CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC Độ radian: ( 180 ) = π (rad ) ; 10 = π  180  (rad); 1(rad ) =  ÷ 180  π  Các hệ thức bản: * tan α = sin α cosα ( cosα ≠ ) ; * cot α = cosα sin α ( sin α ≠ ) cos2 α   π  α ≠ + kπ , k ∈ Z ÷     kπ , k ∈ Z ÷ * tan α cot α =  α ≠   * + tan α = * sin α + cos2 α = 1, ∀α ; (α ≠ kπ , k ∈ Z) sin α Các hệ cần nhớ: * + cot α = sin(α + k 2π ) = sin α ; tan(α + kπ ) = tan α ; cos(α + k 2π ) = cosα cot(α + kπ ) = cot α π + kπ , k ∈ Z cot α xác định α ≠ kπ , k ∈ Z −1 ≤ sin α ≤ −1 ≤ cosα ≤ tan α xác định α ≠ * sin x + cos4 x = − sin 2 x Dấu giá trị lượng giác: Góc phần tư GTLG sinα cosα tanα cotα Các cung liên kết: * sin x + cos6 x = − sin 2 x I II III IV + + + + + – – – – – + + – + – – a Cung đối: α −α cos(−α ) = cos α ; tan(−α ) = − tan α ; sin(−α ) = − sin α cot(−α ) = − cot α b Cung bù: α π − α sin(π − α ) = sin α ; tan(π − α ) = − tan α ; cos(π − α ) = − cos α cot(π − α ) = − cot α π c Cung phụ: α − α π  sin  − α ÷ = cosα ; 2  π  tan  − α ÷ = cot α ; 2  π  cos  − α ÷ = sin α 2  π  cot  − α ÷ = tan α 2   GIÁO KHOA & PP GIẢI TOÁN 11 d Cung π : α π + α tan(π + α ) = tan α ; sin(π + α ) = − sin α ; e Cung cot(π + α ) = cot α cos(π + α ) = − cosα π α π : + α 2 π  sin  + α ÷ = cosα ; 2  π  tan  + α ÷ = − cot α ; 2  π  cos  + α ÷ = − sin α 2  π  cot  + α ÷ = − tan α 2  Các công thức biến đổi: a Cơng thức cộng: • sin(a ± b) = sina cosb ± cosa sinb cos(a ± b) = cosa cosb m sina sinb • • tan(a ± b) = tan a ± tan b mtan a tan b • cot(a ± b) = mtan a tan b tan a ± tan b b Công thức nhân đôi: * Cơng thức tính theo t = tan • • sin2a = sina.cosa cos2a = cos2a – sin2a = 2cos2a – = – 2sin2a • tan2a = cot2a = cot a − cot a x tan x = c Công thức hạ bậc: cos2a = tan a ; − tan a + cos2a ; 2t 2t − t2 ;sin x = ;cos x = − t2 + t2 + t2 sin2a = − cos2a ; tan2a = − cos2a + cos2a Lưu ý: x d Công thức biến đổi tích tổng: * + cos x = cos2 * − cos x = 2sin x [sin(a + b) + sin(a − b)] cosa.cosb = [cos(a + b) + cos(a − b)] sina.sinb = − [cos(a + b) − cos(a − b)] sina.cosb = e Công thức biến đổi tổng tích:  GV: NGUYỄN THANH NHÀN 2 : 0987. 503.911  GIÁO KHOA & PP GIẢI TỐN 11 • sinA + sinB = 2sin A+B A−B cos 2 • sinA – sinB= 2cos A+B A−B sin 2 • cosA + cosB = 2cos A+B A−B cos 2 • cosA – cosB = –2sin A+B A−B sin 2 • tanα ± tanβ = sin(α ± β )   π α ; β ≠ + kπ , k ∈ Z ÷  cos α cos β   Chú ý:   π π * sin x + cos x = sin  x + ÷ = cos  x − ÷ 4 4     π π * sin x − cos x = sin  x − ÷ = − cos  x + ÷ 4 4   f Giá trị lượng giác cung đặc biệt: 00 Góc sin cos tan cot || 300 π 450 π 600 π 900 π 1200 2π 1350 3π 2 3 2 2 – 2 – 2 || − − 3 1 3 1500 5π – 1800 π −1 −1 – −1 – 3 ||  HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Các hàm số lượng giác: y = cos x y = sin x - TXĐ: D= ¡ - Là hàm số lẻ - Hàm tuần hồn với chu kì 2π - Tập giá trị: T =  −1;1 - Hàm số đồng biến  π  π  − + k 2π ; + k 2π ÷   - Hàm số nghịch biến π  3π + k 2π ÷  + k 2π ; 2  - TXĐ: D= ¡ - Là hàm số chẳn - Hàm tuần hồn với chu kì 2π - Tập giá trị: T =  −1;1 - Hàm số đồng biến ( −π + k 2π ; k 2π ) - Hàm số nghịch biến ( k 2π ;π + k 2π ) y = tan x  GV: NGUYỄN THANH NHÀN y = cot x 3 : 0987. 503.911  GIÁO KHOA & PP GIẢI TOÁN 11 π  - TXĐ: D= ¡ \  + kπ  2  - Là hàm số lẻ - Hàm tuần hoàn với chu kì π - Tập giá trị: T = ¡ - Hàm số đồng biến  π  π  − + kπ ; + kπ ÷   - Có đường tiệm cận x = π  - TXĐ: D= ¡ \  + kπ  2  - Là hàm số lẻ - Hàm tuần hồn với chu kì π - Tập giá trị: T = ¡ - Hàm số nghịch biến ( kπ ;π + kπ ) π + kπ - Có đường tiệm cận x = kπ Tập xác định hàm số: a) y = P( x) Q( x) xác định Q ( x ) ≠ b) y = P ( x ) xác định P ( x ) ≥ c) y = P( x) Q( x) xác định Q ( x ) > d) y = sin f ( x ) ; y = cos f ( x ) xác định f ( x ) xác định π + kπ f) y = cot f ( x ) xác định f ( x ) ≠ kπ Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn hàm số: e) y = tan f ( x ) xác định f ( x ) ≠ a) Áp dụng tính chất bất đẳng thức, với x ta có: −1 ≤ sin x ≤ 1; − ≤ cos x ≤ 1; ≤ sin x ≤ 1; ≤ cos2 x ≤ b) Giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn hàm số y = a sin x + b cos x + c ∀x ∈ ¡ ta có − a2 + b ≤ ainx + b cos x ≤ a + b ⇔ c − a + b2 ≤ a sin x + b cos x + c ≤ c + a + b Xét tính chẵn, lẻ hàm số: Cho hàm số y = f(x) xác định D ∀x ∈ D ⇒ − x ∈ D * Hàm số y = f(x) gọi hàm số chẵn   f (− x ) = f ( x ) ∀x ∈ D ⇒ − x ∈ D * Hàm số y = f(x) gọi hàm số lẻ   f (− x ) = − f ( x )  PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Phương trình lượng giác bản: a) Phương trình sin x = m * Điều kiện có nghiệm: m ≤ * Tìm góc a cho sin a = m (sử dụng MTCT: a = sin −1 m ) Ta được: sin x = sin a áp dụng công thức: u = v + k 2π sin u = sin v ⇔  u = π − v + k 2π ( k ∈ Z) u = v + k 3600 Hay phương trình có cho độ  0 u = 180 − v + k 360 * Trường hợp đặc biệt:  GV: NGUYỄN THANH NHÀN 4 : 0987. 503.911  GIÁO KHOA & PP GIẢI TOÁN 11 osin u = ⇔ u = kπ π osin u = ⇔ u = + k 2π π osin u = −1 ⇔ u = − + k 2π * Nếu giá trị đặc biệt sử dụng công thức:  u = arcsin m + k 2π  π π sin u = m ⇔   − ≤ arcsin m ≤ ÷ 2  u = π − arcsin m + k 2π  π   π * − sin u = sin ( −u ) ; cos u = sin  − u ÷; − cos u = sin  u − ÷ 2 2   b) Phương trình cos x = m * Điều kiện có nghiệm: m ≤ * Tìm góc a cho cos a = m (sử dụng MTCT: a = cos−1 m ) Ta được: cos x = cos a áp dụng công thức:  u = v + k 2π cos u = cos v ⇔  ( k ∈ Z)  u = −v + k 2π u = v + k 3600 Hay phương trình có cho độ  u = − v + k 360 * Trường hợp đặc biệt: π ocos u = ⇔ u = + kπ ocos u = ⇔ u = k 2π ocos u = −1 ⇔ u = π + k 2π * Nếu giá trị đặc biệt sử dụng cơng thức: u = arccos m + k 2π  π π cos u = m ⇔   − ≤ arcsin m ≤ ÷ 2 u = − arccos m + k 2π  π   π * − cos u = cos ( π − u ) ; sin u = cos  − u ÷; − sin u = cos  u + ÷ 2 2     π c) Phương trình tan x = m  x ≠ + kπ ÷   * Tìm góc a cho tan a = m (sử dụng MTCT: a = tan −1 m ) Ta được: tan x = tan a áp dụng công thức tan u = tan v ⇔ u = v + kπ Hay u = v + k180 phương trình có độ * Đặc biệt: otan u = ⇔ u = kπ π otan u = ±1 ⇔ u = ± + kπ * Nếu m khơng phải giá trị đặc biệt sử dụng công thức:  π π tan u = m ⇔ u = arctan m + kπ  − < arctan m < ÷ 2  π  π  * − tan u = tan ( −u ) ; cot u = tan  − u ÷; − cot u = tan  + u ÷ 2  2  d) Phương trình cot x = m ( x ≠ kπ ) −1   * Tìm góc a cho cot a = m (sử dụng MTCT: a = tan  ÷) m Ta được: cot x = cot a áp dụng công thức cot u = cot v ⇔ u = v + kπ Hay u = v + k180 phương trình có độ  GV: NGUYỄN THANH NHÀN 5 : 0987. 503.911  GIÁO KHOA & PP GIẢI TOÁN 11 * Đặc biệt: π + kπ π otan u = ±1 ⇔ u = ± + kπ * Nếu m khơng phải giá trị đặc biệt sử dụng công thức: cot u = m ⇔ u = arccot m + kπ ( < arccot m < π ) ocot u = ⇔ u = π  π  * − cot u = cot ( −u ) ; tan u = cot  − u ÷; − tan u = cot  + u ÷ 2  2  Phương trình bậc hai hàm số lượng giác: Dạng Điều kiện asin x + b sin x + c = Đặt t = sinx a cos x + b cos x + c = t = cosx −1 ≤ t ≤ a tan x + b tan x + c = t = tanx a cot x + b cot x + c = t = cotx 2 −1 ≤ t ≤ π + kπ (k ∈ Z ) x ≠ kπ (k ∈ Z ) x≠ Giải lấy nghiệm t thích hợp sau áp dụng phương trình Chú ý: ocos2 x = cos2 x − = − 2sin x osin x = − cos2 x ocos2 x = − sin x Phương trình bậc sinx cosx: a) Dạng phương trình: a sin x + b cos x = c b) Điều kiện có nghiệm: a + b2 ≥ c2 c) Phương pháp giải: Chia hai phương trình cho a + b Ta phương trình: Đặt cosα = a a2 + b a a +b sin x + b ⇒ sin α = sin x cosα + sin α cos x = a2 + b2 c 2 b a +b cos x = c a + b2 Ta phương trình: ⇔ sin ( x + α ) = a +b (*) phương trình dạng Phương trình đẳng cấp bậc hai sinx cosx c a + b2 (*) 2 a) Dạng: a.sin x + b.sinx.cosx + c.cos x = d   ( 1) b) Phương pháp giải: * Kiểm tra cosx = có thoả mãn hay khơng? π Lưu ý: cosx = ⇔ x = + kπ ⇔ sin x = ⇔ sin x = ± * Khi cos x ≠ , chia hai vế phương trình (1) cho cos2 x ≠ ta được: * Đặt: t = tanx, đưa phương trình bậc hai theo t: (a − d )t + b.t + c − d = Phương trình đối xứng, phản đối xứng: a.tan x + b.tan x + c = d (1 + tan x ) a) Dạng: a.(sinx ± cosx ) + b.sinx.cosx + c = b) Phương pháp giải:  π * Đặt: t = cos x ± sin x = 2.cos  x m ÷; t ≤ 4   GV: NGUYỄN THANH NHÀN 6 : 0987. 503.911  GIÁO KHOA & PP GIẢI TOÁN 11 ⇒ t = ± 2sin x.cos x ⇒ sin x.cos x = ± (t − 1) * Thay vào phương trình cho, ta phương trình bậc hai theo t Giải phương trình tìm t thỏa t ≤ Suy x Chú ý:   π π * cos x + sin x = cos  x − ÷ = sin  x + ÷ 4 4     π π * cos x − sin x = cos  x + ÷ = − sin  x − ÷ 4 4   Phương trình lượng giác khác: Để giải phương trình lượng giác chưa phải dạng quen thuộc ta cần sử dụng phép biến đổi lượng giác để đưa phương trình dạng quen thuộc, phân tích phương trình cho dạng phương trình tích áp dụng tính chất bất đẳng thức để đưa hệ phương trình để giải Các phương pháp giải phương trình lượng giác thường sử dụng: * Biến đổi phương trình cho dạng phương trình biết (đưa cung hàm số lượng giác, ) A = * Biến đổi phương trình cho dạng tích: A.B = ⇔  B = x * Biến đổi phương trình dạng đặt ẩn số phụ (đối xứng, đặt t = tan ,…)  ĐẠI SỐ TỔ HỢP Phép đếm: a) Qui tắc cộng: Giả sử để hoàn thành hành động (H) ta thực qua trường hợp A B C (mỗi trường hợp hồn thành cơng việc) Nếu A có m cách, B có n cách, C có p cách có m + n + p cách để hồn thành (H) b) Qui tắc nhân: Giả sử để hoàn thành hành động (H) ta phải qua nhiều công đoạn (bước) A, B, C liên tiếp Công đoạn A có m cách, cơng đoạn B có n cách, cơng đoạn C có p cách Khi để hồn thành (H) có m.n p cách Hốn vị: a) Hốn vị: Cho tập A có n phần tử, cách thứ tự n phần tử A gọi hoán vị b) Số hoán vị n phần tử: Pn = n! Chú ý: Giai thừa * n! = n ( n − 1) 3.2.1 * Qui ước: 0! = Chỉnh hợp: a) Chỉnh hợp: Cho tập A có n phần tử, thứ tự gồm k phần tử lấy n phần tử A ( k ∈ ¥ ,0 < k ≤ n ) gọi chỉnh hợp chập k n b) Số chỉnh hợp chập k n: n! Ank = = n ( n − 1) ( n − k + 1) ( n − k)! Tổ hợp: a) Tổ hợp: Cho tập A có n phần tử, tập hợp gồm k phần tử A ( k ∈ ¥ ,0 ≤ k ≤ n ) gọi tổ hợp chập k n n! k b) Số tổ hợp chập k n: Cn = k !( n − k ) !  GV: NGUYỄN THANH NHÀN 7 : 0987. 503.911  GIÁO KHOA & PP GIẢI TOÁN 11 Cnk = Cnn − k c) Tính chất: Cn0 = Cnn = Cách phân biệt tổ hợp chỉnh hợp: Cnk + Cnk +1 = Cnk++11 * Chỉnh hợp có tính đến thứ tự k phần tử * Tổ hợp khơng tính đến thứ tự k phần tử  NHỊ THỨC NEWTON Khai triển nhị thức Newton: ( a + b) n = Cn0 a b + Cn1 a n −1b + Cn2 a n −2 b + + Cnk a n −k b k + + Cnn −1ab n −1 + Cnn b n Số hạng tổng quát thứ k+1 khai triển: Tk +1 = Cnk a n −k b k Tam giác Pascal: (cho biết giá trị Cnk ) n\k 1 1 2 3 4 5 10 10 6 15 20 15 k Muốn tìm Cn ta tìm số dịng n, cột k Ví dụ: C6 = 20 (dịng 6, cột 3) Giải phương trình: 6 Để giải phương trình ta cần đặt điều kiện cho ẩn số áp dụng cơng thức hốn vị, tổ hợp, chỉnh hợp đưa phương trình đại số để giải Chú ý lấy nghiệm thỏa mãn điều kiện  XÁC SUẤT Tập hợp Ω tất kết xảy phép thử gọi không gian mẫu n a) Gieo n súc sắc Ω = n b) Gieo n đồng tiền Ω = k c) Lấy k viên bi hộp có n viên bi Ω = Cn k h d) Hộp có m viên bi, hộp có n viên bi Lấy k viên hộp h viên hộp Ω = CmCn Một biến cố A liên quan tới phép thử T Ω A ⊂ Ω Biến cố A xảy kết T thuộc Ω A Mỗi phần tử Ω A gọi kết thuận lợi cho A Hai biến cố A, B gọi xung khắc A, B không đồng thời xảy Hai biến cố A, B gọi độc lập việc xảy hay không xảy biế cố không ảnh hưởng đến xác suất xảy biến cố ΩA Xác suất A P ( A ) = Ω A1 , A2 , , Ak biến cố đơi xung khắc P ( A1 ∪ A2 ∪ ∪ Ak ) = P ( A1 ) + P ( A2 ) + + P ( Ak ) A1 , A2 , , Ak biến cố độc lập P ( A1 A2 Ak ) = P ( A1 ) P ( A2 ) P ( Ak ) ( ) A biến cố đối biến cố A thì: P A = − P ( A ) X biến ngẫu nhiên rời rạc với tập giá trị { x1 , x2 , , xn }  GV: NGUYỄN THANH NHÀN 8 : 0987. 503.911  GIÁO KHOA & PP GIẢI TOÁN 11 n a) Kỳ vọng X E ( X ) = ∑ xi pi với pi = P ( X = xi ) , i = 1,2,3, , n i =1 n n 2 b) Phương sai X V ( X ) = ∑ ( xi − µ ) pi hay V ( X ) = ∑ x pi − µ pi = P ( X = xi ) , i = 1,2, , n i =1 µ = E( X) i =1 c) Độ lệch chuẩn: σ ( X ) = E ( X )  DÃY SỐ Tính đơn điệu dãy số: a) Định nghĩa: Cho dãy số ( un ) ∀n ∈ ¥ * ta có: * un < un +1 dãy số ( un ) dãy số tăng * un > un +1 dãy số ( un ) dãy số giảm * Một dãy tăng (hay giảm) gọi dãy số đơn điệu b) Cách xét tính đơn điệu dãy số: Để xét tính đơn điệu dãy số ta áp dụng tính chất bất đẳng thức để suy trực tiếp Hoặc xét hiệu T = un +1 − un * Nếu T > 0, ∀n ∈ ¥ * ( un ) dãy số tăng * Nếu T < 0, ∀n ∈ ¥ * ( un ) dãy số giảm Nếu un > 0, ∀n ∈ ¥ ta xét un un +1 * un > ( un ) dãy số giảm un +1 * un < ( un ) dãy số tăng un +1 Tính bị chặn dãy số: a) Định nghĩa: Cho dãy số ( un ) ∀n ∈ ¥ * ta có: * ∃M : un ≤ M dãy số ( un ) bị chặn * ∃m : un ≥ m dãy số ( un ) bị chặn * Dãy số vừa bị chặn vừa bị chặn gọi dãy số bị chặn CẤP SỐ CỘNG Định nghĩa: (u ) cấp số cộng ∀n ∈ ¥ * tồn số d cho un +1 = un + d d: công sai un : số hạng tổng quát thứ n Tính chất: n a) Số hạng tổng quát thứ n: un = u1 + ( n − 1) d b) ( un ) cấp số cộng ⇔ un −1 + un +1 = 2un , ∀n > Tổng n số hạng cấp số cộng: Sn = n ( u1 + un ) n  2u1 + ( n − 1) d  =   GV: NGUYỄN THANH NHÀN  9 : 0987. 503.911  GIÁO KHOA & PP GIẢI TOÁN 11 CẤP SỐ NHÂN Định nghĩa: (u ) cấp số nhân ∀n ∈ ¥ * tồn số q cho un +1 = un q q: công bội un : số hạng tổng quát thứ n Tính chất: n a) Số hạng tổng quát: un = u1 q n −1 b) ( un ) cấp số nhân ⇔ un −1 un +1 = un  , ∀n > Tổng n số hạng đầu tiên: * q = Sn = n.u1 * q ≠ Sn = u1 qn − q −1 * CSN lùi vơ hạn CSN có cơng bội q < có tổng S = u1 1− q  GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ Định nghĩa: a) lim un = ⇔ ∀n, un nhỏ số dương cho trước nhỏ tùy ý kể từ số hạng trở b) lim un = L ∈ ¡ ⇔ lim ( un − L ) = c) lim un = +∞ ⇔ ∀n, un lớn số dương cho trước tùy ý kể từ số hạng trở d) lim un = −∞ ⇔ ∀n, un nhỏ số dương cho trước tùy ý kể từ số hạng trở Tính chất: a) lim ( un ± ) = lim un ± lim b) lim ( un ) = lim un lim c) lim ( k un ) = k lim un d) lim un lim un = ( lim ≠ ) lim e) lim un = L ∈ ¡ ⇒ lim un = L ;lim un = L ( L ≥ 0) un <   ⇒ lim un = lim =  Một số giới hạn bản: f) =0 nα  0, q 1  +∞, Cách tìm giới hạn: a) lim ( α * b) lim n = +∞ α ∈ ¥ e) lim n ) =0 a) Đặt thừa số chung n lũy thừa cao tử số mẫu số, sau đơn giản thừa số chung áp dụng tính chất giới hạn để tính b) Khi giới hạn có thức ta nhân chia cho biểu thức liên hợp  GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ u ± lim v ( u ± v ) = lim lim x →a x →a x →a u lim v ( u.v ) = lim lim x →a x →a x →a  GV: NGUYỄN THANH NHÀN  10  : 0987. 503.911  GIÁO KHOA & PP GIẢI TOÁN 11 u  u  lim x →a = lim v ≠ lim  ÷ x →a v v x →a   lim x →a u= lim x →a ( ) lim u ( lim u ≥ ) x →a x →a  g( x ) ≤ f ( x ) ≤ h( x ) ⇒ lim f ( x ) = L  x →a g( x ) = lim h( x ) = L  lim x →a x →a f ( x ) = +∞ ⇒ lim =0 lim x →a x →a f ( x ) Qui tắc tính giới hạn:  lim f ( x ) = ±∞ x →a f ( x ) L ⇒ lim  f ( x ).g( x )  = (±)∞ (tùy theo dấu lim  x→a x →a lim g ( x ) = L  x → a Hàm số liên tục: f ( x ) = f ( a) Hàm số y = f ( x ) liên tục a ⇔ lim x →a Hàm số y = f ( x ) liên tục (a; b) f (a) f (b) < phương trình f ( x ) = có nghiệm (a; b) 10 Giới hạn bên: lim− f ( x ) ⇔ x < a a) lim+ f ( x ) ⇔ x > a; x →a x →a b) Giới hạn vô cực: f (x) f ( x) f ( x) = lim± f (a) ≠ 0, g(a) = Phân tích x → a g( x ) g( x ) ( x − a).g1 ( x ) f (a ) f (x) = M (±∞) Ta có: lim± x → a g(a) g( x ) 11 Một số dạng vô định: a) Dạng vô định f ( x) Phương pháp: Tìm lim mà f (a) = g(a) = x → a g( x ) Phân tích tử số mẫu số thành thừa số có chứa ( x − a) sau đơn giản tử mẫu cho ( x − a) Chú ý: * Phương trình ax + bx + c = có nghiệm x0 Tính M =  c  ax + bx + c = ( x − x0 )  ax − ÷ x0 ÷   * Cũng thực phép chia đa thức cho ( x − x0 ) * Khi giới hạn có thức ta nhân chia cho biểu thức liên hợp ∞ b) Dạng vô định ∞ Phương pháp: Áp dụng công thức x α = +∞ α ∈ ¥ * * xlim * lim α = →+∞ x →±∞ x +∞ n chẵn xn =  * xlim →−∞ −∞ n lẻ * Nếu tính giới hạn dạng hữu tỷ ta đặt nhân tử x lũy thừa cao tử số mẫu số, đơn giản áp dụng công thức Chú ý:  b c  x a + + x → +∞ x x  Nếu a > ax + bx + c =  b c   − x a + x + x x → −∞  ( )  GV: NGUYỄN THANH NHÀN  11  : 0987. 503.911  GIÁO KHOA & PP GIẢI TỐN 11 c) Dạng vơ định ∞ − ∞ 0.∞ ∞ ∞ Phương pháp: Thực phép biến đổi đưa dạng  HÀM SỐ LIÊN TỤC Xét tính liên tục hàm số y = f ( x ) x0 * Tính f ( x0 ) (nếu f ( x0 ) khơng tồn hàm số khơng liên tục) f ( x ) , cần tính giới hạn bên * Tìm xlim → x0 f ( x ) để kết luận * So sánh f ( x0 ) xlim → x0 Tìm m để hàm số y = f ( x ) liên tục điểm Phương pháp: f ( x) * Tính f (a) tìm lim x→a f ( x ) = f (a) Từ điều kiện tìm m, cần tìm giới hạn bên * Hàm số liên tục x = a ⇔ lim x→a Chứng minh phương trình có nghiệm: Phương pháp: * Đặt f ( x ) vế trái phương trình, f ( x ) liên tục D * Tìm hai số a, b ∈ D cho f (a) f (b) < phương trình có nghiệm x ∈ (a; b)   GV: NGUYỄN THANH NHÀN  12  : 0987. 503.911  GIÁO KHOA & PP GIẢI TOÁN 11 ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ Bảng đạo hàm: Hàm số y = f ( x ) (C )' = C: số Hàm số hợp y = f (u), u = g( x ) y x = y / u u/ x / ( x )/ = ( x) / = ( u) x / α / / (u ) α / u = α uα −1 u ' / = − sin x = + tan x cos2 x / ( cot x ) = − sin12 x Các qui tắc tính đạo hàm: ( tan x ) / ( sin u ) ( cos u ) = cos x / u' 1 u'  ÷ =− u u = α xα −1 ( sin x ) ( cos x ) = / 1  ÷ =− x x (x ) / = u '.cos u / = −u '.sin u u' cos2 u / ( cot u ) = sin−u2 'u ( tan u ) = / = Cho hàm số u, v, w có đạo hàm u / , v / , w / Ta có: a) ( u + v − w ) = u / + v / − w / / b) ( u.v ) = u / v + uv / Hệ quả: ( C u ) = C u / (C: số) / / /  u  u / v − uv / c)  ÷ = v2 v d) u = u( x ) có đạo hàm theo x ux/ , y = f (u) có đạo hàm theo u yu/ hàm số y = f [u( x )] có đạo hàm theo x y x/ = yu/ ux/ Đạo hàm cấp cao: * Đạo hàm y / gọi đạo hàm cấp 2, kí hiệu y / / * Đạo hàm y / / gọi đạo hàm cấp 3, kí hiệu y / / / * Đạo hàm đạo hàm cấp ( n − 1) gọi đạo hàm cấp n, kí hiệu y ( n ) Ý nghĩa hình học đạo hàm: - Đạo hàm hàm số y = f ( x ) điểm x0 hệ số góc tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm M0 ( x0 ; y0 ) - Nếu hàm số y = f ( x ) có đạo hàm điểm x0 tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm M0 ( x0 ; y0 ) có phương trình là: y − y0 = f ' ( x ) ( x − x )  TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG CONG Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) hàm số y = f ( x ) : Có dạng sau: Dạng 1: Tiếp tuyến điểm M ( x0 ; y0 ) ∈ ( C ) (với y0 = f ( x0 ) ) Phương trình tiếp tuyến có dạng: y − y0 = f ' ( x ) ( x − x0 )  GV: NGUYỄN THANH NHÀN  13  : 0987. 503.911  GIÁO KHOA & PP GIẢI TỐN 11 Dạng 2: Tiếp tuyến điểm có hồnh độ x = x0 thuộc (C) - Tìm y0 = f ( x0 ) f ' ( x0 ) Viết phương trình tiếp tuyến dạng: y − y0 = f ' ( x0 ) ( x − x0 ) Chú ý: Nếu tốn u cầu viết phương trình tiếp tuyến giao điểm (C) trục tung x0 = Dạng 3: Tiếp tuyến điểm có tung độ y = y0 thuộc (C) - Giải phương trình f ( x ) = y0 tìm x = x0 Tìm f ' ( x0 ) Viết phương trình tiếp tuyến dạng: y − y0 = f ' ( x0 ) ( x − x0 ) Chú ý: Nếu tốn u cầu viết phương trình tiếp tuyến giao điểm (C) trục hồnh y0 = Dạng 4: Tiếp tuyến có hệ số góc k cho trước - Tính y ' = f ' ( x ) Giải phương trình f ' ( x ) = k tìm nghiệm x = x0 - Tính y0 = f ( x0 ) Viết phương trình tiếp tuyến dạng: y − y0 = f ' ( x0 ) ( x − x0 ) Dạng 5: Tiếp tuyến song song với đường thẳng d: y = ax + b - Do tiếp tuyến song song với đường thẳng d nên hệ số góc k tiếp tuyến a (tức ktt = a , viết dạng 4) Dạng 6: Tiếp tuyến vng góc với đường thẳng d: y = ax + b - Do tiếp tuyến vng góc với đường thẳng d nên ktt a = −1 ⇔ ktt = − (viết dạng 4) a y = ax + b ϕ , < ϕ ≤ 90 Dạng 7: Tiếp tuyến tạo với đường thẳng d: góc α , β - Gọi góc hợp tiếp tuyến (d), đường thẳng ( ∆ ) với chiều dương trục hoành Gọi k hệ số - góc tiếp tuyến, ta có: ϕ = α − β suy ra: tan α − tan β k−a = (1) + tan α tan β + ak - Giải phương trình (1) tìm hệ số góc k tiếp tuyến (như dạng 4) tan ϕ = tan α − β = tan ( α − β ) =  GV: NGUYỄN THANH NHÀN  14  : 0987. 503.911  GIÁO KHOA & PP GIẢI TOÁN 11  CÁC PHÉP BIẾN HÌNH TRONG MẶT PHẲNG I Các phép biến hình: r Phép tịnh tiến theo vectơ v : uuuuur ur a) Định nghĩa kí hiệu: Trv ( M ) = M / ⇔ MM / = v ur b) Biểu thức tọa độ: M ( x; y ), M / ( x '; y '), v = (a; b) Ta có: x ' = x + a Tvur ( M ) = M / ⇔  y ' = y + b Phép đối xứng trục d: a) Định nghĩa kí hiệu: Đd ( M ) = M / ⇔ d đường trung trực MM / b) Biểu thức tọa độ: x ' = x * M ( x; y ), M / ( x '; y ') qua phép đối xứng trục Ox:  y ' = −y x ' = −x * M ( x; y ), M / ( x '; y ') qua phép đối xứng trục Oy:  y ' = y Phép đối xứng tâm I: a) Định nghĩa kí hiệu: ĐI ( M ) = M / ⇔ I trung điểm MM / b) Biểu thức tọa độ: M ( x; y ), M / ( x '; y '), I (a; b) Ta có:  x ' = 2a − x ÑI ( M ) = M / ⇔   y ' = 2b − y Phép quay tâm O, góc quay α : Định nghĩa kí hiệu: Q(O ,α ) ( M ) = M / ⇔ (OM , OM / ) = α ( α góc định hướng) Phép vị tự tâm I, tỷ số k: a) Định nghĩa kíuuhiệu: uu r uuu r V( I ,k ) ( M ) = M / ⇔ IM / = kIM b) Biểu thức tọa độ: M ( x; y ), M / ( x '; y '), I (a; b) Ta có:  x '− a = k ( x − a ) V( I ,k ) ( M ) = M / ⇔   y '− b = k ( y − b) Chú ý: F  M  →M/  F →(H / ) ⇒ M / ∈ (H / ) (H )   M ∈ (H )  II Vẽ ảnh hình qua phép biến hình: Vẽ ảnh điểm: uuuuur ur a) Qua phép tịnh tiến: Lấy M / cho MM / = v b) Qua phép Đối xứng trục d: Lấy M / cho d đường trung trực MM / c) Qua phép Đối xứng tâm I: Lấy M / cho I trung điểm MM / / d) Qua phép Vị tự V( I ,k ) : Trên đường thẳng IM lấy M / cho đoạn IM = k OM * M , M / phía I k > * M , M / khác phía I k < Vẽ ảnh tam giác: Lần lượt vẽ ảnh đỉnh Vẽ ảnh đường thẳng d: Trên d lấy hai điểm A, B; vẽ ảnh A / , B / A,B Ảnh d đường thẳng A / B /  GV: NGUYỄN THANH NHÀN  15  : 0987. 503.911  GIÁO KHOA & PP GIẢI TOÁN 11 Vẽ ảnh đường tròn: * Vẽ I / ảnh tâm I qua phép biến hình * Vẽ đường trịn tâm I / có bán kính R (nếu phép tịnh tiến, phép đối xứng trục, đối xứng tâm, phép quay), bán kính k R (nếu phép vị tự) III Tìm phương trình ảnh: Phương pháp: Cho hình (H) có phương trình f ( x; y ) = , viết phương trình (H / ) ảnh (H) qua phép biến hình F có biểu  x ' = u( x ) thức tọa độ   y ' = v( y ) Cách giải: * Gọi M ( x; y ), M / ( x '; y ') = F ( M )  x ' = u( x ) * Khi đó:  tính x theo x’, y theo y’  y ' = v( y ) * M ( x; y ) ∈ (H ) ⇔ f ( x; y ) = thay x,y vừa tìm vào phương trình f ( x; y ) = ta phương trình g( x '; y ') = M / ( x '; y ') ∈ ( H / ) nên phương trình (H / ) g( x '; y ') =  ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG Tìm giao tuyến hai mặt phẳng: a) Cách 1: Để tìm giao tuyến mặt phẳng (P) (Q) ta tìm hai điểm chung phân biệt A,B Giao tuyến đường thẳng AB * A ∈ (P ), A ∈ (Q) ⇒ A điểm chung thứ * B ∈ (P ), B ∈ (Q) ⇒ A điểm chung thứ hai Vậy (P ) ∩ (Q) = AB b) Cách 2: (Khi học xong chương quan hệ song song) * Tìm điểm chung S (P) (Q) ⇒ (P ) ∩ (Q) = Sx * Chứng minh Sx song song với đường thẳng cho trước  A ∈ (d ),(d ) ⊂ ( P) ⇒ A ∈ ( P)   A = (d ) ∩ ( a) ⇒ A ∈ (d ) vaø A ∈ (a) Chú ý:   A = (d ) ∩ ( P) ⇒ A ∈ ( d ) vaø A ∈ ( P ) (d ) = (P ) ∩ (Q) ⇒ (d ) ⊂ (P ) vaø (d ) ⊂ (Q) Tìm giao điểm đường thẳng d mặt phẳng (P): a) Cách 1: * Tìm mặt phẳng phụ (Q) chứa d * Tìm giao tuyến a (P) (Q) * Trong mặt phẳng (Q) tìm M = a ∩ d Suy M = d ∩ (P ) b) Cách 2: Tìm mặt phẳng (P) đường thẳng a mà a ∩ d = M  M ∈ a, M ∈ ( P ) ⇒ ⇒ M = d ∩ (P ) M ∈ d Chứng minh điểm thẳng hàng: Ta chứng minh điểm thuộc mặt phẳng phân biệt  A ∈ (P ), A ∈ (Q)   B ∈ (P ), B ∈ (Q) ⇒ A, B, C thẳng hàng C ∈ (P ), C ∈ (Q)  Tìm thiết diện: Để tìm thiết diện tạo mặt phẳng với khối đa diện ta tìm giao điểm mặt phẳng với cạnh khối đa diện (nếu có) Các giao điểm đỉnh thiết diện Ta tìm đoạn giao tuyến mặt phẳng với mặt đa diện  GV: NGUYỄN THANH NHÀN  16  : 0987. 503.911  GIÁO KHOA & PP GIẢI TOÁN 11  QUAN HỆ SONG SONG I Các định nghĩa: Hai đường thẳng song song: a // b ⇔ a, b nằm mặt phẳng khơng có điểm chung Đường thẳng song song với mặt phẳng: a // (P ) ⇔ a ∩ ( P ) = ∅ Hai mặt phẳng song song: (P ) // (Q) ⇔ (P ) ∩ (Q) = ∅ II Các tính chất:  a Pc ⇒ a Pb   b Pc  a Pc;( P ) ∩ (Q) = b ⇒ a Pb Pc   a ⊂ (P ); c ⊂ (Q) Ba mặt phẳng cắt theo giao tuyến phân biệt giao tuyến song song đồng qui  a Pb; a ⊄ (P ) ⇒ a P(P )  b ⊂ (P )  a P( P ); a ⊂ (Q) ⇒ a Pb  ( P ) ∩ (Q) = b  a P( P ), a P(Q) ⇒ a Pb  ( P ) ∩ (Q) = b  a ⊂ (Q) ⇒ a P( P )  (Q) P( P ) Trong mặt phẳng (P) có hai đường thẳng a, b cắt song song mặt phẳng (Q) (P ) P(Q) ( P ) P( R) ⇒ ( P ) P(Q)  (Q) P( R) (P ) P(Q )  10 (P ) ∩ ( R) = a ⇒ a Pb (Q) ∩ ( R ) = b  III Chứng minh hai đường thẳng song song: Để chứng minh hai đường thẳng a, b song song ta áp dụng phương pháp sau:  a Pc ⇒ a Pb   b Pc  a P( P ), a ⊂ (Q) ⇒ a Pb  ( P ) ∩ (Q) = b  a ⊂ (P ), c ⊂ (Q) ⇒ a Pb   a Pc,( P ) ∩ (Q) = b  a P( P ), a P(Q) ⇒ a Pb  ( P ) ∩ (Q) = b ( P ) P(Q)  ( P ) ∩ ( R) = a ⇒ a Pb (Q) ∩ ( R) = b  Chứng minh ba mặt phẳng cắt theo giao tuyến phân biệt 3giao tuyến khơng đồng qui chúng song song Sử dụng tính chất hình học phẳng: Đường trung bình, định lí Ta lét, tính chất hình bình hành, a ⊥ (P ) ⇒ a Pb Chứng minh  b ⊥ (P )  GV: NGUYỄN THANH NHÀN  17  : 0987. 503.911  GIÁO KHOA & PP GIẢI TOÁN 11 IV Chứng minh đường thẳng song song mặt phẳng:  a Pb ⇒ a P(P )  b ⊂ (P )  a ⊂ (Q) ⇒ a P( P )  (Q) P( P ) a ⊥ b   b ⊥ (P ) ⇒ a P(P ) a ⊄ (P )   a ⊥ (Q)  ( P ) ⊥ (Q) ⇒ a P( P )  a ⊄ (Q)  V Chứng minh hai mặt phẳng song song:  a, b ⊂ (P ), a ∩ b = I ⇒ (P ) P(Q)   a P(Q).b P(Q) ( P ) P( R) ⇒ ( P ) P(Q)  (Q) P( R) ( P ) ⊥ a ⇒ (P ) P(Q)  (Q) ⊥ a VI Chứng minh hai đường thẳng chéo nhau: Chứng minh phương pháp phản chứng: Giả sử a, b không chéo suy a b nằm mặt phẳng Từ điều kiện cho dẫn đến điều trái với giả thiết  QUAN HỆ VNG GĨC I Chứng minh hai đường thẳng vng góc: Sử dụng phương pháp Hình học phẳng: Góc nột tiếp, định lí Pitago a ⊥ b ⇔ góc đường thẳng a, b 90 ur ur a ⊥ b ⇔ a b =  a Pc ⇒a⊥b  b ⊥ c a ⊥ (P ) ⇒a⊥b  b ⊂ (P )  a P( P ) ⇒a⊥b  b ⊥ (P ) Áp dụng định lí đường vng góc: a / hình chiếu a lên (P ) , b ⊂ (P ), a ⊥ b ⇔ b ⊥ a / II Chứng minh đường thẳng vuông góc mặt phẳng:  a ⊥ b, a ⊥ c   b, c ⊂ (P ) ⇒ a ⊥ (P ) b ∩ c = I  (Q) ⊥ ( P )  ⇒ a ⊥ (P) ( R ) ⊥ (P ) (Q) ∩ ( R) = a   GV: NGUYỄN THANH NHÀN  18  : 0987. 503.911  GIÁO KHOA & PP GIẢI TOÁN 11 ( P ) ⊥ (Q)  ( P ) ∩ (Q) = b ⇒ a ⊥ (P )  a ⊂ (Q), a ⊥ b   a Pb ⇒ a ⊥ (P )  b ⊥ (P )  a ⊥ (Q) ⇒ a ⊥ (P)  (Q) P( P ) III Chứng minh hai mặt phẳng vng góc: a ⊥ (P ) ⇒ (P ) ⊥ (Q)   a ⊂ (Q) a ⊥ (P )   b ⊥ (Q) ⇒ (P ) ⊥ (Q) a ⊥ b  Chứng minh góc (P) (Q) 90  GĨC Góc ϕ hai đường thẳng a, b: Từ điểm O tùy ý dựng a / Pa, b / Pb (thường chọn O a b) ϕ góc hai đường thẳng a / b/ Góc ϕ đường thẳng a mặt phẳng (P): * Nếu a vng góc với (P) ϕ = 90 * Nếu a khơng vng góc với (P) ϕ = góc a a / ; a / hình chiếu a lên (P) (Tìm · M = a ∩ (P ) , a lấy điểm A khác M, H hình chiếu A lên (P) ϕ = AMH ) Góc ϕ hai mặt phẳng (P) (Q): a ⊥ (P ) ⇒ ϕ = góc hai đường thẳng a, b a)   b ⊥ (Q) (P ) P(Q) ⇒ ϕ = 00 b)  (P ) ≡ (Q) c) Khi (P ) ∩ (Q) = d , (P) dựng a ⊥ d , (Q) dựng b ⊥ d ϕ = góc hai đường thẳng a, b Chú ý: * Với ϕ góc a b, a (P), (P) (Q) 0 ≤ ϕ ≤ 90 * Cho hình chóp S.ABCD có SH đường cao ta có: · - SAH góc cạnh bên SA với (ABCD) · - M hình chiếu S lên AB ta có MH ⊥ AB nên SMH góc (SAB) (ABCD)  KHOẢNG CÁCH Khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng a: H hình chiếu O lên đường thẳng a d (O, a) = OH Khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (P): H hình chiếu O lên mặt phẳng (P) d (O,( P )) = OH  GV: NGUYỄN THANH NHÀN  19  : 0987. 503.911  GIÁO KHOA & PP GIẢI TOÁN 11 Khoảng cách đường thẳng a mặt phẳng (P) song song nhau:  a P( P ) ⇒ d ( a,(P ) ) = d ( O,( P ) )  O ∈ a Khoảng cách hai mặt phẳng (P), (Q) song song nhau: (P ) P(Q ) ⇒ d ( (P ),(Q) ) = d ( O,(P ) )  O ∈ (Q) Khoảng cách hai đường thẳng chéo nhau: a) Đường vng góc chung: hai đường thẳng a, b đường thẳng c vng góc với a, b cắt a, b hai điểm A, B AB gọi đoạn vng góc chung a, b d ( a, b ) = AB b) Cách dựng: * Dựng (P) chứa b (P) song song a * Dựng a / hình chiếu a lên (P) * Dựng B = b ∩ a / Qua B dựng c vng góc với (P), c cắt a A Chú ý: d ( a, b ) = d ( a,(P ) ) Đặc biệt: Khi a ⊥ b * Qua b dựng (P ) ⊥ a , dựng A = a ∩ (P ) , (P) dựng c qua A c ⊥ b , c cắt b B  HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC Định lí sin: Trong tam giác ABC với BC = a, CA = b, AB = c , ta có: • a = b + c − 2b.c.cos A • b = a + c − 2a.c.cos B • c = a2 + b − 2a.b.cos C Hệ quả: b2 + c2 − a2 a2 + c2 − b2 a2 + b2 − c2 ; cos B = ; cos C = cos A = 2bc 2ac 2ab @ Áp dụng: Tính độ dài đường trung tuyến tam giác Cho tam giác ABC có cạnh BC=a, CA=b, AB=c Gọi ma , mb , mc độ dài đường trung tuyến vẽ từ đỉnh A, B, C tam giác Ta có:  GV: NGUYỄN THANH NHÀN • ma2 = 2(b2 + c2 ) − a2 • mb2 = 2(a2 + c2 ) − b2 • mc2 = 2(a2 + b2 ) − c2  20  : 0987. 503.911  GIÁO KHOA & PP GIẢI TỐN 11 Định lí sin: Trong tam giác ABC với BC=a, CA=b, AB=c R bán kính đường trịn ngoại tiếp, ta có: a b c = = = 2R sin A sin B sin C Cơng thức tính diện tích tam giác: • 1 S = a.ha = b.hb = c.hc 2 1 S = ab sin C = bc sin A = ca sin B 2 abc S= 4R S = pr • S = p( p − a)( p − b)( p − c) (Hê – rơng) • • • với p = a+b+c Các hệ thức lượng tam giác vuông * Các hệ thức lượng giác: AC AB sin B = cos C = cos B = sin C = BC BC AC AB tan B = cot C = cot C = tan C = AB AC * Các hệ thức cạnh, đường cao, hình chiếu: AB.AC = BC AH = 2.S∆ ABC AB + AC = BC (Pi ta go) AB = BH BC AC = CH BC AH = HB.HC  GV: NGUYỄN THANH NHÀN 1 + = 2 AB AC AH MA = MB = MC = R   21  : 0987. 503.911 ... NHÀN 4 : 0987. 503. 911  GIÁO KHOA & PP GIẢI TOÁN 11 osin u = ⇔ u = kπ π osin u = ⇔ u = + k 2π π osin u = −1 ⇔ u = − + k 2π * Nếu khơng phải giá trị đặc biệt sử dụng công thức:  u = arcsin m... cot x = cot a áp dụng công thức cot u = cot v ⇔ u = v + kπ Hay u = v + k180 phương trình có độ  GV: NGUYỄN THANH NHÀN 5 : 0987. 503. 911  GIÁO KHOA & PP GIẢI TOÁN 11 * Đặc biệt: π + kπ π otan... x0 ÷   * Cũng thực phép chia đa thức cho ( x − x0 ) * Khi giới hạn có thức ta nhân chia cho biểu thức liên hợp ∞ b) Dạng vô định ∞ Phương pháp: Áp dụng cơng thức x α = +∞ α ∈ ¥ * * xlim * lim