Câu 1: Nêu một số ví dụ về PT ĐHR được sinh ra từ vật lí - Sự thay đổi nhiệt lượng trong Ω′ từ → là; Một số ví dụ về PT vật lí – Toán là: ( ). ( ). = ( , = ) ,… , . ( , = 0, = , = , ≥ 0 ( ). ( ). Rõ ràng u = u(x,t0) cho ta quỹ đạo sợi dây tại thởi điểm t0 Xét tại thì điểm t; trên đoạn M1M2 của sợi dây: ( ). = Ω ) ,…, sao cho , < 0 thì (1) là elliptic ) − (sin ( )) ℎ ̉ . + ( ). ( ). (T0 là độ lớn của sức căng của sợi dây) cos( ⃗, ) = + Hay ∫ + = . ( ). = ∫ ⇒ ( ). + ( , ) = ∆ = (8) ⇒ PT (1) đgl PT dao động của sợi dây Trong trường hợp sợi dây đồng chất PT trên có dạng: + ( , ) = Câu 3: Phân loại phương trình ĐHR t2 cấp hai từ đó chỉ ra rằng loại của PT không đổi qua phép đổi biến không suy biến Cho PT ĐHR t2 cấp hai PT (2) có VSN. Để bài toán có d.n ta cần có them các điều kiện ràng buộc khác. Chẳng hạn như: = ớ ( ) ( )+ ( ) ( ) +) đk ban đầu: ( , 0) = ( , ) = 0 +) Vận tốc ban đầu: ( , 0) = (2.1) Do = là nhân = nên ta có = ( ) *) PT Chuyển động của màng mỏng ⋯ ⋱ ⋯ ⋮ ( )+ ⋮ Từ đó suy ra tất cả các giá trị riêng của A đều là thực với ∀ ∈ Ω + = + + + Ta gọi (*) là số nghiệm thức dương của Ta gọi là số nghiệm thức âm của (*) *) PT truyền nhiệt: Ta gọi là số nghiệm thực = 0 của (*) Cho 1 vật thể Ω trong không gian 3 chiều Ta có các ĐN sau: Gọi nhiệt độ tại điểm x=(x1,x2,x3), thời gian t là u(x,t). Gt \ là vật thể đẳng hướng. Xét miền bất kì Ω ⊂⊂ Ω, + nếu (Ω ⊂ Ω) với biên Ω′ + Nếu - Nhiệt lượng của môi trường xung quanh Ω′ truyền qua biên của Ω′ là: → (thời gian từ ): ( ). Ω ⃗ . - Nhiệt lượng của Ω′ được sinh ra hoặc hấp thụ: = thì ta gọi pt (2) là pt −1 hoặc =1 ⇒ pt hyperbolic + Nếu = Trong đó k(x) là hệ số truyền nhiệt ( , ) = = elliptic tại x0 = =1 = −1 = −1 hoặc =1 −1 ⇒ pt parabolic =1 = ( , ,…, ) . + + , = + + = + . + + ta có =∑ =0, , =1, ê = = 1 = 1, − . ( . + =2 + ( Đặt Γ( ) = ) ; | | . ; | | >2 ( , ) +2 ( , ) + ( , ) + ( , , , ∇ ) = 0 (2.5) = ma trận tương ứng có phương trình đặc trưng − ) == det( − −( + ) + = − = 0 (∗) − = = Xét phép biến đổi = ( , ) ( , )≠0 = ( , ) ( ) Và ( , ) = = = + . + . + . . + . ( − ) ∂Γ(x − y) ∂n⃗ Γ( ) ∫ Γ( − ) = −2 . – . + . + . − lim →0 Trong đó = + + = + = + + + . + =( ) (∗) . ⇔ = . . Thay vào pt (2.5) pt (2.5) đưa được về dạng (∗∗) = Nhận xét: Nếu phép biến đổi (*) đưa dạng toàn phương f(t) về dạng chính tắc (**) thì = tức là là ma trận dạng chính tắc khi đó phép biến đổi t=Cx sẽ đưa (2.3) về dạng chính tắc (2.4). Như vậy để đưa pt (2.1) về chính tắc ta làm như sau b) Đ PT tt cấp 2, hai biến về dạng chính tắc = . = . +2 = + + = + . + 1 . + = 0 (2.7) = 1 .Ω . . ) ( ) . Như vậy ta có ∫ Γ( − ) ∂Γ∂n − ∗ ⇒ ( ) ℎ ∈ ⃗ − →0 (Ω) (∗∗) Với n=2. chứng minh tương tự ta cũng có khẳng định (**) → 0 ta nhận được từ (*) cho Ptvp (2.7) được gọi là ptvp đặc trưng của pt DHR (2.5) ( )= ( + ) Γ( − )∆ có pt đặc trưng − ⇔ + (− − ) + − ∆= ( − ) + 4 ≥0 Γ( − ) + Ω =0 Với =0 ∈ Ω′ |≤ ; = 1, −1 = sup ( ) ≤ inf ∈Ω ) ∈Ω ( ) Dễ thấy c chỉ phụ thuộc vào n và Ω′. định lý được chứng minh ( ) ( ) Câu 7: định nghĩa hàm Green trong hình cầu, chứng minh hàm số được xác định theo công thức poison là nghiệm của bài toán Dirichlet tương ứng ( ) = ; ∈( ; ) Cho hình cầu = ( , ) ⊂ , ta đi xây dựng hàm Green cho hình cầu Kí hiệu ̅ = ( )] . . , ≠0 | | ̅ đgl nghịch đảo của điểm x qua biên của hình cầu ( ) . ( ) ℎ 1 ∫ ( ) . ∂B . (2.1) ( Đặt ℎ( , ) = | | −Γ. | − |. , ) Từ (2.1) ta có ( ) ≠ 0, ta có +) với ; ∀ ∈[ ; ] ( ) . Hay ( ). thức (2.2) =0 Rõ ràng ∆, ℎ( , ) = 0, ∀ , ∈ . ( ) . ∈ ( , ), ≠ 0 −Γ( ), → ( ) =∫ = ( ) = .| − | đượ −2 . = −2 ∀ ∈ ⇒đẳng + + | | =| − | , Nên ℎ( , ) = −Γ(| − |); ∀ ∈ , ∈ *) nguyên lí cực trị mạnh +) với y=0 hiển nhiên ĐL: cho u là hàm điều hòa trên miền Ω⊂ nếu ∃ ∈ Ω ℎ = sup ∈Ω ( ) ( ) thì u(x) là hằng số trên Ω Do đó h(x,y) là nghiệm duy nhất của bài toán Đirichlet − ∂Γ ( − ) ∂n⃗ ∈ (Ω) ∩ Đặt = ( ) = sup { ∈ Ω, ( ) = } ∈Ω ( ); Ω = (2.1) Do đó ta xây dựng được hàm Green cho hình cầu BR ∈ Ω → 0Ω ≠ ∅ rõ ràng ( , ) Ω là tập đóng (vì u liên tục trên Ω ). Ta đi chứng minh Ω là tập mở(2) Thật vậy ( ( )= ≤ 1 | | = 1 | ( ⃗ ) = ( ) Với n>2; ≠ 0. ta có ⊂ ∀ ∈ Ω. Định lý được *) Nguyên lý cực trị | − | , ≠0 Theo kết quả: Nếu u là hàm điều hòa trên Ω ta có: ( ) = ∫ Ω . , ∈ ( ) | | | Γ( − ) − Γ( ) = 0 = Từ (1), (2), Ω là tập liên thông ⇒ Ω = Ω Hay ( ) = chứng minh Γ( − ) − Γ , )⊂Ω ⇒ ( ) = ( ), ∀ ∈ ℎ Ω tức là khẳng định (2) đúng ∂u ∂n⃗ (Ω) ℎ( , ) = −Γ(| |) ℎ( , ) ∆ ℎ = 0, ∈ , ∈ = ℎ( , ) = −Γ( − ), ∈ Ω U(x,y) là hàm ẩn; a,b,c,d,e,f,g là những hàm cho trước − − Đặt CM: gt ∃ ∈ Ω sao cho ( ) = sup ∈Ω ( ) . ( ). |∂B | ớ Rõ ràng loại của pt không thay đổi theo cách đổi biến trên có liên quan đến pt ĐHR cấp 1 và pt vi phân ,… → ∂Γ ( ) ∂Ω * Nhận xét: det = − = | | . det = −| | − . ̃ −2 + ( , ) +2 + ̃= Γ( + ) − Γ( ) . , thì ( ) = lim = ( ) =2 = | b, các nguyên lí cực trị = ( ) , ) ( ) Khi đó ( ) ≤ 2 . ( ) ≤ ) ( 2 ( ) ≤ ⋯ ≤ 2( lấy tích phân theo r từ − ( − )− ( − ) | − | − ) = | | Γ(x − y + tn⃗) − Γ(x − y) = Xét dạng toàn phương tương ứng ( )= ) |∂B | ( )] = = ∫( | ( , )| , ∞, = 0 . →0 ℎ ∂Γ ( − ) ∂n⃗ + . ∫( sao cho → 0 ta nhận được = = )| ∂u(y + rω) ∂n⃗ = ∂ . ∂r ⇒ . . ( − 2) | ( ta có ( + lim[ (Ω) ∈ , ∈ = ⃗ mặt khác ( ) ≥ 0 ∀ ∈ Ω: ( , ) ⊂ ( ,2 ) Nên ( ) ≤ =0 + ( + → = Với , ∈ Ω , | − | < ( )= ( ) ∫ | ( , )| ( , ) (theo định lý giá trị trung bình) (2.2) ∈ ( , ) ta có ∆ ∂u ∂n⃗ 0= =r ( Ω , Ω) > 0 (khoảng Với bất kì , ∈ Ω , ∃ , = lim[ ≤ Γ( )|∂B | ⃗ (2.1) ( ) + ( , , ∇ ) = 0 (2.4) + + = → , = + Đổi biến Cho ⃗ ∂u ∂Γ ( − ) − ∂n⃗ ∂n⃗ Γ( − ) . . ⃗ ∂u Γ( − ) − ∂n⃗ + ( , ) thì = ⇒ = Ω Γ( − ) ) Với n>2 ta có ∫ ê = U=g trên Ω ∈ ớ Ω là miền bị chặn ∂ với biên trơn ,với y bất kì thuộc Ω, cố = . ∂r định y, > 0 đủ nhỏ sao cho = ( , )⊂ Ω do đó ∫ Ta có ∫Ω Γ( − )∆ = ( ) ∫ ∫ (Ω\ − ∂u ∂r⃗ = Mục đích : XDCT biểu diễn nghiệm của bài toán Dirichlet ∆ = Ω Khi đó ∃ hằng số ( , Ω′) sao cho supΩ ( ) infΩ ( ) ta có ( ) . Chứng minh: Với = c) Xây dựng công thức biểu diễn Green Cho pt ĐHR t2 cấp hai hai biến ( ) . ω 1 =2 Câu 4.1: Đưa về dạng chính tắc pt ĐHR t2 cấp hai hai biến Định lý (2.4) cho u là 1 hàm điều hòa không âm, trong miền Ω, Ω ⊂ Ω Đặt = cách) ; ≠2 ; c, Định lý Harnack Chứng minh: 1 (Ω) ∩ ∈ Có không quá một nghiệm (Ω) ĐL: Cho U(x) là hàm điều hòa trên miền Ω, = ( , ) ⊂ Ω. Khi đó Nhận xét: Khẳng định ngược lại cũng đúng khi ∈ (Ω) =0 lấy tích phân 2 vế ta ln + . ) hệ quả: cho ∈ (Ω); ∈ (Ω). Bài toán dirichlet: ∆ = trong Ω (miền bị chặn trong R), u=g trên Ω a, định lý về giá trị trung bình ( )= − . ) = 2− + * đưa pt (2.5) về dạng chính tắc = ( = 0 ta được phương trình < 0 thì (2.5) là pt Eliptic ê Ω⊂ . , + . + ⇔ = được +Nếu Trong đó . + =0ℎ = 0 thì (2.5) là pt pẩbolic ( , ) +2 ( , ) + ( , ) = 0 (1) : → ⊂ ⟼ . . > 0 thì (2.5) là pt hyperbolic *) Loại PT không đổi qua phép đổi biến không suy biến: Thực hiện phép đổi biến . . + Nếu Xét PT ĐHR 2 biến: Ta gọi pt (2.1) gọi là elliptic (hyperbolic, parabolic) trên tập ⊂ Ω nếu như pt (2.1) là elliptic (hyperbolic, parabolic) tạiđiểm V + a)Cho pt ĐHR t2 + ( , , ∇ ) = 0 (2.3) = Câu 6: Phát biểu và chứng minh các định lý về tính chất cơ bản của hàm điều hòa . Câu 4: đưa về dạng chính tắc pt ĐHR + Nếu tuyến tính cấp hai với hệ số hằng ∑ . = + + = Đặt Đặt + ( , , , ) (4) . . + . = Đổi biến ( ) = ( ) Theo (I), (2.3) đưa được về dạng =1 . ∆= ( + ) − 4 + 4 =( − ) +4 ≥0 tức + ( , ) (3) Phương trình đặc trưng: det( − ) = 0 (∗) *) PT truyền sóng (truyền âm) Xét tại điểm = ∈ Ω = = . Trong đó Đặt t=Cx trong đó C là ma trận hằng cỡ (n x n) không suy biến + ( ) ( )= ( ); ∈ + . + . . = , +) Điều kiện biên: u(0,t)=u(l,t)=0 . + + + . + khi n=2 Trong TH có nguồn nhiệt ta có thể viết PT dạng: . Ω Từ CT biểu diễn Green cho hàm điều hòa,nếu u là hàm điều hòa thì u khả vi mọi cấp trên Ω ( )= . . (5) ∆ = 0 (7)  PT laplace ( , ) + + inf ( ) ≤ ( ) ≤ sup ( ) , ∀ ∈ Ω do u là hàm liên tục nên dễ dàng chứng minh và công thức (2.5) đgl CT biểu diễn Green cho hàm điều hòa trên Ω. Khi Ω là miền bị chặn có biên trơn ⇒ ∈ (Ω) ∩ (Ω) Thế vào pt (2.3) ta được . = ( ( )∇ ) + = + + . , = .∆ Tuy nhiên việc tìm phép biến đổi như trên là phức tạp nên ta chỉ xét những Trong TH quá trình truyền nhiệt ổn định trường hợp đơn giản (nhiệt độ không phụ thuộc vào thời gian) + khi aij là hằng số thì = 0 ta được PT: =0 . = + Từ tính chất của ma trận đối xứng  - Gọi p(x,t) là ngoại lực tác động vào sợi Trong trường hợp , là những hằng số tồn tại phép biến đổi sao cho ma trận dây song song với trục Ou theo 1 đơn vị thì PT (5) có thể viết dưới dạng có dạng độ dài  hình chiếu trên trục Ou của 1 ngoại lực tác động lên sợi dây là = .∆ + (6) = 1 1 ( , ) = *) PT laplace Phép biến đổi đưa A về dạng biến PT truyền nhiệt trong môi trường đồng pt (2.1) thành (2.2). Khi đó ta gọi pt -Lực quán tính của sợi dây: chất, đẳng hướng không có nguồn nhiệt (2.2) là pt dạng chính tắc của (2.1). Thực hiện phép biến đổi trên đưa pt sẽ là: ∂ u =− ρ(x). (2.1) về dạng chính tắc Ta có . cho pt laplace bất biến với phép quay của biến nên ta thường tìm nghiệm của pt laplace ở dạng ( ) = ( ), = | | = ( + ⋯+ ) / . + ( , , ∇ ) = 0 (2.2) . Trong đó )+ cos( ⃗, = + , Vì Ω′ là miền con bất kì của Ω nên: ( ) là tỉ trọng của sợi dây + Cho Ω là một miền bị chặn, ∈ (Ω) ∩ (Ω) là hàm điều hòa. Khi đó − ⃗ Xét pt laplace ∆ = 0 . thế vào (2.1) ta được Hay ≈ = = . _ . + ….+ b, Công thức nghiệm cơ bản của pt laplace ê Đặt ( , ) = ( , ) ta tính ux,uy,uxx,u xy,uyy = ( ( ). ∇ ) ⃗) , ) ∆ = + =0 ; ∈Ω ( ) , ∈ | ( , )| ≠ 0 , ( = ξ(x, y), x, y ∈ V = ( , ) Ta có ) . cos( ⃗, , )− Cho miền Ω ⊂ ℝ . Hàm số ( ) ∈ (Ω) đgl hàm điều hòa trên Ω nếu thỏa mãn pt : Gs phép đổi biến ) ta CT trên đgl CT biểu diễn Green cho hàm u bất kì. Nếu u là hàm điều hòa trên Ω ta có ( ) = ∫ Ω Γ( − ) ∂Γx−y∂n 2.5 a) Định nghĩa hàm điều hòa: Ω - Sức căng của sợi dây ( ê = + + , ( )≠0 ∈ Đặt ( ) = ( ), ∈ , ( = có = ⃗ Ω AD công thức ostrogradski ta có: Theo nguyên lí dalambe, lực tác dụng trên sợi dây sau khi tổng hợp phải bằng ( ). ( ( ). ∇ ) = ⃗ Ω Ω 0⃗. Do đó lực chiếu lên phương Ou cũng phải bằng 0. Trên [M1M2] có những lực Vì ( ). sau tác dụng (xét trên hình chiếu của Ou) ≈ Câu 5: Nêu định nghĩa hàm điều hòa,cách tìm nghiệm cơ bản , công thức biểu diễn Green và pp hàm Green cho bài toán đirichlet = 0 thì (1) là parabolic Xét 1 sợi dây căng thẳng theo trục Ox. ( ). ( ). ( , ) − ( , ) = Cố định 2 đầu của sợi dây. Làm sợi dây Ω dao động, ta nghiên cứu quỹ đạo của sợi ( ): mật độ vật chất, C(x): nhiệt dung dây trong quá trình dao động. Gt chiểu dài của sợi dây không đổi trong quá trình Theo định luật bảo toàn năng lượng ta dao đọng tức là sức căng của sợi dây có: không đổi + = KH: u(x,t) là khoảng cách đại số của điểm M so với VTCB tại thời điểm t Vì t1,t2 lấy bất kì nên: sin ( − > 0 thì (1) là pt hyperbolic *) PT dao động của sợi dây: = = Đặt … = ( Γ( − ) Γ − − ) − | − | | | | | | − | 2 . − | − | ( = − ) | − | Câu 7.1: Biểu diễn pt laplace trường hợp hai biến trong hệ tọa độ cực − − = . − ; ∈ = cos( ⃗, ⃗) = 1− | − | − (∗), ∈ | − | . = = − ( ) | − | . ( = = ∈ ( = ). Khi đó ( ) | − | ( ), ∈ thuộc ( ) ∩ ( bài toán đirichlet ∈ ( ( , )| ( ) − ( 2 . )|) − sao cho : 2 . < Vì vậy với ∀ ∈ 2 . < 2 sao cho < Vì vậy với ∀ ∈ thì | ( )− ( \ )| < -Hàm số u(x) liên tục tại x0 (đpcm) |< . sin cos − cos + cos( ⃗, ⃗) = ó: = + ( ê , , ⃗ + ; + Đặ = Ω × (0, ); = Ω × (0, ); 0 < < ; + ; + ; + cos( ⃗, ⃗) cos( ⃗, ⃗) + ; + ) = + (2.5) ( ) 4 ặ đó = Vì vậy u không đổi trên các đường sinh của hình nón mà u tại đây của k1=0 nên u(A)=0. Hay u1=u2 = (2.7) = ) ( , 1 4 , ) ( , ( , )| , ) , ( ∫ thấy Chứng minh; = 0 (1.4). dễ ∫ ) , ( )= ∫ ℎ ( ( ( , , ) ( | ( , 1 ≤ 4 . ≤ . , )∑ , ( , | ( , , , )| ) Đổi biến = + , , ) Nếu min Câu 3: Phân loại phương trình ĐHR t2 cấp hai từ đó chỉ ra rằng loại của PT không đổi qua phép đổi biến không suy biến , ) mà ∪Ω Câu 4: đưa về dạng chính tắc pt ĐHR tuyến tính cấp hai với hệ số hằng ( , )≤0 , )≥0 ⇒ ( Câu 4.1: Đưa về dạng chính tắc pt ĐHR t2 cấp hai hai biến , )≥0 Câu 5: Nêu định nghĩa hàm điều hòa,cách tìm nghiệm cơ bản , công thức biểu diễn Green và pp hàm Green cho bài toán đirichlet , >0 Câu 6: Phát biểu và chứng minh các định lý về tính chất cơ bản của hàm điều hòa (mâu thuẫn)  kq (1) : ( , )= ( , )+ ≥ Dễ thấy > 0 trên Câu 7: định nghĩa hàm Green trong hình cầu, chứng minh hàm số được xác định theo công thức poison là nghiệm của bài toán Dirichlet tương ứng ( , ); ∀( , ) ∈ ≤ → 0suy ra: ≤ ( , ), ∀( , ) ∈ ( Câu 7.1: Biểu diễn pt laplace trường hợp hai biến trong hệ tọa độ cực ( , , − )= (∆ ) ( , 0) = =∆ ⇒ ⇒ ( , 0) = ∆ ( ) (đ và = = − − = = sup ) , đáy chứa Ω , | |Ω×{ } = 0 n⃗ ⊥ e ⃗ ê ≥ 0, | .Ta ≤0 Áp dụng nguyên lí cực trị trong miền bị chặn ta suy ra: ≥ 0, ≤ 0 ∀( , ) ∈ ê ê Ω × {1}; Vì R bất kì ≥ = 1, ( = 0; = 1, =0 ê Ω×{ } ê Ω× { } ≥ 0, ≤0 × (0, ) → 0 suy ra: − ) ê ∀( , ) ∈ Cho + ∈ Nếu u=0 trên s ⇒ ( , 0) ( , 0| ≥ 2 ,( ≥ 0, − ∀( , ) ∈ ⇒ ( , 0) ≤ 0 = {( , )|| | < ), ∈ (0, )} (3.9) Với mặt bên có: Ω×{ } 2 = 0; + cos( ⃗, ⃗) Với mỗi R>R0, xét hình trụ cos( ⃗, ⃗) 1 =∆ − ( , ) = +∞ ℎ :| Ω×{ } ( ). ( , 0) + ( , 0) = . ⃗⊥ ⃗ ≤ 0, × (0, ) c) sự duy nhất nghiệm: HQ1: nghiệm của bài toán biên ban đầu t1 đối với phương trình Lu=f là duy nhất trong lớp , ( ) ∩ ( ) ( , 0) = ( ) | = () à ℎ đị ℎ ý (2.1), ( , 0) = ( ) = 1,3 ℎì Nên từ (1.4) ta nhận được + =0 : ( , 0) = ( ) ⇒ (2.10); (2.11); (2.12) ⇒ đ ó = sup ( , 0) =‖ ‖ +2 Nên ∃ = 0, ) ê = inf ( , 0) ( , 0) > 0, Mặt khác; ( = ( , 0) = ( , )=0 ∀| | ≥ 1 2 =∆ Theo định lý 2.1: , b) nguyên lí cực trị trong miền không bị chặn ( . |Ω×{ } = Chứng minh: Đặt ( , ) = ∫ ( , , ) ( , , ). 0,1) ( . ) , ≤ ( , )≤ ) Dễ thấy L(v1)=Lv2=0 + ) ( , , )∩ ( ∀( , ) ∈ ) ) , ( , ( | |→ + ( , −∆ ) 1 2 = × ( , +∞) ( . ∈ ( . ) , Định lý 2: Nếu ∈ thỏa mãn: Lu=0 thì Định lí: Gs ( , 0) = 0 ) Thật vậy: Hiệu hai nghiệm u(x,t) của bài toán thỏa mãn Lu=0 trong , ( , )∈ × (0, ) Câu 1: Nêu một số ví dụ về PT ĐHR được sinh ra từ vật lí ( , )= ( ≥ 0 trên × (0, ) ∩ ≥ u(x , t) − u(x , T) lim − +) Là duy nhất trong lớp , thì max ( , )∈ ∆ ( × (0, ) Chứng minh: tương tự hệ quả 1 ( > 0 trên a) +) Đặt Áp dụng công thức Green ta có Tiếp theo ta đi chứng minh (2.12) đó lim ( , , → = 0 ℎ (2.2)đú ) Chứng minh: = 0 (3.8) = ( )) (2.9) ( , 0) = 0, | |= 4 ( , ) 1 = 4 1 + . 4 , )| , ( (3.4) b) Thay u bởi –u thì −∆ ) từ (2.6); (2.7); (2.9) suy ra ∆ = (đ ) ⇒ Ta có đánh giá 1 = . 2 . , 2. Xét bài toán , ) , = b. Nếu ≤ 0 trong ( , ), ∀( , ) ∈ min ( , ) ê = ⃗ Do đó với 0 < ≤ (2.8) ( ( , )∈ =∆ , ( , ) = ( ); , )∩ thì × (0, ), u bị chặn và Chứng minh: giả sử , ∈ ( ) là ( , ) ∈ nghiệm của bài toán (3.1);(3.2);(3.3). , ∈ × (0, ) ∩ × (0, ) Đặt = − ℎì ∈ ( ) của u thỏa mãn bài toán Khi đó: =∆ ; , ∈ (3.5) inf ( , 0) ≤ ( , ) ≤ sup ( , 0) ∈ ( , 0) = ( , 0) = 0 ∈ Ω (3.6) ∈ ( , )=0 ê (3.7) Chứng minh: ( , , ) ( , ) = ( ), ∈ ( . ) = ∆ ,( , ) ∈ × (0, +∞)(2.1) ( , 0) = 0, ∈ (2.2) Định lý 2.2: Cho ( ) ∈ ( ), ∈ ( , 0) = ( ); ∈ (2.3) ( ) khi đó nghiệm của bài toán (2.10), (2.11); (2.12) được cho bởi CT ( ) ∈ ( ).Khi Định lý 2.1: ℎ , ( ≤ ( , ), ∀( , ) ∈ min Cho -Định lý: Bài toán (3.1) ;(3.2) ;(3.3) có không quá 1 nghiệm thuộc lớp ( , ) 1 4 ∆ = (đối với ‖ ⃗‖ = 1 trong không gian R : cos( ⃗, ⃗) = ) ( ( , )∈ = ∆ + ( , ), ( , 0) = ( ), ∈ =Ω ∪ ≥ 0 Trong a. Nếu Cả hai bài toán được gọi chung là bài toán hỗn hợp Mặt khác n ) , ∈ Định lí 1: Cho min Bài toán (3.1),(3.2),(3.3) đgl bài toán ban đầu thứ nhất. bài toán (3.1), (3.2), (3.4) đgl bài toán biên ban đầu thứ hai. ( ) ( ) = − + − 4 4 () = (2.6) 4 (1.1)′ − ( , 0) = Và điều kiện biên ( , ) = ( , ) ê (3.3) ; cos( ⃗, ⃗) = 0 (Trong trường hợp ∈ = Ω × (0, ) , =0ℎ hệ quả 2: Nghiệm của bài toán biên ban đầu thứ 2 đối với pt Lu=f trong QT >0 ( , , ) cos( ⃗, ⃗) cos( ⃗, ⃗) cos( ⃗, ⃗) ( . ( , ) AD chứng minh trên ta có u ( , 0) = ( ); ( ) (3.2) ) ⃗ = = Ω × (0, ), Đặt = ∆ + ( , ); Xét bài toán: (3.1) ( , Ω =Ω ×{ }⊂ Câu 10: Khái niệm các bài toán biên ban đầu cho pt truyền song(bài toán hỗn hợp). Phát biểu và chứng minh định lý về sự suy nhất nghiệm của bài toán biên ban đầu thứ nhất ⃗ ( ) dễ thấy ( ) + Do u thỏa mãn pt (1.1)’ nên . ; ) , ) , ) + , = 1, Trong đó ( , , ) là mặt cầu tâm ( , , ) bán kính t trong siêu phẳng t=0 (trong R) = 1, + (2.4) ) ( )= ) ; ∈( , ) 1 − . 2 ( . + ( , , ) đó nghiệm của bài toán (2.2), (2.3) được cho bởi CT − →0 / ã (2.3) = = cos( ⃗, ⃗) cos( ⃗, ⃗) ê , = 1, = Gọi S1 là mặt nón xung quanh của nón k1 = ) < ∈ Khái niệm: Cho Ω là miền trơn bị chặn trong Rn, T>0; Xét bài toán(CT) ,( , ) ∈ × ( ,+∞) ( , )=0 , ∈ ( , )=0 , ∈ . ; ( , , ) (1.2) × ( , +∞)} ; = + ; ( =0 cos( ⃗, ⃗) + (1.3) dễ thấy u là nghiệm −∆ ) + Theo công thức đổi miền suy ra ( ); ∈ . ( . ( ) ( ) Cho miền bị chặn Ω ⊂ × ( , +∞) ( . ( . ) ( . ) Định lý (2.3) cho hàm ∈ × [0, +∞) ; ∈ ( ).Khi đó nghiệm của bài toán được cho bởi công thức ( , ) 1 ( , , ) = 4 ( , , ) 1 ( , , ) + . 4 ( , , ) 1 ( , , , − ) + 4 ( , , ) = | − |) các công thức biểu diễn nghiệm trong định lý (2.1),(2.2),(2.3) đgl công thức kirchhoft. ) , ( , , ) 4 Với x bất kì nằm trên đường sinh của mặt nón , ⃗ là vecto chỉ phương của đường sinh đó = ( , )= ( ,) = (Vt là hình cầu có mặt là St) cos( ⃗, ⃗) cos( ⃗, ⃗) sin + ( ); ∈ +2 . − sin (1, ) = |< | ( , )|| ( ) − ( < ; ⃗ = (0, … 1, … ) Định lý: xét bài toán Cauchy cho pt truyền sóng ∀ ∈ + = pt (4.1) trở thành 0 (4.2) ∈ :| − . cos cos sin + ; ; + Câu 8: Phát biểu và chứng minh định lý về sự duy nhất nghiệm của bài toán Cauchy đối với pt truyền sóng Với ∀ ∈ thỏa mãn | − | < Ta nói: | ( ) − ( )| ≤ ∫ | ( , )|| ( ) − ( )| :| − = 0,0 … 1) ∈ ∈ cos + Nên ∃ > 0; > 0 ℎ ∶ | ( ) − ( )| < , ∀ ∈ ; | − < | +) ∫ cos + Ta có: cos ( ⃗, ⃗) ; ( ⃗ − cos sin . , ; Tức là → 0 ⇒ cos ( ⃗, ⃗) = cos( ⃗, ⃗) + ( , + 1 4 + + sin + ê , . → ⎯ ) ( cos . ; ( + ( , + + = 0, | Bởi vậy: Câu 11: Nghuyên lí cực trị và các định lí duy nhất nghiệm: ; = 0 (1.6) cos( ⃗, ⃗) − − ; ( , , ) ⎯ Nhân đẳng thức (1.6) vào 2 cos( ⃗, ⃗) = √2 ⇒Đẳng thức sin + ( . → mặt khác với x bất kì thuộc S1 ta có ; ( , , ) 1 + 4 = ( cos( ⃗, ⃗) + ) + sin sin . − cos sin + bất kỳ ∀ε > 0, = . = Hiển nhiên ∈ ( ) và u là nghiệm của bài toán ddirrichlet. Ta còn phải chứng minh: ∈ ( ) tức là ta cần chứng minh u liên tục trên biên | ( )| < . + , ∈ ∆ =0 ∈ ) + sin . + ) và là ngiệm của = . cos sin . ( 4 1 + 4 cos( ⃗, ⃗) − + − cos + − . + sin cos sin (1.5) cos( ⃗, ⃗) + ( ) − sin = đgl nhân poisson ) * Định lý 3.1: Cho hàm số = cos sin = * sự tồn tại nghiệm của bài toán Dirrichlet cho hình cầu Với ( + cos . (3.1) =0 áp dụng công thức Green cho vế trái của (1.5) ta nhận được Tiếp theo ta đi tính các ĐHR CT(3.1) đgl công thức poisson ( , )= − sin . sin =− Đối với các trường hợp còn lại n=2, ≠ 0, > 2, = 0, = 2, = 0 ta cũng có khẳng định (*) đúng. Vì vậy nếu u là hàm điều hòa trên B R ta có ( )= cos cos = = sin 0= = . . 1 2 0= ⇒ + − = = cos Ta biết rằng : ̀ | 1 2 = đổi biến sang tọa độ cực: = cos , ≥ 0, ∈ [0,2 ] = sin . = + Trong R , xét pt laplace: 0 (4.1) | − | =∑ ⃗ ∑ . | − | . 1− | − | suy ra: | | − | − | = | | . | | 2 , ( ) Câu 8: Phát biểu và chứng minh định lý về sự duy nhất nghiệm của bài toán Cauchy đối với pt truyền sóng Câu 9: Đưa ra và chứng minh công thức nghiệm (CT kirchhoft) của bài toán Cauchy đối với pt truyền sóng Câu 10: Khái niệm các bài toán biên ban đầu cho pt truyền song(bài toán hỗn hợp). Phát biểu và chứng minh định lý về sự suy nhất nghiệm của bài toán biên ban đầu thứ nhất Câu 11: Nghuyên lí cực trị và các định lí duy nhất nghiệm:  ... )≥0 Câu 5: Nêu định nghĩa hàm điều hòa,cách tìm nghiệm , công thức biểu diễn Green pp hàm Green cho toán đirichlet , >0 Câu 6: Phát biểu chứng minh định lý tính chất hàm điều hòa (mâu thuẫn) ... ( ( ( , , ) ( | ( , ≤ ≤ , )∑ , ( , | ( , , , )| ) Đổi biến = + , , ) Nếu Câu 3: Phân loại phương trình ĐHR t2 cấp hai từ loại PT không đổi qua phép đổi biến không suy biến , ) mà ∪Ω Câu 4:... hàm điều hòa (mâu thuẫn)  kq (1) : ( , )= ( , )+ ≥ Dễ thấy > Câu 7: định nghĩa hàm Green hình cầu, chứng minh hàm số xác định theo công thức poison nghiệm toán Dirichlet tương ứng ( , ); ∀(