ax(t ) (9.37) x(t ) = Φ(t ) x(0) (9.38) là: Trong đó, Φ(t ) là ma trận n x n và là nghiệm duy nhất của phương trình:  (t ) = AΦ (t ), Φ Φ ( 0) = I Để kiểm chứng điều này, ta cần lưu ý rằng, từ (9.38) khi thay t = 0: x(0) = Φ(0) x (0) = x (0) Và:  (t ) x(0) = AΦ (t ) x(0) = Ax(t ) x (t ) = Φ Như vậy, chứng tỏ phương trình (9.38) chính là nghiệm của phương trình (9.37). Kết hợp các phương trình (9.31), (9.35), và (9.38), ta có: [ Φ (t ) = e At = L −1 ( sI − A) −1 ] Chú ý: Φ −1 (t ) = e − At = Φ (−t ) Từ biểu thức (9.38), ta thấy rằng nghiệm của (9.37) chính là sự chuyển tiếp của điều kiện đầu (thời kỳ quá độ). Do đó, ma trận duy nhất Φ(t ) được gọi là ma trận chuyển trạng thái. Ma trận chuyển trạng thái chứa tất cả những thông tin về chuyển động tự do của hệ thống được định nghĩa bởi (9.37). Khi tất cả các giá trị riêng λ1 , λ2 , … , λn ,của ma trận A đều là riêng biệt, thì Φ(t ) sẽ chứa n hàm mũ: e λ1t , e λ2t , … , e λnt Cụ thể, nếu A là ma trận đường chéo, thì ta có: e λ1t 0 0    λ2t 0 e    . Φ (t ) = e At =   .     .   0 e λnt   0 Trường hợp có nghiệm bội trong các giá trị riêng (giả sử có 3 nghiệm bội) của A là: λ1 , λ1 , λ1 , λ4 , λ5 , …. , λn thì khi đó, Φ(t ) sẽ chứa các thành phần e λ1t , e λ4t , e λ5t , … , e λnt và thêm các phần tử như te λ1t và t 2 e λ1t Tính chất của ma trận chuyển trạng thái Ta có thể tóm tắt một số tính chất quan trọng của ma trận chuyển trạng thái Φ(t ) sau đây, cho hệ thống bất biến theo thời gian: x (t ) = Ax(t ) Với: Φ (t ) = e At 1. Φ (0) = e A0 = I ( 2. Φ(t ) = e At = e − At ) −1 = [ Φ( −t )] −1 hay : Φ −1 (t ) = Φ(−t ) 3. Φ (t1 + t 2 ) = e A( t1 +t2 ) = e At1 e At2 = Φ (t1 )Φ (t 2 ) = Φ (t 2 )Φ (t1 ) 4. [ Φ(t )] n = Φ(nt ) 5. Φ (t2 − t1 )Φ (t1 − t0 ) = Φ (t 2 − t0 ) = Φ (t1 − t0 )Φ (t2 − t1 ) VÍ DỤ 9.5: Tìm ma trận chuyển trạng thái Φ(t ) của hệ thống có phương trình trạng thái: 1   x1   x1   0 =  x  − 2 − 3  x   2   2  Sau đó tìm nghịch đảo của ma trận chuyển trạng thái Φ −1 (t ) TRẢ LỜI: 1 0 Ta có ma trận A =   − 2 − 3 Ma trận chuyển trạng thái Φ(t ) của hệ là: [ Φ (t ) = e At = L−1 ( sI − A) −1 ] Mà: 1  s −1   s 0  0 ( sI − A) =  −  =  0 s  − 2 − 3 2 s + 3 Nghịch đảo của ma trận ( sI − A) là: s + 3 1 1 det( sI − A)  − 2 s  s + 3 1 1 = ( s + 1)( s + 2)  − 2 s  ( sI − A) −1 = s+3   ( s + 1)( s + 2) = −2   ( s + 1)( s + 2) 1  ( s + 1)( s + 2)   s  ( s + 1)( s + 2)  1  2  ( s + 1) − ( s + 2) = − 2 + 2  ( s + 1) ( s + 2) Từ đây, lấy biến đổi Laplace ngược 2 vế, ta được: [ Φ(t ) = e At = L −1 ( sI − A) −1 1 1  − ( s + 1) ( s + 2)   −1 2  + ( s + 1) ( s + 2)  ]  2e − e e −t − e − 2 t  =  −t − 2t − e −t + 2e −2t  − 2e + 2e Lưu ý rằng, Φ −1 (t ) = Φ (−t ) , do đó, nghịch đảo của ma trận chuyển Φ(t ) là: −t −2t  2et − e 2t Φ −1 (t ) = e − At =  t 2t − 2e + 2e e t − e 2t   − et + 2e 2t  9.4.2 Giải phương trình trạng thái không thuần nhất Trước hết, ta xét phương trình dạng vô hướng: x (t ) = ax(t ) + bu (t ) Ta viết lại (9.39) như sau: x (t ) − ax(t ) = bu (t ) Nhân 2 vế phương trình này cho e − at , ta được: d −at [e x(t )] = e −at bu (t ) dt Lấy tích phân 2 vế với cận từ 0 đến t, ta có: e −at [ x (t ) − ax (t )] = e −at t x(t ) − x(0) = ∫ e −aτ bu (τ )dτ 0 Hay: t x(t ) = e at x(0) + e at ∫ e −aτ bu (τ )dτ 0 (9.39) Số hạng thứ nhất ở vế phải chính là đáp ứng đối với điều kiện ban đầu, số hạng thứ hai đáp ứng đối với tín hiệu vào u(t). Bây giờ ta xét hệ có phương trình trạng thái không thuần nhất: (9.40) x (t ) = Ax(t ) + Bu (t ) Với: x(t): véc tơ gồm n phần tử u(t): véc tơ gồm r phần tử A: ma trận n x n B: ma trận n x r Phương trình (9.40) có thể viết lại: x (t ) − Ax(t ) = Bu (t ) Nhân trước 2 vế phương trình này cho e − At , ta được: d − At [e x(t )] = e − At Bu (t ) dt Lấy tích phân 2 vế với cận từ 0 đến t, ta có: e − At [ x (t ) − Ax (t )] = e − At t x(t ) − x(0) = ∫ e − Aτ Bu (τ )dτ 0 Hay: t t 0 0 x(t ) = e At x(0) + e At ∫ e − Aτ Bu (τ )dτ = e At x(0) + ∫ e A( t −τ ) Bu (τ )dτ (9.41) Phương trình (9.41) có thể được viết lại là: t x(t ) = Φ(t ) x(0) + ∫ Φ(t − τ ) Bu (τ )dτ 0 Trong đó: Φ (t ) = e At , Φ (t − τ ) = e (9.42) A ( t −τ ) Phương trình (9.41) hay (9.42) đều là nghiệm của (9.40). Rõ ràng x(t) bao gồm tổng của quá trình chuyển tiếp của trạng thái ban đầu và đáp ứng của véc tơ tín hiệu ngõ vào. Dùng phép biến đổi Laplace để giải phương trình trạng thái không thuần nhất Việc giải phương trình trạng thái không thuần nhất: x (t ) = Ax(t ) + Bu (t ) cũng có thể thực hiện được bằng cách dùng phép biến đổi Laplace. Từ phương trình trên, lấy biến đổi Laplace 2 vế, ta được: sX ( s ) − x(0) = AX ( s ) + BU ( s ) Hay: ( sI − A) X ( s ) = x(0) + BU ( s ) Nhân trước 2 vế cho (sI – A)-1, ta có: X ( s ) = ( sI − A) −1 x(0) + ( sI − A) −1 BU ( s ) Mặt khác, từ mối quan hệ của biểu thức (9.36) cho ta: X ( s) = L[e At ] x(0) + L[e At ]BU ( s ) Khi đó, lấy biến đổi Laplace ngược 2 vế, ta được: t x(t ) = e x(0) + ∫ e A(t −τ ) Bu (τ )dτ At 0 Nghiệm của phương trình trạng thái tại thời điểm bắt đầu t0 Trên đây là nghiệm x(t) ứng với thời điểm bắt đầu bằng 0, tuy nhiên khi xét tại thời điểm bắt đầu là t0 ≠ 0 thì nghiệm x(t) của phương trình (9.40) sẽ là: x (t ) = e A ( t − t0 ) t x(t0 ) + ∫ e A(t −τ ) Bu (τ )dτ t0 (9.43) VÍ DỤ 9.6: Tìm đáp ứng theo thời gian t của hệ thống có phương trình trạng thái: 1   x1  0  x 1   0  x  = − 2 − 3  x  + 1u  2     2  Với u(t) là hàm nấc đơn vị: u(t)=1(t) TRẢ LỜI: 1 0 Ta có: A =   ; − 2 − 3 0 B=  1 Ma trận chuyển trạng thái Φ(t ) của hệ được tính như ở Ví dụ 9.5: Φ(t ) = e At = L−1[( sI − A) −1 ]  2e −t − e −2t = −t −2 t − 2e + 2e Đáp ứng đối với tín hiệu vào hàm nấc đơn vị là: e −t − e −2t   − e −t + 2e −2t  t x(t ) = e x(0) + ∫ e A(t −τ ) Bu (τ )dτ At 0  2e − t − e − 2 t ⇔ x (t ) =  −t − 2t  − 2e + 2e Hay: t  2e − ( t −τ ) − e −2 ( t −τ ) e − t − e −2 t  x ( 0 ) +  ∫0 − 2e −(t −τ ) + 2e −2(t −τ ) − e − t + 2e − 2 t  e − ( t −τ ) − e −2 ( t −τ )  0   [1]dτ − e −( t −τ ) + 2e −2( t −τ )  1  x1 (t )   2e − t − e −2t  x (t )  =  −t −2t  2   − 2e + 2e e − t − e −2t   x1 (0)  t  e − ( t −τ ) − e −2 ( t −τ )    dτ +  − e −t + 2e −2t   x2 (0) ∫0 − e −( t −τ ) + 2e −2 ( t −τ )   x1 (t )   2e −t − e − 2t ⇔ = −t −2t  x 2 (t )   − 2e + 2e 1 1 e −t − e −2t   x1 (0)   − e −t + e − 2t    2 + 2 −t −2t   x ( 0 )   − t − 2 t − e + 2e   2   e −e  Nếu tại thời điểm ban đầu t = 0, x(0) = 0, ta có: 1 1  x1 (t )   − e −t + e −2t    = 2 2  x (t )  2   e −t − e −2t  9.5 Phân tích véc tơ – ma trận Trong phần này ta sẽ đưa ra một vài kết quả quan trọng trong phân tích véc tơ - ma trận sẽ được sử dụng ở mục 9.6. Cụ thể, đó là định lý Cayley-Hamilton, đa thức tối giản, và phương pháp nội suy của Sylvester để tính eAt và các véc tơ độc lập tuyến tính. 9.5.1 Định lý Cayley-Hamilton Định lý Cayley-Hamilton rất hữu ích trong việc chứng minh một số định lý liên quan đến các phương trình ma trận hoặc giải quyết các vấn đề về ma trận. Xét ma trận A cấp n x n và phương trình đặc trưng tương ứng: λI − A = λn + a1λn−1 + a2 λn−2 +  + an−1λ + an = 0 Định lý Cayley-Hamilton phát biểu rằng thỏa mãn với phương trình đặc trưng, tức là: An + a1 An−1 + a2 An−2 +  + an−1 A + an I = 0 (9.44) Để chứng minh định lý này, cần chú ý rằng adj(λI - A) là đa thức theo λ với bậc là n-1, đó là: adj (λI − A) = B1λn−1 + B2λn−2 +  + Bn−1λ + Bn Trong đó: Bi = I. Từ biểu thức: (λI − A) adj (λI − A) = [ adj (λI − A)](λI − A) = λI − A I Ta có: λI − A I = Iλn + a1 Iλn−1 + a2 Iλn−2 +  + an−1 Iλ + an I = (λI − A)( B1λn−1 + B2 λn−2 +  + Bn−1λ + Bn ) = ( B1λn−1 + B2 λn−2 +  + Bn−1λ + Bn )(λI − A) Từ phương trình này, ta thấy A và Bi (i=1,2,…,n) là tương đương nhau. Do đó, tích của (λI - A) và adj(λI - A) sẽ bằng 0 nếu có một trong hai = 0. Nếu ta thay λ bằng A, thì (λI - A) = 0. Khi đó: An + a1 An−1 + a2 An−2 +  + an−1 A + an I = 0 Đây là điều chứng minh cho định lý Cayley-Hamilton, hay biểu thức (9.44). 9.5.2 Đa thức tối giản Theo định lý Cayley-Hamilton, mọi ma trận A cấp n x n đều thỏa mãn với phương trình đặc trưng của nó. Tuy nhiên, phương trình đặc trưng thì không cần thiết là phương trình vô hướng có bậc thấp nhất mà ma trận A thỏa mãn. Đa thức có bậc thấp nhất với A là nghiệm thì được gọi là đa thức tối giản. Điều này có nghĩa là, đa thức tối giản của ma trận A được định nghĩa là đa thức φ(λ) có bậc thấp nhất. φ (λ ) = λm + a1λm−1 +  + am−1λ + am , m≤n sao cho φ(A) = 0, hay: φ ( A) = Am + a1 Am−1 +  + am−1 A + am I = 0 Đa thức tối giản đóng vai trò quan trọng trong việc tính toán đa thức chứa ma trận cấp n x n. Giả sử ta có đa thức d(λ) là ước số chung lớn nhất của tất cả các thành phần của adj(λI - A). Khi đó, ta có thể chỉ ra rằng nếu hệ số của bặc cao nhất trong đa thức d(λ) được chọn là 1, thì đa thức tối giản φ(λ) sẽ là: λI − A d (λ ) [Xem bài tập A.9.8 để tìm ra biểu thức (9.45)] φ (λ ) = (9.45) Lưu ý là đa thức tối giản φ(λ) của ma trận A có thể được xác định thông qua các bước sau: 1. Thiết lập adj(λI - A) và viết ra các thành phần của adj(λI - A) gồm những đa thức có chứa λ. 2. Xác định d(λ) là ước số chung lớn nhất của tất cả các thành phần của adj(λI - A). Chọn hệ số ứng với bậc cao nhất của d(λ) là 1. Trường hợp không có ước số chung, ta chọn d(λ) = 1. 3. Đa thức tối giản φ(λ) là tỉ số giữa λI − A và d(λ) 9.5.3 Ma trận hàm mũ eAt Trong việc giải các bài tập về kỹ thuật điều khiển, thường thì việc tính eAt là cần thiết. Nếu ma trận A gồm có những phần tử là số, thì ta có thể dùng MATLAB để tính eAT, với T là hằng số. Bên cạnh việc tính toán bằng máy tính, cũng có nhiều cách khác nhau để tính eAt. Sau đây là 3 phương pháp để tính eAt. Tính eAt : phương pháp 1 Nếu ma trận A có thể chuyển được sang dạng đường chéo, thì eAt được tính theo công thức: e λ1t 0    λ2t e     −1 . e At = Pe Dt P −1 = P  P .     .   e λnt   0 (9.46) Trong đó, P là ma trận chéo hóa đối với A. [Chi tiết để tìm ra biểu thức (9.46) đọc giả xem ở Bài tập A.9.11.] Nếu ma trận A có thể chuyển được sang dạng chuẩn tắc Jordan, thì eAt được tính theo công thức: e At = Se Jt S −1 Trong đó, S là ma trận chuyển tiếp để chuyển ma trận A sang dạng chuẩn tắc Jordan J. Cụ thể, ta xét ma trận A có dạng: 0 1 0  A = 0 0 1 1 − 3 3 Khi đó phương trình đặc trưng sẽ là: λI − A = λ3 − 3λ2 + 3λ − 1 = (λ − 1) 3 = 0 Ma trận A có 3 giá trị riêng bội tại λ = 1 . Như vậy, ma trận chuyển tiếp S chuyển ma trận A sang dạng chuẩn tắc Jordan có dạng: 1 S =  λ1 λ12 0 0 1 0 0 1 0 = 1 1 0 2λ1 1 1 2 1 Và nghịch đảo của ma trận S là: 0 0 1  S −1 = − 1 1 0  1 − 2 1 Từ đó, ta có ma trận chuẩn tắc Jordan J là: 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 0 1  J = S AS = − 1 1 0 0 0 1 1 1 0 = 0 1 1  1 − 2 1 1 − 3 3 1 2 1 0 0 1 −1 Chú ý rằng:  t e e Jt =  0  0  tet et 0 1 2 t t e 2 tet   et   Ta tìm được: e At = Se Jt S −1 1 2 t  t t 0 0 1 0 0 e te 2 t e   1    t t  = 1 1 0 0 e te − 1 1 0   1 2 1  0 0 et   1 − 2 1   1 2 t 1 2 t  t  t te t − t 2 e t t e e − te + 2 t e  2   1 2 t 1 = t e et − te t − t 2 et te t + t 2 et  2 2   1 2 t t 2 t t t  tet + 1 t 2 et − 3te − t e e + 2te + t e   2 2 Tính eAt : phương pháp 2 Phương pháp thứ hai để tính eAt là dùng phép bến đổi Laplace. Từ biểu thức (9.36), ta có: [ e At = L−1 ( sI − A) −1 ] Vì vậy, để tính eAt, trước hết là lấy nghịch đảo của (sI – A). Kết quả này là một ma trận gồm các phần tửcó chứa hàm hữu tỷ theo biến s. Sau đó là thực hiện biến đổi Laplace ngược của từng phần tử trong ma trận đó. VÍ DỤ 9.7: Cho ma trận A của hệ thống có dạng: 0 1  A=  0 − 2  Tính eAt bằng cách sử dụng 2 phương pháp đã nêu ở trên TRẢ LỜI: Phương pháp 1 Ta có: giá trị riêng của ma trận A là 0 và -2 (λ1 = 0, λ2 = -2). Khi đó ma trận chuyển tiếp P sẽ là:  1 1  1 1  P= =  λ1 λ2  0 − 2 Và eAt được tính theo công thức: eλ1t e At = Pe Dt P −1 = P  0 0  −1 P eλ2 t  1 1  e0 =  0 − 2   0 1   0  1 2  1  = e − 2 t  0 − 1  0  2  1  (1 − e − 2t ) 2  e − 2t  Phương pháp 2 Ta có:  s 0  0 1   s − 1  ( sI − A) =  − =  0 s  0 − 2  0 s + 2  Nghịch đảo của (sI – A) là: 1 s 1 ( sI − A) −1 = 2  s + 2s + 1  0  1  1 s ( s + 2)  =  s   1   0 s + 2   1 1 1  ( − ) 2 s ( s + 2)   1   s+2 Vậy:  1 e At = L −1[( sI − A) −1 ] =  0  1  (1 − e −2t ) 2 e −2t  Tính eAt : phương pháp 3 Phương pháp thứ 3 dựa vào phương pháp nội suy của Sylvester. (Xem chi tiết ở Bài tập A.9.12). Trước hết ta sẽ xét trường hợp nghiệm của đa thức tối giản φ(λ) của ma trân A là riêng biệt, sau đó là sẽ xét đến trường hợp nghiệm bội. Trường hợp 1: Đa thức tối giản của A có nghiệm riêng biệt Giả sử bậc của đa thức tối giản φ(λ) là m. Bằng cách sử dụng công thức nội suy của Sylvester, ta có thể tìm eAt khi giải phương trình định thức sau: 1 λ1 1 λ2 . . . . . . 1 λm I A λ12 λ22 . . . λ2m A2  λ1m−1  λm2 −1 . . . e λ1t eλ2t . . =0 .  λmm−1 eλmt  Am−1 e At (9.47) Khi giải phương trình (9.47), kết quả là eAt có thể chứa các thành phần Ak (k=1, 2,… m-1) và e λit (i=1, 2,…, m). eAt có thể viết theo dạng: e At = α 0 (t ) I + α1 (t ) A + α 2 (t ) A2 +  + α m −1 (t ) Am −1 (9.48) Các giá trị α k (t ) (k=1, 2, …, m-1) được xác định bằng cách giải hệ gồm m phương trình sau: α 0 (t ) + α1 (t )λ1 + α 2 (t )λ12 +  + α m −1 (t )λ1m −1 = eλ1t α 0 (t ) + α1 (t )λ2 + α 2 (t )λ22 +  + α m−1 (t )λm2 −1 = e λ2t  α 0 (t ) + α1 (t )λm + α 2 (t )λ2m +  + α m−1 (t )λmm−1 = e λmt Nếu ma trận A có n giá trị riêng khác nhau, thì số giá trị α k (t ) sẽ là m = n. Còn khi A có các giá trị riêng bội, nhưng đa thức tối giản của A chỉ có nghiệm đơn, thì số các giá trị α k (t ) sẽ là m < n. Trường hợp 2: Đa thức tối giản của A có nghiệm bội Giả sử rằng đa thức tối giản của A có 3 nghiệm bội (λ1 = λ2 = λ3) và các nghiệm riêng biệt khác (λ3, λ3, …, λm). Áp dụng công thức nội suy Sylvester, ta cũng tìm được eAt từ phương trình sau: 0 0 0 1 1 λ1 1 λ4 . . . . . . 1 λm I A 1 3λ1  2λ1 3λ12 λ12 λ13 λ24 λ34 . . . . . . 2 λm λ3m A 2 A3         (m − 1)(m − 2) m−3 λ1 2 (m − 1)λ1m−2 λ1m−1 λm4 −1 . . . m −1 λm Am−1 t 2 λ1t e 2 te λ1t e λ1t e λ4t =0 e λmt e At (9.49) Cũng giống như ở trường hợp 1 ở trên, nghiệm eAt từ phương trình (9.49) có thể viết theo dạng: e At = α 0 (t ) I + α1 (t ) A + α 2 (t ) A2 +  + α m −1 (t ) Am −1 Các giá trị α k (t ) (k=1, 2, …, m-1) được xác định bằng cách giải hệ m phương trình: (m − 1)(m − 2) t 2 λ1t m −3 α 2 (t ) + 3α 3 (t )λ1 +  + α m −1 (t )λ1 = e 2 2 α1 (t ) + 2α 2 (t )λ1 + 3α 3 (t )λ12 +  + (m − 1)α m−1 (t )λ1m−2 = te λ1t α 0 (t ) + α1 (t )λ1 + α 2 (t )λ12 +  + α m −1 (t )λ1m −1 = eλ1t α 0 (t ) + α1 (t )λ4 + α 2 (t )λ24 +  + α m−1 (t )λm4 −1 = e λ4t (9.50)  α 0 (t ) + α1 (t )λm + α 2 (t )λ2m +  + α m−1 (t )λmm−1 = e λmt Trong trường hợp có hai hay nhiều nghiệm bội giống nhau, nếu không tìm được đa thức tối giản của A, thì thay thế bằng đa thức đặc trưng. Khi đó quá trình tính toán sẽ phức tạp hơn. VÍ DỤ 9.8: Cho ma trận A của hệ thống có dạng: 0 1  A=  0 − 2  Tính eAt bằng cách sử dụng công thức nội suy Sylvester. TRẢ LỜI: Như đã trình bày ở phương pháp 3, từ phương trình (9.47), ta có: 1 λ1 e λ1t 1 λ2 e λ2t = 0 I e At A Thay λ1 = 0, λ2 = -2 vào, ta được: 1 0 1 1 − 2 e − 2t = 0 I A e At ⇔ −2e At + A + 2 I − Ae −2t = 0 Hay: 1 ( A + 2 I − Ae −2t ) 2 1   0 1   2 0  0 1  − 2 t  =  + − e  2 0 − 2 0 2 0 − 2  e At = 1   1 (1 − e −2t ) = 2 0 e −2t   Mặt khác, ta có thể sử dụng công thức (9.48) để xác định các giá trị α 0 (t ) và α1 (t ) : α 0 (t ) + α1 (t )λ1 = eλ1t α 0 (t ) + α1 (t )λ2 = eλ2t Với λ1 = 0, λ2 = -2, ta có: α 0 (t ) = 1 α 0 (t ) − 2α1 (t ) = e −2t Suy ra: α 0 (t ) = 1 1 α1 (t ) = (1 − e −2t ) 2 Từ đó, ta tính được eAt: 1 e At = α 0 (t ) I + α1 (t ) A = I + (1 − e −2t ) A 2 1  1 1 (1 − e −2t ) 1 0 1 − 2 t 0  = + ( 1 − e ) 2  0 − 2 =  −2 t  0 1  2   0 e  9.5.4 Véc tơ độc lập tuyến tính Các véc tơ x1, x2, …, xn được gọi là độc lập tuyến tính nếu phương trình: c1 x1 + c2 x2 +  + cn xn = 0 thỏa mãn khi và chỉ khi: c1 = c2 =  = cn = 0 (với c1, c2, …, cn là những hằng số). Ngược lại, các véc tơ x1, x2, …, xn được gọi là phụ thuộc tuyến tính nếu và chỉ nếu một x i được biểu diễn thông qua biểu thức kết hợp tuyến tính với xj (j=1, 2, …, n; j ≠ i), hay: n xi = ∑ c j x j j =1 j ≠i VÍ DỤ 9.9: Các véc tơ sau đây: 1  x1 = 2 3 là phụ thuộc tuyến tính vì: 1 x2 = 0 1  2 x3 = 2 4 x1 + x2 − x3 = 0, hay : x3 = x1 + x2 Còn đối với các véc tơ: 1  y1 = 2 3 1 y2 = 0 1  2 y3 = 2 2 là độc lập tuyến tính vì: c1 y1 + c2 y2 + c3 y3 = 0 thỏa mãn khi: c1 = c2 = c3 = 0 Lưu ý rằng, nếu một ma trận cấp n x n là không đơn trị (nghĩa là ma trận có hạng là n, hay định thức khác 0) thì các véc tơ gồm n cột (hay n dòng) là độc lập tuyến tính. Ngược lại, nếu ma trận cấp n x n là đơn trị (nghĩa là ma trận có hạng nhỏ hơn n, hay định thức = 0) thì các véc tơ gồm n cột (hay n dòng) là phụ thuộc tuyến tính. Cụ thể ta có: [ x1 [ y1  y2  x2 1 1 2   x3 ] = 2 0 2 3 1 4 1 1 2   y3 ] = 2 0 2 3 1 2 là là không đơn đơn trị trị (singular) (nonsingular) 9.6 Khả năng điều khiển 9.6.1 Khái niệm về tính điều khiển được và quan sát được Một hệ thống được gọi là điều khiển được tại thời điểm t0 nếu tồn tại một véc tơ điều khiển không có ràng buộc, có thể chuyển hệ thống từ trạng thái ban đầu bất kỳ x(t0) sang trạng thái bất kỳ khác trong một khoảng thời gian nhất định. Một hệ thống được gọi là quan sát được tại thời điểm t0 nếu một trạng thái x(t0) bất kỳ đều có thể xác định được bằng cách quan sát ngõ ra của hệ thống trong một khoảng thời gian nhất định. Khái niệm về tính điều khiển được và tính quan sát được do Kalman đưa ra, chúng đóng một vai trò quan trọng trong việc thiết kế hệ thống điều khiển trong không gian trạng thái. Thật vậy, các điều kiện về tính điều khiển được và quan sát được có thể giải quyết các vấn đề còn tồn tại trong thiết kế hệ thống điều khiển. Tuy nhiên, việc giải quyết vấn đề sẽ không thực hiện được nếu hệ thống là không điều khiển được. Hầu hết các hệ thống vật lý có thể điều khiển được và quan sát được, trong khi các mô hình toán học tương ứng không thể hiện ra tính điều khiển được và tính quan sát được. Vì vậy điều cần thiết là phải nắm được các điều kiện để xét tính điều khiển được và tính quan sát được. 9.6.2 Tính điều khiển được trạng thái hoàn toàn Xét hệ có phương trình trạng thái: x (t ) = Ax(t ) + Bu (t ) Với: (9.51) x(t): véc tơ trạng thái (gồm n phần tử) u(t): tín hiệu điều khiển (vô hướng) A: ma trận n x n; B: ma trận n x 1 Hệ biểu diễn bởi (9.51) được gọi là điều khiển được trạng thái tại thời điểm t = t 0 nếu xây dựng được tín hiệu điều khiển không có ràng buộc mà có thể chuyển hệ thống từ trạng thái ban đầu đến trạng thái cuối trong khoảng thời gian xác định t 0 ≤ t ≤ t1 . Nếu tất cả các trạng thái đều có tính điều khiển được thì hệ thống được gọi là điều khiển được trạng thái hoàn toàn. Ta sẽ đưa ra điều kiện về tính điều khiển được trạng thái hoàn toàn. Ta giả sử rằng trạng thái cuối cùng tương ứng với phương trình không gian trạng thái, và trạng thái này ứng với thời điểm bắt đầu là 0 (t0 = 0). Nghiệm của phương trình (9.51) có dạng: t x(t ) = e x(0) + ∫ e A(t −τ ) Bu (τ )dτ At 0 Từ định nghĩa về tính điều khiển được trạng thái hoàn toàn, ta có: t1 x(t1 ) = 0 = e x(0) + ∫ e A(t1−τ ) Bu (τ )dτ At1 0 Hay: t1 x(0) = − ∫ e − Aτ Bu (τ )dτ 0 (9.52) Kết hợp từ phương trình (9.48) và (9.50), ta có: n −1 e − Aτ = ∑ α k (τ ) Ak k =0 (9.53) Thay (9.53) vào (9.52): n−1 t1 x(0) = − ∑ A B ∫ α k (τ )u (τ )dτ k =0 k 0 Ta đặt: t1 ∫α 0 Phương trình (9.54) sẽ là: k (τ )u (τ )dτ = β k (9.54)  β0      β1  n −1   x(0) = − ∑ Ak Bβ k = − B  AB    An −1B    k =0       β   n −1  (9.55) Nếu hệ thống là điều khiển được trạng thái hoàn toàn, thì với bất kỳ trạng thái ban đầu x(0) nào cũng thỏa mãn với phương trình (9.55). Điều này chỉ xảy ra khi hạng của ma trận [ [B ]  AB    An−1 B ] là n. Từ phân tích này, ta có phát biểu về điều kiện để hệ thống điều khiển được trạng thái hoàn toàn: Hệ thống được cho bởi (9.51) được gọi là điều khiển được trạng thái hoàn toàn nếu và chỉ nếu các véc tơ B, AB, A2B, …, An-1B là độc lập tuyến tính, hay nói cách khác ma trận cấp n x n: [B  AB    An−1 B ] có hạng là n. Kết quả này có thể mở rộng cho trường hợp véc tơ điều khiển u có r chiều. Với hệ có dạng: x (t ) = Ax(t ) + Bu (t ) Trong đó, u là véc tơ gồm r phần tử. Khi đó điều kiện để hệ điều khiển được trạng thái hoàn toàn là ma trận cấp n x nr [B  AB    An−1 B ] có hạng là n, hoặc có chứa n véc tơ cột là độc lập tuyến tính. Ma trận này được gọi là ma trận điều khiển được. VÍ DỤ 9.10: Cho hệ thống có dạng:  x1  1 1   x1  1  x  = 0 − 1  x  + 0u  2     2  Xét tính điều khiển được của hệ? TRẢ LỜI: Ta có: 1 1  1  A= , B =  ,  0 − 1 0  Ma trận điều khiển được là: 1 1  1 1 AB =    =   0 − 1 0 0 1 1   AB ] =   0 0 (đơn trị, hay định thức = 0) Do đó, hệ thống là không điều khiển được trạng thái hòan toàn. [B VÍ DỤ 9.11: Với hệ thống dạng:  x1  1 1   x1  0  x  = 2 − 1  x  + 1u  2     2  Xét tính điều khiển được của hệ? TRẢ LỜI: Ta có: 1 1  0  A= , B =  ,  2 − 1 1 Ma trận điều khiển được là: 1 1  0   1  AB =    =   2 − 1 1 − 1 0 1   AB ] =   1 − 1 (không đơn trị, hay định thức khác 0) Do đó, hệ thống là điều khiển được trạng thái hòan toàn. [B 9.6.3 Dạng khác về điều kiện điều khiển được trạng thái hoàn toàn Xét hệ thống: x (t ) = Ax(t ) + Bu (t ) Với: (9.56) x(t): véc tơ trạng thái (gồm n véc tơ) u(t): véc tơ điều khiển (gồm r véc tơ) A: ma trận n x n B: ma trận n x r Trường hợp các giá trị riêng của ma trận A đều là riêng biệt, thì ta có thể tìm được ma trận chuyển P sao cho thỏa mãn 0 λ1   λ2     . D = P −1 AP =   .     .   λn   0 Lưu ý rằng nếu các giá trị riêng của A là riêng biệt thì các véc tơ riêng của A cũng riêng biệt. Nhưng ngược lại thì không đúng. Ví dụ, một ma trận đối xứng thực có nhiều giá trị riêng bội nhưng lại có n véc tơ riêng khác biệt. Cũng cần chú ý rằng mỗi cột của ma trận P chính là một véc tơ riêng của A liên quan đến λi (i = 1, 2, …, n). Ta đặt: x = Pz (9.57) Lấy đạo hàm của (9.57), và thay (9.57) vào phương trình (9.56), ta được: z = P −1 APz + P −1 Bu (9.58) Bằng cách đặt P −1B = F = ( f ij ) Ta có thể viết lại (9.58) với n phương trình như sau: z1 = λ1 z1 + f11u1 + f12u2 +  + f1r ur z 2 = λ2 z2 + f 21u1 + f 22u2 +  + f 2 r ur  z n = λn zn + f n1u1 + f n 2u2 +  + f nr ur Nếu các phần tử của mỗi dòng trong ma trận F cấp n x r đều là 0, thì khi đó các biến trạng thái tương ứng là không thể điều khiển được với mọi tín hiệu ui. Do vậy, điều kiện để hệ điều khiển được trạng thái hoàn toàn là: nếu các véc tơ riêng của A là riêng biệt thì hệ thống được gọi là điều khiển được trạng thái hoàn toàn khi và chỉ khi không có dòng nào của ma trận P-1B chứa toàn giá trị 0. Điều quan trọng là, khi áp dụng điều kiện này thì ma trận P-1AP phải ở dạng chuẩn tắc đường chéo. Trường hợp ma trận A ở phương trình (9.56) có những giá trị riêng bội, thì không thể thực hiện đường chéo hóa được. Trong trường hợp này, ta có thể chuyển A sang dạng chuẩn tắc Jordan. Giả sử, A có các giá trị riêng: λ1, λ1, λ1, λ4, λ4, λ6, …, λn và có n – 3 véc tơ riêng biệt. Khi đó, ma trận chuẩn tắc Jordan của A là: 0 λ1   λ1     λ1   λ4     λ4 J =  λ6     .   .     .    λn  Các ma trận vuông nằm trên đường chéo chính được gọi là các khối Jordan. Giả sử ta tìm được ma trận chuyển S sao cho: S −1 AS = J Và định nghĩa véc tơ trạng thái mới z bằng cách đặt: x = Sz (9.59) z = S −1 ASz + S −1 Bu (9.60) Thay (9.59) vào (9.56), ta được: −1 = Jz + S Bu Khi đó, điều kiện về tính điều khiển được trạng thái hoàn toàn của hệ thống cho bởi (9.56) được phát biểu: hệ thống là điều khiển được trạng thái hoàn toàn khi và chỉ khi: (1): không có 2 khối Jordan của ma trận J tương ứng có cùng giá trị riêng; (2): Các phần tử ở bất kỳ dòng nào của ma trận S-1B mà ở dòng cuối cùng của mỗi khối Jordan không chứa toàn giá trị 0; và (3): các phần tử ở mỗi dòng của S-1B mà các giá trị riêng biệt không phải đều bằng 0 hết. VÍ DỤ 9.12: Các hệ thống sau đây được gọi là điều khiển được trạng thái hoàn toàn:  x1  − 1 0   x1  2  x  =  0 − 2  x  + 5u  2     2  0   x1  0  x1  − 1 1  x  =  0 − 1 0   x  + 4u  2   2     x 3   0 0 − 2  x3  3 0   x1  0  x1  − 2 1  x     x  0 −2 1  2   2    x 3  =    x3  + 3 −2       − 5 1   x4   0  x 4    x 5   0 − 5  x5  2 1 0  u1  0    u2  0 1 Còn các hệ thống sau đây là không điều khiển được trạng thái hoàn toàn:  x1  − 1 0   x1  2  x  =  0 − 2  x  + 0u  2     2  0   x1  4 2  x1  − 1 1  x  =  0 − 1 0   x  + 0 0  u1   2   2    u   x 3   0 0 − 2  x3  3 0  2  0   x1  4  x1  − 2 1  x     x   2 −2 1  2   2     x 3  =    x3  + 1 u −2        − 5 1   x4   3   x 4    x 5   0 − 5  x5  0 9.6.3 Điều kiện điều khiển được trạng thái hoàn toàn trong miền s Điều kiện về điều khiển được trạng thái hoàn toàn có thể dựa vào các hàm truyền đạt hoặc ma trận truyền. Có thể chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để hệ thống điều khiển được trạng thái hoàn toàn là không có sự triệt tiêu xảy ra trong hàm truyền hay ma trần truyền. Nếu có sự triệt tiêu xảy ra thì hệ thống là không thể điều khiển được. VÍ DỤ 9.13: Xét hệ thống có hàm truyền sau: G(s) = X (s) s + 2.5 = U ( s ) ( s + 2.5)( s − 1) Rõ ràng ở đây có sự triệt tiêu thành phần s + 2.5 ở tử số và mẫu số hàm truyền (giảm đi 1 bậc của hệ thống). Vì thế hệ trên là không điều khiển được trạng thái hoàn toàn. Kết luận cũng tương tự đối với hệ thống cho ở hàm truyền trên nhưng được viết dưới dạng phương trình trạng thái sau: 1   x1  1  x1   0  x  = 2.5 − 1.5  x  + 1u  2     2  Khi đó: 1 1  AB] =   1 1 (đơn trị, hay định thức = 0) [ ] B  AB Hạng của ma trận là 1. Vậy hệ thống không điều khiển được trạng thái hoàn toàn. [B 9.6.4 Khả năng điều khiển được ngõ ra Trong thực tế điều khiển hệ thống, thường ta cần điều khiển ngõ ra hơn là điều khiển trạng thái của hệ thống. Tính điều khiển được trạng thái hoàn toàn không phải là điều kiện cần và đủ để điều khiển ngõ ra của hệ. Xét hệ được mô tả bởi: Với: x = Ax + Bu (9. 61) y = Cx + Du (9.62) x: véc tơ trạng thái (gồm n véc tơ) u: véc tơ điều khiển (gồm r véc tơ) y: véc tơ ngõ ra (gồm m véc tơ) A: ma trận n x n, B: ma trận n x r C: ma trận m x n, D: ma trận m x r Hệ thống được mô tả bởi (9.61) và (9.62) được gọi là điều khiển được ngõ ra hoàn toàn nếu xây dựng được véc tơ điều khiển bất kỳ u(t) mà có thể chuyển được ngõ ra ở thời điểm ban đầu y(t0) đến ngõ ra ở thời điểm cuối y(t1) trong một khoảng thời gian nhất định t0 ≤ t ≤ t1 Ta có thể thấy rõ rằng: Hệ thống được mô tả bởi (9.61) và (9.62) là điều khiển được ngõ ra hoàn toàn khi và chỉ khi ma trận cấp m x (n+1)r [CB  CAB  CA2 B    CAn −1B  D ] có hạng là m. (Xem chứng minh ở bài tập A.9.16). Chú ý rằng sự hiện diện của thành phần Du trong biểu thức (9.62) chính là thành phần tạo nên khả năng điều khiển được ở ngõ ra. Hệ thống không thể điều khiển được là hệ có hệ thống phụ không có kết nối với tín hiệu ngõ vào. 9.6.5 Tính ổn định của hệ thống Với một hệ thống điều khiển được chưa hoàn chỉnh, khi hệ ở trạng thái không điều khiển được là ổn định và khi hệ ở trạng thái không ổn định là có thể điều khiển được thì hệ thống được gọi là có tính ổn định. Ví dụ, với hệ sau đây:  x1  1 0   x1  1  x  = 0 − 1  x  + 0u  2     2  là không điều khiển được trạng thái. Ở trạng thái ổn định tương ứng với giá trị riêng bằng -1 là không thể điều khiển được. Ở trạng thái không ổn định tương ứng với giá trị riêng bằng 1 là có thể điều khiển được. Hệ thống này có thể ổn định được khi sử dụng tín hiệu hồi tiếp thích hợp. Như vậy thì hệ thống được gọi là có tính ổn định. 9.7 Khả năng quan sát Xét hệ thống được mô tả bởi 2 phương trình sau: Với: x = Ax (9. 63) y = Cx (9.64) x: véc tơ trạng thái (gồm n véc tơ) y: véc tơ ngõ ra (gồm m véc tơ) A: ma trận n x n, C: ma trận m x n Hệ thống được gọi là quan sát được hoàn toàn nếu có thể xác định được bất kỳ trạng thái x(t 0) nào bằng việc quan sát ngõ ra y(t) trong một khoảng thời gian nhất định t0 ≤ t ≤ t 1 . Do đó, có thể nói hệ thống là quan sát được hoàn toàn nếu với mọi sự chuyển tiếp của trạng thái tức thì đều ảnh hưởng đến mọi thành phần của véc tơ ngõ ra. Khái niệm về tính quan sát được rất hữu ích trong việc giải các vấn đề xây dựng lại các biến trạng thái không đo được từ các biến có thể đo được trong khoảng thời gian ngắn nhất có thể. Trong mục này ta cũng chỉ xét đối với hệ thống là tuyến tính và bất biến theo thời gian. Do đó, ta có thể xem như t0 = 0. Trong thực tế, khó khăn thường gặp với tín hiệu điều khiển hồi tiếp trạng thái là có một số trong các biến trạng thái không thể đo được, nên điều cần thiết là phải ước lượng các biến không đo được đó để xây dựng tín hiệu điều khiển. Ở mục 10.5 (chương 10) sẽ nói đến vấn đề ước lượng các biến trạng thái khi và chỉ khi hệ thống là quan sát được hoàn toàn. Điều kiện về khả năng quan sát được của hệ thống: Nếu hệ được cho bởi x = Ax + Bu y = Cx + Du thì khi đó: t x(t ) = e At x(0) + ∫ e A(t −τ ) Bu (τ )dτ 0 Và ngõ ra y(t) sẽ là: t y (t ) = Ce x(0) + C ∫ e A( t −τ ) Bu (τ )dτ + Du At 0 Nếu các ma trận A, B, C, D và tín hiệu u(t) đều đã biết trước, thì 2 số hạng cuối ở vế phải của phương trình trên là tính được. Các giá trị này có thể trừ với tín hiệu y(t) quan sát được. Do đó, khi xét điều kiện cần và đủ cho tính quan sát được hoàn toàn, ta có thể chỉ cần xét hệ có dạng như ở (9.63) và (9.64). 9.7.1 Khả năng quan sát được hoàn toàn của hệ thống trong miền thời gian Xét hệ thống được cho bởi (9.63) và (9.64), có véc tơ ngõ ra y(t) là: y (t ) = Ce At x(0) Từ phương trình (9.48) và (9.50), ta có: n−1 e At = ∑ α k (t ) Ak k =0 Với n là bậc của đa thức đặc trưng. [Lưu ý là ở phương trình (9.48) và (9.50) khi thay m bằng n thì ta sẽ có đa thức đặc trưng]. Vậy: n−1 y (t ) = ∑ α k (t )CAk e At x(0) k =0 Hay: e At = α 0 (t )Cx (0) + α1 (t )CAx(0) +  + α n −1 (t )CAn −1 x(0) (9.65) Nếu hệ thống là quan sát được hoàn toàn, thì với ngõ ra y(t) cho trước trong khoảng thời gian xác định 0 ≤ t ≤ t 1 , ta hoàn toàn xác định được giá trị x(0) từ (9.65). Điều này có nghĩa là hạng của ma trận nm x n  C   CA     .     .   .   n −1  CA  là n. (Xem lời giải chi tiết về điều kiện này ở Bài tập A.9.19) Từ phân tích như trên, ta đưa ra điều kiện để hệ mô tả bởi (9.63) và (9.64) có khả năng quan sát được hoàn toàn khi và chỉ khi ma trận n x nm: [C * ]  A * C *    ( A*)n−1 C * có hạng là n, hay có n véc tơ cột độc lập tuyến tính. Ma trận này gọi là ma trận quan sát được. VÍ DỤ 9.14: Xét hệ thống mô tả bởi: 1   x1  0  x1   1  x  = − 2 − 1  x  + 1u  2     2  x  y = [1 0]  1   x2  Hệ có tính điều khiển được và quan sát được không? TRẢ LỜI: Ta có: Ma trận: 1 1 A= , − 2 − 1 0  B =  , 1 1  0   1  1 AB =    =   − 2 − 1 1 − 1 0 1   AB ] =   1 − 1 có hạng là 2. Do đó, hệ thống là điều khiển được trạng thái hòan toàn. [B Để xét tính điều khiển được ngõ ra, ta tìm hạng của ma trận: [ CB CAB ] 0  1 CB = [1 0]   = 0, CAB = [1 0]   = 1 1 − 1 ⇒ [ CB CAB ] = [ 0 1] Hạng của ma trận này là 1. Do đó hệ điều khiển được ngõ ra hoàn toàn. Để kiểm tra điều kiện quan sát được, ta xét hạng của ma trận [ C* A*C* ] 1 1 A * C *] =   0 1 Ma trận này có hạng bằng 2. Vậy hệ đã cho là quan sát được hoàn toàn. [C * 9.7.2 Điều kiện về tính quan sát được hoàn toàn của hệ trong miền phức Điều kiện về tính quan sát được hoàn toàn có thể dựa vào hàm truyền hay ma trận truyền của hệ: Điều kiện cần và đủ để hệ quan sát được hoàn toàn là không có sự triệt tiêu xảy ra trong hàm truyền hay ma trận truyền. Khi hệ ở trạng thái triệt tiêu, thì không thể quan sát được ở ngõ ra. VÍ DỤ 9.15: Hãy chứng tỏ rằng hệ thống sau đây là không quan sát được hoàn toàn: x = Ax + Bu y = Cx Với: 1 0  x1  0 0      x =  x2 , A= 0 0 1 , B = 0, C = [ 4 5 1]  x3  − 6 − 11 − 6 1 TRẢ LỜI: Lưu ý rằng tín hiệu u không ảnh hưởng đến tính quan sát được của hệ. Do đó, khi kiểm tra về tính quan sát, ta có thể cho u = 0. Ta có: [ 4 − 6 6  C * A * C * ( A*) C * = 5 − 7 5  1 − 1 − 1 2 ] Định thức: 4 −6 6 5 −7 5 =0 1 −1 −1 Suy ra hạng của ma trận này nhỏ hơn 3. Vậy hệ không thể quan sát được hoàn toàn. Thật vậy, hệ thống này có sự triệt tiêu trong hàm truyền. Hàm truyền giữa X1(s) và U(s) là: X 1 (s) 1 = U ( s ) ( s + 1)( s + 2)( s + 3) Và hàm truyền giữa Y(s) và X1(s) là: Y (s) = ( s + 1)( s + 4) X 1 (s) Vậy, hàm truyền giữa Y(s) và U(s) là: Y (s) ( s + 1)(s + 4) ( s + 4) = = U ( s ) ( s + 1)( s + 2)( s + 3) ( s + 2)( s + 3) Do sự triệt tiêu của thành phần (s+1) trong hàm truyền. Điều này cho thấy trạng thái ban đầu x(0) ≠ 0, làm cho việc đo lường tín hiệu y(t) là không xác định. Ghi chú: Trong hàm truyền sẽ không có sự triệt tiêu nếu và chỉ nếu hệ thống là điều khiển được trạng thái hoàn toàn và quan sát được hoàn toàn. Nghĩa là, hàm truyền đã có triệt tiêu không mang đầy đủ thông tin đặc trưng về hệ thống động học. 9.7.3 Dạng khác về điều kiện về tính quan sát được hoàn toàn Xét hệ thống được mô tả bởi 2 phương trình (9.63) và (9.64) viết lại như sau: x = Ax (9. 66) y = Cx (9.67) Giả sử ta tìm được ma trận chuyển P chuyển ma trận A sang dạng đường chéo, hay: P −1 AP = D Với D là ma trận đường chéo, ta đặt: x = Pz Khi đó, (9.66) và (9.67) có thể viết lại: z = P −1 APz = Dz y = CPz y (t ) = CPe Dt z (0) Hay:  eλ1t z1 (0)  e λ1t 0   λ2t    eλ2t e z2 (0)        . y (t ) = CP    z (0) = CP  .         .     λn t e λn t   0 e zn (0) Hệ là quan sát được hoàn toàn nếu không có cột nào của ma trận CP (cấp m x n) chứa toàn giá trị 0. Bởi vì nếu có 1 cột nào đó chứa toàn các số 0, thì biến trạng thái zi(0) sẽ bị triệt tiêu ở phương trình ngõ ra, và do đó cũng không thể xác định được từ việc quan sát ngõ ra y(t). Vì vậy, x(0) cũng không thể xác định được bằng ma trận P không đơn trị. (Cần lưu ý rằng điều kiện kiểm tra này chỉ được áp dụng khi ma trận P-1AP là dạng đường chéo) Trường hợp ma trận A không thể chuyển được sang dạng đường chéo hóa, thì ta có thể chuyển sang ma trận chuẩn tắc Jordan (J) bằng cách sử dụng ma trận chuyển S tương ứng, sao cho: S −1 AS = J Ta đặt: x = Sz Khi đó, (9.66) và (9.67) có thể viết lại: z = S −1 ASz = Jz y = CSz Và: y (t ) = CPe Dt z (0) Vậy, hệ thống là quan sát được hoàn toàn nếu: (1) không có 2 khối Jordan trong ma trận J liên kết với cùng các giá trị riêng; (2) không có cột nào của CS tương ứng với dòng đầu tiên của mỗi khối Jordan chứa toàn các phần tử 0; và (3) không có cột nào của CS ứng với các giá trị riêng biệt chứa toàn các phần tử 0. Để làm sáng tỏ cho điều kiện (2), Ở Ví dụ 9.16 ta có những khối bao đường đứt nét ở các cột của CS tương ứng với dòng đầu tiên của mỗi khối Jordan. VÍ DỤ 9.16: Các hệ thống sau đây được gọi là quan sát được hoàn toàn:  x1  − 1 0   x1   x  =  0 − 2  x ,  2   2  x  y = [1 3]  1   x2   x1  2 1 0  x1   x  = 0 2 1   x ,  2   2   x 3  0 0 2  x3   x1   y1  3 0 0    y  = 4 0 0  x2  x   2   3 0   x1   x1  2 1 0  x  0 2 1 x   2   2   x 3  = 0 0 2   x3 ,      − 3 1   x4   x 4    x 5  0 − 3  x5   x1  x  2  y1  1 1 1 0 0    y  = 0 1 1 1 0  x3  x   2   4  x5  Các hệ thống sau đây được gọi là không quan sát được hoàn toàn:  x1  − 1 0   x1   x  =  0 − 2  x ,  2   2  x  y = [ 0 1]  1   x2   x1  2 1 0  x1   x  = 0 2 1   x ,  2   2   x 3  0 0 2  x3   x1   y1  0 1 3    y  = 0 2 4  x2   x   2   3 0   x1   x1  2 1 0  x  0 2 1 x   2   2   x 3  = 0 0 2   x3 ,      − 3 1   x4   x 4    x 5  0 − 3  x5   x1  x  2  y1  1 1 1 0 0    y  = 0 1 1 0 0  x3  x   2   4  x5  9.7.3 Nguyên lý đối ngẫu Bây giờ ta sẽ xét mối quan hệ giữa khả năng điều khiển được và khả năng quan sát được. Với nguyên lý đối ngẫu của Kalman sẽ làm sáng tỏ mối quan hệ tương tự giữa khả năng điều khiển được và khả năng quan sát được. Xét hệ thống S1 được mô tả bởi: x = Ax + Bu y = Cx Với: x: véc tơ trạng thái (gồm n véc tơ) u: véc tơ điều khiển (gồm r véc tơ) y: véc tơ ngõ ra (gồm m véc tơ) A: ma trận n x n B: ma trận n x r C: ma trận m x n Và hệ thống S2 được mô tả bởi: z = A * z + C * v w = B*z Với: z: véc tơ trạng thái (gồm n véc tơ) v: véc tơ điều khiển (gồm r véc tơ) w: véc tơ ngõ ra (gồm m véc tơ) A*: ma trận chuyển vị của A B*: ma trận chuyển vị của B C*: ma trận chuyển vị của C Nguyên lý đối ngẫu phát biểu rằng hệ thống S 1 là điều khiển được trạng thái hoàn toàn (hoặc quan sát được) nếu và chỉ nếu hệ thống S 2 là quan sát được hoàn toàn (hoặc điều khiển được trạng thái). Để làm sáng tỏ nguyên lý này, ta ghi lại điều kiện cần và đủ cho khả năng điều khiển được trạng thái hoàn toàn và khả năng quan sát được hoàn toàn cho hệ S1 và S2. Với hệ S1: 1. Điều kiện cần và đủ để hệ điều khiển được trạng thái hoàn toàn là ma trận cấp n x nr [B  AB    An−1 B ] có hạng là n. 2. Điều kiện cần và đủ để hệ quan sát được hoàn toàn là hạng của ma trận cấp n x nm [C * ]  A * C *    ( A*) n−1 C * bằng n. Với hệ S2: 1. Điều kiện cần và đủ để hệ điều khiển được trạng thái hoàn toàn là ma trận cấp n x nm [C * ]  A * C *    ( A*) n−1 C * có hạng là n. 2. Điều kiện cần và đủ để hệ quan sát được hoàn toàn là hạng của ma trận cấp n x nr [B bằng n.  AB    An−1 B ] Bằng cách so sánh các điều kiện này, ta thấy nguyên lý đối ngẫu là hiển nhiên đúng. Với nguyên lý đối ngẫu, thì khả năng quan sát được của hệ đã cho có thể kiểm tra bằng cách xét tính điều khiển được trạng thái của hệ đối ngẫu. Khả năng nhận dạng: Đối với một hệ thống có khả năng quan sát được, nếu ở chế độ không quan sát được là ổn định và ở chế độ quan sát được là không ổn định, thì hệ được gọi là có khả năng nhận dạng được. Lưu ý là khái niệm này là đối ngẫu với khả năng ổn định của hệ thống. [...]... chuyển hệ thống từ trạng thái ban đầu đến trạng thái cuối trong khoảng thời gian xác định t 0 ≤ t ≤ t1 Nếu tất cả các trạng thái đều có tính điều khiển được thì hệ thống được gọi là điều khiển được trạng thái hoàn toàn Ta sẽ đưa ra điều kiện về tính điều khiển được trạng thái hoàn toàn Ta giả sử rằng trạng thái cuối cùng tương ứng với phương trình không gian trạng thái, và trạng thái này ứng với thời... 0 9. 6.3 Điều kiện điều khiển được trạng thái hoàn toàn trong miền s Điều kiện về điều khiển được trạng thái hoàn toàn có thể dựa vào các hàm truyền đạt hoặc ma trận truyền Có thể chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để hệ thống điều khiển được trạng thái hoàn toàn là không có sự triệt tiêu xảy ra trong hàm truyền hay ma trần truyền Nếu có sự triệt tiêu xảy ra thì hệ thống là không thể điều khiển. .. 3 1 2 là là không đơn đơn trị trị (singular) (nonsingular) 9. 6 Khả năng điều khiển 9. 6.1 Khái niệm về tính điều khiển được và quan sát được Một hệ thống được gọi là điều khiển được tại thời điểm t0 nếu tồn tại một véc tơ điều khiển không có ràng buộc, có thể chuyển hệ thống từ trạng thái ban đầu bất kỳ x(t0) sang trạng thái bất kỳ khác trong một khoảng thời gian nhất định Một hệ thống được gọi là... được 9. 6.2 Tính điều khiển được trạng thái hoàn toàn Xét hệ có phương trình trạng thái: x (t ) = Ax(t ) + Bu (t ) Với: (9. 51) x(t): véc tơ trạng thái (gồm n phần tử) u(t): tín hiệu điều khiển (vô hướng) A: ma trận n x n; B: ma trận n x 1 Hệ biểu diễn bởi (9. 51) được gọi là điều khiển được trạng thái tại thời điểm t = t 0 nếu xây dựng được tín hiệu điều khiển không có ràng buộc mà có thể chuyển hệ thống. .. chuyển S sao cho: S −1 AS = J Và định nghĩa véc tơ trạng thái mới z bằng cách đặt: x = Sz (9. 59) z = S −1 ASz + S −1 Bu (9. 60) Thay (9. 59) vào (9. 56), ta được: −1 = Jz + S Bu Khi đó, điều kiện về tính điều khiển được trạng thái hoàn toàn của hệ thống cho bởi (9. 56) được phát biểu: hệ thống là điều khiển được trạng thái hoàn toàn khi và chỉ khi: (1): không có 2 khối Jordan của ma trận J tương ứng có... đề còn tồn tại trong thiết kế hệ thống điều khiển Tuy nhiên, việc giải quyết vấn đề sẽ không thực hiện được nếu hệ thống là không điều khiển được Hầu hết các hệ thống vật lý có thể điều khiển được và quan sát được, trong khi các mô hình toán học tương ứng không thể hiện ra tính điều khiển được và tính quan sát được Vì vậy điều cần thiết là phải nắm được các điều kiện để xét tính điều khiển được và tính... sát được tại thời điểm t0 nếu một trạng thái x(t0) bất kỳ đều có thể xác định được bằng cách quan sát ngõ ra của hệ thống trong một khoảng thời gian nhất định Khái niệm về tính điều khiển được và tính quan sát được do Kalman đưa ra, chúng đóng một vai trò quan trọng trong việc thiết kế hệ thống điều khiển trong không gian trạng thái Thật vậy, các điều kiện về tính điều khiển được và quan sát được có thể... dòng trong ma trận F cấp n x r đều là 0, thì khi đó các biến trạng thái tương ứng là không thể điều khiển được với mọi tín hiệu ui Do vậy, điều kiện để hệ điều khiển được trạng thái hoàn toàn là: nếu các véc tơ riêng của A là riêng biệt thì hệ thống được gọi là điều khiển được trạng thái hoàn toàn khi và chỉ khi không có dòng nào của ma trận P-1B chứa toàn giá trị 0 Điều quan trọng là, khi áp dụng điều. .. AB =    =   2 − 1 1 − 1 0 1   AB ] =   1 − 1 (không đơn trị, hay định thức khác 0) Do đó, hệ thống là điều khiển được trạng thái hòan toàn [B 9. 6.3 Dạng khác về điều kiện điều khiển được trạng thái hoàn toàn Xét hệ thống: x (t ) = Ax(t ) + Bu (t ) Với: (9. 56) x(t): véc tơ trạng thái (gồm n véc tơ) u(t): véc tơ điều khiển (gồm r véc tơ) A: ma trận n x n B: ma trận n x r Trường hợp... về điều kiện để hệ thống điều khiển được trạng thái hoàn toàn: Hệ thống được cho bởi (9. 51) được gọi là điều khiển được trạng thái hoàn toàn nếu và chỉ nếu các véc tơ B, AB, A2B, …, An-1B là độc lập tuyến tính, hay nói cách khác ma trận cấp n x n: [B  AB    An−1 B ] có hạng là n Kết quả này có thể mở rộng cho trường hợp véc tơ điều khiển u có r chiều Với hệ có dạng: x (t ) = Ax(t ) + Bu (t ) Trong ... Vậy hệ thống không điều khiển trạng thái hoàn toàn [B 9. 6.4 Khả điều khiển ngõ Trong thực tế điều khiển hệ thống, thường ta cần điều khiển ngõ điều khiển trạng thái hệ thống Tính điều khiển trạng. .. nên khả điều khiển ngõ Hệ thống điều khiển hệ có hệ thống phụ kết nối với tín hiệu ngõ vào 9. 6.5 Tính ổn định hệ thống Với hệ thống điều khiển chưa hoàn chỉnh, hệ trạng thái không điều khiển ổn... diễn không gian trạng thái Điều quan trọng cần lưu ý biểu diễn không gian trạng thái hệ thống không Có nhiều kiểu biểu diễn không gian trạng thái hệ thống Dòng lệnh MATLAB dạng biểu diễn hệ 9. 3.1