BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BỘ QUỐC PHÒNG HỌC VIỆN KỸ THUẬT QUÂN SỰ PHẠM VĂN ĐẠT PHÂN TÍCH KẾT CẤU DÀN CHỊU TẢI TRỌNG TĨNH THEO SƠ ĐỒ BIẾN DẠNG LUẬN ÁN TIẾN SĨ KỸ THUẬT HÀ NỘI - NĂM 2015 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BỘ QUỐC PHÒNG HỌC VIỆN KỸ THUẬT QUÂN SỰ PHẠM VĂN ĐẠT PHÂN TÍCH KẾT CẤU DÀN CHỊU TẢI TRỌNG TĨNH THEO SƠ ĐỒ BIẾN DẠNG Chuyên ngành: Kỹ thuật Xây dựng Công trình ñặc biệt Mã số : 62 58 02 06 LUẬN ÁN TIẾN SĨ KỸ THUẬT Người hướng dẫn Khoa học: 1. GS. TSKH. HÀ HUY CƯƠNG 2. PGS. TS. NGUYỄN PHƯƠNG THÀNH HÀ NỘI - NĂM 2015 I LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam ñoan, ñây là công trình nghiên cứu của riêng tôi. Các số liệu, kết quả tính toán trong luận án là chính xác, trung thực và chưa từng ai công bố ở bất kỳ công trình nào khác. Hà nội, ngày 08 tháng 7 năm 2015 Người cam ñoan Phạm Văn Đạt II LỜI CẢM ƠN Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn vô hạn ñến GS. TSKH. Hà Huy Cương nhà khoa học chân chính. Thầy ñã luôn chỉ bảo, ñộng viên tận tình hướng dẫn giúp ñỡ tác giả nâng cao kiến thức khoa học ñể hoàn thành luận án này. Tác giả xin trân trọng cảm ơn PGS. TS. Nguyễn Phương Thành ñã giúp ñỡ cho tác giả nhiều chỉ dẫn khoa học và tạo mọi ñiều kiện thuận lợi ñể tác giả hoàn thành luận án này. Tác giả xin trân trọng cảm ơn các thầy cô, các bạn ñồng nghiệp trong Bộ môn Sức bền – Cơ kết cấu, trong Khoa Xây dựng và Khoa Tại chức, Trường Đại học Kiến trúc Hà Nội ñã luôn quan tâm, giúp ñỡ và ñộng viên tác giả hoàn thành luận án. Tác giả xin trân trọng cảm ơn Ban giám ñốc, Khoa sau ñại học, Viện các công trình ñặc biệt và tập thể các thầy cô trong Bộ môn Cơ sở kỹ thuật công trình Học viện Kỹ thuật Quân sự ñã giúp ñỡ tác giả trong quá trình học tập nghiên cứu tại Học viện. Tác giả xin cảm ơn ñối với người thân trong Gia ñình ñã ñộng viên, khích lệ và không ngại vất vả trong công việc gia ñình ñể tác giả yên tâm hoàn thành luận án. Tác giả luận án Phạm Văn Đạt III MỤC LỤC Lời cam ñoan Lời cảm ơn Mục lục Danh mục các bảng Danh mục các hình vẽ Danh mục các ký hiệu Danh mục các chữ viết tắt MỞ ĐẦU CHƯƠNG 1 TỔNG QUAN VỀ PHÂN TÍCH TÍNH TOÁN KẾT CẤU DÀN 1.1 Đặc ñiểm và ứng dụng của kết cấu dàn 1.2 Những phương hướng và tình hình nghiên cứu tính toán kết cấu dàn hiện nay 1.3 Tình hình nghiên cứu trong nước 1.4 Một số vấn ñề còn tồn tại và lý do lựa chọn ñề tài 1.5 Mục tiêu nghiên cứu của luận án CHƯƠNG 2 CƠ SỞ LÝ THUYẾT PHÂN TÍCH PHI TUYẾN HÌNH HỌC KẾT CẤU DÀN 2.1 Phương pháp phân tích dàn phi tuyến hình học dựa trên phương pháp nguyên lý cực trị Gauss 2.1.1 Phân tích tuyến tính kết cấu dàn theo cách thứ nhất 2.1.2 Phân tích tuyến tính kết cấu dàn theo cách thứ hai 2.1.3 Phân tích phi tuyến hình học kết cấu dàn theo cách thứ nhất 2.1.4 Phân tích phi tuyến hình học kết cấu dàn theo cách thứ hai 2.2 Phương pháp xác ñịnh các thành phần chuyển vị tại các nút dàn và nội lực trong các thanh dàn ñối với bài toán dàn phi tuyến hình học 2.3 Một số kết quả nghiên cứu bài toán kết cấu dàn 2.3.1 Tính toán dàn theo cách thứ nhất 2.3.2 Tính toán dàn theo cách thứ hai 2.3.3 Ảnh hưởng của thông số vật liệu ñến ñộ chênh lệch kết quả phân tích nội lực trong các thanh dàn giữa PTTT và PTPTHH 2.3.4 Ảnh hưởng của giá trị tải trọng tác dụng ñến ñộ chênh lệch kết quả nội lực trong các thanh dàn giữa PTTT và PTPTHH 2.4 Kết luận chương Trang I II III VI VIII XII XIV 1 5 7 17 18 19 21 26 30 31 34 35 37 37 41 44 47 51 IV CHƯƠNG 3 PHÂN TÍCH PHI TUYẾN HÌNH HỌC KẾT CẤU DÀN VÒM PHẲNG 3.1 Phân tích phi tuyến hình học dàn vòm phẳng tĩnh ñịnh 3.1.1 Tính toán dàn vòm phẳng tĩnh ñịnh 3.1.2 Ảnh hưởng ñộ thoải của dàn vòm phẳng tĩnh ñịnh ñến PTCL chuyển vị, nội lực giữa PTPTHH và PTTT 3.2 Phân tích phi tuyến hình học dàn vòm phẳng tĩnh ñịnh trong, siêu tĩnh ngoài 3.2.1 Tính toán dàn vòm phẳng tĩnh ñịnh trong, siêu tĩnh ngoài 3.2.2 Ảnh hưởng ñộ thoải của dàn vòm phẳng tĩnh ñịnh trong, siêu tĩnh ngoài ñến PTCL chuyển vị, nội lực giữa PTPTHH và PTTT 3.3 Phân tích phi tuyến hình học dàn vòm phẳng siêu tĩnh trong, tĩnh ñịnh ngoài 3.3.1 Tính toán dàn vòm phẳng siêu tĩnh trong, tĩnh ñịnh ngoài 3.3.2 Ảnh hưởng ñộ thoải của dàn vòm phẳng siêu tĩnh trong, tĩnh ñịnh ngoài ñến PTCL chuyển vị, nội lực giữa PTPTHH và PTTT 3.4 Phân tích phi tuyến hình học dàn vòm phẳng siêu tĩnh trong và siêu tĩnh ngoài 3.4.1 Tính toán dàn vòm phẳng siêu tĩnh trong và siêu tĩnh ngoài 3.4.2 Ảnh hưởng ñộ thoải của dàn vòm phẳng siêu tĩnh trong và siêu tĩnh ngoài ñến PTCL chuyển vị, nội lực giữa PTPTHH và PTTT 3.5 Kết luận chương CHƯƠNG 4 PHÂN TÍCH PHI TUYẾN HÌNH HỌC KẾT CẤU DÀN KHÔNG GIAN 4.1 Phân tích phi tuyến hình học dàn cầu không gian một lớp 4.1.1 Tính toán phi tuyến hình học dàn Kiewitt 8 4.1.2 So sánh kết quả tính toán chuyển vị, nội lực giữa PTTT và PTPTHH 4.1.3 Ảnh hưởng ñộ thoải của dàn cầu không gian K8 ñến PTCL chuyển vị, nội lực giữa PTTT và PTPTHH 4.2 Phân tích phi tuyến hình học kết cấu dàn vòm không gian một lớp 4.2.1 Tính toán dàn vòm không gian một lớp loại 1 4.2.2 So sánh kết quả tính toán chuyển vị, nội lực giữa PTTT và PTPTHH 4.2.3 Ảnh hưởng ñộ thoải của dàn vòm không gian một lớp loại 1 ñến PTCL chuyển vị, nội lực giữa PTTT và PTPTHH 4.3 Kết luận chương 53 53 60 64 64 68 71 71 76 80 80 85 88 90 91 94 96 99 101 104 106 109 V CHƯƠNG 5 TÍNH TOÁN ỔN ĐỊNH PHI TUYẾN HÌNH HỌC KẾT CẤU DÀN VÒM PHẲNG 5.1 Phương pháp chuyển vị cưỡng bức ñể xác ñịnh tải trọng hạn trong bài toán nén dọc trục 5.1.1 Bài toán ổn ñịnh thanh chịu nén 5.1.2 Phương pháp chuyển vị cưỡng bức 5.1.3 Phương pháp phần tử hữu hạn ñể xác ñịnh tải trọng tới hạn thanh hai ñầu khớp chịu nén dọc trục 5.2 Phương pháp xác ñịnh tải trọng tới hạn lên kết cấu dàn có kể ñến tính phi tuyến hình học 5.3 Xác ñịnh tải trọng tới hạn lên dàn vòm phẳng tĩnh ñịnh chịu tải trọng thẳng ñứng tại nút dàn vòm 5.3.1 Ví dụ phân tích 5.3.2 Nghiên cứu ảnh hưởng ñộ thoải của dàn vòm phẳng tĩnh ñịnh ñến giá trị tải trọng tới hạn tác dụng lên dàn 5.4 Tính toán ổn ñịnh dàn vòm phẳng tĩnh ñịnh trong, siêu tĩnh ngoài chịu tải trọng thẳng ñứng tại nút dàn 5.4.1 Ví dụ phân tích 5.4.2 Ảnh hưởng ñộ thoải của dàn vòm phẳng tĩnh ñịnh trong, siêu tĩnh ngoài ñến giá trị tải trọng tới hạn tác dụng lên dàn vòm 5.5 Tính toán ổn ñịnh dàn vòm phẳng siêu tĩnh trong, tĩnh ñịnh ngoài chịu tải trọng thẳng ñứng tại nút dàn 5.5.1 Ví dụ phân tích 5.5.2 Ảnh hưởng ñộ thoải của dàn vòm phẳng siêu tĩnh trong, tĩnh ñịnh ngoài ñến giá trị tải trọng tới hạn tác dụng lên dàn vòm 5.6 Tính toán ổn ñịnh dàn vòm phẳng siêu tĩnh trong và siêu tĩnh ngoài chịu tải trọng thẳng ñứng tại nút dàn vòm 5.6.1 Ví dụ phân tích 5.6.2 Ảnh hưởng ñộ thoải của dàn vòm phẳng siêu tĩnh trong và siêu tĩnh ngoài ñến giá trị tải trọng tới hạn tác dụng lên dàn vòm 5.7 Kết luận chương KẾT LUẬN KIẾN NGHỊ NHỮNG VẤN ĐỀ CÓ THỂ NGHIÊN CỨU TIẾP DANH MỤC CÁC CÔNG TRÌNH CỦA TÁC GIẢ DANH MỤC CÁC TÀI LIỆU THAM KHẢO PHỤ LỤC (Quyển 2) 111 111 113 114 118 122 122 125 125 125 127 128 128 130 131 131 133 134 136 140 141 142 VI DANH MỤC CÁC BẢNG Số hiệu Bảng 2.1 Bảng 2.2 Bảng 2.3 Bảng 2.4 Bảng 2.5 Bảng 3.1 Bảng 3.2 Bảng 3.3 Bảng 3.4 Bảng 3.5 Bảng 3.6 Bảng 3.7 Bảng 3.8 Bảng 3.9 Bảng 3.10 Bảng 3.11 Bảng 3.12 Bảng 3.13 Bảng 4.1 Bảng 4.2 Nội dung bảng Trang Kết quả các thành phần chuyển vị tại các nút dàn PTTT 38 ví dụ 2.2 Kết quả nội lực trong các thanh dàn PTTT ví dụ 2.2 39 Kết quả các thành phần chuyển vị tại các nút dàn 40 PTPTHH ví dụ 2.2 Kết quả nội lực trong các thanh dàn PTPTHH ví dụ 2.2 40 Kết quả phân tích nội lực trong các thanh dàn ví dụ 2.4 46 Tọa ñộ các nút của dàn vòm trước khi chịu lực 54 Kết quả chuyển vị theo hai phương của các nút dàn 57 Kết quả so sánh nội lực trong các thanh dàn giữa PTTT 59 và PTPTHH PTCL nội lực trong các thanh dàn ứng với các giá trị 62 k=f/l khác nhau Kết quả chuyển vị theo hai phương tại các nút dàn 66 Kết quả so sánh nội lực trong các thanh dàn giữa PTTT 67 và PTPTHH PTCL nội lực trong các thanh dàn ứng với các giá trị 70 k=f/l khác nhau Kết quả chuyển vị theo hai phương tại các nút dàn 73 Kết quả so sánh nội lực trong các thanh dàn giữa PTTT 74 và PTPTHH PTCL nội lực trong các thanh dàn ứng với các giá trị 78 k=f/l khác nhau Kết quả chuyển vị theo hai phương tại các nút dàn 82 Kết quả so sánh nội lực trong các thanh dàn giữa PTTT 83 và PTPTHH PTCL nội lực trong các thanh dàn ứng với các giá trị 86 k=f/l khác nhau Kết quả PTCL nội lực trong các thanh giữa PTTT và 97 PTPTHH của dàn cầu Kiewitt 8 ứng với các giá trị k=f/l khác nhau Kết quả PTCL nội lực trong các thanh giữa PTTT và 106 PTPTHH của dàn vòm không gian một lớp loại 1 ứng VII Bảng 5.1 Bảng 5.2 Bảng 5.3 Bảng 5.4 với các giá trị k=f/l khác nhau Kết quả phân tích ổn ñịnh dàn vòm phẳng tĩnh ñịnh ứng với các giá trị k khác nhau Kết quả phân tích ổn ñịnh dàn vòm phẳng tĩnh ñịnh trong, siêu tĩnh ngoài ứng với các giá trị k khác nhau Kết quả phân tích ổn ñịnh dàn vòm phẳng siêu tĩnh trong, tĩnh ñịnh ngoài ứng với các giá trị k khác nhau Kết quả phân tích ổn ñịnh dàn vòm phẳng siêu tĩnh trong và siêu tĩnh ngoài ứng với các giá trị k khác nhau 125 128 131 133 VIII DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ Số hiệu Nội dung hình vẽ Trang Hình 1.1 Sân vận ñộng Astrodome 6 Hình 1.2 Nhà thi ñấu Superdome 6 Hình 1.3 Nhà thi ñấu Nagoya Dome 6 Hình 1.4 Nhà hát lớn Bắc kinh 6 Hình 1.5 Kết cấu STMFs 7 Hình 1.6 Đường cân bằng trước và sau khi mất ổn ñịnh 11 Hình 2.1 Ví dụ 2.1 23 Hình 2.2 Hệ so sánh ví dụ 2.1 23 Hình 2.3 Sơ ñồ chuyển vị của nút thanh trong hệ phẳng PTTT 26 Hình 2.4 28 Hình 2.7 Sơ ñồ chuyển vị của nút thanh trong hệ không gian PTTT Sơ ñồ chuyển vị của nút thanh trong hệ phẳng PTPTHH Sơ ñồ chuyển vị của nút thanh trong hệ không gian PTPTHH Sơ ñồ khối chương trình. Hình 2.8 Dàn ví dụ 2.2 37 Hình 2.9 Hình dạng dàn trước và sau khi biến dạng ví dụ 2.2 41 Hình 2.10 Dàn ví dụ 2.3 41 Hình 2.11 Dàn ví dụ 2.4 45 Hình 2.12 47 Hình 2.13 Hình dạng dàn sau khi biến dạng với các giá trị mô ñun khác nhau Dàn tĩnh ñịnh 47 Hình 2.14 Hình dạng dàn 47 Hình 2.15 Nội lực thanh 1, 2 48 Hình 2.16 Nội lực thanh 3, 4 48 Hình 2.17 Nội lực thanh 5 48 Hình 2.5 Hình 2.6 31 33 36 IX Hình 2.18 Chuyển vị nút 3 48 Hình 2.19 Dàn siêu tĩnh ngoài 49 Hình 2.20 Nội lực thanh 1, 2 50 Hình 2.21 Nội lực thanh 3, 4 50 Hình 2.22 Nội lực thanh 5 50 Hình 2.23 Hình dạng dàn 50 Hình 3.1 54 Hình 3.2 Hình 3.3 Hinh 3.4 Hình 3.5 Hình 3.6 Hình 3.7 Hinh 3.8 Hình 3.9 Hình 3.10 Dàn vòm phẳng tĩnh ñịnh chịu tải trọng thẳng ñứng tại các nút dàn Vị trí các nút dàn vòm Hình dạng dàn trước và sau khi biến dạng Chuyển vị theo phương trục x Chuyển vị theo phương trục y Dàn vòm phẳng tĩnh ñịnh trong, siêu tĩnh ngoài Hình dạng dàn trước và sau khi biến dạng Chuyển vị theo phương trục x Chuyển vị theo phương trục y Dàn vòm phẳng siêu tĩnh trong, tĩnh ñịnh ngoài 54 57 61 61 64 65 69 69 72 Hình 3.11 Hình dạng dàn trước và sau khi biến dạng 73 Hinh 3.12 Hình 3.13 Hình 3.14 Chuyển vị theo phương trục x Chuyển vị theo phương trục y Dàn vòm phẳng siêu tĩnh trong và siêu tĩnh ngoài 77 77 80 Hình 3.15 Hình dạng dàn trước và sau khi biến dạng 81 Hinh 3.16 Hình 3.17 Hình 4.1 Chuyển vị theo phương trục x Chuyển vị theo phương trục y Một số dạng kết cấu dàn cầu không gian 85 85 90 Hình 4.2 Dàn cầu không gian K8 91 Hình 4.3 Số hiệu nút của dàn K8 91 Hình 4.4 Số hiệu thanh cho dàn K8 91 Hình 4.5 Chuyển vị tại các nút dàn (cm) 93 X Hình 4.6 Nội lực trong các thanh dàn (kN) 93 Hình 4.7 94 Hình 4.8 Hình dạng kết cấu dàn trước và sau biến dạng khi k=1/8 Chuyển vị của các nút dàn theo phương x 95 Hình 4.9 Chuyển vị của các nút dàn theo phương y 95 Hình 4.10 Chuyển vị của các nút dàn theo phương z 95 Hình 4.11 Biểu ñồ so sánh nội lực 95 Hình 4.12 Biểu ñồ chuyển vị theo phương x 96 Hình 4.13 Biểu ñồ chuyển vị theo phương y 96 Hình 4.14 Biểu ñồ chuyển vị theo phương z 96 Hình 4.15 Kết cấu dàn vòm không gian một lớp 99 Hình 4.16 Một số dạng kết cấu dàn vòm không gian một lớp 100 Hình 4.17 Kết cấu dàn vòm không gian một lớp loại 1 101 Hình 4.18 Kết quả các thành phần chuyển vị tại các nút dàn (cm) 103 Hình 4.19 Kết quả nội lực trong các thanh dàn (kN) 103 Hình 4.20 104 Hình 4.21 Hình dạng kết cấu dàn trước và sau biến dạng khi k=1/3 Chuyển vị của nút dàn theo phương x 105 Hình 4.22 Chuyển vị của nút dàn theo phương y 105 Hình 4.23 Chuyển vị của nút dàn theo phương z 105 Hình 4.24 Nội lực trong các thanh dàn 105 Hình 4.25 Biểu ñồ chuyển vị theo phương x 108 Hình 4.26 Biểu ñồ chuyển vị theo phương y 108 Hình 4.27 Biểu ñồ chuyển vị theo phương z 108 Hình 5.1 Thanh ñầu hai ñầu khớp chịu nén ñúng tâm 112 Hình 5.2 Phần tử dầm 114 Hình 5.3 Ổn ñịnh thanh hai ñầu khớp 115 Hình 5.4 Ví dụ 5.1 121 XI Hình 5.5 Dàn vòm phẳng tĩnh ñịnh 123 Hình 5.6 Dàn vòm phẳng tĩnh ñịnh trong, siêu tĩnh ngoài 125 Hình 5.7 Dàn vòm phẳng siêu tĩnh trong, tĩnh ñịnh ngoài 128 Hình 5.8 Dàn vòm phẳng siêu tĩnh trong và siêu tĩnh ngoài 131 XII DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU Ký hiệu Đại lượng A Diện tích mặt cắt ngang của thanh dàn B Bề rộng của dàn vòm không gian 1 lớp c Hàm ràng buộc dạng bất ñẳng thức C Số liên kết nối ñất ceq Hàm ràng buộc dạng ñẳng thức D Đường kính ngoài của mặt cắt hình vành khuyên d Đường kính trong của mặt cắt hình vành khuyên E Mô ñun ñàn hồi của vật liệu EA Độ cứng kéo (nén) của thanh EI Độ cứng chống uốn của thanh f Độ vồng của dàn vòm ∑F ∑F ∑F x y z Tổng hình chiếu sai số theo phương x Tổng hình chiếu sai số theo phương y Tổng hình chiếu sai số theo phương z G Mô ñun ñàn hồi trượt g Hàm ràng buộc h Chiều cao dàn I Ma trận ñơn vị k Độ thoải của dàn [K] Ma trận ñộ cứng kết cấu l Nhịp dàn, chiều dài của dàn vòm không gian L Phiếm hàm mở rộng ( lij , mij , n ij ) Côsin chỉ phương của thanh XIII lij(0) Chiều dài của thanh trước biến dạng lij(s) Chiều dài của thanh sau biến dạng M Mô men N Lực dọc trong thanh P Tải trọng tác dụng Pth Tải trọng tới hạn Q Lực cắt r Bán kính cong của dàn u Thành phần chuyển vị theo phương x v Thành phần chuyển vị theo phương y w Thành phần chuyển vị theo phương z y0 Chuyển vị cưỡng bức Z Lượng ràng buộc α Hệ số tập trung ứng suất tiếp ∆lij Biến dạng dài tuyệt ñối của thanh {δ } Véc tơ chuyển vị nút σ Ứng suất ε Biến dạng dài tỉ ñối λ Thừa số Largrage χ Biến dạng uốn θ1 Góc xoay tại nút thứ nhất của phần tử thanh θ2 Góc xoay tại nút thứ hai của phần tử thanh XIV DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT PTCL PTPTHH PTTT Phần trăm chênh lệch Phân tích phi tuyến hình học Phân tích tuyến tính 1 MỞ ĐẦU Lý do lựa chọn ñề tài: Kết cấu dàn là một trong những dạng kết cấu xuất hiện từ rất sớm và ngày càng ñược sử dụng rộng rãi trong các công trình xây dựng Dân dụng và Công nghiệp, An ninh Quốc phòng. Ngay từ xa xưa, khi ngành công nghiệp vật liệu chưa phát triển thì các vật liệu như gỗ, tre v.v… ñã ñược sử dụng làm kết cấu dàn cho các cây cầu vượt ñược nhịp 20-30m. Khi khoa học vật liệu phát triển thì các vật liệu này dần ñược thay thế bằng các vật liệu có khả năng chịu lực tốt hơn như thép, composite v.v… Do ñó kết cấu dàn ngày càng vượt ñược khẩu ñộ lớn hơn và các cột dàn cao hơn. Kết cấu dàn là kết cấu có rất nhiều ưu ñiểm như: tiết kiệm vật liệu, cho vượt khẩu ñộ lớn, nhẹ, kinh tế và ñặc biệt về phương diện kiến trúc có thể tạo ñược nhiều hình dáng khác nhau như: vòm cầu, vòm trụ, vòm yên ngựa v.v…mà hiện nay có rất nhiều công trình trên thế giới sử dụng các loại hình dáng này. Vì vậy, ngày nay kết cấu dàn ñược sử dụng rỗng rãi trong các công trình cầu, các cột truyền tải ñiện, cột truyền thông, dàn khoan và làm mái che cho các công trình sân vận ñộng, nhà thi ñấu, cung thể thao, trung tâm thương mại, xưởng sửa chữa bảo dưỡng máy bay v.v… Trước ñây việc tính toán phân tích nội lực cho kết cấu dàn thường ñược thực hiện tính toán bằng thủ công với các phương pháp ñơn giản như: Phương pháp tách mắt, Phương pháp mặt cắt ñơn giản, Phương pháp mặt cắt phối hợp, Phương pháp họa ñồ - Giản ñồ Maxwell-Cremona v.v… Hiện nay do sự phát triển của công nghệ tin học ñiện tử nên việc tính toán ñơn giản và thuận tiện hơn rất nhiều nhờ các phần mềm phân tích tính toán ứng dụng ñược viết dựa theo phương pháp phần tử hữu hạn như phần mềm Sap, Etabs v.v…, ñặc biệt các phần mềm này có thể phân tích tính toán với các kết cấu siêu tĩnh bậc cao. Tuy nhiên khi áp dụng các phương pháp này ñể tính toán kết cấu dàn thực tế 2 thường giả thiết chuyển vị nút dàn là bé, tức là bỏ qua sự thay ñổi góc của các trục thanh dàn giữa trước và sau khi dàn biến dạng. Do kết cấu dàn ngày càng mỏng, vượt khẩu ñộ lớn và vật liệu có ñộ bền cao, nên khi chịu lực làm cho góc của các trục thanh dàn giữa trước và sau khi dàn biến dạng thay ñổi. Chính vì thế, kết quả phân tích tuyến tính kết cấu dàn hiện nay là chưa sát với sự làm việc thực tế của kết cấu do chưa kể ñến ảnh hưởng của sự thay ñổi góc các thanh dàn trong quá trình kết cấu biến dạng. Ngoài ra, khi tính toán ổn ñịnh cho kết cấu dàn hiện nay thường mới chỉ nghiên cứu tính toán ổn ñịnh tổng thể hoặc tính toán ổn ñịnh cục bộ tuyến tính cho kết cấu dàn. Với lý do trên, luận án nghiên cứu với ñề tài: “Phân tích kết cấu dàn chịu tải trọng tĩnh theo sơ ñồ biến dạng”. Mục tiêu nghiên cứu: - Phân tích tính toán chuyển vị, nội lực của kết cấu dàn vòm phẳng và dàn không gian xét ñến tính phi tuyến hình học do kể ñến sự thay góc của các trục thanh dàn giữa trước và sau khi kết cấu dàn biến dạng. - Nghiên cứu tính toán ổn ñịnh cục bộ của kết cấu dàn có kể ñến tính phi tuyến hình học. Đối tượng nghiên cứu: Phân tích sự làm việc phi tuyến hình học của kết cấu dàn vòm phẳng, dàn cầu không gian một lớp và dàn vòm không gian một lớp với các giả thiết sau: Giả thiết 1: Nút của dàn phải nằm tại giao ñiểm của các trục thanh và là khớp lý tưởng (các ñầu thanh quy tụ ở nút có thể xoay một cách tự do không ma sát). Giả thiết 2: Tải trọng chỉ tác dụng tại các nút dàn. Giả thiết 3: Trọng lượng bản thân của các thanh không ñáng kể so với tải trọng tổng thể tác dụng lên dàn. 3 Giả thiết 4: Tải trọng tác dụng lên kết cấu dàn ñược bảo toàn về phương, chiều và ñộ lớn trong quá trình kết cấu biến dạng. Phương pháp nghiên cứu: Dựa trên phương pháp nguyên lý cực trị Gauss do GS.TSKH. Hà Huy Cương ñề xuất và kết hợp với các phương pháp quy hoạch toán học. Phương pháp nguyên lý cực trị Gauss có cách nhìn ñơn giản ñể phân tích các bài toán kết cấu và người kỹ sư có thể dễ dàng áp dụng ñể tính toán trong các bài toán kết cấu thực tế. Phạm vi nghiên cứu: Giới thiệu phương pháp mới ñể tính toán nội lực, chuyển vị và ổn ñịnh cục bộ của dàn vòm có xét ñến tính phi tuyến hình học và vật liệu làm việc trong giai ñoạn ñàn hồi chịu tác dụng của tải trọng tĩnh tại các nút dàn. Ý nghĩa khoa học của luận án: Xét ñược tính phi tuyến hình học của kết cấu dàn khi phân tích nội lực, chuyển vị và ổn ñịnh chịu tải trọng tĩnh là vấn ñề rất khoa học và có ý nghĩa thực tiễn. Bố cục của luận án Ngoài phần mở ñầu, phần kết luận, danh mục các công trình nghiên cứu của tác giả liên quan ñến nội dung luận án, tài liệu tham khảo và phụ lục; nội dung chính của luận án ñược bố cục trong 5 chương: - Chương 1 Tổng quan về phân tích tính toán kết cấu dàn: Trình bày các ñặc ñiểm, ứng dụng của kết cấu dàn cũng như tổng quan về tình hình nghiên cứu kết cấu dàn ở trong nước và trên thế giới. Đồng thời trong chương này trình bày một số khái niệm về toán quy hoạch và ổn ñịnh kết cấu dàn. Cuối chương tác giả ñưa ra các vấn ñề cụ thể giải quyết của luận án. - Chương 2 Cơ sở lý thuyết phân tích phi tuyến hình học kết cấu dàn: Trình bày cơ sở lý thuyết phân tích phi tuyến hình học kết cấu dàn dựa trên 4 phương pháp nguyên lý cực trị Gauss. Đồng thời trong chương còn khảo sát ảnh hưởng của giá trị mô ñun ñàn hồi vật liệu và ảnh hưởng của giá trị tải trọng tác dụng ñến sự chênh lệch nội lực giữa phân tích phi tuyến hình học và phân tích tuyến tính kết cấu dàn chịu tải trọng tĩnh. - Chương 3 Phân tích phi tuyến hình học kết cấu dàn vòm phẳng: Trình bày các kết quả khảo sát phân tích chuyển vị và nội lực của bài toán phi tuyến hình học kết cấu dàn vòm phẳng. - Chương 4 Phân tích phi tuyến hình học kết cấu dàn không gian: Trình bày các kết quả khảo sát phân tích chuyển vị và nội lực của bài toán phi tuyến hình học kết cấu dàn không gian một lớp. - Chương 5 Tính toán ổn ñịnh phi tuyến hình học kết cấu dàn vòm phẳng: Trình bày phương pháp chuyển vị cưỡng bức ñể xác ñịnh lực tới hạn lên thanh chịu nén, phương pháp xác ñịnh tải trọng tới hạn trong bài toán ổn ñịnh cục bộ phi tuyến hình học kết cấu dàn dựa trên phương pháp nguyên lý cực trị Gauss và toán học quy hoạch. Đồng thời khảo sát ảnh hưởng tính siêu tĩnh của kết cấu dàn cũng như ñộ thoải của kết cấu dàn ñến tải trọng tới hạn lên kết cấu. 5 CHƯƠNG 1 TỔNG QUAN VỀ PHÂN TÍCH TÍNH TOÁN KẾT CẤU DÀN 1.1 Đặc ñiểm và ứng dụng của kết cấu dàn Kết cấu dàn là kết cấu ñược tạo thành từ các thanh liên kết với nhau tại các nút dàn, nút dàn phải nằm tại giao ñiểm của các trục thanh. Khi lực chỉ ñặt tại nút thì các thanh dàn chủ yếu làm việc chịu kéo hoặc nén, do ñó ta có thể coi các nút dàn là khớp. Trong phụ lục 5 của luận án tác giả cũng ñã phân tích cùng một kết cấu dàn cho hai trường hợp (khi coi nút dàn là khớp và khi coi nút dàn là liên kết cứng), kết quả quả cho thấy lực dọc trong các thanh dàn khi coi nút dàn là khớp lý tưởng thường nhỏ hơn khi coi nút dàn là liên kết cứng khoảng 5%. Do kết cấu dàn khi chịu lực, các thanh chủ yếu chỉ chịu kéo hoặc nén nên tận dụng hết ñược khả năng làm việc của vật liệu. Vì vậy kết cấu dàn là kết cấu tiết kiệm vật liệu và về phương diện kiến trúc có thể tạo ñược nhiều hình dáng khác nhau, nên kết cấu dàn ñược sử dụng nhiều trong các công trình cầu, dàn khoan, cột truyền tải ñiện và làm kết cấu mái che cho các công trình nhà thi ñấu, sân vận ñộng, nhà hát, sân bay v.v…[31], [33], [51], [64], [65]. Kết cấu dàn ñầu tiên trên thế giới ñược xây dựng năm 1863 là công trình Schwedler Dome tại Berlin do kỹ sư Schwedler người Đức thiết kế, có dạng kết cấu vòm ñược tạo bởi các lưới ô tam giác và vượt ñược khẩu ñộ 30m [62]. Đến năm 1889 tại Pari Pháp xây dựng tháp Eiffel nằm cạnh sông Seine có chiều cao 325 m trở thành biểu tượng của kinh ñô ánh sáng. Năm 1898 tại Việt Nam, các Kỹ sư người Pháp ñã thiết kế và xây dựng cây cầu Long Biên, cây cầu dài 2.290m làm bằng dàn thép. Năm 1940 tại Berlin Max Mengeringhausen ñã nghiên cứu ra hệ kết cấu Mero (System of nodes and beams - MEngeringhausen ROhrbauweise), 6 từ ñây trở ñi kết cấu dàn không ngừng ñược nghiên cứu và ứng dụng vào các công trình thực thực tế [62]. Hình 1.1 Sân vận ñộng Astrodome Hình 1.3 Nhà thi ñấu Nagoya Dome Hình 1.2 Nhà thi ñấu Superdome Hình 1.4 Nhà hát lớn Bắc kinh Năm 1965 công trình sân vận ñộng Astrodome ñược xây dựng tại bang Texas nước Mỹ có sức chứa 42.217 người, chiều dài nhịp dàn là 196m (hình 1.1). Năm 1975 cũng tại Mỹ các nhà kỹ sư ñã thiết kế công trình Superdome là nơi tổ chức các sự kiện thể thao và triển lãm có sức chúa 73.208 người, có chiều dài nhịp dàn là: 207m (hình 1.2). Năm 2000 tại Nhật Bản ñã thiết kế ñược dàn không gian cho công trình Nagoya Dome có sức chứa 40.500 người với kích thước khẩu ñộ trên 180m (hình 1.3). 7 Năm 2007 Trung Quốc ñã xây dựng nhà hát lớn tại Bắc Kinh dạng hình Elipsoid, với kích thước một chiều 144m và một chiều 212m. Chiều cao của công trình 46m và công trình có sức chứa 5.452 người (hình1.4). Ngoài ứng dụng làm kết cấu cho các công trình nhịp lớn như ñã kể trên, kết cấu dàn còn có tác dụng giảm chấn cho các kết cấu công trình chịu ñộng ñất. Khi có ñộng ñất Vïng tiªu t¸n n¨ng l−îng xẩy ra thì trên kết cấu dàn STMFs (Special Truss moment frames) xuất Hình 1.5 Kết cấu STMFs hiện các vị trí biến dạng dẻo (vùng tiêu tán năng lượng) như hình 1.5, làm tăng khả năng giảm chấn cho công trình [28]. Ngoài ra, do cách tính ñơn giản của dàn nên có thể dùng sơ ñồ dàn ảo ñể mô tả tính toán trong kết cấu dầm và bản bê tông (trạng thái có vết nứt): Khi tính toán thiết kế các vùng liên tục theo trạng thái giới hạn ñộ bền và ñể thiết kế cấu tạo chi tiết cho các vùng không liên tục theo trạng thái giới hạn ñộ bền, kiểm tra trạng thái giới hạn sử dụng. Mô hình dàn ảo bao gồm các thanh chéo ñại diện cho trường ứng suất nén, các thanh giằng ñại diện cho cốt thép và các nút liên kết có vị trí, hướng trùng với cốt thép [20]. 1.2 Những phương hướng và tình hình nghiên cứu tính toán kết cấu dàn hiện nay Kết cấu dàn phát triển từ rất sớm, vì vậy việc nghiên cứu tính toán kết cấu dàn ñã ñược rất nhiều các nhà khoa học quan tâm. Đầu tiên là những phương pháp tính toán ñơn giản như: phương pháp tách mắt, phương pháp họa ñồ, phương pháp mặt cắt ñơn giản [8], [9], [14], [58]. Cho ñến ngày nay các phương pháp tính toán nội lực, chuyển vị và ổn ñịnh kết cấu dàn ñã phát triển mạnh mẽ [5], [12], [15], [36], [47], [55]. 8 Từ những kết quả nghiên cứu của các nhà khoa học trên thế giới báo cáo tại các hội thảo cũng như ñược in trong các tạp chí khoa học, có thể phân loại những phương hướng chính nghiên cứu kết cấu dàn như sau: Phương pháp phân tích kết cấu dàn không gian: Kết cấu dàn nói chung và kết cấu dàn không gian nói riêng là kết cấu thường có số ẩn lớn vì vậy việc xây dựng các phương pháp tính toán cho kết cấu dàn không gian là vấn ñề rất có ý nghĩa thực tiễn. Qua các tài liệu tham khảo có thể thấy, hiện nay khi phân tích kết cấu dàn không gian thường sử dụng một trong các phương pháp sau: phương pháp cân bằng nút [14], [66]; phương pháp mặt cắt ñơn giản [14], [66]; phương pháp mặt cắt phối hợp [14], [66]; phương pháp phần tử hữu hạn [12], [29], [66]; phương pháp sai phân hữu hạn [66]; phương pháp mô hình tấm mỏng tương ñương [66]. Phân tích phi tuyến kết cấu dàn: Kết cấu dàn thường nhẹ, ngày càng mỏng và vượt khẩu ñộ lớn nên khi phân tích kết cấu dàn ñã có một số nghiên cứu xem xét ảnh hưởng của tính phi tuyến hình học cũng như phi tuyến vật liệu ñến sự làm việc của kết cấu dàn: - Năm 2001 khi trình bày phân tích phi tuyến hình học kết cấu dàn Carlos A.Fellippa sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn với phần tử hữu hạn không tuyến tính, biến dạng dài tỉ ñối của thanh dàn ñược xác ñịnh : (s) 2 ij (0) 2 ij (0) 2 ij (l ) − (l ) ε= 2 (l ) (1.1) Dựa theo nguyên lý thế năng biến dạng cực tiểu sẽ xây dựng ñược phương trình cân bằng phi tuyến cho kết cấu. Để giải các phương trình phi tuyến này, tác giả ñã sử dụng phương pháp chiều dài cung (Arc lenght Method). Trong trình bày phân tích phi tuyến hình học của kết cấu dàn, tác giả ñã xác ñịnh ñược ñường cân bằng và tải trọng tới hạn trong phân tích ổn ñịnh tổng thể của kết cấu dàn [23]. 9 - Năm 2005 M.R.Pajand và cộng sự dựa trên phương pháp DRM (Dynamic relaxation Method) của Frankle ñã xây dựng lên cách giải mới cho bài toán phân tích kết cấu dàn có kể ñến chuyển vị lớn. Tuy nhiên phương pháp này còn có một số hạn chế như không cho kết quả hội tụ nếu không thêm một số ñiều kiện, trong quá trình lặp với tải trọng là hằng thì thường dẫn ñến kết quả tải trọng tới hạn không chính xác và trong phân tích phi tuyến thường phải lặp nhiều hơn phương pháp Newton [41]. - Năm 2006 S.S.Ligarò cùng cộng sự nghiên cứu phân tích kết cấu dàn tháp kể ñến chuyển vị lớn, trong nghiên cứu này biến dạng dài tỷ ñối của các thanh dàn ñược xác ñịnh theo công thức (1.1) và các tác giả ñã xác ñịnh ñược ñường cân bằng và tải trọng tới hạn tác dụng lên kết cấu dàn tháp trong bài toán phi tuyến hình học ổn ñịnh tổng thể ñàn hồi [48]. - Năm 2009 L.Kwasniewski ñã nghiên cứu ảnh hưởng của tỷ số chiều cao và nhịp dàn Mises ñến tải trọng tới hạn tác dụng lên kết cấu trong bài toán ổn ñịnh tổng thể phi tuyến hình học của dàn Mises chịu tải trọng thẳng ñứng. Trong nghiên cứu này, tác giả ñã sử dụng phương pháp cân bằng nút ñể thiết lập ñược ñường cân bằng cho bài toán [34]. - Năm 2012 M.Greco và các cộng sự ñã nghiên cứu phân tích phi tuyến hình học của kết cấu dàn theo hai cách: cách thứ nhất là xây dựng theo vị trí nút dựa trên nguyên lý công ảo; cách thứ hai phân biến dạng của kết cấu dàn ra làm hai thành phần là biến dạng thể tích tương ñối và biến dạng quay cứng xung quanh ba trục tọa ñộ. Trong cả hai cách của các tác giả là cuối cùng ñưa về dạng các phương trình cân bằng phi tuyến, ñể giải các phương trình này các tác giả ñã sử dụng phương pháp lặp chiều dài cung ñể giải [38]. Ngoài các nghiên cứu phân tích phi tuyến hình học vừa trình bày trên còn một số các nghiên cứu khác như [27], [37], [45], [46] v.v… và trong hầu hết các nghiên cứu này các tác giả thường sử dụng phương pháp phần tử hữu 10 hạn trên cơ sở phần tử phi tuyến ñể ñưa ma trận ñộ cứng của kết cấu ra làm hai thành phần (phần tuyến tính và phần phi tuyến hình học), sau ñó sử dụng các phương pháp lặp ñể giải các bài toán này. Tối ưu hóa kết cấu dàn: Kết cấu dàn là kết cấu có khả năng chịu lực tốt ñể tiết kiệm vật liệu, vấn ñề tối ưu hóa kết cấu dàn cũng ñã ñược rất nhiều nhà khoa học nghiên cứu. Qua các nghiên cứu tối ưu kết cấu dàn, có thể chia bài toán tối ưu dàn thành ba loại chính: Bài toán tối ưu kích thước (Size optimization) [7], [25], [35], [42], [50], [53]; Bài toán tối ưu hình dáng (Shape optimization) [26], [42], [53] và Bài toán tối ưu cấu trúc (Topology optimization) [21], [22], [32], [40], [42], [53]. Ổn ñịnh kết cấu dàn: Việc phân tích ổn ñịnh cho kết cấu là một phần bắt buộc khi tính toán thiết kế kết cấu công trình nói chung và kết cấu dàn nói riêng, nên vấn ñề nghiên cứu ổn ñịnh kết cấu dàn ñã ñược nhiều nhà khoa học quan tâm nghiên cứu. Như ñã trình bày trong phần phân tích phi tuyến kết cấu dàn, hiện nay các nghiên cứu phân tích phi tuyến hình học kết cấu dàn thường là các nghiên cứu về ổn ñịnh tổng thể kết cấu dàn. Khi nghiên cứu ổn ñịnh phần tử phi tuyến, ta thường dùng các khái niệm sau [23]: - Điểm cực trị (Limit point) là ñiểm mà tiếp tuyến của ñường cân bằng tại ñiểm ñó có phương nằm ngang tức song song với trục biến dạng (hình 1.6a). - Điểm phân nhánh (Bifurcation point) là ñiểm mà qua ñiểm ñó có thể có hai hoặc nhiều ñường cân bằng (hình 1.6b). - Điểm tới hạn (Critical point) là ñiểm có ñặc ñiểm ñặc biệt về toán học mà tại ñó quan hệ giữa tải trọng và biến dạng là không duy nhất. 11 T¶i träng T¶i träng (a) §iÓm cùc trÞ (b) §iÓm ph©n nh¸nh 1 2 ChuyÓn vÞ ChuyÓn vÞ O O Hình 1.6 Đường cân bằng trước và sau khi mất ổn ñịnh Nói ñến ổn ñịnh của cơ hệ là nói ñến ổn ñịnh của trạng thái cân bằng, mà trạng thái cân bằng là nghiệm của phương trình vi phân, cho nên nói ñến ổn ñịnh của cơ hệ là nói ñến ổn ñịnh nghiệm của các phương trình vi phân. Khi giải các bài toán ổn ñịnh của kết cấu dàn nói riêng và kết cấu nói chung thường dẫn về phương trình vi phân thuần nhất không có vế phải ñược viết dưới dạng: A.X = 0 (1.2) Có thể viết dưới dạng: A.X = λ.X hay ( A-λI ) X = 0 (1.3) trong ñó: I - là ma trận ñơn vị λ - là một số Từ (1.3) ta ñược: det ( A − λI ) = 0 hoặc X=0. Nghiệm X=0 không cho ta ý nghĩa gì về mặt cơ học và toán học gọi là nghiệm tầm thường. Nên từ (1.3) suy ra: det ( A − λI ) = 0 (1.4) Giải phương trình (1.4) sẽ tìm ñược λ và λ ñược gọi là trị riêng của ma trận A. Sau khi tìm ñược λ thay vào phương trình (1.3) sẽ tìm ñược nghiệm X và ñây chính là véctơ riêng của ma trận. Như vậy tương ứng với mỗi giá trị của trị riêng sẽ tìm ñược một véc tơ riêng, các véc tơ riêng này ñộc lập với 12 nhau và có tính chất trực giao. Để giải phương trình (1.4) thường trong các ngôn ngữ lập trình có sẵn thuật toán tìm trị riêng. Trong trường hợp chung nhất là bài toán phân tích phi tuyến kết cấu dàn thì phương trình (1.4) là phương trình phi tuyến, ñể giải phương trình phi tuyến thường dùng các thuật toán lặp. Một số nghiên cứu về ổn ñịnh kết cấu dàn: - Năm 2002 M.Psotný cùng cộng sự ñã nghiên cứu ảnh hưởng của góc trong dàn Mises ñến sự chênh lệch kết quả tải trọng tới hạn trong bài toán ổn ñịnh tổng thể. Trong nghiên cứu này, các tác giả ñã nghiên cứu tính phi tuyến hình học của kết cấu thông qua việc mô tả biến dạng dài tỷ ñối ñến bậc 2 theo chuyển vị [44]. - Năm 2006 V.V.Galishnikova ñã dùng phần tử hữu hạn phi tuyến ñể phân tích ổn ñịnh tổng thể cho kết cấu dàn không gian có xét ñến tính phi tuyến hình học. Trong phương pháp này, ñộ cứng của kết cấu tại thời ñiểm t ñược tác giả xây dựng K t,s = K 0 + ∆λK1 (∆λ) , khi kết cấu mất ổn ñịnh thì det(K 0 + ∆λK1 ) = 0 và như vậy sẽ xác ñịnh trị riêng của bài toán [52]. - Năm 2009 S.H.Chun và các cộng sự ñã nghiên cứu ổn ñịnh tổng thể của kết cấu dàn, các tác giả ñã so sánh kết quả phân tích giá trị tải trọng tới hạn lên kết cấu dàn giữa phân tích theo lý thuyết trị riêng và lý thuyết Eulerian tuyến tính ñể thấy ñược sự chênh lệch kết quả giữa hai cách phân tích [49]. - Năm 2011 M.H.Tong và các cộng sự ñã phân tích ổn ñịnh tổng thể cho kết cấu dàn trong công trình cầu, kết quả phân tích cho thấy tải trọng tới hạn khi phân tích phi tuyến hình học kết cấu dàn trong công trình cầu thường nhỏ hơn so với phân tích tuyến tính [39]. - Năm 2013 C.Dou và các cộng sự nghiên cứu ổn ñịnh ngoài mặt phẳng của kết cấu dàn vòm có kể ñến ảnh hưởng của biến dạng trượt. Các tác giả ñã 13 chỉ ra rằng khi ñộ thoải của dàn vòm tăng thì ảnh hưởng của biến dạng trượt trong kết cấu dàn vòm tĩnh ñịnh chịu tải trọng phân bố là nhỏ hơn so với cột chịu nén, còn trong bài toán dàn vòm tĩnh ñịnh chịu uốn thuần túy thì ảnh hưởng của biến dạng trượt là không rõ ràng [24]. - Năm 2014 Y.L.Guo và các cộng sự nghiên cứu ổn ñịnh ñàn hồi ngoài mặt phẳng của kết cấu dàn vòm hai ñầu khớp có kể ñến ảnh hưởng tính liên tục và không liên tục của kết cấu giằng bên [54]. - Ngoài một số nghiên cứu ổn ñịnh ñã giới thiệu ở trên, khi trình bày về phương pháp phân tích ổn ñịnh cho kết cấu còn có tài liệu của Volmir [57], Timoshenko [59] và một số tài liệu khác [56], [60], [61], [63] v.v… trình bày những nghiên cứu ñầy ñủ về kết cấu hệ thanh làm việc trong và ngoài giới hạn ñàn hồi. Có thể nói ñây là những kết quả nghiên cứu kinh ñiển, tuy nhiên trong các tài liệu này của các tác giả cũng mới chỉ trình bày phương pháp phân tích tuyến tính ổn ñịnh cục bộ cho kết cấu dàn. Trên ñây, luận án vừa tổng quan về những phương hướng và tình hình nghiên cứu kết cấu dàn hiện nay. Để phân tích kết cấu dàn, các phương pháp mà các tác giả thường sử dụng là: phương pháp phần tử hữu hạn và các phương pháp quy hoạch toán học. Vì vậy, sau ñây luận án sẽ giới thiệu sơ bộ phương pháp phần tử hữu hạn cũng như các phương pháp quy hoạch toán học: Phương pháp phần tử hữu hạn Phương pháp phần tử hữu hạn là một phương pháp hữu hiệu dùng rộng rãi trong tính toán thiết kế công trình xây dựng. Phương pháp phần tử hữu hạn (Finite Element Method) ñược Clough ñưa ra tên gọi năm 1960. Tuy nhiên trước ñó vào năm 1943 Courant ñã ñưa ra phần tử tuyến tính tam giác, ñây là phần tử ñơn giản ñầu tiên và ñược sử dụng cho ñến tận ngày nay. Từ năm 1960 trở ñi phương pháp phần tử hữu hạn không ngừng phát triển, ñến năm 1962 Gallagher ñưa ra phần tử tứ diện tuyến tính. Thông qua sử dụng hệ tọa 14 ñộ tam giác và tứ diện, tam giác và tứ diện pascal ñã làm ñiều kiện liên tục của phần tử tam giác và phần tử tứ diện trở lên ñơn giản. Năm 1966 Irons ñưa ra phần tử ñẳng tham số (isoparametric elements), có thể nói ñây là cuộc cách mạng của phương pháp phần tử hữu hạn. Đến năm 1968 Zienkiewicz ñã giới thiệu phần tử có số nút thay ñổi (variable-number-of-nodes elements). Năm 1979 Cundall và Strack ñã ñưa ra phương pháp phần tử hữu hạn gián ñoạn (discrete finite element method) là ý tưởng kết hợp giữa hạt và phần tử hữu hạn. Năm 1992 Nayroles ñã ñưa ra phương pháp không lưới (meshless methods) và phương pháp này nhiều năm liền ñược các nhà khoa học tìm hiểu và phát triển [29], [30]. Phương pháp không lưới nhằm giải quyết sự phát triển các dạng hình học của các kết cấu như thân ô tô, thân máy bay v.v… Các hàm nội suy trong phương pháp không lưới có thể ñược dựa trên ña thức Bernstein polynomials hoặc các ña thức ñặc biệt khác như hàm Wavelet. Trong số các phương pháp không lưới có thể nhắc ñến: Phương pháp không phần tử Galerkin (Element Free Galerkin Method), Phương pháp Wavelet Galerkin (Wavelet Galerkin Method) v.v… Phương pháp không lưới là một phần bổ sung cho phương pháp có lưới truyền thống, nó có thể xây dựng những xấp xỉ bậc cao bất kỳ ngay cả trong trường hợp ñạo hàm bậc bốn với tấm Kirchhoff-Love. Đặc biệt trong bài toán tối ưu hình dạng kết cấu, tránh ñược sự chia lại lưới sau khi tối ưu ñược hình dạng kết cấu. Trong phương pháp không lưới, sự rời rạc hóa theo tập hợp các nút và tương tác giữa các nút có thể thay ñổi theo thời gian và không gian. Do ñó các mô hình phát triển vết nứt, biến dạng tự do và ñường cong trở lên ñơn giản [43]. Như vậy, phương pháp phần tử hữu hạn là phương pháp thường dựa trên phương pháp chuyển vị dùng ñể tính cho các bài toán tuyến tính và bài 15 toán phi tuyến. Phương pháp phần tử hữu hạn ñã phát triển từ phần tử có lưới ñến phần tử không lưới. Các phương pháp của quy hoạch toán học Trong trường hợp tổng quát bài toán quy hoạch có thể trình bày dưới dạng tìm x ñể min ( f ( x) ) với các ràng buộc g ( x) ≤ 0 . Trong ñó: f ( x) là hàm mục tiêu (objective functions); x là không gian véctơ n chiều T x = { x1 , x2 , x3 ,..., xn } ñược gọi là biến số (variables). Bài toán như trên ñược gọi là bài toán quy hoạch toán học (Mathematical programming) [7], [42], [53]. Bài toán quy hoạch toán học thường viết dưới dạng sau: - Hàm mục tiêu: min ( f ( x) ) (1.5a)  g1 ( x) ≤ 0  g ( x) ≤ 0  - Các ràng buộc:  2 M   g m ( x) ≤ 0 (1.5b) Thực tế các bài toán quy hoạch có thể viết dưới dạng khác nhưng có thể ñưa về dạng (1.5) ñược như: max ( f ( x) ) ↔ min ( − f ( x) ) và g ( x) ≥ 0 ↔ − g ( x) ≤ 0 (1.6) Dựa trên các nguyên lý biến phân năng lượng, tất cả các bài toán cơ học công trình ñều có thể ñưa về dạng bài toán quy hoạch toán học. Ví dụ dựa trên nguyên lý năng lượng biến dạng ( Π (σ ij ) ) tối thiểu ñối với bài toán cơ học môi trường liên tục, ñàn hồi và tuyến tính có thể ñược viết như dưới dạng sau: Π (σ ij ) → min với các ñiều kiện là các phương trình cân bằng. Đây là bài toán quy hoạch toán học, trong ñó Π (σ ij ) (năng lượng biến dạng) là hàm mục tiêu còn các phương trình cân bằng là các ràng buộc của 16 bài toán. Không những ñối với bài toán vừa trình bày mà còn ñối với các bài toán ổn ñịnh, ñặc biệt là các bài toán tối ưu kết cấu thường ñược ñưa về dưới dạng các bài toán quy hoạch toán học. Ta có thể phân loại các bài toán quy hoạch toán học như sau: Bài toán quy hoạch tuyến tính: là bài toán quy hoạch mà tất cả các ràng buộc và hàm mục tiêu ñều là các hàm tuyến tính theo các biến. Bài toán quy hoạch tuyến tính ñược viết dưới dạng chuẩn (standard form) như sau: Hàm mục tiêu: min f ( x1 , x2 ,..., xn ) = c1 x1 + c2 x2 + ... + cn xn (1.7a)  a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn = b1  a x + a x + ... + a x = b 2n n 2  21 1 22 2 ...  a x + a x + ... + a x = b mn n m  m1 1 m 2 2  x1 ≥ 0; x2 ≥ 0;...; xn ≥ 0; (1.7b) Các ràng buộc: trong ñó: c j , bi và aij ( i = 1,2,...m; j = 1,2,..., n ) là các hệ số ñã biết, còn x j là các biến. Bài toán quy hoạch phi tuyến: là bài toán quy hoạch mà hàm mục tiêu hoặc một trong những ràng buộc là phi tuyến, trong trường hợp tổng quát cả hàm mục tiêu và các ràng buộc là những hàm phi tuyến. Các phương pháp quy hoạch toán học là nhằm giải các bài toán quy hoạch toán học trên. Nếu như từ năm 1984 về trước khi tính toán bài toán quy hoạch toán học phi tuyến thường phải ñưa về bài toán quy hoạch toán học tuyến tính ñể sử dụng phương pháp ñơn hình (Simplex Method) và có thể nói phương pháp ñơn hình là một thành tựu toán học của thế kỷ 20 do Dantzig ñưa ra năm 1947. Nhưng tình hình khác hẳn từ sau năm 1984 với sự xuất hiện của phương pháp ñiểm trong (The Interior-Point Method) khi nhà toán học người Mỹ N.K.Karmarkar ñưa ra. Phương pháp này khi áp dụng vào thực tế 17 cho thấy nó rất hiệu quả với những bài toán có quy mô lớn (nhiều biến và số ràng buộc nhiều). Bởi vì khác hẳn với phương pháp ñơn hình xây dựng dãy các ñiểm biên (là ñỉnh) của miền chấp nhận ñược, còn phương pháp ñiểm trong xây dựng các ñiểm trong bắt ñầu từ ñiểm trung tâm sao cho hội tụ về ñiểm biên là nghiệm tối ưu. Ngoài hai phương pháp trên, còn phải kể thêm một số phương pháp khác như: phương pháp di chuyển tiệm cận (The Method of Moving Asymptotes), phương pháp tuyến tính hóa từng bước (Sequential Linear Programming), phương pháp bình phương từng bước (Sequential Quadratic Programming) [42]. Với các phương pháp trên, hiện nay ñã ñược ñưa vào trong các ngôn ngữ lập trình như Mathematica, Matlab v.v…dưới dạng các hàm ñể người kỹ sư dễ dàng sử dụng, nên trong các tính toán sau của luận án tác giả sử dụng các hàm có sẵn trong mục optimization toolbox của phần mềm Matlab7.0 ñể giải các bài toán quy hoạch toán học. 1.3 Tình hình nghiên cứu kết cấu dàn trong nước Tại Việt Nam kết cấu dàn ñã ñược ứng dụng trong các công trình xây dựng rất nhiều. Tuy nhiên các nghiên cứu phân tích kết cấu dàn chưa nhiều. Khi trình bày các phương pháp tính toán cho kết cấu dàn, tác giả Lều Thọ Trình [14], [15] ñã giới thiệu rất nhiều phương pháp dùng ñể tính toán, nhưng các phương pháp tính toán này cũng thường chỉ áp dụng tính toán cho các bài toán PTTT kết cấu dàn có bậc siêu tĩnh thấp. Còn các bài toán có bậc siêu tĩnh cao hoặc phi tuyến hình học thì khi áp dụng các phương pháp này ñể giải là rất khó khăn. Về phương pháp tính toán dàn còn có tài liệu [12] của tác giả Chu Quốc Thắng ñã giới thiệu phương pháp phần tử hữu hạn ñể giải bài toán dàn, trong tài liệu tác giả cũng chỉ mới giới thiệu cách xây dựng ñược với bài toán phân tích tuyến tính kết cấu dàn. 18 Trong tài liệu [16], tác giả Lều Thọ Trình và cộng sự khi trình bày về tính toán ổn ñịnh cho kết cấu dàn cũng chỉ dừng lại giới thiệu khái niệm trạng thái tới hạn của kết cấu dàn. 1.4 Một số vấn ñề còn tồn tại và lý do lựa chọn ñề tài Qua các nghiên cứu ñã trình bày ở trên có thể thấy: - Kết cấu dàn là kết cấu ñược sử dụng rộng rãi trong các công trình xây dựng, cũng như làm kết cấu giảm chấn (kết cấu khung dàn) cho các công trình. - Các phân tích phi tuyến kết cấu dàn hiện nay thường sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn với các phần tử phi tuyến và biến dạng dài tỉ ñối của các thanh thường ñược tính với giả thuyết biến dạng bé theo công thức (1.1) [10], hoặc có thể xây dựng theo hai cách khác là: cách thứ nhất là xây dựng theo vị trí nút dựa trên nguyên lý công ảo; cách thứ hai phân tích biến dạng của kết cấu dàn ra làm hai thành phần là biến dạng thể tích tương ñối và biến dạng quay cứng xung quanh ba trục tọa ñộ [38]. Các phương pháp này, thường cuối cùng ñưa các phương trình cân bằng về dạng : ([K ] + K  ){δ} = {P} g (1.8) trong ñó: [ K ] là ma trận ñộ cứng không ñổi (thành phần tuyến tính);  K g  là ma trận thay ñổi (thành phần phi tuyến hình học). Giải phương trình (1.8), thường sử dụng thuật toán lặp Newton Raphson, lặp Newton Raphson cải tiến hoặc phương pháp chiều dài cung (Arc lenght Method). Các phương pháp lặp này thường sử dụng cách chia tải trọng thành n bước gia tải, khi tính chuyển vị và nội lực tại bước tải ñầu tiên thì coi  K g  = 0 và muốn tính ñược chuyển vị nội lực tại bước gia tải thứ i thì phải biết ñược trạng thái kết cấu tại bước gia tải thứ (i-1). Như vậy các nghiên cứu phân tích phi tuyến hình học kết cấu dàn thường là những nghiên cứu về ổn 19 ñịnh tổng thể kết cấu dàn hay là các bài toán xác ñịnh ñường cân bằng tại các nút dàn. - Các nghiên cứu ổn ñịnh cục bộ cho kết cấu dàn chủ yếu mới chỉ nghiên cứu phân tích tuyến tính ổn ñịnh cục bộ cho kết cấu dàn, còn nghiên cứu về phân tích phi tuyến hình học ổn ñịnh cục bộ cho kết cấu dàn thì hầu như chưa có một nghiên cứu nào. Nhằm làm phong phú thêm phương pháp giải cho bài toán phân tích phi tuyến hình học kết cấu dàn, cũng như có một phương pháp giải ñơn giản mà các kỹ sư và các nhà nghiên cứu có thể dễ dàng áp dụng ñể tính toán phi tuyến hình học kết cấu dàn khi thiết kế cũng như trong nghiên cứu. Tác giả lựa chọn ñề tài: “Phân tích kết cấu dàn chịu tải trọng tĩnh theo sơ ñồ biến dạng”, sử dụng phương pháp nguyên lý cực trị Gauss của GS. TSKH. Hà Huy Cương và kết hợp các phương pháp quy hoạch toán học ñể giải. Phương pháp nguyên lý cực trị Gauss cho ñến nay ñã ñược nhiều nghiên cứu sinh áp dụng và bảo vệ thành công luận án tiến sĩ [2], [3], [6], [11], [13], [17], [18], [19]. 1.5 Mục tiêu nghiên cứu cụ thể của luận án: Qua tổng quan tình hình về các nghiên cứu phân tích kết cấu dàn hiện nay, tác giả ñưa ra các vấn ñề cụ thể giải quyết của luận án như sau: 1. Dựa trên phương pháp nguyên lý cực trị Gauss xây dựng ñược các phương trình cân bằng cho bài toán phân tích phi tuyến hình học kết cấu dàn. Phân tích phi tuyến hình học kết cấu dàn là khi phân tích coi biến dạng của các thanh dàn hữu hạn do ñó sau khi biến dạng, góc của các thanh dàn thay ñổi. Phân tích tuyến tính kết cấu dàn là khi phân tích coi biến dạng của các thanh dàn và chuyển vị của các nút dàn vô cùng bé, nên góc của thanh dàn trước và sau khi biến dạng coi là không ñổi. Đồng thời xây dựng ñược hai cách tiếp cận giải bài toán kết cấu dàn là: 20 - Cách chọn ẩn số là các thành phần chuyển vị tại các nút. - Cách chọn ẩn số là nội lực trong các thanh dàn. 2. Một số ví dụ khảo sát nghiên cứu ảnh hưởng của thông số vật liệu ñến sự phân phối lại nội lực trong các thanh dàn của bài toán dàn phi tuyến hình học, cũng như nghiên cứu ảnh hưởng của giá trị tải trọng tác dụng lên dàn ñến sự chênh lệch kết quả giữa phân tích tuyến tính và phân tích phi tuyến hình học. 3. Khảo sát phân tích phi tuyến hình học cho kết cấu dàn vòm phẳng trong một số trường hợp: Kết cấu dàn tĩnh ñịnh; Kết cấu dàn tĩnh ñịnh trong, siêu tĩnh ngoài; Kết cấu dàn siêu tĩnh trong, tĩnh ñịnh ngoài; Kết cấu dàn siêu tĩnh trong và siêu tĩnh ngoài chịu lực tác dụng thẳng ñứng tại các nút dàn. Đồng thời nghiên cứu ảnh hưởng ñộ thoải của dàn vòm phẳng ñến ñộ chênh lệch nội lực trong các thanh dàn, ñộ chênh lệch các thành phần chuyển vị tại các nút dàn giữa phân tích phi tuyến hình học và phân tích tuyến tính. 4. Khảo sát phân tích phi tuyến hình học cho bài toán kết cấu dàn cầu không gian một lớp, kết cấu dàn vòm không gian một lớp chịu lực tác dụng thẳng ñứng tại các nút dàn. Đồng thời nghiên cứu ảnh hưởng ñộ thoải của các dàn cầu không gian, dàn vòm không gian này ñến ñộ chênh lệch nội lực của các thanh dàn, ñộ chênh lệch các thành phần chuyển vị tại các nút dàn giữa phân tích tuyến tính và phân tích phi tuyến hình học. 5. Nghiên cứu tính toán lực tới hạn của thanh chịu nén dọc trục dựa trên phương pháp chuyển vị cưỡng bức. Đồng thời xây dựng phương pháp xác ñịnh tải trọng tới hạn cho bài toán phân tích phi tuyến hình học ổn ñịnh cục bộ kết cấu dàn. 6. Khảo sát tải trọng tới hạn tác dụng lên một số kết cấu dàn vòm phẳng và nghiên cứu ảnh hưởng ñộ thoải của dàn vòm, tính siêu tĩnh của kết cấu ñến giá trị tải trọng tới hạn tác dụng lên kết cấu dàn vòm phẳng cũng như sự chênh lệch giá trị tải trọng tới hạn giữa phân tích tuyến tính và phân tích phi tuyến hình học. 21 CHƯƠNG 2 CƠ SỞ LÝ THUYẾT PHÂN TÍCH PHI TUYẾN HÌNH HỌC KẾT CẤU DÀN Trong chương này của luận án trình bày phương pháp phân tích phi tuyến hình học kết cấu dàn chịu tác dụng của tải trọng tĩnh dựa trên phương pháp nguyên lý cực trị Gauss theo hai cách: chọn ẩn số chính của bài toán là các thành phần chuyển vị tại các nút dàn; chọn ẩn số chính của bài toán là nội lực trong các thanh dàn. Ngoài ra chương 2 còn trình bày nghiên cứu ảnh hưởng của thông số vật liệu, cũng như ảnh hưởng của giá trị tải trọng ñến sự chênh lệch kết quả giữa PTTT và PTPTHH. 2.1 Phương pháp phân tích phi tuyến hình học kết cấu dàn dựa trên phương pháp nguyên lý cực trị Gauss Nhà toán học người Đức K.F.Gauss năm 1829 ñã ñưa ra nguyên lý sau ñây ñối với các cơ hệ chất ñiểm: “Chuyển ñộng của hệ chất ñiểm có liên kết tùy ý chịu tác ñộng bất kỳ ở mỗi thời ñiểm sẽ xảy ra một cách phù hợp nhất một cách có thể với chuyển ñộng của hệ ñó khi hoàn toàn tự do, nghĩa là chuyển ñộng xẩy ra với lượng ràng buộc tối thiểu nếu như số ño lượng ràng buộc lấy bằng tổng các tích khối lượng chất ñiểm với bình phương ñộ lệch vị trí chất ñiểm so với vị trí khi chúng hoàn toàn tự do.” Gọi mi là khối lượng chất ñiểm, A i là vị trí của nó, Bi là vị trí sau thời ñoạn vô cùng bé do tác ñộng lực ngoài và vận tốc ở ñầu thời ñiểm gây ra, Ci là vị trí có thể (ràng buộc bởi liên kết) thì lượng ràng buộc ñược viết như sau: ( Z = ∑ m i Bi C i i ) 2 → min (2.1) Do hệ cần tính và hệ hoàn toàn tự do ñều chịu lực giống nhau, nên trong biểu thức lượng cưỡng bức không xuất hiện lực tác dụng. Lượng ràng buộc có dạng bình phương tối thiểu là phương pháp toán do Gauss ñưa ra [1]. 22 Trên cơ sở phát biểu của Gauss, năm 1984 GS. TSKH. Hà Huy Cương ñã ñề xuất phương pháp nguyên lý cực trị Gauss ñể giải các bài toán cơ học môi trường liên tục và cơ học kết cấu như sau: Thay vì việc tính toán trên hệ cần tính, ta tính toán trên hệ so sánh (hệ so sánh là hệ chịu lực tác dụng giống với hệ cần tính nhưng việc xác ñịnh nội lực trên hệ so sánh ñơn giản hơn hệ cần tính). Sau ñó muốn xác ñịnh nội lực, chuyển vị trong hệ cần tính bằng cách cho lượng ràng buộc của bài toán ñạt cực trị. Lượng ràng buộc viết cho bài toán cơ học kết cấu hệ thanh chịu tải trọng tĩnh, trong phụ lục 8 của luận án ñã thiết lập theo (8.22b) và ñược viết: (0) n li Z=∑ ∫ (M (i ) x E i .I(ix ) i =1 0 n li( 0 ) +∑ ∫ i =1 0 (i ) − M 0x ) α (Q − Q (i ) x G i Ai (i) 0x 2 (0) n li dz + ∑ ∫ i =1 0 ) 2 n l(i 0 ) dz + ∑ ∫ (M (i ) y − M 0(iy) ) E i .I(iy ) α (Q − Q i =1 0 (i ) y G i Ai (i ) 0y 2 (0) n li dz + ∑ ∫ (M ) n li( 0 ) dz + ∑ ∫ i =1 0 (N (i ) − M 0z ) G i .Iρ(i) i =1 0 2 (i ) z i − N 0i ) Ei Ai 2 dz + (2.2) 2 dz → min trong ñó: α là hệ số tập trung ứng suất tiếp do lực cắt gây ra tại trục dầm; M (i) , x M (iy ) là mô men uốn trong thanh thứ i ; M (iz ) là mô men xoắn trong thanh thứ i ; Q(ix ) , Q(iy ) là lực cắt trong thanh thứ i ; N i là lực dọc trong thanh thứ i ; nội lực có chỉ số “0” ở chân là nội lực trong hệ so sánh; nội lực không có chỉ số “0” ở chân là nội lực trong hệ ñang xét (phải thỏa mãn ñiều kiện biên); E là mô ñun ñàn hồi; G là mô ñun ñàn hồi trượt; I x , I y là mô men quán tính của mặt cắt ngang ñối với hệ trục quán tính chính trung tâm x, y; Iρ là mô men quán tính ly tâm ñối với trọng tâm mặt cắt ngang của thanh; A là diện tích mặt cắt ngang của thanh; li(0) là chiều dài của thanh thứ i trước khi kết cấu biến dạng; n là tổng số thanh của kết cấu. Trong kết cấu dàn các thanh chỉ chịu kéo hoặc chịu nén. Như vậy, từ công thức (2.2) suy ra lượng ràng buộc viết cho kết cấu dàn bao gồm n thanh dàn: 23 (0) n li Z=∑ ∫ i =1 0 (N i − N 0i ) 2 dz → min Ei Ai (2.3) Ví dụ 2.1: Cho kết cấu dàn chịu lực như hình 2.1, biết tải trọng P=30 (kN) và cứng EA = 2.10 4 (kN) . Xác ñịnh nội lực trong các thanh dàn theo PTTT. 2P y P 2EA 1 A P=30(kN) D D EA 2 B 2P y 2EA 1 EA 3 C x Hình 2.1 Ví dụ 2.1 EA 3 A C x Hình 2.2 Hệ so sánh ví dụ 2.1 Lời giải: Chọn hệ so sánh như hình 2.2, bằng phương pháp tách mắt dễ dàng xác ñịnh nội lực trong các thanh dàn của hệ so sánh: N 02 = 0(kN) ; N 01 = −5P / 7 = −21, 4286(kN) ; N 03 = −11 2P / 7 = −66,6701(kN) . Lượng ràng buộc của bài toán theo (2.3) ñược viết như sau: (N1 − N 01 ) 2 (0) (N 2 ) 2 (0) (N 3 − N 03 ) 2 (0) Z= l1 + l2 + l3 → min 2EA EA EA (2.4) Ngoài ra, cần có các ñiều kiện ràng buộc về mặt liên tục là chuyển vị tại nút D của các thanh 1, 2, 3 bằng nhau và ñiều kiện biên là không có chuyển vị tại nút A, B, C có thể viết: N1 4 3 500 − ( u D + v D ) = 0 ; 2EA 5 5 (2.5a)  10 N2 3 10  100 10 −  − uD + vD  = 0 ; EA 10 10   (2.5b) N3 2 2 300 2 − (− uD + vD ) = 0 ; EA 2 2 (2.5c) 24 Từ ñiều kiện cực trị (2.4) với các ràng buộc (2.5), có thể viết ñược phiếm hàm mở rộng Largrange của bài toán: L= (N1 − N 01 ) 2 (0) (N 2 ) 2 (0) (N 3 − N 03 )2 (0) 4 3  N  l1 + l2 + l3 + λ1  1 500 − ( u D + v D )  + 2EA EA EA 5 5  2EA  N  10 N  3 10   2 2 +λ 2  2 100 10 −  − uD + v D   + λ 3  3 300 2 − ( − uD + v D )  → min  EA  10 2 2  10   EA   (2.6) trong ñó: λ là thừa số Largrange và có thứ nguyên là [lực]. Điều kiện cực trị của phiếm hàm mở rộng (2.6) theo các ẩn số là nội lực trong các thanh dàn, chuyển vị tại nút D và các thừa số λ sẽ thiết lập ñược hệ phương trình tuyến tính, giải hệ phương trình này sẽ xác ñịnh ñược nội lực trong các thanh N AD = −29,2851(kN) dàn: và N AD = −3,8051(kN) ; các thành phần N BD = −39, 0112(kN) ; chuyển vị tại nút D: u D = 0,3425(cm) ; v D = −0,5360(cm) . Để kiểm tra ñộ tin cậy của kết quả phân tích, luận án kiểm tra ñiều kiện cân bằng tại nút D của dàn và kết quả như sau: ∑F y ∑F x = 0,23774.10 −5 (kN) ; = −0,65784.10 −5 (kN) . Như vậy với kết quả kiểm tra cân bằng tại nút dàn cho thấy, kết quả PTTT dựa trên phương pháp cực trị Gauss là tin cậy. Khi hệ kết cấu dàn so sánh không liên kết, tải trọng tác dụng lên nút thứ i của dàn là Px(i) , Py(i) ,Pz(i) . Để ñưa về hệ so sánh có liên kết ta có thể ñặt lo xo tại các nút dàn, có ñộ cứng theo các phương x, phương y và phương z lần lượt là k (i) x , (i) k (i) y và k z lên hệ so sánh mà không làm thay ñổi chuyển ñộng của nút với: (i) Py P (i) Pz(i) (i) k = lim x ; k (i) = lim ; k = lim z y u 0i →∞ u w 0i →∞ w v0i →∞ v 0i 0i 0i (i) x (2.7) trong ñó: u 0i ;v 0i ;w 0i là các thành phần chuyển vị tại nút i của hệ so sánh. Ta (i) (i) thấy: khi u 0i → ∞ , v0i → ∞ và w 0i → ∞ thì k (i) x → 0 , k y → 0 và k z → 0 . 25 Như vậy, có thể ñặt lo xo vào hệ so sánh không liên kết mà không làm thay ñổi chuyển ñộng của hệ so sánh. Bây giờ lượng ràng buộc cho kết cấu dàn bao gồm n thanh và có r nút của hệ so sánh không liên kết ñược viết như sau: n Z=∑ ( Nk − 0) 2 (0) k l Ek Ak k =1 r r r i =1 i =1 i =1 2 2 2 (i) (i) (2.8) + ∑ k (i) x . ( u i − u 0i ) + ∑ k y . ( v i − v 0i ) + ∑ k z . ( w i − w 0i ) → min N k 2l(0) k Trong biểu thức (2.8) ñại lượng ∑ luôn dương, nên ta tính riêng k =1 E k A k n phần cuối như sau: r r r Zk = ∑ k .( u i − u 0i ) + ∑ k .( vi − v 0i ) + ∑ k (i) z .( w i − w 0i ) → min 2 (i) x i =1 2 (i) y i =1 2 (2.9) i =1 hay: (i) r r P Px(i) P (i) 2 2 2 .( u i − u 0i ) + ∑ lim y .( vi − v 0i ) + ∑ lim z .( w i − w 0i ) → min u →∞ u v →∞ v w →∞ w i =1 0i i =1 0 i i =1 0i 0i 0i 0i r Zk = ∑ lim (2.10) Giới hạn của (2.10) là: r r r (2.11) Zk = −∑ 2P .u i − ∑ 2P .vi − ∑ 2Pz(i) .w i → min (i) x i =1 i =1 (i) y i =1 Đưa biểu thức (2.11) vào biểu thức (2.8), ta có: r r r N k 2l(0) (i) (i) k Z=∑ − ∑ 2Px .u i − ∑ 2Py .vi − ∑ 2Pz(i) .w i → min k =1 E k A k i =1 i =1 i =1 n (2.12a) hoặc viết dưới dạng: r r r E k A k (∆lk ) 2 (i) (i) − − − Z=∑ 2P .u 2P .v 2Pz(i) .w i → min ∑ ∑ ∑ x i y i (0) lk k =1 i =1 i =1 i =1 n (2.12b) trong ñó: Px(i) , Py(i) ,Pz(i) là các thành phần tải trọng tác dụng tại nút i theo phương trục x, phương trục y và phương trục z; u i , vi , w i là các thành phần chuyển vị tại nút i theo phương trục x, phương trục y và phương trục z. 26 Luận án sẽ vận dụng phương pháp nguyên lý cực trị Gauss (2.12) ñể giải quyết bài toán tuyến tính cũng như bài toán phi tuyến hình học kết cấu dàn theo hai cách tiếp cận như sau: - Cách thứ nhất: chọn các ẩn số chính là các thành phần chuyển vị tại các nút dàn. - Cách thứ hai: chọn các ẩn số chính là lực dọc trong các thanh dàn. Chú ý khi giải theo cách thứ nhất thì ñiều kiện liên tục về chuyển vị tại các nút dàn tự ñộng thỏa mãn, nhưng nếu giải theo cách thứ hai thì cần phải ñưa thêm ñiều kiện liên tục về chuyển vị tại các nút dàn. Trong nội dung chương 2 của luận án sẽ trình bày chi tiết từng cách ñể giải bài toán kết cấu dàn chịu tải trọng tập trung tại các nút, dựa trên nguyên lý cực trị Gauss và cách ñảm bảo ñiều kiện liên tục về chuyển vị tại các nút dàn. 2.1.1 Phân tích tuyến tính kết cấu dàn theo cách thứ nhất 2.1.1.1 Kết cấu dàn phẳng Xét thanh ij trong dàn phẳng. y Gọi tọa ñộ ban ñầu của các nút lần vi dàn chịu lực, nút i có chuyển vị: i(xi ,yi ) o ii ' = u i + vi ; nút j có chuyển vị: x j − xi (x 2 j α ui x Hình 2.3 Sơ ñồ chuyển vị của nút thanh trong hệ phẳng ñặt: lij = cosα = uj j(x j ,yj ) lượt là i ( x i , yi ) , j( x j , y j ) . Sau khi jj' = u j + v j (hình 2.3) vj − x i ) + ( y j − yi ) 2 ; mij = sin α = y j − yi (x 2 j − x i ) + ( y j − yi ) 2 (2.13) Chiều dài của thanh dàn trước khi biến dạng: l(0) = ij (x 2 i − x j ) + ( yi − y j ) 2 (2.14) 27 Biến dạng dài tuyệt ñối của thanh dàn: ∆l ij = (lij.u j + mij.v j ) − (lij.u i + m ij.vi ) (2.15) Như vậy nếu hệ dàn bao gồm n thanh và có r nút chịu tải trọng tác dụng, lượng ràng buộc của bài toán theo (2.12b) ñược viết như sau: n Z=∑ ( ) E k A k . ∆l k 2 l(0) k k =1 r r i =1 i =1 − ∑ 2Px(i) .u i − ∑ 2Py(i) .vi → min (2.16) hay n Z=∑ E k A k ( (lij.u j + mij.v j ) − (lij.u i + mij.vi ) ) (x k =1 2 i − x j ) + ( yi − y j ) 2 2 r r i =1 i =1 − ∑ 2Px(i) .u i − ∑ 2Py(i) .vi → min (2.17) Xét tại nút i của dàn có m thanh quy tụ, ñiều kiện cực trị của bài toán tại ∂Z = 0; ∂u i nút i là: ∂Z =0 ∂vi (2.18a) Suy ra:  m 2E ijA ij ( (lij .u j + mij.v j ) − (lij .u i + mij .vi ) ) (−lij ) − 2Px(i) = 0 ∑ 2 2  j=1 ( x i − x j ) + ( yi − y j )    m 2E ijA ij ( (lij.u j + mij.v j ) − (lij.u i + mij.vi ) ) ( −mij ) − 2Py(i) = 0 ∑ 2 2  j=1 ( x i − x j ) + ( yi − y j ) (2.18b) Nội lực của các thanh dàn ñược tính theo công thức sau: Nij = ∆l ij .E ijAij l(0) ij = E ijA ij . ( (lij .u j + mij .v j ) − (lij .u i + mij .vi ) ) 2 ( x i − x j ) + ( yi − y j ) 2 (2.19) Các phương trình (2.18b) chính là các phương trình cân bằng tại các nút dàn có chuyển vị và có thể viết dưới dạng rút gọn lại như sau: m ∑ N .l ij ij j=1 (i) x + P = 0; m ∑ N .m ij j=1 ij + Py(i) = 0 (2.20) 28 Nếu bài toán có C liên kết nối ñất và Sn nút thì theo ñiều kiện (2.18) sẽ thiết lập ñược hệ phương trình bao gồm ( 2Sn − C ) phương trình tuyến tính và có ( 2Sn − C ) ẩn số là các thành phần chuyển vị u, v. Giải hệ phương trình (2.18) sẽ xác ñịnh ñược các thành phần chuyển vị u, v tại các nút dàn. Thay các thành phần chuyển vị tìm ñược vào (2.15) sẽ tìm ñược biến dạng dài tuyệt ñối của các thanh dàn. Nội lực trong các thanh dàn ñược tính theo (2.19). 2.1.1.2 Kết cấu dàn không gian Xét thanh ij trong dàn không y gian. Gọi tọa ñộ ban ñầu của các vj vi nút lần lượt là i ( x i , yi ,zi ) , i(xi ,y,z ) i i j( x j , y j , z j ) . Sau khi dàn chịu lực, nút i có chuyển lij = mij = n ij = wi x z thanh trong hệ không gian 2 j 2 − x i ) + ( y j − yi ) + ( z j − zi ) ; 2 y j − yi (x 2 j 2 − x i ) + ( y j − yi ) + ( z j − z i ) 2 z j − zi (x 2 j wi ui x j − xi (x uj Hình 2.4 Sơ ñồ chuyển vị của nút vị: jj' = u j + v j + w j (hình 2.4) Đặt: o vị: ii ' = u i + vi + w i ; nút j có chuyển j(x j,yj ,zj ) 2 − x i ) + ( y j − yi ) + ( z j − zi ) ( lij ,m ij , n ij ) gọi là côsin chỉ phương của thanh ij Chiều dài của thanh dàn trước khi biến dạng: 2 (2.21a) ; (2.21b) . (2.21c) 29 l(0) = ij (x 2 2 j − x i ) + ( y j − yi ) + ( z j − zi ) 2 (2.22) Biến dạng dài tuyệt ñối của thanh dàn: ∆l ij = (lij.u j + mij.v j + n ij.w j ) − (lij.u i + mij.vi + n ij.w i ) (2.23) Như vậy nếu hệ dàn bao gồm n thanh và r nút chịu tải trọng tác dụng thì lượng ràng buộc của bài toán theo (2.12b) ñược viết như sau: n Z=∑ ( ) E k A k . ∆l k 2 l(0) k k =1 r r r i =1 i =1 i =1 − ∑ 2Px(i) .u i − ∑ 2Py(i) .vi − ∑ 2Pz(i) .w i → min (2.24a) hay n Z=∑ k =1 Ek Ak (x 2 i 2 − x j ) + ( yi − y j ) + ( zi − z j ) r r r i =1 i =1 i =1 2 ( (l .u ij 2 j + mij.v j + n ij.w j ) − (lij .u i + mij.vi + n ij.w i ) ) + −∑ 2Px(i) .u i − ∑ 2Py(i) .vi − ∑ 2Pz(i) .w i → min (2.24b) Xét tại nút i của dàn có m thanh quy tụ, ñiều kiện cực trị của bài toán tại nút dàn i : ∂Z ∂Z ∂Z = 0; = 0; = 0; ∂u i ∂vi ∂w i (2.25a)  m 2E ijA ij (−lij ) ( (lij .u j + mij .v j + n ij .w j ) − (lij .u i + mij.vi + n ij .w i ) )  − 2Px(i) = 0 ∑ 2 2 2  j=1 ( x i − x j ) + ( yi − y j ) + ( zi − z j )  hay:  m 2EijAij (−mij ) ( (lij.u j + mij.v j + n ij.w j ) − (lij.u i + mij.vi + n ij.w i ) ) − 2Py(i) = 0 ∑ 2 2 2  j=1 ( x i − x j ) + ( yi − y j ) + ( zi − z j )   m 2E ijA ij (−n ij ) ( (lij .u j + mij .v j + n ij .w j ) − (lij .u i + mij.vi + n ij .w i ) ) ∑ − 2Pz(i) = 0 2 2 2  j=1 ( x i − x j ) + ( yi − y j ) + ( zi − z j )  (2.25b) Các phương trình (2.25b) chính là các phương trình cân bằng tại các nút có chuyển vị và có thể viết dưới dạng rút gọn lại như sau: m ∑ Nij.lij +Px(i) = 0; j=1 m ∑ Nij.mij + Py(i) = 0; j=1 m ∑ N .n ij j=1 ij + Pz(i) = 0 (2.25c) 30 Nếu bài toán có C liên kết nối ñất và Sn nút dàn thì theo (2.25) sẽ có ñược hệ phương trình bao gồm ( 3Sn − C ) phương trình tuyến tính và có ( 3Sn − C ) ẩn số là các thành phần chuyển vị u, v, w. Giải hệ phương trình (2.25) sẽ tìm ñược các thành phần chuyển vị u, v, w tại các nút của dàn. Sau khi tìm ñược các thành phần chuyển vị tại các nút dàn thay vào phương trình (2.23) và (2.19) sẽ tính ñược biến dạng dài tuyệt ñối và nội lực trong các thanh dàn. 2.1.2 Phân tích tuyến tính kết cấu dàn theo cách thứ hai Xét dàn gồm n thanh, r nút chịu tải trọng tác dụng và gọi N i là nội lực trong thanh dàn thứ i . Lượng ràng buộc của dàn theo (2.12a) ñược viết như sau: r r r N k 2l(0) k Z=∑ − ∑ 2Px(i) .u i − ∑ 2Py(i) .vi − ∑ 2Pz(i) .w i → min k =1 E k A k i =1 i =1 i =1 n (2.26) Nếu chỉ thỏa mãn (2.26) thì dàn chưa ñảm bảo ñiều kiện liên tục về mặt chuyển vị tại các nút dàn. Vì vậy cần phải bổ sung ñiều kiện liên tục là các thanh ñồng quy tại nút thì chuyển vị tại nút ñó của các thanh phải bằng nhau. Các phương trình bổ sung ñể dàn thỏa mãn ñiều kiện liên tục về chuyển vị ñược viết như sau: gi = N i l(0) i − ∆l i = 0 EiAi (i = 1 ÷ n) (2.27) trong ñó: ∆l i là biến dạng dài tuyệt ñối của thanh dàn ñược xác ñịnh theo (2.15) hoặc (2.23). Như vậy bài toán phân tích, tính toán dàn trở thành bài toán tìm cực trị của phiếm hàm (2.26) với các ràng buộc (2.27). Bài toán này có thể giải bằng phương pháp thừa số Largrange với phiếm hàm mở rộng L như sau: n L = Z + ∑ λ i g i → min i =1 (2.28) 31 trong ñó: λ i là thừa số Largrange và cũng là ẩn số của bài toán. Điều kiện cực trị của (2.28) là: i =1÷ n  ∂L ∂L ∂L ∂L ∂L = 0; = 0; = 0; =0; =0  ∂N i ∂u j ∂v j ∂w j ∂λ i  j = 1 ÷ ( 3Sn − C ) (2.29) Giải hệ phương trình tuyến tính (2.29) sẽ tìm ñược các thành phần chuyển vị tại các nút dàn và nội lực trong các thanh. 2.1.3 Phân tích phi tuyến hình học kết cấu dàn theo cách thứ nhất 2.1.3.1. Kết cấu dàn phẳng Xét thanh ij trong dàn phẳng. y j(x j ,yj ) Gọi tọa ñộ ban ñầu của các nút lần lượt là i ( x i , yi ) , j( x j , y j ) . Sau khi i(x i ,yi ) vi dàn chịu lực, các nút chuyển sang vị vj i'(xi',yi' ) ui o trí mới là i' ( x i ' , yi ' ) , j' ( x j' , y j' ) như uj j'(xj',yj' ) x Hình 2.5 Sơ ñồ chuyển vị của nút thanh trong hệ phẳng  x i ' = x i + u i ; y i ' = y i + vi (2.30)  x = x + u ; y = y + u j j j' j j  j' hình 2.5. Ta có: trong ñó: ii ' = u i + vi :chuyển vị của ñiểm i; jj' = u j + v j : chuyển vị của ñiểm j. Chiều dài của thanh trước khi biến dạng tính theo công thức (2.14). Chiều dài của thanh sau khi biến dạng là: l(s) = ij (x 2 i + u i − x j − u j ) + ( yi + vi − y j − v j ) 2 (2.31) Biến dạng dài tuyệt ñối của thanh là: ∆l ij = (x 2 i 2 + u i − x j − u j ) + ( yi + v i − y j − v j ) − (x 2 i − x j ) + ( yi − y j ) 2 (2.32) 32 Như vậy nếu hệ dàn bao gồm n thanh và r nút chịu tải trọng tác dụng thì lượng ràng buộc của bài toán theo (2.12b) ñược viết như sau: n Z=∑ k =1 ( ) E k A k . ∆l k l(0) k 2 r r i =1 i =1 − ∑ 2Px(i) .u i − ∑ 2Py(i) .vi → min (2.33a) hay: 2 2 2   x + u − x − u + y + v − y − v + ( ) ( ) i i j j i i j j  Ek Ak   2 2  − ( x i − x j ) + ( yi − y j )  n   + Z=∑ 2 2 k =1 ( x i − x j ) + ( yi − y j ) r r i =1 i =1 (2.33b) −∑ 2Px(i) .u i − ∑ 2Py(i) .vi → min Xét tại nút i của dàn có m thanh quy tụ, ñiều kiện cực trị của bài toán tại nút i : ∂Z ∂Z = 0; =0 ∂u i ∂vi (2.34a) Từ ñiều kiện (2.34a) ñược hệ phương trình:  m 2E ijA ij .∆lij ( x i + u i − x j − u j ) − 2Px(i) = 0 ∑ (0) (0) lij (lij + ∆lij )  j=1   m 2EijAij.∆lij ( yi + vi − y j − v j ) − 2Py(i) = 0 (0) (0) ∑ lij (lij + ∆lij )  j=1 (2.34b) Hệ phương trình (2.24b) chính là các phương trình cân bằng các nút dàn có chuyển vị tại thời ñiểm kết cấu dàn sau khi biến dạng. Nếu bài toán có C liên kết nối ñất và Sn nút thì theo ñiều kiện (2.34) ñược hệ phương trình bao gồm ( 2Sn − C ) phương trình phi tuyến và có ( 2Sn − C ) ẩn số là các thành phần chuyển vị u, v. Giải hệ phương trình (2.34) sẽ tìm ñược các thành phần chuyển vị u, v tại các nút dàn. 33 Thay các thành phần chuyển vị tìm ñược vào phương trình (2.32) sẽ tìm ñược biến dạng dài tuyệt ñối của các thanh dàn. Nội lực trong các thanh dàn ñược tính theo công thức (2.19). 2.1.3.2. Kết cấu dàn không gian Xét thanh ij trong dàn y j(x j,yj ,z j) không gian. Gọi tọa ñộ ban ñầu củ a các nút lần lượt là i(xi ,y,z ) i i vi i ( x i , yi ,zi ) , j( x j , y j , z j ) . Sau khi wi o dàn chịu lực, các nút chuyển vj i'(xi',yi' ,zi' ) ui wi uj j'(xj' ,yj' ,zj' ) x z sang vị trí mới là i' ( x i ' , yi ' ,zi ' ) , Hình 2.6 Sơ ñồ chuyển vị của nút thanh trong hệ không gian j' ( x j' , y j' , zi ' ) (hình 2.6).  x i ' = x i + u i ; y i ' = y i + vi ; z i ' = z i + w i Ta có:   x j' = x j + u j ; y j' = y j + u j ; z j' = z j + w j Trong ñó: (2.35) ii ' = u i + vi + w i : chuyển vị của ñiểm i jj' = u j + v j + w j : chuyển vị của ñiểm j Chiều dài của thanh dàn trước khi biến dạng ñược tính theo (2.22). Chiều dài của các thanh dàn sau khi biến dạng: l(s) = ij (x 2 i 2 + u i − x j − u j ) + ( yi + vi − y j − v j ) + ( z i + w i − z j − w j ) Biến dạng dài tuyệt ñối của thanh là: ∆l ij = l(s) − l(0) ij ij 2 (2.36) (2.37) Như vậy nếu kết cấu dàn gồm n thanh và r nút chịu tải trọng tác dụng thì lượng ràng buộc của bài toán theo (2.12b) ñược viết như sau: n Z=∑ k =1 ( ) E k A k . ∆l k l(0) k 2 r r r i =1 i =1 i =1 − ∑ 2Px(i) .u i − ∑ 2Py(i) .vi − ∑ 2Pz(i) .w i → min (2.38a) 34 2 n Ek Ak Z=∑ (x k =1 r 2 i 2 − x j ) + ( yi − y j ) + ( zi − z j ) r 2 2 2    ( x i + u i − x j − u j ) + ( y i + vi − y j − v j ) +  +  2 + z + w − z − w ( )   + i i j j    − ( x − x )2 + ( y − y )2 + ( z − z )2  i j i j i j   r −∑ 2P .u i − ∑ 2P .vi − ∑ 2Pz(i) .w i → min (i) x i =1 i =1 (i) y (2.38b) i =1 Xét tại nút i của dàn có m là số thanh quy tụ, ñiều kiện cực trị của bài toán tại nút i: ∂Z ∂Z ∂Z = 0; = 0; =0 ∂u i ∂u i ∂vi (2.39a) Từ ñiều kiện (2.39a) suy ra hệ phương trình sau:  m 2E ijA ij.∆lij ( x i + u i − x j − u j ) − 2Px(i) = 0 ∑ (0) (0) lij (lij + ∆lij )  j=1  m  2E ijA ij.∆lij ( yi + vi − y j − v j ) − 2Py(i) = 0 ∑ (0) (0) lij (lij + ∆lij )  j=1 m  2E ijA ij.∆lij ( z i + w i − z j − w j ) − 2P (i) = 0 z ∑ lij(0) (lij(0) + ∆lij )  j=1 (2.39b) Các phương trình (2.39b) chính là các phương trình cân bằng các nút có chuyển vị tại thời ñiểm kết cấu sau khi biến dạng. Nếu bài toán có C liên kết nối ñất và Sn nút dàn thì theo ñiều kiện (2.39) sẽ có ñược hệ phương trình bao gồm ( 3Sn − C ) phương trình phi tuyến và có ( 3Sn − C ) ẩn số là các thành phần chuyển vị u, v, w. Giải hệ phương trình (2.39) sẽ tìm ñược các thành phần chuyển vị u, v, w tại các nút dàn. Thay các thành phần chuyển vị vừa tìm ñược vào phương trình (2.37) và (2.19) sẽ tính ñược biến dạng dài tuyệt ñối và nội lực trong các thanh dàn. 2.1.4 Phân tích phi tuyến hình học kết cấu dàn theo cách thứ hai Xét dàn gồm n thanh, r nút chịu tải trọng tác dụng và gọi N i là nội lực trong thanh dàn thứ i . Lượng ràng buộc của bài toán dàn ñược viết theo 35 (2.26). Nếu chỉ thỏa mãn (2.26) thì dàn chưa ñảm bảo ñiều kiện liên tục về mặt chuyển vị tại các nút dàn. Vì vậy cần phải bổ sung ñiều kiện liên tục là các thanh ñồng quy tại nút thì chuyển vị tại nút ñó của các thanh phải bằng nhau. Các phương trình bổ sung ñể dàn thỏa mãn ñiều kiện liên tục về mặt chuyển vị ñược viết như (2.27), nhưng biến dạng dài tuyệt ñối của các thanh dàn ñược xác ñịnh theo (2.32) hoặc (2.37). Như vậy bài toán phân tích phi tuyến hình học kết cấu dàn trở thành bài toán tìm cực trị của phiếm hàm lượng ràng buộc với các ràng buộc liên tục về chuyển vị tại các nút dàn. Tương tự như ở (mục 2.1.2), dựa vào ñiều kiện cực trị của phiếm hàm mở rộng sẽ xây dựng ñược hệ phương trình phi tuyến. Giải hệ phương trình phi tuyến này sẽ xác ñịnh ñược các thành phần chuyển vị tại các nút dàn và nội lực trong các thanh dàn. 2.2 Phương pháp xác ñịnh các thành phần chuyển vị tại các nút dàn và nội lực trong các thanh dàn ñối với bài toán dàn phi tuyến hình học Theo phương pháp phân tích phi tuyến hình học kết cấu dàn dựa trên nguyên lý cực trị Gauss là cuối cùng ñưa về giải hệ phương trình (2.34) hoặc (2.39) các phương trình trong các hệ này là các phương trình phi tuyến. Để giải hệ phương trình phi tuyến có rất nhiều phương pháp khác nhau, luận án sử dụng hàm fsolve trong Optimization Toolbox của phần mềm Matlab 7.0 ñể giải hệ các phương trình phi tuyến với các bước thực hiện như sau: Bước 1: Đánh số thứ tự các nút, số thứ tự các thanh cho kết cấu dàn. Bước 2: Xác ñịnh lượng ràng buộc cho kết cấu áp dụng phương pháp nguyên lý cực trị Gauss với các công thức (2.33), (2.38). Bước 3: Từ ñiều kiện cực trị của phiếm hàm ràng buộc ta nhận ñược hệ phương trình ñạo hàm riêng theo công thức (2.34a) hoặc (2.39a). Bước 4: Giải hệ phương trình phi tuyến (2.34b) hoặc (2.39b) bằng cách sử dụng hàm fsolve trong Optimization toolbox của phần mềm Matlab sẽ xác 36 ñịnh ñược nghiệm của hệ là các thành phần chuyển vị tại các nút của kết cấu dàn ñối với bài toán giải theo cách chọn ẩn số chính là chuyển vị, hoặc nội lực trong các thanh dàn và các thành phần chuyển vị của các nút dàn theo cách chọn ẩn số chính là nội lực. Bước 5: Sau khi xác ñịnh ñược các thành phần chuyển vị tại các nút dàn ta sẽ tính ñược biến dạng dài tuyệt ñối và nội lực các thanh theo công thức (2.32) hoặc (2.37) và (2.19). B¾t ®Çu NhËp: th«ng sè h×nh häc, vËt liÖu cña kÕt cÊu vµ t¶i träng ThiÕt lËp c«ng thøc tÝnh l ; l ThiÕt lËp phiÕm hµm Z(u,v, λ ,N) ThiÕt lËp hµm Myfun chuyÓn c¸c biÕn u, v, λ , N sang biÕn x Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh phi tuyÕn b»ng hµm [x,fval,exitflag]=fsolve(@myfun,x0 ,options) Thay ®æi maxfunevals + flag =0 XuÊt kÕt qu¶ KÕt thóc Hình 2.7 Sơ ñồ khối chương trình. 37 Như vậy, cách giải chọn ẩn số chính là chuyển vị thì phải tiếp tục làm thêm bước 5. Còn cách giải chọn ẩn số chính là nội lực thì ñến bước 4 là ñã xác ñịnh ñược nội lực trong các thanh dàn và các thành phần chuyển vị tại các nút dàn. Sơ ñồ giải thuật ñể giải bài toán dàn phi tuyến hình học dựa trên phương pháp nguyên lý cực trị Gauss bằng cách sử dụng ngôn ngữ lập trình Matlab 7.0 ñược thể hiện như hình 2.7. Khi áp dụng phương pháp nguyên lý cực trị Gauss ñể giải bài toán dàn phi tuyến hình học là cuối cùng ñưa về bài toán giải hệ các phương trình cân bằng phi tuyến tại các nút dàn có chuyển vị. Việc giải hệ các phương trình phi tuyến này có thể thực hiện dễ dàng bằng các hàm có sẵn trong phần mềm toán học như Matlab. Như vậy, các kỹ sư và các nhà nghiên cứu có thể dễ dàng áp dụng ñể tính toán phi tuyến hình học kết cấu dàn khi thiết kế cũng như nghiên cứu 2.3 Một số kết quả nghiên cứu bài toán kết cấu dàn 2.3.1 Tính toán dàn theo cách thứ nhất Ví dụ 2.2: Xác ñịnh nội lực trong các thanh dàn chịu lực như hình 2.8 theo cách chọn ẩn số chính là các thành phần chuyển vị tại các nút dàn. Biết ñộ cứng kéo (nén) của các thanh dàn EA = 100000( kN .cm 2 ) và tải trọng tác 2 cm dụng nút P=40(kN). P y P P P P P 11 9 P 8 9 8 14 13 13 12 12 11 10 10 24 25 20 21 22 23 7 14 31 26 15 27 16 28 17 29 18 30 19 5 6 1 1 2 3 4 7 x 6 2 3 4 5 Hình 2.8 Dàn ví dụ 2.2 38 Lời giải Bài toán kết cấu dàn có 31 thanh và 14 nút ñược ñánh số hiệu như trong hình 2.8. Điều kiện biên của bài toán là tại nút 1 không có chuyển vị theo phương x và phương y, tại nút 7 không có chuyển vị theo phương y nên: u1 = v1 = v 7 = 0 . Như vậy, nếu chọn các chuyển vị chưa biết là ẩn số thì bài toán sẽ có 25 ẩn số: u 2 ;v 2 ;u 3 ;v3 ;u 4 ; v 4 ;u 5 ;v5 ;u 6 ;v6 ;u 7 ;u 8 ;v8 ;u 9 ;v9 ;u10 ;v10 ;u11 ;v11 ;u12 ;v12 ; v13 ;u14 ;v14 . 2.3.1.1 Phân tích tuyến tính kết cấu dàn Lượng ràng buộc của bài toán theo (2.17) ñược viết như sau: 14 EkAk 2 × ∆ l − 2Pi .vi → min ( ) ∑ k (0) k =1 l i =8 31 (2.40) Z=∑ k trong (2.40) các biến dạng dài tuyệt ñối của các thanh dàn ñược tính toán theo (2.15). Điều kiện cực trị của lượng ràng buộc Z (2.40) theo các chuyển vị chưa biết: ∂Z =0 ∂u i (i = 2 ÷ 14) ; ∂Z =0 ∂v j  j= 2÷6   j = 8 ÷ 14 (2.41) Theo ñiều kiện (2.41) lập ñược hệ phương trình gồm 25 phương trình tuyến tính. Giải hệ phương trình tuyến tính tìm ñược 25 ẩn số là các thành phần chuyển vị chưa biết và kết quả ñược lập trong bảng 2.1. Bảng 2.1 Kết quả các thành phần chuyển vị tại các nút dàn PTTT ví dụ 2.2 Nút 1 2 3 4 5 u (cm) 0,0000 0,0378 0,1258 0,2406 0,3554 v (cm) 0,0000 -0,6781 -1,1471 -1,3156 -1,1471 Nút 8 9 10 11 12 u (cm) 0,0146 0,0434 0,1288 0,2406 0,3525 v (cm) -0,0312 -0,6823 -1,1530 -1,3214 -1,1530 6 0,4434 -0,6781 13 0,4378 -0,6823 7 0,4812 0,0000 14 0,4667 -0,0312 39 Thay các chuyển vị (bảng 2.2) vào (2.15) và (2.19) sẽ xác ñịnh ñược nội lực trong các thanh dàn. Kết quả nội lực của các thanh dàn ñược lập trong bảng 2.2. Bảng 2.2 Kết quả nội lực trong các thanh dàn PTTT ví dụ 2.2 Thanh N (kN) Thanh N (kN) Thanh N (kN) Thanh N (kN) Thanh N (kN) 1 75,672 8 -57,662 15 -11,308 22 12,935 29 12,935 2 3 175,917 229,652 9 10 -170,749 -223,681 16 17 -15,823 -15,522 23 24 -20,398 -53,230 30 31 46,770 72,077 4 229,652 11 -223,681 18 -15,823 25 -94,590 5 175,917 12 -170,749 19 -11,308 26 -94,590 6 75,672 13 -57,662 20 72,077 27 -53,230 7 -83,246 14 -83,246 21 46,770 28 -20,398 Để kiểm tra ñộ chính xác kết quả PTTT dàn ví dụ 2.2 dựa trên phương pháp nguyên lý cực trị Gauss. Luận án tiến hành kiểm tra ñiều kiện cân bằng tại tất cả các nút dàn. Sai số tổng hình chiếu các thành phần nội lực của các thanh quy tụ tại nút và tải trọng tác dụng lên nút theo phương x là ∑ Fx , theo phương y là ∑ Fy . Kết quả kiểm tra cân bằng tại các nút dàn ñược tập hợp và lập thành bảng 6.1 trong phụ lục. Với số liệu kiểm tra cân bằng tại các nút (bảng 6.1 trong phụ lục) cho thấy tất cả các nút ñều thỏa mãn ñiều kiện cân bằng. Như vậy kết quả tính toán là tin cậy. 2.3.1.2 Phân tích phi tuyến hình học kết cấu dàn Lượng ràng buộc của bài toán theo (2.33) ñược viết như sau: 14 EkAk 2 × ( ∆l k ) − ∑ 2Pi .vi → min (0) k =1 l i =8 31 Z=∑ k (2.42) 40 trong (2.42) các biến dạng dài tuyệt ñối của các thanh dàn ñược tính toán theo (2.32). Điều kiện cực trị của lượng ràng ràng buộc Z (2.42) theo các chuyển vị chưa biết: ∂Z =0 ∂u i (i = 2 ÷ 14) ; ∂Z =0 ∂v j  j= 2÷6   j = 8 ÷ 14 (2.43) Từ ñiều kiện (2.43) lập ñược hệ phương trình gồm 25 phương trình phi tuyến. Giải hệ phương trình phi tuyến tìm ñược 25 ẩn số là các thành phần chuyển vị chưa biết và kết quả ñược lập trong bảng 2.3. Bảng 2.3 Kết quả các thành phần chuyển vị tại các nút dàn PTPTHH ví dụ 2.2 Nút 1 2 3 4 5 6 7 u (cm) 0,0000 0,2719 0,9647 1,8883 2,8119 3,5047 3,7766 v (cm) 0,0000 -5,4645 -9,2458 -10,6047 -9,2458 -5,4645 0,0000 Nút 8 9 10 11 12 13 14 u (cm) 0,0141 0,2817 0,9866 1,8883 2,7900 3,4949 3,7625 v (cm) -0,2735 -5,5173 -9,3018 -10,6549 -9,3018 -5,5173 -0,2735 Thay các chuyển vị (bảng 2.4) vào (2.32) và (2.19) sẽ xác ñịnh ñược nội lực trong các thanh dàn. Kết quả nội lực trong các thanh dàn ñược lập trong bảng 2.4. Bảng 2.4 Kết quả nội lực trong các thanh dàn PTPTHH ví dụ 2.2 Thanh N (kN) Thanh N (kN) Thanh N (kN) Thanh N (kN) Thanh N (kN) 1 77,305 8 -58,292 15 -11,807 22 12,578 29 12,578 2 3 4 5 177,663 231,469 231,469 177,663 9 10 11 12 -171,735 -224,859 -224,859 -171,735 16 17 18 19 -16,814 -16,727 -16,814 -11,807 23 24 25 26 -20,758 -53,372 -94,400 -94,400 30 31 46,643 72,234 6 77,305 13 -58,292 20 72,234 27 -53,372 7 -83,300 14 -83,300 21 46,643 28 -20,758 41 Để kiểm tra ñộ chính xác kết quả PTPTHH dàn ví dụ 2.2 dựa trên phương pháp nguyên lý cực trị Gauss. Luận án tiến hành kiểm tra ñiều kiện cân bằng tất cả các nút dàn tại thời ñiểm kết cấu sau khi biến dạng. Kết quả kiểm tra cân bằng nút ñược tập hợp và lập thành bảng 6.2 trong phụ lục. Với số liệu kiểm tra cân bằng tại các nút (bảng 6.2 trong phụ lục) cho thấy tất cả các nút ñều thỏa mãn ñiều kiện cân bằng. Hình dạng dàn trước và sau khi biến dạng ñược thể hiện như hình 2.9: cm 400 200 0 Tr−íc biÕn d¹ng Sau biÕn d¹ng -200 0 500 1000 1500 2000 2500 cm Hình 2.9 Hình dạng dàn trước và sau khi biến dạng 2.3.2 Tính toán dàn theo cách thứ hai Ví dụ 2.3: Xác ñịnh nội lực trong 2P y các thanh dàn chịu lực như hình P 2.10, theo cách chọn các ẩn số 2EA 1 chính là nội lực trong các thanh dàn. Biết P= 200 (kN), A D EA 2 B EA 3 C x EA = 103 (kN) . Lời giải: Hình 2.10 Dàn ví dụ 2.3 Các thanh và các nút ñược ñánh số hiệu như (hình 2.10). Gọi N i ( i = 1,2,3 ) là nội lực trong các thanh dàn; u,v là chuyển vị của nút D. 2.3.2.1 Phân tích tuyến tính kết cấu dàn Lượng ràng buộc của bài toán dàn theo (2.26) ñược viết như sau: 42 N12l1(0) N 2 2l(0) N 3 2l3(0) 2 Z= + + − 2Pu + 4Pv → min 2EA EA EA (2.44) Điều kiện liên tục về chuyển vị tại các nút dàn: N1l1(0) (4u + 3v) N 2l(0) (−u + 3v) N 3l3(0) (−3u + 3v) 2 ; ; − = 0 − = 0 − = 0 (2.45) (0) (0) 2EA l1 EA l(0) EA l 2 3 Bài toán cực trị của phiếm hàm Z (2.44) với các ràng buộc về ñiều kiện liên tục chuyển vị tại nút D (2.45) ñược viết dưới dạng bài toán cực trị phiếm hàm mở rộng: L=  N l(0) (4u + 3v)  N12l1(0) N 2 2l(0) N 2l(0) 2 + + 3 3 − 2Pu + 4Pv + λ1  1 1 − + (0) 2EA EA EA 2EA l   1 Nl N l (− u + 3v)  (−3u + 3v)  +λ 2  − −  + λ3   → min (0) (0) EA l EA l   2 3   (0) 2 2 (0) 3 3 (2.46) Điều kiện cực trị của phiếm hàm mở rộng (2.46): l(0) l(0) l(0) ∂L N1l1(0) ∂L 2N 2l(0) ∂L 2N 3l3(0) 2 = + λ1 1 = 0 ; = + λ2 2 = 0 ; = + λ3 3 = 0 ; ∂N1 EA 2EA ∂N 2 EA EA ∂N 3 EA EA ∂L N1l1(0) (4u + 3v) ∂L N 2l(0) (− u + 3v) 2 = − = 0; = − = 0; (0) ∂λ1 2EA l1 ∂λ 2 EA l(0) 2 ∂L N 3l3(0) (−3u + 3v) λ1 λ 2 3λ 3 = − = 0 ; ∂L = −2P − 4(0) + (0) + (0) = 0 ; (0) ∂λ 3 EA l3 ∂u l1 l2 l3 ∂L 3λ 3λ 3λ = 4P − (0)1 − (0)2 − (0)3 = 0 ∂v l1 l2 l3 Điều kiện cực trị của phiếm hàm mở rộng theo các ẩn số là nội lực trong các thanh dàn, các thành phần chuyển vị tại các nút dàn chưa biết và các thừa số Largrange ñược hệ 6 phương trình tuyến tính, chứa 6 ẩn số (nội lực trong các thanh dàn, các thành phần chuyển vị tại nút dàn chưa biết và các thừa số Largrange). Giải hệ phương trình xác ñịnh ñược nội lực trong các thanh dàn: N1 = -25,3674(kN) ; N 2 = -260,0746(kN) ; N 3 = -195,2338(kN) 43 Chuyển vị tại nút D: u = 4,5673(cm) ; v = -7,1467(cm) Giá trị của các thừa số Largrange: λ1 = 50,7348 ; λ 2 = 520,1492 ; λ 3 = 390,4675 . Các thừa số Largrage có thứ nguyên là [lực] và các trị số của λ i bằng hai lần giá trị nội lực của thanh thứ i. Để kiểm tra ñộ tin cậy của kết quả tính toán. Luận án kiểm tra ñiều kiện cân bằng tại nút D: ∑F x = -0,1765.10-12 (kN); ∑F y = -0,2505.10-12 (kN) như vậy kết quả phân tích, tích toán tin cậy. 2.3.2.2 Phân tích phi tuyến hình học kết cấu dàn Lượng ràng buộc của bài toán theo (2.26) ñược viết như sau: N12l1(0) N 2 2l(0) N 3 2l3(0) 2 Z= + + − 2Pu + 4Pv → min 2EA EA EA (2.47) Theo ñiều kiện liên tục về chuyển vị tại các nút dàn: N1l1(0) − l1(0) − 2EA ( Nl − l EA ( (0) 3 3 (0) 3 2 ( 4 + u ) + (3 + v ) 2 (3 − u ) + (3 + v ) − 2 2 ) N 2l(0) 2 = 0; − l(0) − 2 EA ( 2 (1 − u ) + ( 3 + v ) )=0 2 )=0 (2.48) Như vậy bài toán cực trị của phiếm hàm Z (2.47) với các ràng buộc liên tục về chuyển vị (2.48) ñược viết dưới dạng bài toán cực trị của phiếm hàm mở rộng: L= N12l1(0) N 2 2l(0) N 2l(0)  N l(0) 2 + + 3 3 − 2Pu + 4Pv + λ1  1 1 − l1(0) − 2EA EA EA  2EA ( N l +λ 2  − l(0) − 2 EA  (0) 2 2 ( 2 (1 − u ) + ( 3 + v ) 2 )  + λ  NEAl − ( l 3 (0) 3 3 (0) 3 − )  +  ( 3 − u ) + ( 3 + v ) )  → min  2 ( 4 + u ) + (3 + v) 2 2 (2.49) 2 Điều kiện cực trị của phiếm hàm mở rộng (2.49) : l(0) l(0) l(0) ∂L N1l1(0) ∂L 2N 2l(0) ∂L 2N 3l3(0) 2 = + λ1 1 = 0 ; = + λ2 2 = 0 ; = + λ3 3 = 0 ; ∂N1 EA 2EA ∂N 2 EA EA ∂N 3 EA EA ∂L N1l1(0) = − l1(0) − ∂λ1 2EA ( 2 ( 4 + u ) + (3 + v) 2 ) = 0; 44 ∂L N 2l(0) 2 = − l(0) 2 − ∂λ 2 EA (1 − u ) + ( 3 + v ) ∂L N 3l3(0) = − l3(0) − ∂λ 3 EA (3 − u ) + (3 + v ) ( ( ∂L = −2P + λ1 ∂u ∂L = 4P + λ1 ∂v 2 2 2 2 ) = 0; ) = 0; (4 + u) ( u − 1) +λ ( 4 + u ) + (3 + v) (1 − u ) + ( 3 + v ) (3 + v) (3 + v) +λ ( 4 + u ) + (3 + v) (1 − u ) + ( 3 + v ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 + λ3 + λ3 2 ( u − 3) (3 − u ) + (3 + v ) (3 + v) (3 − u ) + (3 + v ) 2 2 2 2 =0 =0 Theo ñiều kiện cực trị của phiếm hàm mở rộng ñược hệ 6 phương trình phi tuyến, chứa 6 ẩn số. Giải hệ phương trình phi tuyến này xác ñịnh ñược nội lực trong các thanh dàn: N1 = -18,7942(kN) ; N 2 = -271,5303(kN) ; N 3 = -196,6594(kN) Chuyển vị tại nút D: u = 42,2567(cm) ; v = -76,9921(cm) Giá trị của các thừa số Largrange: λ1 = 37,5884 ; λ 2 = 543,0607 ; λ 3 = 393,3187 . Các thừa số Largrage có thứ nguyên là [lực] và các trị số của λ i bằng hai lần giá trị nội lực của thanh thứ i. Để kiểm tra ñộ tin cậy của kết quả tính toán. Luận án kiểm tra ñiều kiện cân bằng tại nút D: ∑F x = −0,1438.10−9 (kN); ∑F y = −0,1043.10−9 (kN) như vậy kết quả phân tích, tích toán là tin cậy. 2.3.3 Ảnh hưởng của thông số vật liệu ñến ñộ chênh lệch kết quả phân tích nội lực trong các thanh dàn giữa PTTT và PTPTHH Khi các thanh dàn ñược chế tạo cùng một loại vật liệu, nếu thay ñổi giá trị mô ñun ñàn hồi vật liệu của kết cấu thì nội lực trong các thanh dàn trong PTTT không thay ñổi. Để nghiên cứu ảnh hưởng mô ñun ñàn hồi vật liệu của kết cấu ñến sự phân phối lại nội lực trong các thanh dàn khi PTPTHH, luận án xét ví dụ phân tích sau: 45 Ví dụ 2.4: Xác ñịnh nội lực trong các thanh dàn chịu lực tác dụng P=20(kN) như hình 2.11, khi kể ñến tính phi tuyến hình học. Biết các thanh cùng tiết diện A = 5(cm 2 ) . Với các giá trị mô ñun ñàn hồi khác nhau E1 = 20000(kN / cm 2 ) ; E 2 = 2000(kN / cm 2 ) ; E 3 = 200(kN / cm 2 ) . So sánh kết quả PTPTHH với kết quả PTTT trong từng trường hợp. y P 9 P 7 8 12 1 1 8 P 6 9 7 13 10 2 2 P 5 14 11 3 3 6 15 4 5 x 4 Hình 2.11 Dàn ví dụ 2.4 Lời giải Lượng ràng buộc của bài toán theo (2.33a) ñược viết như sau: 9 EkAk 2 × ∆ l − 2Pi .vi → min ( ) ∑ k (0) k =1 l i =6 15 (2.50) Z=∑ k Theo cách giải chọn các ẩn số chính là các thành phần chuyển vị tại nút dàn. Điều kiện cực trị của lượng ràng buộc Z (2.50) sẽ tìm ñược hệ phương trình chứa các ẩn số là các thành phần chuyển vị chưa biết: ∂Z =0 ∂u i (i = 2 ÷ 9) ; ∂Z =0 ∂v j j= 2 ÷ 4  j= 6 ÷9 (2.51) Giải hệ phương trình (2.51) tìm ñược các thành phần chuyển vị tại các nút dàn. Thay các thành phần chuyển vị này vào (2.15), (2.19) hoặc (2.32), (2.19) sẽ xác ñịnh ñược nội lực của các thanh dàn. Kết quả PTPTHH nội lực trong các thanh với các giá trị mô ñun ñàn hồi khác nhau ñược so sánh với kết quả PTTT và lập trong bảng 2.5. 46 Bảng 2.5 Kết quả phân tích nội lực trong các thanh dàn ví dụ 2.4 PTPTHH PTTT Số 2 hiệu thanh Ni (kN) E=20000(kN/cm ) PTCL Ni (kN) (%) E=2000(kN/cm2) PTCL Ni (kN) (%) E=200(kN/cm2) PTCL Ni (kN) (%) 1 30 30,11001 0,36670 31,10774 3,69248 41,60706 38,69019 2 60 60,11759 0,19598 61,18647 1,97745 73,18350 21,97250 3 60 60,11759 0,19598 61,18647 1,97745 73,18350 21,97250 4 30 30,11001 0,36670 31,10774 3,69248 41,60706 38,69019 5 -45 -45,04700 0,10451 -45,46290 1,02862 -48,59338 7,98528 6 -60 -60,06520 0,10871 -60,64970 1,08285 -66,02370 10,03950 7 -45 -45,04700 0,10451 -45,46290 1,02862 -48,59338 7,98528 8 -50 -49,99300 0,01394 -49,91420 0,17160 -47,14683 5,70634 9 -25 -25,06630 0,26501 -25,68420 2,73674 -34,56047 38,24190 10 0 -0,08725 11 25 24,96890 0,12440 24,67446 1,30214 20,31921 18,72314 12 25 24,96890 0,12440 24,67446 1,30214 20,31921 18,72314 13 0 -0,08725 14 -25 -25,06630 0,26501 -25,68420 2,73674 -34,56047 38,24190 15 -50 -49,99300 0,01394 -49,91420 0,17160 -47,14683 5,70634 -0,89294 -11,53619 -0,89294 -11,53619 Theo kết quả phân tích (bảng 2.5 và hình 2.10) cho thấy: các thành phần chuyển vị tại các nút dàn phụ thuộc rất lớn vào giá trị mô ñun ñàn hồi của vật liệu. Khi giá trị mô ñun ñàn hồi vật liệu lớn thì hình dạng kết cấu trước và sau khi biến dạng thay ñổi không nhiều, do ñó kết quả chênh lệch nội lực của các thanh giữa PTTT và PTPTHH nhỏ. Khi giá trị mô ñun ñàn hồi vật liệu nhỏ thì hình dạng kết cấu trước và sau khi biến dạng thay ñổi nhiều làm nội lực trong các thanh dàn phân phối lại, vì vậy PTCL nội lực giữa PTTT và PTPTHH tăng lên rất nhanh. Đặc biệt kết quả nội lực trong một số thanh dàn khi PTTT bằng không nhưng PTPTHH vẫn có nội lực. 47 Hình dạng kết cấu dàn sau khi biến dạng ứng với các giá trị mô ñun ñàn hồi khác nhau ñược thể hiện như hình 2.12: 400 (cm) 200 0 E=20000 (kN/cm2 ) E=2000 (kN/cm2 ) E=200 (kN/cm2 ) -200 -400 0 500 1000 1500 2000 2500 (cm) Hình 2.12 Hình dạng dàn sau khi biến dạng với các giá trị mô ñun khác nhau 2.3.4 Ảnh hưởng giá trị tải trọng tác dụng ñến ñộ chênh lệch kết quả nội lực trong các thanh dàn giữa PTTT và PTPTHH Theo PTTT thì nội lực trong các thanh và chuyển vị tại các nút dàn tỉ lệ thuận với giá trị của ngoại lực tác dụng. Do ñó, ñể xét ảnh hưởng của giá trị tải trọng ñến sự phân phối lại nội lực trong các thanh cũng như ñộ chênh lệch kết quả nội lực giữa PTTT và PTPTHH kết cấu dàn, luận án khảo sát hai ví dụ phân tích hai kết cấu dàn phẳng sau: 2.3.4.1 Dàn phẳng tĩnh ñịnh cm y 4 4 1 1 2 5 3 2 3 x P Hình 2.13 Dàn tĩnh ñịnh cm Hình 2.14 Hình dạng dàn 48 Ví dụ 2.5: Phân tích, tính toán nội lực hệ kết cấu dàn tĩnh ñịnh các thanh có cùng ñộ cứng EA = 2000( kN .cm 2 ) và chịu lực P tác dụng tại nút 2 như hình 2 cm 2.13. Kết quả nội lực của các thanh dàn theo PTTT và PTPTHH ñược thể hiện trong các hình 2.15, hình 2.16 và hình 2.17. 4000 0 Ph©n tÝch tuyÕn tÝnh Ph©n tÝch phi tuyÕn h×nh häc 3500 2500 Néi lùc thanh sè 3, 4 (kN) Néi lùc thanh 1, 2 (kN) -500 Ph©n tÝch tuyÕn tÝnh Ph©n tÝch phi tuyÕn h×nh häc 3000 2000 1500 1000 500 0 -1000 -1500 -2000 -2500 -3000 -3500 -500 0 500 1000 1500 2000 0 2500 500 Hình 2.15 Nội lực thanh 1, 2 3000 2000 2500 2500 T¶i träng t¸c dông (kN) 2000 Néi lùc thanh 5 (kN) 1500 Hình 2.16 Nội lực thanh 3, 4 Ph©n tÝch tuyÕn tÝnh Ph©n tÝch phi tuyÕn h×nh häc 2500 1000 T¶i träng t¸c dông (KN) T¶i träng t¸c dông (kN) 1500 1000 500 0 -500 -1000 -1500 -2000 2000 1500 1000 chuyÓn vÞ nót 3 khi PTPTHH 500 0 -2500 0 500 1000 1500 2000 2500 -80 -60 -40 -20 0 20 T¶i träng t¸c dông (kN) ChuyÓn vÞ nót 3 (cm) Hình 2.17 Nội lực thanh 5 Hình 2.18 Chuyển vị nút 3 Hình 2.15 thể hiện kết quả nội lực của thanh 1, 2 giữa PTTT và PTPTHH. Ta thấy kết quả nội lực của thanh 1, 2 trong PTTT và PTPTHH các thanh ñều chịu kéo. Khi P1500(kN) thì kết quả nội lực PTPTHH lại lớn hơn và khi P>2000(kN) khi tăng P thì ñộ chênh lệch nội lực PTPTHH và PTTT tăng lên rất nhanh. 49 Hình 2.16 thể hiện nội lực của thanh 3, 4. Ta thấy trong cả hai PTTT và PTPTHH các thanh ñều chịu nén, kết quả PTPTHH thường nhỏ hơn PTTT và ñộ chênh lệch này càng tăng khi giá trị tải trọng tăng. Hình 2.17 thể hiện nội lực của thanh 5. Đối với PTTT thanh 5 luôn chịu kéo. Đối với PTPTHH, khi tải trọng P1000(kN) thì nội lực lực thanh 5 giảm khi P tăng và khi P>1800(kN) thì lúc này thanh 5 chuyển sang chịu nén. Hình 2.14, hình 2.18 thể hiện hình dạng kết cấu và ñộ dịch chuyển của gối 3 với các giá trị tải trọng khác nhau khi PTPTHH. Ta thấy P1000(kN) khi giá trị P tăng thì gối 3 lại dịch chuyển sang bên trái. Điều này không xuất hiện ở PTTT. 2.3.4.2 Dàn phẳng siêu tĩnh ngoài và tĩnh ñịnh trong Ví dụ 2.6: Xét dàn biết các thanh có EA = 2000( cùng ñộ y cứng kN .cm 2 ) và chịu tác 2 cm 4 4 1 1 2 5 3 2 3 x P dụng lực P tại nút 2 như hình 2.19. Hình 2.19 Dàn siêu tĩnh ngoài Kết quả chênh lệch nội lực giữa PTTT và PTPTHH hình học ñối với từng giá trị tải trọng tác dụng ñược thể hiện ở hình 2.20, hình 2.21 và hình 2.22. Hình 2.20 trình bày giá trị nội lực của thanh 1, 2 khi PTTT và khi PTPTHH với các giá trị P khác nhau. Ta thấy khi PTTT thì các thanh luôn chịu nén và ñộ lớn lực nén sẽ tăng khi tăng P. Đối với PTPTHH, khi P300(kN) theo PTPTHH thì nội lực của các thanh 1, 2 lại giảm dần và khi tăng P>400(kN) thì các thanh này chuyển sang chịu kéo và nội lực trong thanh sẽ tăng lên. Như vậy khi tải trọng lớn thì nội lực của thanh 1, 2 theo hai cách phân tích là trái ngược nhau. 3000 0 Ph©n tÝch tuyÕn tÝnh Ph©n tÝch phi tuyÕn h×nh häc -500 Néi lùc thanh 3, 4 (kN) Néi lùc thanh 1, 2 (kN) 2500 2000 1500 1000 500 -1000 -1500 -2000 Ph©n tÝch tuyÕn tÝnh Ph©n tÝch phi tuyÕn h×nh häc -2500 0 -3000 -500 0 500 1000 1500 2000 2500 0 T¶i träng t¸c dông (kN) 1500 2000 2500 Hình 2.21 Nội lực thanh 3, 4 (cm) 2500 Néi lùc thanh sè 5 (kN) 1000 T¶i träng t¸c dông (kN) Hình 2.20 Nội lực thanh 1, 2 Ph©n tÝch tuyÕn tÝnh Ph©n tÝch phi tuyÕn h×nh häc 2000 500 1500 1000 500 0 -500 0 500 1000 1500 2000 2500 (cm) T¶i träng t¸c dông (kN) Hình 2.22 Nội lực thanh 5 Hình 2.23 Hình dạng dàn Hình 2.21 thể hiện nội lực của thanh 3, 4 với các giá trị tải trọng khác nhau giữa hai cách phân tích. Ta thấy, trong cả hai cách phân tích thì các thanh này luôn chịu nén, khi P1200(kN) thì nội lực của các thanh theo PTPTHH lại có xu hướng giảm khi tăng P và khi P=2000(kN) thì ñộ lớn nội lực PTTT trong thanh 3, 4 lớn hơn PTPTHH. 51 Hình 2.22 thể hiện nội lực của thanh 5 với các giá trị tải trọng khác nhau giữa hai cách phân tích. Khi P< 300(kN) thì ñộ chênh lệch nội lực giữa PTTT và PTPTHH không nhiều. Khi tăng P từ 300(kN) ñến 1000(kN) thì nội lực của các thanh theo PTPTHH tăng lên chậm hơn. Nếu P>1200(kN) thì nội lực của thanh 5 PTPTHH lại có xu hướng giảm khi P tăng và P>2500(kN) thì thanh 5 chuyển sang chịu nén. Trong khi ñó theo PTTT thanh 5 luôn chịu kéo và giá trị nội lực thanh 5 sẽ tăng nếu tăng P. Hình 2.23 thể hiện hình dạng của kết cấu sau khi bị biến dạng ứng với các giá trị tải trọng khác nhau. Qua hai ví dụ phân tích trên có thể thấy: Khi tải trọng nhỏ thì hình dạng kết cấu trước và sau khi chịu lực thay ñổi không nhiều do ñó kết quả PTPTHH gần sát với kết quả PTTT. Khi tải trọng lớn thì hình dạng kết cấu trước và sau khi biến dạng thay ñổi nhiều vì vậy nội lực trong các thanh dàn có sự phân phối lại, do ñó các thành phần chuyển vị tại nút dàn và nội lực trong các thanh dàn theo hai cách phân tích chênh lệch nhiều. Trong nhiều trường hợp có sự thay ñổi dấu nội lực trong thanh dàn và thành phần chuyển vị tại nút dàn giữa phân tích tuyến tính và phân tích phi tuyến hình học. 2.4 Kết luận chương Các nghiên cứu ñã trình bày từ mục 2.1 ñến 2.3 trong chương 2 của luận án, tác giả ñưa ra các kết luận sau ñây: 1. Dựa trên phương pháp nguyên lý cực trị Gauss ñã xây dựng ñược bài toán phân tích tuyến tính và phân tích phi tuyến hình học kết cấu dàn theo hai cách giải khác nhau: Cách giải thứ nhất chọn các ẩn số chính là các thành phần chuyển vị tại các nút dàn; Cách giải thứ hai chọn các ẩn số chính là nội lực trong các thanh dàn. Kết quả phân tích tuyến tính và phân tích phi tuyến hình học kết cấu dàn theo hai cách giải dựa trên phương pháp nguyên lý cực trị Gauss ñều cho ñộ tin cậy. 52 2. Khi viết phương trình cân bằng cho các nút dàn, chỉ cần viết phương trình cân bằng cho các nút có bậc tự do. Mở rộng ra, trong cơ học môi trường liên tục chỉ cần viết phương trình cân bằng cho các ñiểm trong của vật thể, không cần viết phương trình cân bằng cho các ñiểm biên. 3. Bằng những suy luận logic cũng như các ví dụ tính toán tuy còn ít, có thể ñi ñến nhận xét: Nếu mô ñun ñàn hồi vật liệu của kết cấu nhỏ hoặc giá trị tải trọng tác dụng lớn thì chuyển vị của nút dàn là lớn làm góc của các trục thanh dàn trước và sau khi dàn biến dạng thay ñổi nhiều, do ñó nội lực trong các thanh dàn sẽ bị phân phối lại làm cho kết quả giữa PTTT và PTPTHH chênh lệch nhiều, trong nhiều trường hợp nội lực trong một số thanh hoặc một số thành phần chuyển vị tại nút dàn nào ñó giữa PTTT và PTPTHH có thể trái dấu. Và ngược lại nếu mô ñun ñàn hồi vật liệu của kết cấu lớn hoặc giá trị tải trọng tác dụng nhỏ thì hình dạng kết cấu dàn trước và sau khi biến dạng thay ñổi không nhiều, do ñó kết quả PTPTHH sẽ gần sát với kết quả PTTT. Như vậy bài toán phân tích tuyến tính là trường hợp ñặc biệt của bài toán phân tích phi tuyến hình học khi chuyển vị của các nút dàn nhỏ. 53 CHƯƠNG 3 PHÂN TÍCH PHI TUYẾN HÌNH HỌC KẾT CẤU DÀN VÒM PHẲNG Kết cấu dàn vòm so với kết cấu dàn dầm tiết kiệm vật liệu hơn [4,tr.97], nên dàn vòm là một trong những dạng kết cấu thường ñược lựa chọn dùng cho kết cấu mái che của các công trình như: nhà triển lãm, cung văn hóa, bể bơi v.v... Chiều cao h của dàn vòm thường trong khoảng (1 / 30 ÷ 1 / 60 ) nhịp dàn [4,tr.99], ñộ thoải k=f/l của dàn vòm thường trong khoảng (1 / 3 ÷ 1 / 8 ) [64,tr.132]. Trong chương này của luận án trình bày tính toán phi tuyến hình học của một số bài toán dàn vòm phẳng chịu lực tác dụng thẳng ñứng tại các nút dàn dựa trên phương pháp nguyên lý cực trị Gauss, kết quả phân tích phi tuyến hình học (PTPTHH) ñược so sánh với kết quả khi phân tích tuyến tính (PTTT) của dàn vòm phẳng. Chương này của luận án còn nghiên cứu ảnh hưởng ñộ thoải của dàn vòm phẳng ñến ñộ chênh lệch kết quả các thành phần chuyển vị tại nút dàn, nội lực trong các thanh dàn giữa PTTT và PTPTHH. 3.1 Phân tích phi tuyến hình học dàn vòm phẳng tĩnh ñịnh 3.1.1 Tính toán dàn vòm phẳng tĩnh ñịnh Xét dàn vòm phẳng tĩnh ñịnh chịu lực như hình 3.1, biết các thanh dàn có mô ñun ñàn hồi E=2.104(kN/cm2). Tiết diện thanh cánh trên và thanh cánh dưới dàn là φ180x6(mm) , các thanh bụng dàn là φ121x3,5(mm) . Nhịp dàn l=48(m), ñộ thoải của dàn k=f/l=1/8 và chiều cao dàn h=0,8(m). Tải trọng P=10(kN) tác dụng tại các nút dàn theo phương thẳng ñứng. Xây dựng tọa ñộ của các nút dàn Dàn vòm có nhịp dàn l, ñộ thoải của dàn k=f/l và chiều cao của dàn là h (xem hình 3.1 và hình 3.2). Bán kính cong của dàn tính theo công thức: r= l × (1 + 4k 2 ) 8k (3.1) 54 y P P/2 24 26 25 1 38 1 25 26 2 P P P 19 20 21 21 22 29 22 23 23 24 28 45 39 27 4 4 44 3 3 2 P P 40 5 6 6 7 O P P P 17 18 16 P 17 32 47 15 33 42 16 P/2 14 34 7 8 48 15 35 43 8 9 9 13 10 10 36 14 11 11 49 37 12 13 12 18 41 20 31 30 46 5 P 19 x Hình 3.1 Dàn vòm tĩnh ñịnh chịu tải trọng thẳng ñứng tại các nút dàn Tọa ñộ của các nút thuộc cánh dưới là: x(i) = r.sin((i − n x − 1).α)    y(i) = r ( cos((i − n x − 1).α) − cos(n x .α) ) ( i = 1 ÷ 2n Trong ñó: x + 1) (3.2) y 1 l α = arctan 2 nx 2 r − l2 / 4 3 ... (nx +1) 2 (nx +2) (nx +3) ... f x 1 (2nx +1) 2 n x : là số thanh cánh dưới α Tọa ñộ của các nút thuộc cánh trên là: r l Hình 3.2 Vị trí các nút dàn vòm x(i + 2n x + 1) = r.sin((n x + 1 − i).α )    y(i + 2n x + 1) = r ( cos((n x + 1 − i).α ) − cos(n x .α ) ) + h ( i = 1 ÷ 2n x + 1) (3.3) Với số liệu trong ví dụ: l=48(m), k=1/8, h=0,8 (m) và n x = 6 tính ñược tọa ñộ các nút dàn và ñược lập trong bảng 3.1. Bảng 3.1 Tọa ñộ các nút của dàn vòm trước khi chịu lực Điểm 1 2 3 4 5 x i (m) -24,0000 -20,2494 -16,3639 -12,3693 -8,2923 6 -4,1600 yi (m) 0,0000 1,8077 3,3034 4,4773 5,3213 5,8301 Điểm x i (m) 7 8 9 10 11 12 0,0000 4,1600 8,2923 12,3693 16,3639 20,2494 yi (m) 6,0000 5,8301 5,3213 4,4773 3,3034 1,8077 55 13 14 15 16 17 Điểm x i (m) 24,0000 24,0000 20,2494 16,3639 12,3693 18 8,2923 yi (m) 0,0000 0,8000 2,6077 4,1034 5,2773 6,1213 Điểm x i (m) 19 20 21 22 23 24 4,1600 0,0000 -4,1600 -8,2923 -12,3693 -16,3639 yi (m) 6,6301 6,8000 6,6301 6,1213 5,2773 4,1034 25 26 Điểm x i (m) -20,2494 -24,0000 yi (m) 2,6077 0,8000 Để tránh lập lại, phần sau của luận án sẽ không trình bày lại cách xác ñịnh tọa ñộ các nút dàn vòm mà chỉ ñưa ra các thông số l, k, h và n x . 3.1.1.1 Tính toán các thành phần chuyển vị tại nút dàn và nội lực trong các thanh dàn Thiết lập phiếm hàm lượng ràng buộc của kết cấu dàn vòm Dàn vòm tĩnh ñịnh có 37 thanh và 26 nút ñược ñánh số thứ tự như hình 3.1. Lượng ràng buộc của dàn theo (2.33a) ñược viết như sau: 26 EkAk 2 × ∆ l − 2Pi .vi → min ( ) ∑ k (0) k =1 l i =14 37 (3.4) Z=∑ k Trong công thức (3.4) khi PTPTHH thì biến dạng dài tuyệt ñối của các thanh dàn ñược xác ñịnh theo công thức (2.32). Thiết lập hệ phương trình từ ñiều kiện cực trị của phiếm hàm ràng buộc Điều kiện biên của bài toán: u1 = v1 = v13 = 0 (3.5) Điều kiện cực trị của lượng ràng buộc Z (3.4) theo các chuyển vị chưa biết là: ∂Z =0 ∂u i (i = 2 ÷ 26) ; ∂Z =0 ∂v j  j = 2 ÷ 12   j = 14 ÷ 26 (3.6) 56 Theo ñiều kiện cực trị (3.6) thiết lập ñược hệ phương trình gồm 49 phương trình phi tuyến, chứa 49 ẩn số là các thành phần chuyển vị chưa biết tại các nút. Xác ñịnh các thành phần chuyển vị tại các nút dàn Giải hệ phương trình (3.6) bằng hàm fsolve trong Optimization Toolbox của phần mềm Matlab 7.0, sẽ tìm ñược các thành phần chuyển vị tại các nút dàn và kết quả các thành phần chuyển vị tại các nút dàn PTPTHH ñược lập trong bảng 3.2. Xác ñịnh nội lực trong các thanh dàn Sau khi xác ñịnh ñược các thành phần chuyển vị tại các nút dàn, ñộ biến dạng dài tuyệt ñối của các thanh ñược tính theo công thức: ∆lij = (x 2 i 2 + u i − x j − u j ) + ( yi + vi − y j − v j ) − Nội lực của các thanh là: N ij = (x 2 i 2 − x j ) + ( yi − y j ) (3.7) ∆l .E ijA ij ij l(0) (3.8) ij Kết quả tính toán nội lực trong các thanh dàn ñược lập trong bảng 3.3. Kiểm tra cân bằng nút dàn Để kiểm tra ñộ chính xác kết quả PTPTHH của dàn vòm phẳng dựa trên phương pháp nguyên lý cực trị Gauss. Luận án tiến hành kiểm tra ñiều kiện cân bằng tất cả các nút dàn vòm, tại thời ñiểm kết cấu sau khi biến dạng. Sai số tổng hình chiếu các thành phần nội lực của các thanh quy tụ tại nút và tải trọng tác dụng lên nút theo phương x là ∑ Fx , theo phương y là ∑ Fy . Kết quả cân bằng nút ñược tập hợp và lập thành bảng 6.9 trong phụ lục. Với số liệu kiểm tra cân bằng tại các nút (bảng 6.9 trong phụ lục) cho thấy tất cả các nút ñều thỏa mãn ñiều kiện cân bằng. Như vậy kết quả tính toán là tin cậy. 57 Hình dạng dàn trước và sau khi biến dạng: Kết quả hình dạng dàn trước và sau khi biến dạng ñược thể hiện như hình 3.3. 800 600 400 200 0 (cm) Tr−íc biÕn d¹ng Sau biÕn d¹ng -2500 -2000 -1500 -1000 -500 0 500 1000 1500 2000 2500 (cm) Hình 3.3 Hình dạng dàn trước và sau khi biến dạng 3.1.1.2 So sánh chênh lệch kết quả tính toán chuyển vị, nội lực giữa PTTT và PTPTHH Để xác ñịnh nội lực trong các thanh và các thành phần chuyển vị tại các nút khi PTTT, luận án dựa trên phương pháp nguyên lý cực trị Gauss. Lượng ràng buộc của bài toán khi PTTT ñược xác ñịnh theo (3.4), biến dạng dài tuyệt ñối của các thanh dàn ñược tính theo (2.15). Theo ñiều kiện cực trị của lượng ràng buộc sẽ xác ñịnh hệ phương trình chứa 49 phương trình tuyến tính, giải hệ phương trình này sẽ tìm ñược các thành phần chuyển vị tại các nút dàn. Sau khi tìm ñược các thành phần chuyển vị tại các nút dàn, theo (2.15) xác ñịnh ñược biến dạng dài tuyệt ñối và nội lực trong các thanh dàn ñược tính toán theo công thức (3.8). Kết quả PTTT ñược so sánh với kết quả PTPTHH. Kết quả tính toán phần trăm chênh lệch (PTCL) của các thành phần chuyển vị tại các nút giữa PTTT và PTPTHH của dàn vòm phẳng trong (mục 3.1.1.1) ñược tập hợp và lập trong bảng 3.2. Bảng 3.2 Kết quả chuyển vị theo hai phương tại các nút dàn Nút 1 2 3 4 5 6 Chuyển vị PTTT (cm) Chuyển vị PTPTHH (cm) PTCL (%) Phương x Phương y Phương x Phương y Phương x Phương y 0,00000 9,03248 15,38110 19,92862 22,42917 23,65357 0,00000 -18,44601 -34,59453 -48,99503 -59,60842 -66,40222 0,00000 8,70715 14,80749 19,14876 21,54246 22,72485 0,00000 -18,96780 -35,49842 -50,17577 -60,96634 -67,84909 0,00000 3,60180 3,72934 3,91326 3,95335 3,92633 0,00000 2,82872 2,61283 2,40992 2,27807 2,17895 58 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 24,12874 24,60392 25,82832 28,32887 32,87639 39,22501 48,25749 45,00004 36,11392 30,14275 26,14431 24,30947 23,82662 24,12874 24,43087 23,94802 22,11318 18,11474 12,14357 3,25745 -68,66120 -66,40222 -59,60842 -48,99503 -34,59453 -18,44601 0,00000 -0,00155 -18,43827 -34,58419 -48,97753 -59,59129 -66,38042 -68,64198 -66,38042 -59,59129 -48,97753 -34,58419 -18,43827 -0,00155 23,20115 23,67745 24,85983 27,25354 31,59481 37,69515 46,40230 43,09132 34,53300 28,81749 25,03400 23,31718 22,88796 23,20115 23,51434 23,08512 21,36830 17,58481 11,86930 3,310982 -70,14116 -67,84909 -60,96634 -50,17577 -35,49842 -18,96780 0,00000 -0,07012 -19,02312 -35,53703 -50,19097 -60,96620 -67,83388 -70,12464 -67,83388 -60,96620 -50,19097 -35,53703 -19,02312 -0,07012 3,84436 3,76555 3,74971 3,79589 3,89817 3,90021 3,84436 4,24160 4,37758 4,39661 4,24685 4,08192 3,93953 3,84436 3,75154 3,60321 3,36849 2,92541 2,25859 1,64331 2,15546 2,17895 2,27807 2,40992 2,61283 2,82872 0,00000 4430,00053 3,17197 2,75515 2,47755 2,30724 2,18960 2,15999 2,18960 2,30724 2,47755 2,75515 3,17197 4430,00053 Kết quả tính toán chuyển vị tại các nút dàn (bảng 3.2) cho thấy: - Các thành phần chuyển vị tại các nút dàn theo PTTT và PTPTHH luôn luôn cùng dấu. - PTCL giữa chuyển vị lớn nhất theo phương trục x tại các nút dàn khi PTTT với chuyển vị lớn nhất theo phương trục x tại các nút dàn khi PTPTHH là: 3,844% . - PTCL giữa chuyển vị lớn nhất theo phương trục y tại các nút dàn khi PTTT với chuyển vị lớn nhất theo phương trục y tại các nút dàn khi PTPTHH là: 2,155% . Kết quả tính toán PTCL nội lực trong các thanh dàn giữa PTTT và PTPTHH của dàn vòm phẳng trong (mục 3.1.1.1) ñược lập trong bảng 3.3. 59 Bảng 3.3 Kết quả so sánh nội lực trong các thanh giữa PTTT và PTPTHH Thanh 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 Nội lực (kN) PTTT PTPTHH 286,23927 294,01659 276,29747 284,93330 678,70822 690,57178 664,98492 678,54182 862,52545 875,55498 856,77709 870,59704 856,77709 870,59704 862,52545 875,55498 664,98492 678,54182 678,70822 690,57178 276,29747 284,93330 286,23927 294,01659 0,00000 -0,22879 -510,49324 -519,72766 -496,55596 -507,05680 -795,09368 -807,37761 -784,46020 -798,17194 -882,79884 -896,27303 -882,79884 -896,27303 -784,46020 -798,17194 -795,09368 -807,37761 -496,55596 -507,05680 -510,49324 -519,72766 0,00000 -0,22879 -5,00000 -5,09328 25,01843 23,22096 33,40094 31,03340 56,53546 50,35374 55,34445 48,49063 70,41388 61,70545 62,06893 53,36718 70,41388 61,70545 55,34445 48,49063 56,53546 50,35374 33,40094 31,03340 25,01843 23,22096 Giá trị chênh lệch (kN) 7,77732 8,63583 11,86356 13,5569 13,02953 13,81995 13,81995 13,02953 13,5569 11,86356 8,63583 7,77732 -0,22879 -9,23442 -10,50084 -12,28393 -13,71174 -13,47419 -13,47419 -13,71174 -12,28393 -10,50084 -9,23442 -0,22879 -0,09328 -1,79748 -2,36754 -6,18171 -6,85382 -8,70842 -8,70175 -8,70843 -6,85382 -6,18172 -2,36754 -1,79747 PTCL (%) 2,71707 3,12556 1,74796 2,03868 1,51063 1,61302 1,61302 1,51063 2,03868 1,74796 3,12556 2,71707 1,80892 2,11473 1,54497 1,74792 1,52630 1,52630 1,74792 1,54497 2,11473 1,80892 1,86569 7,18461 7,08825 10,93422 12,38394 12,36748 14,01949 12,36748 12,38394 10,93422 7,08825 7,18461 60 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 -5,00000 -314,05197 -194,93404 -81,27319 26,29658 127,41435 222,03704 222,03704 127,41435 26,29658 -81,27319 -194,93404 -314,05197 -5,09328 -319,20414 -195,07969 -80,32934 25,97257 126,77802 224,47300 224,47300 126,77802 25,97257 -80,32934 -195,07969 -319,20414 -0,09328 -5,15217 -0,14565 0,94385 -0,32401 -0,63633 2,43596 2,43596 -0,63633 -0,32401 0,94385 -0,14565 -5,15217 1,86569 1,640547 0,074718 1,161341 1,232138 0,499418 1,097096 1,097096 0,499418 1,232138 1,161341 0,074718 1,640547 Kết quả tính toán nội lực trong các thanh dàn (bảng 3.3) cho thấy: - Nội lực của các thanh dàn giữa PTTT và PTPTHH có sự chênh lệch, nhưng không có sự thay ñổi dấu. - PTCL giữa nội lực lớn nhất trong các thanh ñứng khi PTTT và nội lực lớn nhất trong các thanh ñứng khi PTPTHH là: 12,367% . - PTCL giữa nội lực lớn nhất trong các thanh cánh trên, thanh cánh dưới khi PTTT và nội lực lớn nhất trong các thanh cánh trên, thanh cánh dưới khi PTPTHH là: 1,526% . - PTCL giữa nội lực lớn nhất trong các thanh xiên khi PTTT và nội lực lớn nhất trong các thanh xiên khi PTPTHH là: 1,641% . - Một số thanh dàn khi PTTT thì nội lực trong thanh bằng không, nhưng khi PTPTHH thì nội lực trong thanh khác không. 3.1.2 Ảnh hưởng ñộ thoải của dàn vòm phẳng tĩnh ñịnh ñến PTCL chuyển vị, nội lực giữa PTPTHH và PTTT Để nghiên cứu ảnh hưởng ñộ thoải của dàn vòm phẳng tĩnh ñịnh ñến PTCL chuyển vị, nội lực giữa PTPTHH và PTTT, luận án tiến hành nghiên cứu phân tích kết cấu dàn vòm phẳng giống như dàn vòm phẳng ở (mục 3.1.1) 61 nhưng với các ñộ thoải khác nhau (k = 1 / 3;1 / 5;1 / 7) khi chịu cùng một giá trị tải trọng P=10(kN). Tương ứng với mỗi kết cấu dàn vòm tiến hành PTTT, PTPTHH ñể tìm ra ñộ chênh lệch nội lực của các thanh và ñộ chênh lệch của các thành phần chuyển vị tại các nút dàn giữa hai cách phân tích. Các kết quả so sánh giữa hai cách phân tích ñược thể hiện như trong hình 3.4, hình 3.5 và bảng 3.4. Thµnh phÇn chuyÓn vÞ theo ph−¬ng trôc y (cm) Thµnh phÇn chuyÓn vÞ theo ph−¬ng trôc x (cm) 30 180 PTTT (k=1/7) PTPTHH (k=1/7) PTTT (k=1/5) PTPTHH (k=1/5) PTTT (k=1/3) PTPTHH (k=1/3) 160 140 120 100 80 60 40 20 0 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 PTTT (k=1/7) PTPTHH (k=1/7) PTTT (k=1/5) PTPTHH (k=1/5) PTTT (k=1/3) PTPTHH (k=1/3) 20 10 0 -10 -20 -30 -40 -50 -60 -70 -80 -90 -100 0 2 Hình 3.4 Chuyển vị theo phương trục x 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 Sè hiÖu nót Sè hiÖu nót Hình 3.5 Chuyển vị theo phương trục y Kết quả phân tích các thành phần chuyển vị tại các nút dàn với các giá trị ñộ thoải khác nhau (hình 3.4, hình 3.5) cho thấy: - Khi k = 1 / 3 : PTCL giữa chuyển vị lớn nhất theo phương trục x tại các nút dàn theo PTTT và chuyển vị lớn nhất theo phương trục x tại các nút dàn theo PTPTHH là 3,759% ; PTCL giữa chuyển vị lớn nhất theo phương trục y tại các nút dàn theo PTTT và chuyển vị lớn nhất theo phương trục y tại các nút dàn theo PTPTHH là 9,831% . - Khi k = 1 / 5 : PTCL giữa chuyển vị lớn nhất theo phương trục x tại các nút dàn theo PTTT và chuyển vị lớn nhất theo phương trục x tại các nút dàn theo PTPTHH là 1,029% ; PTCL giữa chuyển vị lớn nhất theo phương trục y tại các nút dàn theo PTTT và chuyển vị lớn nhất theo phương trục y tại các nút dàn theo PTPTHH là 3,887% . 62 - Khi k = 1 / 7 : PTCL giữa chuyển vị lớn nhất theo phương trục x tại các nút dàn theo PTTT và chuyển vị lớn nhất theo phương trục x tại các nút dàn theo PTPTHH là 3,050% ; PTCL giữa chuyển vị lớn nhất theo phương trục y tại các nút dàn theo PTTT và chuyển vị lớn nhất theo phương trục y tại các nút dàn theo PTPTHH là 2,503% . Bảng 3.4 PTCL nội lực trong các thanh dàn ứng với các giá trị k=f/l khác nhau k=1/3 Nội lực Thanh PTCL PTPTHH (%) (kN) 1 10,98937 388,23085 2 17,46986 305,83604 3 7,95424 724,95618 4 9,49715 644,85593 5 6,57487 836,50278 6 6,92133 807,08537 7 6,92133 807,08537 8 6,57487 836,50278 9 9,49715 644,85593 10 7,95424 724,95618 11 17,46986 305,83604 12 10,98937 388,23085 13 -0,60339 14 9,80904 -600,15628 15 11,31230 -499,73205 16 7,13918 -801,31615 17 7,79222 -743,22662 18 6,52824 -837,99330 19 6,52824 -837,99330 20 7,79222 -743,22662 21 7,13918 -801,31615 22 11,31230 -499,73205 23 9,80904 -600,15628 24 -0,60339 25 10,28359 -5,51418 26 6,44762 100,26507 k=1/5 Nội lực PTCL PTPTHH (%) (kN) k=1/7 Nội lực PTCL PTPTHH (%) (kN) 4,54219 5,65167 3,08943 3,66589 2,68209 2,85883 2,85883 2,68209 3,66589 3,08943 5,65167 4,54219 3,08673 3,61173 2,02187 2,37023 1,75295 1,87200 1,87200 1,75295 2,37023 2,02187 3,61173 3,08673 3,44792 3,96562 2,80294 3,13411 2,70218 2,70218 3,13411 2,80294 3,96562 3,44792 3,63681 5,56418 317,02469 291,79503 702,57964 671,50518 865,46259 853,02408 853,02408 865,46259 671,50518 702,57964 291,79503 317,02469 -0,29560 -542,37735 -507,92074 -807,62012 -783,97570 -880,03811 -880,03811 -783,97570 -807,62012 -507,92074 -542,37735 -0,29560 -5,18184 43,04914 2,13799 2,48545 1,80307 2,03444 1,77066 1,77066 2,03444 1,80307 2,48545 2,13799 2,22362 6,60304 298,56592 286,46725 693,27795 677,43560 873,73510 867,23493 867,23493 873,73510 677,43560 693,27795 286,46725 298,56592 -0,24079 -524,42565 -507,53990 -807,70431 -795,55633 -893,16810 -893,16810 -795,55633 -807,70431 -507,53990 -524,42565 -0,24079 -5,11118 27,41148 63 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 4,62163 1,76043 0,75757 0,91674 0,41073 0,91674 0,75757 1,76043 4,62163 6,44762 10,28359 8,89988 0,52065 2,41611 2,74255 1,22723 3,94200 3,94200 1,22723 2,74255 2,41611 0,52065 8,89988 133,45141 145,61305 143,26349 152,18627 143,34417 152,18627 143,26349 145,61305 133,45141 100,26507 -5,51418 -434,61505 -247,5409 -98,33742 30,83344 147,04644 263,04968 263,04968 147,04644 30,83344 -98,33742 -247,54090 -434,61505 1,98489 6,78400 6,01106 6,97365 7,17740 6,97365 6,01106 6,78400 1,98489 5,56418 3,63681 3,25894 0,20266 1,72479 1,92726 0,81189 1,90210 1,90210 0,81189 1,92726 1,72479 0,20266 3,25894 62,18075 84,57785 85,71890 99,38232 91,53272 99,38232 85,71890 84,57785 62,18075 43,04914 -5,18184 -352,31422 -210,82371 -85,30303 27,17050 131,12436 231,30017 231,30017 131,12436 27,17050 -85,30303 -210,82371 -352,31422 5,41569 9,61959 10,29233 10,67059 11,76964 10,67059 10,29233 9,61959 5,41569 6,60304 2,22362 1,97152 0,10364 1,30537 1,41216 0,57705 1,27292 1,27292 0,57705 1,41216 1,30537 0,10364 1,97152 38,00831 58,45778 57,60369 71,13166 62,98356 71,13166 57,60369 58,45778 38,00831 27,41148 -5,11118 -326,41553 -198,47277 -81,34330 26,19621 127,49154 225,38992 225,38992 127,49154 26,19621 -81,34330 -198,47277 -326,41553 Kết quả phân tích nội lực trong các thanh dàn với các ñộ thoải khác nhau (bảng 3.4) cho thấy: - Khi k = 1 / 3 : PTCL giữa nội lực lớn nhất trong các thanh dàn theo PTTT và nội lực lớn nhất trong các thanh dàn theo PTPTHH là 6,528% . - Khi k = 1 / 5 : PTCL giữa nội lực lớn nhất trong các thanh dàn theo PTTT và nội lực lớn nhất trong các thanh dàn theo PTPTHH là 2,702% . - Khi k = 1 / 7 : PTCL giữa nội lực lớn nhất trong các thanh dàn theo PTTT và nội lực lớn nhất trong các thanh dàn theo PTPTHH là 1,771% . 64 3.2 Phân tích phi tuyến hình học dàn vòm phẳng tĩnh ñịnh trong, siêu tĩnh ngoài 3.2.1 Tính toán dàn vòm phẳng tĩnh ñịnh trong, siêu tĩnh ngoài Xét dàn vòm phẳng tĩnh ñịnh trong, siêu tĩnh ngoài chịu lực như hình 3.6, biết các thanh dàn có mô ñun ñàn hồi E=2.104(kN/cm2). Tiết diện thanh cánh trên và thanh cánh dưới là φ180x6(mm) , các thanh bụng dàn là φ121x3,5(mm) . Nhịp dàn l=48(m), ñộ thoải của dàn k=f/l=1/8 và chiều cao dàn h=0,8 (m). Tải trọng P=100(kN) tác dụng tại các nút dàn theo phương thẳng ñứng. y P P P P/2 24 26 25 1 38 1 25 26 2 P P P 20 21 19 20 P P P P 17 18 16 P 17 32 47 15 33 42 16 P/2 14 34 7 8 48 35 43 15 8 9 9 13 10 10 36 14 11 11 49 37 12 13 12 18 41 21 22 31 22 23 30 46 29 40 24 23 28 45 6 39 7 6 5 27 5 4 4 44 3 3 2 O 19 x Hình 3.6 Vòm dàn phẳng tĩnh ñịnh trong, siêu tĩnh ngoài 3.2.1.1 Tính toán các thành phần chuyển vị tại nút dàn và nội lực trong các thanh dàn Thiết lập phiếm hàm lượng ràng buộc của kết cấu dàn vòm Dàn vòm gồm 26 nút và 37 thanh ñược ñánh số thứ tự như hình 3.6. Lượng ràng buộc của dàn vòm (2.33a) ñược viết như sau: 26 EkAk 2 × ∆ l − ( ) ∑ 2Pi .vi → min k (0) k =1 l i =14 k 37 Z=∑ (3.9) Thiết lập hệ phương trình từ ñiều kiện cực trị của phiếm hàm ràng buộc Điều kiện biên của bài toán là tại nút 1 và nút 13 không có chuyển vị theo phương x và phương y: u1 = v1 = u13 = v13 = 0 (3.10) Điều kiện cực trị của phiếm hàm ràng buộc Z (3.9) theo các chuyển vị chưa biết là: 65 ∂Z =0 ∂u i  i = 2 ÷ 12 ∂Z =0 ;  i = 14 ÷ 26 ∂ v  j  j = 2 ÷ 12   j = 14 ÷ 26 (3.11) Theo ñiều kiện cực trị trên sẽ viết ñược hệ phương trình gồm 48 phương trình phi tuyến chứa 48 ẩn số là các thành phần chuyển vị tại các nút. Xác ñịnh các thành phần chuyển vị tại các nút dàn Giải hệ phương trình (3.11) xác ñịnh ñược các thành phần chuyển vị tại các nút dàn và kết quả PTPTHH ñược lập trong bảng 3.5. Xác ñịnh nội lực trong các thanh dàn Theo (3.7), (3.8) sẽ xác ñịnh ñược nội lực trong các thanh dàn. Kết quả tính toán nội lực trong các thanh dàn ñược lập trong bảng 3.6. Kiểm tra cân bằng nút dàn Kết quả cân bằng nút ñược tập hợp và lập thành bảng 6.13 trong phụ lục. Với số liệu kiểm tra cân bằng tại các nút (bảng 6.13 trong phụ lục) cho thấy tất cả các nút ñều thỏa mãn ñiều kiện cân bằng. Hình dạng dàn trước và sau khi biến dạng: Kết quả hình dạng dàn trước và sau khi biến dạng ñược thể hiện như hình 3.7. 800 600 400 200 0 (cm) Tr−íc biÕn d¹ng Sau biÕn d¹ng -2500 -2000 -1500 -1000 -500 0 500 1000 1500 2000 2500 (cm) Hình 3.7 Hình dạng dàn trước và sau khi biến dạng 3.2.1.2 So sánh chênh lệch kết quả tính toán chuyển vị, nội lực giữa PTTT và PTPTHH Kết quả PTPTHH ñược luận án so sánh với kết quả PTTT và ñược lập trong bảng 3.5 và bảng 3.6. Kết quả phân tích các thành phần chuyển vị tại các nút dàn (bảng 3.5) cho thấy: 66 - PTCL giữa chuyển vị lớn nhất theo phương trục x tại các nút dàn khi PTTT với chuyển vị lớn nhất theo phương trục x tại các nút dàn khi PTPTHH là: 23, 466% . - PTCL giữa chuyển vị lớn nhất theo phương trục y tại các nút dàn khi PTTT với chuyển vị lớn nhất theo phương trục y tại các nút dàn khi PTPTHH là: 13,763% . Bảng 3.5 Kết quả chuyển vị theo hai phương tại các nút dàn Nút 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 Chuyển vị PTTT (cm) Chuyển vị PTPTHH (cm) Phương x Phương y Phương x Phương y 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000 -1,24000 1,53021 -1,53097 2,03314 -0,58615 -1,38448 -0,83500 -1,11474 -0,42594 -2,84491 -0,58831 -2,93073 0,12116 -6,73451 0,04901 -7,44102 0,06239 -7,42408 0,04387 -8,46130 0,00000 -9,36676 0,00000 -10,65596 -0,06239 -7,42408 -0,04387 -8,46130 -0,12116 -6,73451 -0,04901 -7,44102 0,42594 -2,84491 0,58831 -2,93073 0,58615 -1,38448 0,83500 -1,11474 1,24000 1,53021 1,53097 2,03314 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000 0,48440 -0,00610 0,53041 -0,00784 1,21966 1,51940 1,51416 2,01956 0,27333 -1,39289 0,47589 -1,12449 0,01026 -2,85078 0,09686 -2,93890 -0,48730 -6,73994 -0,48903 -7,44808 -0,27246 -7,42726 -0,29844 -8,46467 0,00000 -9,37112 0,00000 -10,66073 0,27246 -7,42726 0,29844 -8,46467 0,48730 -6,73994 0,48903 -7,44808 -0,01026 -2,85078 -0,09686 -2,93890 -0,27333 -1,39289 -0,47589 -1,12449 -1,21966 1,51940 -1,51416 2,01956 -0,48440 -0,00610 -0,53041 -0,00784 PTCL (%) Phương x Phương y 0,00000 0,00000 23,46587 32,86684 42,45576 19,48275 38,12083 3,01643 59,55109 10,49087 29,67943 13,97109 0,00000 13,76347 29,67944 13,97109 59,55109 10,49087 38,12083 3,01643 42,45576 19,48275 23,46587 32,86684 0,00000 0,00000 9,49669 28,51643 24,14533 32,91782 74,11067 19,26945 843,87740 3,09096 0,356223 10,50660 9,53432 13,96768 0,00000 13,76148 9,53432 13,96768 0,35622 10,50660 843,87740 3,09096 74,11067 19,26945 24,14533 32,91782 9,49669 28,51643 67 Theo kết quả phân tích nội lực trong các thanh dàn (bảng 3.6) cho thấy: - PTCL giữa nội lực lớn nhất trong các thanh ñứng khi PTTT và nội lực lớn nhất trong các thanh ñứng khi PTPTHH là: 25,682% . - PTCL giữa nội lực lớn nhất trong các thanh cánh trên, thanh cánh dưới khi PTTT và nội lực lớn nhất trong các thanh cánh trên, thanh cánh dưới khi PTPTHH là: 8,012% . - PTCL giữa nội lực lớn nhất trong các thanh xiên khi PTTT và nội lực lớn nhất trong các thanh xiên khi PTPTHH là: 6,559% . - Một số thanh khi phân tích tuyến tính thì có nội lực bằng không nhưng khi phân tích phi tuyến hình học thì các thanh này có nội lực khác không. Bảng 3.6 Kết quả so sánh nội lực trong các thanh dàn giữa PTTT và PTPTHH Thanh 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 Nội lực (kN) PTTT PTPTHH -1013,68710 -1094,90180 -978,47928 -1050,70190 -577,87592 -607,71245 -566,19143 -594,52890 -319,31596 -287,84197 -317,18785 -285,87343 -317,18785 -285,87343 -319,31596 -287,84197 -566,19143 -594,52890 -577,87592 -607,71245 -978,47928 -1050,70190 -1013,68710 -1094,90180 0,00000 0,36781 -365,24225 -330,14193 -355,27056 -322,02659 -674,62449 -707,06514 -665,60215 -699,20566 -787,36635 -855,73060 -787,36635 -855,73060 -665,60215 -699,20566 -674,62449 -707,06514 Giá trị chênh lệch nội lực (kN) -81,21470 -72,22262 -29,83653 -28,33747 31,47399 31,31442 31,31442 31,47399 -28,33747 -29,83653 -72,22262 -81,21470 0,36781 35,10032 33,24397 -32,44065 -33,60351 -68,36425 -68,36425 -33,60351 -32,44065 PTCL (%) 8,01181 7,38111 5,16314 5,00493 9,85669 9,87252 9,87252 9,85669 5,00493 5,16314 7,38111 8,01181 9,61015 9,35737 4,80870 5,04859 8,68265 8,68265 5,04859 4,80870 68 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 -355,27056 -365,24225 0,00000 -50,00000 -88,60023 -68,94796 -48,13627 -44,55626 -26,06795 -35,72188 -26,06795 -44,55626 -48,13627 -68,94796 -88,60023 -50,00000 -192,47767 -196,19877 -98,23520 32,81420 143,86796 185,73302 185,73302 143,86796 32,81420 -98,23520 -196,19877 -192,47767 -322,02659 -330,14193 0,36781 -49,83961 -111,35478 -73,26549 -54,63133 -47,99632 -24,30973 -39,11216 -24,30974 -47,99632 -54,631329 -73,265487 -111,35478 -49,83961 -119,68586 -209,06680 -105,93250 60,609952 196,36479 214,51083 214,51083 196,36479 60,609952 -105,93250 -209,06680 -119,68586 33,24397 35,10032 0,36781 0,16039 -22,75455 -4,31753 -6,49506 -3,44006 1,75822 -3,39028 1,75821 -3,44006 -6,49506 -4,31753 -22,75455 0,16039 72,79181 -12,86803 -7,69730 27,79575 52,49683 28,77781 28,77781 52,49683 27,79575 -7,69730 -12,86973 72,79181 9,35737 9,61015 0,32078 25,68227 6,26201 13,49308 7,72071 6,74475 9,49077 6,74475 7,72071 13,49308 6,26201 25,68227 0,32078 37,81831 6,55867 7,83558 84,70647 36,48959 15,49418 15,49418 36,48959 84,70647 7,83558 6,55867 37,81831 3.2.2 Ảnh hưởng ñộ thoải của dàn vòm tĩnh ñịnh trong, siêu tĩnh ngoài ñến PTCL nội lực, chuyển vị giữa PTPTHH và PTTT Luận án phân tích kết cấu dàn vòm giống như dàn vòm (mục 3.2.1) nhưng với các ñộ thoải khác nhau (k=1/3; 1/5; 1/7) khi chịu cùng một giá trị tải trọng P=100(kN). Kết quả chuyển vị tại các nút dàn, nội lực trong các thanh dàn giữa PTTT và PTPTHH ñược thể hiện như hình 3.8, hình 3.9 và bảng 3.7. Thµnh phÇn chuyÓn vÞ theo ph−¬ng trôc x (cm) 40 35 30 25 20 15 10 5 0 -5 PTTT (k=1/7) PTPTHH(k=1/7) PTTT (k=1/5) PTPTHH(k=1/5) PTTT (k=1/3) PTPTHH(k=1/3) -10 -15 -20 -25 -30 -35 -40 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 Sè hiÖu nót Hình 3.8 Chuyển vị theo phương trục x Thµnh phÇn chuyÓn vÞ theo ph−¬ng trôc y (cm) 69 PTTT (k=1/7) PTPTHH (k=1/7) PTTT (k=1/5) PTPTHH (k=1/5) PTTT (k=1/3) PTPTHH (k=1/3) 45 40 35 30 25 20 15 10 5 0 -5 -10 -15 -20 -25 -30 -35 -40 -45 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 Sè hiÖu nót Hình 3.9 Chuyển vị theo phương trục y Kết quả phân tích chuyển vị tại các nút dàn với các giá trị ñộ thoải khác nhau (hình 3.8, hình 3.9) cho thấy: - Khi k = 1 / 3 : PTCL giữa chuyển vị lớn nhất theo phương trục x tại các nút dàn theo PTTT và chuyển vị lớn nhất theo phương trục x tại các nút dàn theo PTPTHH là 82,800% ; PTCL giữa chuyển vị lớn nhất theo phương trục y tại các nút dàn theo PTTT và chuyển vị lớn nhất theo phương trục y tại các nút dàn theo PTPTHH là 74,410% . - Khi k = 1 / 5 : PTCL giữa chuyển vị lớn nhất theo phương trục x tại các nút dàn theo PTTT và chuyển vị lớn nhất theo phương trục x tại các nút dàn theo PTPTHH là 20,839% ; PTCL giữa chuyển vị lớn nhất theo phương trục y tại các nút dàn theo PTTT và chuyển vị lớn nhất theo phương trục y tại các nút dàn theo PTPTHH là 16,749% . - Khi k = 1 / 7 : PTCL giữa chuyển vị lớn nhất theo phương trục x tại các nút dàn theo PTTT và chuyển vị lớn nhất theo phương trục x tại các nút dàn theo PTPTHH là 21,708% ; PTCL giữa chuyển vị lớn nhất theo phương trục y tại các nút dàn theo PTTT và chuyển vị lớn nhất theo phương trục y tại các nút dàn theo PTPTHH là 13,722% . 70 Bảng 3.7 PTCL nội lực trong các thanh dàn ứng với các giá trị k=f/l khác nhau k=1/3 Nội lực Thanh PTCL PTPTHH (%) (kN) 1 59,97109 -2180,13900 2 30,80625 -1326,85900 3 65,66109 -95,92293 4 65,48828 -84,54547 5 86,01797 807,70809 6 86,67233 779,51059 7 86,67233 779,51059 8 86,01797 807,70809 9 65,48828 -84,54547 10 65,66109 -95,92293 11 30,80625 -1326,85900 12 59,97109 -2180,13900 13 3,26595 14 37,27273 404,54043 15 34,34526 325,21290 16 51,52096 -845,95324 17 52,99197 -787,44553 18 43,28444 -1243,35660 19 43,28444 -1243,35660 20 52,99197 -787,44553 21 51,52096 -845,95324 22 34,34526 325,21290 23 37,27273 404,54043 24 3,26595 5,92258 25 -47,03871 26 137,68010 -992,47998 27 20,37460 -209,65713 28 66,49418 -20,65846 29 344,96020 60,53247 30 72,49519 146,56799 31 71,15317 119,47937 32 72,49519 146,56799 33 344,96020 60,53247 k=1/5 k=1/7 Nội lực Nội lực PTCL PTPTHH PTCL (%) PTPTHH (%) (kN) (kN) 9,93785 8,51406 3,63123 3,46219 46,22071 46,21235 46,21235 46,22071 3,46219 3,63123 8,51406 9,93785 39,83357 39,39109 5,73449 6,06929 9,79396 9,79396 6,06929 5,73449 39,39109 39,83357 0,76295 24,08744 7,94789 7,35052 0,54795 46,33566 7,25637 46,33566 0,54795 -976,72589 -878,03435 -445,14640 -422,40201 -51,14188 -50,32807 -50,32807 -51,14188 -422,40201 -445,14640 -878,03435 -976,72589 0,58949 -69,86608 -65,58055 -496,28222 -481,72634 -673,48912 -673,48912 -481,72634 -496,28222 -65,58055 -69,86608 0,58949 -49,61853 -165,72176 -90,38974 -61,39049 -39,31956 -6,46840 -20,63524 -6,46840 -39,31956 7,85206 7,12336 4,61936 4,45677 12,04771 12,05952 12,05952 12,04771 4,45677 4,61936 7,12336 7,85206 11,89914 11,64699 4,54064 4,79181 8,36495 8,36495 4,79181 4,54064 11,64699 11,89914 0,39432 23,18111 6,04410 11,22441 5,26131 10,03101 5,60221 10,03101 5,26131 -1024,13820 -971,05294 -552,12618 -536,83781 -231,10539 -229,08725 -229,08725 -231,10539 -536,83781 -552,12618 -971,05294 -1024,1382 0,40172 -261,28164 -252,73271 -626,69639 -617,35078 -773,46028 -773,46028 -617,35078 -626,69639 -252,73271 -261,28164 0,40172 -49,80284 -118,53225 -75,30516 -55,87021 -46,23749 -21,92257 -35,70532 -21,92257 -46,23749 71 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 66,49418 7,35052 -20,65846 20,37460 -209,65713 7,94789 137,68010 -992,47998 24,08744 5,922578 0,76295 -47,03871 115,53210 1541,14430 309,90824 55,66484 -710,89139 13,21516 28,94805 -385,99764 13,43820 28,54289 128,46096 36,38316 37,67570 -2180,13900 23,64539 141,00340 -1326,85900 17,45988 141,00340 -95,92293 17,45988 37,67570 -84,54547 23,64539 28,54289 807,70809 36,38316 28,94805 779,51059 13,43820 55,66484 779,51059 13,21516 115,53210 807,70809 309,90824 -61,39049 -90,38974 -165,72176 -49,61853 115,94790 -240,54929 -148,24665 60,34335 214,99121 149,38354 149,38354 214,99121 60,34335 -148,24665 -240,54929 115,94790 11,22441 6,04410 23,18111 0,39432 49,54577 7,67525 9,34349 67,09122 31,54664 14,87399 14,87399 31,54664 67,09122 9,34349 7,67525 49,54577 -55,87021 -75,30516 -118,53225 -49,80284 -70,91811 -205,73841 -110,55954 56,70780 189,56584 188,98505 188,98505 189,56584 56,70780 -110,55954 -205,73841 -70,91811 Theo kết quả phân tích nội lực trong các thanh dàn với các giá trị ñộ thoải khác nhau (bảng 3.7) cho thấy: - Khi k = 1 / 3 : PTCL giữa nội lực lớn nhất trong các thanh dàn theo PTTT và nội lực lớn nhất trong các thanh dàn theo PTPTHH là 59,971% . - Khi k = 1 / 5 : PTCL giữa nội lực lớn nhất trong các thanh dàn theo PTTT và nội lực lớn nhất trong các thanh dàn theo PTPTHH là 9,938% . - Khi k = 1 / 7 : PTCL giữa nội lực lớn nhất trong các thanh dàn theo PTTT và nội lực lớn nhất trong các thanh dàn theo PTPTHH là 7,852% . 3.3 Phân tích phi tuyến hình học dàn vòm phẳng siêu tĩnh trong, tĩnh ñịnh ngoài 3.3.1 Tính toán dàn vòm phẳng siêu tĩnh trong, tĩnh ñịnh ngoài Xét dàn vòm phẳng siêu tĩnh trong, tĩnh ñịnh ngoài như hình 3.10, biết các thanh dàn có mô ñun ñàn hồi E=2.104(kN/cm2). Tiết diện thanh cánh trên và thanh cánh dưới là φ219x7(mm) có A=46,621 cm2, các thanh bụng dàn 72 là φ121x3,5(mm) có A=12,92 cm2. Nhịp dàn l=48 (m), ñộ thoải của dàn k=1/3 và chiều cao của dàn h=0,8 (m). Tải trọng P =20(kN) tác dụng. y P P P/2 24 26 25 1 38 25 50 1 26 P P P P P 20 19 18 19 17 18 20 22 16 P 21 46 58 31 23 47 59 17 15 32 30 22 41 53 33 45 57 29 40 52 24 42 54 34 48 6016 6 14 28 23 7 51 7 8 5 6 8 15 35 9 5 9 4 44 56 27 39 3 43 4 10 10 55 36 3 11 11 2 P P P 21 2 12 O P/2 49 13 12 61 14 37 13 x Hình 3.10 Vòm dàn phẳng siêu tĩnh trong, tĩnh ñịnh ngoài 3.3.1.1 Tính toán các thành phần chuyển vị tại nút dàn và nội lực trong các thanh dàn Thiết lập phiếm hàm lượng ràng buộc của kết cấu dàn vòm Dàn vòm gồm 61 thanh, 26 nút ñược ñánh số thứ tự như hình 3.10. Lượng ràng buộc của dàn (2.33a) ñược viết như sau: 26 EkAk 2 × ( ∆l k ) − ∑ 2Pi .vi → min (0) k =1 l i =14 k 61 (3.12) Z=∑ Thiết lập hệ phương trình từ ñiều kiện cực trị của phiếm hàm ràng buộc Điều kiện biên của bài toán: u1 = v1 = v13 = 0 (3.13) Điều kiện cực trị của phiếm hàm ràng buộc Z (3.12) theo các chuyển vị chưa biết sẽ là: ∂Z =0 ∂u i i = 2 ÷ 26 ; ∂Z =0 ∂v j  j = 2 ÷ 12   j = 14 ÷ 26 (3.14) Theo ñiều kiện cực trị (3.14) lập ñược hệ phương trình gồm 49 phương trình phi tuyến, chứa 49 ẩn số là các thành phần chuyển vị tại các nút. Xác ñịnh các thành phần chuyển vị tại các nút dàn Giải hệ phương trình (3.14) sẽ tìm ñược các thành phần chuyển vị tại các nút dàn và kết quả ñược lập trong bảng 3.8. 73 Xác ñịnh nội lực trong các thanh dàn Theo công thức (3.7), (3.8) sẽ xác ñịnh ñược nội lực trong các thanh dàn. Kết quả nội lực trong các thanh dàn ñược lập thành trong bảng 3.9. Kiểm tra cân bằng nút Kết quả kiểm tra cân bằng nút tại các nút của dàn vòm phẳng siêu tĩnh trong, tĩnh ñịnh ngoài ñược tập hợp và lập thành bảng 6.14 trong phụ lục. Với số liệu kiểm tra cân bằng tại các nút (bảng 6.14 trong phụ lục) nhận thấy tất cả các nút ñều thỏa mãn ñiều kiện cân bằng. Hình dạng dàn trước và sau khi biến dạng: Kết quả thể hiện như hình 3.11. 1500 (cm) 1000 Tr−íc biÕn d¹ng Sau biÕn d¹ng 500 0 -2000 -1500 -1000 -500 0 500 1000 1500 2000 2500 (cm) Hình 3.11 Hình dạng dàn trước và sau khi biến dạng 3.3.1.2 So sánh chênh lệch kết quả tính toán chuyển vị, nội lực giữa PTTT và PTPTHH Kết quả PTPTHH so sánh với kết quả PTTT và ñược lập trong bảng 3.8 và bảng 3.9. Bảng 3.8 Kết quả chuyển vị theo hai phương tại các nút dàn Nút 1 2 3 4 5 6 7 Chuyển vị PTTT (cm) Chuyển vị PTPTHH (cm) PTCL (%) Phương x Phương y Phương x Phương y Phương x Phương y 0,00000 0,00000 55,76936 -29,79852 96,88627 -63,13848 123,58833 -94,83862 138,16814 -120,66018 144,08379 -137,45110 145,49712 -143,26714 0,00000 61,25857 105,38655 133,5882 148,83886 155,02359 156,55105 0,00000 -38,54256 -78,78451 -115,47371 -144,58623 -163,22554 -169,63509 0,00000 9,84269 8,77347 8,09128 7,72300 7,59266 7,59735 0,00000 29,34388 24,78050 21,75812 19,82928 18,75171 18,40474 74 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 146,91045 152,82611 167,40592 194,10798 235,22489 290,99425 282,01221 227,19755 187,49217 162,37783 149,45386 145,22003 145,49712 145,77422 141,54039 128,61642 103,50208 63,79669 8,98204 -137,45110 -120,66018 -94,83862 -63,13848 -29,79852 0,00000 -0,02548 -29,74464 -63,06312 -94,75420 -120,57137 -137,36017 -143,17557 -137,36017 -120,57137 -94,75420 -63,06312 -29,74464 -0,02548 158,07850 164,26324 179,51390 207,71554 251,84353 313,10209 302,85461 242,69897 200,23048 173,86259 160,49164 156,19349 156,55105 156,90860 152,61046 139,23951 112,87161 70,40313 10,24748 -163,22554 -144,58623 -115,47371 -78,784507 -38,542563 0,00000 -0,69053 -39,01052 -79,05867 -115,58948 -144,58811 -163,15943 -169,54643 -163,15943 -144,58811 -115,58948 -79,05867 -39,01052 -0,69053 7,60194 7,48375 7,23270 7,01030 7,06500 7,59735 7,39061 6,82288 6,79405 7,07286 7,38541 7,55644 7,59735 7,63810 7,82114 8,25951 9,05250 10,3555 14,0885 18,75171 19,82928 21,75812 24,78050 29,34388 0,00000 2609,819 31,15145 25,36436 21,98877 19,91911 18,78220 18,41855 18,78220 19,91911 21,98877 25,36436 31,15145 2609,819 Kết quả phân tích chuyển vị tại các nút dàn (bảng 3.8) cho thấy: - PTCL giữa chuyển vị lớn nhất theo phương trục x tại các nút dàn khi PTTT với chuyển vị lớn nhất theo phương trục x tại các nút dàn khi PTPTHH là: 7,597% . - PTCL giữa chuyển vị lớn nhất theo phương trục y tại các nút dàn khi PTTT với chuyển vị lớn nhất theo phương trục y tại các nút dàn khi PTPTHH là: 18, 405% . Bảng 3.9 Kết quả so sánh nội lực trong các thanh dàn giữa PTTT và PTPTHH Thanh 1 2 3 4 5 Nội lực (kN) PTTT PTPTHH 239,71503 314,63891 724,27523 889,74089 1065,11180 1255,74430 1304,6230 1495,04930 1458,93290 1642,42610 Độ chênh lệch (kN) 74,92388 165,46566 190,63250 190,42630 183,49320 PTCL (%) 31,25540 22,84569 17,89789 14,59627 12,57722 75 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 1534,80770 1534,80770 1458,93290 1304,62300 1065,11180 724,27523 239,71503 -459,86701 -889,52121 -1175,86050 -1369,06820 -1489,85940 -1548,15220 -1548,15220 -1489,85940 -1369,06820 -1175,86050 -889,52121 -459,86701 -82,30799 174,05131 243,41420 272,67135 286,87469 293,70816 295,77248 293,70816 286,87469 272,67135 243,41420 174,05131 -82,30799 -273,50418 -184,99745 -84,43775 38,35495 179,04459 326,13511 326,13511 1713,14550 1713,14550 1642,42610 1495,04930 1255,74430 889,74089 314,63891 -554,32686 -1056,12730 -1361,99400 -1555,11030 -1670,77390 -1725,28300 -1725,28300 -1670,77390 -1555,11030 -1361,99400 -1056,12730 -554,32686 -100,88516 180,99210 246,87186 270,94507 280,94059 285,16977 286,36021 285,16977 280,94059 270,94507 246,87186 180,99210 -100,88516 -323,79055 -186,32420 -80,17124 35,81858 173,34082 351,05020 351,05020 178,33780 178,33780 183,49320 190,42630 190,63250 165,46566 74,92388 -94,45985 -166,60609 -186,13350 -186,04210 -180,91450 -177,13080 -177,13080 -180,91450 -186,04210 -186,13350 -166,60609 -94,45985 -18,57717 6,94079 3,45766 -1,72628 -5,93410 -8,53839 -9,41227 -8,53839 -5,93410 -1,72628 3,45766 6,94079 -18,57717 -50,28637 -1,32675 4,26651 -2,53637 -5,70377 24,91509 24,91509 11,61955 11,61955 12,57722 14,59627 17,89789 22,84569 31,25540 20,54069 18,72986 15,82956 13,58896 12,14306 11,44143 11,44143 12,14306 13,58896 15,82956 18,72986 20,54069 22,57031 3,98778 1,42048 0,63310 2,06853 2,90710 3,18227 2,90710 2,06853 0,63310 1,42048 3,98778 22,57031 18,38596 0,71717 5,05285 6,61289 3,18567 7,63950 7,63950 76 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 179,04459 38,35495 -84,43775 -184,99745 -273,50418 397,63670 252,55715 107,11666 -25,81471 -137,28583 -229,18558 -229,18558 -137,28583 -25,81471 107,11666 252,55715 397,63670 173,34082 35,81858 -80,17124 -186,32420 -323,79055 476,01219 254,43891 101,34141 -24,37402 -133,13828 -245,73873 -245,73873 -133,13828 -24,37402 101,34141 254,43891 476,01219 -5,70377 -2,53637 4,26651 -1,32675 -50,28637 78,37549 1,88176 -5,77525 1,44069 4,14755 -16,55315 -16,55315 4,14755 1,44069 -5,77525 1,88176 78,37549 3,18567 6,61289 5,05285 0,71717 18,38596 19,71033 0,74508 5,39155 5,58090 3,02111 7,22260 7,22260 3,02111 5,58090 5,39155 0,74508 19,71033 Kết quả phân tích nội lực trong các thanh dàn (bảng 3.9) cho thấy: - PTCL giữa nội lực lớn nhất trong các thanh ñứng khi PTTT và nội lực lớn nhất trong các thanh ñứng khi PTPTHH là: 3,182% . - PTCL giữa nội lực lớn nhất trong các thanh cánh trên, thanh cánh dưới khi PTTT và nội lực lớn nhất trong các thanh cánh trên, thanh cánh dưới khi PTPTHH là: 11,441% . - PTCL giữa nội lực lớn nhất trong các thanh xiên khi PTTT và nội lực lớn nhất trong các thanh xiên khi PTPTHH là: 19,710% . 3.3.2 Ảnh hưởng của ñộ thoải của dàn vòm siêu tĩnh trong, tĩnh ñịnh ngoài ñến PTCL chuyển vị, nội lực giữa PTPTHH và PTTT Luận án phân tích tính toán kết cấu dàn vòm phẳng giống như dàn vòm phẳng (mục 3.3.1) với các ñộ thoải khác nhau (k=1/4; 1/6; 1/8) chịu cùng một giá trị tải trọng P=20(kN). Kết quả chuyển vị, nội lực giữa PTTT và PTPTHH ñược thể hiện như hình 3.12, hình 3.13 và bảng 3.10. 77 Kết quả phân tích chuyển vị tại các nút dàn với các ñộ thoải khác nhau (hình 3.12, hình 3.13) cho thấy: - Khi k = 1 / 4 : PTCL giữa chuyển vị lớn nhất theo phương trục x tại các nút dàn theo PTTT và chuyển vị lớn nhất theo phương trục x tại các nút dàn theo PTPTHH là 1, 251% ; PTCL giữa chuyển vị lớn nhất theo phương trục y tại các nút dàn theo PTTT và chuyển vị lớn nhất theo phương trục y tại các nút dàn theo PTPTHH là 10, 429% . - Khi k = 1 / 6 : PTCL giữa chuyển vị lớn nhất theo phương trục x tại các nút dàn theo PTTT và chuyển vị lớn nhất theo phương trục x tại các nút dàn theo PTPTHH là 3,945% ; PTCL giữa chuyển vị lớn nhất theo phương trục y tại các nút dàn theo PTTT và chuyển vị lớn nhất theo phương trục y tại các nút dàn theo PTPTHH là 5,767% . - Khi k = 1 / 8 : PTCL giữa chuyển vị lớn nhất theo phương trục x tại các nút dàn theo PTTT và chuyển vị lớn nhất theo phương trục x tại các nút dàn theo PTPTHH là 7,138% ; PTCL giữa chuyển vị lớn nhất theo phương trục y tại các nút dàn theo PTTT và chuyển vị lớn nhất theo phương trục y tại các nút dàn theo PTPTHH là 4,086% . PTTT (k=1/4) PTPTHH (k=1/4) PTTT (k=1/6) PTPTHH (k=1/6) PTTT (k=1/8) PTPTHH (k=1/8) 180 160 140 120 100 80 60 40 20 0 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 Sè hiÖu nót Hình 3.12 Chuyển vị theo phương trục x Thµnh phÇn chuyÓn vÞ theo ph−¬ng trôc y (cm) Thµnh phÇn chuyÓn vÞ theo ph−¬ng trôc x (cm) PTTT (k=1/4) PTPTHH (k=1/4) PTTT (k=1/6) PTPTHH (k=1/6) PTTT (k=1/8) PTPTHH (k=1/8) 40 200 20 0 -20 -40 -60 -80 -100 -120 -140 -160 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 Sè hiÖu nót Hình 3.13 Chuyển vị theo phương trục y Kết quả phân tích nội lực trong các thanh dàn (bảng 3.10) cho thấy: - Khi k = 1 / 4 : PTCL giữa nội lực lớn nhất trong các thanh dàn theo PTTT và nội lực lớn nhất trong các thanh dàn theo PTPTHH là 6,749% . 78 - Khi k = 1 / 6 : PTCL giữa nội lực lớn nhất trong các thanh dàn theo PTTT và nội lực lớn nhất trong các thanh dàn theo PTPTHH là 3,810% . - Khi k = 1 / 8 : PTCL giữa nội lực lớn nhất trong các thanh dàn theo PTTT và nội lực lớn nhất trong các thanh dàn theo PTPTHH là 2,711% . Bảng 3.10 PTCL nội lực trong các thanh dàn ứng với các giá trị k=f/l khác nhau k=1/4 k=1/6 k=1/8 Nội lực Nội lực Nội lực Thanh PTCL PTCL (%) PTPTHH PTCL (%) PTPTHH PTPTHH (%) (kN) (kN) (kN) 1 17,80506 265,31566 10,43775 249,62516 7,94503 251,20648 2 12,01991 828,77124 6,51284 793,65770 4,68505 783,84250 3 9,83505 1224,08940 5,39066 1202,81150 3,85041 1194,82140 4 8,34861 1494,20090 4,67247 1495,07660 3,34962 1493,97580 5 7,38949 1663,54000 4,20739 1683,28010 3,03260 1689,11360 6 6,91740 1745,30650 3,97567 1775,45260 2,87574 1785,40010 7 6,91740 1745,30650 3,97567 1775,45260 2,87574 1785,40010 8 7,38949 1663,54000 4,20739 1683,28010 3,03260 1689,11360 9 8,34861 1494,20090 4,67247 1495,07660 3,34962 1493,97580 10 9,83505 1224,08940 5,39066 1202,81150 3,85041 1194,82140 11 12,01991 828,77124 6,51284 793,65770 4,68505 783,84250 12 17,80506 265,31566 10,43775 249,62516 7,94503 251,20648 13 10,89845 -456,53046 5,68899 -384,24385 3,93012 -353,11451 14 9,886216 -962,80285 5,20895 -887,48053 3,60779 -854,57655 15 8,702685 -1309,68800 4,69709 -1262,34280 3,28188 -1239,38960 16 7,739489 -1542,75040 4,26876 -1528,73980 3,00772 -1518,95390 17 7,08052 -1687,03860 3,96588 -1699,69910 2,81210 -1701,10230 18 6,748553 -1756,16240 3,80980 -1783,25990 2,71066 -1790,92450 19 6,748553 -1756,16240 3,80980 -1783,25990 2,71066 -1790,92450 20 7,08052 -1687,03860 3,96588 -1699,69910 2,81210 -1701,10230 21 7,739489 -1542,75040 4,26876 -1528,73980 3,00772 -1518,95390 22 8,702685 -1309,68800 4,69709 -1262,34280 3,28188 -1239,38960 23 9,886216 -962,80285 5,20895 -887,48053 3,60779 -854,57655 24 10,89845 -456,53046 5,68899 -384,24385 3,93012 -353,11451 25 11,29432 -90,26133 5,64538 -82,22305 3,78767 -78,13565 26 1,399257 88,56280 9,28288 35,59881 17,37840 18,54504 27 5,002284 154,18591 12,03281 82,64903 18,07562 53,03840 79 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 7,275954 8,673788 9,439981 9,684798 9,439981 8,673788 7,275954 5,002284 1,399257 11,29432 9,567368 0,638988 3,484658 6,745192 2,629564 4,944147 4,944147 2,629564 6,745192 3,484658 0,638988 9,567368 10,52983 0,50829 4,755786 2,496587 2,040137 4,571815 4,571815 2,040137 2,496587 4,755786 0,50829 10,52983 189,18221 208,54294 218,46268 221,52948 218,46268 208,54294 189,18221 154,18591 88,56280 -90,26133 -280,19869 -174,15443 -74,85405 32,99427 158,09101 310,17887 310,17887 158,09101 32,99427 -74,85405 -174,15443 -280,19869 399,35241 229,90591 92,90615 -22,62301 -124,83090 -225,01739 -225,01739 -124,83090 -22,62301 92,90615 229,90591 399,35241 14,79586 16,66764 17,73320 18,07842 17,73320 16,66764 14,79586 12,03281 9,28288 5,64538 4,75035 0,46672 1,73521 6,74650 2,01753 2,88164 2,88164 2,01753 6,74650 1,73521 0,46672 4,75035 5,47120 0,25153 3,92813 0,92043 1,08684 2,55369 2,55369 1,08684 0,92043 3,92813 0,25153 5,47120 112,09452 130,10446 139,89225 143,00150 139,89225 130,10446 112,09452 82,64903 35,59881 -82,22305 -263,90744 -168,97760 -72,60882 29,99012 144,94416 277,33233 277,33233 144,94416 29,99012 -72,60882 -168,97760 -263,90744 348,76154 208,82155 85,54151 -22,46607 -121,20947 -216,40290 -216,40290 -121,20947 -22,46607 85,54151 208,82155 348,76154 21,25445 23,62270 25,02541 25,48753 25,02541 23,62270 21,25445 18,07562 17,37840 3,78767 3,10068 0,36029 0,83737 6,64848 1,69129 2,03284 2,03284 1,69129 6,64848 0,83737 0,36029 3,10068 3,74107 0,12122 3,42396 2,49914 0,63250 1,72307 1,72307 0,63250 2,49915 3,42396 0,12122 3,74107 75,22253 88,93387 96,40603 98,77998 96,40603 88,93387 75,22253 53,03840 18,54504 -78,13565 -263,24615 -169,06217 -72,75861 28,40100 139,24154 263,33739 263,33739 139,24154 28,40100 -72,75861 -169,06217 -263,24615 328,77701 199,61096 82,30482 -23,06988 -121,26942 -216,30275 -216,30275 -121,26942 -23,06988 82,30482 199,61096 328,77701 80 3.4 Phân tích phi tuyến hình học dàn vòm phẳng siêu tĩnh trong và siêu tĩnh ngoài 3.4.1 Tính toán dàn vòm phẳng siêu tĩnh trong và siêu tĩnh ngoài y P/2 26 25 1 P P P P P P P 19 20 18 21 19 17 18 20 22 P P 16 17 21 46 58 31 23 47 59 15 30 32 22 41 53 33 45 57 29 40 52 16 24 P/2 42 54 34 48 14 28 6 23 51 60 7 7 8 6 5 15 8 35 9 5 4 24 25 44 56 27 39 9 13 4 10 10 43 3 55 36 49 26 3 11 61 14 2 11 50 38 37 2 12 O 13 12 1 P P x Hình 3.14 Vòm dàn siêu tĩnh trong và siêu tĩnh ngoài Xét dàn vòm phẳng siêu tĩnh trong, siêu tĩnh ngoài như hình 3.14, biết các thanh dàn có mô ñun ñàn hồi E=2.104(kN/cm2). Tiết diện thanh cánh trên và thanh cánh dưới là φ219x7(mm) có A=46,621 cm2, các thanh bụng dàn là φ121x3,5(mm) có A=12,92 cm2. Nhịp dàn l=48 (m), ñộ thoải của dàn k=1/3 và chiều cao của dàn h=0,8 (m). Tải trọng P =100(kN) tác dụng. 3.4.1.1 Tính toán các thành phần chuyển vị tại nút dàn và nội lực trong các thanh dàn Thiết lập phiếm hàm lượng ràng buộc của kết cấu dàn vòm Dàn vòm gồm 61 thanh và 26 nút ñược ñánh số thứ tự như hình 3.14. Lượng ràng buộc của dàn vòm (2.33a) ñược viết như sau: 26 EkAk 2 × ∆ l − ( ) ∑ 2Pi .vi → min k (0) k =1 l i =14 k 61 Z=∑ (3.15) Thiết lập hệ phương trình từ ñiều kiện cực trị của phiếm hàm ràng buộc Điều kiện biên của bài toán: u1 = v1 = u13 = v13 = 0 (3.16) Điều kiện cực trị của phiếm hàm ràng buộc Z (3.15) theo các chuyển vị chưa biết sẽ là: 81 ∂Z =0 ∂u i  i = 2 ÷ 12 ∂Z =0 ;  i = 14 ÷ 26 ∂ v  j  j = 2 ÷ 12   j = 14 ÷ 26 (3.17) Từ ñiều kiện cực trị (3.17) sẽ lập ñược hệ phương trình gồm 48 phương trình phi tuyến, chứa 48 ẩn số là các thành phần chuyển vị tại các nút dàn. Xác ñịnh các thành phần chuyển vị tại các nút dàn Giải hệ phương trình (3.17) sẽ tìm ñược các thành phần chuyển vị tại các nút dàn và kết quả các thành phần chuyển vị tại các nút dàn PTPTHH ñược lập trong bảng 3.11. Xác ñịnh nội lực trong các thanh dàn Theo công thức (3.7), (3.8) sẽ xác ñịnh ñược nội lực trong các thanh dàn. Kết quả phân tích nội lực trong các thanh dàn của luận án ñược lập thành trong bảng 3.12. Kiểm tra cân bằng nút dàn Kết quả kiểm tra cân bằng tại các nút của dàn vòm phẳng siêu tĩnh trong, siêu tĩnh ngoài ñược tập hợp và lập thành bảng 6.18 trong phụ lục. Với số liệu kiểm tra cân bằng tại các nút (bảng 6.18 trong phụ lục) nhận thấy tất cả các nút ñều thỏa mãn ñiều kiện cân bằng. Hình dạng dàn trước và sau khi biến dạng: Kết quả hình dạng dàn trước và sau khi biến dạng ñược thể hiện như hình 3.15. 1500 (cm) 1000 Tr−íc biÕn d¹ng Sau biÕn d¹ng 500 0 -2500 -2000 -1500 -1000 -500 0 500 1000 1500 2000 2500 (cm) Hình 3.15 Hình dạng dàn trước và sau khi biến dạng 82 3.4.1.2 So sánh chênh lệch kết quả tính toán chuyển vị, nội lực giữa PTTT và PTPTHH Kết quả PTTT ñược luận án so sánh với kết quả PTPTHH và ñược lập trong bảng 3.11 và bảng 3.12. Bảng 3.11 Kết quả chuyển vị theo hai phương tại các nút dàn Chuyển vị PTTT (cm) Chuyển vị PTPTHH (cm) Nút Phương x Phương y 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 0,00000 -14,96377 -13,52510 -7,68486 -2,82327 -0,50320 0,00000 0,50320 2,82327 7,68486 13,52510 14,96377 0,00000 2,14426 15,27616 12,69057 6,43975 1,71351 -0,13193 0,00000 0,13193 -1,71351 -6,43975 -12,69057 -15,27616 -2,14426 0,00000 7,48294 5,64011 -1,95568 -11,17810 -18,36680 -21,05220 -18,36680 -11,17810 -1,95568 5,64011 7,48294 0,00000 0,00960 7,38019 5,57835 -1,97841 -11,17330 -18,34610 -21,02630 -18,34610 -11,17330 -1,97841 5,57835 7,38019 0,00960 Phương x 0,00000 -22,07018 -18,53068 -10,15872 -3,68923 -0,68025 0,00000 0,68025 3,68923 10,15872 18,53068 22,07018 0,00000 2,76824 22,13231 17,20745 8,39912 2,17715 -0,17157 0,00000 0,17157 -2,17715 -8,39912 -17,20745 -22,13231 -2,76824 PTCL (%) Phương x Phương y Phương y (%) (%) 0,00000 10,51434 6,77546 -4,24149 -16,79404 -26,28502 -29,78314 -26,28502 -16,79404 -4,24150 6,77546 10,51434 0,00000 -0,02553 10,33389 6,68618 -4,28232 -16,79658 -26,26030 -29,74841 -26,26030 -16,79658 -4,28232 6,68618 10,33389 -0,02553 0 47,49083 37,00958 32,19134 30,67205 35,18535 0,00000 35,18535 30,67205 32,19134 37,00958 47,49083 0,00000 29,10042 44,88132 35,59244 30,42610 27,05783 30,04139 0,00000 30,04139 27,05783 30,42610 35,59244 44,88132 29,10042 0 40,51085 20,12982 116,8809 50,24095 43,11197 41,47291 43,11197 50,24095 116,88090 20,12982 40,51085 0,00000 366,06590 40,02192 19,85951 116,45300 50,32757 43,13849 41,48179 43,13849 50,32757 116,45300 19,85951 40,02192 366,06590 Kết quả phân tích chuyển vị tại các nút dàn (bảng 3.11) cho thấy: 83 - PTCL giữa chuyển vị lớn nhất theo phương trục x tại các nút dàn khi PTTT với chuyển vị lớn nhất theo phương trục x tại các nút dàn khi PTPTHH là: 44,881% . - PTCL giữa chuyển vị lớn nhất theo phương trục y tại các nút dàn khi PTTT với chuyển vị lớn nhất theo phương trục y tại các nút dàn khi PTPTHH là: 41,473% . Bảng 3.12 Kết quả so sánh nội lực trong các thanh dàn giữa PTTT và PTPTHH Nội lực (kN) Thanh 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 PTTT PTPTHH -891,72249 -931,45293 -535,99495 -93,05812 251,72811 436,22602 436,22602 251,72811 -93,05812 -535,99495 -931,45293 -891,72249 515,10710 462,49942 91,55840 -288,22274 -572,31450 -721,21913 -721,21913 -572,31450 -288,22274 91,55840 462,49942 515,10710 30,99376 -331,86969 -1082,79650 -1119,84410 -572,77020 -6,15553 415,82914 636,07264 636,07264 415,82914 -6,15553 -572,77020 -1119,84410 -1082,79650 805,78240 643,20589 114,04502 -380,85569 -735,28475 -916,85108 -916,85108 -735,28475 -380,85569 114,04502 643,20589 805,78240 72,23954 -582,78595 Độ chênh lệch (kN) -191,07401 -188,39117 -36,77525 86,90259 164,10103 199,84662 199,84662 164,10103 86,90259 -36,77525 -188,39117 -191,07401 290,67530 180,70647 22,48662 -92,63295 -162,97025 -195,63195 -195,63195 -162,97025 -92,63295 22,48662 180,70647 290,67530 41,24578 -250,91626 PTCL (%) 21,42752 20,22552 6,86112 93,38529 65,18979 45,81263 45,81263 65,18979 93,38529 6,86112 20,22552 21,42752 56,43007 39,07172 24,55987 32,13936 28,47565 27,12517 27,12517 28,47565 32,13936 24,55987 39,07172 56,43007 133,07770 75,60686 84 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 -199,50639 -73,41352 15,33466 66,77608 83,57244 66,77608 15,33466 -73,41352 -199,50639 -331,86969 30,99376 169,92336 -224,62901 -171,06425 15,03556 178,32813 28,07603 28,07603 178,32813 15,03556 -171,06425 -224,62901 169,92336 -445,40157 175,66608 111,47138 -85,46455 -224,64300 -130,21812 -130,21812 -224,64300 -85,46455 111,47138 175,66608 -445,40157 -252,98733 -69,34652 37,93180 94,49377 112,19895 94,49377 37,93180 -69,34652 -252,98733 -582,78595 72,23954 329,45637 -283,38574 -197,50317 25,91240 237,55010 82,32096 82,32096 237,55010 25,91240 -197,50317 -283,38574 329,45637 -699,01471 256,09446 144,48993 -93,46584 -269,93981 -171,91399 -171,91399 -269,93981 -93,46584 144,48993 256,09446 -699,01471 -53,48094 4,06701 22,59714 27,71769 28,62651 27,71769 22,59714 4,06701 -53,48094 -250,91626 41,24578 159,53301 -58,75673 -26,43892 10,87684 59,22197 54,24493 54,24493 59,22197 10,87684 -26,43892 -58,75673 159,53301 -253,61314 80,42838 33,01855 -8,00129 -45,29681 -41,69587 -41,69587 -45,29681 -8,00129 33,01855 80,42838 -253,61314 26,80663 5,53986 147,36000 41,50841 34,25352 41,50841 147,36000 5,53986 26,80663 75,60686 133,07770 93,88527 26,15723 15,45555 72,34073 33,20955 193,20730 193,20730 33,20955 72,34073 15,45555 26,15723 93,88527 56,94033 45,78481 29,62065 9,36212 20,16391 32,02002 32,02002 20,16391 9,36212 29,62065 45,78481 56,94033 Kết quả phân tích nội lực trong các thanh dàn (bảng 3.12) cho thấy: 85 - Không có sự thay ñổi dấu của nội lực trong các thanh dàn giữa PTTT và PTPTHH. - PTCL giữa nội lực lớn nhất trong các thanh ñứng khi PTTT và nội lực lớn nhất trong các thanh ñứng khi PTPTHH là: 75,607% . - PTCL giữa nội lực lớn nhất trong các thanh cánh trên, thanh cánh dưới khi PTTT và nội lực lớn nhất trong các thanh cánh trên, thanh cánh dưới khi PTPTHH là: 20,226% . - PTCL giữa nội lực lớn nhất trong các thanh xiên khi PTTT và nội lực lớn nhất trong các thanh xiên khi PTPTHH là: 56,940% . 3.4.2 Ảnh hưởng ñộ thoải của dàn vòm siêu tĩnh trong, siêu tĩnh ngoài ñến PTCL chuyển vị, nội lực giữa PTPTHH và PTTT Luận án phân tích kết cấu dàn giống như (mục 3.4.1) nhưng với các ñộ thoải k = (1 / 4;1 / 6;1 / 8) khi chịu cùng một giá trị tải trọng P=100(kN). Kết quả chuyển vị, nội lực giữa PTTT và PTPTHH ñược thể hiện như hình 3.16, hình 3.17 và bảng 3.13. Thµnh phÇn chuyÓn vÞ theo ph−¬ng trôc x (cm) 5 4 3 2 1 0 -1 PTTT (k=1/4) PTPTHH(k=1/4) PTTT (k=1/6) PTPTHH(k=1/6) PTTT (k=1/8) PTPTHH(k=1/8) -2 -3 -4 -5 -6 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 Sè hiÖu nót Hình 3.16 Chuyển vị theo phương trục x Thµnh phÇn chuyÓn vÞ theo ph−¬ng trôc y (cm) 6 6 4 2 0 -2 -4 PTTT (k=1/4) PTPTHH (k=1/4) PTTT (k=1/6) PTPTHH (k=1/6) PTTT (k=1/8) PTPTHH (k=1/8) -6 -8 -10 -12 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 Sè hiÖu nót Hình 3.17 Chuyển vị theo phương trục y Kết quả phân tích chuyển vị tại các nút dàn với các giá trị ñộ thoải khác nhau (hình 3.16, hình 3.17) cho thấy: - Khi k = 1 / 4 : PTCL giữa chuyển vị lớn nhất theo phương trục x tại các nút dàn theo PTTT và chuyển vị lớn nhất theo phương trục x tại các nút dàn 86 theo PTPTHH là 20,071% ; PTCL giữa chuyển vị lớn nhất theo phương trục y tại các nút dàn theo PTTT và chuyển vị lớn nhất theo phương trục y tại các nút dàn theo PTPTHH là 18, 459% . - Khi k = 1 / 6 : PTCL giữa chuyển vị lớn nhất theo phương trục x tại các nút dàn theo PTTT và chuyển vị lớn nhất theo phương trục x tại các nút dàn theo PTPTHH là 17,849% ; PTCL giữa chuyển vị lớn nhất theo phương trục y tại các nút dàn theo PTTT và chuyển vị lớn nhất theo phương trục y tại các nút dàn theo PTPTHH là 12,337% . - Khi k = 1 / 8 : PTCL giữa chuyển vị lớn nhất theo phương trục x tại các nút dàn theo PTTT và chuyển vị lớn nhất theo phương trục x tại các nút dàn theo PTPTHH là 22,368% ; PTCL giữa chuyển vị lớn nhất theo phương trục y tại các nút dàn theo PTTT và chuyển vị lớn nhất theo phương trục y tại các nút dàn theo PTPTHH là 11,294% . Bảng 3.13 PTCL nội lực trong các thanh dàn ứng với các giá trị k=f/l khác nhau k=1/4 k=1/6 k=1/8 Nội lực Nội lực Nội lực Thanh PTCL (%) PTPTHH PTCL (%) PTPTHH PTCL (%) PTPTHH (kN) (kN) (kN) 1 5,80845 -814,79295 2,88529 -871,99603 2,91179 -1031,43410 2 10,06289 -802,73080 6,38915 -747,79154 6,36534 -843,80441 3 7,92731 -530,32429 5,90243 -542,14172 6,07788 -624,30887 4 2,78488 -216,39034 1,06450 -333,28189 1,70742 -421,48167 5 514,91390 33,56784 10,86405 -170,60382 6,93317 -268,98581 6 55,59959 168,85587 29,54605 -82,72610 16,05067 -187,74334 7 55,59959 168,85587 29,54605 -82,72610 16,05067 -187,74334 8 514,91390 33,56784 10,86405 -170,60382 6,93317 -268,98581 9 2,78488 -216,39034 1,06450 -333,28189 1,70742 -421,48167 10 7,92731 -530,32429 5,90243 -542,14172 6,07788 -624,30887 11 10,06289 -802,73080 6,38915 -747,79154 6,36534 -843,80441 12 5,80845 -814,79295 2,88529 -871,99603 2,91179 -1031,43410 13 30,00077 278,89156 44,32579 96,57245 109,72830 54,69964 14 42,31931 246,50219 95,22293 -2,15788 29,89851 -103,76910 87 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 120,60260 3,76224 10,08104 11,62178 11,62178 10,08104 3,76224 120,60260 42,31931 30,00077 86,94672 22,50796 16,68238 7,77237 22,84865 52,51199 34,73277 52,51199 22,84865 7,77237 16,68238 22,50796 86,94672 351,91800 10,76599 9,53532 22,16612 32,10904 188,34390 188,34390 32,10904 22,16612 9,53532 10,76599 351,91800 29,69029 33,37637 44,50063 5,38831 5,89295 -259,88515 -467,66853 -579,11994 -579,11994 -467,66853 -259,88515 5,89295 246,50219 278,89156 -1,69000 -171,68976 -120,77056 -58,94172 -10,63354 18,77739 28,57110 18,77739 -10,63354 -58,94172 -120,77056 -171,68976 -1,69000 26,34012 -193,40520 -150,56896 -18,16256 96,42372 8,53991 8,53991 96,42372 -18,16256 -150,56896 -193,40520 26,34012 -244,19087 97,14840 49,33494 -89,07711 13,00259 0,16450 5,19817 7,13519 7,13519 5,19817 0,16450 13,00259 95,22293 44,32579 15,12657 12,48498 12,99243 8,67194 7,36066 321,46220 68,88012 321,46220 7,36066 8,67194 12,99243 12,48498 15,12657 13,66066 6,32730 7,20386 5,31989 651,22700 12,87619 12,87619 651,22700 5,31989 7,20386 6,32730 13,66066 43,66260 146,62960 34,97941 3,71778 -173,92242 -349,32836 -486,07228 -559,93903 -559,93903 -486,07228 -349,32836 -173,92242 -2,15788 96,57245 -31,84122 -77,73004 -56,24697 -31,06122 -9,96995 3,57112 8,20161 3,57112 -9,96995 -31,06122 -56,24697 -77,73004 -31,84122 -117,93421 -188,69720 -149,19820 -62,56101 12,40837 -5,68001 -5,68001 12,40837 -62,56101 -149,19820 -188,69720 -117,93421 -87,43204 21,76267 -19,40531 -108,28650 8,56556 0,26630 4,82014 6,82875 6,82875 4,82014 0,26630 8,56556 29,89851 109,72830 12,41753 13,80710 16,82655 14,80973 747,76130 30,08277 27,51868 30,08277 747,76130 14,80973 16,82655 13,80710 12,41753 8,93224 6,20031 7,44621 3,58357 43,25402 3,46963 3,46963 43,25402 3,58357 7,44621 6,20031 8,93224 108,23890 79,18515 17,53604 3,87916 -293,21895 -469,33016 -602,07848 -672,88083 -672,88083 -602,07848 -469,33016 -293,21895 -103,76910 54,69964 -39,40211 -53,00276 -33,73486 -14,64095 0,63421 10,29285 13,57930 10,29285 0,63421 -14,64095 -33,73486 -53,00276 -39,40211 -191,20102 -220,83677 -174,33727 -93,05751 -20,28318 -10,53583 -10,53583 -20,28318 -93,05756 -174,33727 -220,83677 -191,20102 -50,66010 -3,44275 -52,58224 -135,47834 88 54 55 56 57 58 59 60 61 11,11232 3,78291 3,78291 11,11232 5,38831 44,50063 33,37637 29,69029 -190,42621 7,97994 -135,85665 0,90486 -135,85665 0,90486 -190,42621 7,97994 -89,07711 3,71778 49,33494 34,97941 97,14840 146,62960 -244,19087 43,66260 -178,40244 8,16486 -171,93131 1,01600 -171,93131 1,01600 -178,40244 8,16486 -108,28650 3,87916 -19,40531 17,53604 21,76267 79,18515 -87,43204 108,23890 -204,48571 -218,23744 -218,23744 -204,48571 -135,47834 -52,58224 -3,44275 -50,66008 Kết quả phân tích nội lực trong các thanh dàn với các ñộ thoải khác nhau (bảng 3.13) cho thấy: - Khi k = 1 / 4 : PTCL giữa nội lực lớn nhất trong các thanh dàn theo PTTT và nội lực lớn nhất trong các thanh dàn theo PTPTHH là 5,808% . - Khi k = 1 / 6 : PTCL giữa nội lực lớn nhất trong các thanh dàn theo PTTT và nội lực lớn nhất trong các thanh dàn theo PTPTHH là 2,885% . - Khi k = 1 / 8 : PTCL giữa nội lực lớn nhất trong các thanh dàn theo PTTT và nội lực lớn nhất trong các thanh dàn theo PTPTHH là 2,912% . 3.5 Kết luận chương Qua các nội dung nghiên cứu từ mục 3.1 ñến 3.4, tác giả ñưa ra các kết luận sau ñây: 1. Phương pháp phân tích kết cấu dàn vòm phẳng có kể ñến sự thay ñổi góc của các trục thanh trong quá trình kết cấu dàn biến dạng dựa theo phương pháp cực trị Gauss với cách chọn ẩn số chính là các thành phần chuyển vị tại các nút dàn cho kết quả tin cậy. 2. Luận án ñã xây dựng ñược thuật toán và các mô ñun chương trình tính: PTA1 ñể phân tích phi tuyến hình học kết cấu dàn vòm phẳng tĩnh ñịnh; PTA2 ñể phân tích phi tuyến hình học kết cấu dàn vòm phẳng tĩnh ñịnh trong, siêu tĩnh ngoài; PTA3 ñể phân tích phi tuyến hình học kết cấu dàn vòm phẳng siêu tĩnh trong, tĩnh ñịnh ngoài; PTA4 ñể phân tích phi tuyến hình học kết cấu dàn vòm phẳng siêu tĩnh trong và siêu tĩnh ngoài. 89 3. Khi ñộ thoải của dàn vòm phẳng lớn thì PTCL của chuyển vị theo phương trục x giữa PTTT và PTPTHH thường nhỏ hơn so với PTCL của chuyển vị theo phương trục y. Ngược lại, khi ñộ thoải của dàn vòm phẳng nhỏ thì PTCL của chuyển vị theo phương trục y giữa PTTT và PTPTHH thường nhỏ hơn so với PTCL của chuyển vị theo phương trục x. 4. Đối với dàn siêu tĩnh ngoài thì PTCL nội lực giữa PTTT và PTPTHH của các thanh xiên là lớn nhất, còn PTCL nội lực của các thanh cánh trên và thanh cánh dưới là nhỏ nhất. Đối với dàn tĩnh ñịnh thì PTCL nội lực giữa PTTT và PTPTHH của các thanh ñứng là lớn nhất, còn PTCL nội lực của các thanh xiên là nhỏ nhất. Đối với dàn tĩnh ñịnh ngoài, siêu tĩnh trong thì PTCL nội lực giữa PTTT và PTPTHH của các thanh cánh trên và thanh cánh dưới là lớn nhất còn, PTCL nội lực của các thanh xiên là nhỏ nhất. 5. PTCL nội lực của các thanh dàn và PTCL các thành chuyển vị tại các nút dàn giữa PTTT và PTPTHH ñối với dàn siêu tĩnh ngoài thường lớn hơn nhiều ñối với dàn tĩnh ñịnh ngoài. 6. Các khảo sát nghiên cứu so sánh cho thấy: Kết quả giữa PTTT và PTPTHH kết cấu dàn vòm phẳng là có sự khác nhau, tuy không có sự thay ñổi dấu nội lực và các thành phần chuyển vị tại các nút dàn giữa PTTT và PTPTHH nhưng trong một số trường hợp chênh lệch giữa hai kết quả phân tích là lớn. Vì vậy ñể kết quả tính toán phù hợp hơn với sự làm việc thực tế của kết cấu, khi phân tích tính toán cho kết cấu dàn vòm phẳng nên tính toán có kể ñến tính phi tuyến hình học của kết cấu dàn. 90 CHƯƠNG 4 PHÂN TÍCH PHI TUYẾN HÌNH HỌC KẾT CẤU DÀN KHÔNG GIAN Trong các năm gần ñây, ngày càng có nhiều các công trình vượt các khẩu ñộ lớn như: nhà thi ñấu, sân vận ñộng, nhà hát v.v…Vì vậy kết cấu dàn không gian là một trong những kết cấu ñược các nhà thiết kế lựa chọn làm giải pháp kết cấu cho các công trình này. Trong chương 4 của luận án trình bày cách phân tích phi tuyến hình học của một số bài toán kết cấu dàn không gian một lớp (dàn cầu không gian một lớp, dàn vòm không gian một lớp) chịu lực tác dụng thẳng ñứng dựa trên phương pháp nguyên lý cực trị Gauss. 4.1 Phân tích phi tuyến hình học dàn cầu không gian một lớp Kết cấu dàn cầu không gian một lớp nếu dựa theo hình dáng mạng tinh thể, có thể chia thành ba loại kết cấu dàn cầu không gian chính và thường ñược ứng dụng nhiều trong các công trình thực tế: loại Kiewitt 6, loại Kiewitt 8, loại Schwedler (hình 4.1) [64], [65]. (a) Kiewitt 6 Type (b) Kiewitt 8 Type (c) Schwedler Type Hình 4.1 Một số dạng kết cấu dàn cầu không gian Luận án lựa chọn loại dàn Kiewitt 8 (K8) ñể tính toán, khi kể ñến sự làm việc phi tuyến hình học của kết cấu dàn. Các loại dàn cầu không gian một lớp còn lại, khi phân tích tính toán sẽ thực hiện các bước tương tự như dàn K8. Xét dàn cầu không gian một lớp K8 như hình 4.2: l là nhịp dàn, f là ñộ vồng của dàn và ñặt k = f / l gọi là ñộ thoải của dàn. Dàn cầu không gian một 91 lớp thường có nhịp dàn l ≤ 60(m) và ñộ thoải của dàn k = 1 / 8 ÷ 1 / 3 [64, tr.132]. Bán kính cong của dàn : f l2 r= + 2 8f (4.1) Phương trình mặt cầu có dạng: x 2 + y2 + z2 = r 2 (4.2) Hình 4.2 Dàn cầu không gian K8 4.1.1 Tính toán phi tuyến hình học dàn Kiewitt 8 Hình 4.3. Số hiệu nút của dàn K8 Hình 4.4. Số hiệu thanh cho dàn K8 Xét dàn Kiewitt 8 với nhịp dàn l=40m, ñộ thoải của dàn k=1/8 và các thanh dàn có cùng mô ñun ñàn hồi E = 2.104 (kN / cm 2 ) . Tiết diện các thanh sườn (có trục thanh thuộc mặt phẳng ñi qua tâm) và các thanh vành là φ121x3,5 (mm); tiết diện các thanh xiên là φ114x3 (mm). Chịu lực 4P / 3 tác dụng thẳng ñứng tại nút ñỉnh dàn và chịu lực P tại các nút còn lại, với giá trị lực P=40(kN). Xác ñịnh nội lực trong các thanh dàn và các thành phần chuyển vị tại các nút dàn theo PTPTHH. 92 Lời giải Dàn cầu K8 ñối xứng về hình học và chịu tải trọng ñối xứng nên ñể giảm số ẩn của bài toán nhưng không làm ảnh hưởng kết quả tính toán, luận án phân tích tính toán cho 1/8 dàn cầu gồm 57 thanh và có 21 nút. Các thanh, các nút của dàn cầu K8 ñược ñánh số hiệu như hình 4.3, hình 4.4 và có thêm các ñiều kiện như sau: - Các thanh 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 có ñộ cứng giảm ñi một nửa so với ñộ cứng trong dàn ban ñầu. Còn các thanh còn lại có ñộ cứng vẫn giữ nguyên ñộ cứng so với dàn ban ñầu. Thiết lập phiếm hàm lượng ràng buộc cho kết cấu Phiếm hàm lượng ràng buộc của dàn (2.38a) có thể ñược viết như sau: 21 EkAk 2 × ( ∆lk ) − ∑ 2Pi .w i → min (0) k =1 l i =1 57 Z=∑ (4.3) k Trong công thức (4.3) khi PTPTHH thì các biến dạng dài tuyệt ñối của các thanh dàn ñược tính theo (2.37). Thiết lập hệ phương trình phi tuyến từ ñiều kiện cực trị của phiếm hàm - Điều kiện biên: u1=v1= v2= v4= v7= v11= v16= v22= u22= v23= u23= 0; v24= u24= v25= u25= v26= u26=0; v27= u27= v28= u28=0; u3= v3; u6= v6; u10= v10; u15= v15; u21= v21; (4.4) Điều kiện cực trị của phiếm hàm lượng ràng buộc Z (4.3) theo các thành phần chuyển vị chưa biết:  j=5  j=8÷9 ∂Z ∂Z ∂Z  = 0 ( i = 2 ÷ 21) ; = 0 ; = 0 ( k = 1 ÷ 21) j = 12 ÷ 14 ∂u i ∂v j ∂ w k   j = 17 ÷ 20 (4.5) Theo ñiều kiện (4.5) thiết lập ñược hệ phương trình gồm 51 phương trình phi tuyến, chứa 51 ẩn số là các thành phần chuyển vị tại các nút dàn. 93 Xác ñịnh các thành phần chuyển vị tại các nút dàn Giải hệ phương trình (4.5) bằng hàm fsolve trong Optimization Toolbox, sẽ tìm ñược 51 ẩn là các thành phần chuyển vị tại các nút dàn. Kết quả các thành phần chuyển vị PTPTHH ñược thể hiện như hình 4.5. Hình 4.5 Chuyển vị tại các nút dàn (cm) Hình 4.6 Nội lực trong các thanh dàn (kN) Nội lực trong các thanh dàn Theo công thức (2.37) và (2.19), sẽ xác ñịnh ñược nội lực trong các thanh dàn. Kết quả nội lực trong các thanh dàn ñược thể hiện như hình 4.6. Kiểm tra cân bằng tại các nút dàn Sau khi xác ñịnh ñược các thành phần chuyển vị tại các nút dàn và nội lực trong các thanh dàn theo PTPTHH, luận án kiểm tra cân bằng tất cả các nút dàn tại thời ñiểm sau khi dàn biến dạng. Xét tại nút bất kỳ có n thanh quy tụ qua nút và có tải trọng P tác dụng, công thức kiểm tra cân bằng nút dàn: n n n  ∑ Fx ; ∑ Fy ; ∑ Fz  =  ∑ N ix + Px ; ∑ N iy + Py ; ∑ N iz + Pz   i =1  i =1 i =1 (4.6) Kết quả kiểm tra cân bằng tại các nút dàn ñược lập thành bảng 6.25 trong phụ lục. Với số liệu kiểm tra cân bằng tại các nút dàn (bảng 6.25 trong phụ lục) cho thấy tất cả các nút dàn ñều cân bằng. Như vậy kết quả tính toán là tin cậy. 94 Hình dạng dàn trước và sau khi biến dạng: Kết quả hình dạng dàn trước và sau khi biến dạng ñược thể hiện như hình 4.7. 4000 3800 3600 (cm) -1000 0 0 1000 -1000 2000 -2000 1000 (cm) Tr−íc biÕn d¹ng Sau biÕn d¹ng Hình 4.7 Hình dạng kết cấu dàn trước và sau biến dạng khi k=1/8 4.1.2 So sánh kết quả tính toán chuyển vị, nội lực giữa PTTT và PTPTHH Để xác ñịnh nội lực trong các thanh và các thành phần chuyển vị tại các nút dàn khi PTTT, luận án tính toán dựa trên phương pháp nguyên lý cực trị Gauss. Kết quả tính toán ñược kiểm tra ñiều kiện cân bằng nút và thấy tất cả các nút ñều thỏa mãn ñiều kiện cân bằng. Kết quả (các thành phần chuyển vị tại nút dàn và nội lực trong các thanh dàn) PTTT ñược so sánh với kết quả PTPTHH ñược thể hiện như hình 4.8, hình 4.9, hình 4.10 và hình 4.11. Kết quả phân tích chuyển vị tại các nút dàn K8 (hình 4.8), (hình 4.9) và (hình 4.10) cho thấy: - Các thành phần chuyển vị tại các nút dàn giữa hai cách phân tích không có sự thay ñổi về dấu. - Chuyển vị lớn nhất tại các nút dàn theo phương trục x khi PTTT là 2,992(cm), khi PTPTHH là 2,948(cm) và PTCL giữa hai cách phân tích là: 28,596%. - Chuyển vị lớn nhất tại các nút dàn theo phương trục y khi PTTT là 1,621(cm), khi PTPTHH là 1,362(cm) và PTCL giữa hai cách phân tích là: 15,986%. 95 - Chuyển vị lớn nhất tại các nút dàn theo phương trục z khi PTTT là 5,040(cm), khi PTPTHH là 7,444(cm) và PTCL giữa hai cách phân tích là: 47,713%. 0.25 0.00 -0.50 ChuyÓn vÞ theo ph−¬ng y (cm) ChuyÓn vÞ theo ph−¬ng x (cm) -0.25 -0.75 -1.00 -1.25 -1.50 -1.75 -2.00 Ph©n tÝch phi tuyÕn h×nh häc Ph©n tÝch tuyÕn tÝnh -2.25 -2.50 -2.75 -3.00 -3.25 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 0.2 0.1 0.0 -0.1 -0.2 -0.3 -0.4 -0.5 -0.6 -0.7 -0.8 -0.9 -1.0 -1.1 -1.2 -1.3 -1.4 -1.5 -1.6 -1.7 -1.8 22 Ph©n tÝch phi tuyÕn h×nh häc Ph©n tÝch tuyÕn tÝnh 0 2 4 6 8 10 Sè hiÖu nót 12 14 16 18 20 22 Sè hiÖu nót Hình 4.8 Chuyển vị của nút dàn theo phương x Hình 4.9 Chuyển vị của nút dàn theo phương y 4 3 1 -50 0 -1 Néi lùc trong thanh (kN) ChuyÓn vÞ theo ph−¬ng z (cm) 0 Ph©n tÝch phi tuyÕn h×nh häc Ph©n tÝch tuyÕn tÝnh 2 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 Sè hiÖu nót Hình 4.10 Chuyển vị của nút dàn theo phương z -100 -150 -200 -250 -300 22 -350 Ph©n tÝch phi tuyÕn h×nh häc Ph©n tÝch tuyÕn tÝnh -400 0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48 52 56 60 Thanh Hình 4.11 Biểu ñồ so sánh nội lực Kết quả phân tích nội lực (hình 4.11) cho thấy: - Nội lực lớn nhất trong các thanh sườn khi PTPTHH là 143,669(kN), khi PTTT là 107,038(kN) và PTCL giữa hai cách phân tích là 34,223%. - Nội lực lớn nhất trong các thanh vành khi PTPTHH là 358,963(kN), khi PTTT là 261,426(kN) và PTCL giữa hai cách phân tích là 37,310%. - Nội lực lớn nhất trong các thanh xiên khi PTPTHH là 211,461(kN), khi PTTT là 182,501(kN) và PTCL giữa hai cách phân tích là 15,868%. 96 4.1.3. Ảnh hưởng ñộ thoải của dàn cầu không gian K8 ñến PTCL chuyển vị, nội lực giữa PTTT và PTPTHH Để nghiên cứu ảnh hưởng ñộ thoải của dàn K8 ñến chênh lệch kết quả giữa PTTT và PTPTHH, luận án phân tích tính toán cho dàn K8 như ở trong (mục 4.1.1) nhưng với các giá trị ñộ thoải: k=1/3, k=1/5 và k=1/7. Kết quả PTCL chuyển vị, nội lực giữa PTTT và PTPTHH ñược thể hiện như trong 0.2 0.4 Thµnh phÇn chuyÓn vÞ theo ph−¬ng y (cm) Thµnh phÇn chuyÓn vÞ theo ph−¬ng x (cm) hình 4.12, hình 4.13, hình 4.14 và bảng 4.1. 0.0 -0.4 -0.8 -1.2 PTPTHH (k=1/3) PTTT (k=1/3) PTPTHH (k=1/5) PTTT (k=1/5) PTPTHH (k=1/7) PTTT (k=1/7) -1.6 -2.0 -2.4 -2.8 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 0.0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 PTPTHH (k=1/3) PTTT (k=1/3) PTPTHH (k=1/5) PTTT (k=1/5) PTPTHH (k=1/7) PTTT (k=1/7) -1.0 -1.2 -1.4 -1.6 22 0 2 4 6 8 Sè hiÖu nót Hình 4.12 Biểu ñồ chuyển vị theo phương x 10 12 14 16 18 20 22 Sè hiÖu nót Hình 4.13 Biểu ñồ chuyển vị theo phương y Kết quả phân tích (hình 4.12, hình 4.13 và hình 4.14) cho thấy: - Khi ñộ thoải của dàn càng giảm thì ñộ chênh lệch chuyển vị giữa PTTT và PTPTHH của các nút theo các phương tăng lên. Ứng với các giá trị k khác nhau thì ñộ chênh lệch Thµnh phÇn chuyÓn vÞ theo ph−¬ng z (cm) 2.5 PTPTHH (k=1/3) PTTT (k=1/3) PTPTHH (k=1/5) PTTT (k=1/5) PTPTHH (k=1/7) PTTT (k=1/7) 2.0 1.5 1.0 0.5 0.0 -0.5 -1.0 -1.5 -2.0 -2.5 -3.0 -3.5 -4.0 -4.5 -5.0 -5.5 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 Sè hiÖu nót chuyển vị lớn nhất xuất hiện tại các Hình 4.14 Biểu ñồ chuyển vị theo phương z nút khác nhau. - PTCL giữa chuyển vị lớn nhất theo phương x PTTT và chuyển vị lớn nhất theo phương x PTPTHH: khi k=1/3 là 3,816%, khi k=1/5 là 16,515% và khi k=1/7 là 35,636%. 97 - PTCL giữa chuyển vị lớn nhất theo phương y PTTT và chuyển vị lớn nhất theo phương y PTPTHH: khi k=1/3 là 0,336%, khi k=1/5 là 16,515% và khi k=1/7 là 19,072%. - PTCL giữa chuyển vị lớn nhất theo phương z PTTT và chuyển vị lớn nhất theo phương z PTPTHH: khi k=1/3 là 1,042%, khi k=1/5 là 5,394% và khi k=1/7 là 46,829%. Bảng 4.1 Kết quả PTCL nội lực trong các thanh giữa PTTT và PTPTHH của dàn cầu Kiewitt 8 ứng với các giá trị k=f/l khác nhau k=1/3 k=1/5 k=1/7 Than Phần trăm Nội lực Phần trăm Nội lực Phần trăm Nội lực h chênh lệch PTPTHH chênh PTPTHH chênh lệch PTPTHH (%) (kN) (kN) (kN) lệch (%) (%) 1,24786 -33,64284 5,42608 -49,74284 15,67478 -60,62204 1 1,24786 -33,64284 5,42608 -49,74284 15,67478 -60,62204 2 0,80489 -42,60442 5,33432 -62,35901 18,22659 -73,46080 3 0,80489 -42,60442 5,33432 -62,35901 18,22659 -73,46080 4 0,20074 -45,95732 2,22074 -67,89561 42,67844 -53,95908 5 0,20074 -45,95732 2,220734 -67,89561 42,67844 -53,95908 6 0,11740 -48,46394 0,247383 -70,52828 10,29268 -104,48202 7 0,11740 -48,46394 0,247383 -70,52828 10,29268 -104,48202 8 0,65513 -48,35640 7,184811 -70,73479 29,63129 -60,72789 9 0,65513 -48,35640 7,184811 -70,73479 29,63129 -60,72789 10 0,48631 -31,20187 3,38433 -36,55118 31,37767 -28,81552 11 0,48631 -31,20187 3,38433 -36,55118 31,37767 -28,81552 12 0,86207 -99,04012 2,66562 -160,96975 8,14442 -234,32029 13 0,50664 -90,21732 1,12811 -159,4557 7,98224 -206,24356 14 0,50664 -90,21732 1,12811 -159,4557 7,98224 -206,24356 15 0,72658 -69,97929 1,21184 -152,50137 11,60344 -251,33794 16 0,61120 -60,33310 0,93048 -136,83363 16,37501 -237,74271 17 0,72658 -69,97929 1,21184 -152,50137 11,60344 -251,33794 18 1,83755 -34,66271 1,68577 -135,17177 11,83184 -190,86131 19 3,04484 -21,35520 2,26778 -113,31190 4,21747 -177,44233 20 3,04484 -21,35520 2,26778 -113,31190 4,21747 -177,44233 21 1,83755 -34,66271 1,68577 -135,17177 11,83184 -190,86131 22 98 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 9,93021 4,67673 4,11639 4,67673 9,93021 0,75812 0,75812 0,96491 0,64438 0,64438 0,96491 0,80001 0,04323 0,41181 0,41181 0,04323 0,80001 1,41332 0,36561 0,01536 0,48829 0,48829 0,01536 0,36561 1,41332 0,28811 0,00921 0,23557 0,22307 0,02458 0,02458 17,40092 6,01386 -114,56265 39,61181 2,90959 -74,39094 46,12503 2,22836 -63,35297 39,61181 2,90959 -74,39094 17,40092 6,01386 -114,56265 -43,09077 4,62775 -68,63213 -43,09077 4,62775 -68,63213 -26,60573 5,46638 -38,70143 -69,10890 3,39357 -107,34728 -69,10890 3,39357 -107,34728 -26,60573 5,46638 -38,70143 -20,34833 5,13879 -29,82247 -53,17082 1,50121 -78,50612 -81,90787 2,52783 -123,00775 -81,90787 2,52783 -123,00775 -53,17082 1,50121 -78,50612 -20,34833 5,13879 -29,82247 -20,34233 18,65974 -26,59033 -49,42659 2,59790 -72,90950 -69,23519 0,95493 -99,20297 -87,97194 3,08025 -126,53188 -87,97194 3,08025 -126,53188 -69,23519 0,95493 -99,20297 -49,42659 2,59790 -72,90950 -20,34233 18,65974 -26,59033 -39,21582 7,84878 -66,25961 -65,33611 0,99803 -97,00859 -72,12852 0,75478 -102,62900 -76,50555 1,75110 -104,06303 -78,00799 1,78196 -101,12336 -78,00799 1,78196 -101,12336 0,22307 0,23557 0,00921 0,28811 -76,50555 -72,12852 -65,33611 -39,21582 1,75110 -104,06303 0,75478 -102,62900 0,99803 -97,00859 7,84878 -66,25961 33,29861 33,31531 6,09515 33,31531 33,29861 17,81405 17,81405 47,75861 8,96739 8,96739 47,75861 141,20238 16,71711 17,91094 17,91094 16,71711 141,20238 92,37250 84,55058 12,95038 29,31116 29,31116 12,95038 84,55058 92,37250 11,64040 52,33377 16,31491 27,92503 25,44072 25,44072 -270,58496 -203,79552 -146,95025 -203,79552 -270,58496 -105,40600 -105,40600 -82,38109 -153,57031 -153,57031 -82,38109 17,72510 -126,07480 -190,16090 -190,16090 -126,07480 17,72510 -87,46230 -15,76618 -151,53001 -209,65151 -209,65151 -151,53001 -15,76618 -87,46230 -75,64663 -198,51017 -115,93546 -100,62956 -166,54270 -166,54270 27,92503 16,31491 52,33377 11,64040 -100,62956 -115,93546 -198,51017 -75,64663 99 Kết quả phân tích nội lực trong các thanh dàn (bảng 4.1) giữa PTTT và PTPTHH cho thấy: - PTCL giữa nội lực lớn nhất trong các thanh sườn theo PTTT và nội lực lớn nhất trong các thanh sườn theo PTPTHH: khi k=1/3 là 0,117%; khi k=1/5 là 0,047% và khi k=1/7 là 10,293% . - PTCL giữa nội lực lớn nhất trong các thanh vành theo PTTT và nội lực lớn nhất trong các thanh vành theo PTPTHH: khi k=1/3 là 0,862%; khi k=1/5 là 2,088% và khi k=1/7 là 20,150% . - PTCL giữa nội lực lớn nhất trong các thanh xiên theo PTTT và nội lực lớn nhất trong các thanh xiên theo PTPTHH: khi k=1/3 là 0,488%; khi k=1/5 là 3,080% và khi k=1/7 là 29,311% . 4.2 Phân tích phi tuyến hình học kết cấu dàn vòm không gian một lớp Hình 4.15 Kết cấu dàn vòm không gian một lớp Kết cấu dàn vòm không gian một lớp (hình 4.15) là hệ kết cấu nhẹ, có ñộ cứng tốt và thường ñược sử dụng làm kết cấu mái trong các công trình có kích khẩu ñộ nhỏ (thường B[...]... trc v sau khi bin dng Chuyn v theo phng trc x Chuyn v theo phng trc y Dn vũm phng tnh ủnh trong, siờu tnh ngoi Hỡnh dng dn trc v sau khi bin dng Chuyn v theo phng trc x Chuyn v theo phng trc y Dn vũm phng siờu tnh trong, tnh ủnh ngoi 54 57 61 61 64 65 69 69 72 Hỡnh 3.11 Hỡnh dng dn trc v sau khi bin dng 73 Hinh 3.12 Hỡnh 3.13 Hỡnh 3.14 Chuyn v theo phng trc x Chuyn v theo phng trc y Dn vũm phng siờu... 104 Hỡnh 4.21 Hỡnh dng kt cu dn trc v sau bin dng khi k=1/3 Chuyn v ca nỳt dn theo phng x 105 Hỡnh 4.22 Chuyn v ca nỳt dn theo phng y 105 Hỡnh 4.23 Chuyn v ca nỳt dn theo phng z 105 Hỡnh 4.24 Ni lc trong cỏc thanh dn 105 Hỡnh 4.25 Biu ủ chuyn v theo phng x 108 Hỡnh 4.26 Biu ủ chuyn v theo phng y 108 Hỡnh 4.27 Biu ủ chuyn v theo phng z 108 Hỡnh 5.1 Thanh ủu hai ủu khp chu nộn ủỳng tõm 112 Hỡnh 5.2 Phn... m qua ủim ủú cú th cú hai hoc nhiu ủng cõn bng (hỡnh 1.6b) - im ti hn (Critical point) l ủim cú ủc ủim ủc bit v toỏn hc m ti ủú quan h gia ti trng v bin dng l khụng duy nht 11 Tải trọng Tải trọng (a) Điểm cực trị (b) Điểm phân nhánh 1 2 Chuyển vị Chuyển vị O O Hỡnh 1.6 ng cõn bng trc v sau khi mt n ủnh Núi ủn n ủnh ca c h l núi ủn n ủnh ca trng thỏi cõn bng, m trng thỏi cõn bng l nghim ca phng trỡnh... v theo phng trc x Chuyn v theo phng trc y Mt s dng kt cu dn cu khụng gian 85 85 90 Hỡnh 4.2 Dn cu khụng gian K8 91 Hỡnh 4.3 S hiu nỳt ca dn K8 91 Hỡnh 4.4 S hiu thanh cho dn K8 91 Hỡnh 4.5 Chuyn v ti cỏc nỳt dn (cm) 93 X Hỡnh 4.6 Ni lc trong cỏc thanh dn (kN) 93 Hỡnh 4.7 94 Hỡnh 4.8 Hỡnh dng kt cu dn trc v sau bin dng khi k=1/8 Chuyn v ca cỏc nỳt dn theo phng x 95 Hỡnh 4.9 Chuyn v ca cỏc nỳt dn theo. .. khi k=1/8 Chuyn v ca cỏc nỳt dn theo phng x 95 Hỡnh 4.9 Chuyn v ca cỏc nỳt dn theo phng y 95 Hỡnh 4.10 Chuyn v ca cỏc nỳt dn theo phng z 95 Hỡnh 4.11 Biu ủ so sỏnh ni lc 95 Hỡnh 4.12 Biu ủ chuyn v theo phng x 96 Hỡnh 4.13 Biu ủ chuyn v theo phng y 96 Hỡnh 4.14 Biu ủ chuyn v theo phng z 96 Hỡnh 4.15 Kt cu dn vũm khụng gian mt lp 99 Hỡnh 4.16 Mt s dng kt cu dn vũm khụng gian mt lp 100 Hỡnh 4.17 Kt cu... ca thanh trc bin dng lij(s) Chiu di ca thanh sau bin dng M Mụ men N Lc dc trong thanh P Ti trng tỏc dng Pth Ti trng ti hn Q Lc ct r Bỏn kớnh cong ca dn u Thnh phn chuyn v theo phng x v Thnh phn chuyn v theo phng y w Thnh phn chuyn v theo phng z y0 Chuyn v cng bc Z Lng rng buc H s tp trung ng sut tip lij Bin dng di tuyt ủi ca thanh { } Vộc t chuyn v nỳt ng sut Bin dng di t ủi Tha s Largrage Bin dng... khuyờn d ng kớnh trong ca mt ct hỡnh vnh khuyờn E Mụ ủun ủn hi ca vt liu EA cng kộo (nộn) ca thanh EI cng chng un ca thanh f vng ca dn vũm F F F x y z Tng hỡnh chiu sai s theo phng x Tng hỡnh chiu sai s theo phng y Tng hỡnh chiu sai s theo phng z G Mụ ủun ủn hi trt g Hm rng buc h Chiu cao dn I Ma trn ủn v k thoi ca dn [K] Ma trn ủ cng kt cu l Nhp dn, chiu di ca dn vũm khụng gian L Phim hm m rng ( lij... phõn tớch phi tuyn kt cu dn hin nay thng s dng phng phỏp phn t hu hn vi cỏc phn t phi tuyn v bin dng di t ủi ca cỏc thanh thng ủc tớnh vi gi thuyt bin dng bộ theo cụng thc (1.1) [10], hoc cú th xõy dng theo hai cỏch khỏc l: cỏch th nht l xõy dng theo v trớ nỳt da trờn nguyờn lý cụng o; cỏch th hai phõn tớch bin dng ca kt cu dn ra lm hai thnh phn l bin dng th tớch tng ủi v bin dng quay cng xung quanh... Ngoi ra, do cỏch tớnh ủn gin ca dn nờn cú th dựng s ủ dn o ủ mụ t tớnh toỏn trong kt cu dm v bn bờ tụng (trng thỏi cú vt nt): Khi tớnh toỏn thit k cỏc vựng liờn tc theo trng thỏi gii hn ủ bn v ủ thit k cu to chi tit cho cỏc vựng khụng liờn tc theo trng thỏi gii hn ủ bn, kim tra trng thỏi gii hn s dng Mụ hỡnh dn o bao gm cỏc thanh chộo ủi din cho trng ng sut nộn, cỏc thanh ging ủi din cho ct thộp v cỏc... trng hp ủo hm bc bn vi tm Kirchhoff-Love c bit trong bi toỏn ti u hỡnh dng kt cu, trỏnh ủc s chia li li sau khi ti u ủc hỡnh dng kt cu Trong phng phỏp khụng li, s ri rc húa theo tp hp cỏc nỳt v tng tỏc gia cỏc nỳt cú th thay ủi theo thi gian v khụng gian Do ủú cỏc mụ hỡnh phỏt trin vt nt, bin dng t do v ủng cong tr lờn ủn gin [43] Nh vy, phng phỏp phn t hu hn l phng phỏp thng da trờn phng phỏp chuyn ... ủim ủc bit v toỏn hc m ti ủú quan h gia ti trng v bin dng l khụng nht 11 Tải trọng Tải trọng (a) Điểm cực trị (b) Điểm phân nhánh Chuyển vị Chuyển vị O O Hỡnh 1.6 ng cõn bng trc v sau mt n ủnh... trc v sau bin dng Chuyn v theo phng trc x Chuyn v theo phng trc y Dn vũm phng tnh ủnh trong, siờu tnh ngoi Hỡnh dng dn trc v sau bin dng Chuyn v theo phng trc x Chuyn v theo phng trc y Dn vũm phng... theo phng trc x Chuyn v theo phng trc y Dn vũm phng siờu tnh v siờu tnh ngoi 77 77 80 Hỡnh 3.15 Hỡnh dng dn trc v sau bin dng 81 Hinh 3.16 Hỡnh 3.17 Hỡnh 4.1 Chuyn v theo phng trc x Chuyn v theo