Đề cương ôn tập Toán 12 HƯỚNG DẪN ÔN THI TỐT NGHIỆP MÔN TOÁN **************************** A/ CẤU TRÚC ĐỀ THI TỐT NGHIỆP MÔN TOÁN CHƯƠNG TRÌNH CHUẨN Câu I (3 điểm): - Khảo sát, vẽ đồ thị của hàm số. - Các bài toán liên quan đến ứng dụng của đạo hàm và đồ thị của hàm số: biện luận số nghiệm của phương trình theo tham số m; định giá trị của tham số m để phương trình có nghiệm… Câu II (3 điểm): - Hàm số, phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit. - Tìm nguyên hàm, tính tích phân. Câu III (1 điểm): Hình học không gian (tổng hợp): tính diện tích xung quanh của hình nón tròn xoay, hình trụ tròn xoay; tính thể tích khối lăng trụ, khối chóp, khối nón tròn xoay, khối trụ tròn xoay; tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu. Câu IV.(2 điểm): Nội dung kiến thức: - Xác định tọa độ của điểm, vectơ. - Mặt cầu. - Viết phương trình mặt phẳng, đường thẳng. - Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng; tính khoảng cách từ một điểm đến ặt phẳng. Câu V.(1 điểm): Nội dung kiến thức: - Số phức: môđun của số phức, các phép toán trên số phức. Căn bậc hai của số thực âm. Phương trình bậc hai hệ số thực có biệt thức ∆ âm. - Ứng dụng của tích phân: tính diện tích hình phẳng B/ MỘT SỐ CHỦ ĐỀ TỰ BỒI DƯỠNG PHẦN I: GIẢI TÍCH Chuû ñeà I: DAÏNG TOAÙN KHAÛO SAÙT HAØM SOÁ: I/ Khaûo saùt haøm ña thöùc: 1/ Sô ñoà khaûo saùt haøm ña thöùc: B1: Taäp xaùc ñònh: D= ¡ . lim y = B2: Tìm x →±∞ B3: Tính ñaïo haøm y’, tìm nghieäm cuûa phöông trình y’= 0, tính giaù trò cuûa haøm soá taïi caùc nghieäm vöøa tìm ñöôïc. B4: Laäp baûng bieán thieân x f’(x) f(x) Ghi taäp xaùc ñònh vaø nghieäm cuûa phöông trình y/=0 Xeùt daáu y/ 1 Ghi khoaûng taêng, giaûm , cöïc trò cuûa haøm soá Đề cương ôn tập Toán 12 B5: Tính ñaïo haøm caáp 2, tìm nghieäm cuûa y”= 0 ⇒ điểm uốn. B6: Tìm ñieåm ñaëc bieät thöôøng tìm moät ñieåm coù hoaønh ñoä nhoû hôn cöïc trò beân traùi vaø moät ñieåm coù hoaønh ñoä lôùn hôn cöïc trò beân phaûi. B7:Veõ ñoà thò Caùc daïng ñoà thò haøm baäc 3: y y 0 x y 0 x y 0 x 0 x  y ' = 0 coù 2 nghieäm phaân bieät  a > 0  y ' = 0 coù 2 nghieäm phaân bieät  a < 0  y ' ≥ 0 ∀x  a > 0 Chuù yù: Ñoà thò haøm baäc 3 luoân nhaän ñieåm uoán laøm taâm ñoái xöùng. Caùc daïng ñoà thò haøm truøng phöông:  y' = 0 coù 3 nghieäm phaân bieät  a > 0  y ' = 0 coù 1 nghieäm ñôn  a > 0  y ' = 0 coù 3 nghieäm phaân bieät  y ' = 0 coù 1 nghieäm ñôn   a < 0 a < 0 Chuù yù: Ñoà thò haøm truøng phöông luoân nhaän truïc oy laøm truïc ñoái xöùng. 2/ Ví duï 1: Khaûo saùt caùc haøm soá y = x3+3x2– 4 Giaûi: Taäp xaùc ñònh: D = R lim y = ±∞ x →±∞  x = 0 ⇒ y = −4 y′ = 3x2+6x = 3x(x+2), cho y′ = 0 ⇔   x = −2 ⇒ y = 0 Laäp baûng bieán thieân. 2  y ' ≤ 0 ∀x  a < 0 Đề cương ôn tập Toán 12 x −∞ -2 0 +∞ y/ y + 0 0 - 0 CT + +∞ -∞ CÑ -4 y′′ = 6 x + 6 cho y′′ = 0 ⇔ x= –1 ⇒ y= -2, y’’ đổi dấu qua x=-1 ⇒ I(-1 ;-2) là điểm uốn Ñieåm ñaëc bieät: A(1;0) B(-3;-4) Veõ ñoà thò haøm soá: 2 4 y -2 1 x -2 -4 Ví duï 2: Khaûo saùt haøm soá: y = 2x2– x4 Giaûi MXÑ : D= R lim y = −∞ x →±∞ y′ = 4x–4x3 = 4x(1–x2) Laäp baûng bieán thieân: −∞ x +∞ y/ + y -∞ -∞  x = 0 ⇒ y=0 cho y′ = 0 ⇔ 4x(1–x2)=0 ⇔  x = ± 1 ⇒ y=1  -1 0 1 CÑ 0 - 1 0 CT 0 + 0 1 CÑ 5 y′′ = 4–12x2 cho y′′ = 0 ⇔ x = ± 3 ⇒ y= 9 3 y′′ đổi dấu qua x = ± 3 ⇒ Đồ thị hàm số có 2 điêm uốn là 3 Ñieåm ñaëc bieät: A ( 2; 0 ) B ( − 2; 0 ) Ñoà thò: 2 3 y 1 x  3 5 ; ÷  ± ÷  3 9 - Đề cương ôn tập Toán 12 II/ Khaûo saùt haøm nhaát bieán: ax + b 1/ Sô ñoà khaûo saùt haøm y = : cx + d  −d  B1: TXÑ D = R\  c    B2: Tieäm caän ngang laø: y= a c a.d − b.c −d . Tieäm caän ñöùng laø x = c . B3: Tính ñaïo haøm y’= ( cx + d ) 2 ⇒ tính ñôn ñieäu cuûa haøm soá B4: Laäp baûng bieán thieân. x Ghi mieàn xaùc ñònh cuûa haøm soá f’(x) Xeùt daáu y/ f(x) Ghi khoaûng taêng giaûm cuûa haøm soá B5:Tìm giao ñieåm cuûa ñoà thò vôùi caùc truïc toaï ñoä , coù theå laáy theâm moät soá ñieåm khaùc ñeå deã veõ. B6:Veõ ñoà thò Daïng ñoà thò haøm b1/b1 y’< 0 ∀x ∈ D y’> 0 ∀x ∈ D 2x − 2 2/ Ví duï: Khaûo saùt haøm soá : y = x + 1 . MXÑ: D= R\ { −1} y′ = 4 ∀x ∈ D ⇒ haøm soá luoân ñoàng bieán treân töøng khoûang xaùc ñònh cuûa noù. ( x + 1) 2 > 0 TCÑ: x=–1 ; TCN: y = 2 Laäp baûng bieán thieân. x y/ y -∞ 2 +∞ -1 + +∞ + 2 -∞ 4 Đề cương ôn tập Toán 12 Ñieåm ñaëc bieät: A(0;-2), B(1; 0), C(-2;6), D(-3;4) Ñoà thò: y 8 6 4 2 -8 -6 -4 -2 -2 x 2 4 6 8 -4 -6 -8 Chuû ñeà II: MOÄT SOÁ BAØI TOAÙN LIEÂN QUAN TÔÙI KHAÛO SAÙT HAØM SOÁ I/ Baøi toaùn : Bieän luaän soá nghieäm cuûa phöông trình baèng ñoà thò Duøng ñoà thò bieän luaän soá nghieäm cuûa phöông trình f(x)= ϕ (m) . Phöông phaùp giaûi: B1: Veõ ñoà thò (C) cuûa haøm f(x) (Thöôøng ñaõ coù trong baøi toaùn khaûo saùt haøm soá ) B2: Soá nghieäm cuûa phöông trình laø soá giao ñieåm cuûa ñoà thò (C) vaø ñöôøng thaúng y= ϕ (m) . Tuøy theo m döïa vaøo soá giao ñieåm ñeå keát luaän soá nghieäm. Ví duï: Cho haøm soá y=x3 – 6x2 + 9x (C). Duøng ñoà thò (C) bieän luaän soá nghieäm cuûa phöông trình x 3 – 6x2 6 y + 9x – m = 0 Giaûi: 4 3 2 Phöông trình x – 6x + 9x – m = 0 ⇔ x3 – 6x2 + 9x = m 2 Soá nghieäm cuûa phöông trình laø soá giao ñieåm cuûa ñoà thò (C) vaø ñöôøng thaúng d: y=m. 5 döïa vaøo ñoà thò ta coù: -2 Neáu m > 4 phöông trình coù 1 nghieäm. Neáu m = 4 phöông trình coù 2 nghieäm. Neáu 0< m 4 3 hoặc m>0 (*) có 1 nghiệm m= 4 3 hoặc m=0 (*) có 1 nghiệm 4 (*) có 3 3 d1 : y = 3x; d2 : y = 0 0 2. a. So sánh hai số log 4 5 và log5 6 (không dùng máy tính). b. Biết lg 2 = a ; log 2 7 = b . Tính giá trị của lg 56 theo a và b. ĐS: a. log 4 5 > log 5 6 , b. lg56=a(3+b). Chủ đề 3: NGUYÊN HÀM−TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG Bài 33. 1 . 2 log 6 x ĐS: a. Bài 32. L=− Tính các tích phân sau: a) I = π 2 x (sin + cos 2 x)dx 2 0 ∫ 2 d) I = ∫ 1 2x x2 + 1 1 b) I = ∫ (2 x + 1) dx 3 0 e dx e) I = ∫ 1 35 ln 2 x dx x 1 c) I = ∫ (4 x + 1)e dx x 0 Đề cương ôn tập Toán 12 MỘT SỐ BÀI TOÁN NÂNG CAO Bài 34. a. Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số b. Cho hai hàm số Bài 35. f ( x) = 20 x 2 − 30 x + 7 2x + 3 , f ( x) = 1 + 4 x 2 tan 2 2  2 x  − 1÷  tan 2   π  F  ÷= 3 . 4 biết F ( x ) = ( ax 2 + bx + c ) 2 x + 3 , với x> 3 2 . Xác định a, b, c để F(x) là một nguyên hàm của f(x). ĐS: F(x)=tanx+2, b. a=4; b=−2; c=1. Tính các tích phân sau: a. π 3 ln 3 I = ∫ tan xdx 3 b. π 4 ∫ 0 3 d. J= 7 dx x e +2 c. e. 2 M = ∫ ( x − 2 ) e 2 x dx 0 ∫ 0 1 L = ∫ ln ( x 2 − x ) dx K= x3 xdx 3 1 + x2 1 f. N = ∫ x 2 1 − x 2 dx 0 141 5 − 3e2 π , c. K = ?, d. L = 3ln 3 − 2, e. M = ,f. N = . 20 4 16 2 2 x y + = 1 khi nó quay quanh Ox. Bài 36. a. Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi elip 9 4 x2 y 2 + = 1 khi nó quay quanh b. Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi elip 4 9 ĐS: a. I = 1 − ln 2, b. J = Oy. ĐS: Bài 37. a. V = 16π , b. 64π 3 . Tính thể tích hình tròn xoay sinh ra bởi hình phẳng giới hạn bởi các đường x y = x .e 2 , y=0, x=0, x=2 khi quay quanh Ox. ĐS: ( ). V = π e2 + 1 2 Bài 38. a. Tính tích phân I = ∫ 4 − x 2 dx . 0 b. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số [−1;2] và trục hoành. y = x3 − x 2 − 2 x ĐS: Bài 39. a. Tính tích phân a. I = π , b. S = . I = ∫ cos 3 xdx . b. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số f ( x ) = x3 − 3x ĐS: 2 a. Tính tích phân 37 12 π 2 0 Bài 40. trên đoạn I =∫ 1 5 ( x − 1) x2 − x − 6 và g ( x ) = x . 2 a. I = , b. S = 8 . 3 dx . b. Tính thể tích vật thể tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường , y=1, y=0 khi quay quanh trục Oy. ĐS: 36 y = 3x + 1 a. I = 4 ln 2 − 3ln 3, b. V = 2π 5 . Đề cương ôn tập Toán 12 Chủ đề 4: SỐ PHỨC Bài 41. Thực hiện các phép tính: a) (2 + 4i)(3 – 5i) + 7(4 – 3i) c) b) (1 – 2i)2 – (2 – 3i)(3 + 2i) (2 + i ) + (1 + i)(4 − 3i) 3 + 2i d) e) (1 + 2i)3 f) (3 − 4i)(1 + 2i ) + 4 − 3i 1 − 2i 2 + i 2 1+ i 2 + 1− i 2 2 − i 2 Bài 42. Giải các phương trình sau trên tập số phức: a) 2x2 + 3x + 4 = 0 b) 3x2 +2x + 7 = 0 c)(1 – ix)2 + ( 3 + 2i)x – 5 = 0 d) 2x4 + 3x2 – 5 = 0 e) ( 2 − i 3) z + i 2 = 3 + 2i 2 Bài 43. Tìm các số phức thỏa mãn : a) 2x + 1+ (1−2y)i = 2−x+( 3y−2)i b) 4x + 3+ (3y−2)i = y+1 + (x−3)i c) x + 2y + (2x−y)i = 2x + y +(x+2y)i Bài 44. Biết z1 và z2 là hai nghiệm của phương trình 2x2 + a) Bài 45. b) z12 + z22 3x + 3 = 0. Hãy tính: z1 c)z z13 + z23 + 2 z2 z1 Tìm hai số phức, biết tổng của chúng bằng 3 và tích của chúng bằng 4. MỘT SỐ BÀI TOÁN NÂNG CAO Bài 46. a. Biểu diễn các số phức sau đây trên mặt phẳng phức: 3+2i; 2+i, 1−3i. Viết liên hợp và số đối của các số phức đó. b. Cho z = ( 2a − 4 ) + ( 3b + 6 ) i với a, b ∈ R . Tìm a, b để z là số thực, z là số ảo. ĐS: a. (3;2), (2;1), (1;−3). Bài 47. Tìm căn bậc hai của các số phức: a. 1 + 4 3i , b. 17 + 20 2i , c. 46 − 14 3i Bài 48. ĐS: a. z1 = 2 + 3i; z2 = −2 − 3i , b. z1 = 5 + 2 2i; z2 = −5 − 2 2i , c. Giải các phương trình sau trên tập số phức: a. z 2 − z + 1 = 0 b. z 2 − ( 2 + i ) z − 2i = 0 c. iz 2 − 2 ( 1 − i ) z − 4 = 0 d. z 2 − ( 5 − i ) z + 8 − i = 0 . ĐS: a. Bài 49. z= 1 3 ± i, 2 2 b. z1 = 2; z2 = −i , c. z1 = −2; z2 = −2i , Viết các số phức sau dưới dạng lượng giác: a. z=1+i b. z=1−i c. z=−3 d. z=5 e. z=i f. z=−2i g. z = 1 + i 3 h. z = 1 − i 3 i. z = −1 + i 3 37 z1 = 7 + 3i; z2 = −7 − 3i d. z1 = 2 + i; z2 = 3 − 2i . Đề cương ôn tập Toán 12 ĐS: π π  z = 2  cos + i sin ÷, 4 4  a.   π  π  z = 2  cos  − ÷ + i sin  − ÷÷,  4  4   c. z = 3 ( cos π + i sin π ) , d. z = 5 ( cos 0 + i sin 0 ) e. g i. π π  z = 1 cos + i sin ÷ , 2 2  f. π π  z = 2  cos + i sin ÷ , h. 3 3  2π 2π   z = 2  cos + i sin ÷. 3 3   Bài 50. Dùng công thức Moa-vrơ để tính a. (1+i)5, Bài 51. ( a. Tìm phần thực và phần ảo của số phức ( 3 −i 3+i ) ) 6 ,   π  π  z = 2  cos  − ÷ + i sin  − ÷÷ ,  2  2     π  π  z = 2  cos  − ÷ + i sin  − ÷÷ ,  3  3   . ĐS: a. 8 b −4 ( 1 + i ) , b. −64 . . b. Tìm phần thực và phần ảo của (x+yi)2−2(x+yi)+5. Với giá trị nào của x, y thì số phức trên là số thực. ĐS: a. a = −128; b = −128 3 , b. x = 1; y = 0 . Chủ đề 5+6: KHỐI ĐA DIỆN−MẶT CẦU−MẶT TRỤ−MẶT NÓN A. Công thức 1 V = Bh 3 Khối chóp: Lăng trụ: V =Bh Khối nón: 1 1 V = Bh= π r2h 3 3 Sxq = π rl Khối trụ: V = Bh = π r 2h Sxq = 2π rl Khối cầu: V= 4 3 π r , S = 4π r 2 3 Một số kết quả cần nhớ Tam giác đều ABC: * Độ dài đường cao * Diện tích: Tam ABC vuông tại A: S= AB2 3 4 A AB 3 2 . . 1 S = AB.AC . 2 Hình vuông ABCD: * Đường chéo * S=AB2. AH= A B AC = AB 2 . B. Bài tập 38 H C B C Đề cương ôn tập Toán 12 Bài 1. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng 2a. Gọi I là trung điểm của BC. a. Chứng minh SA vuông góc với BC. b. Tính thể tích khối chóp S.ABC và S.ABI theo a. ĐS: b. 1 a 3 11 VS . ABI = VS . ABC = 2 24 Bài 2. Cho hình chóp S.ABC có AB=a, BC = a 3 , SA=3a. đáy là tam giác vuông tại B, SA vuông góc với đáy. Biết a. Tính thể tích khối chóp S.ABC. b. Gọi I là trung điểm của SC. Tính độ dài đoạn thẳng BI theo a. ĐS: a. VS . ABC Bài 3. a3 3 2 Bài 8. VS . ABC = a3 2 3 = a3 2 3 Cho hình nón tròn xoay có đường cao h=a, bán kính đáy r=1,5a. Tính diện tích xung quanh của hình nón và thể tích khối nón đã cho theo a. ĐS: 3π a 2 13 3π a 3 ,V = 4 4 Trong không gian cho hình chữ nhật ABCD, có AB=a, AC= a 5 . Tính diện tích toàn phần của hình trụ và thể tích khối trụ được sinh ra bởi hình chữ nhật nói trên khi nó quay quanh cạnh BC. 2 2 ĐS: S xq = 2π rl = 4π a ; Stp = S xq + 2S ñaùy = 6π a ; V = π r 2 h = π a 2 2a = 2π a 3 . Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AA’=a, AB=b, AD=c. Gọi (S) là mặt cầu ngoại tiếp hình hộp. Tính thể tích khối cầu. ĐS: V= Bài 9. ĐS: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a có SA vuông góc với đáy cạnh SB = a 3 . a. Tính thể tích khối chóp S.ABCD. b. Chứng minh trung điểm của cạnh SC là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD. S xq = Bài 7. a 13 2 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a có SA vuông ĐS: a. VS . ABC Bài 6. BI = a3 6 góc với đáy và SA=AC. Tính thể tích khối chóp S.ABCD. Bài 5. , b. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B, SA vuông góc với đáy. Biết SA=AB=BC=a. Tính thể tích khối chóp S.ABC. ĐS: VS . ABC = Bài 4. = π 2 a + b2 + c 2 ) a 2 + b 2 + c 2 ( 6 Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại A và AC=a, góc ·ACB = 600 . Đường chéo BC’ của mặt bên tạo với mặt phẳng (AA’C’C) một góc 300. a. Tính độ dài đoạn AC’. b. Tính thể tích khối lăng trụ. ĐS: a. AC’=3a; b. V = 6a3 . Chủ đề 7: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN II. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN 39 Đề cương ôn tập Toán 12 A. Tọa độ: Vấn đề 1: Tọa độ vectơ_tọa độ điểm r r * Cho a ( a1 ;a2 ;a3 ) ,b ( b1 ;b2 ;b3 ) + + + r r  a2 a3 a3 a1 a1 a2  a∧b=  ; ; = a b - a b ;a b - a b ;a b - a b  b2 b3 b3 b1 b1 b2 ÷ ÷ ( 2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1)   r r rr rr a.b = a1b1 +a2b2 +a3b3 , a ⊥ b ⇔ a.b = 0 ⇔ a1b1 +a2b2 +a3b3 = 0 . ( . ) a1 =b1 r r  a=b ⇔ a2 =b2 . a =b 3  3 r a = a12 +a22 +a32 + . * Cho A ( xA ;y A ;z A ) ,B ( xB ;yB ;zB ) . uuur 2 2 2 + Tọa độ vectơ AB = ( xB - x A ;yB - y A ;zB - zA ) , AB = ( xB - x A ) + ( yB - y A ) + ( zB - z A ) . + M ( xM ;yM ;zM ) là trung điểm của AB khi đó: x A +xB  xM = 2  y A +yB  yM = 2  zA +zB  zM = 2  . + Mở rộng thêm: tọa độ trọng tâm trong tam giác và trọng tâm của tứ diện. + Chứng minh ba điểm không thẳng hàng và bốn điểm không đồng phẳng. + Tính thể tích tứ diện khi biết một mặt là tam giác vuông hoặc tam giác đều. Vấn đề 2: Mặt cầu * Mặt cầu tâm I(a;b;c), bán kính r>0: ( x - a) + ( y -b ) + ( z - c ) =r 2 . * Dạng khác: x2 + y2 +z2 +2Ax+2By+2Cz+D = 0 , A2+B2+C2−D>0. Khi đó tâm I(−A;−B;−C) bán kính r = A2 +B2 +C2 -D . Lưu ý: + Mặt cầu tâm I tiếp xúc với mặt phẳng (α) có r=d(I,(α)). + Mặt cầu tâm I và đi qua điểm A có r=IA. 2 2 2 + Mặt cầu đường kính AB có tâm I là trung điểm của AB và r = IA = AB . 2 Bài toán liên quan: Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc mặt cầu. r uur + Tiếp xúc tại M: có vectơ pháp tuyến là n= IA . + Mặt phẳng (α) tiếp xúc mặt cầu (S): r=d(I,(α)). Bài tập Bài 10. Cho các điểm A(1;2;−1), B(2;−1;3), C(−2;3;3) a. Chứng minh ABC là bốn đỉnh của một tam giác. Tìm tọa độ trọng tâm của tam giác ABC. b. Tìm tạo độ điểm D để ABCD là hình bình hành. 40 Đề cương ôn tập Toán 12 Bài 11. c. Chứng minh OABC là bốn đỉnh của một tứ diện. Tìm tọa độ trọng tâm của tứ diện OABC. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho uuur r r r uuur r r r A ( 2; 4; −1) , OB = i + 4 j − k , C ( 2; 4; 3) , OD = 2i + 2 j − k . a. Chứng minh rằng AB⊥AC, AC⊥AD, AD⊥AB. Tính thể tích tứ diện ABCD. b. Viết phương trình tham số đường vuông góc chung của hai đường thẳng AB và CD. Bài 12. Bài 13. Bài 14. Tìm tâm và bán kính các mặt cầu sau: a. x 2 + y 2 + z 2 − 4 x + 6 z + 4 = 0 . b. 3x 2 + 3 y 2 + 3z 2 + 6 x − 12 y − 6 z − 3 = 0 . 2 2 Cho mặt cầu (S): ( x − 2 ) + y 2 + ( z + 1) = 4 . Tìm tâm và bán kính mặt cầu, xác định các giao điểm của (S) với các trục tọa độ. Viết phương trình mặt cầu (S) trong các trường hợp sau: a. Biết đường kính AB, với A ( −1;3; 2 ) , B ( 3;1; −4 ) . b. Có tâm I(2;−1;3) và đi qua điểm A(2;2;−1). c. Có tâm I(1;2;3) và tiếp xúc mặt phẳng (Oxz). d. Có tâm thuộc Oz và đi qua hai điểm A(0;1;2), B(1;0;−1). e. Đi qua bốn điểm O, A, B, C với A(2;0;0), B(0;1;0), C(0;0;−3). B. Mặt phẳng: Vấn đề 1: Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng Loại 1: Biết một điểm M0(x0;y0;z0) và một vectơ pháp tuyến r ur n= ( A;B;C ) ≠ 0 của mặt phẳng (α): (α): A ( x - x ) +B ( y - y ) +C ( z - z ) = 0 (1) Hay: Ax+By+Cz+D = 0 Loại 2: (α) đi qua ba điểm M, N, P không thẳng hàng: r uuur uuur * Vectơ pháp tuyến: n=MN ∧ MP . * Điểm thuộc mặt phẳng: M (hoặc N hoặc P). * Thay các kết quả vào (1). Loại 3: (α) đi qua A(xA;yA;zA) và song song với mặt phẳng (β): 0 0 0 Ax+By+Cz+D = 0 uur uur * (α) có dạng Ax+By+Cz+m= 0 , ( nα =nβ ) . * Thay tọa độ điểm A vào (α) để tìm m, ( m= - ( Ax A +By A +CzA ) ) . Loại 4: (α) đi qua hai điểm M, N và vuông góc với mặt phẳng (β): Ax+By+Cz+D = 0 , (MN không vuông góc với (β): uur uuur uur * (α) có nα =MN ∧ nβ . * Điểm thuộc mặt phẳng: M (hoặc N). Thay các kết quả vào (1). Loại 5: (α) đi qua A(xA;yA;zA) và vuông góc với đường thẳng x = x0 +a1 t  Δ : y = y0 +a2 t . z = z +a t 0 3  uur uur * (α) có dạng a1 x+a2 y+a3 z+m= 0 , ( nα = aΔ ) . * Thay tọa độ điểm A vào (α) để tìm m, ( m= - ( a1 x A +a2 yA +a3 zA ) ) . 41 Đề cương ôn tập Toán 12 Vấn đề 2: Vị trí tương đối_khoảng cách Loại 1: Khoảng cách từ M (xM;yM;zM) đến mặt phẳng (α): Ax+By+Cz+D = 0 : d ( M, α ) = AxM +ByM +CZM +D A2 +B2 +C2 Loại 2: Khoảng cách giữa hai mặt phẳng (α), (β) song song: Lấy một điểm M tùy ý trên mặt phẳng này, tính khoảng cách từ M điểm đó đến mặt phẳng kia. Bài tập Viết phương trình mặt phẳng (α) trong các trường hợp sau: a. (α) vuông góc với AB tại A, biết A(1;0;−2), B(2;1;1). b. (α) qua ba điểm M(2;−1;3), N(4;2;1), P(−1;2;3). c. (α) qua M(0;−2;1) và song song với mặt phẳng (β): x−3z+1=0. d. (α) qua hai điểm A(3;1;−1), B(2;−1;4) và vuông góc với mặt phẳng (β):2x−y+3z+1=0. Bài 15. e. (α) qua M(1;−1;1) và vuông góc với đường thẳng ∆: Bài 16. Bài 17. ĐS: a. x+y+3z+5=0; b. 2x+2y+5z−17=0; c. x−3z−6=0; d. x−13y−5z+5=0; e. 3x−y+2z−6=0. Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng MN với M(0;−1;3), N(2;−1;1). ĐS: x−z+1=0 Tính khoảng cách từ M(1;2;3) đến mặt phẳng (α): x+y−z+1=0. ĐS: d ( M ,(α ) ) = Bài 18. x −1 y +1 z = = 3 −1 2 3 3 Tìm m để khoảng cách từ M(m;0;1) đến mặt phẳng (α): 2x+y−2z+2=0 bằng 2 . 3 ĐS: m=±1 C. Đường thẳng: Vấn đề 1: Viết phương trình đường thẳng Viết phương trình đường thẳng ∆ khi biết một điểm M0(x0;y0;z0) r và một vectơ chỉ phương a= ( a1 ;a2 ;a3 ) : * Phương trình tham * Phương trình chính x = x0 +a1 t  số Δ : y = y0 +a2 t , ( t ∈ R ) z = z +a t 0 3  x - x 0 y - y 0 z - z0 tắc Δ : a1 = a2 = a3 , ( a1a2 a3 ≠ 0 ) Chú ý: * Đường thẳng ∆ đi qua hai điểm A, B có vectơ chỉ phương là 42 uur uuur aΔ = AB . Đề cương ôn tập Toán 12 * Đường thẳng ∆ vuông góc với mặt phẳng (α) có vectơ chỉ phương là uur uur a =n . Δ α Vấn đề 2: Vị trí tương đối_khoảng cách. Tìm khoảng cách từ M đến đường thẳng x = x0 +a1 t  Δ : y = y0 +a2 t , ( t ∈ R ) z = z +a t 0 3  * Gọi H(x;y;z) là hình chiếu của M lên ∆ ⇒ H(x0 +a1 t;y0 +a2 t;z0 +a3 t) uuur r uuur r . ∆ =0⇒ t ⇒H. * Từ điều kiện MH ⊥ a∆ ⇒ MHa * Khoảng cách từ M đến ∆ bằng độ dài đoạn MH. Bài tập Bài 19. Viết phương trình đường thẳng ∆ trong các trường hợp sau: a. ∆ qua hai điểm A(2;−1;3), B(4;2;1). b. ∆ qua điểm M (−1;0;2) và vuông góc với mặt phẳng (α): 2x−y+z−1=0. c. ∆ qua M(−1;2;1) và song song với đường thẳng d: d. ∆ qua M(0;3;−1) và song song với trục Ox. ĐS: a. Bài 20. Cho đường thẳng ∆:  x = 2 + 2t   y = −1 + 3t ;  z = 3 − 2t  x −1 x +1 z = = −2 1 3 b. x y+3 z−2 = = . 2 −1 3  x = −1 + 2t  y = t ; z = 2 + t  c.  x = −1 + 2t  y = 2 − t ;  z = 1 + 3t  d. x = t  y = 3 .  z = −1  và điểm M(3;4;5). Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của M trên ∆ và tính khoảng cách từ M đến ∆. ĐS: 1605  9 1 24  H  − ; ; ÷, d ( M , ∆ ) = MH = 11  7 7 7  Bài 21. Viết phương trình tham số đường vuông góc chung của hai đường thẳng x−7 y−3 z −9 ∆: = = 1 2 −1 ĐS: và  x = 3 − 7t  ∆ ' :  y = 1 + 2t .  z = 1 + 3t   x = 3 + 2t  d : y =1+ t  z = 1 + 4t  D. Bài tập tổng hợp: Bài 22. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho A(4;−1;2), B(1;2;2), C(1;−1;5), và uuur r r r OD = 4i + 2 j + 5k . a. Chứng minh ABCD là một tứ diện đều. b. Tính thể tích tứ diện ABCD. c. Tính cosin của góc hợp bởi hai cạnh AB và CD. c. Viết phương trình mặt cầu (S) ngoại tiếp tứ diện ABCD. 43 Đề cương ôn tập Toán 12 Bài 23. d. Viết phương trình tiếp diện với mặt cầu (S) tại A. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho (α): x + y + z − 1 = 0 và đường thẳng d: x y z −1 = = . 1 1 −1 Bài 24. Bài 25. Bài 26. Tính thể tích khối tứ diện ABCD, biết A, B, C là giao điểm tương ứng của mặt phẳng ( α ) với các trục tọa độ Ox, Oy, Oz; còn D là giao điểm của đường thẳng d với mặt phẳng tọa độ Oxy. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho A(1;4;2) và mặt phẳng (P): x+2y+z−1=0. a. Viết phương trình đường thẳng d qua A và vuông góc với mặt phẳng (P). b. Tìm tạo độ giao điểm H của đường thẳng d và mặt phẳng (P). c. Viết phương trình mặt cầu tâm A và tiếp xúc với mặt phẳng (P). uuur r r uuur r r Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho A(−1;2;1), OB = j + k , OC = i + 4k . a. Chứng minh ABC là tam giác vuông. b. Viết phương trình tham số của đường thẳng AB. c. Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (ABC). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho D(−3;1;2) và mặt phẳng (α) qua ba điểm A(1;0;11), B(0;1;10), C(1;1;8). a. Viết phương trình tham số của đường thẳng AC. b. Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (α). c. Viết phương trình mặt cầu (S) tâm D bán kính R=5. Chứng minh (S) cắt (α). −Hết− ĐỀ ÔN TẬP TỔNG HỢP x4 3 Câu1: Cho hàm số y = − x2 − 2 2 44 Đề cương ôn tập Toán 12 1. Khảo sát và vẽ đồ thị ( C) của hàm số. 2. Biện luận theo m số nghiệm phương trình x 4 − 2 x 2 − 3 − 2m = 0 Câu2: Giải phương trình trên tập số thực 4 x − 2 x +3 + 12 = 0 Câu3: Giải phương trình 2 x 2 − 3x + 2 = 0 trên tập hợp số phức Câu4:Cho hình chóp đều S.ABC có tất cả các cạnh bằng a. 1) Tính thể tích khối chóp 2) Tính diện tích xung quanh của hình nón ngoại tiếp hình chóp trên( đỉnh hình nón trùng với S). Câu5: Chọn câu 5a hoặc 5b 1 x 5a) 1. Tính tích phân I = ∫ (2 x − 1)e dx 0 2. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f ( x ) = x + 4 trên x [1;3] x= 1+ t   5b) Cho đường thẳng d  và mặt phẳng (α ) : 2 x − y + 2 z − 8 = 0 y= t  z= t  1. Tìm tọa độ giao điểm của d và (α) 2. Tìm M trên d sao cho khoảng cách từ M đến (α) bằng 1 M Ộ T SỐ Đ Ề Đ Ể T H A M K H Ả O ĐỀ SỐ 1 45 Đề cương ôn tập Toán 12 I . PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7 điểm) 2x + 1 Câu I (3,0 điểm) Cho hàm số y = có đồ thị (C) x −1 a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C). b. Tìm m để đường thẳng y = mx – 2 + m tiếp xúc với đồ thị (C). Câu II (3,0 điểm) a. Giải bất phương trình 3 log x−2 sin 2 x + 4 >1 1 x b. Tính tích phân: I = ∫ (3 + cos 2 x)dx 0 c. Giải phương trình x − 4 x + 7 = 0 trên tập số phức . Câu III (1,0 điểm) Một hình trụ có bán kính đáy R = 2 , chiều cao h = 2 . Một hình vuông có các đỉnh nằm trên hai đường tròn đáy sao cho có ít nhất một cạnh không song song và không vuông góc với trục của hình trụ . Tính cạnh của hình vuông đó . II . PHẦN RIÊNG (3 điểm) 1. Theo chương trình chuẩn: Câu IV. a (2,0 điểm) : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm M(1; 0; 5) và hai mặt phẳng (P): 2 x − y + 3z + 1 = 0 và (Q): x + y − z + 5 = 0 . a. Tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng (Q) . b. Viết phương trình mặt phẳng (R) đi qua giao tuyến (d) của (P) và (Q) đồng thời vuông góc với mặt phẳng (T): 3x − y + 1 = 0 . Câu V. a (1,0 điểm) : Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường y = − x 2 + 2 x và trục hoành . Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình (H) quanh trục hoành . 2. Theo chương trình nâng cao: Câu IV. b (2,0 điểm) : 2 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng (d): x + 3 y +1 z − 3 = = và mặt 2 1 1 phẳng (P): x + 2 y − z + 5 = 0 . a. Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng (d) và mặt phẳng (P) . b. Tính góc giữa đường thẳng (d) và mặt phẳng (P) . c. Viết phương trình đường thẳng ( ∆ ) là hình chiếu của đường thẳng (d) lên mặt phẳng (P). Câu V. b (1,0 điểm) :  4− y.log 2 x = 4 Giải hệ phương trình sau:  −2 y log 2 x + 2 = 4 46 Đề cương ôn tập Toán 12 ĐỀ SỐ 2 I . PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7 điểm) Câu I (3,0 điểm) Cho hàm số y = − x3 + 3x 2 −1 có đồ thị (C) c. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C). d. Dùng đồ thị (C) , xác định k để phương trình sau có đúng 3 nghiệm phân biệt x 3 − 3x 2 + k = 0 . Câu II (3,0 điểm) a. Giải phương trình 3 3 x − 4 = 92 x − 2 b. Cho hàm số y = 1 sin 2 x . Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số , biết rằng đồ thị của hàm π số F(x) đi qua điểm M( 6 ; 0) . x 2 − 3x + 1 c. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C ) : y = , biết rằng tiếp tuyến này x−2 song song với đường thẳng (d): 5 x − 4 y + 4 = 0 . Câu III (1,0 điểm) Cho hình chóp tam giác đều có cạnh bằng 6 và đường cao h = 1 . Hãy tính diện tích của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp . II . PHẦN RIÊNG (3 điểm) Thí sinh học chương trình nào thì làm chỉ được làm phần dành riêng cho chương trình đó . 1.Theo chương trình chuẩn: Câu IV. a (2,0 điểm) : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng (d): x+2 y z+3 = = và mặt 1 −2 2 phẳng (P): 2 x + y − z − 5 = 0 a. Chứng minh rằng (d) cắt (P) tại A . Tìm tọa độ điểm A . b. Viết phương trình đường thẳng ( ∆ ) đi qua A , nằm trong (P) và vuông góc với (d) . Câu V. a (1,0 điểm) : 1 e Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường : y = ln x, x = , x = e và trục hoành 1. Theo chương trình nâng cao: Câu IV. b (2,0 điểm) :  x = 2 + 4t  Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng (d):  y = 3 + 2t và mặt phẳng  z = −3 + t  (P): − x + y + 2 z + 5 = 0 a. Chứng minh rằng (d) nằm trên mặt phẳng (P) . 47 Đề cương ôn tập Toán 12 b. Viết phương trình đường thẳng ( ∆ ) nằm trong (P), song song với (d) và cách (d) một khoảng là 14 . Câu V. b (1, 0 điểm) : Tìm căn bậc hai của số phức z = − 4i ĐỀ SỐ 3 I . PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7 điểm) Câu I (3,0 điểm) Cho hàm số y = x 4 − 2 x 2 − 1 có đồ thị (C) a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C). b. Dùng đồ thị (C), hãy biện luận theo m số nghiệm thực của phương trình x4 − 2 x2 − m = 0 Câu II (3,0 điểm) log a. Giải phương trình 3 cos π 3 π x − 2 log x cos +1 3 = 2 log x x −1 1 b. Tính tích phân: I = ∫ x( x + e x )dx 0 c. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 2 x3 + 3x 2 − 12 x + 2 trên [−1; 2] Câu III (1,0 điểm) Cho tứ diện SABC có ba cạnh SA, SB, SC vuông góc với nhau từng đôi một với SA = 1cm, SB = SC = 2cm. Xác định tâm và tính bán kính của mặt cấu ngoại tiếp tứ diện , tính diện tích của mặt cầu và thể tích của khối cầu đó . II . PHẦN RIÊNG (3 điểm) 1. Theo chương trình chuẩn: Câu IV. a (2,0 điểm) : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho 4 điểm A( − 2; 1; − 1) , B(0; 2; − 1) , C(0; 3; 0) D(1; 0; 1) . a. Viết phương trình đường thẳng BC . b. Chứng minh rằng 4 điểm A, B, C, D không đồng phẳng . c. Tính thể tích tứ diện ABCD . Câu V. a (1,0 điểm) : Tính giá trị của biểu thức P = (1 − 2 i ) 2 + (1 + 2 i ) 2 . 2. Theo chương trình nâng cao: Câu IV. b (2,0 điểm) : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm M(1; − 1; 1), hai đường thẳng x −1 y z (∆1 ) : = = −1 1 4 x = 2 − t  , (∆ 2 ) :  y = 4 + 2t và mặt phẳng (P): y + 2 z = 0 z = 1  a. Tìm điểm N là hình chiếu vuông góc của điểm M lên đường thẳng ( ∆ 2 ) . b. Viết phương trình đường thẳng cắt cả hai đường thẳng (∆1 ) , (∆ 2 ) và nằm trong mặt phẳng (P) . 48 Đề cương ôn tập Toán 12 Câu V. b (1,0 điểm) : Tìm m để đồ thị của hàm số (Cm ) : y = x2 − x + m với m ≠ 0 cắt trục hoành tại x −1 hai điểm phân biệt A, B sao cho tiếp tuyến với đồ thị tại hai điểm A, B vuông góc nhau . 49 [...]... Chủ đề VI: SỐ PHỨC Bài tốn 1: Tìm số phức, tính mơđun,… Cho hai số phức a+bi và c+di 1) a+bi = c+di  a = c; b = d 2) mơđun số phức z = a + bi = 3) số phức liên hiệp z = a+bi là z = a − bi * z+ z = 2a; z z = z 2 = a 2 + b2 4) (a+bi ) +( c+di) = (a+c)+(b+d)i 5) (a+bi ) ( c+di) = (a−c)+(b−d)i 6) ) (a+bi )( c+di) = (ac − bd)+(ad+bc)i 7) z = a 2 + b2 c + di 1 = [(ac+bd)+(ad-bc)i] a + bi a 2 + b 2 Bài. .. phân : 5( x - 1) dx ò x2 - x - 6 1 Giải 5x - 5 A B A( x - 3) + B( x + 2) 5( x - 1) = ( x + 2 )( x - 3) = x + 2 + x - 3 = ( x + 2 )( x - 3) 2 x - x- 6 ⇒ A(x- 3)+ B(x+ 2)= 5x-5 cho x=-2 ⇒ A=3 cho x=3 ⇒ B=2 vậy ta có: Đặt 2 2 5( x - 1) dx 3 2 16 2 ò x 2 - x - 6 = ( x + 2 + x - 3 )dx = (3 ln x + 2 + 2 ln x - 3 ) 1 = ln 27 1 1 Trường hợp mẫu số có nghiệm kép: 1 Ví dụ: Tính các tích phân : 0 1 1 (2 x + 1)dx 2 -... a x1 S =∫ f ( x) −g ( x) dx = ∫[ f ( x ) −g ( x )] dx + ∫[ f ( x ) −g ( x )] dx TH3: Nếu phương trình hoành độ giao điểm có các nghiệm là x 1; x2∈ (a;b) Khi đó diện tích hình phẳng cần tìm là: x1 x1 x2 a x2 b S = ∫[ f ( x ) −g ( x ) ] dx + ∫[ f ( x ) −g ( x ) ] dx + ∫[ f ( x ) −g ( x ) ] dx Chú ý: * Nếu phương trình hoành độ giao điểm có nhiều hơn 2 nghiệm làm tương tự trường hợp 3 * Dạng toán 1 là trường... nguyên hàm F(x) của hàm số f(x)=1+ sin3x biết F( 6 )= 0 Giải 11 Đề cương ơn tập Tốn 12 1 π π 1 π π cos3x + C Do F( ) = 0 ⇔ - cos + C = 0 ⇔ C = - 3 6 6 3 2 6 1 π Vậy nguyên hàm cần tìm là: F(x)= x – cos3x 3 6 Ta có F(x)= x – Bài tập 1 Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số f(x)=sin2x.cosx, biết giá trò của nguyên π − 3 khi x= 3 8 hàm bằng 1 2 Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) = e1-2x , biết F( 2 ) = 0... (4 tgπ4 +3cosπ4 ) [4 tg( − π4 )+ 3cos( − π4 )] =8 c/ 2 ∫ −2 1 2 1 2 −2 1 −2 1 x − 1 dx = ∫ x − 1 dx + ∫ x − 1 dx = ∫ (1 − x )dx + ∫ ( x − 1)dx =(x- x2 1 x2 2 ) −2 + ( − x ) 1 =5 2 2 Bài tập Tính các tích phân sau: π 2 1/I= ∫ (3 + cos 2 x ). dx 0 1 1 2/J= ∫ (e + 2)dx 2 3/K= ∫ (6 x + 4 x )dx x 0 0 Dạng 2: Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến dạng 1: Phương pháp giải: b1: Đặt x = u(t) ( iều kiện cho... hạn bởi (P 1): y = x2 –2 x , và (P 2) y= x2 + 1 và các đường thẳng x = -1 ; x =2 Giải 2 2 phhđgđ : x –2 x = x + 1 Û 2x +1= 0 Û x = -1/2 Do đó : 2 - 1/ 2 2 2 S = ò ( x - 2 x ) - ( x + 1) dx = - 1 - 1/ 2 = 2 2 2 ò [( x - 2 x ) - ( x + 1)] dx + - 1 2 ò ( 2 x + 1) dx + ò ( 2 x + 1) dx - 1 - 1/ 2 ò [( x - 1 2 - 2 x ) - ( x 2 + 1)] dx - 1/ 2 2 1 25 13 = ( x 2 + x ) - 12 + ( x 2 + x ) - 1 = 4 + 4 = 2 2 Ví dụ... cong (C), (C ) và các đường thẳng x= a; x=b là : b S =∫ f ( x ) −g ( x ) dx a Phương pháp giải toán: B1: Lập phương trình hoành độ giao điểm giữa (C) và (C ) B2: Tính diện tích hình phẳng cần tìm: TH1: Nếu phương trình hoành độ giao điểm vô nghiệm trong (a;b) Khi đó diện tích hình phẳng cần tìm là: S b =∫[ f ( x ) −g ( x )] dx a TH2: Nếu phương trình hoành độ giao điểm có 1 nghiệm là x 1∈ (a;b) Khi... ỨNG DỤNG Bài 33 1 2 log 6 x ĐS: a Bài 32 L=− Tính các tích phân sau: a) I = π 2 x (sin + cos 2 x)dx 2 0 ∫ 2 d) I = ∫ 1 2x x2 + 1 1 b) I = ∫ (2 x + 1) dx 3 0 e dx e) I = ∫ 1 35 ln 2 x dx x 1 c) I = ∫ (4 x + 1)e dx x 0 Đề cương ơn tập Tốn 12 MỘT SỐ BÀI TỐN NÂNG CAO Bài 34 a Tìm một ngun hàm F(x) của hàm số b Cho hai hàm số Bài 35 f ( x) = 20 x 2 − 30 x + 7 2x + 3 , f ( x) = 1 + 4 x 2 tan 2 2  2 x  −... phẳng giới hạn bởi 1 đường cong và 3 đường thẳng Công thức: Cho hàm số y=f(x) liên tục trên đoạn [a;b] khi đó diện tích hình phẳng giới hạn bởi b đường cong (C) :y=f(x) và các đường thẳng x= a; x=b; y= 0 là : S = ∫ f ( x) dx a 2/ Dạng toán2 : Diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2 đường cong và 2 đường thẳng Công thức: Cho hàm số y=f(x) có đồ thò (C) và y=g(x) có đồ thò (C ) liên tục trên đoạn [a;b] khi... tích hình phẳng giới hạn bởi (P): y2 = 4 x , và đường thẳng (d): 2x+y-4 = 0 4−y y2 và (d): 2x+y-4 = 0 ⇔ x= 2 4 y = 2 y2 4 − y Phương trình tung độ giao điểm của (P) và đường thẳng (d) là: = 2 ⇔  y = −4 4  Giải: Ta có (P): y = 4 x ⇔ x = 2 Vậy diện tích hình phẳng cần tìm là: S= 2 ( −4 2 4 −y y2 y y2 y2 y3 2 − )dy = ∫ (2 − − )dy = (2 y − − ) =9 2 4 2 4 4 12 −4 −4 Bài tập 1/ Tính diện tích hình phẳng ... = z = a + b2 4) (a+bi ) +( c+di) = (a+c)+(b+d)i 5) (a+bi ) ( c+di) = (a−c)+(b−d)i 6) ) (a+bi )( c+di) = (ac − bd)+(ad+bc)i 7) z = a + b2 c + di = [(ac+bd)+(ad-bc)i] a + bi a + b Bài tốn 2: Giải... Tốn 12 Chủ đề 4: SỐ PHỨC Bài 41 Thực phép tính: a) (2 + 4i )( 3 – 5i) + 7(4 – 3i) c) b) (1 – 2i)2 – (2 – 3i )( 3 + 2i) (2 + i ) + (1 + i )( 4 − 3i) + 2i d) e) (1 + 2i)3 f) (3 − 4i )( 1 + 2i ) + − 3i −... thò (C) trường hợp sau: 1/ Tại điểm có toạ độ (x0;f(x 0)) : B1: Tìm f ’(x) ⇒ f ’(x 0) / B2: Phương trình tiếp tuyến với (C) điểm (x0;f(x 0)) là: y = f (x ) (x–x 0) + f(x 0) 2/ Tại điểm đồ thò (C) có