TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA TOÁN =====***===== NG TH TH I N PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG VIỆC GIẢI CÁC BÀI TOÁN ĐẠI SỐ KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC C Đ HÀ NỘI - 2015 TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA TOÁN =====***===== NG TH TH I N PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG VIỆC GIẢI CÁC BÀI TOÁN ĐẠI SỐ KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC C Đ N ườ TS NGU HÀ NỘI - 2015 ướng dẫn khoa học N TH I U NGA ỜI CẢ ƠN Sau – TS N T N N N – , , 05 ăm 2015 Sinh viên Ng T T T ỜI CA ĐOAN , cô , , Tôi 05 ăm 2015 Sinh viên N T T C C ........................................................................................................... 1 ........................................................................................... 1 ..................................................................................... 1 .................................................................................... 1 ............................................................................... 1 ......................................................... 2 1.1. M t phẳng t 1.1.1. Tr c t ........................................................................................ 2 .............................................................................................. 2 1.1.2. H tr c t ......................................................................................... 2 1.1.3. T c i v i h tr c t .................................................. 2 1.1.4. T c i v i h tr c t .................................................. 2 ẳ .......................................................... 3 ................................................................ 3 ..................................................................... 3 ......................................................................................... 3 ......................................................................................... 3 1.2.3. Nhân v .................................................................... 3 ...................................................................... 4 1.4. Các b ẳng th c hình h c ........................................................................ 4 1.4.1. B ẳng th 1.4.2. B ẳng th c tam giác ............................................................................ 5 ................................................................................. 5 ............................................................................ 5 ẳ ................................................ 5 ........................................................................ 5 ................................................................................. 5 ẳ .......................................................... 6 ............................................................................. 6 .............................................................................................. 6 ẳ ẳ TO .................................... 6 ....................................... 6 ................................................................................................. 7 ẳ ..................................... 7 ........................................................................................ 7 ẳ ................................. 7 , ............................................................................................... 19 , ......................................... 19 , ........................................................................................ 22 , ........................................................................... 35 .................. 42 ..................... 45 ..................................................................................................... 51 ............................................................................... 52 Ở ĐẦU ọ 1. , , ta : 2. , , 3. Nh . 4. P ư , , , 1 IẾN THỨC CHUẨN B CHƯƠNG 1. ặ 1.1. ẳ ọ ọ ộ 1.1.1. Tr ộ a. Khái ni m tr c t Tr c t (còn g i là tr c, hay tr c s ) là m nh m m O và m i g ng thẳ dài b ng 1. i c a tr c t m O g i là g c t , . Kí hi u:  O; i  b. T c m trên tr c u n m trên tr c  O; i  .  g i là t u c u  ai . S a a i v i tr c  O; i  . m M n m trên tr c  O; i   OM = m. i . S 1.1.2. H r g i là t ọ i v i tr c  O; i  c ộ  O; i  và O; j  vuông góc v Ký hi u: Oxy hay  O; i, j  .  Hai tr c t  Khi m t phẳ ( t phẳng t 1.1.3. Tọ ộ ủ i nhau g i là h tr c t n) 1 h tr c t . ta s g i m t phẳng . e ớ O; i, j  , n u i v i h tr c t r ọ ộ a  xi  y j thì  x, y  c g i là t c a a . Kí hi u: a   x, y  hay a   x; y  . 1.1.4. Tọ ộ ủ Trong m t phẳng t ể ớ Oxy, t r ọ c 2 ộ OM c g i là t c a m M. 1.1.5. Tọ ộ r ể ủ Trong m t phẳng t ẳ B  xB ; yB  . Khi A  xA ; y A  A, B Oxy c M  xM ; yM  AB x A  xB  x   M 2   y  y A  yB  M 2 1.1.6. Tọ ộ rọ ủ A  xA ; y A  , ABC Trong m t phẳng t B  xB ; yB  , C  xC ; yC  G  xG ; yG  ABC x A  xB  xC  x   G 3   y  y A  yB  yC  G 3 r 1.2. C 1.2.1. T e e u AC i u 1.2.2. H , A v u v. v uv AB  u AC  v AC  u  v . e u Ch v u v   u  v . u  v. 1.2.3. N k 0 e ớ ộ u0 u 3 k , ku , k  0, u u u k 0 k .u. 1.3. T ướ ủ e  u v 0 u.v u, v   u.v  u . v .cos u, v .  T u, v, w k i. u.v  v.u   ii. u. v  w  u.v  u.w       iii. ku v  k u.v  u. kv 2 2 iv. u  0 , u  0  u  0 .  ẳ u.v = u1v1  u2v2 . u.v 1.4. C bấ u  u1; u2  , v  v1 ; v2  (O; i , j ), ẳ ì  ọ ẳ " A  B ", " A  B ", " A  B ", " A  B " ẳ  ẳ i. ab ii. ab iii. b  c suy ra a  c c0 ac bc ab ac  bc 4 c0 iv. 1.4.1. Bấ a  b khi ẳ e a a) ac  bc a. a u  v  uv  u  v b)  u . v  u.v  u . v u1 , u2 ,..., un c) u1  u2  ...  un  u1  u2  .... un . 1.4.2. Bấ  V ẳ c tam giác m A, B, C b t kì ta luôn có a) AB + BC  AC ẳng th c x y ra khi và ch khi B n nt ẳ AC. ẳ AC. b) | AC  AB |  BC ẳng th c x y ra khi và ch khi C n  n A1 , A2 ,......., An A1 An  A1 A2  A2 A3  .....  An1 An . 1.5. P ư rì 1.5.1. P ư ườ rì ủ ườ ẳ ẳ 1.5.2. P ư rì ườ ax  by  c  0  a 2  b2  0  . r tâm I  a; b  ,  x  a   y  b 2 1.6. P ư rì ặ 5 2  R2 R: 1.6.1. P ư rì ặ ẳ ax  by  cz  d  0  a 2  b2  c2  0  . 1.6.2. P ư rì ặ I  a; b; c  ,  x  a   y  b   z  c  2 2 2 R:  R2 1.7. ộ 1.7.1. ẳ a 2 ộ ườ ẳ ax  by  c  0  ẳ Oxy  b2  0  ẳ ể M 0  x0 ; y0  M0 d  M0 ,  ,  d  M0 ,   ộ 1.7.2. Trong không gian Oxyz ax0  by0  c 2 a ộ ặ a b 2 ể 2  b2  0  ẳ M 0  x0 ; y0 ; Z0  Ax  By  Cz  D  0  A2  B 2  C 2  0  M0 ẳ  P d  M 0 ,  P   d  M 0 ,  P  , Ax0  By0  Cz0  D A2  B 2  C 2 6 A 2  B2  C 2  0 ẳ  P CHƯƠNG 2. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG VIỆC GIẢI CÁC BÀI TOÁN ĐẠI SỐ , P ư ọ ộ r b bấ ẳ ẳ , ẳ ẳ ẳ 2.1.1. C ở u  0  v  0  u  kv  k  0  u  v  uv , u  kv  k  0  . u.v  u . v , 2.1.2. P ư B ọ ộ r b bấ a2  a  1  a2  a  1  2 1: 2 1  3  a  a  1   a      2   2   2 2 2 1  3  a  a  1   a      2   2   2 2 7 ẳ a .  1 3 u  a  ; , 2 2   1 3 v   a; . 2  2   u  v 1; 3 . u  v  uv . Suy ra a 2  a  1  a 2  a  1  2. 1 2  1  a  0. 1 a 2 a B a 2  6a  4b2  9  a2  4b2  2a  12b  10  5 . 2: ẳ  a  3   2b  2 2  1  a    3  2b  2 2  5. u  a  3; 2b  , v 1  a;3  2b  .  a  3   2b  uv= 2 2  1  a    3  2b  2 2 . u  v  uv . Suy ra  a  3   2b  2 2  1  a    3  2b  2 2  5. a3 2b  1  a 3  2b hay 3a  8b  9  0 . B 3: a 2  ab  b2  b2  bc  c 2  c 2  ca  a 2  3  a  b  c  . 8 2 b  3   a  ab  b   a     b 2   2   2 2 2 2 c  3   2 2 b  bc  c   b     c 2   2   2 a  3   c  ca  a   c     a 2   2   2 2 2 2  b 3  u  a  ; b  , 2 2    c 3    v  b  ; c  , w  c  a ; 3 a  .  2 2  2 2    3  3 u  v  w   a  b  c  ,  a  b  c   . 2 2  u  v  w  u  v  w suy ra a 2  ab  b2  b2  bc  c 2  c 2  ca  a 2  3  a  b  c  B a, b 4: 4cos2 a cos2 b  sin 2  a  b   4sin 2 a sin 2 b  sin 2  a  b   2 ẳ  2cos a cos b  2  sin 2  a  b    2sin a sin b  2  sin 2  a  b   2 . u  2cos a cos b;sin  a  b   , v  2sin a sin b;sin  a  b   . Khi uv 2 2  2cos a cos b   sin 2  a  b    2sin a sin b   sin 2  a  b  u  v  2 . u  v  uv 9 Suy ra 2 2  2cos a cos b  sin 2  a  b    2sin a sin b   sin 2  a  b   2 cos a cos b sin  x  y   sin a sin b sin  x  y  Hay cot x.cot y  1 . B 5: Cho a1 , a2 ,...., an b1 , b2 ,...., bn 2n a12  b12  a22  b22  ...  an 2  bn 2   a1  a2  ...  an 2   b1  b2  ...  bn 2 t M1  a1; b1  , M 2  a1  a2 ; b1  b2  , M n  a1  a2  ...  an ;b1  b2  ... bn  . OM1  a1; b1  M1M 2  a2 ; b2  ……… M n1M n  an ; bn  OM 1 + M1M 2 + … + M n1M n = OM n Suy ra OM n  a1  a2  ...  an ; b1  b2  ...  bn  . OM n  OM1  M1M 2  ...  M n1M n  OM1  M1M 2  ...  M n1M n   a1  a2  ...  an   b1  b2  ...  bn  2 2  a12  b12  a2 2  b2 2  ...  an 2  bn 2 hi: OM1 , M1M 2 ,..., M n1M n Hay a a1 a2   ...  n b1 b2 bn 10 i ch ng minh. B 6: Cho a, b, c  0 ab  bc  ca  abc. g b 2  2a 2 c 2  2b2 a 2  2c 2    3. ab bc ca ẳ 1 2 1 2 1 2  2  2  2  2  2 3 2 a b b c c a 1 2 u  ;  , a b  1 2  1 2  v  ;   , w  ; c a  b c  1 1 1  1 1 1  u  v  w     ; 2       1; 2 (  a b c  a b c  u  v  w  u  v  w suy ra 1 2 1 2 1 2  2  2  2  2  2 3 2 a b b c c a B ac 7: Cho a, b, c  0, b  c. c  a  c   c  b  c   ab . : u    a  c; c , v  c; b  c . u.v  c  a  c   c  b  c  u.v  u . v Suy ra c  a  c   c  b  c   ab . 11  1 1 1    1) a b c ac c  (do c  0, a  c  0, b  c  0) c bc  B  a  c  b  c   c2  ab  c  a  b   1 1 1   . a b c a 2  ab  b 2  3  2 2 b  bc  c  16 8: ab  bc  ca  8.  a 3   3 c u  b  ; a  , v  c ; b   .  2 2 2 2     2  a 3 2   u   b    b  a 2  ab  b 2  3 2 4    2  3 2  c c   b    b 2  bc  c 2  4 v  4 2   u.v  T 3  ab  bc  ca  2 u.v 4 3 u.v  u . v Suy ra ab  bc  ca  8 B a, b, c 9: abc  a  b  c   a 4  b4  c 4 ẳ (*) a2bc  ab2c  abc2 (*) u  ab; bc; ca  , v  ca; ab; bc  12 u  a 2b 2  b 2 c 2  c 2 a 2 v  c 2 a 2  a 2b 2  b 2 c 2 u.v  a 2bc  ab2c  abc 2 u.v  u . v  abc  a  b  c   a 2b2  b2c 2  c 2 a 2 (1) x  a 2 ; b2 ; c 2  ; y  b2 ; c 2 ; a 2  x  a 4  b4  c 4 y  b4  c 4  a 4 x. y  x . y  a2b2  b2c2  c2 a2  a4  b4  c4 ( ) (2) abc  a  b  c   a 4  b4  c4 ( ) a 2  kb 2  2 2 b  kc  a  b  c. c 2  ka 2  . B 10: Cho abc  2; ax  by  cz  6. 16a 2  a 2 x2  16b2  b2 y 2  16c 2  c 2 z 2  10 Tro ẳ Oxy A  4a; ax  , B  4b; by  , C  4c; cz  OA  OB  OC   4a  4b  4c; ax  by  cz   8;6   OA  OB  OC  10. 13 OA  OB  OC  OA  OB  OC  10  16a  a x  16b  b y  16c  c z 2 2 2 2 2 2 2 2 2 OA, OB, OC i. Trong 3 vec OA, OB, OC 0  4a  0 OA  0   ax  0 OC  OB  OB  OC  OC  kOB  k  0  4c  4kb c  kb c  kb     4cz  4kby cz  kby z  y   abc  2  bc  2 b0 c0 k c  kb k  0  b, c  b  c  2 b, c  0 2  1. b y  z by  cz  6. Do   y  z 3 b  c  2 a  0  b  c  2 y  z  3  ii. 0 OA, OB, OC a  b  0 c  2 OA  OB  0   ax  by  cz  6  z  3 14 a  b  0  c  2 z  3  OA, OB, OC iii.  OA  kOB   OB  mOC B 0. a  kb x  y  z  3 a  kby    m, k  0  b  mc  a  b  c  2  a, b, c  0  by  mcz 11: Cho a, b, c a 2  ab  c 2  a 2  ac  c 2  b2  bc  c 2   b 3  3 3  b c  c b  , C   ;0  . A  a  ; b  , B  0; 2  2 2  2 2   2   b 3  BA  a  ;  c  2 2    c 3  AC    a;  b  2 2   b c 3 3  BC   ;  c b  2 2 2 2   BA  AC  BA  AC  BC 2 2 2 b 3 2  c  3 b c 3   a    b2    a   c 2       c  b  2 4  2  4 2 2 4  a 2  ab  b2  a 2  ac  c 2  b2  bc  c 2 15 BA , AC Hay BA   b  c  a  2  k   2  a      3 3 c k AC  k  0    b  k 2 2  k  0   b  kc   2a  b b  c     a     ab  bc  cz  0.  2 2   2 k  0 B a, b, c 12: Cho b a b 1  a 2 . 1  b2 ẳ bc  1  b2 . 1  c 2 a c  (I) 1  a2 . 1  c2 () a  b . 1  c 2  b  c . 1  a 2  a  c . 1  b2 1  c   b  c  1  a    a  c   ab  bc    a  b   a  b   ac  bc  2 2 2 2 2  2 2  b  c  ba  ca  2 2  2  a  c   ab  bc  2 A  a; bc  , B  b; ac  , C  c; ab  . AB  BC  AC. AC  AB  BC AB  b  a; ac  bc  , BC  c  b; ab  ac  AB , BC 16 2 b  a  k  c  b  ac  bc  k  ab  ac  Hay AB = k BC  k  0     ck  b  c   ka  b  c  c  a  k  c  a  b  c   0   ( b  c ). u B ma  nb  c a, b, c, m, n 13:  m  2    n  1 2 a 2  b2  0 T 2 a 2  b2  ẳ Oxy  2a  b  c   2 ma  nb  c I  2; 1 . ax  by  c  0 ( a 2  b2  0 ) M  m; n  ẳ ma  nb  c (  I  2; 1  ẳ d  I ,  = 2a  b  1  c  a 2  b2 I  H IM  d  I ,   nên  m  2    n  1 2 2  2a  b  c   M H. 17 a 2  b2 2 ) B 2 2 a  b  a  2 2 c  d  0 14: Cho a, b, c, d  a  c   b  d  2 2 1  2 2 2. (II) M  a; b  , N  c; d  2 2 1  1 1  a    b    2  2 2  1 1 1 I ;  2 2 M 2  1 1 K  ;   2 2 N M* IK  a  c   b  d  2 2 1  1 1  c   d    2  2 2   2  2 2 R 2 R N * suy ra MN  M * N * 2 2 y M* 1 -1 1 O N* x -1 M  M* 18 N  N* 2 2 M *  x* ; y*  . Do M * ()  2 M *   I ;   2  ( ) nên x*  y* . 2  * 1 1  x     x*  1 2 4  M  M * 1;1 hay a  b  1 N  N *  1; 1 hay c  d  1 . P ư ấ ộ r b r ấ ì r ớ ấ r ủ 2.2.1. G r ớ ấ ủ a) y  f  x x  y  f  x  trên D M  M x  D  D.  x  D sao cho f  x   M . M = max f  x  . y  f  x  trên D m f  x   m x  D  x  D sao cho f  x   m . m  min f  x  . , b. y  f  x D , x0  D y  f  x V  x0  sao cho x0 f  x   f  x0  , x  D  V  x0  . f  x, y   x0 ; y0  f  x D V  x0 ; y0  sao cho 19 f  x, y   f  x0 , y0  ,   x; y   D V  x0 ; y0  . f  x x0  D m  min f  x  . f  x0   m , xD f  x x0  D M  max f  x  . f  x0   M , xD ( ) ( ) D c) .( ) x0   a; b f  x i. f  x ii. f  x x0 x0  a; b f  x  a; b  ( i. ii. x x f  x0   0 x0 x0 ) x0 x0 f '  x0  f  x f '  x0  f  x 20 f '  x0  x0 x iii. f  x x0 . f  x x0 i. Khi f '  x0   0 ; f "  x0   0 f  x x0 ii. Khi f '  x0   0 ; f "  x0   0 f  x x0 , d) Đ  a; b f  x . , n Đ f  x . D max f  x    min   f  x   . xD xD Đ f  x , g  x 4. D f  x   g  x  , x  D max f  x   max g  x  xD xD Đ .( ) f  x D D D  D1  D2  ...  Dn . max f  x  , min f  x  , i  1, n . xDi xDi   max f  x  = max max f  x  , max f  x  ,..., max f  x  xD xD1 xD2 21 xDn   min f  x  = min min f  x  , min f  x  ,..., min f  x  xD xD1 xD2 xDn , , 2.2.2. S r ư ấ ọ ộ b ì r ớ ấ ủ a)  A  xA ; y A  , B  xB ; yB  , M  u  x  ; v  x   A, B, M Cho u  x, v  x y  f  x y  AM  BM . AM  BM  AB . min f  x   AB A, B, M a  a1; a2   ẳ b  b1 ; b2  a.b  a . b a1b2  a2b1  0 a1b2  a2b1  0    a1b1  0 a b  0  2 2 ab  a  b , Nh , b) b1. P ư ấ ủ ọ ộ r b ì b 22 r ớ ấ r B i1 y  f  x   x 2  4 x  13  x 2  2 x  5 D . y 2  x 2 9   x  1 2  4. u  2  x;3 , v  x  1; 2  u  v  uv = y u v 34. 2 x 3 1   x x 1 2 5 min f  x   34 , B 2 y  f  x   x 2  2 x  5  x 2  4 x  40 y A  1; 2  , B  2;6   x  1 2 4  x  2 2  36 M  x;0  , y  AM  BM AM  BM  AB  5 . min f  x   5 , Hay A, B, M x  1 2 5   x . 3 4 2 B y  f  x   x 2  x  1  x 2  3x  1 . D 23 ẳ 2 2 2 2  3 1 1   3 y  f  x     x       x      2 2   2    2 1 3  3 1 a   x; ;  .  , b  x  2 2 2 2    y  f  x  a  b a  b  ab Suy ra y  f  x   2 min f  x   2 , 1 x 2  3  x  3  1. 3 x 2 B 4: y  x  1 5  5x 2  14 x  13. D y  5  x  1  2  x  3   2 x  2  2 2   x  1   2 x  2  2 2  1; 2 , B  3, 2  , M  x; 2 x  . 2 2 2 2  x  1   2 x  2  , BM =  x  3   2 x  2  AM = Suy ra y  AM + BM  AB  4 2 min f  x   4 2 ,  x  1 2x  2   x  1 4 4 B 5: y  4  1  cos x   4   2  cos x  2 , 2 24 , ẳ D . a  2;1  cos x  , b  2; 2  cos x  . Khi y ab a  b  ab  5 min f  x   5 , 2  x  k 2  3 2 1  cos x 1 k    cos x     2  2 2  cos x 2 x    k 2  3 B  6 y  f  x   cos2 x  6cos x  13  cos2 x  2cos x  2 . D . y  3  cos x  2 4   cos x  1 2 1 u  3  cos x; 2  , v 1  cos x;1 . y u  v. u  v  u  v  5. min f  x   5 , 1   x  arccos 3  k 2 3  cos x 1 k   2  cos x     x   arccos 1  k 2 1  cos x 3  3 B 7: y  f  x   x 1  2 3  x. 25  1 x  3 u   x  1; 3  x , v 1; 2  . Khi y  u.v ; u . v  10. u.v  u . v  10 max f  x   10 , 2 x 1  3  x  x  B 7 5 8: y  f  x   x 2  2 px  2 p 2  x 2  2qx  2 p 2 p  q. p, q p  q 0 ẳ f  x  A  x  p; p  , B  x  q;  q  Oxy  x  p 2  x  q  p  2 2  q  OA  OB ( O 2 OA  OB  AB . AB   p  q   p  q  2 f  x  min f  x   2 ( )  p  q   p  q  2 2 2  p  q   p  q  , 2 p q q p x p p  x qx q pq p  q 0 pq0 26 ) f  x  2 x Hay ymin  0 , x0 ymin   p  q 2   p  q  p, q B 2 , : y  f  x   x 2  2 x  2  x 2  2 x  2 trên   ;1  2  1 y  f  x  ẳ  x  1 2 2 1 N  2; 2  , M 1;1  x  Oxy 1 Khi   x  1 2  x  1 1  0  1 x  3 . 2 ẳ M  3 M 0 1;0  ; M 1 1;   2 M 0 M1 OM  1   x  1 , MN  2  x  1 2 1 y  f  x   OM  MN OM  MN  MN  2 min f  x   , O, M , N  1    2 ;1   Hay ẳ  1  1 x 1   x  0    ;1 2 2  2  max f  x   max  OM  ON   max OM 0  M 0 N ; OM1  M1 N   1  5  1    2 ;1    1  x  1    ;1  2  27 max f  x   f 1  1  5  1    ;1  2  min f  x   f  0   2 .  1    2 ;1   B y  f  x   a2  x2  a2   c  x  2 D . u  a; x  , v  a; c  x  . nh y  u  v . u  v  uv = 4a 2  c 2 x c 1  x  cx 2 min f  x   4a 2  c 2 , y  f  x  x  1 B x 2 x  0   x  0  x  2. 1  0   2 y  f  x  x  u    x ; 2  x , v 1;  2 x 2 4   2 y  u.v. u.v  u . v  3 2. max f  x   3 2, hay B x u ,v 2 2  x. 2  x 9 4 , 28 y  f  x   a sin x  b cos x , x   0; 2  a, b  u  cos x;sin x  , v  a; b  . y  u.v. u . v  a 2  b2 .  u . v  u.v  u . v max f  x   a 2  b2 , u ,v min f  x    a 2  b2 , b2. P ư ấ B ủ u ,v ọ nhi ộ r b b ì . r ớ ấ . 1: f  x, y   x 2  y 2  2 x  4 y  5  x 2  y 2  6 x  4 y  13 f  x, y    x  1   y  2 2 2  3  x    2  y  2 f  x, y   a  b a  x  1; y  2  , b  3  x; 2  y  . a  b  ab  4 min f  x; y   4,  x  1 2  y    y  2  3  x     x  1 3  x   0    y  2  2  y   0 1  x  3 Hay  y  2 B 2 : 29 r f  x, y   cos4 x  cos 4 y  sin 2 x  sin 2 y. a  cos2 x;cos2 y  , b  sin 2 x;0  , b  0;sin 2 y  . f  x, y   a  b  c . a  b  c  a  b  c  2. min f  x, y   2, a, b, c c  y  k  sin x  sin y  0    y  l B  k, l  . : Cho x  y  z  1, f  x, y, z   x 2  y 2  z 2 a  x; y; z  , b  z; x; y  f  x, y, z   a . b a . b  a.b  x2  y 2  z 2  xy  yz  zx   2 x y z  2 2 2  2 xy  2 yz  2 zx 3  x2  y 2  z 2    x  y  y  2 2 2 x  y  z  1 nên x  y  z  2 1 3 1 x y z  x  y  z  (do x  y  z  1 )   3 z x y 1 min f  x, y, z   , 3 B : x yz 1 3 f  x, y   y  2 x  5 , 30 x 36 x2  16 y 2  9. y 1 1 f  x, y   5  4 y.  6 x. 4 3 1 1 a  4 y;6 x  , b  ;   4 3  a.b    a . b  2   y  2x   2 2 2 1 1    y  2 x   16 y 2  36 x 2      9 16  25 5 5    y  2x  16 4 4 25   f  x, y   4 Suy ra   f  x, y   15  4  6   x  15  36  2  y   9 16 y 2  36 x 2  9 x    20   225    4  3  x   6  y x y   9 x 2 3    8 15   y  9 20   min f  x, y   max f  x, y   B : 15 , 4 x 25 , 4 x 6 9 ,y 15 20 6 9 ,y 15 20 xy  yz  zx  4 x, y, z f  x, y, z   x 4  y 4  z 4 31 a  x 2 ; y 2 ; z 2  , b 1;1;1 u.v  x2  y 2  z 2  u . v   u.v  2 2   3 x y z ẳ The 4 4 4  x 2  y2  z2 -si ta c x 2  y 2  2 xy 2 2 2  x  y  z  xy  yz  zx y 2  z 2  2 yz z 2  x2  2 zx xy  yz  zx  4 3  x 4  y 4  z 4   16  x 4  y 4  z 4  16 3 Suy ra min f  x, y, z   16 , x yz 2 3 3 B , D   x; y  : x 2  y 2  16  8x  6 y f  x, y   4 x  3 y.  x; y   D  x  4    y  3 2 9 I  4;3 , D Khi  x; y   D 2 R3 x2  y 2 f  x, y   4 x  3 y  8 2 Hay f  x, y  x2  y 2 f  x, y  x2  y 2 M  x; y   D 32 OM 2  x2  y 2 M2 y I 3 M1 x O 4 min OM  OM1 max OM  OM 2 M1 , M 2 I  . OI ẳ OI 3x  4 y  0  2 2  x  y  8 x  6 y  16  0 OI 3x  4 y  0 I  4  x  y  3   2 16 y  y 2  32 y  6 y  16  0  9 3  32 x1    5    y  24 1  5     8 x2    5    y2  6  5   33 2 OM  OM 2 2 1 2 OM  OM 2 2 2 2 6 8       4 5 5 2  32   24       64  5   5  6 8 min f  x, y   f  ,   10 5 5  25 32  max f  x, y   f  ,   40  5 5  B f  x, y, z, t   5  x  2 y  5  z  2t  5  xz  yt D   x; y; z; t  : x 2  y 2  z 2  t 2  5. f  x, y , z , t    x  1   y  2  2 2 2  2 M  x; y  N  x; y   D  z  1   t  2  2 2 x  z   y  z 2  M,N R 5 P 1; 2  MP   x  1   y  2 NP   z  1   t  2 MN   x  z   y  t 2 2 f  x, y, z, t   2 2 2 2 1  MN  NP  MP    x; y; z; t   D . 2 34 2 2 O  0;0  , O; 5  Do MNP MNP MN  NP  MP 5 a  3. 5  15 ( Nên MNP f  x, y, z, t   1 3 .3 15  30 2 2 Hay max f  x, y, z, t   P ư ư ọ rì )  x; y; z; t   D 3 30 2 ộ r b ư ư rì bấ rì , , cho ta , . 2.3 a)  u.v  u . v  u  v  uv u, v u, v 0  u v  u  v u, v v b) B 1 x 3x  2  4  x  2( x 2  1)( x  3) (1) 35 0  2  x    ; 4 .  3  u  x;1 , v  3x  2; 4  x  u.v  u . v ( ) u.v  u . v u, v k  0 sao cho u  kv Hay ( ) x k 0  x  k 3x  2 x  2 x  0   x 4  x  3x  2   3   2 1  k 4  x  x  4 x  3x  2  0 x  1 2   S = 2;1  2 . B x  1  x  3  2  x  3  2  x  1 (2) 2 2: x 1 u   x  1; x  3 , v 1;1 ( ) u.v  u . v u.v  u . v u, v k  0 sao cho u  kv . ( ) x l  x  1  k    x  3  k k 0 x  3 x 1  x  3   2  x5  x  7 x  10  0 x  5. B 3  x  x  1  5  2 x  40  34 x  10 x 2  x3 (3) 36 x 1  0 x  1   5  2 x  0   5 x 40  34 x  10 x 2  x3  0   2  u  3  x;1 , v   x  1; 5  2 x u.v  u . v ( ) u.v  u . v u, v k  0 sao cho v  ku k 0 ( ) x  x  1  k  3  x  x 1  5  2x   3  x  5  2 x  k 3 2  2 x  17 x  49 x  46  0  x  2 x  2. x  2  4  x  x2  6 x  11 x2  6 x  11 B x  2 x  2  0    x  4 4  x  0 x2  4 x VP = x2  6 x  11 VP =  x  3  2  2 x   2; 4 2 u 1;1 , v  x  2; 4  x  u.v u.v  u . v  2 nên VT  2 () (I) (II) ( ) 37  x  2  4  x  2  x  3  2  2  x3 x  3. B 5: x 2  4 y 2  6 x  9  x 2  4 y 2  2 x  12 y  10  5 (5) D  x  3   2 y  2 2  . 1  x    3  2 y  2 2 5 (5’) u  x  3; 2 y  , v 1  x;3  2 y  . ( ’) u  v  uv . u  v  uv u, v 0.  x; y  (5)   x  3  k 1  x  2y x3  0   2 y  k  3  2 y    1  x 3  2 y  1  x  3  2 y  0 1  x  3  2 y  0 38 k 0  3  x  1  3  x  1    x  x0  1  4  1  3 3x  8 y  9  0      1 x 3 2y 1     x  1   y   3 x0  9  8   x  1    3   3  x0  1 3   y  2  y  2   1  =  x0 ;  3x0  9  : 3  x0  1 .  8  B 6: x2  2 x  2  x2  2 x  2  2 2 (6) D .  x  1 2 1   x  1 u  x  1;1 , v 1  x;1 u  v  uv 2 1  2 2 (6’) ( ’) u  v  uv . u, v ( 0) k 0 ( ) x l  x  1  k 1  x    x0 1  k x  0. B x2  2 x  5  x 2  6 x  10  5 7: (7) i: D .  x  1 2 4 u  x  1; 2  , v  x  3;1 . 39  x  3 2 1  5 (7’) u v  u  v nh (7’) u v  u  v ( u, v 0 ). k 0 ( ’) x l  x  1  2k   x5 x  3  k x  5. B x2  4 x  13  x2  2 x  5  10 8: (8) D .  x  2 2 9   x  1 2  4  10 (8’) u  x  2;3 , v  x  1; 2  . u v  u  v ( ’) u v  u  v u, v ( 0 ).  x  1  k  x  2    2  3k k 0 ( ’) x l D x  7 . x  7 . B 9: x2  2 x  5  x 2  2 x  10  29 40 (9) D . 1  x  2 4   x  1 2  9  29 (9’) u 1  x; 2  , v  x  1;3 . u  v  uv . (9’) uv  u  v u, v 0  1  x  k  x  1   2  3k  x 1 5 x B k 0 (9’) x 1 5 10: x  3  4 x  1  x  24  6 x  1  17 D 2  x 1  u 2  .  x 1  3  16  x  1;0  , v  x  1  3; 4  2 (10)  2 17 (10’) ( u  v  uv uv  u  v u, v 0. v x l (10’) 41 u 0. ’) 2  x 1  0  x  5 x5 V uv  u  v 2.3.2. P ư ọ ộ r b bấ , ư rì c ẳ mc . a) u.v  u . v u, v u  v  u  v  u, v ) B 1: x  1  x  3  2 x 2  10 x  16 (1) x  1. x  1  x  3  2  x  3  2 x  2 ( ’) 2 u   x  1; x  3 , b 1;1 u.v  u . v ( ’) u.v  u . v u, v ( ’) x 42 k 0  x  1  k    x  3  k x 1  x  3 x  3   2  x 1  x  6x  9  x5 x  5. B 2: x2  8x  816  x2  10 x  267  2003 (2) 4  x ( ’) 2  800    x  5 2  242  2003    u 4  x; 20 2 , v x  5;11 2 . uv  u  v . ( ’) uv  u  v ( u , v ). x . a x  a x 2 B x  0  a  x  0   a  x  0 (3) x  0   x  0 a   x   a  x  a  x  a 0. u  a  x   v  a  x ( )  u 2  a  2 v  a x x  u  v  2a u  v  2  2 2 u  v  2a (*) u, v  0  43 2 2  u, v  0  . M  u; v  (*) O  0;0  , R  2a v 2a 2 O 2 u 2a 2a  2  a  2 2a  d  O,    2  0  a  1 0  u  2a  0  a  x  2a  0  a  x  2a 0 xa d  O,    2a  2 0  u  u1  u2  u  2a ( u 2   2  u   2a ) 2 u1 , u2 u1  1  a  1  u2  1  a  1 0  a  x  1  a  1  1  a  1  a  x  2a  44 0  a  x  a  2 a  1   a  2 a  1  a  x  2a 0  x  2 a  1   2 a  1  x  a  4  a  1  x  a 2 . 2.3.3 P ư ộ r ọ b ư rì ) ẳ , ẳ ẳ , trong không gian b) B 1:  x2  y 2  z 2  1  2 x  y  2 z  3  0 1  2 1 Oxyz , S  tâm O  0;0;0  ẳ  P. d  O;  P    1  R nên ẳ  P S   P ẳ  2 R 1  O  0;0;0  45  S . ẳ  x  2t   P  :  y  t  z  2t  t  . 2 x  y  2 z  3  0  x  2t    y  t  z  2t 2  x  3  1   y  3  2  z   3   x; y; z     2 1 2 ; ;  . 3 3 3  B 2: 2007 x 2008  2008 y 2009  2009 z 2010  2008  2 2 2 x  y  z  2x  4 y  6z  7  0 2 x  y  4 z  5  0  1  2  3 nh  2  Oxyz , S  tâm I  1; 2; 3  3  P . ẳ d  O;  P    21  R ẳ  P S   P ẳ ẳ  x  1  2t   P  :  y  2  t  z  3  4t  R  21 I  1; 2; 3  t   46 S  .  2  3 2 x  y  4 z  5  0 x  1  x  1  2t     y  1  y   2  t  z  1   z  3  4t  x; y; z   1; 1;1 1  x; y; z   1; 1;1 . B  x2  y 2  z 2  6x  2 y  2z  2  0  x  2 y  2z  m  0  x  32   y  12   z  12  9   x  2 y  2 z  m  0 1 Oxyz ,  S  tâm I  3; 1;1  2 ẳ Hay d  I ,  P    R  3  2.  1  2.1  m 12  22  22  3 m  9 3  m  9  3  m  9 m  6   m  12 47 R3  P  P , 1  2 S  3 m6 m  12 B  x2  y 2   y  x  z   2  x  x  y  2 yz 3x 2  8 y 2  8 xy  8 yz  2 x  4 z  2  (I) x  x  y   y  y  z   0   x  x  1  y  2 z  1  0  2 2 2 2 4  x  y   4  y  z    x  1   2 z  1 (II) u  x; y  , v  x  y; y  z  , w  x  1;2 z  1 ( ) u.v  0   u.w  0  2 2 4. v  w  u  0   2 2  4. v  w    u  kv 2 2  4. v  w   u0 u  0   x  y  0 2 2    2 2 2 2 4  x  y   4  y  z    x  1   2 z  1 4. v  w  x  y  0  x  y  0  x  y  0   1   2  2   2 2 4 z  1   2 z  1  z   2 4 z  1   2 z  1 u0 t w  2v 48  x  0   x  1  2  x  y   x  2 y  1      y  1 2 z  1  2  y  z  2 y  1    2   3 x  2 y  1    Hay   x  1  2 x  y       y   2 z  1  2 y  z 2 y  4 z   1      3 x  4 z  0   B x  y  z  9  1 1 1     1 (5) x y z  xy  z  zx  27  x0 ; y0 ; z0   x  y  z  9   xy  z  zx  27 1 1 1    1  x y z ( )( )  i    ii    iii  u  x0 ; y0 ; z0  , v  y0 ; z0 ; x0  u.v  x0 y0  y0 z0  z0 x0  27  iv  Theo  ii  Theo  i  ,  ii  u . v  x02  y02  z02   x0  y0  z0   2  x0 y0  y0 z0  z0 x0   27  v  2  iv   v  suy ra u.v  u . v u  0, v  0 ( do x0 , y0 , z0  0 ) nên u , v u  kv  k  0  49  x0  ky0  y  kz  0 0   z  kx 0  0  k  0 ( )  3;3;3 . ( ) x  3  y  3 z  3  B 4 4 4  x  y  z  1  2 (6) 2 2  x  y  2z  7  x0 ; y0 ; z0  ( )( ) u  x0 2 ; y0 2 ; z0 2  , u 1;1; 2  . u  x0 2  y0 2  z0 2  1 , v  6 2 2 2 u.v  x0  y0  2 z0  7. u.v  u . v  7 6 ( ). 50 ẾT UẬN , , , trong khoa , - 51 TÀI IỆU THA 1. HẢO (2014), ”, , 2. , (2011), ec ”, NXB ( 3. ), , , , , c , 4. , (2013), c, Nxb GD. c ec ”, NXB GD, 5. ), (T , , ( ( 6. , ( ), c 12 ), ( ), ), ”, NXB GD. ( c 10 52 ”, NXB GD. ), [...]... y0  M0 d  M0 ,  ,  d  M0 ,   ộ 1.7.2 Trong không gian Oxyz ax0  by0  c 2 a ộ ặ a b 2 ể 2  b2  0  ẳ M 0  x0 ; y0 ; Z0  Ax  By  Cz  D  0  A2  B 2  C 2  0  M0 ẳ  P d  M 0 ,  P   d  M 0 ,  P  , Ax0  By0  Cz0  D A2  B 2  C 2 6 A 2  B2  C 2  0 ẳ  P CHƯƠNG 2 PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG VIỆC GIẢI CÁC BÀI TOÁN ĐẠI SỐ , P ư ọ ộ r b bấ ẳ ẳ , ẳ ẳ ẳ 2.1.1 C ở u ... 4b; by  , C  4c; cz  OA  OB  OC   4a  4b  4c; ax  by  cz   8;6   OA  OB  OC  10 13 OA  OB  OC  OA  OB  OC  10  16a  a x  16b  b y  16c  c z 2 2 2 2 2 2 2 2 2 OA, OB, OC i Trong 3 vec OA, OB, OC 0  4a  0 OA  0   ax  0 OC  OB  OB  OC  OC  kOB  k  0  4c  4kb c  kb c  kb     4cz  4kby cz  kby z  y   abc  2  bc  2 b0 c0 k c  kb k  ...TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN =====***===== NG TH TH I N PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG VIỆC GIẢI CÁC BÀI TOÁN ĐẠI SỐ KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC C Đ N ườ TS NGU HÀ NỘI... P  , Ax0  By0  Cz0  D A2  B  C A  B2  C  0 ẳ  P CHƯƠNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG VIỆC GIẢI CÁC BÀI TOÁN ĐẠI SỐ , P ọ ộ r b bấ ẳ ẳ , ẳ ẳ ẳ 2.1.1 C u   v   u  kv  k   u... c a a Kí hi u: a   x, y  hay a   x; y  1.1.4 Tọ ộ ủ Trong m t phẳng t ể Oxy, t r ọ c ộ OM c g i t c a m M 1.1.5 Tọ ộ r ể ủ Trong m t phẳng t ẳ B  xB ; yB  Khi A  xA ; y A  A, B Oxy