TRƯỜNG THPT CHUYÊN HOÀNG LÊ KHA SỐ 10 CHUYÊN BÀI GIẢNG TĨM TẮT LÍ THUYẾT & PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỐN 12 GV: Nguyễn Hoàng Khanh  ƠN THI TN VÀ LTĐH 2012 MỤC LỤC MỤC LỤC .4 Chương I ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM Bài 1: SỰ ĐỒNG BIẾN – NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ * Dạng toán: Bài tốn 1: Tìm khoảng đơn điệu hàm số Bài tốn 2: Dùng tính đơn điệu để chứng minh bất đẳng thức .4 Bài 2: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ Bài toán 1: Áp dụng quy tắc tìm cực trị hàm số Bài toán 2: Áp dụng quy tắc tìm cực trị hàm số Bài tốn 4: Tìm điều kiện để hàm số có cực đại cực tiểu Bài tốn 5: Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị Bài 3: GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT – GIÁ TRỊ LỚN NHẤT .8 CỦA HÀM SỐ * Định nghĩa: Bài toán 1: Tìm GTNN, GTLN hàm số khoảng Bài tốn 2: Tìm GTNN, GTLN hàm số liên tục đoạn .8 Bài tốn 3: Tìm m để phương trình có nghiệm D: Xét hàm số D, tìm maxy, miny tìm tập giá trị y từ kết luận m Bài 4: TIỆM CẬN Cách tìm tiệm cận: Các đường tiệm cận đồ thị hàm số : Cho M thuộc (C) Tính tích khoảng cách từ điểm (C) đến tiệm cận: Bài 5: KHẢO SÁT HÀM SỐ 10 Sơ đồ khảo sát: .10 Các dạng đồ thị: 10 * Chú ý: 11 Bài 6: MỘT SỐ BÀI TOÁN 11 LIÊN QUAN ĐẾN HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ 11 Bài toán 3: Phương trình tiếp tuyến – Điều kiện tiếp xúc 12 Bài toán 4: Điều kiện để hàm bậc cắt Ox điểm phân biệt: 13 Đồ thị hàm số (phần nét liền, nét đứt phần xóa) 18 Chương II HÀM SỐ LŨY THỪA, HÀM SỐ MŨ 18 VÀ HÀM SỐ LOGARIT 18 MŨ, LŨY THỪA VÀ LOGARIT 18 Lũy thừa, bậc n: .18 PHƯƠNG TRÌNH MŨ 21 PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT 21 BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ, LƠGARIT 22 Chương III NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG .23 NGUYÊN HÀM 23 TÍCH PHÂN 25 Các dạng (với k>0) 26 Chương IV SỐ PHỨC .29 31 THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN VÀ KHỐI TRÒN XOAY 31 Chương III PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN 32 HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN 32 PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU 35 4eyes1999@gmail.com TRƯỜNG THPT NGƠ GIA TỰ  LÍ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN 12  37 PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG 37 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG .41  46 VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI .46  48 TÌM MỘT SỐ ĐIỂM ĐẶC BIỆT 48 MỘT SỐ KIẾN THỨC CẦN ÔN LẠI .50 TAM THỨC BẬC HAI, PHƯƠNG TRÌNH, 50 BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC .50 CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC 53 VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 53 Phương trình lượng giác bản: 56 Phương trình bậc hai hàm số lượng giác: 58 Phương trình bậc sinx cosx: 58 Phương trình đẳng cấp bậc hai sinx cosx 58 Phương trình đối xứng, phản đối xứng: 58 Phương trình lượng giác khác: .59 HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC 59 ĐẠO HÀM 61 Bảng đạo hàm: 61 Các qui tắc tính đạo hàm: .61 Đạo hàm cấp cao: 61 PHỤ LỤC 63 GV: NGUYỄN THANH NHÀN : 0987.503.911  ÔN THI TN VÀ LTĐH 2012 Chương I ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM Bài 1: SỰ ĐỒNG BIẾN – NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ * Định nghĩa: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục K (khoảng, nửa khoảng, đoạn) - y = f ( x ) đồng biến K ⇔ ∀x1 , x2 ∈ K : x1 < x2 ⇒ f ( x1 ) < f ( x2 ) - y = f ( x ) nghịch biến K ⇔ ∀x1 , x2 ∈ K : x1 < x2 ⇒ f ( x1 ) > f ( x2 ) * Dạng tốn: Bài tốn 1: Tìm khoảng đơn điệu hàm số Tìm miền xác định Tìm đạo hàm, tìm điểm tới hạn Xét dấu đạo hàm Kết luận: a) Nếu f ' ( x ) > với x ∈ ( a; b ) hàm số f ( x ) đồng biến khoảng ( a; b ) b) Nếu f ' ( x ) < với x ∈ ( a; b ) hàm số f ( x ) nghịch biến khoảng ( a; b ) Chú ý: f ' ( x ) = số hữu hạn điểm khoảng ( a; b ) hàm số đồng biến (nghịch biến) khoảng Bài tốn 2: Dùng tính đơn điệu để chứng minh bất đẳng thức Để chứng minh f ( x ) > g ( x ) , ∀x ∈ ( a; b ) ta qua bước sau: Biến đổi: f ( x ) > g ( x ) , ∀x ∈ ( a, b ) ⇔ f ( x ) − g ( x ) > 0, ∀x ∈ ( a, b ) Đặt h ( x ) = f ( x ) − g ( x ) Tính h ' ( x ) lập bảng biến thiên h ( x ) Từ suy kết Bài tốn 3: Tìm điều kiện để hàm số y = f ( x ) luôn tăng (hoặc luôn giảm) miền xác định ax + bx + c - Các hàm số y = ax + bx + cx + d ( a ≠ ) y = ( a ≠ ) luôn tăng (hoặc Ax + B giảm) miền xác định y ' ≥ (hoặc y ' ≤ ) ∀x ∈ D Nếu a có chứa  a >  a < tham số xét thêm trường hợp a=0 (đối với hàm bậc 3) ⇔  (hoặc ⇔  )  ∆ y ' ≤  ∆ y ' ≤ ax + b - Hàm số y = luôn tăng (hoặc luôn giảm) khoảng xác định cx + d y ' > (hoặc y ' < ) ∀x ∈ D  Bài 2: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ 4eyes1999@gmail.com TRƯỜNG THPT NGÔ GIA TỰ  LÍ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỐN 12 Bài tốn 1: Áp dụng quy tắc tìm cực trị hàm số Tìm miền xác định Tìm f ' ( x ) Tìm điểm f ' ( x ) = f ' ( x ) không xác định (gọi chung điểm tới hạn) Sắp xếp điểm theo thứ tự tăng dần lập bảng xét dấu đạo hàm Nêu kết luận cực trị Bảng tóm tắt: Bài tốn 2: Áp dụng quy tắc tìm cực trị hàm số Tính f ' ( x ) Giải phương trình f ' ( x ) = Gọi xi ( i = 1,2, ) nghiệm phương trình Tính f "( x ) f "( xi ) Dựa vào dấu f "( xi ) suy kết luận cực trị điểm xi theo định lí sau: Định lí: Giả sử hàm số y = f ( x ) có đạo hàm cấp hai khoảng ( a; b ) chứa điểm xo f ' ( xo ) = Khi đó: a) Nếu f "( xo ) > xo điểm cực tiểu b) Nếu f "( xo ) < xo điểm cực đại Bài tốn 3: Tìm điều kiện m để hàm số đạt cực trị điểm cho trước Cách 1: Áp dụng định lí Fec-ma: Giả sử y = f ( x ) có đạo hàm điểm x = xo Khi y = f ( x ) đạt cực trị điểm x = xo f ' ( xo ) = Chú ý: Nếu f ' ( xo ) = chưa hàm số đạt cực trị điểm x = xo Do tìm m phải thử lại Cách 2: Dùng đạo hàm cấp Bài toán 4: Tìm điều kiện để hàm số có cực đại cực tiểu ax + bx + c có cực đại cực tiểu Ax + B phương trình y ' = có hai nghiệm phân biệt (khi hiển nhiên y’ đổi dấu hai lần qua nghiệm) Nếu hàm hữu tỉ phải khác nghiệm mẫu Các hàm số y = ax + bx + cx + d y = GV: NGUYỄN THANH NHÀN : 0987.503.911  ƠN THI TN VÀ LTĐH 2012 Bài tốn 5: Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị ax + bx + c ( C) Ax + B - Nếu (C) có hai điểm cực trị Cho hàm số y = - Thì phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị y= ( ax y= ) + bx + c ' ( Ax + B ) ' 2a b x+ A A 2 Cho hàm số y = ax + bx + cx + d ( C ) - Nếu (C) có hai điểm cực trị chia y cho y’ ta y = y ' A ( x ) + α x + β - Thì phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị y = α x + β Bài toán 6: Điều kiện để hàm số đạt cực trị x0 :  y ' ( x0 ) =   y "( x0 ) ≠  y ' ( x0 ) = (hoặc  )  y 'đổi dấu qua x0 Bài tốn 7: Điều kiện để hàm số đạt cực đại x0 :  y ' ( x0 ) =   y "( x0 ) <  y ' ( x0 ) = (hoặc  )  y 'đổi dấu từ +sang − qua x0 Bài toán 8: Điều kiện để hàm số đạt cực tiểu x0 :  y ' ( x0 ) =   y "( x0 ) >  y ' ( x0 ) = (hoặc  )  y 'đổi dấu từ − sang + qua x0 Bài tốn 9: Điều kiện để hàm số đạt CĐ, CT x1 , x2 thỏa Ax1 + Bx2 = C : ∆ y ' >   Ax1 + Bx2 = C   x + x = − b với x1 , x2 nghiệm y ' =  a  c  x1 x2 = a  Bài toán 10: Điều kiện để hàm bậc có CĐ,CT hai giá trị cực trị dấu: ∆  y' > * Điều kiện để hàm bậc có CĐ,CT   a ≠ * Gọi A ( x1 ; y1 ) , B ( x2 ; y2 ) hai điểm cực trị Ta có y ( x1 ) y ( x2 ) > (trường hợp trái dấu ngược lại) Chú ý: Hàm số viết thành: y = P ( x ) y '+ mx + n (lấy hàm số chia cho đạo hàm)  y ( x1 ) = mx1 + n ⇒  y ( x2 ) = mx2 + n Bài toán 11: Điều kiện để hàm số bậc có CĐ,CT nằm hai phía trục tung: 4eyes1999@gmail.com TRƯỜNG THPT NGÔ GIA TỰ hay  LÍ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỐN 12 c Điều kiện để ycbt thỏa mãn y ' = có hai nghiệm trái dấu Khi P = < a ax + bx + c mx + n * Tìm điểm cực trị hàm số (nghiệm phương trình y’=0) đạo hàm TS ax + b = * ycực trị = thay x cực trị vào phân số ta có ycực trị tương ứng, đạo hàm MS m Bài tốn 12: Cách tính nhanh giá trị cực trị hàm hữu tỉ y = cách tính áp dụng cho hàm hữu tỉ Bài toán 13: Tìm m để hàm trùng phương y = ax + bx + c có điểm cực trị lập thành tam giác cân: * TXĐ: D=R * Tính y ' = 4ax + 2bx = x 2ax + b , ( ) x =   x = − b ( a ≠ ) (1)  2a * Ycbt tương đương phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khác b Khi − >0 2a x = y' = ⇔  ⇔  2ax + b = ( α ; β ) ∈ ( C )  Bài toán 14: Điều kiện để hàm số y = f ( x ) ( C ) đạt cực trị β x = α  y ' ( α ) =   y '' ( α ) ≠ Bài toán 15: Hàm trùng phương có điểm cực trị lập thành tam giác Tính diện tích tam giác đó: * Tính y ' , tìm điểm tới hạn, suy điểm cực trị A, B, C * Tính diện tích tam giac ABC theo cơng thức: S = | xy '− x ' y | với uuur  AB = ( x; y )   uuur  AC = ( x '; y ' ) Bài tốn 16: Tìm m để hàm trùng phương có điểm cực trị lập thành tam giác đều: * TXĐ: D=R x = x = ⇔ * Tính y ' = 4ax + 2bx; y ' = ⇔   x = − b ( a ≠ ) (1) 2ax + b =  2a * Điều kiện để ycbt thỏa phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khác Khi đó: − b > ( *) 2a GV: NGUYỄN THANH NHÀN : 0987.503.911  ÔN THI TN VÀ LTĐH 2012  x = ⇒ y = c ( A)   b ⇒ y = ? ( B ) Tìm điểm cực trị * Với điều kiện (*), giải phương trình y ' = ⇔  x = − a   b ⇒ y = ?( C ) x = − − 2a   AB = AC A, B, C Do tam giác ABC nên  , từ tìm m nhận m thỏa  AB = BC điều kiện (*)  Bài 3: GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT – GIÁ TRỊ LỚN NHẤT CỦA HÀM SỐ * Định nghĩa:  f ( x ) ≥ m, ∀x ∈ K y=m⇔ - K ∃x0 ∈ K : m = f ( x0 )  f ( x ) ≤ M , ∀x ∈ K - max y = M ⇔  K ∃x0 ∈ K : M = f ( x0 ) * Dạng toán: Bài toán 1: Tìm GTNN, GTLN hàm số khoảng Để tìm GTNN GTLN hàm số y = f ( x ) khảng ( a; b ) ta lập bảng biến thiên hàm số khoảng ( a; b ) dựa vào mà kết luận Bài tốn 2: Tìm GTNN, GTLN hàm số liên tục đoạn  a; b  Cách 1: Có thể lập bảng biến thiên dựa vào mà kết luận Cách 2: Qua bước: Tìm điểm x1 , x2 , , xn  a; b  mà f ' ( x ) = f ' ( x ) không xác định Tính f ( a ) , f ( b ) , f ( x1 ) , f ( x2 ) , , f ( x n ) f ( x ) , m = f ( x ) Tìm số lớn M nhỏ m số Khi đó: M = max  a;b   a;b  Bài toán 3: Tìm m để phương trình f ( x ) = m có nghiệm D:     Xét hàm số y = f ( x ) D, tìm maxy, miny tìm tập giá trị y từ kết luận m  4eyes1999@gmail.com TRƯỜNG THPT NGƠ GIA TỰ  LÍ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN 12 Bài 4: TIỆM CẬN Cách tìm tiệm cận: y = ±(m)∞ đường thẳng x = x tiệm cận đứng * Nếu xlim → x± y = y0 đường thẳng y = y0 tiệm cận ngang * Nếu xlim →±∞ * Nếu hàm số viết thành y = thương ax + b + Số dư Số dư = (chia đa thức) mà xlim →±∞ Mẫu số Mẫu số đường thẳng y = ax + b tiệm cận xiên * Đường thẳng y = ax + b gọi TCX hàm số  f ( x) a = lim x →±∞ y = f ( x) ⇔  x b = lim ( f ( x ) − ax ) x →±∞   d TCÑ : x = −   ax + b c Các đường tiệm cận đồ thị hàm số y = :  cx + d  TCN : y = a  c Cho M thuộc (C) Tính tích khoảng cách từ điểm (C) đến tiệm cận: ( ) * Gọi M x0 ; f ( x0 ) ∈ ( C ) Tìm TCĐ, TCX (hoặc TCN) * d=d(M,TCĐ).d(M,TCN) số GV: NGUYỄN THANH NHÀN : 0987.503.911  ÔN THI TN VÀ LTĐH 2012 Bài 5: KHẢO SÁT HÀM SỐ Sơ đồ khảo sát: Tập xác định: D = ¡ Sự biến thiên: a) Xét chiều biến thiên hàm số: - Tìm đạo hàm - Tìm điểm mà đạo hàm không xác định - Suy chiều biến thiên hàm số b) Tìm cực trị c) Tìm giới hạn tìm tiệm cận (nếu có) d) Lập bảng biến thiên * Chú ý: Kết luận tính đồng biến, nghịch biến phải trước BBT Dựa vào bảng biến thiên yếu tố xác định để vẽ đồ thị * Chú ý: - Để vẽ đồ thị xác nên tính thêm tọa độ số điểm, đặc biệt cần tìm tọa độ giao điểm đồ thị với trục tọa độ - Cần lưu ý tính chất đối xứng trục, đối xứng tâm Các dạng đồ thị: a) Hàm số bậc ba: y = ax + bx + cx + d ( a ≠ ) a>0 a