T1/269. Xeùt soá töï nhieân An = 19981998...1998 ñöôïc vieát trong heä soá thaäp phaân bôûi n soá 1998 noái tieáp nhau. a) Chöùng toû raèng toàn taïi soá nguyeân döông n < 1998 sao cho A n chia heát cho 1999. b) Goïi k laø soá nguyeân döông nhoû nhaát thoaû maõn A n chia heát cho 1999. Chöùng minh raèng 1998 chia heát cho 2k. 11 25 T2/269. Giaûi phöông trình: 2 = 1. x (x+5)2 1 1 T3/269. Tìm giaù trò nhoû nhaát cuûa bieåu thöùc B = (1+x)(1+ ) + (1+y)(1+ ) y x 2 2 trong ñoù caùc soá döông x, y thoaû maõn x + y = 1. T4/269. Cho töù giaùc loài ABCD. Laáy ñieåm M baát kyø treân ñöôøng cheùo AC. Ñöôøng thaúng qua M song song vôùi AB caét BC taïi P. Ñöôøng thaúng qua M song song vôùi CD 1 1 1 ≤ + caét AD taïi Q. Chöùng minh raèng: 2 2 2 MP + MQ AB CD2 Ñaúng thöùc xaûy ra khi naøo? T5/269. Cho ñöôøng troøn (O, R) vôùi hai ñöôøng kính vuoâng goùc AB vaø CD. Laáy ñieåm P treân ñöôøng troøn ñoù. Treân tia OA laáy ñieåm M sao cho OM baèng toång caùc khoaûng caùch töø P ñeán caùc ñöôøng thaúng AB vaø CD. Tìm quyõ tích caùc ñieåm M khi P chuyeån ñoäng treân ñöôøng troøn. T6/269. Cho hai soá nguyeân döông m vaø n sao cho n+2 chia heát cho m. Haõy tính soá caùc boä ba soá nguyeân döông (x, y, z) thaûo maõn ñieàu kieän: toång x+y+z chia heát cho m, trong ñoù moãi soá x, y, z ñeàu khoâng lôùn hôn m. T7/269. Cho soá töï nhieân n ≥ 2 vaø hai soá thöïc döông a, b sao cho n-1 < a/b ≤ n. Xeùt caùc daõy soá thöïc x1, x2, ..., xn thoaû maõn ñieàu kieän: x1 + x2 + ... + xn = a, trong ñoù 0 < xi ≤ b, ∀i = 1, 2, ..., n. Tính GTLN, GTNN cuûa tích P = x 1.x2...xn vaø xaùc ñònh taát caû caùc daõy x1, x2, ..., xn öùng vôùi GTLN, GTNN ñoù. 1 T8/269. Tìm taát caû caùc haøm soá f: R → R thoaû maõn ñieàu kieän: f( ) = 2f(x) - 3, vôùi 2-x moïi x ≠ 2. T9/269. Coù toàn taïi hay khoâng ña giaùc ñeàu 600 caïnh trong maët phaúng toaï ñoä Ñeà Caùc Oxy maø toaï ñoä caùc ñænh cuûa noù ñeàu laø soá höõu tæ? T10/269. Cho töù dieän ABCD. Laáy moät ñieåm Q naèm trong töù dieän. Goïi Q' laø ñieåm ñoái xöùng vôùi Q qua mp(BCD). Qua Q' döïng maët phaúng song song mp(BCD), maët phaúng naøy caét caùc ñöôøng thaúng AB, AC, AD laàn löôït ôû B 1, C1, D1 ta ñöôïc hình choùp cuït BCDB1C1D1. Baèng caùch laáy ñieåm ñoái xöùng vôùi Q qua moãi maët coøn laïi cuûa töù dieän roài döïng caùc maët phaúng song song töông töï nhö treân, ta ñöôïc 3 hình choùp cuït nöõa. Haõy xaùc ñònh vò trí ñieåm Q ñeå toång caùc theå tích cuûa 4 hình choùp cuït taïo thaønh laø nhoû nhaát.