TRƯỜNG ĐẠI HỌC s PHẠM HÀ NỘI KHỎA TOÁN NGUYỄN THỊ THANH LOAN BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY VÀ BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY ĐẢO NGƯỢC KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC • • • • C huyên ngành: Đ ại số HÀ NỘI - 2015 LỜI CẢM ƠN Sau thời gian miệt mài nghiên cứu, khóa luận tốt nghiệp em hoàn thành Đe hoàn thành đề tài nghiên cứu này, em xin gửi lời cảm ơn đến thầy cô giáo khoa tạo điều kiện cho em trình tìm kiếm tài liệu đặc biệt lời cảm ơn sâu sắc với thầy Nguyễn Huy Hưng người trực tiếp hướng dẫn khóa luận cho em Lần đầu làm quen với cơng việc nghiên cứu khoa học, khả cịn hạn chế thời gian nghiên cứu khơng có nhiều, khóa luận tốt nghiệp em chắn cịn nhiều thiếu sót.Em mong nhận đóng góp ý kiến thầy cô bạn sinh viên Em xin chân thành cảm ơn Hà Nội, tháng năm 2015 Sinh viên Nguyễn Thị Thanh Loan LỜI CAM ĐOAN Khóa luận tốt nghiệp nghiên cứu riêng em, em nghiên cứu hồn thành giúp đỡ giảng viên hướng dẫnthầy Nguyễn Huy Hưng, sở số tài liệu tham khảo Em xin cam đoan kết khơng trùng với kết tác giả khác Hà Nội, tháng năm 2015 Sinh viên Nguyễn Thị Thanh Loan M Ụ C LỤC MỞ ĐẦU 1 Lí chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Đối tượng nghiên u Phương pháp nghiên u CHƯƠNG BẤT ĐẢNG THỨC CAUCHY 1.1 B ất đẳng thức Cauchy 1.1.1 Với hai số không â m .2 1.1.2 Với n số không â m 1.1.3 Bất đẵng thức Cauchy mở rộng hay định lý tổng quát trung bình cộng trung bình nhân 1.2 Chứng minh bất đẳng thức Cauchy cho n số không âm 1.2.1 Chứng minh Polya .3 7.2.2 Chứng minh băng quy nạp toán học 1.2.3 Chứng minh Cauchy 1.2.4 Một cách chứng minh khác 1.3 ứng dụng bất đẳng thức Cauchy 1.3.1 Chứng minh bât đắng thức 1.3.2 Tìm cực trị 19 1.3.3 Giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình, hệ bất phương trình 25 1.3.4 Úng dụng vật lý .32 CHƯƠNG 37 BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY ĐẢO NGƯỢC 37 2.1 Bất đẳng thức Cauchy đảo ngược cho n số không âm 37 2.2.2 Các bất đắng thức Cauchy đảo ngược với ma trận hàm toán tử đơn điệu 40 2.3 Bất đẳng thức Cauchy đảo ngược cho chuẩn bất biến đơn vị ứng dụng 44 Định lý : 44 2.4 Bất đắngthức Cauchy đảo ngược với nhiều hai ma trận 49 KẾT LUẬN 51 TÀI LIỆU THAM KHẢO 52 M Ở ĐẦU 1.Lí chọn đề tài Bất đẳng thức Cauchy bất đẳng thức cổ điển hay quan trọng bậc Không sử dụng nhiều chứng minh bất đẳng thức, cịn có nhiều ứng dụng lĩnh vực khác Toán học Ngược lại, bất đẳng thức Cauchy đảo ngược lại vấn đề mới, chưa nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu.Bản thân em có đam mê thực quan tâm tới hai bất đẳng thức 2.Mục đích nghiên cún Nghiên cứu cách chứng minh bất đẳng thức Cauchy, ứng dụng cụ thể bất đẳng thức Cauchy bất đẳng thức Cauchy đảo ngược 3.ĐỐÌ tượng nghiên cửu Bất đẳng thức Cauchy Cauchy đảo ngược 4.Phưotig pháp nghiên cún - Đọc, nghiên cứu tài liệu - Tổng họp kiến thức - Tổng hợp, xếp, phân loại, giải tập C H Ư Ơ N G BẤ T Đ Ẳ N G T H Ứ C C A U C H Y 1.1.Bất đẳng thức Cauchy Bất đẳng thức Cauchy bất đẳng thức so sánh trung bình cộng trung bình nhân n số thực khơng âm phát biểu sau:“Trung bình cộng n số thực khơng âm ln lớn trung bình nhân chúng trung bình cộng trung bình nhân n số nhau” 1.1.1 Với hai số không âm Cho hai số không âm a, btSL ln có: ^> ã b Dấu đắng thức xảy chỉkhi a = b Hệ 1: Neu hai số dương thay đối có tống khơng đối tích chúng lớn hai số Chứng Cho soa, b> 0, s = a + b, s không đổi s2 => 2\fãb < s ab < — s2 ab = —— a= b Ỷ nghĩa hình học: Trong tất hình chữ nhật có chu vi, hình vng có diện tích lớn Hệ 2: Neu hai số dương a, b thay đổi tích khơng đổi tổng chúng nhỏ hai số Thật vậy, cho a, b > 0, p = a b , p không đổi => a + b > yfp => a + b = 2yfp a = b Ý nghĩa hình học: Trong tất hình chữ nhật có diện tích, hình vng có chu vi nhỏ 1.1.2 Với n số không âm Cho n số khơng âm ỡị, an, ta ln có: Dấu đẳng thức xảy chỉkhiứ, =a2 = = an 1.1.3 Bất đẳng thức Cauchy mở rộng hay định lý tổng quát trung bình cộng trung bình nhân Cho n số khơng âm a]9 ỡ„và n số thực dương /?p Khi đó: ^ /7j + p + + /?„ ) Dấu đẳng thức xảy chỉkhiữ, =a2 = = an 1.2.ChÚTig minh bất đăng thức Cauchy cho n số không âm 1.2.1 Chứng minh Polya n => f \ x ) = ex-x- \ f \ x ) = o e x-' —1 =0 JC= Pn Bảng biến thiên: - ao X +00 /'(*)+ +00 f(x) +00 0' /( x ) đ t giá trị nhỏ x = \ v / ( l ) = Do đ ỏ , x < e x với số thực X (1) an Áp dụng bất đẳng Xét dãy số thực không âma,, thức (l)ta có: e ụ e>1 = e ụ M M - K / I ' a \ a " (2) M a n ữ + a + + a — - I = — -— - ỉỉ n = n - n = M à— —l + — —! + JU M /u JU Do ú, t (2) ta cú: Id' ^ ãô < e — « a ìa an < juil ũị + 0*2 Cl, n 1.2.2 Chúng minh quy nạp tốn học Cho X> 0, ta có: x " +l - [n + l) X + n = x ,,+l - X - n x + n =xỊx" =x(x-l)^x"*' +x"~2+ + X+ 1j-;z(x -l) = ( x - l ) ( x " + x ”_l + + X + x j - / z ( x - l ) = (x-l)(x" +X”' 1+ + X—/2^ = (jc-l)2( y í-, +2x"-2 + + / í )>0 Đặt ữị + ữ0 + + Ö ũ, + ữj + + ũ ? -;x:= -> a :=— - iL- - — ; b := —— — -n b n+1 Từ đó: í Y 7+1 —I Vb) —(?7 + 1)—+ 72> y Jb Ể7/?+l —b n + ữ + + tì!,7+i ) + n b n+] ) >a„ |( đ' + đ + - + đ«y /ỉ+ /2 Ta chứng minh bất đẳng thức Cauchy quy nạp theo n • Với n = 1, bất đắng thức hiển nhiên • Giả sử bất đắng thức với n = k , tức ta có: / _ \Ấ: ữị + $2 “ I“••• “ I“ũỵ Theo bất đẳng thức (1) ta có: NẮT+l / > aẦ+1 &+1 Từ ta suy : k+ì =>Bất đẳng thức với n = k + ì =>Bất đẳng thức với n > _ _ \k ữị + ữ2 "i" "1" (1) CHƯƠNG BẤT ĐẲNG THỨC CAUCH YĐẢO NGƯỢC 2.1.Bất đẳng thức Cauchy đảo ngược cho n số không âm Cho n số khơng âm al,a2, ,an ,tacó: + + ữ < ^ a xa an + - Ị 1I 2^ y iị-a Ví dụ 1: Cho hai số khơng âm a, b , ta có: a +b Ị— r \ữ—b\ —-— < yỊab + J [ Ví dụ 2: Cho ba số khơng âm a, b, c, ta có: a +b +c 3Ị—j— |fl-^ | + |z?-c| + |c - ữ | c+ 2.2 Bất đắng thức Cauchy đảo ngược với hai ma trận, hai hàm toán tử đơn điệu Bất đắng thức Cauchy đảo ngược không áp dụng cho số khơng âm, cịn áp dụng cho ma trận, hàm toán tử đơn điệu hay chuẩn bất biến đơn vị Tuy nhiên, áp dụng cho đối tượng này, bất đắng thức Cauchy khơng cịn trường hợp tống quát 2.2.1 Một vài định nghĩa •vết ma trận vết ma trận A tổng phần tử đường chéo ma trận A Kí hiệu Tr(A) 37 •Phỗ ma trận Phổ ma trận A tập họp tất giá tộ riêng thuộc mặt phang phức ma trận A Kí hiệu cr( A ) •Ma trận chuyển yị ma trận chuyển vị liên hợp Ma trân A‘ =(a ) V A = (a ) V J / nxn ” / nxn đươc goi ma trân chuyển vỉ ma trân Các dịng ma trân A1 cơt tương ứng ma trân A cột ma trận A{ dòng tương ứng ma trận A Ma trận chuyển vị liên hợp ma trận A = ) ma trận Af =(a ) Kí hiệu A = A * \ J /nxn •M a trận nửa xác định dương Ma trân A = (an ) V J / nxn đươc goi nửa xác đinh dương A ma trân đối xứng thực cho với vec to'X e Rn, x{Ax > Kí hiệu A > Ma trân A = (an ) V J //ÍX /I đươc goi xác đỉnh dương A ma trân nửa x ác đ ịn h d n g th ỏ a m ãn X 1Ax = X = 0, X G Rn •Căn bậc hai ma trận Ma trận đối xứng thực B gọi bậc haỉcủa ma trận đối xứng thực A A nửa xác định dương, B nửa xác định dương thỏa mãn Ị_ A = B2 Kí hiệu A 2hoặc \ [ Ã •Căn bậc hai tốn tử dương Căn bậc hai toán tử dương A toán tử toán tử tự liên hợp B thỏa Ị_ mãn B2 = A Kí hiệu A 2hoặc y /Ẵ •Phần dương ma trận(tốn tử) 38 Kí hiệu |a| := VÃ* A gọi 1ầphần dương hay giá trị tuyệt đốicủa A •Trung bình ỉũy thùa s hai số khơng âm Trung bình lũy thừa s hai số khơng âm a, b kí hiệu a # s£>được cho bởi: a #s/? = a1' { ã ^ b ã ^ )s a'/2 •Trung bình hai ma trận(tốn tử) Trung bình cộng hai ma trận, toán tử mở rộng khái niệm trung bình tập số khơng âm sang tập ma trận nửa xác định dương hay tập tốn tử nửa xác định dương Trung bình cộng hai ma trận (toán tử) dương A, B ma trận(toán ’\ A A +B tử) nửa x ác định dươ ng - Trung bình nhân hai ma trận(toán tử) mở rộng khái niệm trung bình nhân số dương Trung bình nhân hai ma trận(toán tử) xác định dương A, B ma trận(tốn tử) dương kí hiệu A # B (hoặc G (A ,5 )) cho bởi: í -1 A = A2 A 2B \_ -] Aõ A2 A •Đại số Một đại số X trường K (gọi tắt đại số X ) không gian vec tơ trường K mà tồn phép tốnhai ngơi, kí hiệu (.) gọi phép nhân thỏa mãn điều kiện sau: /, + z) = xỵ + xz ///, /l(xy) = (ắ x ) ỵ = với m ọi X, y G X , Ả G K 39 •Quan hệ thứ tự tập ma trận đối xúng thực Cho hai ma trận đối xứng thực А, в , ta nói А > в ma trận A - в ma trận nửa xác định dương • Hàm đơn đỉệu ma trận Một hàm / liên tục / gọi đơn điệu ma trận cấp n hay n đơn điệu A < Ỉ = > /(A )< /(Z ? ) với cặp ma trận tự liên hợp A, B & M n\ i Ỡ"(A), AnơBn ị AơB Neu /ơ = / , gọi trung bình Một hàm đơn điệu toán tử / [0,oo) với / (l) = xác định trung bình tốn t , sau: Ị_ Aơf B = f —A 2f í -1 -1Л А B A A 2.2.2 Các bất đẳng thức Cauchy đảo ngược vói ma trận hàm toán tử đơn điệu Định lý 1: Cho f hàm thực dương, liên tục điệu hàm g(t) =— n -đơn điệu 40 [0 ,o o ) [0 ,o o ) Neu / 2n -đơn Xét b ấ t đ ắn g th ứ c ch o m a trận n a x c đ ịn h d n g /4 v B , / hàm toán tử đơn điệu, g(t) = - y ^ : • Bât đắng thức Poxver-Stormer cho vết ma trận Tr(A + B ) < T r ( f ( A ) g ( B ) ) + T r (\A -B \) • Bất đắng thức ma trận — — - f (A) g ( B ) f {AỴ + A-B\ 2 Bất đắng thức Cauchy đảo ngược cho hai toán tử dương: A +B A \ A- B\ p + q = \a - b \ 0 Từ A - p = B - Q < B ,ta có: A~2' (A - p ) A~2' < Ẩ~2' b a '2 Từ tính đơn điệu hàm / bất đắng thức (1) ta có ( -1 A 2B A ' -1 A (A - P ) A V zl zl Mặt khác, A - P < A ^ > < A J (A - P ) Ã Ĩ 2 27V X ỵ i Ỵ ỵ i X = 15,9958 V V ) ) Điều nghĩa bất đẳng thức không dùng trường họp tổng quát với chuấn vết 48 2.4 Bất đẳng thức Cauchy đảo ngược với nhiều hai ma trận Như ta thấy, bất đẳng thức Cauchy đảo ngược dạng vô hướng với n số không âm.Vậy với n ma trận dương, bất đẳng thức có khơng? Với ma trận dương A, B, c , gọi G(A, B, c ) trung bình nhân ma trận Ta có bất đẳng thức Cauchy với ma trận dương A, B , c Một câu hỏi tự nhiên với điều kiện thì: A +B +C / - ^-< G(A, B, A - B + B-C\ +\A-C c) + đúng? Đe tìm điều kiện để bất đẳng vấn đề dễ dàng Ta đưa số phản ví dụ cho bất đẳng thức với số chuấn bất biến đơn vị Với ma trận A, B, c dương mà B = c , ta có: Ơ(A, b, c — ) =a a - 2b a n y V Thật vậy: G( A, B , C) = G ( A , B , B) ({ —1 —1 —1 = A 2G /, A 2B A , A 2BA V -1 -1 Vì A BA / giao hốn nên: 49 — - \ \ -1 -1 -1 -1 \ G /, A BA2 , A BA2 f V -1 -IV A 2BA — V ) zl ( => G(A, b , b ) = a A 2B A V Xét ma trận cụ thể sau: (- u 5, X = ; Y= r2 3" ,3 5, Với trợ giúp Matlab, ta có: / -I - Ị \ X 2Y X 3G(X, Y, Y) = x X 3G ( x , Y, Y ) - ( ỵ + Y + Y - \ x - Y\ ) = 1,5069 -0,8869 -0,8869 -0,9861 ma trận nửa xác định dương Nếu xét chuẩn vết bất đẳng thức, việc sử dụng hai ma trận X, Y trên, ta có phản ví dụ với chuẩn HilbertSchmidt: X +Y + Y - X - Y / = 277,6663 1( -1 -1 >3 X X 2Y X X = 237,3172 V V 27 Thấy ma trận X , Y không thỏa mãn điều kiện X < ( X Y + yx), từ kéo theo X + Y- \ x —y| > 50 K ẾT L U Ậ N Bất đẳng thức Cauchy Cauchy đảo ngược bất đẳng thức quen thuộc Đại số nói riêng Tốn học nói chung Khóa luận tốt nghiệp em cung cấp số cách chứng minh bất đẳng thức Cauchy ứng dụng quen thuộc bất đẳng thức giải tập Chắc chắn sâu tìm hiểu thêm bạn sinh viên có thêm kiến thức hay Lần đầu làm quen công việc nghiên cứu khoa học, với lực hạn chế vốn thời gian ỏi, chắn khóa luận tốt nghiệp em cịn nhiều thiếu sót Em mong nhận bảo thầy giáo đóng góp ý kiến bạn sinh viên Em xin chân thành cảm ơn 51 ... bất đẳng thức 2.Mục đích nghiên cún Nghiên cứu cách chứng minh bất đẳng thức Cauchy, ứng dụng cụ thể bất đẳng thức Cauchy bất đẳng thức Cauchy đảo ngược 3.ĐỐÌ tượng nghiên cửu Bất đẳng thức Cauchy. .. 37 BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY ĐẢO NGƯỢC 37 2.1 Bất đẳng thức Cauchy đảo ngược cho n số không âm 37 2.2.2 Các bất đắng thức Cauchy đảo ngược với ma trận hàm toán tử đơn điệu 40 2.3 Bất. .. tài Bất đẳng thức Cauchy bất đẳng thức cổ điển hay quan trọng bậc Không sử dụng nhiều chứng minh bất đẳng thức, cịn có nhiều ứng dụng lĩnh vực khác Toán học Ngược lại, bất đẳng thức Cauchy đảo ngược