TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ KHOA SƯ PHẠM BỘ MÔN TOÁN ---------- LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP Đề tài : KHÔNG GIAN VECTƠ TÔPÔ KHÔNG GIAN LỒI ĐỊA PHƯƠNG  Giảng viên hướng dẫn: Th.s Lê Hồng Đức SVTH : Châu Thị Tuyết Trang MSSV : 1100070 Lớp : Sư Phạm Toán K36 Cần Thơ, tháng 5 năm 2014 Luận văn tốt nghiệp  Không gian vectơ tôpô – Không gian lồi địa phương  LỜI CẢM ƠN           Trên con đường chinh phục thành công, một phần động lực lớn cho em vượt lên những khó khăn, thử thách chính là sự quan tâm, giúp đỡ của các thầy, cô - những người trang bị cho em kiến thức, kĩ năng vững vàng trong suốt quá trình học tập, rèn luyện; gieo cho em niềm tin vào tương lai tươi sáng. Qua bốn năm đại học, dưới sự chỉ dạy, động viên của các thầy, cô Bộ môn Toán- Khoa Sư phạm – Trường Đại học Cần Thơ, em càng nhận thức rõ hơn về năng lực bản thân và cố gắng phát huy để tiếp tục hành trình lập nghiệp. Đến đây, em muốn gửi lời cảm ơn chân thành đến các thầy, cô – đặc biệt là thầy Lê Hồng Đức – giảng viên hướng dẫn em hoàn thành luận văn này. Kính chúc các thầy, cô nhiều sức khỏe, thành công trong cuộc sống!   05/2014 Sinh viên                                            Châu Thị Tuyết Trang  SVECTƠH: Châu Thị Tuyết Trang   Trang 1   Lớp: Sư phạm toán học K36 Luận văn tốt nghiệp  Không gian vectơ tôpô – Không gian lồi địa phương  MỤC LỤC   A. PHẦN MỞ ĐẦU ............................................................................................. 3 B. PHẦN NỘI DUNG .......................................................................................... 6 Chương 1: Không gian vectơ tôpô ...................................................................... 6 1.1 Định nghĩa ................................................................................................... 6  1.2 Tính chất ...................................................................................................... 6  1.3 Một số loại tập trong không gian vectơ tôpô ................................................ 8  1.4 Cơ sở lân cận ............................................................................................. 11  1.5 Tập bị chặn và tập compact trong không gian vectơ tôpô ........................... 15  1.6 Ánh xạ tuyến tính liên tục và phiếm hàm tuyến tính liên tục ...................... 20  1.7 Không gian vectơ tôpô con- Không gian vectơ tôpô thương ....................... 22  1.8 Một số không gian vectơ tôpô .................................................................... 23  CHƯƠNG 2: Không gian lồi địa phương ......................................................... 32 2.1 Tập lồi – Tập tuyệt đối lồi .......................................................................... 32  2.2 Định nghĩa không gian lồi địa phương ....................................................... 37  2.3 Cơ sở lân cận ............................................................................................. 37  2.4 Nửa chuẩn liên tục và phiếm hàm Minkowski ............................................ 39  2.5 Tập bị chặn và hoàn toàn bị chặn ............................................................... 47  2.6 Không gian thùng ...................................................................................... 49  Chương 3: Bài tập ............................................................................................. 52 C. PHẦN KẾT LUẬN ....................................................................................... 77 TÀI LIỆU THAM KHẢO ................................................................................. 78     SVECTƠH: Châu Thị Tuyết Trang   Trang 2   Lớp: Sư phạm toán học K36 Luận văn tốt nghiệp  Không gian vectơ tôpô – Không gian lồi địa phương  A. PHẦN MỞ ĐẦU I. Lý do chọn đề tài Giải tích hàm là  một ngành toán học đã được tìm hiểu và phát triển lâu đời.  Với  những ứng  dụng  thực  tiễn  quan trọng,  Giải  tích  hàm  đã được  đưa  vào giảng  dạy ở bậc Đại học, làm nền tảng cho các nghiên cứu sau này. Qua đó, chúng ta biết  được  cách  xây  dựng  các  không  gian  như  không  gian  định  chuẩn,  không  gian  Banach,  không  gian  Hilbert...Tuy  nhiên,  các không gian  kể trên  chưa  đủ rộng để  nghiên cứu các vấn đề của Giải tích.   Sự hình thành của lớp các không gian vectơ tôpô, đặc biệt là  không gian lồi  địa phương cùng việc nghiên cứu các tính chất, mối liên hệ của các không gian này  đã góp phần giải quyết nhiều vấn đề nảy sinh.  Từ đó, được sự hướng dẫn, gợi ý  của thầy Lê Hồng Đức, em đã chọn đề tài “Không gian vectơ tôpô – Không gian lồi địa phương” làm đề tài luận văn tốt nghiệp của mình.  II. Mục đích nghiên cứu Mục đích nghiên cứu của luận văn là tìm hiểu, nâng cao mảng kiến thức Giải  tích hàm về các lớp không gian tổng quát như không gian vectơ tôpô và không gian  lồi địa phương. Đồng thời, thực hiện luận văn là bước đầu tạo đà cho các nghiên  cứu khoa học sau này Với cách trình bài khá chi tiết, rõ ràng, hi vọng luận văn sẽ  trở thành một tài liệu tham khảo cho các bạn đọc đam mê nghiên cứu toán học.  III. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Không gian vectơ tôpô – Không gian lồi địa phương và các tính chất của các  không gian đó.  IV. Phương pháp nghiên cứu Tìm kiếm, tổng hợp tài liệu.  Khái quát, phân loại, hệ thống kiến thức.   Trình bày theo một thứ tự hợp lí.  V. Tóm tắt nội dung nghiên cứu Luận văn gồm 3 chương:  SVECTƠH: Châu Thị Tuyết Trang   Trang 3   Lớp: Sư phạm toán học K36 Luận văn tốt nghiệp  Không gian vectơ tôpô – Không gian lồi địa phương  Chương 1: KHÔNG GIAN VECTƠ TÔPÔ Trong phần này, định nghĩa không gian vectơ tôpô được trình bày theo quan  điểm các lân cận. Qua đó, rút ra được một số tính chất thú vị của nó, đặc biệt là  tính bất biến của phép tịnh tiến và phép vị tự. Tiếp theo, luận văn làm nổi bật các  tập phổ dụng của không gian vectơ tôpô như tập cân, tâp hút, ... Từ đó, các tập này  như một công cụ hỗ trợ giúp ta nghiên cứu các đặc điểm cơ sở lân cận của không  gian này. Đồng thời, rút ra một tính chất quan trọng cũng như cách trang bị tôpô  cho  một  không  gian  vectơ;  đó  là:  Cấu  trúc  tôpô  trong  không  gian  vectơ  tôpô  X   hoàn toàn xác định nếu biết được một cơ sở lân cận tại 0 của nó.  Bên cạnh đó, thông qua các định lý, mệnh đề; một số không gian vectơ tôpô  được khảo sát như không gian vectơ tôpô Hausdorff, không gian vectơ tôpô mt hóa  được, không gian vectơ tôpô hữu hạn chiều...  Chương 2: KHÔNG GIAN LỒI ĐịA PHƯƠNG Trước khi trình bày khái niệm của không gian lồi địa phương, luận văn đã nêu  các tính chất của tập lồi, tập tuyệt đối lồi và mối liên hệ giữa các tập này với tập  cân,  tập  hút  trong  không  gian  vectơ  tôpô...Việc  nghiên  cứu  các  tập  này  nhằm  hướng đến định nghĩa không gian lồi địa phương theo quan điểm cơ sở lân cận lồi  tại 0.  Tiếp đến, ta sẽ thấy được một cách xây dựng không gian lồi địa phương khác  thông qua  nghiên  cứu  họ  các  nửa  chuẩn liên  tục, phiếm  hàm Minkowski với  các  tính chất liên hệ giữa cơ sở lân cận tại 0 và tôpô sinh bởi họ các nửa chuẩn liên tục.  Khi đó, dễ dàng cho ta nghiên cứu sâu hơn các thuộc tính của nó như tính chất bị  chặn, hoàn toàn bị chặn.  Luận  văn  cũng  khẳng  định  được  không  gian  định  chuẩn  cũng  là  một  không  gian lồi địa phương; đồng thời giới thiệu một số lớp không gian lồi địa phương với  tôpô sinh bởi họ  các nửa chuẩn Đặc biệt, nghiên cứu không  gian thùng cùng với  tính chất chặn đều cho ta thấy được sự đa dạng của không gian lồi địa phương.  Chương 3: BÀI TẬP Bài tập về không gian vectơ tôpô và không gian lồi địa phương trong luận văn  được phân thành 5 dạng bao gồm:  SVECTƠH: Châu Thị Tuyết Trang   Trang 4   Lớp: Sư phạm toán học K36 Luận văn tốt nghiệp  Không gian vectơ tôpô – Không gian lồi địa phương  - Các bài toán chứng minh một không gian vectơ tôpô có là không gian vectơ  tôpô ( không gian lồi địa phương).  - Bài tập liên quan đến tính chất các tập cân, lồi, hút...  - Bài tập về phép toán trên các nửa chuẩn, chứng minh điều kiện để một nửa  chuẩn liên tục.  - Các bài tập liên quan đến các lớp không gian vectơ tôpô, không gian lồi địa  phương.  - Một số bài tập khác.    SVECTƠH: Châu Thị Tuyết Trang   Trang 5   Lớp: Sư phạm toán học K36 Luận văn tốt nghiệp  Không gian vectơ tôpô – Không gian lồi địa phương  B. PHẦN NỘI DUNG Chương 1: KHÔNG GIAN VECTƠ TÔPÔ 1.1 Định nghĩa Cho  X  là một không gian vectơ trên trường  K (trường thực hoặc phức) và     là một tôpô trên  X .    Xét hai ánh xạ  () : X x X  X         x, y   x  y ( ): K x X  X , x x   Khi  đó,   X ,     được  gọi  là  một  không  gian  vectơ  tôpô  nếu  các  ánh  xạ  trên  liên tục.  Theo quan điểm lân cận,  * Ánh xạ (+) liên tục nếu với mỗi   x, y   X x X  luôn tồn tại  U x , V  y   sao cho  U  V  W,  W  x  y .  * Ánh xạ  ( )  liên tục nếu với mỗi    , x   K x X  luôn tồn tại  V  x  sao cho    0,   K :      thì V  W,  W  x .  Hai ánh xạ (+) và  ( )  liên tục thì    được gọi là tôpô tương thích với cấu trúc  đại số trên  X .  Nhận xét Mọi tính chất đúng trong không gian tôpô và không gian vectơ đều đúng trong  không gian vectơ tôpô.   1.2 Tính chất 1.2.1 Định nghĩa  Cho  X  là một không gian vectơ tôpô trên trường  K ,  a  X ,   K .  Ánh xạ  Ánh xạ  Ta : X  X x  xa V : X  X x  x  được gọi là một phép tịnh tiến (theo  a ) trong  X .   là một phép vị tự (theo tỉ số   ) trong  X .  SVECTƠH: Châu Thị Tuyết Trang   Trang 6   Lớp: Sư phạm toán học K36 Luận văn tốt nghiệp  Không gian vectơ tôpô – Không gian lồi địa phương  1.2.2 Mệnh đề  Phép tịnh tiến  Ta  và phép vị tự  V   (  K \ 0)  là các phép đồng phôi.  Chứng minh Dễ dàng kiểm tra được  Ta  là một song ánh.  Theo định nghĩa phép cộng trong không gian vectơ tôpô  X , ta suy ra được  Ta   và  Ta1 : X  X Ta1 ( y )  y  a, y  X   là các ánh xạ liên tục.  Như vậy, phép tịnh tiến là một phép đồng phôi.  Tương  tự,  ta  cũng  chứng  minh  được  V   là  một  phép  đồng  phôi  với  ánh  xạ  y ngược  V1 ( y )  .   * Nhận xét   i. Ánh xạ   : X  X  ( x)  a   x   liên tục. Hơn nữa, khi    0  thì    là  một phép đồng phôi.  ii. Nếu  G  là một tập mở trong  X  và với    K \ 0 , a  X , A  X  thì các  tập  a  G, G, A  G  là các tập mở trong  X .  iii. Nếu  F  là một tập đóng trong  X  và với    K \ 0 , a  X , A  X  thì  các tập  a  F ,  F , A   F  là các tập đóng trong  X .  Chứng minh i. Ta nhận thấy    Ta  V .   Mặt khác, theo định nghĩa trên  Ta  và  V  là các ánh xạ liên tục nên tích của nó  là một ánh xạ liên tục.  Hơn nữa, từ mệnh đề trên,    là tích của hai phép đồng phôi khi    0  nên     là một phép đồng phôi.  Ta có thể kiểm tra    qua định nghĩa phép đồng phôi với   1 ( y )  1   y  a  .  ii. Ta thấy  a  G  Ta (G ),  G  V (G ) .  Đồng thời,  G  là  một tập mở trong  X  và  Ta ,  V  là các phép đồng phôi nên  ảnh của  G  là một tập mở.  SVECTƠH: Châu Thị Tuyết Trang   Trang 7   Lớp: Sư phạm toán học K36 Luận văn tốt nghiệp  Không gian vectơ tôpô – Không gian lồi địa phương  Do đó,  a  G ,  G  là các tập mở.  Ta xét  a  G  là ảnh của  G  qua phép đồng phôi   , vậy  a  G  cũng là một  tập mở.  Khi đó,  A   G   a  G  là hợp một họ các tập mở nên là một tập mở.  aA iii. Tương tự như (ii).  1.2.3 Mệnh đề Giả sử  V  là một lân cận của    X ,    K \ 0 , x  X .  Khi đó,  x  V  là lân cận của  x  và  V  là lân cận của   .  Chứng minh  Ta có:  V  là  một  lân cận của  0  X  nên  tồn tại tập  G  mở trong  X  sao cho  0  G  V .   x  x  G  x  V , x  X Do đó,    mà các tập  x  G và G  là các tập mở.    K 0   G  V , Vậy  x  V  x  và  V 0 .  1.3 Một số loại tập trong không gian vectơ tôpô 1.3.1 Tập cân a) Định nghĩa  Cho  A  X  với  X  là không gian vectơ tôpô  trên trường  K .  A  là tập cân nếu   A  A,   K và   1.   * Nhận xét i) Mọi tập cân đều chứa 0.  ii) Giao của một họ các tập cân là một tập cân.  Chứng minh i) Giả sử  A  là tập cân trong không gian vectơ tôpô  X .  Khi đó,   A  A,   K và   1  0  0  0. A  A . Vậy  A  chứa 0.  ii) Giả sử  Ai  là các tập cân   i  I  . Đặt  A   Ai .   iI Vì  Ai  là tập cân nên   Ai  Ai ,   K và   1.   SVECTƠH: Châu Thị Tuyết Trang   Trang 8   Lớp: Sư phạm toán học K36 Luận văn tốt nghiệp  Không gian vectơ tôpô – Không gian lồi địa phương  Suy ra   A    Ai    Ai   Ai  A   (   K và   1 ).  iI iI iI Vậy  A  là tập cân.  b) Mệnh đề Với  X   là  không  gian  vectơ  tôpô  trên  trường  K .  A, B   là  hai  tập  cân,   ,  ,   K . Khi đó,  i)   A,  A   B  là các tập cân trong  X .  ii) Nếu    1 thì  A  A.   iii) Nếu     thì  A   A.   Chứng minh i)    K :   1.  Ta có:     A      A   A  nên   A  là tập cân.  Tương tự:     A   B    A   B     A      B    A   B .    Vậy   A   B  là tập cân.  ii) Ta có:    K :   1    1.      A   A  (vì  A  là tập cân)                                                                        (1)  Mặt khác,    1  1  1   1   1.   A  là tập cân suy ra   A  là tập cân, vậy thì  A  1   A     A    A.        (2)  Từ (1) và (2) ta có được    1 thì  A  A.   iii) Ta xét hai trường hợp:  (+)   0 :      0    0 thì  A   A.      1 vì A cân nên A  A   A   A.     Vậy nếu     thì  A   A.   (+)   0 :      c) Định lý Giả sử  X  là không gian vectơ tôpô trên trường  K ,  A  là một tập cân trong  X .  i)  A  cũng là một tập cân.  SVECTƠH: Châu Thị Tuyết Trang   Trang 9   Lớp: Sư phạm toán học K36 Luận văn tốt nghiệp  Không gian vectơ tôpô – Không gian lồi địa phương  ii) Nếu  Ao  chứa 0 thì   Ao  là một tập cân.  Chứng minh i. Ta có:    K :   1.   Ta  thấy   A   là  ảnh  của  A   qua  phép  vị  tự  V   nên   A   là  tập  đóng  hay   A   A . Mà   A  A   A   A  A , vậy  A  là một tập cân.  ii. Giả sử  0  Ao , ta cần chứng minh   Ao  Ao ,   K :   1.   o Ta thấy   Ao    A  ,   K : 0    1.   Thật vậy:  o ()  Ao    A .  Lấy  b   Ao  a  Ao : b   a.  Mà  a  là một điểm trong của  A  nên tồn tại  G  mở sao cho  a  G  A  nên   a  G   A . Mặt khác,  G  là một tập mở trong  o X , vậy   a  là một điểm trong của   A  hay  b   a    A .  o ()  Ao    A  .  o Với  b    A  G   mở  sao  cho  b  G   A ,  vì    0   nên  b  1  G  A .   1 b Do  G  mở nên ta có được   Ao  hay  b   Ao .     Thêm vào đó  0  Ao  nên với    0  thì  Ao  là một tập cân.  1.3.2 Tập hút a) Định nghĩa  Cho  X  là không gian vectơ tôpô trên trường  K .  Tập  A  X  được gọi là một tập hút nếu  x  X , tồn tại    0 sao cho    x  A, với mọi    thỏa  0     .  b) Tính chất Cho  X  là không gian vectơ tôpô trên trường  K .  i. Tập hút chứa 0.  ii. Giao một họ hữu hạn các tập hút là tập hút.  SVECTƠH: Châu Thị Tuyết Trang   Trang 10   Lớp: Sư phạm toán học K36 Luận văn tốt nghiệp  Không gian vectơ tôpô – Không gian lồi địa phương  iii. Tập  A  X  là tập hút và dãy  i iN  là dãy số không bị chặn trong  K  thì   X   i A .  i 1 Chứng minh i.  Theo  định  nghĩa,  nếu  A   là  tập  hút  thì  x  X ,  tồn  tại    0 sao cho    x  A, với mọi    thỏa  0     . Ta chọn  x  0 , khi đó  0   .0  A.    n  ii. Giả sử  Ai i  1, n  là các tập hút trong  X . Đặt  A   Ai .  i 1   Khi  đó,  ,  tồn  tại  i  0 sao cho  x  Ai ,   K thỏa  0    i i  1, n   x  X .  Chọn  u  min ui i 1,n , ta được    0 sao cho  x  Ai , x  X .   Vậy  x  X , tồn tại    0 sao cho  x  A,     K  thỏa  0     .   iii) Giả sử  A  X  là tập hút và dãy  i iN  là dãy số không bị chặn trong  K .    i 1 i 1 Lấy  x   i A  io : x  i o A  X nên  i A  X .  Ngược  lại,  với  x  X ,  vì  A  X   là  tập  hút  nên  tồn  tại    0 sao cho    x  A,   K  thỏa  0     .   i iN   Do    io :  io  1   Suy ra  1  io 1  io là  dãy  số  không  bị  chặn  trong  K ,  vậy  thì    .    i 1 i 1 x  A  x  io A   i A . Khi đó   i A  X .   Hay  X   i A .  i 1 1.4 Cơ sở lân cận 1.4.1 Định lý Cấu  trúc  tôpô  trong  không  gian  vectơ  tôpô  X   hoàn  toàn  xác  định  nếu  biết  được một cơ sở lân cận tại 0 của nó.  Chứng minh SVECTƠH: Châu Thị Tuyết Trang   Trang 11   Lớp: Sư phạm toán học K36 Luận văn tốt nghiệp  Không gian vectơ tôpô – Không gian lồi địa phương  (+)  Lấy  điểm  x  X .  Giả  sử  V   là  một  lân  cận  của  x . Khi  đó,  tồn  tại  G   mở  trong  X  sao cho  x  G  V . Suy ra,  y  y  x  G  y  x  V  hay  y  x  V  y .  (+) Giả sử  Bx  là một  cơ  sở  địa  phương  tại  x  X ,  với  y  X   và  U  y .  Ta  được,  Tx  y U   x  y  U . Hơn nữa,  x  y  U  là một lân cận của  x  X .  (+)  Vậy  tồn  tại  tập  mở  W  Bx   sao  cho  W  x  y  U  y  x  W  U mà  y  x  W  là một lân cận của  y  nên   y  x  W: W  B x   là cơ sở lân cận tại  y .  Cho  x    thì   y  W: W  B0   là  một cơ sở lân cận mở của  y .  (+)  Do  hợp  của  các  cơ  sở  lân  cận  mở  trong  X   là  một  cơ  sở  của  X   nên   y  B0 : y  X     y  W: W  B0  là một cơ sở trong  X .  Từ đó, ta có thể trang bị cho một không gian vectơ  X  thành một không gian  vectơ tôpô bằng cách xây dựng một cơ sở lân cận tại 0 cho nó.  1.4.2 Mệnh đề Cho  X  là một không gian vectơ tôpô,  B0  là một cơ sở lân cận tại 0 thuộc  X .  Khi đó:  i) Mọi tập thuộc cơ sở  B0 là một tập hút.  ii) Tồn tại ít nhất một lân cận cân của 0 thuộc  B0 .  iii) Tồn tại  U  B0  sao cho  U  U  V , V  B0 .   Chứng minh i) Lấy bất kì  V  B0 , xét ánh xạ:  f : K  X  với  f ( )   x, x  X .   Vì   X  là một không gian vectơ tôpô nên  f  liên tục. Mà  f (0)  0 nên   0   sao cho f ( )  V ,     .  Suy ra   x  V , x  X ,     .  Vậy  V  B0  là một tập hút.  ii)  Với  ánh  xạ  nhân  là  liên  tục  và  U 0 ,  ta  có  được   x  V , x  X ,     .   Suy  ra  U  V , x  U ,     .   Chọn        1 ,  ta  được   U  V ,       1 .  SVECTƠH: Châu Thị Tuyết Trang   Trang 12   Lớp: Sư phạm toán học K36 Luận văn tốt nghiệp  Không gian vectơ tôpô – Không gian lồi địa phương  (+) Đặt  W   V . Khi đó,  W 0  và   U   V  W ,    1 .   1  1   V  x  V   x  V , x  W .   1   Vậy thì   W  V ,    1,   1   W   V  W,    1.  Do đó, tồn  (+) Lấy  x  W  và  0    1.  Ta có:  x    1 tại lân cận cân trong cơ sở lân cận tại 0.  iii)  Xét  ánh  xạ  g : X x X  X   với  g  x, y   x  y .  Ánh  xạ  g   là  liên  tục  trong  không gian vectơ tôpô  X . Vậy tồn tại  U1 , U 2 0  sao cho  U1  U 2  V ,  V 0 .   Chọn  U  U1 U 2  U  U  V , V 0 .   * Nhận xét Cho  X  là một không gian vectơ tôpô,  B0  là một cơ sở lân cận tại 0 thuộc  X .  n Tồn tại  U  B0  sao cho  U  V , V  B0 .   i 1 Chứng minh Quy nạp theo iii).  1.4.3 Định nghĩa Tôpô     trong  không  gian  vectơ  X   bất  biến  đối  với  phép  tịnh  tiến  nếu  mọi  phép tịnh tiến trong  X  là một phép đồng phôi.  1.4.4 Mệnh đề Cho  X là một không gian vectơ và    bất biến với phép tịnh tiến sao cho có cơ  sở lân cận  B0  của 0 thỏa:  i)  V  B0 , tồn tại  U  B0  sao cho  U  U  V .   ii)  V  là tập cân và hút.  Khi đó,   X ,    là một không gian vectơ tôpô.  Chứng minh Ta cần chứng minh    tương thích với cấu trúc đại số trong  X , điều đó tương  đương với phép toán cộng và nhân liên tục.   (+)  x, y  X và W  B0 , theo i) thì tồn tại  V  B0 sao cho V  V  W .  Mà  x  V x , y  V  y  và  x  y  W  x y .  SVECTƠH: Châu Thị Tuyết Trang   Trang 13   Lớp: Sư phạm toán học K36 Luận văn tốt nghiệp  Không gian vectơ tôpô – Không gian lồi địa phương  Mặt khác,   x  V    y  V   x  y  V  V  x  y  W  x  y .  Từ đó, suy ra phép toán cộng là liên tục.  (+)   K , x  X và W  B x .  Vậy tồn tại một lân cận mở  V  B0  sao cho   x  V  W . Hơn nữa, theo i) thì  tồn tại  U  B0 sao cho U  U  V .       x  U ,         Do  U  là tập hút và cân nên tồn tại    0  sao cho   .      U  U ,       Chọn  n  1 để  1      n .  1 Theo    mệnh  đề  1.4.2  thì  ta  có  J  J  ...  J  nJ  U  J  U   với  J   là  n một lân cận tại 0 của  X . Suy ra  x  J  x .  Lấy  y  x  J  y  x  J và       .  Vì  U  là cân và   n     1  nên    y  x    J  U  U .  n 1    Do đó,   y   x       x    y  x    x  U  U   x  V  W ,         .  Vậy ánh xạ nhân là liên tục. Khi đó,   X ,    là một không gian vectơ tôpô.  1.4.5 Định lý Giả sử  X  là một không gian vectơ tôpô. Khi đó, mỗi lân cận của 0 đều chứa ít  nhất một lân cận  mở, cân.  Chứng minh (+) Theo 2.4.2, với mỗi  V 0  thì tồn tại một lân cận cân  U  V .  Vì  U 0  nên tồn tại tập  G '  mở sao cho  0  G '  U .  Khi đó,  G '  và - G '   là  các lân cận mở, cân của 0.  (+) Đặt  G  G '  G ' .   Khi đó,  G  là giao của hai tập mở, cân nên là một tập mở, cân. Vậy  G  là một  lân cận mở, cân được chứa trong  V .  1.4.6 Mệnh đề SVECTƠH: Châu Thị Tuyết Trang   Trang 14   Lớp: Sư phạm toán học K36 Luận văn tốt nghiệp  Không gian vectơ tôpô – Không gian lồi địa phương  Cho X  là một không gian vectơ tôpô,  F  X . Khi đó,  F    F  V V 0  .   Hơn nữa, với mỗi lân cận của 0 đều chứa một lân cận đóng cân của 0.  Chứng minh Ta cần chứng minh  F   F  V V 0  và  F  V V 0   F .  (+) Lấy  x  F  và  V  là một lân cận đối xứng của 0. Lúc này,  x  V  x .  Vì  x  F  nên   x  V   F    y   x  V   F , vậy  y   x  V  và y  F .  Suy  ra,  y  x  V  x  y  V   (do  V   là  một  lân  cận  đối  xứng).  Vậy  thì  x  F  V .  Cho nên  x   F  V V 0   hay  F    F  V V 0    (+)  Với  x   F  V V 0   F  V    y  V y  F  , V 0 .  Do  đó,  tồn  tại  z  F   sao  cho  x  z  V  z  x  V  x  V x .  Vậy  z   x  V   F     nên  x  F . Điều này tương đương với   F  V V 0   F .  Giả sử  V 0 . Suy ra, tồn tại  U 0 sao cho U  U  V . Do  U 0  tồn tại  F 0  sao cho  F  U  và  F  cân.  Theo chứng minh trên, ta được  F  F  U  F  U  U  V  .  Vậy lân cận  V  của 0 chứa một lân cận đóng cân  F  của 0.  Nhận xét Trong một không gian vectơ tôpô, phần tử 0 luôn có một cơ sở lân cận đóng.  Chứng minh Đặt F   F : F 0 . Ta thấy F  là một tập đóng.    Theo 1.4.6, mỗi lân cận của 0 đều chứa một lân cận đóng.   Khi đó,  V 0 , F F : 0  F  V  vậy F  là một cơ sở lân cận đóng.  1.5 Tập bị chặn và tập compact trong không gian vectơ tôpô 1.5.1 Tập bị chặn a) Định nghĩa SVECTƠH: Châu Thị Tuyết Trang   Trang 15   Lớp: Sư phạm toán học K36 Luận văn tốt nghiệp  Không gian vectơ tôpô – Không gian lồi địa phương  Tập bị chặn trong một không gian vectơ tôpô  X  là một tập con của  X  bị hút  bởi một lân cận bất kì của 0.  A  X  bị chặn   V 0 ,   0 :  A  V ,       b) Tính chất i. Trong một không gian vectơ tôpô, mỗi tập một phần tử là tập bị chặn. Hơn  nữa, tập chứa hữu hạn các phần tử cũng là một tập bị chặn.  ii. Tập con của một tập bị chặn là tập bị chặn.  iii. Bao đóng của một tập bị chặn thì bị chặn .  iv. Tổng và hợp hữu hạn của các tập bị chặn là tập bị chặn.  Chứng minh Giả sử  X không gian vectơ tôpô  i) Lấy x  X ,   X không gian vectơ tôpô nên ánh xạ nhân liên tục.   Khi đó  V 0 :  x  V ,    1 . Vậy   x  là tập bị chặn.  (*) Giả sử  A   x1 , x2 ,..., xn  x X   là một tập gồm  n  phần tử. Khi đó, mỗi  xi  A  thì  i  i  0 :  xi   i ,     i . Chọn    max  i i 1,n  0 :  xi   ,     , i .  Vậy  V 0 ,   max  i i 1,n  0 :  A  V ,     .  Do  đó,  A   là  một  tập  bị chặn.  ii. Với  B  A  là một tập bị chặn trong  X . Ta có:  V 0 ,   max  i i 1,n  0    A  V   B   A  V ,     . Vậy  B  bị chặn.  iii. Với  A  là một tập bị chặn trong  X .  V 0 ,   0 :  A  V ,       Suy ra  V 0 , U  V ,   0 :  A   A  U  V ,     . Vậy  A  bị chặn.  iv.  Ta  chứng  minh  nếu  A, B   bị  chặn  trong  X   thì  A  B, A  B   là  những  tập  bị  chặn.  1  0 :  A  V ,    1  Thật vậy, với  V  là một lân cận tại 0. Như vậy,   .   2  0 :  B  V ,     2 (+)  Chọn    max 1 ,  2  :   A  B    A   B  V ,     .  Vậy A  B   bị  chặn.  SVECTƠH: Châu Thị Tuyết Trang   Trang 16   Lớp: Sư phạm toán học K36 Luận văn tốt nghiệp  Không gian vectơ tôpô – Không gian lồi địa phương  (+) Tồn tại  U  là một lân cận của 0 và  U  V  sao cho  U  U  V .  Ta được    0 :   A  B    A   B  U  U  V ,      nên  A  B  bị chặn.  Từ đó, dùng phương pháp qui nạp, ta có điều phải chứng minh.  c) Định lý Cho X  là một không gian vectơ tôpô, tập  A  X  là một tập bị chặn khi và chỉ  khi tồn tại một   dương thỏa   A  V , với  V  là một lân cận tùy ý của 0.  Chứng minh     Với  A  X  là tập bị chặn, theo định nghĩa    0 :  A  V .       Giả  sử  có  một   dương  thỏa   A  V ,  V 0 .  Do  đó,        thì  A   A  Suy ra,   A  V ,       . Vậy  A  bị chặn.  1.5.2 Tập hoàn toàn bị chặn a) Định nghĩa Cho  X  là không gian vectơ tôpô,  A  X  là một tập con hoàn toàn bị chặn khi  và  chỉ  khi  tồn  tại  một  tập  hữu  hạn  B  X   sao  cho  với  mọi  lân  cận  V 0   thì  A  B  V .  b) Nhận xét Tập hoàn toàn bị chặn thì bị chặn.  Chứng minh (+)  Giả  sử  A   là  tập  hoàn  toàn  bị  chặn.  Khi  đó,  với  mọi  lân  cận  V 0   thì  A  B  V , với  B  X  là tập hữu hạn.  (+)  Do  B   hữu  hạn  nên  theo  2.5.1b,  B là  một  tập  bị  chặn.  Vậy  thì   U 0 ,   0 :  B  U ,     .   (+) Với mọi  V 0 , U 0 : U  U  V , chọn     2 1 n  *  , suy ra  B  U .   n n 1 1 1 1 A  B  U  B  U  U  U  V .  n n n n Vậy  V 0 ,    1  0 :  A    A  U ,      . Cho nên  A  là tập bị chặn.  n SVECTƠH: Châu Thị Tuyết Trang   Trang 17   Lớp: Sư phạm toán học K36 Luận văn tốt nghiệp  Không gian vectơ tôpô – Không gian lồi địa phương  1.5.3 Tập compact a) Định nghĩa Cho   X ,   là không gian vectơ tôpô,  A  X  là một tập compact nếu với mọi  phủ mở của  A  trong  X  thì  A  có một phủ con hữu hạn.  Định nghĩa này tương đương  Vi 0 ,  Vi  A, n0 : A   Vi .  i i 1, n0 Thật  vậy,  Vi   là  một  lân  cận  của  0  thì  tồn  tại  lân  cận  mở  Gi   của  0  sao  cho  Vi  Gi , vậy họ   Gi i  là một phủ mở chứa  A .  Khi đó, tồn tại một phủ con hữu hạn   Gi  chứa  A .  i 1, n0 Nhận xét Tập con của một tập compact là tập compact.  Chứng minh Với  B  là một tập con của tập compact  A .   Khi đó, mọi phủ mở của  A  cũng là phủ mở của  B . Do  A  compact nên  A chứa  một  phủ  con hữu  hạn.  Mà  B  A  nên  B  cũng có  một  phủ  con  hữu hạn.  Vậy  B   compact. b) Mệnh đề Cho  A1 , A2   là  các  tập  compact  trong  X .  Khi  đó,  A1  A2 , A1  A2   là  các  tập   n  n compact. Hơn nữa, với các   i  K i  1, n  thì    i Ai  và    i Ai  cũng là các tập  i 1 i 1 compact.  Chứng minh Giả sử  A1 , A2  là các tập compact trong không gian vectơ tôpô X .  (+)  Vi 0 ,   Vi  A1  A2   i Vi  A1 , n0 : A1   Vi i 1, n0 i , Vi 0   Theo định nghĩa, ta có:   i Vi  A2 , m0 : A2  i 1,m0 Vi Đặt   k  max n0 , m0  , suy ra  A1  A2   Vi . Do vậy,  A1  A2  compact.  i 1, k SVECTƠH: Châu Thị Tuyết Trang   Trang 18   Lớp: Sư phạm toán học K36 Luận văn tốt nghiệp  Không gian vectơ tôpô – Không gian lồi địa phương    Hơn nữa, dễ thấy   i Ai  với   i  K i  1, n  là các tập compact. Khi đó, bằng  n quy nạp, ta suy ra được    i Ai  cũng là các tập compact.  i 1 (+)  X  là một không gian vectơ tôpô nên ánh xạ  ( ) : A1 x A2  X x y  x, y   liên tục. Mà  ảnh của tập compact là tập compact nên  A1  A2  là một tập compact.  n Tương  tự  chứng  minh  trên,  để  chứng  minh    i Ai   là  tập  compact,  ta  dùng  i 1 quy nạp.  c) Định lý Nếu  A  là một tập compact và  B là một tập con đóng trong không gian vectơ  tôpô  X . Khi đó,  A  B  là một tập đóng.  Chứng minh (+) Lấy  x  X \  A  B   x  A  B   x  xi   B   , với mỗi  xi  A   (+) Vì  B là một tập con đóng nên theo 1.4.6 thì  Vi 0 :    x  xi  Vi   B   .   Mà  Vi 0  nên  U i 0 : U i  U i  Vi  ( U i  mở) cho nên   xi  U i  là tập mở.  (+)  Ta  thấy    xi  U i    là  một  phủ  mở  chứa  A .  Do  A   compact  nên  i n A    xi  U i    i 1 n n i 1 i 1 (+) Đặt  V  U i , suy ra   x  A  V     x  xi  U i  U i     x  xi  Vi    i    i0 :  x  A  V   x  xi0  Vi0   x  A  V   B   .    x  V    A  B    . Mà  x  V  x  nên  A  B  là một tập đóng.  d) Định lý Cho  X  là một không gian vectơ tôpô. Nếu Y  là một tập con compact và  Z là  một  tập  con  đóng  trong  X   thì  tồn  tại  một  lân  cận  mở  V   của  0  sao  cho  Y  V    Z  V    .  Chứng minh SVECTƠH: Châu Thị Tuyết Trang   Trang 19   Lớp: Sư phạm toán học K36 Luận văn tốt nghiệp  Không gian vectơ tôpô – Không gian lồi địa phương  (+) Ta có  Z  là một tập đóng và  Y  Z    nên với  x  Y , V 0  x  V x   sao cho   x  V   Z   .  (+) Mặt khác, do  X  là một không gian vectơ tôpô nên ánh xạ  ( ): X x X x X  X   liên tục. Từ đó, tồn tại một lân cận  U  mở, đối xứng của 0 sao cho  U  U  U  V .  Suy ra,  x  U  U  U  x  V , x  Y  nên  x  U  U  U  Z  , x  Y .  (+) Mà  U  U     x  U  U    U  Z    x  U  U    Z  U   , x  Y .  (+)  Hơn nữa,  U   mở  nên   x  U xY   là  một  phủ  mở  của  Y   mà  tập  Y  là  một  tập  n compact nên tồn tại hữu hạn  xi  Y i  1, n  sao cho  Y   xi  U xi , với  U xi  là      i 1 lân cận tương ứng của 0 với mọi  xi .  (+) Đặt  V  U xi , mà giao hữu hạn của  U xi  mở là mở. Khi đó  V  là một tập mở.  i n n Vậy  Y  V   xi  U xi  V   xi  U xi  U xi .    i 1    i 1  Ta lại có  xi  U xi  U xi   Z  V   , i  nên  Y  V    Z  V    .  1.6 Ánh xạ tuyến tính liên tục và phiếm hàm tuyến tính liên tục 1.6.1 Định nghĩa Cho  X  là một không gian vectơ tôpô và ánh xạ  f : X  Y .  Ánh xạ  f  là ánh xạ tuyến tính liên tục nếu thỏa:  i)  f ( x   y )   f ( x)   f ( y ),  ,   K , x, y  X .  ii)  f  liên tục.  Thay  Y  K , ta được  f  là một phiếm hàm tuyến tính liên tục.  1.6.2 Tính chất i) Ảnh của một tập cân qua ánh xạ tuyến tính liên tục là một tập cân.  ii) Ánh xạ tuyến tính liên tục trong không gian vectơ tôpô biến một tập bị chặn  (hoàn toàn bị chặn) thành một tập bị chặn (hoàn toàn bị chặn)  iii) Nếu  f : X  Y  là một toàn ánh tuyến tính liên tục thì ảnh của một tập hút  là một tập hút.  SVECTƠH: Châu Thị Tuyết Trang   Trang 20   Lớp: Sư phạm toán học K36 Luận văn tốt nghiệp  Không gian vectơ tôpô – Không gian lồi địa phương  Chứng minh i) Giả sử  A  là một tập cân trong không gian vectơ tôpô  X  và  f : X  Y  là ánh xạ  liên tục.  Ta có:    K ,   1 thì  A  A . Khi đó,   f  A  f   A  f  A  .  Vậy  f  A   là một tập cân.  ii) Với  B  là một tập bị chặn trong không gian vectơ tôpô  X  và  f : X  Y  là ánh  xạ liên tục.  Do vậy,  V  f  0 , U 0 : f U   V . Hơn nữa,  B  là một tập bị chặn nên    0 :  B  U . Vậy    0 :  f  B   f   B   f U   V .  Ta được  f  B   là một tập bị chặn.  iii) Giả sử  C  là một tập hút trong  X .  Vì  f  là một toàn ánh nên  y  Y , x  X : f  x   y   Do  C  là tập hút nên    0,  x  C   y   f  x   f   x   f  C  ,     .  1.6.3 Định lý Cho  X   là  các  không  gian  vectơ  tôpô,  f : X  K   là  một  phiếm  hàm  tuyến  tính. Khi đó, các mệnh đề sau tương đương  i)  f  liên tục.  ii)  Ker f  là tập đóng.  iii) Tồn tại một lân cận của 0 sao cho  f  bị chặn trong lân cận đó.  Chứng minh i)  ii)  Ta  có  Ker f   x  X : f  x   0 .  Khi  đó,  V   là  lân  cận  của  0  thì  x  V  x .  Vậy với mọi  x  Ker f  thì  Ker f  x  V   .  ii)  iii) Với  Ker f  là tập đóng thì  Ker f  X  hoặc  Ker f  không đâu trù mật.  (+) Nếu  Ker f  X thì  f  x   0, x  X . Vậy  f  bị chặn bởi 0,  V  x .  (+) Nếu  Ker f  không đâu trù mật thì  X \ Ker f  là tập mở khác rỗng.  SVECTƠH: Châu Thị Tuyết Trang   Trang 21   Lớp: Sư phạm toán học K36 Luận văn tốt nghiệp  Không gian vectơ tôpô – Không gian lồi địa phương  Lấy  x  X \ Ker f  x  Ker f , tồn tại lận cân  U 0 : x  U   Ker f   .  Do  U  cân nên  f U   cân, suy ra  f U   bị chặn   iii)  i) Giả sử với  V  là một lân cận tại 0, và  k  K , k  0   f V   k   Lấy    0 , suy ra  x  V  k k x V  f     x   k  f  x    .   Vậy  f  liên tục tại 0 nên  f  liên tục trên  X .  1.7 Không gian vectơ tôpô con- Không gian vectơ tôpô thương 1.7.1 Không gian vectơ tôpô con Cho   X ,   là các không gian vectơ tôpô.  Y ,    được gọi là không gian vectơ tôpô con của   X ,  khi và chỉ khi  Y  X  và    là tôpô cảm sinh bởi    phải tương thích với cấu trúc đại số của  Y .  Nhận xét Nếu  M là  một  không  gian vectơ  tôpô  con của  không  gian  vectơ  tôpô  X   thì  M ,  X / M  cũng là các không gian vectơ tôpô con.  1.7.2 Không gian vectơ tôpô thương a) Định nghĩa Với  M là một không gian vectơ tôpô con của không gian vectơ tôpô  X . Xét  không gian vectơ thương  X / M  và ánh xạ chính tắc  i: X  X /M x xM .   X / M với tôpô mạnh nhất trên  X / M làm cho  i  liên tục lập thành một không gian  vectơ tôpô thương.  Nhận xét Tập con của   X / M  là mở nếu nó là ảnh của một tập mở qua ánh xạ  i   Chứng minh Giả sử  G  là một tập mở trong  X . Khi đó,  i  G   G  M .Vì  G  nên  G  M  là  tập mở.  1.7.3 Tích và tổng các không gian vectơ tôpô a) Tích các không gian vectơ tôpô SVECTƠH: Châu Thị Tuyết Trang   Trang 22   Lớp: Sư phạm toán học K36 Luận văn tốt nghiệp  Không gian vectơ tôpô – Không gian lồi địa phương  Cho   X i iI  là họ các không gian vectơ tôpô.  Xét không gian vectơ tích   X i  với tôpô tích, trong đó các cơ sở lân cận của  iI x   xi iI  là  Vi , Vi  xi .   X i  cùng với tôpô tích lập thành không gian vectơ  iI iI tôpô tích.  b) Tổng các không gian vectơ tôpô Trong  không  gian  vectơ  tôpô  tích  X i ,  không  gian  vectơ  con  iI  X i   x   xi iI   chứa các phần tử có cơ sở lân cận   Vi , Vi  xi  là một không  iI iI gian vectơ tôpô tổng.  Nhận xét i) Ánh xạ đồng nhất   X i   X i  là liên tục hay tôpô trong   X i  mạnh hơn  iI iI iI tôpô cảm sinh bởi tôpô của   X i .  iI ii) Phép nhúng   : X j   X i  và phép chiếu  p : X iI i  X j  là các ánh xạ  iI liên tục.  1.8 Một số không gian vectơ tôpô 1.8.1 Không gian vectơ tôpô Hausdorff a) Định nghĩa Cho   X ,    là  các  không  gian  vectơ  tôpô,  X   là  một  không  gian  vectơ  tôpô  Hausdorff nếu   X ,  là một không gian Hausdorff  T2  không gian  .  Các  định  lý  sau  đây  khẳng  định  các  điều  kiện  để  một  không  gian  vectơ  tôpô  là  Hausdorff.  b) Định lý Giả sử  X  không gian vectơ tôpô,  X  là Hausdorff khi và chỉ khi với mọi phần  tử khác 0 thuộc  X  có một lân cận tại 0 không chứa nó.  Chứng minh     Giả sử  X  là không gian vectơ tôpô Hausdorff.  SVECTƠH: Châu Thị Tuyết Trang   Trang 23   Lớp: Sư phạm toán học K36 Luận văn tốt nghiệp  Không gian vectơ tôpô – Không gian lồi địa phương  Lấy  x  X \ 0 ,  khi  đó  có  U , V 0   để  x  U  x , V 0   và   x  U   V   . Vậy tồn tại lân cận  V  của 0 không chứa  X .      (Phản chứng) Giả sử với mọi phần tử khác 0 thuộc  X  có một lân cận tại 0  không chứa nó thì  X  không là Hausdorff.  (+) Lấy tùy ý  x, y  X : x  y , suy ra  x  y  0 . Vậy  V 0 : x  y  V .  (+) Do  V 0  nên  U 0 : U  U  V . Như vậy,  x  U  x và y  U  y .  Mà  X  không là Hausdorff nên  x, y  X : x  y  để   x  U    y  U     (*)   z   x  U   z  x  U  Suy ra,  z   x  U    y  U    .   z   y  U   z  y  U Ta được,  x  y   x  z    z  y   U  U  V     (mâu thuẫn (*)).  Vậy X  là không gian vectơ tôpô Hausdorff.  c) Định lý Một không gian vectơ tôpô là Hausdorff khi và chỉ khi mỗi tập hợp chứa duy  nhất một phần tử là tập đóng.  Chứng minh      Giả  sử  X   là  không  gian  vectơ  tôpô  Hausdorff  và  x  X ,  ta  chứng  minh  X \  x  là một tập mở.  (+) Lấy bất kỳ  y  X \  x  y  x  0 , theo 2.8.1b) thì tồn tại  V 0 :  y  x  V   hay y  x  V  x  vậy tồn tại  U 0 :  y  U   ( x  V )     Cho nên  y  U  là một lân cận của  y  không chứa  x . Suy ra,  y  U  X \  x .  (+) Do  y  U  là một lân cận của  y  nên tồn tại  G  mở sao cho  y  G  y  U  .  Ta được,  y  G  X \  x  hay  y  là điểm trong của  X \  x , với mọi  y  X \  x .  X \  x  là tập mở hay   x là tập đóng trong  X .      Giả sử   xxX là một tập đóng.  (+)  y  X \  x  V 0 :  y  V    x    (*). Vì  V 0  nên tồn tại lân cận  mở, đối xứng  U 0 : U  U  V .  (+) Ta chứng minh   y  U    x  U    . Giả sử  y  U    x  U    .  SVECTƠH: Châu Thị Tuyết Trang   Trang 24   Lớp: Sư phạm toán học K36 Luận văn tốt nghiệp  Không gian vectơ tôpô – Không gian lồi địa phương  Suy  ra,  z   y  U    x  U   x  y  U  U  x  y  U  U   mà  theo  (*)  thì   y  U  U    x    (mâu thuẫn).  Vậy  X  là không gian vectơ tôpô Hausdorff.  d) Định lý Cho  X  là không gian vectơ tôpô,  B0  là một cơ sở lân cận tại 0 của  X .  X  là Hausdorff khi và chỉ khi   V  0 .  V B0 Chứng minh     Giả sử  X  là không gian vectơ tôpô Hausdorff ,  x  X \ 0 .  Vì  X  Hausdorff nên theo 1.8.1b) tồn tại  V 0 : x  V . Mặt khác, do  V 0   nên tồn tại  U  B0 :U  V  và  x  U  x   U , x  0 .  U B0 Vậy   U  0 .  U B0     Giả sử  VB V  0 .  0 Vậy với  x  X \ 0  thì  x   V . Do đó,  V  B0 : x  V .  V B0 Khi  đó,  x   có  một  lận  cận  của  0  không  chứa  nó  nên  theo  2.8.1b)  X   là  Hausdorff.  e) Định lý Cho  X  là một không gian vectơ tôpô Hausdorff.  X / M  là một không gian vectơ tôpô Hausdorff khi và chỉ khi  M  X  là một tập  đóng.  Chứng minh     Giả sử  X / M  là một không gian vectơ tôpô Hausdorff.   Theo 1.8.1c)    X / M  là một tập đóng trong  X / M . Vậy  M  X  là một tập  đóng.      Giả sử  M  X  là một tập đóng.   Lấy  x  x  M    X / M  x  M .   SVECTƠH: Châu Thị Tuyết Trang   Trang 25   Lớp: Sư phạm toán học K36 Luận văn tốt nghiệp  Không gian vectơ tôpô – Không gian lồi địa phương  Mà  M  X   là  một  tập  đóng  nên  V 0 , V đối  xứng  sao  cho  x V   M   .  Suy  ra,  x  M  V  x  x  M  M  V .  Vì  phép  tịnh  tiến  là  một phép đồng phôi nên  M  V  là một lân cận của   .   Do  có  một lân  cận  của     không  chứa  x   nên theo  2.8.2b)  thì  X / M   là  một  không gian vectơ tôpô Hausdorff.  1.8.2 Không gian vectơ tôpô hữu hạn chiều a) Định lý Cho  X  là một không gian vectơ tôpô trên trường  K .  n Ánh xạ  f : K n x X n  X  với  f   ( )x ( x )      x  là một ánh xạ liên  i i i i i 1, n i 1 tục.  Chứng minh n (+) Lấy   (i )x ( xi ) i 1,n  K n x X n , gọi  y   i xi  f i 1  ( )x ( x )   .  i i i 1, n Giả sử  W  là một lân cận tùy ý của  y , suy ra   y  W 0 .  Lúc này, tồn tại các lân cận  V 0 : V  V  ...  V  W .   Do  ánh  xạ  () trong  X   là  liên  tục  nên  với  i xi  V i xi , i  1, n ,  tồn  tại     i  0  và  U i  x  sao cho  iU i  i xi  V ,  i  i   i .  i   (+) Đặt    min  i i 1,n , với  xi  U i i  1, n .  n n n Khi đó,   i xi    i xi  V    i xi    z  W ,  i  i   .  i 1 i 1 i 1 Vậy ánh xạ  f  liên tục.  b) Định lý Cho  X   là  một  không  gian  vectơ  tôpô  Hausdorff  trên  trường  K .  Y   là  một  không gian con  n  chiều của  X .  Khi đó:  i) Đẳng cấu tuyến tính  f : K n  Y  là một phép đồng phôi.  ii)  Y là một tập đóng.   SVECTƠH: Châu Thị Tuyết Trang   Trang 26   Lớp: Sư phạm toán học K36 Luận văn tốt nghiệp  Không gian vectơ tôpô – Không gian lồi địa phương  Chứng minh i) Dễ thấy  f  là một song ánh tuyến tính. Ta chứng minh  f  và  f 1  liên tục.  (+) Lấy  x0  K n ,  W  f  0  . Do  f  là một đẳng cấu nên  f  K n   Y . Vậy luôn tồn  tại lân cận  V 0  của  f V   W .  Suy ra,  f  liên tục.  n   S  x  x , x ,..., x x  xi2  1 . Khi đó,  S là một tập compact.  (+) Lấy  1 2   n  xi K i 1   Mà  f  liên tục nên  f  S   cũng là một tập compact. Hơn nữa,  f  S   là một tập  đóng trong không gian Hausdorff  X .    Ta  lại  có  f 0 K n  0 X ,  mà  0K n  S   nên  0 X  f  S    ( f   đơn  cấu).  Suy  ra,  X \ f  S   là một tập mở chứa  0 X  nên nó cũng là một lân cận của  0 X . Do đó, tồn  tại một lân cận cân  V 0 X sao cho  0 X  V  X \ f  S  .  Cho  nên  V  X \ f  S    hay f 1 V  f  S    f 1 V    S      (*)  và  f 1 V   cân vì  f 1  là một ánh xạ tuyến tính.   n   Xét hình cầu mở  B   x   x1 , x2 ,..., xn  x K x   xi2  1 , dễ thấy  B  bị chặn  i i 1   bởi  S  và f 1 V   B .   Thật vậy, giả sử  f 1 V   B . Lúc này, tồn tại một  x  f 1 V  sao cho x  1 .  Suy  ra,  khác,  1 1 1 x  1.  Do  f 1 V    cân  nên  f V   f 1 V    f 1 V  .  Mặt  x x x x x x  1   S . Vậy   f 1 V   S  (mâu thuẫn (*)).  x x x Xét  pi : K n  K  với  pi  x  ( x1 , x2 ,..., xn )   xi  tương ứng với mỗi  i  1, n .  Đặt  g  pi  f 1 : X  K   là  một  phiếm  hàm  tuyến  tính.  Hơn  nữa,  với  mọi  x  V  thì  g  x   1 . Vậy  g  bị chặn bởi một lân cận  0 X .  SVECTƠH: Châu Thị Tuyết Trang   Trang 27   Lớp: Sư phạm toán học K36 Luận văn tốt nghiệp  Không gian vectơ tôpô – Không gian lồi địa phương  Theo định lý 1.6.3 thì  g  liên tục. Cho nên  f 1  liên tục.  Vậy thì  f  là một phép đồng phôi.  ii) Ta chứng minh  Y  Y .  (+) Hiển nhiên,  Y  Y , ta chứng minh  Y  Y .  (+) Lấy  y  Y , khi đó do  V  cân nên tồn tại    0 : y  V  y  Y  V  Y  V     Mặt  khác,  Y  V  V  f   B   f  B .  Vì   B   là  một  tập  đóng  nên        f  B  đóng trong  Y  ( f  là phép đồng phôi), suy ra  f  B  f  B .      Vậy  y  f  B  f  B  Y . Từ đó, suy ra  Y  Y , vậy  Y là một tập đóng.  Nhận xét Không  gian  con  hữu  hạn  chiều  của  không  gian  vectơ  tôpô  Hausdorff  là  một  không gian con đóng.  c) Định lý Giả  sử  Y   là  một  tập  đóng  trong  không  gian  vectơ  tôpô  Hausdorff  X .  Nếu  M là một không gian con hữu hạn chiều của  X thì  M  Y  là một tập đóng.  Chứng minh Xét toàn cấu chính tắc  i : X  X / Y , ta thấy  i  liên tục .  Do  M là  một  không  gian  con  hữu  hạn  chiều  của  X   nên  theo  nhận  xét  trên  M là một không gian con đóng. Mà  Y  đóng nên  X / Y  là không gian Hausdorff,  suy ra  M  Y  i  M   là không gian hữu hạn chiều trong  X / Y . Vậy M  Y  là một  tập đóng.  1.8.3 Không gian vectơ tôpô metric. a) Định nghĩa Không gian vectơ tôpô  X  được gọi là một không gian vectơ tôpô mêtric nếu  tôpô của nó có thể được xác định bằng một mêtric.  Trong đó, mêtric  d  là một ánh xạ  d : X x X    thỏa:  i) d  x, y   0, d  x, y   0  x  y ii) d  x, y   d  y, x  SVECTƠH: Châu Thị Tuyết Trang   x, y  X . x, y  X . Trang 28     Lớp: Sư phạm toán học K36 Luận văn tốt nghiệp  Không gian vectơ tôpô – Không gian lồi địa phương  iii) d  x, y   d  x, z   d  z , y  x, y, z  X .   b) Định lý  Không gian vectơ tôpô Hausdorff  X  khả mêtric khi và chỉ khi  X  có một cơ  sở lân cận đếm được. Khi đó, tồn tại một hàm  d : X    thỏa mãn:  i.  d ( x)  d ( x) , với mọi  x  X ,    K ,    1 .  ii.  d ( x  y )  d ( x)  d ( y ) , với mọi  x, y  X .  iii.  d ( x)  0  khi và chỉ khi  x  0 .  Chứng minh ()  Giả sử  ( X , )  là không gian vectơ tôpô Hausdorff mêtric hóa được. Khi đó,    là mêtric trên  X  nên  X có một cơ sở lân cận đếm được.  ()   Giả  sử  X   có  một  cơ  sở  lân  cận  đếm  được  tại  0  là  Vn  ( n  * )  sao  cho  Vn1  Vn1  Vn  với mỗi  n .  0, x  0  Xét phiếm hàm  p  1, x  V1 , ta thấy  p  thỏa:   m 2 , x  Vm \ Vm1 i.  p ( x)  0, x  X  và  p( x)  0  x  0 .  ii.  p ( x)  p ( x), p ( x)  p ( x),    1 .  iii.  lim p   x   0  và  x  Vm  nếu  p ( x)  2  m .   0 n  n  Đặt  d ( x)  inf  p ( xi ) x1 , x2 ,..., xn  X ;  xi  x  , ta chứng minh được  d  thỏa  i 1  i 1  iv.  d ( x)  0 ,  x  X  và  d ( x  y )  d ( x)  d ( y ), x, y  X .  v.  1 p ( x)  d ( x)  p ( x)  d ( x)  0  x  0 .  2 Thật vậy,  từ định  nghĩa  ta  suy  được  iv ,  đề chứng  minh  v   ta sẽ chứng minh nếu  n n  p( x )  2 i i 1 m  thì   xi  Vm  bằng quy nạp.  i 1 (+) Với  n  1 ,  p( x1 )  2 m suy ra  x1  Vm1  Vm .  SVECTƠH: Châu Thị Tuyết Trang   Trang 29   Lớp: Sư phạm toán học K36 Luận văn tốt nghiệp  Không gian vectơ tôpô – Không gian lồi địa phương  n (+)  Giả  sử  với  một  họ  xi (i  I ) sao  cho  có  n   vectơ  thỏa   p( x )  2 m i   thì  i 1 n  x V i m .  i 1 Ta chứng minh mệnh đề đúng với  n  1 .  n 1 Giả sử   p ( xi )  2 m , ta có  p( xi )  2 m 1 , suy ra  xi  Vm 1 (i  1, n  1 ), ta xét  i 1 hai trường hợp sau:  n 1 Trường hợp 1:   p ( xi )  2 m 1 .  i 1 n n n 1 n Suy ra   p ( xi )  2 m  vậy thì   xi  Vm1  mà   xi   xi  xn 1  Vm 1  Vm 1  Vm .  i 1 i 1 i 1 i 1 n 1 Trường hợp 2:   p ( xi )  2 m 1 .  i 1 n 1 Lấy  k  ( 1  k  n  1 ) lớn nhất sao cho   p ( xi )  2 m 1 .  ik n 1 Nếu  k  n  1,  thì  p( xn1 )  2  m 1   mà   xi  Vm   (!),  vậy  k  n  1 .  Thay  vào  i 1 tương tự, ta chứng minh được mệnh đề.  Lấy  x  X  sao cho  p ( x)  2 m .  k k  Giả sử có  x1 , x2 ,..., xk  thỏa   xi  x  và   p ( xi )  i 1 i 1 1 p ( x)  2 m 1  , theo mệnh  2 đề trên ta có được  p ( x)  2 m1  2m  p ( x) (!). Vậy  v  thỏa.  Từ  đó,  ta  xác  định  được  một  mêtric  d    thỏa  d ( x, y )  d ( x  y ), x, y  X   sinh ra tôpô    của  X .  Nhận xét: Một không gian vectơ tôpô Hausdorff bị chặn địa phương thì khả mêtric.  Chứng minh Giả  sử  V   là  một  lân  cận  bị  chặn  địa  phương  trong  không  gian  vectơ  tôpô  n  0 .  Hausdorff  X  và  n   là một dãy số khác 0 sao cho  n  SVECTƠH: Châu Thị Tuyết Trang   Trang 30   Lớp: Sư phạm toán học K36 Luận văn tốt nghiệp  Không gian vectơ tôpô – Không gian lồi địa phương  Lấy  U  là một lân cận cân tùy ý trong  X , do tính bị chặn nên tồn tại    K  để  V  U .  Chọn  n   sao  cho  n   1 .  Khi  đó,  nV  U .  Vậy  X   có  một  cơ  sở  lân  cận  đếm được là  nV  . Theo định lý trên thì  X  khả mêtric.                                 SVECTƠH: Châu Thị Tuyết Trang   Trang 31   Lớp: Sư phạm toán học K36 Luận văn tốt nghiệp  Không gian vectơ tôpô – Không gian lồi địa phương  CHƯƠNG 2: KHÔNG GIAN LỒI ĐỊA PHƯƠNG   2.1 Tập lồi – Tập tuyệt đối lồi 2.1.1 Định nghĩa tập lồi  Cho  X  là một không gian vectơ.  A  X là một tập lồi nếu   x  (1   ) y  A  hay   A  (1   ) A  A ,  x, y  A    0    1 .  Ví dụ: i) Trong   , một đoạn   a; b  a, b    là một tập lồi.  ii) Hình tròn trong   2 , hình cầu mở trong   3  cũng là các tập lồi.  2.1.2 Tính chất Trong một không gian vectơ tôpô  i) Phần trong, bao đóng của một tập lồi là lồi  ii) Giao của một họ lồi là một tập lồi.  iii) Tổ hợp tuyến tính của các tập lồi là lồi  iv) Ảnh và nghịch ảnh của tập lồi qua ánh xạ tuyến tính liên tục là các  tập lồi.  v) Một tập lồi chứa 0 là một tập cân.  Chứng minh Giả sử  X  không gian vectơ tôpô,  A  X là một tập lồi.  i) Ta chứng minh  A ,  A  là các tập lồi.  (+) x, y  A,    0;1   Vì  A  là một tập mở nên nó là một lân cận của mọi điểm thuộc nó. Do đó, tồn  tại lân cận mở  U ,V 0  sao cho  x  x  U  A  và  y  y  V  A .   x    x  U    A Suy ra   .  1    y  1    y  V   1    A   x  1    y    x  U   1    y  V    A  1    A   A  1    A .  SVECTƠH: Châu Thị Tuyết Trang   Trang 32   Lớp: Sư phạm toán học K36 Luận văn tốt nghiệp  Không gian vectơ tôpô – Không gian lồi địa phương  Mặt  khác,  U ,V   là  các  tập  mở  nên    x  U  , 1    y  V    là  các  tập  mở.  Cho nên    x  U   1    y  V   là tập mở.   Hơn nữa, do  A  là một tập lồi nên   A  1    A  A .  Vậy  A  là một lân cận của   x  1    y  hay   x  1    y  là một điểm trong  của  A  với mọi  x, y  A . Ta được   x  1    y  A  nên  A  lồi.  (+) x, y  A,    0;1   Lấy bất kỳ  V  là lân cận của 0, khi đó tồn tại lân cận cân, đối xứng  U 0  sao  cho  U  U  V .  Với  x, y  A ,  ta  được  x  x  U và y  y  U .  Vì A   là  một  tập  lồi  nên   x  1    y  A     x  1    y    x  x   1    y  y    x  1    y  U  1   U  A .    x  1    y  U  U  A  A  V , V 0 .  Ta được   x  1    y    A  V V 0   A . Vậy  A  là tập lồi.  ii) Giả sử  Ai  là các tập lồi trong  X .  (+) Khi đó, với mọi  x, y   Ai   ta có  x, y  Ai . Vì  Ai  là các tập lồi trong  X  nên  iI  x  1    y  Ai , i, 0    1 .  Vậy   x  1    y   Ai , 0    1  hay   Ai   iI iI là một tập lồi.  iii)  Để  chứng  minh  tổ  hợp  tuyến  tính  của  các  tập  lồi  là  lồi  ta  chứng  minh   A, A  B  là các tập lồi với  A, B  là những tập lồi trong  X .  Ta có: do  A  lồi nên   A  1    A  A,    0,1 .  (+)    A  1    A      A  1    A   A  vậy   A  lồi.  Hơn nữa,  x  A  cũng là một tập lồi.   Thật vậy,    x  A  1    x  A  x   A  1    A  x  A .  (+)    A  B   1    A  B    A  1    A   B  1    B  A  B   nên  A  B   lồi.  SVECTƠH: Châu Thị Tuyết Trang   Trang 33   Lớp: Sư phạm toán học K36 Luận văn tốt nghiệp  Không gian vectơ tôpô – Không gian lồi địa phương  n (+) Ta có    i Ai  i  K   là một tổ hợp tuyến tính của các tập lồi  Ai .  i 1 n Theo quy nạp, ta chứng minh được    i Ai  i  K   cũng là một tập lồi và  i 1 nó được gọi là một tổ hợp lồi.  iv) Giả sử  f : X  Y  là ánh xạ tuyến tính liên tục,  X , Y  là hai không gian vectơ  tôpô.  Với  A   là  một  tập  lồi  trong  X ,  ta  có:   A  1    A  A,    0,1 .  Vậy f  A   lồi.  Nếu  f 1  tồn tại, tương tự với một tập  B  lồi trong  Y  thì với tính chất tuyến  tính ta cũng có được  f 1  B   lồi.  v) Ta có:  A  là một tập lồi trong  X  nên   x  1    y  A, x, y  A,    0,1 .  Chọn  y  0   x  A, x  A   A  A, 0    1 . Vậy  A  là một tập cân.  2.1.3 Định lý Nếu  E   là  một  tập  lồi  trong  không  gian  vectơ  tôpô  thì       E   E   E ,  ,   0 .  Chứng minh    Dễ thấy       E   E   E .     Lấy  x   E   E  y, z  E : x   y   z .  Ta thấy         1  và  E lồi nên  x    y z  E .        Vậy thì  x       E  hay   E   E       E .  Ta được       E   E   E ,  ,   0 .  * Nhận xét Với      1 , ta được  2E  E  E .  2.1.4 Bao lồi Bao lồi của  E  một tập là giao tất cả các tập lồi trong  X chứa  E .  SVECTƠH: Châu Thị Tuyết Trang   Trang 34   Lớp: Sư phạm toán học K36 Luận văn tốt nghiệp  Không gian vectơ tôpô – Không gian lồi địa phương  n  n  Kí hiệu:  C  E     i xi xi  E ,  i  K ,   i  1    i 1  i 1  Nhận xét: i)  C  E   là tập lồi bé nhất chứa  E .  ii)  C  C  E    C  E  .    iii)  C  E   C E .  Chứng minh i) Theo định nghĩa bao lồi, ta thấy với mọi tập lồi chứa  E  thì luôn chứa giao tất cả  các tập lồi chứa nó. Vậy  C  E   là tập lồi bé nhất.  ii) Dễ thấy, giao mọi tập lồi chứa  C  E   thì chứa  C  E   mà  C  E   lồi nên bao lồi  của bao lồi là chính nó.  iii) Ta chứng minh bao lồi của một tập đóng là một tập đóng.      Thật vậy,  x  C  E   x  C  E   C E  C  E   C E .    Nếu lấy  x  C E thì  x  sẽ thuộc vào giao tất cả các tập lồi chứa  E  mà  E  E     nên các tập lồi đó cũng chứa  E . Vậy  x  C  E   C  E   C E  C  E  .    Khi đó,  C  E   C E , E  X .  2.1.4 Tập tuyệt đối lồi a) Định nghĩa Cho  X  là một không gian lồi địa phương, tập E con  X là một tập tuyệt đối lồi  nếu   E   E  E,      1 .  Tập  tuyệt  đối  lồi  trong  không  gian  lồi  địa  phương  trên  trường  số  phức  có  những tính chất khác với trường số thực.  Bao tuyệt đối lồi  E của  là giao của tất cả các tập tuyệt đối lồi chứa tập đó.  n  n  Kí hiệu:    E    i xi xi  E , i  K ,  i  1  .  i 1  i 1  Nếu  E   E  thì bao tuyệt đối lồi của  E  được kí hiệu là    E  .   SVECTƠH: Châu Thị Tuyết Trang   Trang 35   Lớp: Sư phạm toán học K36 Luận văn tốt nghiệp  Không gian vectơ tôpô – Không gian lồi địa phương  b) Định lý Tập E con  X là một tập tuyệt đối lồi khi và chỉ khi  E  lồi và cân.  Chứng minh    Với  E  là một tập tuyệt đối lồi. Theo định nghĩa, ta có:    E   E  E,      1.  Chọn    1   , ta được  E  lồi. Nếu ta chọn    0  thì  E  cân.      Giả sử  E  là một tập lồi và cân. Với mọi   ,   K sao cho     1 .     0   E   E   E  E ( E cân)   E  tuyệt đối lồi.  (+) Nếu     0   E   E   E  E ( E cân) (+) Nếu    0  và    0  thì với  E cân  ta được    E  E và EE         1  1và  1    vì       Đặt  0    , 0    . Khi đó,  0  0  1 .       0 E  0 E  0  0 E   0  0 E   0 E  1  0  E  E   ( E  lồi).   0   0    E   E   0  0   E   E     0 0 0  0  E  E .  Vậy  E  tuyệt đối lồi.  Nhận xét Từ định lý trên ta thấy mọi tính chất của tập cân và tập lồi trong không gian  vectơ tôpô cũng đúng trong tập tuyệt đối lồi. Cụ thể:  i) Phần trong, bao đóng của một tập tuyệt đối lồi là tập tuyệt đối lồi.  ii) Giao tùy ý một họ tuyệt đối lồi là tuyệt đối lồi.  iii) Tổ hợp tuyến tính tuyệt đối lồi là lồi.  iv) Ánh xạ tuyến tính liên tục biến một tập tuyệt đối lồi thành tập tuyệt đối  lồi.  v) Tập tuyệt đối lồi chứa 0.  SVECTƠH: Châu Thị Tuyết Trang   Trang 36   Lớp: Sư phạm toán học K36 Luận văn tốt nghiệp  Không gian vectơ tôpô – Không gian lồi địa phương  2.2 Định nghĩa không gian lồi địa phương Không gian vectơ tôpô lồi địa phương (không gian lồi địa phương) là không  gian vectơ tôpô mà mọi phần tử của nó đều có cơ sở lân cận lồi.  Ta  đã  biết,  một  cấu  trúc  tôpô  của  một  không  gian  vectơ  hoàn  toàn  xác  định  nếu biết được một cơ sở lân cận tại 0 của nó. Như vậy, một không gian vectơ tôpô  trở thành một không gian lồi địa phương nếu phần tử 0 thuộc không gian này có cơ  sở lân cận lập thành từ các tập lồi.  2.3 Cơ sở lân cận 2.3.1 Mệnh đề Cho  X  là một không gian lồi địa phương. Khi đó, cơ sở lân cận  B0  thỏa các  tính chất:  i)  V  B0 ,   K \ 0 , V  B0 .  ii) Mọi tập thuộc cơ sở lân cận đó là tập lồi và cân.  Chứng minh Giả sử    là một cơ sở lân cận lồi tại 0 của  X .    Gọi  B0  V    U U  ,   0  . Ta cần chứng minh  B0  là một cơ sở lân   1   cận của 0 thỏa i, ii.  (+)  W 0 , V  B0 :0  V  W  nên  B0  là một cơ sở lân cận của 0.  (+) Lấy  V  B0 ,    K \ 0 , khi đó:  V    U    U    U  B0 .   1  1  1 (+)  V  B0 : V   U . Do U   ,    là một cơ sở lân cận lồi tại 0 nên  U  là một   1 lân cận lồi, theo 2.1.2 thì  U  là lồi nên   U  là tập lồi.   1 Hơn nữa, mỗi  V  B0  đều chứa 0 nên  V  là tập lồi và cân.  Nhận xét Từ mệnh đề này, ta rút ra được: Trong một không gian lồi địa phương luôn tồn  tại một cơ sở lân cận tại 0 chứa các lân cận mở, cân, lồi.  Chứng minh SVECTƠH: Châu Thị Tuyết Trang   Trang 37   Lớp: Sư phạm toán học K36 Luận văn tốt nghiệp  Không gian vectơ tôpô – Không gian lồi địa phương  Chứng  minh  tương tự  ở mệnh đề trên với  V  B0  là các lân cận  lồi cân. Khi  đó, tồn tại  G  mở con V . Ta được  C  G   là một lân cận mở, cân, lồi của 0.  2.3.2 Mệnh đề Cho  X  là một không gian vectơ, họ    gồm các tập cân, lồi, hút. Khi đó,  X   có một tôpô địa phương duy nhất    sao cho  B  V V  ,   0 là cơ sở lân cận  tại 0 của  X .  Chứng minh Đặt     U , U  B   i 1, n Ta cần kiểm tra, mọi tập thuộc   thỏa 2.4.4.  (+) Với  W   ta thấy  W   U , U  B , dễ thấy  W  là tập hút.  i 1, n (+) Ta chứng minh  W ,  ta chứng minh tồn tại  W   : W   W   W .   Thật vậy, với  W , Vi  ,  i  0 : W    iVi .  i 1, n Khi  đó,  ta  thấy  W   1 2 V1  2 2 V2  ...  n 2 Vn     thỏa  2W   W .  Hơn  nữa,  do  W , W  lồi nên theo 2.1.3 thì  W   W   2W   W .  Theo 1.4.4,    là vectơ tôpô trên  X , đặc biệt    là tôpô lồi địa phương vì có cơ  sở  lân  cận  là  các  tập  lồi.  Vậy  không  gian  có  một  tôpô  duy  nhất     sao  cho  B  V V  ,   0 là cơ sở lân cận tại 0 của  X .  Nhận xét X   là  một  không  gian  vectơ  lồi  địa  phương  Hausdorff  khi  và  chỉ  khi   V  0 , V   .   0 Chứng minh Theo định lý 1.8.1, ta có điều phải chứng minh.  2.3.3 Định lý Nếu  X  là một không gian lồi địa phương,  Y  X  là một không gian vectơ thì  X / Y  là một không gian lồi địa phương.  Chứng minh SVECTƠH: Châu Thị Tuyết Trang   Trang 38   Lớp: Sư phạm toán học K36 Luận văn tốt nghiệp  Không gian vectơ tôpô – Không gian lồi địa phương  Xét ánh xạ chính tắc  i : X  X / Y . Ta sẽ chỉ ra  X / Y  có cơ sở lân cận lồi tại  0 X /Y .  Lấy  V j  là một lân cận tại  0 X /Y , vì  i  liên tục nên  i 1 V j   là  một lân cận  của  0 X .  Do  X  là không gian lồi địa phương nên tồn tại lân cận  U j  lồi, mở tại  0 X  sao  cho  x  U j  i 1 V j  .    Chọn  B  i U j  jI , theo 2.1.2 ta được các tập trong  B  là các tập lồi.  Vậy  B  là một cơ sở lân cận lồi tại  0 X /Y  của  X / Y  hay  X / Y  là không gian  lồi địa phương.  2.4 Nửa chuẩn liên tục và phiếm hàm Minkowski 2.4.1 Định nghĩa Cho  X   là  một  không  gian  vectơ,  một  hàm  số  thực  p : X     được  gọi  là  một nửa chuẩn nếu với mọi  x, y  X ,   K  thì p  thỏa:  i)  p ( x)  0   ii)  p   x    p  x    iii)  p  x  y   p  x   p  y  .  Nửa chuẩn p  được gọi là một chuẩn nếu  p  thỏa  p  x   0  x  0 .  Kí hiệu:    Từ định nghĩa của nửa chuẩn, ta thấy được các tính chất sau:  i)  p  x   p  y   p  x  y     n  n ii)  p   i xi    i p  xi     i 1  i 1 Ví dụ: i) Hàm số thực  p : X    với  x  p  x   là một nửa chuẩn.  ii) Giả sử   pi i 1,n  là một họ hữu hạn các nửa chuẩn trên  X , p  x   sup  pi i 1,n   SVECTƠH: Châu Thị Tuyết Trang   Trang 39   Lớp: Sư phạm toán học K36 Luận văn tốt nghiệp  Không gian vectơ tôpô – Không gian lồi địa phương  n và p   i pi  x   là các nửa chuẩn.  i 1 Một ánh xạ  p : X    được gọi là một siêu nửa chuẩn khi  p   x    p  x    và  p  x  y   sup  p  x  , p  y  . Siêu nửa chuẩn cũng là một nửa chuẩn.  2.4.2 Bổ đề Giả sử  X  là một không gian vectơ,  p, q là hai nửa chuẩn trên  X .  x  X , p1  x   p2  x    khi  và  chỉ  khi  V p2 ,  V p1 , ,  với  V pi ,   x  X : pi  x     .  Chứng minh     Giả sử  x  X , p1  x   p2  x  .  Ta lấy  x  V p2 ,  p2  x     p1  x   p2  x     x  V p1 ,  hay  V p2 ,  V p1 , .     Giả sử  Vp , 2  V p1 ,  ta có  x  X , p2  x   p1  x  .   x  x p2  x  , p1  x       0 : p2  x     p1  x   p2     và p1     (*).      x x x Do  p2      nên   V p2 ,  V p1 ,  p1       (mâu thuẫn *).       Vậy  x  X , p1  x   p2  x  .  2.4.3 Mệnh đề Cho  X  là một không gian vectơ tôpô,  A  X  là một tập cân, lồi, hút. Khi đó,   x   p A  x   inf   0 :  A   xác  định  một  nửa  chuẩn  trên     A   thỏa  U p A ,   A  V pA ,  , với  U p A ,    x  X : p A  x     .  Chứng minh (+) p A  là một nửa chuẩn.  Từ định nghĩa ta thấy  p A  x   0, x  X .  x x       0 : p A   x   inf   0 :  A   inf   0 :  A   p A  x  .        SVECTƠH: Châu Thị Tuyết Trang   Trang 40   Lớp: Sư phạm toán học K36 Luận văn tốt nghiệp  Không gian vectơ tôpô – Không gian lồi địa phương  Mà  A  là một tập cân nên  x  A   x  A  p A  x   p A   x  , ta suy ra được   x  X   p A   x    p A  x  .  x, y  X , do  A  là tập hút nên  Cho nên với  A  là tập lồi thì  x   A, y   A,   p A  x  ,   p A  y  .  x y x y  x  y      A                        Ta được  p A  x  y       p A  x   p A  y  .  Từ đó,  p A  là một nửa chuẩn trên  X .  (+)  A  V pA ,  . Thật vậy,  x  A  x   A,   1  (do  A  là tập cân) , ta được  p A  x     hay  x  V pA ,    (+) Ta chứng minh  U pA ,   A .  Lấy  x  U pA ,   p A  x    , tồn tại   : p A  x       là tập cân nên  x   x  x   A . Khi đó, do A    A hay  U p A ,   A .  2.4.4 Mệnh đề Với mọi nửa chuẩn  p  trên  X , các tập  V p , ,  U p ,  là các tập cân, lồi, hút. Hơn  nữa,  p  x   pVp ,  x  , x .  Chứng minh    (+)    1, y  V p ,   x  X : p  x     p  y   p   x     y  V p ,       V p ,  V p , . Vậy  V p ,  là tập cân.  (+)  x  X ,   0, 0     : p  x      x  V p ,   hay  V p ,  là tập hút.   (+) x, y  V p , ,    0;1 p   x  1    y    p  x   1    p  y     1         x  1    y  V p ,   Do đó,  V p ,  là tập lồi.  SVECTƠH: Châu Thị Tuyết Trang   Trang 41   Lớp: Sư phạm toán học K36 Luận văn tốt nghiệp  Không gian vectơ tôpô – Không gian lồi địa phương  Tương tự, ta chứng minh được  U p ,  là các tập cân, lồi, hút.  Hơn nữa, theo 2.4.3  pV p ,  là một nửa chuẩn trên  X  thỏa  U pV p , ,  V p ,   V pV p, , .  Thêm vào đó, từ bổ đề 2.4.2, cho ta được  pVp ,   p  pVp ,   p  pV p , .  2.4.5 Định lý Nếu  X   là  một  không  gian  vectơ  tôpô,  p   là  một  nửa  chuẩn  trên  X thì  các  mệnh đề sau là tương đương:  i)  p  liên tục tại 0.  ii)  p  liên tục trên  X .  iii)  U p ,  là các tập mở. Hơn nữa, tồn tại    0  để  U p ,  là một lân cận của 0.  iv) Tập  V p ,  là một lân cận của 0, với mọi    0 .  Chứng minh i  ii. Giả sử  p  liên tục tại 0   p  x   p  0    2 ,   x  X ,   0 .  x, y  X , p  x   p  y   p  x   p  0   p  0   p  y   p  x   p  0   p  y   p  0    2   2   . Nên p  liên tục đều trên  X  suy ra  p  liên tục trên  X .   ii  iii.  Giả  sử  p   liên  tục  trên  X ,  với  mọi  x  U p , ,  ta  chứng  minh  x   là  điểm  trong.  Xét  W   0,    là một lân cận của  p  x  , ta thấy  W  là một lân cận mở. Do  p   liên tục trên  X  nên  p 1 W   là một tập mở.  Đặt  G  p 1 W  . Khi đó, ta được  x  G  U p , , x  U p , .  Vậy  U p ,  là tập mở. Hơn nữa, nếu ta chọn     0  thỏa  p  0      khi đó,  U p ,   là một tập mở chứa 0. Điều này cho ta được một lân cận mở của 0.  iii  iv Ta chứng minh  V p ,  U p , .  (+)  x  V p , ,    0;1  p  x     p   x        x  U p ,   Vì   U p ,  là tập hút   x  U p ,  U p , , ta được  V p ,  U p , .  SVECTƠH: Châu Thị Tuyết Trang   Trang 42   Lớp: Sư phạm toán học K36 Luận văn tốt nghiệp  Không gian vectơ tôpô – Không gian lồi địa phương  (+) x  U p , , ta thấy   U p ,  là một lân cận của  x  ( do  U p ,  là một tập mở chứa  x ).  Vậy  p  x     x  V p ,   hay  U p ,  V p , .  Do  đó  V p ,  U p ,   nên  V p ,   là  tập  đóng chứa  U p ,   nên  V p ,  là một lân cận của 0.  iv  i. Với mọi    0 ,  V p ,  là một lân cận của 0. Ta chứng minh  p  liên tục tại 0.  Giả  sử  W   là  một  lân  cận  của  p  0  ,  vậy  W   có  dạng   0;   .  Khi  đó,  p 1 W    x  X : p  x      chứa 0 X  nên  p 1 W   là một lân cận của 0.  Như vậy,  p  liên tục tại 0.  2.4.6 Định nghĩa Cho  X  là một không gian vectơ, họ   pi  x iI  gồm các nửa chuẩn trên  X .  Tập  B pi ,   x0    x  X : p  x  x0     được  gọi  là  một  hình  cầu  mở  tâm  x0 ,  bán kính   .  Một  tôpô  hình  thành  bởi  họ  chứa  tất  cả  các  hình  cầu  mở      B pi ,   x0  x  X ,   0, i  I  được gọi là tôpô sinh bởi họ các nửa chuẩn.  2.4.7 Định lý Giả  sử   p  x  i iI   là  họ  các  nửa  chuẩn  trên  không  gian  vectơ  X .        B pi ,   0   lập thành một cơ sở tôpô từ các nửa chuẩn này. Khi đó, với  i 1,n  x  G  là một tập mở, tồn tại một    0 ,  i  1, n  sao cho   B pi ,  G .  i 1, n Chứng minh (+) Lấy  V  là một lân cận của  x . Để chứng minh    là một cơ sở tôpô, ta chỉ ra một  tập  B     sao cho  x  B  V .  Khi đó, do  V  x  nên  V   B pi , i  xi  , n  0, i  I ,  i  0, xi  X .  i 1, n  x   B pi , i  xi   x  B pi , i  xi  , i  I  p  x  xi    i , i  I .  i 1,n (+) Đặt    min  i  pi  x  xi i 1, n .  SVECTƠH: Châu Thị Tuyết Trang   Trang 43   Lớp: Sư phạm toán học K36 Luận văn tốt nghiệp  Không gian vectơ tôpô – Không gian lồi địa phương  Ta  được  B pi ,  x   B pi , i  xi  , i .  Chọn  B   B pi ,  x    thì  định  lý  được  i 1, n chứng minh xong.  2.4.8 Định nghĩa x   Phiếm  hàm  Minkowski  (hàm  cỡ)  là  một  nửa  chuẩn p A  x   inf   0 :  A      trên  X  với  A  là một tập cân, lồi, hút trong  X .  2.4.9 Định lý Một tôpô trên không gian lồi  địa phương được xác định bởi  một họ các nửa  chuẩn chứa các phiếm hàm Minkowski kết hợp với các lân cận lồi, mở, cân của 0.  Chứng minh  (+) Với  X  là không gian vectơ lồi địa phương, theo 2.3.1 tại phần tử  0  X  luôn  có một cơ sở lân cận  B0  gồm các lân cận lồi, mở, cân.  (+) Xét  U pU ,  là lân cận thuộc  B0  tương ứng với nửa chuẩn  pU  x  .  Với   x  U pU , , do ánh xạ nhân liên tục, lấy    0  và một lân cận  V 0  sao  cho    x  V   U pU , ,       .  Khi đó,  x  1 x 1   U pU , . Suy ra  pU  x   inf   0 :  U    1 .   1    1 2.4.10 Định lý Nếu    là một họ nửa chuẩn trên không gian vectơ  X thì tồn tại một tôpô lồi  địa phương yếu nhất trên  X  sao cho mọi nửa chuẩn thuộc    đều liên tục.  Chứng minh (+) Với mỗi nửa chuẩn  p   , ta xét tập  V p ,  tương ứng . Khi đó, theo mệnh đề          ta có  V p ,  là tập cân, lồi, hút.    (+) Đặt  B  V p , p   , theo 2.3.2 thì tồn tại một tôpô lồi địa phương yếu nhất  trên  X  nhận  B  là cơ sở lân cận tại 0.  (+) Hơn nữa,  V p ,  là lân cận tại 0 với mọi  p    nên theo định lý 2.4.5 , ta được  p   liên tục.  SVECTƠH: Châu Thị Tuyết Trang   Trang 44   Lớp: Sư phạm toán học K36 Luận văn tốt nghiệp  Không gian vectơ tôpô – Không gian lồi địa phương  Nhận xét Từ đây, ta nhận thấy được rằng tôpô của một không gian lồi địa phương hoàn  toàn xác định được bởi một họ các nửa chuẩn liên tục. Do vậy, ta có thể xây dựng  một không gian lồi địa phương dựa trên một họ nửa chuẩn liên tục cho trước.  2.4.11 Định nghĩa lưới và sự hội tụ theo lưới a) Tập định hướng  Cho tập  I  khác rỗng và một quan hệ    .  I  được gọi là một tập định hướng  nếu thỏa các điều kiện sau:   i)  i  i, i  I .  ii)  i  j , j  k  i  k i, j , k  I .  iii)  h  I : h  i, h  j ,  i, j  I .  Kí hiệu:   I ,   .  b) Lưới – Sự hội tụ theo lưới Một ánh xạ  f  từ định hướng  I  vào không gian tôpô  X  xác định  f  i   xi .  Khi đó,   xi i  là một lưới trong  X .   xi i  hội tụ tới  x  X  khi và chỉ khi với mọi tập mở  G   thỏa  x  G  thì tồn tại  j  I  sao cho  xi  G , i  j .  Kí hiệu:  lim  xi   x .  iI Tính chất i)   xi i  hội tụ tới  x  X  nếu tồn tại j  I  sao cho mọi lân cận của  x  đều chứa  xi , với mọi  i  j .  ii) Một lưới có thể hội tụ đến nhiều điểm khác nhau.  iii)  X  là một không gian Hausdorff thì mỗi lưới trong  X  chỉ hội tụ duy nhất  đến một điểm.  iv) Với  X , Y  là các không gian tôpô và f : X  Y  là một ánh xạ liên tục tại  x0  khi và chỉ khi mọi   xi i  x0  thì  f x    f  x  .  i i 0 2.4.12 Định lý SVECTƠH: Châu Thị Tuyết Trang   Trang 45   Lớp: Sư phạm toán học K36 Luận văn tốt nghiệp  Không gian vectơ tôpô – Không gian lồi địa phương  Cho  X  là một không gian lồi địa phương,   pi  x iI là một họ các nửa chuẩn  trên  X .  Khi  đó,  với  mọi  lưới  x  j jJ   và  điểm  x  X ,  ta  có  x j  x  pi  x  x j   0, i  I .  Chứng minh     Giả sử  x j  x , với  i  I và   0 , chọn  B pi ,   x   là một lân cận mở của  x .  Theo định nghĩa sự hội tụ của lưới, tồn tại  j0  J  sao cho  j  j0  x  B pi ,  .  Ta được  pi  x  x j    , j  j0 . Điều này có nghĩa là  pi  x  x j   0, i  I .      Giả sử ta có  pi  x  x j   0, i  I .  Lấy lân cận mở  V 0 . Như vậy,  x  V  là một lân cận của  x . Theo 2.4.7, ta  được  x   B pi ,   x   x  V .  i 1, n Vậy với mọi  i  1, n ,   pi  x  x j   0, i  1, n . Đồng thời, với mọi  i , tồn tại  ki  J :  j  ki , i  1, n , suy ra  pi  x  x j    , i  1, n .  Do  đó,  tồn  tại  j0  J : j0  ki   pi  x  x j    , i  1, n   nên  x j   B pi ,   x   x  V   i 1,n Theo 2.4.11 thì   x j  jJ  x .  2.4.13 Định lý Giả  sử   và    là  hai  tôpô  lồi  địa  phương  xác  định  bởi lần lượt  các họ  nửa  chuẩn   pi  x iI  ,  q j  x  jJ   trên  không  gian  vectơ  tôpô  X . Khi đó,     là  tôpô  mạnh hơn    khi và chỉ khi với mọi nửa chuẩn  q j  x   luôn tồn tại hữu hạn  pi  x     i  1, n   sao cho với    0  thì   q  x   sup p  x  .  j i i 1, n Chứng minh SVECTƠH: Châu Thị Tuyết Trang   Trang 46   Lớp: Sư phạm toán học K36 Luận văn tốt nghiệp  Không gian vectơ tôpô – Không gian lồi địa phương  (+)  Lấy  V1 , V2 ,...,Vn   là  các  tập  mở,  hút  và  tuyệt đối  lồi  trong  X   sao  cho  V1  V2    ...  Vn .  Khi  đó,  ta  xác  định  được  các  nửa  chuẩn  tương  ứng  p1  x  , p2  x    ,... pn  x    pi  x iI .   Khi đó,  p1  x  , p2  x  ,... pn  x   là các phiếm hàm Minkowski kết hợp  V1  ...  Vn .  Hơn nữa, theo bổ đề 2.4.2 ta suy ra được  pn  x   ...  p2  x   p1  x  .  (+) Ta biết    là tôpô mạnh hơn    nếu và chỉ nếu với mỗi lân cận của 0 trong     được hình thành từ các nửa chuẩn  q j  x   1 chứa các lân cận của 0 trong   .    x (+) Mặt khác, theo định nghĩa hàm cỡ thì  pi  inf    0,  Vi  , vậy nên    0      1 sao cho  sup pi  x     sup pi  x   1 .    i 1, n Vậy  q j  x   1  i 1, n sup pi  x    q j  x   sup pi  x  , j .  i 1, n i 1,n 2.5 Tập bị chặn và hoàn toàn bị chặn 2.5.1 Mệnh đề  Giả sử  X  là một không gian lồi địa phương và  E  là một tập bị chặn trong  X .  n  n  Khi đó, bao tuyệt đối lồi    E    i xi xi  E , i  K ,  i  1   của  E  cũng là  i 1  i 1  một tập bị chặn.  Chứng minh (+) Lấy  V  là một lân cận bất kỳ của 0 trong  X . Do  X  là một không gian lồi địa  phương, theo 2.3.1 thì tồn tại lân cận lồi cân  U của 0 sao cho  0  U  V .  (+) Mà  E  là một tập bị chặn trong  X  nên tồn tại    0 sao cho  E  X .  Từ đó,     E      E    U   U  V .  Vậy    E   là tập bị chặn.  Nhận xét Nếu  E   là  một  tập  hoàn  toàn  bị  chặn  trong  X   thì    E    hoàn  toàn  bị  chặn  trong  X .  Chứng minh SVECTƠH: Châu Thị Tuyết Trang   Trang 47   Lớp: Sư phạm toán học K36 Luận văn tốt nghiệp  Không gian vectơ tôpô – Không gian lồi địa phương  Với  V  là một lân cận lồi, cân bất kỳ của 0. Vì  E  là một tập hoàn toàn bị chặn  nên tồn tại tập hữu hạn  F  E  sao cho  E  F  V .  2 Mà  F  có hữu hạn phần tử nên    F   bị chặn trong không gian hữu hạn chiều  sinh bởi  F , như vậy tồn tại  L    F  :   F   L  Vậy    E     F   V .  2 V V V V  L    L  2  L  V  (do  V  là một lân cận lồi).  2 2 2 2 Ta chứng minh được    E   hoàn toàn bị chặn trong  X .  2.5.2 Định lý Giả  sử  X , Y   là  các  không  gian  lồi  địa  phương  lần lượt sinh bởi các  họ  nửa  chuẩn   p I ,  q  I . Nếu  f : X  Y  là một ánh xạ tuyến tính thì các mệnh đề  sau tương đương:  i)  f  liên tục.  n0 ii) Tồn tại  n0  , 1 ,...,  n0  I , k  0  sao cho  q  f  x    k  pi  x  ,   J .  i 1 Chứng minh i  ii. Giả sử  f  liên tục.  (+) Với mọi    J ,  q  liên tục nên  q  f  cũng là ánh xạ tuyến tính liên tục.  Ta  được   q  f  1   ;     x  X : q  f  x        là  một  tập  mở  chứa  0  trong  X .  n0   Suy ra, tồn tại  B   B p ,   0   sao cho  B  x  X : q  f  x     .  i 1 i (+) Ta chứng minh ii) thỏa với  k  2  n0 . Lấy  x  X , đặt     p i  x  .  i 1 n0 * Nếu    0  thì   pi  x   0  mà  pi  x   0, i  1, n0  nên  pi  x   0, i  1, n0   i 1 Xét phần tử   x , với    0 , ta lại có  pi   x    pi  x   0, i  1, n0 . Cho nên   SVECTƠH: Châu Thị Tuyết Trang   Trang 48   Lớp: Sư phạm toán học K36 Luận văn tốt nghiệp  Không gian vectơ tôpô – Không gian lồi địa phương  n0  x   B p ,   x  , i  1, n0 nên  x  B .  i i 1 Theo  2.4.6,   q  f  x    q  f  x      q  f  x     ,   J   nên   q  f  x    0  thỏa ii)    * Nếu    0, n0 : pi   2     x  pi  x     , i  1, n0  xB   2 2  2  2     q  f  x    q  f  x    1  q  f  x     q  f  x     Do vậy, ta được  2    2   2 n0  q  f  x     p i  x  ,   J .   i 1 ii  i.  Lấy   xi iI   là  một  lưới  trong  X   sao  cho  xi  x, i  I ,  theo  2.4.12  thì  p  x  xi   0,   I ,  theo  giả  thuyết,  tồn  tại  n0  , 1 ,...,  n0  I , k  0   sao  n0 cho  q  f  x    k  p i  x  ,   J   nên  q  f  x   f  xi    0,   J   i 1  f  xi   f  x  . Vậy  f  liên tục.  Nhận xét Từ định lý trên, ta rút ra được định lý:  Giả sử  X  là không gian lồi địa phương lần lượt sinh bởi các họ nửa chuẩn   p I   Y  là không gian tuyến tính định chuẩn. Nếu  f : X  Y  là một ánh xạ tuyến tính  thì các mệnh đề sau tương đương:  i)  f  liên tục.  n0 ii) Tồn tại  n0  , 1 ,...,  n0  I , k  0  sao cho  f  x   k  pi  x  ,   J .  i 1 2.6 Không gian thùng 2.6.1 Định nghĩa  Cho  X  là không gian lồi địa phương.  X  được gọi là không gian thùng nếu mọi lân cận tại 0 của nó là tập đóng, cân,  hút.  Một tập đóng, cân, lồi hút trong  X  được gọi là một thùng trong  X .  SVECTƠH: Châu Thị Tuyết Trang   Trang 49   Lớp: Sư phạm toán học K36 Luận văn tốt nghiệp  Không gian vectơ tôpô – Không gian lồi địa phương  Không gian lồi địa phương X  được gọi là một tựa thùng nếu mọi thùng trong  X hút mọi tập bị chặn là lân cận của 0.  Ta định nghĩa tập hút mọi tập bị chặn như sau:   Một tập  A  X  hút mọi tập bị chặn nếu với mọi tập bị chặn  B  X , tồn tại    0  sao cho   B  A,     .  2.6.2 Định lý Mọi không gian lồi địa phương metric là tựa thùng.  Chứng minh Giả sử  X  là một không gian lồi địa phương metric,  B  Vn n1,2...  là sơ sở lân  cận mở, giảm của 0.  Lấy  A  là một thùng trong  X  hút mọi tập bị chặn. Ta chứng minh  A  là một  lân cận của 0.  Với mỗi  Vn  n  1 , đều tồn tại  xn  Vn sao cho xn  nA  (*). Cho  n   , vì  Vn n1,2...  là dãy giảm nên  xn  0  nên   xn   bị chặn trong  X .  Khi đó,    0 :  xn  A,     .  Chọn  n  đủ lớn sao cho  1 1    xn  A  xn  nA  (mâu thuẫn (*)).  n n 1 Như vậy tồn tại  n  sao cho  0  Vn  A  nên  A  là một lân cận của 0.  n Suy ra mọi không gian lồi địa phương metric là tựa thùng.  2.6.3 Định lý Mọi dãy trong không gian lồi địa phương Hausdorff tựa thùng  X  đều hội tụ  thì  X là không gian thùng.  Chứng minh (+) Lấy  A  là một thùng trong  X , ta cần chứng minh  A  là một lân cận của 0.  Do  X là một tựa thùng nên ta sẽ chứng minh  A  hút mọi tập bị chặn trong  X .  (+) Cho  B  là một tập bị chặn trong  X , xét    B   là một tập đóng, lồi cân và bị  chặn.  SVECTƠH: Châu Thị Tuyết Trang   Trang 50   Lớp: Sư phạm toán học K36 Luận văn tốt nghiệp  Không gian vectơ tôpô – Không gian lồi địa phương   n   Với    B    i xi i  K , xi    B     n  B  ,  ta  thấy    B    là  tập   i 1  i 1 lồi, cân, hút các phần tử thuộc    B  .  (+) Xét một phiếm hàm Minkowski trên    B   có dạng  x   p B   x   inf   0 :    B   , x    B  .     Ta thấy,    B   là một không gian định chuẩn  với chuẩn  p B  . Mặt khác, Vì    B   bị chặn nên với  mọi lân cận  V  tại 0 tồn tại    0  sao cho     B   V , ta  suy ra được ánh xạ đồng nhất trong    B   liên tục.  (+) Giả sử   xn   là một dãy trong    B  , theo giả thuyết thì   xn   luôn hội tụ, vậy   xn   cũng là một dãy hội tụ tới  x0  trong  X .   Chọn  n0  sao cho  p B   xn  xm    , n, m  n0   xn  xm      B  , n, m  n0 .  Vì    B   là tập đóng nên   xm   x0 , m    nên   xn  x0      B  , n  n0 .  Suy ra  p B   xn  x0    , n  n0 . Khi đó,   xn   x0  trong    B  .   Hơn  nữa, ánh  xạ đồng  nhất  từ    B     B   liên tục  nên  A    B    là  một  thùng trong    B   vậy tồn tại    0  sao cho   B  A    B   A,     .  Vậy  A   hút  mọi  tập  bị  chặn  trong  X   nên  A   là  một  lân  cận  của  0.  Suy  ra  X   là  không gian thùng.   SVECTƠH: Châu Thị Tuyết Trang   Trang 51   Lớp: Sư phạm toán học K36 Luận văn tốt nghiệp  Không gian vectơ tôpô – Không gian lồi địa phương  Chương 3 BÀI TẬP   Dạng 1: Chứng minh một không gian là (không là) không gian vectơ tôpô (không gian lồi địa phương).  Bài 1.  Cho  không  gian  C      gồm  các  hàm  liên  tục  trên     xác  định  tôpô  nhờ  mêtric   d  f , g   sup x f  x  g  x 1  f  x  g  x   Vậy không gian này có phải là không gian vectơ tôpô hay không?  Giải Ta thấy, không gian  C    không là không gian vectơ tôpô.  Thật vậy, như ta đã biết trong không gian vectơ tôpô thì mọi lân cận tại  0 X  là  một tập hút.  Khi  đó,  xét  B  0 X ,     f  C    : d  f ,0 X        0    1   là  một  lân  cận  của  0 X với  hàm  f  x   e x   thì  với  mọi    0 ,  chọn       thì   f  x  1   .  x 1   f  x  sup Suy ra   f  B  0 X ,    hay  B  0 X ,    không là một tập hút.  Bài 2. Chứng minh rằng các không gian vectơ sau đây không là không gian vectơ  tôpô.  a)    với  tôpô rời rạc.  b)  X  là không gian vectơ với số chiều  n  2 ,  Y  là không gian con của  X .  Trên  X xác định một tôpô    , X , Y \ 0 .  Giải a)    với  tôpô rời rạc không là một không gian vectơ tôpô.  Thật vậy,  ta  kiểm  tra tính  liên  tục  của phép  cộng  và  phép nhân trong không  gian với tôpô này.  SVECTƠH: Châu Thị Tuyết Trang   Trang 52   Lớp: Sư phạm toán học K36 Luận văn tốt nghiệp  Không gian vectơ tôpô – Không gian lồi địa phương  (+) Lấy  x, y   , do tôpô rời rạc nên ta thấy  V   x  y là một lân cận của  x  y .  Hơn nữa,   x ,  y  lần lượt là các lân cận của các phần tử  x, y   .  Mà   x   y  V   x  y , x, y    nên phép cộng liên tục.  (+) Tuy nhiên phép nhân vô hướng không liên tục.  Ta xét  x   \ 0 ,   0  với  U  0  0.x  là một lân cận của  0.x .  Cho  n    thì  1 1 1  0  x  0.x  0  hay  x  0  x  0  (mâu thuẫn).  n n n Tổng quát Với  X  là một không gian vectơ bất kỳ trên trường  K  xác định bởi tôpô rời  rạc thì  X  cũng không là một không gian vectơ tôpô.  Việc chứng minh tương tự với bài toán trên.  b)  X  là không gian vectơ với số chiều  n  2 ,  Y  là không gian con của  X . Trên  X xác định một tôpô    , X , Y \ 0 .  Ta thấy ngay phép cộng là không liên tục.  Thật vậy, giả sử phép cộng là liên tục, lấy  x  X \ Y , y  Y \ 0 .  Vì  Y \ 0   và  Y \ 0   chứa  y   nên  Y \ 0   là  một  lân  cận  của  y .  Mà  y   x  y     x    nên  phải  tồn  tại  U , V   lần  lượt  là  các  lân  cận  của   x  y  và   x   sao cho  U  V  Y \ 0 .  Mặt khác, do  U  x  y  nên tồn tại  G  sao cho x  y  G  U .   Nếu  G  Y \ 0  thì  x  y  Y \ 0  x  x  y    y   Y \ 0 !    Nếu  G  X  thì  X  V  Y \ 0  X  Y \ 0 ! .     Bài 3. Giả sử     x   xn n 1 : xn    n  1  và khoảng cách    d  x, y    2 n n 1 xn  yn .  1  xn  yn Chứng minh rằng:  a)     là không gian lồi địa phương.  SVECTƠH: Châu Thị Tuyết Trang   Trang 53   Lớp: Sư phạm toán học K36 Luận văn tốt nghiệp  Không gian vectơ tôpô – Không gian lồi địa phương  b) Tôpô trên     xác định bởi họ đếm được bởi các nửa chuẩn.  Giải Với  mỗi  n  1,  xét   pn n* với  pn  x   xn   là  họ  tách,  đếm  được  các  nửa  chuẩn.  Khi  đó,      cùng  với  tôpô   P   cảm  sinh  bởi  họ  nửa  chuẩn  lập  thành  một  không  gian  lồi  địa  phương.  Ta  chứng  minh  đồng  thời  a)  và  b)  bằng  cách  chứng  minh tôpô sinh bởi họ nửa chuẩn và tôpô sinh bởi metric  d  là trùng nhau.  (+)  Ta  thấy  không  gian     ,  P    là  không  gian  lồi  địa  phương  có  cơ  sở  lân  cận  m   gồm tất cả các tập có dạng   x    : pni  x    i  với   i  0 .  i 1 Đặt    min  i  , ta được một cơ sở lân cận tại 0 của     là  B  gồm các tập có  i 1, n m   dạng   x    : pni  x    .  i 1 (+) Đối với tôpô   d  cảm sinh bởi metric  d  thì cơ sở lân cận tại 0 có dạng là các  hình cầu mở  B  0,     x    : d  0, x      với    0 .   xn      ,  xét  (+)  Với  tập  B  0,     x    : d  0, x       xn     :  2 n 1  xn n 1   n0    n0  đủ lớn để   2 n  , ta có được  V    x    : pni  x     là một lân cận  i 1  2 2 n n0 tại 0. Suy ra  V  B  0,    hay   P   d .  m   (+)  Lấy  U   x    : pni  x     B   trong  không  gian  lồi  địa  phương  i 1   ,  P  .  Lấy     0 sao cho 2ni     1  , i  1, m .  Giả sử  x  B  0,     sao cho tồn tại  i0  1, m  để  pni  x   xni   . Khi đó,   0      2 n n 1 0 xni xn  n n 0  2 i0  2 i0 ! .  1  xn 1  1  xni 0 Suy ra  B  0,     U hay  d   P .  Vậy ta được   d   P .  SVECTƠH: Châu Thị Tuyết Trang   Trang 54   Lớp: Sư phạm toán học K36 Luận văn tốt nghiệp  Không gian vectơ tôpô – Không gian lồi địa phương  Bài 4. Chứng minh rằng mỗi không gian định chuẩn là một không gian vectơ tôpô.  Hơn nữa, không gian định chuẩn cũng là không gian lồi địa phương.  Giải (+) Giả sử  X  là một không gian định chuẩn trên trường  K  với chuẩn  p . Khi đó,  p  cũng là một nửa chuẩn trên  X .  (+)  Lấy  x0 , y0  X ; U   là  một  lân  cận  của  x0  y0 .  Khi  đó,  tồn  tại  hình  cầu  mở  B p ,   x0  y0   (   0 ) sao cho  B p ,   x0  y0   U .  Hơn  nữa,  do  B p, zB p,  2  2  x0  , Bp ,   y0    là  các  lân  cận  của  x0 , y0 .  Lúc  này,  ta  lấy  2  x0   B p,   y0   z  x  y  với  x  Bp ,   x0  , y  Bp ,   y0  .   2 2 2  p  z   x0  y0    p  x  x0  y  y0   p  x  x0   p  y  y0    2   2   .  Hay  z  B p ,   x0  y0  .  Vậy  B p,  2  x0   Bp ,   y0   Bp ,   x0  y0  . Do đó, phép cộng là liên tục.  2 (+) Với  x0  X ,   K  và  V  là một lân cận của   x0 . Tương tự, tồn tại hình cầu mở   B p ,     x0   V (   0) .  Lấy  bất  kỳ     thỏa      xB p,  2  1  2 p  x0   1 và y   B p,  2  1  x0   y   x   với   x0  .  p  y   x0   p   x   x0   p   x   x0   x0   x0     p  y   x0   p   x   x0   p   x0   x0    p  x  x0      p  x0         p  x0       .  Ta  được y  B p ,     x0  .  Suy  ra  2   1 2 p  x0   1 2 2   B p,  2  1  x0   B p ,     x0  .   Mà  B p,  2  1  x0   là một lân cận của  x0  nên ánh xạ nhân liên tục.  Vậy  X là một không gian vectơ tôpô.  SVECTƠH: Châu Thị Tuyết Trang   Trang 55   Lớp: Sư phạm toán học K36 Luận văn tốt nghiệp  Không gian vectơ tôpô – Không gian lồi địa phương  (*) Ta thấy các hình cầu mở có tâm là phần tử 0 chính là các tập lồi. Do đó,  X có  cơ sở lân cận lồi. Vậy không gian định chuẩn là không gian lồi địa phương.  Dạng 2: Các bài toán liên quan đến tính chất các tập trong không gian vectơ tôpô và không gian lồi địa phương. Bài 5. Giả sử  F  là  một  tập đóng trong không  gian vectơ tôpô  X . Khi đó,  F  là  x y  F , x, y  F .  một tập lồi nếu và chỉ nếu  2 Giải Lấy  x, y  F .      Với  F  là một tập lồi ta có được  1 1 1 x y  1 x  1   y  x  y   F .  2 2 2 2  2      Giả  sử  F   là  một  tập  đóng  trong  không  gian  vectơ  tôpô  X ,  ta  có  được  x y  F  sao cho  F  không là một tập lồi. Khi đó, tồn tại  x, y  F ,    0;1  sao  2 cho   x  1    y  F .  (+)  Ta  lập  được  một  dãy  các  số  thực  an  , bn    để   an , bn    lồng  vào  nhau  với  a1  0   , b1  1  thỏa:  i)  an 1  bn1  an  bn .  2     ii)     an , bn  , n  1 .  iii)  an x  1  an  y  F  và  bn x  1  bn  y  F .  Thật vậy, bằng quy nạp với  n  1 , chọn  a1  0   , b1  1 . Giả sử ta chọn được  an , bn .  Lúc này, ta chọn  an 1 , bn1 :  Vì  chọn  được  an , bn   thỏa  3  điều  kiện  trên  nên  theo  iii)  ta  có:  an x  1  an  y  F  và  bn x  1  bn  y  F . Mặt khác, với giả thuyết thì suy ra được  và  an 1  an  y  F   x 2 2 bn 1  bn  y  F . Cho nên   an  bn  x  1   an  bn   y  F .  x   2 2 2 2   SVECTƠH: Châu Thị Tuyết Trang   Trang 56   Lớp: Sư phạm toán học K36 Luận văn tốt nghiệp  Không gian vectơ tôpô – Không gian lồi địa phương  Chính bởi điều này, ta thấy được     an  bn  . Xét hai trường hợp sau đây:  2  a  b   a  b  (*) Nếu     an , n n   thì chọn  an 1  an , bn 1  n n .  2 2    a  b   a  b  (*) Nếu     n n , bn   thì chọn  an 1  n n , bn1  bn .  2 2   Ta kiểm tra được  an 1 , bn1  thỏa 3 điều kiện trên.   (+)    Hơn  nữa,  0  a1  a2  ...  an  ...  bn  ...  b2  b1  1 .  Vậy  an  là  dãy  đơn  điệu tăng và bị chặn trên bởi 1 , bn   là dãy đơn điệu giảm và bị chặn dưới bởi 0  nên hai dãy này hội tụ.  Đặt  a  lim an , b  lim bn .  n  n Theo i) ta lại có  an  bn  an 1  bn 1 a b a b n   n 2 2 n 2  ...  1 n 1 1   0 .  2 2 2 Suy ra  lim an  bn  0  nên  a  b .  n (+)  Từ ii) ta có  an    bn  lim an    lim bn  a  lim an   .  n n  n  (+)  Do  X  là một không gian vectơ tôpô nên ánh xạ cộng và nhân là liên tục.  Khi đó,  lim an x   x, lim 1  bn  y  1    y .   n  n  lim  an x  1  bn  y    x  1    y . Mà  F  là tập đóng nên mọi dãy trong  F   n đều hội tụ về phần tử thuộc nó. Cho nên   x  1    y  F  (mâu thuẫn giả thuyết).  Bài 6. Chứng minh rằng trong không gian vectơ tôpô, tập mở  E  là một tập lồi khi  và chỉ khi  E  E  2 E .  Giải     Giả sử   E  X  là một tập mở lồi.  Theo mệnh đề 2.1.3 thì ta dễ dàng chứng minh được  E  E  2 E .      Giả sử ta có được với  E  là một tập mở trong  X  thì  E  E  2 E .  SVECTƠH: Châu Thị Tuyết Trang   Trang 57   Lớp: Sư phạm toán học K36 Luận văn tốt nghiệp  Không gian vectơ tôpô – Không gian lồi địa phương  Để  chứng  minh  E   lồi,  với     0;1 , x, y  E   ta  cần  chứng  minh   x  1    y  E .  Bài 7.  Cho  X   là  một  không  gian  vectơ  tôpô.  Chứng  minh  rằng  một  tập  con  A   trong  X   bị  chặn  khi  và  chỉ  khi  mỗi  dãy   xn   A   và  mọi  dãy   n   0   thì   n xn   0 X .  Giải    Giả sử  A  là một tập con bị chặn trong không gian vectơ tôpô.  Lấy  V  là một lân cận cân của  0 X . Khi đó, có một    0 sao cho  A  V .  n   0  thì tồn tại  n0  sao cho   n   , n  n0 . Lấy  xn  A   Với dãy   n     xn   A  V , suy ra   n xn  n   xn  n V  V  (do  V  cân).     n   0 X .  Vậy    n xn        Dùng  phản  chứng:  Giả  sử  A  X   với  mỗi  dãy   xn   A   và  mọi  dãy   n   0  thì   n xn   0 X  nhưng  A  không bị chặn.   Như vậy tồn tại một lân cận  U  của  0 X  sao cho    0, x  A :  x  U .  Tuy  nhiên  với  mỗi  xn  A   nếu  n  chọn  1 n   0   n thì  1 1 xn  0  xn  U ! .  n n Vậy  A  bị chặn trong  X .  Bài 8. Trong không gian lồi địa phương  X , các khẳng định sau đây là đúng hay  sai? Giải thích.  a. Bao đóng, bao tuyệt đối lồi của tập bị chặn là tập bị chặn.  b. Mọi tập compact tương đối của  X  là tập bị chặn.  Giải a. Giả sử  V  là một lân cận tùy ý của không gian lồi địa phương X ,  B  là tập con bị  chặn.   SVECTƠH: Châu Thị Tuyết Trang   Trang 58   Lớp: Sư phạm toán học K36 Luận văn tốt nghiệp  Không gian vectơ tôpô – Không gian lồi địa phương  Khi đó, tồn tại một lân cận đóng, tuyệt đối lồi  U  sao cho  U  V . Do  B  là tập  bị  chặn nên có    K  sao cho  B  U .   B  U  V Mà  U  là tập đóng và tuyệt đối lồi nên   .   ( B )  U  V Vậy tập đóng và bao tuyệt đối lồi của  B  bị chặn.  b. Giả sử  C  là tập compact tương đối. Khi đó,  C  là tập compact. Vì  C  C  , ta  cần chứng minh  C  bị chặn.  Gọi  U  là một lân cận mở, cân tùy ý của 0 trong  X . Ta có:   x  U xC  là một  n phủ mở của  C . Như vậy, tồn tại các  xi  C  sao cho  C    xi  U xC .  i 1 Chọn    0   sao  cho  xi   U (i  1, n) ,  khi  đó:  C  1   U .  Cho  nên  C   bị  chặn.  Bài 9. Cho  A, B  là các tập con của không gian vectơ tôpô  X . Chứng minh rằng:   n n   a.  ( A)   x   i xi xi  A, i  K ,  i  1  .  i 1 i 1   b. Nếu  A  và  B là các tập tuyệt đối lồi và compact thì  ( A  B)  là compact.  Giải n n   a. Đặt  M   x   i xi xi  A, i  K ,  i  1  .  i 1 i 1   Ta thấy:  M  là một tập lồi, cân chứa  A . Thật vậy:  n n n (+)    K :   1, y   M  y    i xi   i xi ( xi  A, i  K ,  i  1) .  i 1 n i 1 i 1 n Mà   i  1 và   1   i  1 . Vậy  y  M  hay  M  cân.  i 1 i 1 m n (+)    K ; x, y  M ; i ,  i  K :  x  1    y   i xi   1     i yi .  i 1 n i 1 m    xi , yi  A;   i  1,  i  1   i 1 i 1   SVECTƠH: Châu Thị Tuyết Trang   Trang 59   Lớp: Sư phạm toán học K36 Luận văn tốt nghiệp  Không gian vectơ tôpô – Không gian lồi địa phương  Suy ra:   x  1    y  M  hay  M  là tập lồi. Theo 2.4.1,  M  là một tập tuyệt  đối lồi nên  ( A)  M .  Ta chứng minh  ( A)  M .  n x  M  x   i xi i 1 n Đặt:   0   i  1, yi  i 1 n   x  A ,   K , i  1  .    i i  i 1   n  i xi . Với mọi  xi  0 (i ) : x   0  i yi .   i i 1  0 n i n i   i 1   1  nên   i yi  ( A) .  Mà  yi  ( A) ,  ( A)  là tập lồi và   0 i 1  0 i 1  0 n n  Hơn nữa,  ( A)  cân và    0   i  1  nên  x   0  i yi  ( A) .  i 1  0 i 1 n b. Với  A  và  B là các tập tuyệt đối lồi nên theo câu a thì   ( A  B )   x   a  (1   )b; a  A, b  B,    0;1 .    Xét ánh xạ     f : X x X x   X    x , y ,     x  (1   ) y   Ta thấy  ( A  B)  là ảnh của tập  A x B x  0;1  qua ánh xạ liên tục  f . Mà  A  và  B là các tập compact nên   A x B x  0;1 là tập compact.  Vậy   ( A  B)  là tập compact.  Bài 10. Chứng minh rằng nếu  Y  là một không gian con tuyến tính và  Y  mở trong  X  thì  X  Y .  Giải Dễ thấy  Y  X . Ta chỉ cần chứng minh  X  Y   Lấy  x  X , mà  Y là tập mở trong không gian vectơ tôpô  X  nên tồn tại một  lân cận cân  V  của 0 hút phần tử  x  thỏa  V  Y . Điều này tương đương với tồn tại    0 sao cho   x  V .  Ta được  x  1 1  x  V  V  Y  (do  V  cân). Suy ra  X  Y .    Cho nên  X  Y .  SVECTƠH: Châu Thị Tuyết Trang   Trang 60   Lớp: Sư phạm toán học K36 Luận văn tốt nghiệp  Không gian vectơ tôpô – Không gian lồi địa phương  Dạng 3: Bài tập về tính chất họ nửa chuẩn trên các không gian vectơ tôpô, không gian lồi địa phương. Bài 11. Chứng minh rằng trong không gian vectơ  X trên  K ,  p ( x)  sup pi ( x)  của  iI một họ các nửa chuẩn   pi iI  là một nửa chuẩn nếu  p ( x)  , x  X .  Giải Ta thấy  p ( x)  0, x  X :   Thật  vậy:  Vì  pi ( x)   (i  I )   là  các  nửa  chuẩn  nên  pi ( x)  0, x  X .  Suy  ra  p ( x)  sup pi ( x)  0, x  X .  iI Hơn nữa:  x, y  X ;    K .  p( x  y )  sup pi ( x  y )  sup  pi ( x)  pi ( y )   sup pi ( x)  sup pi ( y )  p( x)  p( y ) .  iI iI iI iI p ( x)  sup pi ( x)  sup  pi ( x)   sup pi ( x)   p ( x) .  iI iI iI Vậy  p( x)  là một nửa chuẩn trên  X .  Bài 12. Cho  X  là không gian vectơ tôpô sinh bởi họ các nửa chuẩn     pi iI .  Chứng minh rằng mọi tập  G  là mở trong  X khi và chỉ khi với mọi  x0  G  thì   n  tồn tại  pi    và   i  0 i  1, n  sao cho  x0    x  X : pi  x    i   G .  i 1 Giải     Giả sử  G  là mở trong  X .  Do  X  là một không gian vectơ tôpô nên  X  có cơ sở tôpô là cơ sở lân cận tại  0 là  B0 .  Lấy  x0  G , khi đó tồn tại  V  B0  sao cho  x0  V  G .   Với  X   là  không  gian  sinh  bởi  họ  nửa  chuẩn     pi iI do    n 3.4.7  B0    x  X : pi  x    i  , pi  ,  i  0 .  i 1 n n j 1 j 1  V    x  X : p j  x    j   nên  x0  V  x0    x  X : p j  x    j   G .  Với mỗi  i  1, n , đặt   i   i  pi  x    i  0 .  SVECTƠH: Châu Thị Tuyết Trang   Trang 61   Lớp: Sư phạm toán học K36 Luận văn tốt nghiệp  Không gian vectơ tôpô – Không gian lồi địa phương  n n i 1 j 1 Ta chứng minh    x  X : pi  x    i     x  X : p j  x    j  .  Lấy  y   x  X : pi  x    i   pi  y    i   i  y   x  X : pi  x    i  , i  1, n .  Từ đó,   x  X : pi  x    i    x  X : pi  x    i  , i  1, n  nên ta được:   n n i 1 j 1   x  X : pi  x    i     x  X : p j  x    j    n n i 1 j 1 Suy ra  x0    x  X : pi  x    i   x0    x  X : p j  x    j .  Vậy  x0  G    n  thì tồn tại  pi    và   i  0 i  1, n  sao cho  x0    x  X : pi  x    i   G .  i 1      Giả  sử  với  tập  G  X   lấy  y  G .  Khi  đó,  tồn  tại    pi     ,   i  0 i  1, n    n sao cho  y    x  X : pi  x    i   G .  i 1 n Do   x  X : pi  x    i   là một hình cầu mở nên    x  X : pi  x    i   cũng là  i 1 một  tập  mở.  Mà  X   là  một  không  gian  vectơ  tôpô  nên  theo  1.2.2  thì  n y    x  X : pi  x    i  cũng là một tập mở.  i 1  Để  chứng  minh  G   mở,  ta  chứng  minh  G   là  hợp  tùy  ý  các  tập  mở  có  dạng  n   n y    x  X : pi  x    i   hay  G   y    x  X : pi  x    i  .  i 1 yG i 1   n Thật vậy, theo giả thuyết ta được   y    x  X : pi  x    i   G .  yG i 1  Lấy  z  G  z  z  0 X .  n Do  0  p  0 X   p  0.x   0 p  x   0  p  0 X   0  0 X    x  X : pi  x    i  .  i 1  n   n  Vậy  z   z    x  X : pi  x    i   G   y    x  X : pi  x    i  .  zG i 1 SVECTƠH: Châu Thị Tuyết Trang   yG Trang 62   i 1 Lớp: Sư phạm toán học K36 Luận văn tốt nghiệp  Không gian vectơ tôpô – Không gian lồi địa phương  Bài 13.  Cho  p, q   là  hai  nửa  chuẩn  trên  không  gian  vectơ  X .  Chứng  minh  rằng  nếu với mọi  x  X   p  x   1  q  x   1  thì  p  q .  Giải (+) Ta sẽ chứng minh  p  x   1  q  x   1  thì  q  x   p  x  , x  X .  Lấy tùy ý  x  X , với    0 . Đặt  x  x .    p  x   p  x p  x x Suy ra p  x   p   mà  p  x   0  nên   1 .      p  x    p  x    p  x   x Cho nên  p  x   1 . Khi đó, theo giả thuyết thì  q  x   1  hay  q    1      p x     q  x   1  q  x     p  x   với mọi    0 .    p  x Cho    0  ta được  q  x   p  x  , x  X .   (+) Tương tự, giả sử  q  x   1  p  x   1  thì ta được  p  x   q  x  , x  X .  Vậy  p, q   là  hai  nửa  chuẩn  trên  không  gian  vectơ  tôpô X ,  với  mọi  x  X   p  x   1  q  x   1  thì  p  q .  Tổng quát Nếu   pi i 1,n  là họ hữu hạn các nửa chuẩn trên không gian vectơ tôpô  X  thoả  x  X   pi  x   1  pi 1  x   1  ,  i  1, n  1  thì  pi  p j , i, j  1, n .  Chứng minh Áp dụng cách chứng minh ở bài toán trên cho từng cặp  pi , pi 1  theo quy nạp.  Bài 14. Trong không gian lồi địa phương  X , một cở sở    gồm các nửa chuẩn liên  tục thỏa với mọi nửa chuẩn liên tục  p  thì tồn tại một nửa chuẩn  q    và    0   sao cho  p   q .  Chứng minh rằng trong một không gian  lồi địa phương  ( X , ) , mỗi cở sở các  nửa chuẩn liên tục của    xác định cùng một tôpô   .  Giải SVECTƠH: Châu Thị Tuyết Trang   Trang 63   Lớp: Sư phạm toán học K36 Luận văn tốt nghiệp  Không gian vectơ tôpô – Không gian lồi địa phương  Lấy     là  một  cở  sở  các  nửa  chuẩn  liên  tục  trong  ( X , ) .  Ta  chứng  minh     .  n (+) Giả sử   V  Β , vậy tồn tại    0  và p1 , p2 ,..., pn    sao cho  V    B pi .  i 1 Do  pi  là các nửa chuẩn liên tục trong  ( X , )  nên với mỗi  i  I  luôn tồn tại  qi , j    và  i  0  sao cho  pi  i (qi ,1  ...  qi ,ni ) .  n nj Từ  đó,  ta  chọn  được     0   sao  cho      Bqi , j  V ,  suy  ra  V  B   hay  i 1 j 1 Β  Β .  (+) Lấy  U  thuộc cơ sở lân cận gốc của  Β . Khi đó, tồn tại một số thực    0  và  n các nửa chuẩn  q1 , q2 ,..., qn    để   U    Bqi .  i 1 Theo giả thuyết, với mỗi nửa chuẩn  qi (i  I )  tồn tại  i  0  và  pi    sao cho  qi  i pi . Cho nên  Bqi  Bi pi  1 B pi  Bqi .  i n Chọn được     0  sao cho     B pi  U  nên  U  Β .  i 1 Bài 15.  Cho  X   là  một  không  gian  lồi  địa  phương  xác  định  bởi  họ  nửa  chuẩn   p I . Chứng minh rằng: tập  M  X  bị chặn khi và chỉ khi nó bị chặn bởi họ  nửa chuẩn.  Giải     Giả sử tập  M  X  bị chặn, lấy  V p ,    x  X : pi  x     .  i Ta thấy  V pi ,   là một lân cận của  0 X . Do  M  bị chặn nên tồn tại    0  sao cho   M  V p ,  .  i Lấy  x  M   x  V pi ,   pi   x     pi  x    . Vậy tập  M  bị chặn bởi   họ .  SVECTƠH: Châu Thị Tuyết Trang   Trang 64   Lớp: Sư phạm toán học K36 Luận văn tốt nghiệp     Lấy  Vp ,  0 i X Không gian vectơ tôpô – Không gian lồi địa phương  , vì  M  bị chặn bởi họ nửa chuẩn   pi   nên tồn tại  i  0  sao  cho  pi  M   i , i .  Đặt    max i  . Suy ra  pi  M     iI Từ đó, ta được:   pi  M       pi  M    .      M  V p ,  . Vậy  M  bị chặn.   i Bài 16. Cho  X  là một không gian lồi địa phương và   p   là hệ cơ bản của các  nửa  chuẩn  của  X .  Chứng  minh:  A  X   là  một  tập  bị  chặn  nếu  và  chỉ  nếu  sup p ( x)  ,    .  x A Giải a.  () Giả sử  A  bị chặn.  Với mọi     , đặt  U    x p ( x)  1 . Ta thấy  U  là  một lân cận của 0.  Khi đó, tồn tại    K sao cho  A  U  . Ta được mọi  x  A  thì  x  U   hay   y  U  : x   y  p ( x)  p ( y )   p ( y )   .  Vậy  sup p ( x)  ,    .  x A ()  Giả sử  sup p ( x)  ,    .   x A (+) Gọi  V  là một lân cận tùy ý của  0  trong không gian lồi địa phương  X . Khi đó,  V  là một tập hút nên tồn tại   0   và   0  sao cho   U0  V .  1 Suy ra,  U 0  V .   (+) Do  sup p ( x)  ,     nên  m0 sao cho  sup p 0 ( x)  m0  ,    .  x A x A 2m0 1 1 Suy ra,  sup p0 ( x)  ,    . Do đó,  A  U 0  A  V .  1 2m0  2 x A 2 m0 Vậy  A  X  là một tập bị chặn.  Bài 17. Cho  X  là một không gian lồi địa phương,  M  X  và  p  là một nửa chuẩn  trên  M  và  q  là nửa chuẩn xác định trên  X  sao cho  p ( x)  q ( x), x  M . Chứng  SVECTƠH: Châu Thị Tuyết Trang   Trang 65   Lớp: Sư phạm toán học K36 Luận văn tốt nghiệp  Không gian vectơ tôpô – Không gian lồi địa phương  minh  rằng  tồn  tại  một  nửa  chuẩn  p   sao  cho  p ( x)  q ( x), x  X   và  p ( x)  p ( x), x  M .  Giải Gọi  U p , U q  lần lượt là các lân cận lồi, cân, hút tương ứng với các nửa chuẩn  p, q .  Đặt  U  C (U p  U q ) . Do  U p  U q   là  tập  lồi,  cân,  hút nên  bao lồi  U   của  nó  cũng là tập lồi, cân, hút. Với  p  là một nửa chuẩn tương ứng với  U .  Ta  thấy  được  U  U q   nên  p  q .  Mặt  khác,  trong  không  gian  con  M   thì  x  U  x  U p . Vì vậy,  p( x)  p( x), x  M .  Bài 18. Giả sử  X ,  Y  lần lượt là các không gian lồi địa phương có cơ sở xác định  bởi  các  họ  nửa  chuẩn  liên  tục  P, Q .  Chứng  minh  rằng  ánh  xạ  tuyến  tính   : X  Y   liên  tục  khi  và  chỉ  khi  với  mỗi  q Q thì  tồn tại  p  P,   0  sao cho  q ( x)   p ( x), x  X .  Giải () Giả sử lấy  q Q , có  p  P,   0  sao cho  q ( x)   p ( x), x  X .  Để chứng minh    liên tục ta sẽ chứng minh  q    liên tục trên  Y , như vậy ta  cần  chứng  minh  q     liên  tục  liên  tục  tại  0Y .  Điều  này  đồng  nghĩa,  với  mọi  q Q , với mọi    0 , tồn tại một lân cận  U  trong cơ sở lân cận tại 0 của  X  để  q    trong  U .  Thật vậy, với  p  là một nửa chuẩn liên tục ứng với  U p   x  X : p( x)     .   Chọn  U   U , ta thấy  q ( x)   p( x), x  U .   p Mà  x  U  y  U p : x     y  q ( x)   p ( x)   p ( y)  p( y)   .      () Ta có:  q Q  là nửa chuẩn liên tục. Nếu   : X  Y  liên tục thì  q    liên tục ,  tương  tự  chứng  minh  trên,  ta  chọn  được  một  lân  cận  thích  hợp  sao  cho  tồn  tại  p  P,   0  để  q ( x)   p( x), x  X .  SVECTƠH: Châu Thị Tuyết Trang   Trang 66   Lớp: Sư phạm toán học K36 Luận văn tốt nghiệp  Không gian vectơ tôpô – Không gian lồi địa phương  Dạng 4: Các bài toán về các lớp không gian trong không gian vectơ tô pô, không gian lồi địa phương (không gian thùng, không gian Frétchet, không gian hữu hạn chiều,...). Bài 19. Chứng minh rằng không gian lồi địa phương  X là không gian thùng khi và  chỉ khi mọi nửa chuẩn liên tục dưới trên  X  là liên tục.  Giải     Giả sử  p  là một nửa chuẩn nửa liên tục dưới trên không gian thùng  X .  Xét  V p ,   là một lân cận lồi, cân, hút trong  X  và  p  là nửa chuẩn nửa liên tục  dưới nên  V p ,   là một tập đóng. Mà  X  là không gian thùng nên  V p ,   là một lân cận  của 0.  Với    0 , đặt  U   V . Lúc này,  U  cũng là một lân cận của 0.    Lấy  y  U , suy ra  p  y   p      x   p  x      .     Vậy  p  liên tục tại 0 nên  p  liên tục trên  X .      Giả sử mọi nửa chuẩn liên tục dưới trên không gian lồi địa phương X  là liên  tục và  A  là một thùng tùy ý trong  X . Ta cần chứng minh  A  là một lân cận.  Xét  p A  là nửa chuẩn sinh bởi  A . Khi đó,  p A  là nửa chuẩn liên tục dưới.  Thật vậy, với bất kỳ    0 , ta có:   x  X : p A  x        x  X : p A  x   1 .  Hơn nữa, ta chứng minh được  A   x  X : p A  x   1 .  Dễ thấy  A   x  X : p A  x   1 . Lấy  y  X  sao cho  p A  x   1 , do  A  là một  thùng nên  A  là một tập hút. Khi đó, tồn tại   n  0  sao cho  Cho nên  y n  y pA  y  Suy ra  y  p A  y   mà  A  đóng nên  y pA  y  y pA  y  y n  A và  n  p A  y  .   A .   A  hay  A   x  X : p A  x   1 .  SVECTƠH: Châu Thị Tuyết Trang   Trang 67   Lớp: Sư phạm toán học K36 Luận văn tốt nghiệp  Không gian vectơ tôpô – Không gian lồi địa phương  Thêm vào đó, do  p A  liên tục trên  X  nên  A  là một lân cận của 0. Từ đó, ta  được  X  là một không gian thùng.  Bài 20. Giả sử  X  là không gian tuyến tính trên    được tạo bởi các hàm liên tục  f  trên   0;1 bằng 0 trên một lân cận nào đó (phụ thuộc vào  f ) của  t  0 .  Trang bị cho  X  tôpô xác định bởi metric  d  f , g   sup  f  t   g  t   .   0;1  Chứng  minh  rằng  tập  A   f  X : n f  không là một lân cận của 0.  Giải  1    1, n  1   là  một  thùng  nhưng  n  (+) Ta kiểm tra tập  A  là một tập đóng, cân, lồi, hút.   1 1 Ta thấy  A   ; n n    nên  A  là một tập đóng.  1 1 Với     0;1  và  f  A  thì  n  f     n f    1 , suy ra   A  A  nên  A   n n cân.  Lấy  f , g  A , ta thấy :   1 1 1  1 1  n   f  1    g     n  f    1    g      n f    1    n g    n n n  n n    1  n   f  1    g     .1  1    .1  1 . Vậy  A  lồi.  n Tiếp theo, ta sẽ chứng minh  A  là tập hút.  Với  f  X ,  tồn  tại    0 sao  cho   0,     là  một  lân  cận  của  0  và  theo  giả  thuyết thì  f0,    0 .  Khi đó, có  n0  0  sao cho  n  n0  thì  0  SVECTƠH: Châu Thị Tuyết Trang   1   .  n Trang 68   Lớp: Sư phạm toán học K36 Luận văn tốt nghiệp  Không gian vectơ tôpô – Không gian lồi địa phương      1   : 1  k  n0  . Ta được  n  f  Đặt    min  k f  1    0  k   1    1,  : 0     .  n Vậy   f  A  suy ra  A  là một tập hút.  Từ đó, ta có được  A  là một thùng. Nhưng  A  không là lân cận của 0.  (+)    Giả  sử  A   là  lân  cận  của  0.  Khi  đó,  có     0   sao  cho  hình  cầu  mở  B  0,     A .  Chọn  n0  đủ lớn sao cho  n0    1 . Xét hàm    1   n ,  x  n ,1  n  n0    0    1 1 ,  , 1  n  n0 .  f  x    Tuyến tính trên đoạn    n  1 n     1  0,  0  x   n0  1    Khi đó,  f     f  B  0,    .  1   n0 .   1  f  B  0,    .  Nhưng  n0 f    n0 n n  0 0 Bài 21. Cho  X  là một không gian Fréchet (không gian lồi địa phương là tôpô của  nó  được  xác  định  bởi  họ  đếm  được  các  nửa  chuẩn  và  metric  hoá  được).  Chứng  minh rằng nếu dãy  xn  trong  X hội tụ tới  0 X  thì tồn tại một dãy số thực  n     sao cho  n xn  0 .  Giải Giả sử  d  là metric bất biến trong không gian  X .  Chọn  d n  d ( xn ,0 X )   và  n   là  một  dãy  các  số  nguyên  sao  cho  n     (nếu   1 d n  0  thì ta chọn  n  là  n  hay phần nguyên của   d n  2 ).   d (n xn ,0 X )  d (0 X , xn )  d ( xn , 2 xn )  ...  d  (n  1) xn , n xn  = n d n  0 .  Suy ra  n xn  0 .  SVECTƠH: Châu Thị Tuyết Trang   Trang 69   Lớp: Sư phạm toán học K36 Luận văn tốt nghiệp  Không gian vectơ tôpô – Không gian lồi địa phương  Bài 22. Lấy  Y  là một không gian con của không gian vectơ tôpô Hausdorff  X ,  Y   được  làm  đầy  đủ  trong  X   nếu  có  một  không  gian  con  G   trong  X   sao  cho  X  G  Y  và  các phép chiếu  X  Y   hoặc  X  G  liên tục. Chứng minh rằng:  a. Nếu  Y  là không gian con đóng và  X Y  hữu hạn chiều thì  Y  được làm đầy  trong  X .  b. Nếu  X  là không gian lồi địa phương và  Y  hữu hạn chiều thì  Y  được làm  đầy trong  X .  Giải a. Giả sử  X Y  là không gian  n  chiều, chọn một cơ sở   y1 , y2 ,..., yn   của  X Y .  Lấy   x1 , x2 ,..., xn  ,  với  xi  X (i  1, n)   sao  cho   ( xi )  yi ,  với   : X  X Y  là phép chiếu chính tắc.  Khi đó,   x1 , x2 ,..., xn   sinh ra một không gian con đóng  G  được bổ sung một  thành phần đại số từ  Y .  Ánh xạ biến  yi  xi  qua đồng cấu tuyến tính  h : X Y  G . Phép chiếu từ  X   lên  G  qua  Y  là  h   , mà  h   : X  G  là tích các ánh xạ liên tục nên liên tục.  Vậy  Y  được làm đầy trong  X .  b. Giả sử  X  là không gian lồi địa phương,  Y  là không gian hữu hạn  n  chiều.  Chọn cơ sở   y1 , y2 ,..., yn   của  Y , xét các phiếm hàm tuyến tính:  j : Y K n y   i yi   j   i 1 Ta thấy   j  liên tục. Mở rộng các   j  trên  X , ta được các ánh xạ liên tục   j .   n Đặt  G   Ker  j .  Khi  đó,  G   là  thành  phần  đại  số  bổ  sung  vào  Y   và  phép  j 1 n chiếu từ  X  lên  Y  qua  G  biến  x   i ( x) yi  liên tục.  i 1 Vậy   Y  được làm đầy trong  X .  Bài 23. Cho  X  là một không gian Hausdorff lồi địa phương.  SVECTƠH: Châu Thị Tuyết Trang   Trang 70   Lớp: Sư phạm toán học K36 Luận văn tốt nghiệp  Không gian vectơ tôpô – Không gian lồi địa phương   Chứng minh rằng  X được xác định bởi một đơn chuẩn khi và chỉ khi tồn tại  một  lân  cận  của  0 X   bị  chặn.  Từ  đó,  chứng  minh  tôpô  của  X  C   0;1   không  được xác định bởi một đơn chuẩn.  Giải ()  Nếu  X  xác định bởi một chuẩn, tồn tại hình cầu đơn vị của  X  là lân cận của  0 X  bị chặn.  ()  Giả sử cho  U  là một lân cận bị chặn của  0 X  và  p  là phiếm hàm Minkowski  tương ứng. Khi đó,  p  là một nửa chuẩn. Ta sẽ chứng minh  p  là một chuẩn.  (+) Lấy  x  0 , suy ra tồn tại lân cận  V  của  0 X  không  chứa  x  và    0  sao cho  U  V .  (+) Với      0;   , ta có   x  V  cho nên  p ( x)  1  .  Vậy  p  0  nên  p  là một chuẩn.  (+) Hơn nữa, bởi tính bị chặn nên lân cận tại 0 của  X chứa  U  với    0 .  Do đó, chuẩn p  xác định một tôpô trên  X .  * Với  X  C   0;1 , lấy  pi  ( i  0, n ) là các nửa chuẩn xác định tôpô trên  X  với    pi ( f )  sup f ( i ) ( x) .  Giả sử với lân cận  V  bất kỳ tại  0 X bị chặn thì  V có dạng     V  f p j ( f )  C j , j  1, n0 .  Khi đó,  n0  đạo hàm đầu tiên của  f  bị chặn dẫn đến  f n0 1  bị chặn.  Lấy  f ( x)   sin Nx , với   đủ nhỏ và  N  đủ lớn. Ta thấy đạo hàm vô hạn lần  của  f  không bị chặn.  Vậy  X  C   0;1  có tôpô không được xác định bởi một đơn chuẩn.  Bài 24. Cho  X  là không gian vectơ tôpô thực. Chứng minh rằng  X  là không gian  compact địa phương khi và chỉ khi  X  hữu hạn chiều.  Giải SVECTƠH: Châu Thị Tuyết Trang   Trang 71   Lớp: Sư phạm toán học K36 Luận văn tốt nghiệp  Không gian vectơ tôpô – Không gian lồi địa phương  ()  Giả sử  X  là không gian compact địa phương,  U  là một lân cận compact của  0 X .  Khi đó, tồn tại một lân cận  V  của  0 X  sao cho  V  V  U .  n (+)  Do  U  compact nên tồn tại   x1 , x2 ,..., xn   U  sao cho  U    xi  V  .  i 1 (+)  Lấy  A  X  với  A   x1 , x2 ,..., xn  . Xét phép chiếu   : X  X A   Do  A  là tập con đóng và   (U )  U  A  là lân cận của  0 X A . Vì   V  U  nên  n  (V )   (U )  mà   (U )   (   xi  V )   (V )  . Suy ra   (U )   (V ) .  i 1 Thật vậy,  y  U :  ( y )   (U ) , tồn tại  i0 (1  i0  n) :   y  xi  V   ( y )   (V ) .  (+) Ta được:   (U )   (U )   (U )  ...  m. (U ) (m  * ) .  Suy  ra   (U )  X A   cho  nên  X A   compact  và  X A  0 X A  .  Vậy  X  A   hay  X  là không gian hữu hạn chiều.  ()  Với  X  là không gian hữu hạn chiều rõ ràng  X  compact địa phương.    Dạng 5: Các bài tập khác Bài 25. Cho  X , Y  là các không gian vectơ tôpô và  A  L  X , Y  . Chứng minh  B  bị  chặn trong  X  thì  A( B )  bị chặn trong  Y .  Giải Lấy  V  là một lân cận tùy ý của  Y  thì  A1 (V )  là một lân cận tùy ý của  X .  Mà  B  bị chặn trong  X  nên tồn tại    0  sao cho  B   A1 (V ) . Khi đó,   A( B )  A   A1 (V )   V . Vậy  A( B )  bị chặn trong  Y .  Bài 26. Hàm thực    xác định trên các tập con lồi của một không gian vectơ  X   được gọi là hàm lồi nếu     x   y     ( x)    ( y ) , với mọi  x, y  X ;  ,   0   và     1 .  SVECTƠH: Châu Thị Tuyết Trang   Trang 72   Lớp: Sư phạm toán học K36 Luận văn tốt nghiệp  Không gian vectơ tôpô – Không gian lồi địa phương  Với  X  là một không gian lồi địa phương và    là một hàm lồi trên  X . Chứng  minh rằng các điều kiện sau đây tương đương:  a.    liên tục.  b.    nửa liên tục trên.  c. Tồn tại tập mở, lồi khác rỗng của  X  sao cho    bị chặn trên tập đó.  Giải a  b :    liên tục nên    nửa liên tục trên.  b  c : Đặt  G   x  X :  ( x)  1 , giả sử   (0)  0 .  (+) Ta thấy  0  G  nên  G  là tập khác rỗng.  (+)  G  là nghịch ảnh của tập mở   0;1  trên    qua ánh xạ liên tục    nên  G  là tập  mở.  (+)  x, y  G,  ,    :    1    ( x   y )   ( x)   ( y )      1 .  Suy ra   x   y  G  hay  G  là tập lồi.  Vậy tồn tại tập mở, lồi khác rỗng của  X  sao cho    bị chặn trên tập đó.  c  a : Ta sẽ chứng minh    liên tục tại  0  X .  (+)  Ta  có  0  G   và  sup  ( x)  1 .  Chọn  U   là  một  lân  cận  cân  của  0  sao  cho  xG U  G .  Với mọi     (0    1) ,  y  V   U  ta có:   ( y )   ( x)   ( x  (1   ).0)   ( x)   .  (+) Do  V  là tập cân nên   y  V  và   ( y )   . Ta được:  1 1 1  1 0   (0)    y  ( y )    ( y )   ( y )   ( y )   ( y )   .  2 2 2  2 Suy ra,   ( y )   ,   y  V .  Từ đó, ta có được    liên tục tại  0  X  nên    liên tục trên  X .  Bài 27. Chứng minh rằng tập con  M  của không gian vectơ tôpô  X compact khi và  chỉ khi  M  đầy đủ và hoàn toàn bị chặn.  SVECTƠH: Châu Thị Tuyết Trang   Trang 73   Lớp: Sư phạm toán học K36 Luận văn tốt nghiệp  Không gian vectơ tôpô – Không gian lồi địa phương  Giải ()   M  là tập compact nên  M đầy đủ và hoàn toàn bị chặn.  ()  Theo bổ đề Zorn, nếu  M hoàn toàn bị chặn thì mọi lưới trong  M đều có một  lưới con gọi là lưới Cauchy.  Do  M  đầy đủ nên lưới con này hội tụ. Vậy  M là tập compact.  Bài 28. Chứng minh mọi không gian vectơ tôpô liên thông địa phương.  Giải Ta sẽ chứng minh tại mỗi điểm thuộc không gian vectơ tôpô X  đều có một  cơ  sở lân cận gồm các tập liên thông.  Theo 1.2.2 thì phép tịnh tiến là một phép đồng phôi, vì vậy ta chỉ cần chứng  minh cơ sở lân cận tại 0 gồm các tập liên thông.  Mặt khác, do các lân cận cân là một cở sở lân cận nên ta sẽ khẳng định nếu  V   là một lân cận cân thì  V  liên thông. Với mọi  x1 , x2  V , xét ánh xạ:  f : 1;1  V .  Do  V  cân nên  f  x1   nếu    0 .   f ( )    x2 nếu    0 .   1;1  U , ta có được  f  liên tục và  f (1)  x , 1 f (1)  x2 .  Vậy  V  liên thông.  Bài 29. Cho  X  là không gian vectơ tôpô thực, phiếm hàm p : X    được định   p( x  y )  p( x)  p( y ) , x, y  X ,   0 .  nghĩa là cộng tính dưới nếu  p  thỏa    p ( x )   p ( x ) Chứng minh rằng:   a. Nếu  p  là phiếm hàm cộng tính dưới liên tục thì  p 1 (;1)  là một lân cận  lồi của 0 thuộc  X .  b. Nếu  V  là một lân cận lồi của  0 X  thì tồn tại một phiếm hàm cộng tính dưới  liên tục không âm thỏa  p 1 (;1)  V  p 1  ;1 . Hơn nữa nếu  V  đối xứng thì  p  là một nửa chuẩn.  Giải SVECTƠH: Châu Thị Tuyết Trang   Trang 74   Lớp: Sư phạm toán học K36 Luận văn tốt nghiệp  Không gian vectơ tôpô – Không gian lồi địa phương  a. Giả sử  p  là phiếm hàm cộng tính dưới liên tục.  Ta thấy  được  (;1) là tập mở  ,  lồi chứa  0  trong    mà  p   liên  tục  nên  p 1   liên tục.  Do đó,  p 1 ( ;1)  là tập mở, lồi. Hơn nữa,  p (0)  p (0.x)  0 p ( x)  0 . Suy ra  p 1 (0)  0 . Vậy  p 1 ( ;1)  là một lân cận mở, lồi của  0 X .  1  inf  .  sup  ( 0, xV ) b. Lấy  V  là một lân cận lồi của  0 X . Chọn  p ( x)  ( 0,  xV ) (+) Do  V  là một lân cận lồi của  0 X =  0x  và ánh xạ nhân trong  X  liên tục.  Mặt  khác,  nếu    0 ,   x  V   thì  p ( x)  1 1    nên  ta  được  sup   ( 0,  xV ) 0  p ( x)   .  (+) Với mọi  x, y  X ,    0 . Chọn   ,   0  sao cho   x  V ,  y  V .  Ta được  1   p ( x)   , Mà  V  là tập lồi nên  p( x  y )  1   p ( y )    .     ( x  y)  x   y  V , suy ra:      1 1    p ( x)  p( y )  2  , với     đủ nhỏ dần tới 0 thì     p( x  y )  p( x)  p ( y ) .  (+)  Với  mọi  x  X ,   0 :  p ( x)   p ( x) nếu    0   và  p ( x)   p ( x)     nếu  V   đối xứng.  Vậy  p  cộng tính dưới.  (+) Nếu   x  p 1 (;1)  thì  p ( x)  1 . Khi đó, tồn tại    1  sao cho   x  V  mà  V   lồi suy ra  x  V . Mà  x  1.x  V  p ( x)  1 .  Vậy  p 1 ( ;1)  V  p 1  ;1 .  (+) Với    0 ,  p 1 (;  )  V  p 1  ;    hay  p  liên tục tại 0 nên liên tục trên  X .  SVECTƠH: Châu Thị Tuyết Trang   Trang 75   Lớp: Sư phạm toán học K36 Luận văn tốt nghiệp  Không gian vectơ tôpô – Không gian lồi địa phương  Bài 30. Lấy  E  là một tập con lồi, đóng trong không gian lồi địa phương  X . Với  x  X  sao cho  x  E . Khi đó, tồn tại một phiếm hàm tuyến tính liên tục    trên  X   và      thỏa   (e)     ( x), e  E .  Giải (+) Giả sử  V  là một lân cận của  0 X , ta có  x  V  x  thỏa  ( x  V )  E  0 .  Khi  đó,  trong  không  gian  lồi  địa  phương  X   tồn  tại  lân  cận  mở,  lồi  U 0   thỏa  U  U  V . Đặt  F  U  E . Ta được:  F  là tập mở, lồi.  (+) Nếu với  y  F , đặt  W  F  y . Lúc này,  W 0  và  ( x  y  U )  W = .  (+) Theo bài tập 29, có một phiếm hàm cộng tính dưới liên tục  p  tương ứng  W   (trường hợp  U  đối xứng ta có thể có  p  là một nửa chuẩn).  (+) Lấy  Y  x  y : không gian vectơ sinh bởi một vectơ khác vectơ 0, lấy  f  xác  định trên  Y  thỏa:  f   ( x  y )    p( x  y ) . Ta được  f ( z )  p ( z ), z  Y .  Khi  đó,  tồn  tại  một  phiếm  hàm  tuyến  tính     mở  rộng  của  f   trên  X   thỏa   ( w)  p( w), w  X .  (+)  Vì  p   liên  tục  nên     liên  tục,  riêng  w  W , p ( w)  1   ( w)  1 ,  suy  ra  p( x  y )  1. Nếu    1 ,   ( x  y )  x  y  U   ( x  y )  W  p ( x  y )  1   1  Cho nên   ( x  y )  f ( x  y )  p ( x  y )  1 .  Đặt     ( y )  1 . Ta được   (e)   , e  E  và   ( x)   .  Vậy  ,  tồn  tại  một  phiếm  hàm  tuyến  tính  liên  tục     trên  X   và       thỏa   (e)     ( x), e  E .                SVECTƠH: Châu Thị Tuyết Trang   Trang 76   Lớp: Sư phạm toán học K36 Luận văn tốt nghiệp  Không gian vectơ tôpô – Không gian lồi địa phương  C. PHẦN KẾT LUẬN   Luận  văn  “Không gian vectơ tôpô – Không gian lồi địa phương” đã  trình  bày được khái niệm, cách xây dựng, tính chất cũng như mối liên hệ giữa các lớp  của không gian này. Từ đó, cho ta một cách nhìn tổng quan hơn so với các không  gian  vt  tp  có  tôpô  cảm  sinh  bởi    một  mêtric  hay  một  chuẩn.  Bằng  phương  pháp  tổng hợp, hệ thống hóa, lý thuyết và phần bài tập của luận văn được trình bày khá  chi tiết, rõ ràng thể hiện được tính liên kết và làm nổi bật được tính chất quan trọng  trong Không gian vectơ tôpô nói chung và Không gian lồi địa phương nói riêng.  Do sự hạn chế về thời gian và năng lực bản thân nên luận văn chưa đi sâu vào  nhiều vấn đề thú vị của các không gian này. Vì vậy, trong tương lai hướng nghiên  cứu của bản thân là nghiên cứu các định lý, tính chất, ứng dụng của các không gian  lồi địa phương như giới hạn quy nạp, xạ ảnh; không gian lồi hạch, ...  Luận  văn  tốt  nghiệp  là  bước  đầu  cho  việc  tập  dợt  và  chuẩn  bị  cho  những  nghiên cứu khoa học sau này của em. Mặc dù rất cố gắng trong việc hoàn thành,  nhưng không thể tránh khỏi những sai sót, em rất mong thầy, cô và các bạn góp ý  để đề tài được hoàn thiện hơn.  SVECTƠH: Châu Thị Tuyết Trang   Trang 77   Lớp: Sư phạm toán học K36 Luận văn tốt nghiệp  Không gian vectơ tôpô – Không gian lồi địa phương  TÀI LIỆU THAM KHẢO ---    ---  Tiếng Việt [1]  Dương Minh Đức (2005),Giải Tích Hàm, NXB ĐHQG TPHCM.  [2]  Đậu Thế Cấp (2009), Giải tích hàm, NXB Giáo dục.   [3]  Lê Hồng Đức (2000), Giáo trình Giải Tích Hàm, NXB ĐH Cần Thơ.  [4]  Nguyễn Văn Khuê – Lê Mậu Hải (2001), Cơ sở lý thuyết hàm và giải tích hàm - Tập II, NXB Giáo dục.  [5]  Nguyễn Văn Khuê – Lê Mậu Hải (2001), Bài tập giải tích hàm, NXB ĐHQG  Hà Nội.  [6]  Trần Thị Thanh Thúy (2003), Giáo trình tôpô đại cương, NXB ĐH Cần Thơ.  Tiếng Anh [1] Nicolas Bourbaki (1987), Topological Vector Spaces, Springer Verlag, ISBN 3540-42338-9.  [2] Hans Jaschow (1981), Locally Convex Space, B.G Teubner Shuttgart, ISBN 3519-02224-9.  [3] G. Kothe (1971), Topological Vector Spaces II, Springer Verlag, ISBN 3-54090440-9.  [4]  C  Zălinescu  (1952),  Convex Analysis in General Vector Spaces,  Word  Scientific, ISNB 9-812-38067-1.        SVECTƠH: Châu Thị Tuyết Trang   Trang 78   Lớp: Sư phạm toán học K36 [...]...  liên tục trên  X   1.7 Không gian vectơ tôpô con- Không gian vectơ tôpô thương 1.7.1 Không gian vectơ tôpô con Cho   X ,   là các không gian vectơ tôpô.   Y ,    được gọi là không gian vectơ tôpô con của   X ,  khi và chỉ khi  Y  X  và    là tôpô cảm sinh bởi    phải tương thích với cấu trúc đại số của  Y   Nhận xét Nếu  M là  một  không gian vectơ tôpô con của  không gian vectơ tôpô X   thì ... 1.8 Một số không gian vectơ tôpô 1.8.1 Không gian vectơ tôpô Hausdorff a) Định nghĩa Cho   X ,    là  các  không gian vectơ tôpô,   X   là  một  không gian vectơ tôpô Hausdorff nếu   X ,  là một không gian Hausdorff  T2  không gian    Các  định  lý  sau  đây  khẳng  định  các  điều  kiện  để  một  không gian vectơ tôpô là  Hausdorff.  b) Định lý Giả sử  X không gian vectơ tôpô,   X... tổng các không gian vectơ tôpô a) Tích các không gian vectơ tôpô SVECTƠH: Châu Thị Tuyết Trang   Trang 22   Lớp: Sư phạm toán học K36 Luận văn tốt nghiệp  Không gian vectơ tôpô – Không gian lồi địa phương Cho   X i iI  là họ các không gian vectơ tôpô.   Xét không gian vectơ tích   X i  với tôpô tích, trong đó các cơ sở lân cận của  iI x   xi iI  là  Vi , Vi  xi    X i  cùng với tôpô tích lập thành không gian vectơ ... vectơ tôpô X   thì  M ,  X / M  cũng là các không gian vectơ tôpô con.  1.7.2 Không gian vectơ tôpô thương a) Định nghĩa Với  M là một không gian vectơ tôpô con của không gian vectơ tôpô X  Xét  không gian vectơ thương  X / M  và ánh xạ chính tắc  i: X  X /M x xM    X / M với tôpô mạnh nhất trên  X / M làm cho  i  liên tục lập thành một không gian vectơ tôpô thương.  Nhận xét Tập con của   X / M...  cùng với tôpô tích lập thành không gian vectơ iI iI tôpô tích.  b) Tổng các không gian vectơ tôpô Trong  không gian vectơ tôpô tích  X i ,  không gian vectơ con  iI  X i   x   xi iI   chứa các phần tử có cơ sở lân cận   Vi , Vi  xi  là một không iI iI gian vectơ tôpô tổng.  Nhận xét i) Ánh xạ đồng nhất   X i   X i  là liên tục hay tôpô trong   X i  mạnh hơn  iI iI iI tôpô cảm sinh bởi tôpô của ... sinh ra tôpô   của  X   Nhận xét: Một không gian vectơ tôpô Hausdorff bị chặn địa phương thì khả mêtric.  Chứng minh Giả  sử  V   là  một  lân  cận  bị  chặn  địa phương trong  không gian vectơ tôpô n  0   Hausdorff  X  và  n   là một dãy số khác 0 sao cho  n  SVECTƠH: Châu Thị Tuyết Trang   Trang 30   Lớp: Sư phạm toán học K36 Luận văn tốt nghiệp  Không gian vectơ tôpô – Không gian lồi địa. .. hạn  chiều  của  X   nên  theo  nhận  xét  trên  M là một không gian con đóng. Mà  Y  đóng nên  X / Y  là không gian Hausdorff,  suy ra  M  Y  i  M   là không gian hữu hạn chiều trong  X / Y  Vậy M  Y  là một  tập đóng.  1.8.3 Không gian vectơ tôpô metric a) Định nghĩa Không gian vectơ tôpô X  được gọi là một không gian vectơ tôpô mêtric nếu  tôpô của nó có thể được xác định bằng một mêtric.  Trong đó, mêtric ... Trong một không gian vectơ tôpô i) Phần trong, bao đóng của một tập lồi là lồi ii) Giao của một họ lồi là một tập lồi.   iii) Tổ hợp tuyến tính của các tập lồi là lồi iv) Ảnh và nghịch ảnh của tập lồi qua ánh xạ tuyến tính liên tục là các  tập lồi.   v) Một tập lồi chứa 0 là một tập cân.  Chứng minh Giả sử  X không gian vectơ tôpô,   A  X là một tập lồi.   i) Ta chứng minh  A ,  A  là các tập lồi.   (+)... U    x  U      SVECTƠH: Châu Thị Tuyết Trang   Trang 24   Lớp: Sư phạm toán học K36 Luận văn tốt nghiệp  Không gian vectơ tôpô – Không gian lồi địa phương Suy  ra,  z   y  U    x  U   x  y  U  U  x  y  U  U   mà  theo  (*)  thì   y  U  U    x    (mâu thuẫn).  Vậy  X  là không gian vectơ tôpô Hausdorff.  d) Định lý Cho  X  là không gian vectơ tôpô,   B0  là một cơ sở lân cận tại 0 của ... Không gian lồi địa phương CHƯƠNG 2: KHÔNG GIAN LỒI ĐỊA PHƯƠNG   2.1 Tập lồi – Tập tuyệt đối lồi 2.1.1 Định nghĩa tập lồi Cho  X  là một không gian vectơ.   A  X là một tập lồi nếu   x  (1   ) y  A  hay   A  (1   ) A  A ,  x, y  A    0    1   Ví dụ: i) Trong   , một đoạn   a; b  a, b    là một tập lồi.   ii) Hình tròn trong   2 , hình cầu mở trong   3  cũng là các tập lồi.   2.1.2