Chương II PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HÓA I. Dấu hiệu nhận biết để vận dụng phương pháp lượng giác hóa  Để lượng giác hóa các hàm đại số, ta ghi nhớ các dấu hiệu sau: 1. Nếu trong bài toàn có điều kiện x2 + y 2 = 1 thì ta có thể đặt:  x = sin α   y = cos α 2. Nếu trong bài toán có biểu thức: x = a sin α x = a cos α hoặc 3. Nếu trong bài toán có biểu thức: a2 + x2 a2 + x2 hoặc x = a tan α x = a cot α thì đặt: hoặc . a2 − x2 thi có thể đặt: Trong một số bài toán thì các dấu hiệu này không xuất hiện ngay từ đầu, người giải phải tìm cách biến đổi các điều kiện hoặc các hàm số đã cho để làm xuất hiện các dấu hiệu đó.  Các biểu thức thường được lượng giác hóa Biểu thức Cách lượng giác hóa biểu thức  π π α ∈ − ,   2 2 x = a sin α với a 2 − x2 x = a cos α  π α ∈ 0,   2 hoặc với x= x2 − a2  π π α ∈  − ,  \ { 0}  2 2 a sin α với x= a hoặc α ∈ [ 0, π ] \ cos α với π 2  π π α ∈− , ÷  2 2 x = a tan α a 2 + x2 với x = a cot α α ∈ ( 0, π ) hoặc với a+ x a−x a−x a+x x = a cos 2α hoặc ( x − a) ( b − x) a+b 1 − ab x = a + ( b − a ) sin 2 α  a = tan α  b = tan β  π π α, β ∈− , ÷  2 2 , với B. Một số bài tập ví dụ Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 2(6 xy + x 2 ) P= 1 + 2 y 2 + 2 xy x 2 + y2 = 1 với x, y là hai số thực thay đổi và thỏa mãn hệ thức (Đề thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng 2008 – Khối B) Nhận xét và lời giải: x 2 + y2 = 1 Hệ thức giúp chúng ta liên tưởng đến công thức lượng giác: 2 2 sin α + cos α = 1 x = sin α ; y = cos α Vì vậy, ta đặt: Dưới hình thức lượng giác, ta có: 2(6sin α cos α + sin 2 α ) P= 1 + 2cos 2 α + 2sin α cos α P= 6sin 2α − cos 2α + 1 sin 2α + cos 2α + 2 (*) Để tìm miền giá trị của P, ta biến đổi (*) thành: ( P − 6 ) sin 2α + ( P + 1) cos 2α = 1 − 2 P (**) Điều kiện có nghiệm của phương trình (**) là: 2 2 2 ( P − 6 ) + ( P + 1) ≥ ( 1 − 2 p ) ⇔ 2 P 2 + 6 P + 36 ≤ 0 ⇔ 6− ≤ P ≤ 3 Vậy, MinP = −6; MaxP = 3 . Bài toán 2: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = y − 2x + 5 36x 2 + 16y 2 = 9 với x, y là hai số thực thay đổi và thỏa mãn hệ thức: Nhận xét và lời giải: 2 2  6x   4 y    +   =1 36x 2 + 16y 2 = 9  3   3  Biến đổi về dạng: 1  6x  = cos α x = cos α  3  2 ⇒  4 y  = sin α  y = 3 sin α  4  3 Ta nghĩ đến việt đặt: 3 sin α − cos α + 5 4 Khi đó, dưới dạng lượng giác thì: P = − a 2 + b 2 ≤ a sin α + b cos α ≤ a 2 + b 2 Sử dụng bất đẳng thức: 9 25 5+ +1 = 16 4 Ta suy ra: maxP = 9 55 5− +1 = 16 4 minP = Bài 3: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: 3y 2 − 4 xy P= 2 x + y2 Nhận xét và lời giải: Biến đổi hàm P về dạng: 2    y x  − 4 P = 3 2  x + y2   x 2 + y2    và chú ý rằng: sin α =  y  2  x + y2  y x2 + y2  y .   x 2 + y2  2   x  + 2   x + y2   , cosα =     2   =1   nên ta đặt: x x2 + y2 Lúc đó, hàm số P dưới hình thức lượng giác là: 3 3 P = 3sin 2 α − 4sin α cos α = 2sin 2α − cos 2α + 2 2 Áp dụng bất đẳng thức: Ta được: minP = -1 − a 2 + b 2 ≤ a sin α + b cos α ≤ a 2 + b 2 maxP = 4 Bài 4: Cho x, y là hai số dương thay đổi thỏa mãn: x + y = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: x y P= + 1− x 1− y Nhận xét và lời giải: Với x, y > 0 và x + y = 1 nên ta đặt:  x = sin 2 α π   0 < u <  2  y = cos α 2  Lúc đó, P = Đặt sin 2 α cos2 α sin 3 α + cos3 α + = cosα sin α sin α cos α π  t = sin α cos α = 2 sin  u + ÷, 1 ≤ t ≤ 2 4  P = f (t) = thì − t − 3t t2 −1 3 t4 + 3 f ' (t) = − 2 ... lớn 4, giá trị nhỏ -1 Nhận xét lời giải: Do hàm số y xác định với x có mặt đại lượng + x cho α nên ta lượng giác hóa cách đặt: x = tan Khi đó, hàm số y trở thành: y= a tan α + b = a sin α cos... 3x − 3y − 3z Tính : P = Nhận xét lời giải: Cấu tạo đại lượng, thành phần tham gia biểu thức cần tính giúp liên tưởng đến công thức lượng giác: 3tan α − tan α = tan 3α − 3tan α (1) x = tan α ;... + tan β + tan λ − tan α tan β tan λ − tan α tan β − tan β tan λ − tan λ tan α Theo công thức lượng giác ta có tan α tan β tan λ = tan α + tan β + tan λ (2) Từ (2), ta suy ra: Từ (1), ta suy ra: